Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(C) $n$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2\pi nir^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$,फेरों की संख्या $n$ और त्रिज्या के वर्ग $r^2$ के समानुपाती है,तथा $(x^2 + r^2)^{3/2}$ पद के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,$B \propto \frac{nr^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$.

(A) वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र: $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 1 : 2$ और चुंबकीय फ्लक्स घनत्व का अनुपात $B_1 : B_2 = 1 : 3$ है।
दोनों लूप के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{i_1}{r_1} \times \frac{r_2}{i_2} = \frac{i_1}{i_2} \times \frac{r_2}{r_1}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{i_1}{i_2} \times \frac{2}{1}$.
अतः,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

(B) $i$ विद्युत धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$i = 2\,A$
$r = 5\,m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7}\,T\cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times i}{r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2}{5}$
$B = \frac{4 \times 10^{-7}}{5} = 0.8 \times 10^{-7}\,T = 8 \times 10^{-8}\,T$

(C) $i$ धारा और $r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{4r}$
दिए गए मान हैं:
$i = 10\, A$
$r = 5\, cm = 5 \times 10^{-2}\, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.14159}{5} \times 10^{-4} = 0.6283 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-5}\, T$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$।
दिए गए मान हैं: धारा $I = 2.0\,A$,त्रिज्या $r = 0.0157\,m$,और पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2.0}{2 \times 0.0157}$
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $0.0157 = \frac{3.14}{200} = \frac{\pi}{200}$ होता है।
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times (\pi / 200)}$
$B = 4 \times 10^{-7} \times 2 \times 100 = 8 \times 10^{-5}\,Wb/m^2$।

(D) $r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1$ त्रिज्या और $i_1$ धारा वाले छोटे लूप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ है।
$r_2$ त्रिज्या और $i_2$ धारा वाले बड़े लूप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}|$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$B = \frac{1}{2} B_1$ है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_0}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}| = \frac{1}{2} (\frac{\mu_0 i_1}{2r_1})$.
$|\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}| = \frac{i_1}{2r_1}$.
दिया गया है कि $r_2 = 2r_1$,इसलिए $\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{2r_1} = \frac{i_1}{2r_1}$ (यह मानते हुए कि $B_1 > B_2$ है)।
$\frac{i_1}{2r_1} = \frac{i_2}{2r_1}$,जिसका अर्थ है कि $i_1 = i_2$.
अतः,$i_2/i_1 = 1$.

(B) वर्गाकार लूप को $P$ और $S$ के बीच दो समानांतर पथों में विभाजित किया गया है: एक पथ सीधा $PS$ खंड है,और दूसरा पथ $P-Q-R-S$ है।
चूंकि तार समान है,धारा पथों के प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती विभाजित होती है।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक सीधे धारावाही तार द्वारा उसकी अक्ष पर स्थित किसी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
$PQ$,$QR$,और $RS$ खंडों के लिए,वर्ग के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र की गणना की जा सकती है।
धारा वितरण की समरूपता और खंडों में धाराओं की दिशाओं के कारण,$PQ$ खंड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $RS$ खंड द्वारा उत्पन्न क्षेत्र द्वारा रद्द हो जाता है।
$QR$ खंड भी एक क्षेत्र उत्पन्न करता है जो अन्य खंडों के संयुक्त प्रभाव से रद्द हो जाता है या विशिष्ट ज्यामिति के कारण केंद्र में शून्य होता है।
विशेष रूप से,एक धारावाही लूप के किसी भी खंड के कारण केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र जहां धारा सममित बिंदुओं पर प्रवेश करती है और बाहर निकलती है,वह शून्य होता है क्योंकि लूप के विभिन्न हिस्सों से योगदान एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
इसलिए,लूप के केंद्र में कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।

