Magnetic Moment of Current Carrying Coil Questions in Hindi

(D) धारा वाहित कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ सूत्र $M = niA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
क्षेत्रफल का मान सूत्र में रखने पर,हमें $M = ni(\pi r^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$,$i$ और $\pi$ एक दी गई कुंडली के लिए नियतांक हैं,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $M$ त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $M \propto r^2$।

(C) माना प्रत्येक तार की लंबाई $l$ है।
वर्ग के लिए,भुजा की लंबाई $a = l/4$ है। क्षेत्रफल $A_{square} = a^2 = (l/4)^2 = l^2/16$ है।
वृत्त के लिए,परिधि $2\pi r = l$ है,इसलिए त्रिज्या $r = l/(2\pi)$ है। क्षेत्रफल $A_{circle} = \pi r^2 = \pi (l/(2\pi))^2 = l^2/(4\pi)$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों के लिए धारा $i$ समान है,
$\frac{M_{square}}{M_{circle}} = \frac{A_{square}}{A_{circle}} = \frac{l^2/16}{l^2/(4\pi)} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$.
अतः,अनुपात $\pi : 4$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न विद्युत धारा $i = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$B$ के व्यंजक में $i$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0}{2r} \cdot \frac{ev}{2\pi r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
$r^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$r^2 = \frac{\mu_0 ev}{4\pi B}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$r = \sqrt{\frac{\mu_0 ev}{4\pi B}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_0$,$e$ और $4\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए त्रिज्या $r$,$\sqrt{v/B}$ के समानुपाती है।

(B) कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ सूत्र $M = N \cdot i \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
$N = 20$
$i = 3\, A$
$r = 4\, cm = 4 \times 10^{-2}\, m$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (4 \times 10^{-2})^2 = 16\pi \times 10^{-4}\, m^2$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$A \approx 3.14 \times 16 \times 10^{-4} = 50.24 \times 10^{-4}\, m^2$.
अब,$M = 20 \times 3 \times 50.24 \times 10^{-4} = 60 \times 50.24 \times 10^{-4} = 3014.4 \times 10^{-4} \approx 0.3\, A \cdot m^2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,धारा $i$ और लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $M = i \times A = i \pi r^2$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(D) धारावाही कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$,फेरों की संख्या $(N)$,कुंडली में प्रवाहित धारा $(I)$ और कुंडली के क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$M = NIA$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ का सूत्र $M = iA$ है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गति करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ होता है।
तुल्य धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ प्राप्त होती है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$M = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{1}{2}evr$.

(C) एक धारावाही वृत्ताकार लूप एक चुंबकीय द्विध्रुव या छड़ चुंबक की तरह व्यवहार करता है।
जब एक चुंबकीय द्विध्रुव को चुंबकीय क्षेत्र (जैसे पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र) में स्वतंत्र रूप से लटकाया जाता है,तो यह एक टॉर्क का अनुभव करता है जो इसके चुंबकीय आघूर्ण सदिश को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित करता है।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण सदिश लूप के तल के लंबवत होता है।
चुंबकीय आघूर्ण के पृथ्वी के उत्तर-दक्षिण चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित होने के लिए,लूप का तल उत्तर-दक्षिण दिशा के लंबवत होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि लूप का तल पूर्व-पश्चिम दिशा में इंगित करेगा।

(A) एक धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,धारा $i$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$M = iA$ है।
धारा $i$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$i = M/A$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $i = qf$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$ और $f = 6.6 \times 10^{15} \, \text{Hz}$ है।
$i = 1.6 \times 10^{-19} \times 6.6 \times 10^{15} = 10.56 \times 10^{-4} \, \text{A}$।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है,जहाँ $R = 0.528 \, \mathring{A} = 0.528 \times 10^{-10} \, \text{m}$ है।
$A = 3.142 \times (0.528 \times 10^{-10})^2 = 3.142 \times 0.278784 \times 10^{-20} \approx 0.876 \times 10^{-20} \, \text{m}^2$।
चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है।
$M = (10.56 \times 10^{-4}) \times (0.876 \times 10^{-20}) \approx 9.25 \times 10^{-24} \, \text{A} \cdot \text{m}^2$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $M \approx 1 \times 10^{-23} \, \text{A} \cdot \text{m}^2$ है।

