Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(B) $SI$ प्रणाली में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता या चुंबकीय प्रेरण $(B)$ की इकाई टेस्ला $(T)$ है। एक टेस्ला को प्रति वर्ग मीटर एक वेबर $(1 \ T = 1 \ Wb/m^2)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए,टेस्ला चुंबकीय प्रेरण को मापने की इकाई है।

(C) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin(\theta)}{r^2}$
पारगम्यता $\mu_0$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\mu_0 = \frac{B \cdot r^2}{I \cdot dl \cdot \sin(\theta)}$
$SI$ मात्रक रखने पर:
$B$ का मात्रक $Wb/m^2$ है,
$r$ का मात्रक $m$ है,
$I$ का मात्रक $A$ है,
$dl$ का मात्रक $m$ है।
अतः,$\mu_0$ का मात्रक होगा:
$\text{मात्रक} = \frac{(Wb/m^2) \cdot m^2}{A \cdot m} = \frac{Wb}{A \cdot m} = Wb\;m^{-1}\;A^{-1}$

(C) $N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार की लंबाई $L$ स्थिर है,इसलिए $L = 2\pi r_1 N_1 = 2\pi r_2 N_2$ होगा।
पहले मामले में,$N_1 = 1$,इसलिए $L = 2\pi r_1$,जिसका अर्थ है $r_1 = \frac{L}{2\pi}$।
दूसरे मामले में,$N_2 = 2$,इसलिए $L = 2\pi r_2 \times 2$,जिसका अर्थ है $r_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{r_1}{2}$।
पहले मामले में चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2r_1}$ है।
दूसरे मामले में चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_2} = \frac{\mu_0 (2) I}{2(r_1/2)} = \frac{4 \mu_0 I}{2r_1} = 4 B_1$ है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र अपने पहले मान का चार गुना हो जाता है।

(B) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक लंबे सीधे धारावाही चालक द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बिंदु $P$ और $Q$ दोनों चालक से समान दूरी $r$ पर स्थित हैं,इसलिए दोनों बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होगा।
अतः,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $Q$ पर चुंबकीय क्षेत्र के समान है।

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $idl$ के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का परिमाण: $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{idl \sin \theta}{r^2}$ होता है।
सदिश रूप में,इसे $d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \widehat{r})}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूंकि इकाई सदिश $\widehat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ है,इसलिए इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^2 \cdot r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^3}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) $n$ आवृत्ति के साथ वृत्त में घूम रहे $q$ आवेश द्वारा उत्पन्न धारा $i = q \times n$ होती है।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ है।
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}$ रखने पर, हमें $\frac{\mu_0}{2} = 2\pi \times 10^{-7}$ प्राप्त होता है।
अतः, $B = (2\pi \times 10^{-7}) \times \frac{i}{r}$।
$i = nq$ प्रतिस्थापित करने पर, $B = \frac{2\pi nq}{r} \times 10^{-7} \text{ N/A} \cdot \text{m}$ प्राप्त होता है।

(B) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो भागों के कारण है: सीधा तार और वृत्ताकार लूप।
$1$. $r$ त्रिज्या वाले और $i$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\pi i}{r}$ है,जो कागज के तल के अंदर की ओर है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)।
$2$. $r$ दूरी पर स्थित सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{wire} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}$ है,जो कागज के तल के बाहर की ओर है।
$3$. चूंकि क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{loop} - B_{wire} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\pi i}{r} - \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}(\pi - 1)$ होगा।

(D) $i$ धारा ले जाने वाले और केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण बनाने वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi R}$
यहाँ,चाप द्वारा बनाया गया कोण $\theta = 3\pi / 2$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 i (3\pi / 2)}{4\pi R}$
$B = \frac{3\mu_0 i \pi}{8\pi R}$
$B = \frac{3\mu_0 i}{8R}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $i d\vec{l}$ के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
धारावाही तार की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,धारा अवयव $d\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ संरेखीय होते हैं (अर्थात उनके बीच का कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ होता है)।
चूंकि दो संरेखीय सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य होता है,इसलिए तार की अक्ष पर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
इस प्रश्न में,बिंदु $x = a$,$X$-अक्ष पर स्थित है,जो वही अक्ष है जिस पर तार $PQ$ रखा गया है।
इसलिए,$x = a$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।