(B) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$।
इसका अर्थ है कि $B \propto \frac{1}{r}$।
यहाँ $r_1 = 5 \ cm$ पर $B_1 = B$ दिया गया है और हमें $r_2 = 20 \ cm$ पर $B_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{r_1}{r_2}$।
मान रखने पर: $\frac{B_2}{B} = \frac{5 \ cm}{20 \ cm} = \frac{1}{4}$।
अतः,$B_2 = \frac{B}{4}$।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $n = 25$।
व्यास $D = 10\, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 5\, cm = 5 \times 10^{-2}\, m$।
धारा $i = 4\, A$।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$।
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 25 \times 4}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{10 \times 10^{-2}}$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^3 = 4\pi \times 10^{-4}\, T$
$B \approx 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} = 12.566 \times 10^{-4} = 1.257 \times 10^{-3}\, T$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थित $l$ लंबाई के और $i$ धारा वहन करने वाले चालक पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = Bil \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाण लेने पर,$F = Bil$ प्राप्त होता है।
$B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$B = \frac{F}{il}$ प्राप्त होता है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[F] = MLT^{-2}$ है।
धारा $i$ का विमीय सूत्र $[i] = A$ है।
लंबाई $l$ का विमीय सूत्र $[l] = L$ है।
इन मानों को $B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[B] = \frac{[F]}{[i][l]} = \frac{MLT^{-2}}{A \cdot L} = MT^{-2}A^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $I$ धारा और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$।
पहली कुंडली के लिए जिसकी त्रिज्या $r_1 = r$ है,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
दूसरी कुंडली के लिए जिसकी त्रिज्या $r_2 = 2r$ है,चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I}{4r}$ है।
अब,अनुपात $\frac{B_1}{B_2}$ की गणना करते हुए:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2r}}{\frac{\mu_0 I}{4r}} = \frac{4r}{2r} = 2$.
अतः,अनुपात $2$ है।

(C) $i$ धारा ले जाने वाले एक अनंत लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
दिया गया है:
$i = 1 \, A$
$r = 1 \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1}{2\pi \times 1}$
$B = 2 \times 10^{-7} \, T$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि दोनों तारों में प्रवाहित धारा $I$ है और उनके बीच की दूरी $d$ है। मध्य बिंदु प्रत्येक तार से $r = d/2$ की दूरी पर है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,एक अनंत लंबे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर पहले तार के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र और दूसरे तार के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशाएं एक-दूसरे के विपरीत होंगी।
दोनों तारों के लिए धारा $I$ और दूरी $r$ समान होने के कारण,चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होंगे: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)}$.
चूंकि ये सदिश परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{Net} = B_1 - B_2 = 0$ होगा।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu_0 i}}{{2r}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\mu_0 = 4\pi \times {10^{ - 7}}\,T\cdot m/A$,$r = 5\,cm = 5 \times {10^{ - 2}}\,m$,और $B = B_H = 5 \times {10^{ - 5}}\,T$ दिया गया है।
कुंडली के चुंबकीय क्षेत्र को पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक के बराबर रखने पर:
$5 \times {10^{ - 5}} = \frac{{4\pi \times {{10}^{ - 7}} \times i}}{{2 \times 5 \times {{10}^{ - 2}}}}$
$5 \times {10^{ - 5}} = \frac{{2\pi \times {{10}^{ - 7}} \times i}}{{5 \times {{10}^{ - 2}}}}$
$i = \frac{{5 \times {{10}^{ - 5}} \times 5 \times {{10}^{ - 2}}}}{{2 \times 3.14 \times {{10}^{ - 7}}}}$
$i = \frac{{25 \times {{10}^{ - 7}}}}{{6.28 \times {{10}^{ - 7}}}} \approx 3.98\,A \approx 4\,A$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$
दिए गए मान:
$i = 0.1 \, A$
$N = 100$
$r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.1}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{10^{-1}}$
$B = 4\pi \times 10^{-5} \, T$

(A) $n$ आवृत्ति के साथ वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले आवेश $e$ द्वारा उत्पन्न धारा $i = q \times f = e \times n$ द्वारा दी जाती है।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
इस सूत्र में $i = en$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 (en)}{2r} = \frac{\mu_0 ne}{2r}$.