(A) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = NiA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 24$
धारा $i = 0.75\,A$
व्यास $d = 7\,cm = 7 \times 10^{-2}\,m$
त्रिज्या $r = d/2 = 3.5 \times 10^{-2}\,m$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (3.5 \times 10^{-2})^2\,m^2$
मान रखने पर:
$M = 24 \times 0.75 \times 3.14 \times (3.5 \times 10^{-2})^2$
$M = 18 \times 3.14 \times 12.25 \times 10^{-4}$
$M = 692.37 \times 10^{-4} \approx 6.9 \times 10^{-2}\,A\cdot m^2$

(D) धारावाही लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ सूत्र $M = NiA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ विद्युत धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल सदिश है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण धारा $i$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के सीधे समानुपाती होता है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण सदिश की दिशा हमेशा लूप के तल के लंबवत होती है,जिसे दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
इसलिए,सही कथन यह है कि यह लूप के तल के लंबवत होता है और लूप के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है।

(D) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: धारा $i = 0.1\, A$,त्रिज्या $r = 5\, cm = 0.05\, m$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.05)^2 = 3.14159 \times 0.0025 = 7.854 \times 10^{-3}\, m^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$M = 0.1 \times (7.854 \times 10^{-3}) = 7.854 \times 10^{-4}\, A\cdot m^2$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $M = 7.85 \times 10^{-4}\, A\cdot m^2$ प्राप्त होता है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले और $i$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0 i}}{{2R}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम धारा $i$ को $i = \frac{{2RB}}{{\mu _0}}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = i \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
वृत्ताकार लूप के लिए,$A = \pi R^2$ होता है।
$i$ और $A$ के व्यंजक को $M$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \left( \frac{{2RB}}{{\mu _0}} \right) \times (\pi R^2) = \frac{{2\pi B R^3}}{{\mu _0}}$.

(C) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = NiA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$N$ फेरे बनाने के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $l = N(2\pi r)$ है,जिसका अर्थ है कि $r = \frac{l}{2\pi N}$।
$M$ के सूत्र में $A$ का मान रखने पर: $M = Ni(\pi r^2) = Ni\pi (\frac{l}{2\pi N})^2 = Ni\pi \frac{l^2}{4\pi^2 N^2} = \frac{il^2}{4\pi N}$।
यदि फेरों की संख्या $N$ स्थिर है,तो हम पाते हैं कि $M \propto l^2$।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण तार की लंबाई के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है।

(B) मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है। वृत्त की परिधि तार की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $2\pi r = L$।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{L}{2\pi}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4\pi^2} = \frac{L^2}{4\pi}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = IA$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$A$ का मान रखने पर,हमें $M = I \left(\frac{L^2}{4\pi}\right) = \frac{IL^2}{4\pi}$ प्राप्त होता है।

(A) घूर्णन करते आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $i = \frac{2q}{T} = \frac{2q\omega}{2\pi} = \frac{q\omega}{\pi}$ है।
निकाय का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ है,जहाँ $A = \pi R^2$ कणों द्वारा बनाए गए वृत्त का क्षेत्रफल है।
अतः,$M = (\frac{q\omega}{\pi})(\pi R^2) = q\omega R^2$.
केंद्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग $L = I\omega$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
अक्ष से $R$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के दो कणों के लिए,$I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$.
अतः,$L = (2mR^2)\omega = 2mR^2\omega$.
इस प्रकार,परिमाणों का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{q\omega R^2}{2mR^2\omega} = \frac{q}{2m}$ है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$R$ त्रिज्या वाली रिंग के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ होता है।
घूमते हुए आवेश $Q$ द्वारा उत्पन्न धारा $i = \frac{Q}{T}$ है,जहाँ $T$ एक चक्कर का आवर्तकाल है।
कोणीय वेग $\omega$ होने के कारण,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
अतः,$i = \frac{Q}{(2\pi / \omega)} = \frac{Q\omega}{2\pi}$।
चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$M = \left( \frac{Q\omega}{2\pi} \right) \times (\pi R^2) = \frac{1}{2}Q\omega R^2$।