(B) हीलियम नाभिक का आवेश $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$ है।
घूर्णन का आवर्तकाल $T = 2 \ s$ है।
तुल्य धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{2} = 1.6 \times 10^{-19} \ A$ है।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
मान रखने पर,$B = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 10^{-19} \mu_0 \ T$ प्राप्त होता है।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$.
चूंकि धारा $i$ स्थिर है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$.
अतः,हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$.
दिया गया है: $B_1 = 10^{-8} \, T$,$r_1 = 4 \, cm$,और $r_2 = 12 \, cm$.
मान रखने पर: $\frac{10^{-8}}{B_2} = \frac{12}{4}$.
$\frac{10^{-8}}{B_2} = 3$.
$B_2 = \frac{10^{-8}}{3} = 3.33 \times 10^{-9} \, T$.

(C) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र तार से दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$।
माना $r_1 = r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = B$ है।
माना $r_2 = \frac{r}{2}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है।
समानुपातिकता $B_1 r_1 = B_2 r_2$ का उपयोग करने पर:
$B \cdot r = B_2 \cdot \frac{r}{2}$।
$B_2$ के लिए हल करने पर,हमें $B_2 = 2B$ प्राप्त होता है।

(C) $r$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा प्रवाहित करने वाली एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $B \propto I$ (धारा के सीधे आनुपातिक) और $B \propto \frac{1}{r}$ (त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती) है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र कुंडली से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ के सीधे आनुपातिक है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{{\mu _0}Ni}{2r}$
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 100$
धारा $i = 0.1\, A$
त्रिज्या $r = 5\, cm = 5 \times 10^{-2\, m}$
पारगम्यता $\mu _0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.1}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{10^{-1}}$
$B = 4\pi \times 10^{-5}\, T$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप जिसमें $i$ धारा बह रही है,के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0}i}{{4R}}$ होता है।
दिए गए चित्र में,धारा $R_1$ और $R_2$ त्रिज्या के दो अर्धवृत्ताकार चापों और दो सीधे त्रिज्यीय खंडों से होकर बहती है।
सीधे त्रिज्यीय खंडों के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि इन खंडों के लिए बिंदु $O$ का स्थिति सदिश धारा अवयव $idl$ के समानांतर है।
$R_1$ त्रिज्या के आंतरिक अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ कागज के तल के अंदर की ओर $(\otimes)$ निर्देशित है और इसका परिमाण $B_1 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}}$ है।
$R_2$ त्रिज्या के बाहरी अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ कागज के तल के बाहर की ओर $(\odot)$ निर्देशित है और इसका परिमाण $B_2 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}}$ है।
चूंकि $R_1$ < $R_2$,इसलिए परिमाण $B_1$ > $B_2$ होगा।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2$ होगा जो कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होगा।
$B_{net} = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}} - \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}} = \frac{{\mu _0}i}{4}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)$.

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $idl$ के कारण किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(dl \times r)}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
सीधे धारावाही तार की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,धारा अवयव $dl$ और स्थिति सदिश $r$ के बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ होता है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ और $\sin(180^\circ) = 0$ होता है,इसलिए ऐसे किसी भी अवयव द्वारा चुंबकीय क्षेत्र का योगदान शून्य होता है।
दिए गए चित्र में,बिंदु $O$ खंड $AB$ को आगे बढ़ाने पर प्राप्त सीधी रेखा पर स्थित है। अतः,भाग $AB$ में धारा के कारण $O$ पर चुंबकीय प्रेरण शून्य है।