(B) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारावाही तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा दी जाती है।
सीधे खंडों और चौथाई वृत्ताकार चाप $AB$ के लिए,धारा एक ऐसे पथ में बहती है जो बिंदु $C$ के दृष्टिकोण से देखने पर,कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र बनाती है।
विशेष रूप से,दाएं हाथ की उंगलियों को धारा $i$ की दिशा में मोड़ने पर,अंगूठा बिंदु $C$ पर कागज के तल के अंदर की ओर इंगित करता है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के लंबवत और कागज के अंदर की ओर निर्देशित होता है।

(C) मान लीजिए कि दो तार $1$ और $2$ हैं,जिनमें समान दिशा में $i$ धारा प्रवाहित हो रही है। उनके बीच की दूरी $2r$ है। बिंदु $P$ उनके बीच का मध्य बिंदु है,इसलिए प्रत्येक तार से $P$ की दूरी $r$ है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,तार $1$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है,जो $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $2$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के बाहर की ओर निर्देशित है,जो $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि परिमाण समान हैं और दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए बिंदु $P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ होगा।

(D) चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ को संबंध $B = \mu H$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय फ्लक्स घनत्व है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
वैकल्पिक रूप से,एक सोलेनोइड के प्रेरकत्व (inductance) के समीकरण $L = \frac{\mu N^2 A}{l}$ से,हम लिख सकते हैं कि $\mu = \frac{L \cdot l}{N^2 A}$।
प्रेरकत्व $L$ की इकाई हेनरी $(H)$ है,लंबाई $l$ की इकाई मीटर $(m)$ है,और क्षेत्रफल $A$ की इकाई वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
इसलिए,$\mu$ की इकाई $\frac{H \cdot m}{m^2} = \text{हेनरी/मीटर}$ $(H/m)$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक लंबे सीधे तार में प्रवाहित धारा $i$ के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$.
दिया गया है: $i = \pi \, A$,$B = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$5 \times 10^{-5} = \frac{\mu_0 \times \pi}{2\pi r}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$5 \times 10^{-5} = \frac{\mu_0}{2r}$.
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{\mu_0}{2 \times 5 \times 10^{-5}} = \frac{\mu_0}{10 \times 10^{-5}} = \frac{\mu_0}{10^{-4}} = 10^4 \mu_0 \, m$.

(B) $n$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है। $n=1$ लूप के लिए,$L = 2\pi r_1$,इसलिए $r_1 = \frac{L}{2\pi}$। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2r_1} = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
$n=3$ लूप के लिए,नई त्रिज्या $r_2$ समीकरण $L = 3(2\pi r_2)$ को संतुष्ट करती है,इसलिए $r_2 = \frac{L}{6\pi} = \frac{r_1}{3}$।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (3) I}{2r_2} = \frac{3\mu_0 I}{2(r_1/3)} = 9 \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) = 9 B_1$ होगा।

(A) भुजा लंबाई वाले एक वर्गाकार फ्रेम $ABCD$ पर विचार करें। जब एक विकर्ण (मान लीजिए $A$ और $C$) पर बैटरी जोड़ी जाती है,तो $A$ पर प्रवेश करने वाली धारा $I$ दो समान भागों,$I/2$ में विभाजित हो जाती है,जो $ABC$ और $ADC$ पथों से होकर बहती है।
$ABC$ पथ के लिए,$I/2$ धारा $AB$ और $BC$ खंडों से होकर बहती है। बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,केंद्र $O$ पर $AB$ खंड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की दिशा में होता है। इसी तरह,$BC$ खंड के कारण क्षेत्र भी अंदर की दिशा में होता है।
$ADC$ पथ के लिए,$I/2$ धारा $AD$ और $DC$ खंडों से होकर बहती है। केंद्र $O$ पर $AD$ खंड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के बाहर की दिशा में होता है। इसी तरह,$DC$ खंड के कारण क्षेत्र भी बाहर की दिशा में होता है।
चूंकि खंड सममित हैं और धाराएं समान हैं,इसलिए $AB$ और $BC$ (अंदर की ओर) के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र,$AD$ और $DC$ (बाहर की ओर) के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र द्वारा पूरी तरह से निरस्त हो जाता है।
अतः,वर्ग के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $0$ है।

(D) $I$ धारा वाली $a$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_c = \frac{\mu_0 I}{2a}$ होता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
यहाँ $x = a$ दिया गया है,इसलिए $a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I a^2}{2(2a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I a^2}{2(2\sqrt{2} a^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} a}$ होगा।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र और $a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 I / 2a}{\mu_0 I / 4\sqrt{2} a} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{loop}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2r}}$ है,जो दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए बाहर की ओर निर्देशित है।
$r$ दूरी पर स्थित लंबे सीधे तार के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{wire}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi r}}$ है,जो भी बाहर की ओर निर्देशित है।
चूंकि दोनों चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}}$ दोनों का योग होगा:
$B_{\text{net}} = B_{\text{loop}} + B_{\text{wire}}$
$B_{\text{net}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2r}} + \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi r}}$
$B_{\text{net}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi r}}(\pi + 1)$