(C) वर्गाकार लूप का प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $\mu_1 = iA = iL^2$ है,जिसकी दिशा लूप के तल के लंबवत है।
जब लूप को बीच से मोड़ा जाता है,तो यह दो छोटे आयताकार लूप बनाता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A' = L \times (L/2) = L^2/2$ है।
प्रत्येक आधे भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA' = iL^2/2 = \mu_1/2$ है।
ये दोनों आधे भाग परस्पर लंबवत तलों में स्थित हैं। मान लीजिए क्षैतिज भाग का चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M_h}$ और ऊर्ध्वाधर भाग का $\overrightarrow{M_v}$ है।
दोनों का परिमाण $M = \mu_1/2$ है। परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{\mu_2}$ इन दोनों का सदिश योग है: $\mu_2 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$।
$M = \mu_1/2$ रखने पर,हमें $\mu_2 = (\mu_1/2) \times \sqrt{2} = \mu_1/\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{|\overrightarrow{\mu_1}|}{|\overrightarrow{\mu_2}|} = \frac{\mu_1}{\mu_1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(D) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ को धारा $I$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$M = I \times A$ है।
धारा का $SI$ मात्रक एम्पीयर $(A)$ है और क्षेत्रफल का $SI$ मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
अतः,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक $A \cdot m^2$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में रखा गया धारावाही लूप एक टॉर्क का अनुभव करता है और एक चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) की तरह व्यवहार करता है।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = N i A$
जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ विद्युत धारा है,और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) वर्गाकार लूप का प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $\mu_1 = iL^2$ है,जो लूप के तल के लंबवत होता है।
जब लूप को $90^\circ$ पर मोड़ा जाता है,तो यह दो लंबवत लूपों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A' = L \times (L/2) = L^2/2$ है।
प्रत्येक आधे लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA' = iL^2/2 = \mu_1/2$ है।
ये दोनों चुंबकीय आघूर्ण एक-दूसरे के लंबवत हैं,एक क्षैतिज तल में और दूसरा ऊर्ध्वाधर तल में।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $\mu_2$ इन दोनों आघूर्णों का सदिश योग है: $\mu_2 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$।
$M = \mu_1/2$ रखने पर,हमें $\mu_2 = (\mu_1/2) \times \sqrt{2} = \mu_1/\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{|\overrightarrow {{\mu _1}} |}{|\overrightarrow {{\mu _2}} |} = \frac{\mu_1}{\mu_1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(C) डिस्क पर $x$ त्रिज्या और $dx$ चौड़ाई वाली एक पतली अवयव वलय (elemental ring) पर विचार करें।
इस अवयव वलय का क्षेत्रफल $dA = 2 \pi x dx$ है।
इस वलय पर आवेश $dq = \sigma dA = 2 \pi \sigma x dx$ है।
चूंकि डिस्क $\omega$ कोणीय वेग से घूम रही है,इसलिए घूर्णन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
इस घूमते हुए आवेश के कारण उत्पन्न तुल्य धारा $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \cdot \omega}{2 \pi}$ है।
$dq$ का मान रखने पर,$dI = \frac{(2 \pi \sigma x dx) \omega}{2 \pi} = \sigma \omega x dx$ प्राप्त होता है।
इस अवयव वलय का चुंबकीय आघूर्ण $dM = dI \cdot A_{ring} = (\sigma \omega x dx) \cdot (\pi x^2) = \pi \sigma \omega x^3 dx$ है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ से $x = R$ तक $dM$ का समाकलन करें:
$M = \int_{0}^{R} \pi \sigma \omega x^3 dx = \pi \sigma \omega \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{1}{4} \pi \sigma \omega R^4$.