(C) चालक तीन भागों से बना है: दो सीधे खंड $AB$ और $CD$,और $r$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्ताकार चाप $BC$।
सीधे खंडों $AB$ और $CD$ के लिए,बिंदु $O$ धारावाही तार की अक्ष पर स्थित है। बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i dl \sin \theta}{r^2}$ होता है। इन खंडों के लिए,धारा अवयव $dl$ और स्थिति सदिश के बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ है,इसलिए $\sin \theta = 0$ होता है। अतः,$AB$ और $CD$ के कारण चुंबकीय प्रेरण शून्य है।
अर्धवृत्ताकार चाप $BC$ के लिए,केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) = \frac{\mu_0 i}{4r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$O$ पर कुल चुंबकीय प्रेरण $\frac{\mu_0 i}{4r}$ है।

(C) $i$ धारा ले जाने वाले $r$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0 i}}{{4r}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,$r_1$ और $r_2$ त्रिज्या के दो अर्धवृत्ताकार चाप हैं। दोनों चापों में धारा इस प्रकार प्रवाहित होती है कि दोनों द्वारा केंद्र $O$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके)।
इसलिए,केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय प्रेरण $B$ दोनों चापों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का योग है:
$B = B_1 + B_2$
$B = \frac{{\mu _0 i}}{{4r_1}} + \frac{{\mu _0 i}}{{4r_2}}$
$B = \frac{{\mu _0 i}}{4} \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$
$B = \frac{{\mu _0 i}}{4} \left( \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} \right)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि दो तार क्षैतिज तल में एक-दूसरे के समानांतर $d$ दूरी पर रखे गए हैं। दोनों तारों में एक ही दिशा में $I$ धारा प्रवाहित हो रही है।
तारों के बीच ठीक मध्य में स्थित किसी भी बिंदु $P$ पर, पहले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और दूसरे तार के कारण $B_2$ को दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
चूंकि तार समानांतर हैं और एक ही दिशा में समान धारा $I$ ले जा रहे हैं, मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ लंबवत ऊपर की ओर (या धारा की दिशा के आधार पर नीचे की ओर) और $B_2$ विपरीत दिशा में होता है।
विशेष रूप से, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)}$।
चूंकि उनके परिमाण समान हैं और दिशाएं विपरीत हैं, इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ होता है।
इस बिंदु पर, चूंकि शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र शून्य है, चुंबकीय सुई पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करेगा और इसका अभिविन्यास धारा $I$ के परिमाण से स्वतंत्र होगा।

(D) $R$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
चूंकि स्थिति $r \gg R$ दी गई है,हम हर (denominator) में $R^2$ की उपेक्षा कर सकते हैं:
$B \approx \frac{\mu_0 i R^2}{2(r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2r^3}$
यहाँ $\mu_0$,$i$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B \propto \frac{1}{r^3}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, धारा $I = q \times \nu$, जहाँ $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $\nu = 6.6 \times 10^{15} \, Hz$ घूर्णन की आवृत्ति है।
त्रिज्या $r = 0.53 \, \text{\AA} = 0.53 \times 10^{-10} \, m$ है।
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (1.6 \times 10^{-19} \times 6.6 \times 10^{15})}{2 \times 0.53 \times 10^{-10}}$
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 1.6 \times 6.6 \times 10^{-4}}{0.53 \times 10^{-10}}$
$B \approx 12.5 \, Wb/m^2$.

(A) बायो-सावर्ट नियम या एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,एक अनंत लंबाई के सीधे धारावाही तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
इसे $\frac{\mu_0}{4\pi}$ स्थिरांक के रूप में व्यक्त करने के लिए,अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$B = \frac{\mu_0 i \times 2}{2\pi r \times 2} = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2i}{r}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) सही उत्तर $B$ है। धारा के चुंबकीय प्रभाव की खोज डेनिश भौतिक विज्ञानी हंस क्रिश्चियन ओर्स्टेड द्वारा $1820$ में की गई थी।
उन्होंने देखा कि धारावाही तार के पास रखी चुंबकीय दिक्सूचक की सुई विक्षेपित हो जाती है।
यह अवलोकन सिद्ध करता है कि विद्युत धारा अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
यह घटना विद्युत चुंबकत्व के लिए मौलिक है और इसे ओर्स्टेड के प्रयोग के रूप में जाना जाता है।