(C) एक छोटे धारा अवयव $I d\vec{l}$ के कारण $\vec{r}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ बायो-सावर्ट के नियम द्वारा दिया जाता है।
इसका गणितीय व्यंजक $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $i$ धारा ले जाने वाले $r$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4r}$ है।
दिया गया है: $i = 10\,A$,$r = 20\,cm = 0.2\,m$.
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \times 0.2}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-6}}{0.2}$
$B = 5\pi \times 10^{-6}\,T = 5\pi \mu T$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $L$ लंबाई के समान तार का उपयोग किया जाता है,तो $n=1$ के लिए,$L = 2\pi r_1$,इसलिए $r_1 = \frac{L}{2\pi}$। अतः,$B = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$।
$n=2$ के लिए,नई त्रिज्या $r_2$ का मान $L = 2(2\pi r_2)$ से प्राप्त होता है,इसलिए $r_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{r_1}{2}$।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B'$ होगा: $B' = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_2} = \frac{\mu_0 I}{r_2} = \frac{\mu_0 I}{r_1/2} = 2 \left( \frac{\mu_0 I}{r_1} \right) = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) = 4B$।
अतः,नया चुंबकीय क्षेत्र $4B$ है।

(C) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 4 \times 10^{-4}\,T$ है,जो धारा के समानांतर है।
लंबे सीधे तार द्वारा $r = 2.0\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$ की दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{I}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$B_2 = 2 \times 10^{-7} \times \frac{30}{2 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-4}\,T$।
चूंकि क्षेत्र $B_1$ धारा के समानांतर है और क्षेत्र $B_2$ (तार के कारण) धारा के लंबवत है (दाएं हाथ के नियम के अनुसार),इसलिए दोनों क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय प्रेरण $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(4 \times 10^{-4})^2 + (3 \times 10^{-4})^2} = \sqrt{16 \times 10^{-8} + 9 \times 10^{-8}} = \sqrt{25 \times 10^{-8}} = 5 \times 10^{-4}\,T$ है।

(B) $i$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$।
दिया गया है:
$B = 0.5 \times 10^{-5} \, T$ (चूंकि $1 \, Wb/m^2 = 1 \, T$)
$r = 5.0 \, cm = 5.0 \times 10^{-2} \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.5 \times 10^{-5} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times i}{2 \times 5.0 \times 10^{-2}}$
$0.5 \times 10^{-5} = \frac{2\pi \times 10^{-7} \times i}{5.0 \times 10^{-2}}$
$i = \frac{0.5 \times 10^{-5} \times 5.0 \times 10^{-2}}{2 \times 3.14 \times 10^{-7}}$
$i = \frac{2.5 \times 10^{-7}}{6.28 \times 10^{-7}}$
$i \approx 0.398 \, A \approx 0.4 \, A$।

(A) $R$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा प्रवाहित करने वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ बायो-सावर्ट नियम के अनुप्रयोग द्वारा प्राप्त किया जाता है।
एक फेरे के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
$N$ फेरों वाली कुंडली के लिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक फेरे द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
अतः,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होगी।

(A) $i$ धारा वाली और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ समान हैं और उनमें समान धारा प्रवाहित हो रही है,इसलिए प्रत्येक कुंडली द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होगा,मान लीजिए वह $B$ है।
$B_1 = B_2 = B = \frac{\mu_0 i}{2r}$.
चूंकि कुंडलियाँ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$,$B_1$ और $B_2$ के सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = B\sqrt{2}$.
हमें एक कुंडली के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $(B_{net})$ का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= \frac{B}{B_{net}} = \frac{B}{B\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(C) तार तीन भागों से बना है: एक सीधा ऊर्ध्वाधर तार (भाग $1$),एक अर्धवृत्ताकार चाप (भाग $2$),और एक सीधा क्षैतिज तार (भाग $3$)।
$1$. सीधे तारों (भाग $1$ और भाग $3$) के लिए,बिंदु $O$ तारों की अक्ष पर स्थित है। इसलिए,इन भागों के कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है ($B_1 = 0$ और $B_3 = 0$)।
$2$. $r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप (भाग $2$) के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) = \frac{\mu_0 I}{4r}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. हालाँकि,दिए गए विकल्प सीधे खंडों के योगदान का सुझाव देते हैं। ज्यामिति का पुनर्मूल्यांकन करने पर,यदि सीधे खंडों को केंद्र से शुरू होने वाले अर्ध-अनंत तारों के रूप में माना जाता है,तो अर्ध-अनंत तार के कारण क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ होता है।
$4$. इस प्रकार,$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र अर्धवृत्ताकार चाप और एक सीधे खंड के कारण क्षेत्र का योग है: $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{4r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।