(D) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ सूत्र $\mu = I A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,घूमते हुए आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{q}{T}$ है,जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
$R$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गति करने वाले कण के लिए आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi R}{v}$ होता है।
$I$ के व्यंजक में $T$ का मान रखने पर,हमें $I = \frac{q}{2 \pi R / v} = \frac{qv}{2 \pi R}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $\mu = I A = \left( \frac{qv}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{qvR}{2}$ है।

(B) कुंडली को $N-S$ ऊर्ध्वाधर तल में रखा गया है। दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,दक्षिणावर्त धारा के लिए,कुंडली के केंद्र में उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र पूर्व से पश्चिम दिशा की ओर होता है।
पृथ्वी का क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र दक्षिण से उत्तर की ओर होता है।
चुंबकीय सुई परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित होती है।
परिणामी सदिश,कुंडली के चुंबकीय क्षेत्र (पश्चिम की ओर) और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र (उत्तर की ओर) का सदिश योग है।
इसलिए,चुंबकीय सुई का उत्तरी ध्रुव पश्चिम-उत्तर दिशा की ओर इंगित करेगा।

(B) संवहन धारा $I$ को प्रति इकाई समय में प्रवाहित आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि आवेश $q$,$T = \frac{2\pi r}{v}$ समय में एक चक्कर पूरा करता है,इसलिए धारा है:
$I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi r / v} = \frac{qv}{2\pi r}$
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,धारा $I$ और क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$M = I \times A = \left( \frac{qv}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$M = \frac{qv \pi r^2}{2\pi r} = \frac{qvr}{2}$

(A) वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = (10\,cm)^2 = (0.1\,m)^2 = 0.01\,m^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M = iA = 10\,A \times 0.01\,m^2 = 0.1\,A\cdot m^2$ है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ की दिशा लूप के तल के लंबवत होती है।
लूप एक ऐसे तल में स्थित है कि इसका अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण और $-z$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है (चित्र में दी गई ज्यामिति के अनुसार)।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M} = M \cos(60^{\circ}) \hat{i} - M \cos(30^{\circ}) \hat{k}$ होगा।
मान रखने पर: $\vec{M} = 0.1 \times (1/2) \hat{i} - 0.1 \times (\sqrt{3}/2) \hat{k}$.
$\vec{M} = 0.05 \hat{i} - 0.05\sqrt{3} \hat{k} = 0.05 (\hat{i} - \sqrt{3} \hat{k})\,A\cdot m^2$.

(A) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{P}_m$,$\vec{P}_m = I_2 \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
$xy$-तल में $l$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A} = l^2 \hat{k}$ है (दाएं हाथ के नियम के अनुसार यह मानते हुए कि धारा $I_2$ वामावर्त दिशा में बहती है)।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{P}_m = I_2 l^2 \hat{k}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(B) $I$ धारा वहन करने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_1 = I A = I \pi R^2$ है।
जब धारा $I$ को स्थिर रखते हुए द्विध्रुव आघूर्ण को दोगुना $(m_2 = 2m_1)$ किया जाता है,तो क्षेत्रफल $A$ दोगुना हो जाना चाहिए। चूँकि $A = \pi R^2$,नई त्रिज्या $R'$ के लिए $\pi (R')^2 = 2 \pi R^2$ होगा,जिसका अर्थ है $R' = \sqrt{2} R$।
केंद्र पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R'} = \frac{\mu_0 I}{2(\sqrt{2} R)}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{2\sqrt{2}R}} = \sqrt{2}$।