(D) $N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $N = 10$,$r_1 = 0.2 \ m$,$i_1 = 0.2 \ A$,$r_2 = 0.4 \ m$,$i_2 = 0.3 \ A$.
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों क्षेत्रों के अंतर के बराबर होगा:
$B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{\mu_0 N i_1}{2r_1} - \frac{\mu_0 N i_2}{2r_2}|$
$B_{net} = \frac{\mu_0 \times 10}{2} |\frac{0.2}{0.2} - \frac{0.3}{0.4}|$
$B_{net} = 5 \mu_0 |1 - 0.75|$
$B_{net} = 5 \mu_0 \times 0.25 = 1.25 \mu_0 = \frac{5}{4} \mu_0 \ Wb/m^2$.

(A) $r$ त्रिज्या वाले और $i$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्ताकार चालक के दोनों भाग सेल से समानांतर जुड़े हुए हैं,इसलिए उनके बीच विभवांतर $V$ समान है।
मान लीजिए कि $l_1$ और $l_2$ लंबाई वाले दो भागों के प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। तो $V = i_1 R_1 = i_2 R_2$ होगा।
चूंकि $R = \rho \frac{l}{A}$ है,इसलिए $i_1 \rho \frac{l_1}{A} = i_2 \rho \frac{l_2}{A}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $i_1 l_1 = i_2 l_2$।
पहले भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1 \theta_1}{4\pi r}$ है और दूसरे भाग के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 \theta_2}{4\pi r}$ है।
चूंकि $l_1 = r \theta_1$ और $l_2 = r \theta_2$ है,इसलिए $i_1 r \theta_1 = i_2 r \theta_2$ मिलता है,अतः $i_1 \theta_1 = i_2 \theta_2$।
इस प्रकार,$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi r} (i_1 \theta_1)$ और $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi r} (i_2 \theta_2)$।
चूंकि $i_1 \theta_1 = i_2 \theta_2$ है,इसलिए परिमाण समान हैं $(B_1 = B_2)$।
चूंकि धाराएँ केंद्र के चारों ओर विपरीत दिशाओं में बहती हैं,इसलिए दोनों भागों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
इसलिए,केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।

(D) मान लीजिए कि दो चापों की लंबाई $l_1 = r\theta$ और $l_2 = r(2\pi - \theta)$ है।
चूंकि वलय एकसमान है,इसलिए प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{l_1}{A}$ और $R_2 = \rho \frac{l_2}{A}$ होंगे।
जब इसे बैटरी से जोड़ा जाता है,तो दोनों चापों के बीच विभवांतर $V$ समान रहता है। अतः,$i_1 R_1 = i_2 R_2$,जिसका अर्थ है $i_1 l_1 = i_2 l_2$।
$i$ धारा ले जाने वाले $l$ लंबाई के चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r^2} l$ होता है।
दोनों चापों के लिए,$B_1 = \frac{\mu_0 i_1 l_1}{4\pi r^2}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 l_2}{4\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $i_1 l_1 = i_2 l_2$ है,इसलिए $B_1 = B_2$ होगा।
धाराएं केंद्र के चारों ओर विपरीत दिशाओं में बहती हैं,इसलिए दोनों चापों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
अतः,केंद्र पर परिणामी चुंबकीय प्रेरण $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है,जो $\theta$ से स्वतंत्र है।

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारावाही तार द्वारा किसी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात किया जाता है।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $Id\vec{l}$ के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
सीधे तार की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,धारा अवयव $Id\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ संरेखीय होते हैं (अर्थात,उनके बीच का कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ होता है)।
चूंकि संरेखीय सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य होता है $(d\vec{l} \times \vec{r} = 0)$,इसलिए तार की अक्ष पर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।