(A) दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को विद्युत धारा की दिशा (पूर्व से पश्चिम) में रखते हैं,तो आपकी उंगलियां चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा में मुड़ेंगी।
चालक के ऊपर किसी बिंदु पर,उंगलियां उत्तर दिशा की ओर इशारा करती हैं।
इसलिए,चालक के ऊपर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उत्तर की ओर है।

(A) वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{(r^2 + x^2)^{3/2}}{r^3} = \left( 1 + \frac{x^2}{r^2} \right)^{3/2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 3 \ cm$,$x = 4 \ cm$ और $B_{axis} = 54 \ \mu T$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{B_{center}}{54} = \left( 1 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 \right)^{3/2} = \left( 1 + \frac{16}{9} \right)^{3/2} = \left( \frac{25}{9} \right)^{3/2} = \frac{125}{27}$।
अतः,$B_{center} = 54 \times \frac{125}{27} = 2 \times 125 = 250 \ \mu T$।

(B) $r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय प्रेरण $B$ कुंडली की त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$B \propto \frac{1}{r}$।

(D) दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को विद्युत धारा की दिशा (दक्षिण) में रखें,तो आपकी उंगलियां चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा में मुड़ेंगी।
दक्षिण की ओर बहने वाली धारा के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं।
तार के ऊपर,चुंबकीय क्षेत्र की दिशा पश्चिम की ओर होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $r$ त्रिज्या है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $B \propto n \times i$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = k(n_1 i_1)$ है,जहाँ $k = \frac{\mu_0}{2r}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई धारा $i_2 = 2i_1$ है और फेरों की नई संख्या $n_2 = \frac{n_1}{2}$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ इस प्रकार होगा: $B_2 = k(n_2 i_2) = k \left( \frac{n_1}{2} \times 2i_1 \right) = k(n_1 i_1) = B_1$।
अतः,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समान रहेगा।

(A) घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण वृत्ताकार कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2\pi i}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{e}{2\pi/\omega} = \frac{e\omega}{2\pi}$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2\pi (e\omega / 2\pi)}{r} = 10^{-7} \cdot \frac{e\omega}{r}$.
दिया गया है $B = 16 \, Wb/m^2$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$, और $r = 1 \, Å = 10^{-10} \, m$:
$16 = 10^{-7} \cdot \frac{1.6 \times 10^{-19} \cdot \omega}{10^{-10}}$.
$16 = 10^{-7} \cdot 1.6 \times 10^{-9} \cdot \omega$.
$16 = 1.6 \times 10^{-16} \cdot \omega$.
$\omega = \frac{16}{1.6 \times 10^{-16}} = 10 \times 10^{16} = 10^{17} \, rad/s$.

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$
दिया गया है:
$i = 20 \, A$
$r = 20 \, cm = 0.2 \, m = 20 \times 10^{-2} \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 20}{20 \times 10^{-2}}$
$B = 10^{-7} \times \frac{40}{0.2} = 10^{-7} \times 200$
$B = 2 \times 10^{-5} \times 2 = 4 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2I}{r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ के सीधे समानुपाती होता है $(B \propto I)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r}$ का मान रखने पर,$B_{net} = \frac{\mu_0}{2r} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 2\pi \, cm = 2\pi \times 10^{-2} \, m$,$i_1 = 3 \, A$,$i_2 = 4 \, A$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Wb/A \cdot m$ दिया गया है।
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} \sqrt{3^2 + 4^2}$.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4\pi \times 10^{-2}} \sqrt{9 + 16} = 10^{-5} \times \sqrt{25} = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक तार से मध्य बिंदु की दूरी $r$ है। एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$I$ धारा वाले तार के कारण मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है,और $2I$ धारा वाले तार के कारण क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर है।
मध्य बिंदु पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों क्षेत्रों के परिमाणों का अंतर है:
$B = \left| \frac{\mu_0 (2I)}{2\pi r} - \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right| = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.
जब $2I$ धारा वाला तार बंद कर दिया जाता है,तो मध्य बिंदु पर शेष चुंबकीय क्षेत्र केवल $I$ धारा वाले तार के कारण होता है:
$B' = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $B' = B$.