(B) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव पर आवेश $dq = \frac{Q}{l} dx$ है।
चूंकि छड़ $f$ आवृत्ति के साथ घूमती है,इस घूमते हुए आवेश अवयव से जुड़ी धारा $di = dq \cdot f = \frac{Q}{l} f dx$ है।
$x$ त्रिज्या वाले इस वृत्ताकार लूप का चुंबकीय आघूर्ण $d\mu = (di) \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi x^2$ लूप का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,हमें $d\mu = \left( \frac{Q f}{l} dx \right) (\pi x^2) = \frac{\pi f Q}{l} x^2 dx$ प्राप्त होता है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = l$ तक $d\mu$ का समाकलन करते हैं:
$\mu = \int_0^l \frac{\pi f Q}{l} x^2 dx = \frac{\pi f Q}{l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^l = \frac{\pi f Q}{l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{1}{3} \pi f Q l^2$.

(C) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec \mu = i \vec A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $\vec A$ क्षेत्रफल सदिश है।
क्षेत्रफल सदिश $\vec A$ का परिमाण लूप के क्षेत्रफल $(A = a \times b)$ के बराबर होता है और इसकी दिशा लूप के तल के लंबवत होती है।
ज्यामिति को देखते हुए,$b$ लंबाई की भुजा $y$-अक्ष के अनुदिश है। $a$ लंबाई की भुजा $xz$-तल में $x$-अक्ष के साथ $30^\circ$ का कोण बनाती है।
लूप के लिए लंबवत सदिश $\vec n$ को आयत की भुजाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
भुजा $b$ के अनुदिश सदिश $\vec b = b \hat j$ है।
भुजा $a$ के अनुदिश सदिश $\vec a = a \cos 30^\circ \hat i + a \sin 30^\circ \hat k$ है।
क्षेत्रफल सदिश $\vec A = \vec a \times \vec b = (a \cos 30^\circ \hat i + a \sin 30^\circ \hat k) \times (b \hat j)$.
क्रॉस उत्पाद के नियमों का उपयोग करते हुए ($\hat i \times \hat j = \hat k$ और $\hat k \times \hat j = -\hat i$):
$\vec A = ab \cos 30^\circ \hat k - ab \sin 30^\circ \hat i$.
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,चुंबकीय आघूर्ण की दिशा $(\sin 30^\circ \hat i + \cos 30^\circ \hat k)$ प्राप्त होती है।
अतः,$\vec \mu = iab(\sin 30^\circ \hat i + \cos 30^\circ \hat k)$।

(B) दिया गया है: तार की लंबाई $l = 2 \, m$, धारा $I = 1 \, A$ है।
जब तार को मोड़कर एक वृत्त बनाया जाता है, तो वृत्त की परिधि तार की लंबाई के बराबर होती है: $2 \pi r = l$।
$l$ का मान रखने पर: $2 \pi r = 2 \implies r = 1 / \pi \, m$।
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (1 / \pi)^2 = 1 / \pi \, m^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M$ का सूत्र $M = I \times A$ है।
मान रखने पर: $M = 1 \times (1 / \pi) = 1 / \pi \, A \cdot m^2$।