(B) $1$. $L = \pi^2 \, m$ लंबाई के सीधे तार के लिए जिसमें $i = 2 \, A$ धारा प्रवाहित हो रही है,$d = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ बायो-सावर्ट नियम के अनुसार: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi d} = \frac{\mu_0 \times 2}{2\pi \times 10^{-2}} = \frac{\mu_0}{\pi \times 10^{-2}}$.
$2$. जब तार को $R$ त्रिज्या के वृत्त में मोड़ा जाता है,तो उसकी परिधि $2\pi R = L = \pi^2$ होती है। अतः,$R = \frac{\pi^2}{2\pi} = \frac{\pi}{2} \, m$.
$3$. इस वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2R} = \frac{\mu_0 \times 2}{2 \times (\pi/2)} = \frac{\mu_0}{\pi/2} = \frac{2\mu_0}{\pi}$.
$4$. केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र और पहले मामले के चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{B_2}{B_1} = \frac{2\mu_0 / \pi}{\mu_0 / (\pi \times 10^{-2})} = 2 \times 10^{-2} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$.
$5$. अतः,अनुपात $1:50$ है।

(C) दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,जब किसी सीधे चालक से धारा $i$ प्रवाहित होती है,तो उसके चारों ओर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं। ये वृत्त उस तल में स्थित होते हैं जो चालक की अक्ष के लंबवत होता है। इन चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा धारा की दिशा द्वारा निर्धारित होती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(A) एक अनंत लंबे सीधे धारावाही चालक से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$
दिया गया है:
$B = 10^{-5}\,Wb/m^2$
$r = 10\,cm = 0.1\,m = 10^{-1}\,m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\,T\cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{2i}{10^{-1}}$
$10^{-5} = 10^{-7} \times 2i \times 10^1$
$10^{-5} = 2i \times 10^{-6}$
$2i = \frac{10^{-5}}{10^{-6}}$
$2i = 10$
$i = 5\,A$
अतः,चालक में प्रवाहित धारा $5\,A$ है।

(C) $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$.
दी गई मान हैं: धारा $I = 10 \ A$,त्रिज्या $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 3.14 \times 10^{-3} \ Wb/m^2$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
सूत्र में मान रखने पर:
$3.14 \times 10^{-3} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times N \times 10}{2 \times 0.1}$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times N \times 10}{0.2}$.
$3.14 \times 10^{-3} = 20 \times 3.14 \times 10^{-6} \times N$.
$10^{-3} = 20 \times 10^{-6} \times N$.
$N = \frac{10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1000}{20} = 50$.
अतः,कुंडली में फेरों की संख्या $50$ है।

(D) तार में $Q$ से $P$ तक प्रवाहित होने वाली धारा के कारण मूल बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा ज्ञात करने के लिए,हम दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हैं।
$1$. अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को धारा की दिशा में,यानी धनात्मक $Z$-अक्ष की दिशा में ($Q$ से $P$ तक) रखें।
$2$. अपनी उंगलियों को तार के चारों ओर मोड़ें। मूल बिंदु $O$ पर,जो तार के बाईं ओर स्थित है (तार के सापेक्ष ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में),उंगलियां कागज के तल के अंदर की ओर इंगित करेंगी।
$3$. दी गई निर्देशांक प्रणाली में,$Y$-अक्ष तल के बाहर की ओर और $Y'$-अक्ष तल के अंदर की ओर है।
$4$. इसलिए,मूल बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र ऋणात्मक $Y$-अक्ष की दिशा में,यानी $OY'$ की ओर होगा।