(D) एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$P$ से $2.5 \text{ m}$ की दूरी पर $5 \text{ A}$ धारा वाले तार के लिए चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 5}{2 \pi \times 2.5} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} \otimes$ (कागज के तल के अंदर की ओर)।
$2.5 \text{ A}$ धारा वाले तार के लिए,$P$ से दूरी $5 \text{ m} - 2.5 \text{ m} = 2.5 \text{ m}$ है। चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 2.5}{2 \pi \times 2.5} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \odot$ (कागज के तल के बाहर की ओर)।
$P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} - \frac{\mu_0}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \otimes$।

(C) धारावाही चालक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं (चुंबकीय बल रेखाओं) की दिशा दाएं हाथ की हथेली के नियम या दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। दाएं हाथ की हथेली के नियम के अनुसार,यदि आप चालक को अपने दाएं हाथ में इस प्रकार पकड़ें कि आपका अंगूठा धारा की दिशा में हो,तो आपकी मुड़ी हुई उंगलियां चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा को दर्शाती हैं।

(B) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर एक छोटे धारा अवयव $Idl$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का सूत्र है:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$
यहाँ,$\theta$ धारा अवयव $dl$ और बिंदु की ओर जाने वाले स्थिति सदिश $r$ के बीच का कोण है।
चुंबकीय क्षेत्र $dB$ को अधिकतम होने के लिए,पद $\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^\circ$ पर प्राप्त होता है।
अतः,अवयव और बिंदु को जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण $90^\circ$ होना चाहिए।

(C) एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा $a$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $i = 5 \, A$,$a = 0.1 \, m$,और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 5}{0.1} = 10^{-5} \, T$.
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qvB \sin \theta$ है। चूंकि इलेक्ट्रॉन तार के समानांतर गति करता है,इसलिए वेग सदिश चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के लंबवत होता है,अतः $\theta = 90^\circ$ और $\sin 90^\circ = 1$.
$F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (5 \times 10^6 \, m/s) \times (10^{-5} \, T) = 8 \times 10^{-18} \, N$.

(C) सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
$(a)$ घनत्व एक अदिश राशि है क्योंकि इसमें केवल परिमाण होता है।
$(b)$ चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B)$ एक अदिश राशि है, जिसे चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$(c)$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(\vec{B})$ एक सदिश राशि है क्योंकि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर इसका परिमाण और एक विशिष्ट दिशा दोनों होते हैं।
$(d)$ चुंबकीय विभव एक अदिश राशि है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}}{R^3} = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
दिया गया है कि $B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$,इसलिए $\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = 8$.
अतः,$8 = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$2 = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{1/2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = 1 + \frac{x^2}{R^2}$.
इससे $\frac{x^2}{R^2} = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $x^2 = 3R^2$,जिसका अर्थ है $x = R\sqrt{3}$.

(A) कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 ni}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $h$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 ni r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
हम $B_2$ को $B_2 = \frac{\mu_0 ni r^2}{2r^3(1 + h^2/r^2)^{3/2}} = B_1(1 + h^2/r^2)^{-3/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = h^2/r^2$ और $n = -3/2$ है,हमें $B_2 \approx B_1(1 - \frac{3}{2}\frac{h^2}{r^2})$ प्राप्त होता है।
अतः,भिन्नात्मक कमी $\frac{B_1 - B_2}{B_1} = 1 - \frac{B_2}{B_1} = 1 - (1 - \frac{3}{2}\frac{h^2}{r^2}) = \frac{3}{2}\frac{h^2}{r^2}$ है।