(A) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = l$ होती है,जिसका अर्थ है $r = \frac{l}{2 \pi}$।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{\pi l^2}{4 \pi^2} = \frac{l^2}{4 \pi}$ है।
इस मान को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर,हमें $M = i \left( \frac{l^2}{4 \pi} \right) = \frac{i l^2}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. एक समान रूप से आवेशित वलय में स्थिर आवेश वितरण होता है,जो आसपास के स्थान में एक स्थिर वैद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$2$. जब वलय नियत कोणीय वेग $\omega$ से घूमती है,तो गतिमान आवेश एक वृत्ताकार धारा $I = qf = q(\omega / 2\pi)$ का निर्माण करते हैं,जहाँ $q$ वलय पर कुल आवेश है।
$3$. यह प्रवाहित धारा वलय के आसपास के क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
$4$. धारावाही लूप में चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu = IA$ भी होता है,जहाँ $A$ वलय का क्षेत्रफल है।
$5$. अतः,घूमती हुई आवेशित वलय एक साथ स्थिर वैद्युत क्षेत्र,चुंबकीय क्षेत्र और चुंबकीय आघूर्ण उत्पन्न करती है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I$ को प्रति इकाई समय में किसी बिंदु से गुजरने वाले आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड $v$ चक्कर पूरा करता है,इसलिए धारा $I = q \times v = ev$ है।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $m$ धारा और क्षेत्रफल के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $m = I \times A$।
मान रखने पर,हमें $m = (ev) \times (\pi r^2) = \pi ve r^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = N \cdot I \cdot A$
जहाँ:
$N = 1000$ (फेरों की संख्या)
$I = 2 \, A$ (धारा)
$A = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$ (अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल)
सूत्र में मान रखने पर:
$M = 1000 \times 2 \times 1.5 \times 10^{-4}$
$M = 2000 \times 1.5 \times 10^{-4}$
$M = 3000 \times 10^{-4}$
$M = 0.3 \, Am^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम धारा $I$ को $I = \frac{2BR}{\mu_0}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = I \times A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
वृत्ताकार लूप के लिए,$A = \pi R^2$ होता है।
$M$ के सूत्र में $I$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$M = \left( \frac{2BR}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$.

(C) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = I\vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
चित्र से,बाहरी लूप $(r_2 = 0.3\,m)$ में धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में है,इसलिए इसका चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_2 = I(\pi r_2^2)\hat{k}$ है।
आंतरिक लूप $(r_1 = 0.2\,m)$ में धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है,इसलिए इसका चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_1 = -I(\pi r_1^2)\hat{k}$ है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = \vec{M}_2 + \vec{M}_1 = I\pi(r_2^2 - r_1^2)\hat{k}$ होगा।
मान रखने पर: $I = 7\,A$,$r_2 = 0.3\,m$,$r_1 = 0.2\,m$.
$\vec{M} = 7 \times \pi \times (0.3^2 - 0.2^2)\hat{k}$
$\vec{M} = 7 \times \frac{22}{7} \times (0.09 - 0.04)\hat{k}$
$\vec{M} = 22 \times 0.05\hat{k} = 1.1\,\hat{k}\,A\cdot m^2$.

(B) यह लूप $r = a/2$ त्रिज्या के चार अर्ध-वृत्तों से बना है। लूप द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल $A$,चार अर्ध-वृत्तों और $a$ भुजा वाले केंद्रीय वर्ग के क्षेत्रफल का योग है।
$r = a/2$ त्रिज्या वाले चार अर्ध-वृत्तों का क्षेत्रफल $4 \times \frac{1}{2} \pi r^2 = 2 \pi (a/2)^2 = 2 \pi (a^2/4) = \frac{\pi a^2}{2}$ है।
केंद्रीय वर्ग का क्षेत्रफल $a^2$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{\pi a^2}{2} + a^2 = \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) a^2$ है।
चित्र में दिखाई गई धारा की दिशा (वामावर्त) के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M} = I \vec{A}$ धनात्मक $z$-दिशा में इंगित करता है।
अतः,$\vec{M} = \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) I a^2 \hat{k}$।

(A) चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ को धारा $I$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\mu = IA$।
$f$ आवृत्ति के साथ घूमने वाले आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $I = qf$ होती है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega$ है,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ होगी।
अतः,धारा $I = q \left( \frac{\omega}{2\pi} \right)$ है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$\mu = \left( \frac{q \omega}{2\pi} \right) (\pi r^2)$।
व्यंजक को सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\mu = \frac{1}{2} q \omega r^2$।