(B) $n$ फेरों वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{n \mu_0 I}{2R}$ है।
प्रथम स्थिति में,$n_1 = 1$ है। लूप की परिधि $L = 2 \pi R_1$ है,इसलिए $R_1 = \frac{L}{2 \pi}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{1 \cdot \mu_0 I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
दूसरी स्थिति में,तार को $n_2 = 4$ फेरों में मोड़ा जाता है। तार की कुल लंबाई $L = n_2 (2 \pi R_2)$ है,इसलिए $R_2 = \frac{L}{2 \pi n_2} = \frac{L}{8 \pi}$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{n_2 \mu_0 I}{2 R_2} = \frac{4 \mu_0 I}{2 (L / 8 \pi)} = \frac{4 \mu_0 I \cdot 8 \pi}{2 L} = 16 \left( \frac{\mu_0 I \pi}{L} \right) = 16 B$ होगा।

(D) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$।
दिए गए मान हैं: $B = 12.56 \, T$,$r = 5.2 \times 10^{-11} \, m$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$12.56 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times i}{2 \times 5.2 \times 10^{-11}}$
$12.56 = \frac{2\pi \times 10^{-7} \times i}{5.2 \times 10^{-11}}$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$2\pi \approx 6.28$ होता है।
$12.56 = \frac{6.28 \times 10^{-7} \times i}{5.2 \times 10^{-11}}$
$i = \frac{12.56 \times 5.2 \times 10^{-11}}{6.28 \times 10^{-7}}$
$i = 2 \times 5.2 \times 10^{-4} \, A$
$i = 10.4 \times 10^{-4} \, A = 1.04 \times 10^{-3} \, A$।

(B) $R$ त्रिज्या और $i$ धारा वाले एक वृत्ताकार चाप द्वारा केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण बनाने पर केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi R}$
दिया गया है कि कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{\pi}{2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{8R}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $B \propto \frac{1}{r}$।
अतः,हम अनुपात को $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ $B_1 = 0.04\, T$,$r_1 = 10\, cm$,और $r_2 = 40\, cm$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{0.04}{B_2} = \frac{40}{10}$।
$\frac{0.04}{B_2} = 4$।
$B_2 = \frac{0.04}{4} = 0.01\, T$।

(A) माना कि दो चापों की लंबाई $l_1$ (चाप $ABC$) और $l_2$ (चाप $ADC$) है। इन चापों का प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_{cross}}$ और $R_2 = \rho \frac{l_2}{A_{cross}}$ है।
चूंकि चाप समानांतर हैं,उनके बीच विभवांतर समान है: $V = I_1 R_1 = I_2 R_2$.
इसका अर्थ है $I_1 l_1 = I_2 l_2$,या $\frac{I_1}{I_2} = \frac{l_2}{l_1}$.
$i$ धारा ले जाने वाली $l$ लंबाई की चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i l}{4\pi R^2}$ है।
दोनों चापों के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1 l_1}{4\pi R^2}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 I_2 l_2}{4\pi R^2}$ हैं।
चूंकि $I_1 l_1 = I_2 l_2$,इसलिए $B_1 = B_2$ है।
धाराएं केंद्र के चारों ओर विपरीत दिशाओं में बहती हैं,इसलिए दोनों चापों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं।
अतः,केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_1 - B_2| = 0$ है।

(B) $i$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय प्रेरण $B$,तार से दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(B \propto \frac{1}{r})$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
दिया गया है,$B = 7 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$ और $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
हम जानते हैं कि $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \cdot m/A$,इसलिए $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मानों को सूत्र में रखने पर:
$7 \times 10^{-5} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times I}{2 \times 0.05}$
$7 \times 10^{-5} = \frac{2\pi \times 10^{-7} \times I}{0.05}$
$I = \frac{7 \times 10^{-5} \times 0.05}{2 \times 3.14159 \times 10^{-7}}$
$I = \frac{0.35 \times 10^{-5}}{6.283 \times 10^{-7}} = \frac{35}{6.283} \approx 5.57 \ A \approx 5.6 \ A$.