(C) मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव पर आवेश $dq = \rho(x) dx = \rho_0 \frac{x}{l} dx$ है।
जब छड़ $n$ आवृत्ति (घूर्णन प्रति सेकंड) के साथ घूमती है,तो कोणीय वेग $\omega = 2\pi n$ होता है। इस घूमते हुए आवेश अवयव द्वारा उत्पन्न धारा $di = \frac{dq}{T} = dq \cdot n = \rho_0 \frac{x}{l} dx \cdot n$ है।
$x$ त्रिज्या के इस वृत्ताकार धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $dM = di \cdot A = di \cdot (\pi x^2)$ है।
$di$ का मान रखने पर: $dM = (\rho_0 \frac{x}{l} dx \cdot n) \cdot \pi x^2 = \frac{\pi n \rho_0}{l} x^3 dx$.
$x = 0$ से $x = l$ तक समाकलन करने पर: $M = \int_0^l \frac{\pi n \rho_0}{l} x^3 dx = \frac{\pi n \rho_0}{l} [\frac{x^4}{4}]_0^l = \frac{\pi n \rho_0}{l} \cdot \frac{l^4}{4} = \frac{\pi}{4} n \rho_0 l^3$.

(C) $l$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,परिधि $P = 4l$ है और क्षेत्रफल $A_s = l^2$ है। चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m = I A_s = I l^2$ है।
जब इसे $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप में बदला जाता है,तो परिधि समान रहती है: $2\pi r = 4l$,जिससे $r = \frac{2l}{\pi}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{2l}{\pi}\right)^2 = \frac{4l^2}{\pi}$ है।
नया चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m'$ है: $m' = I A_c = I \left(\frac{4l^2}{\pi}\right)$।
चूंकि $m = I l^2$,हम इस मान को $m'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$m' = \frac{4}{\pi} (I l^2) = \frac{4m}{\pi}$।

(A) $N$ फेरों,$I$ धारा और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होता है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = NIA = NI(\pi R^2)$ होता है।
अनुपात $\alpha = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \times \frac{1}{NI\pi R^2} = \frac{\mu_0}{2\pi R^3}$ है।
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $\alpha \propto \frac{1}{R^3}$,और यह धारा $I$ पर निर्भर नहीं करता है।
यदि त्रिज्या $R$ को दोगुना कर दिया जाए $(R' = 2R)$,तो नया अनुपात $\alpha'$ होगा:
$\alpha' = \frac{\mu_0}{2\pi (2R)^3} = \frac{\mu_0}{2\pi (8R^3)} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0}{2\pi R^3} \right) = \frac{\alpha}{8}$.
अतः,नया अनुपात $\frac{\alpha}{8}$ होगा।

(D) माना कि रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{q}{l}$ है।
धुरी से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dx = \frac{q}{l} dx$ है।
जैसे ही छड़ $f$ आवृत्ति के साथ घूमती है,यह आवेश अवयव $x$ त्रिज्या के वृत्त में $T = \frac{1}{f}$ आवर्तकाल के साथ घूमता है।
इस घूमते हुए आवेश के कारण समतुल्य धारा $dI = \frac{dq}{T} = dq \cdot f = \frac{q}{l} f dx$ है।
इस धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $dm = dI \cdot A$ है,जहाँ $A = \pi x^2$ वृत्त का क्षेत्रफल है।
$dm = (\frac{q}{l} f dx) (\pi x^2) = \frac{\pi qf}{l} x^2 dx$.
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = l$ तक समाकलन करने पर:
$M = \int_0^l \frac{\pi qf}{l} x^2 dx = \frac{\pi qf}{l} [\frac{x^3}{3}]_0^l = \frac{\pi qf}{l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{1}{3} \pi qfl^2$.