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 Ni}{2r}$।
दी गई मान हैं:
फेरों की संख्या $N = 1000$
धारा $i = 0.1\, A$
त्रिज्या $r = 0.1\, m$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$।
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 0.1}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{0.2}$
$B = 2\pi \times 10^{-4}\, T$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$B = 2 \times 3.14 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-4}\, T$।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 Ni}{2r}$।
दिए गए मान हैं:
फेरों की संख्या $N = 50$
त्रिज्या $r = 0.5\, m$
धारा $i = 2\, A$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 50 \times 2}{2 \times 0.5}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 100}{1}$
$B = 12.566 \times 10^{-5} = 1.2566 \times 10^{-4}\, T$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $1.25 \times 10^{-4}\, T$ प्राप्त होता है।

(D) $I$ धारा और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
कुंडली $A$ के लिए: $B_A = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
कुंडली $B$ के लिए: $B_B = \frac{\mu_0 (2I)}{2(2R)} = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $B_A = B_B$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $B_A : B_B = 1:1$ है।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ होता है।
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$।
माना $r_1 = r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0.4 \ T$ है।
हमें $r_2 = 2r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ ज्ञात करना है।
व्युत्क्रमानुपाती संबंध $B_1 r_1 = B_2 r_2$ का उपयोग करने पर:
$0.4 \times r = B_2 \times (2r)$।
$B_2 = \frac{0.4 \times r}{2r} = 0.2 \ T$।

(A) $n$ फेरों वाली,$i$ धारा प्रवाहित करने वाली और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,बायो-सावर्ट नियम द्वारा दिया जाता है।
एक फेरे के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
$n$ फेरों वाली कुंडली के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = n \times \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0 ni}{2r}$ होता है।

(D) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}$ होता है।
यहाँ,$\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है,$i$ तार में बहने वाली धारा है,और $r$ तार से लंबवत दूरी है।
सूत्र के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $B$ केवल धारा $i$ और तार से दूरी $r$ पर निर्भर करता है।
यह तार की त्रिज्या या व्यास से स्वतंत्र है।
चूंकि धारा $i$ समान रहती है और दूरी $r$ को दूर स्थित बिंदु माना गया है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता अपरिवर्तित रहती है।

(C) जब एक तार में स्थिर धारा बहती है,तो तार का कुल आवेश घनत्व शून्य रहता है क्योंकि तार के किसी भी खंड में प्रवेश करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या उससे बाहर निकलने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि तार विद्युत रूप से उदासीन (neutral) होता है,इसलिए यह अपने पड़ोस में कोई विद्युत क्षेत्र उत्पन्न नहीं करता है।
हालाँकि,आवेशों का प्रवाह (धारा) तार के चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है,जैसा कि बायो-सावर्ट नियम या एम्पीयर के परिपथीय नियम द्वारा वर्णित है।
इसलिए,केवल चुंबकीय क्षेत्र मौजूद होता है।

(B) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \times \frac{2i}{r}$
दिया गया है:
धारा $i = 1\,A$
दूरी $r = 1\,cm = 10^{-2}\,m$
स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\,T\cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1}{10^{-2}}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 10^2$
$B = 2 \times 10^{-5}\,T$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) लंबाई के सीधे तार के कारण उसके केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$2l$ भुजा वाले वर्ग के लिए,केंद्र से भुजा की दूरी $r = l$ है। केंद्र पर कोण $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ हैं।
अतः,एक भुजा के कारण क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi l} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi l}$ है।
चूंकि वर्ग की $4$ भुजाएं होती हैं,एक फेरे के लिए कुल क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi l}$ होगा।
$n$ फेरों के लिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = n \times B = \frac{\sqrt{2} \mu_0 n i}{\pi l}$ होगा।

(C) बायोट-सावर्ट के नियम के अनुसार,एक छोटे धारा अवयव $i \Delta l$ के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i \Delta l \sin \theta}{r^2}$
जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$i$ विद्युत धारा है,$\Delta l$ अवयव की लंबाई है,$\theta$ धारा अवयव और स्थिति सदिश के बीच का कोण है,और $r$ अवयव से प्रेक्षण बिंदु तक की दूरी है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।