(A) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,तार की कुल लंबाई $L = N(2 \pi R)$ होती है,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2 \pi N}$.
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi N^2}$ होता है।
इसे चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर: $M = N I \left( \frac{L^2}{4 \pi N^2} \right) = \frac{I L^2}{4 \pi N}$.
चूंकि $I$,$L$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M$,$N$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(M \propto \frac{1}{N})$।
$M$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $N$ को न्यूनतम करना होगा। अतः,$N = 1$ लेने पर अधिकतम चुंबकीय आघूर्ण प्राप्त होता है।
निश्चित परिधि के लिए,अन्य आकृतियों की तुलना में वृत्त सबसे अधिक क्षेत्रफल घेरता है,इसलिए कुंडली को वृत्ताकार होना चाहिए।

(D) दिया गया है:
तार की लंबाई $L = 2\,m$.
धारा $I = 1\,A$.
चूंकि तार को मोड़कर एक वृत्ताकार लूप बनाया गया है,इसलिए लूप की परिधि तार की लंबाई के बराबर होगी:
$2\pi r = L = 2\,m$
$r = 1/\pi \,m$.
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,धारा और लूप के क्षेत्रफल का गुणनफल होता है:
$M = I \times A = I \times (\pi r^2)$.
मान रखने पर:
$M = 1 \times \pi \times (1/\pi)^2 = \pi \times (1/\pi^2) = 1/\pi \,Am^2$.

(D) वर्ग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है यदि विपरीत खंडों में धाराएं केंद्र पर समान और विपरीत चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं।
स्थिति $P$ में,दोनों पथ सममित हैं और प्रत्येक में एक मोटा और एक पतला तार है। इस प्रकार,दोनों पथों का प्रतिरोध समान है,जिससे धाराएं समान होती हैं। इन धाराओं द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र केंद्र पर एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
स्थिति $Q$ में,पथ असममित हैं (एक पथ में दो मोटे तार हैं,दूसरे में दो पतले तार हैं)। प्रतिरोध असमान हैं,इसलिए धाराएं असमान हैं,और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
स्थिति $R$ में,दोनों पथ फिर से सममित हैं,प्रत्येक में एक मोटा और एक पतला तार है। अतः,धाराएं समान हैं और केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,$P$ और $R$ स्थितियों में केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।

(D) मान लीजिए कि तार की लंबाई $L$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $L = 2\pi r$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{L}{2\pi}$ है।
वृत्ताकार लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I(\pi r^2) = I \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{IL^2}{4\pi}$ है।
जब तार को $a$ भुजा वाले वर्ग में बदला जाता है,तो परिमाप $4a = L$ होता है,इसलिए $a = \frac{L}{4}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A' = a^2 = \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16}$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = I A' = I \frac{L^2}{16}$ है।
$M$ के व्यंजक से,हमारे पास $IL^2 = 4\pi M$ है।
इसे $M'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M' = \frac{4\pi M}{16} = \frac{\pi}{4} M$ प्राप्त होता है।

(A) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव पर आवेश $dq = \frac{q}{l} dx$ है।
घूर्णन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
इस घूमते हुए अवयव के कारण धारा $di = \frac{dq}{T} = \frac{(q/l) dx}{2\pi/\omega} = \frac{q\omega}{2\pi l} dx$ है।
इस छोटे धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $dM = (di) \cdot A = (di) \cdot (\pi x^2) = \left( \frac{q\omega}{2\pi l} dx \right) (\pi x^2) = \frac{q\omega}{2l} x^2 dx$ है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = l$ तक समाकलन करने पर:
$M = \int_{0}^{l} \frac{q\omega}{2l} x^2 dx = \frac{q\omega}{2l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{l} = \frac{q\omega}{2l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{q\omega l^2}{6}$.

(B) धारावाही कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = N \cdot I \cdot A$
जहाँ:
$N = 20$ (फेरों की संख्या)
$I = 3 \, A$ (धारा)
$A = \pi \cdot r^2$ (कुंडली का क्षेत्रफल)
दी गई त्रिज्या $r = 4 \, cm = 0.04 \, m$ है।
मान रखने पर:
$A = \pi \cdot (0.04)^2 = \pi \cdot 0.0016 \, m^2$
$M = 20 \times 3 \times \pi \times 0.0016$
$M = 60 \times 0.0050265$
$M \approx 0.3016 \, A \cdot m^2$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $0.3 \, A \cdot m^2$ है।