Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(C) धारावाही सीधे चालक की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
स्थिति $1$: धारा $I$,$PQ$ और $QR$ से प्रवाहित होती है। बिंदु $M$,$QR$ के विस्तार पर स्थित है। इसलिए,$QR$ के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है। $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $H_1$ केवल $PQ$ खंड के कारण है। मान लीजिए $M$ से $PQ$ की लंबवत दूरी $d$ है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ है।
स्थिति $2$: $PQ$ में धारा $I$ है,$QR$ में $I/2$ है,और $QS$ में $I/2$ है। बिंदु $M$,$QR$ के विस्तार पर है,इसलिए $QR$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र अभी भी शून्य है। $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र अब $H_2 = H_{PQ} + H_{QS}$ है।
चूंकि $PQ$ में धारा अपरिवर्तित है,$H_{PQ} = H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$।
चालक $QS$,$PQ$ के लंबवत है। $QS$ में प्रवाहित $I/2$ धारा के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $H_{QS} = \frac{\mu_0 (I/2)}{4 \pi d} = \frac{1}{2} H_1$ है।
अतः,$H_2 = H_1 + \frac{1}{2} H_1 = \frac{3}{2} H_1$।
अनुपात $H_1/H_2 = H_1 / (\frac{3}{2} H_1) = 2/3 \approx 0.67$।

(C) प्रति इकाई चौड़ाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{b - a}$ है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाली एक सूक्ष्म वलय (ring) पर विचार करें।
इस वलय में फेरों की संख्या $dN = n \cdot dx = \frac{N}{b - a} dx$ है।
इस सूक्ष्म वलय के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 (dN) I}{2x}$ है।
$dN$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $dB = \frac{\mu_0 I}{2x} \cdot \frac{N}{b - a} dx = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \cdot \frac{dx}{x}$।
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = a$ से $x = b$ तक $dB$ का समाकलन (integration) करते हैं:
$B = \int_a^b \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \frac{dx}{x} = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \int_a^b \frac{dx}{x}$।
$B = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} [\ln x]_a^b = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \ln \frac{b}{a}$।

(D) बिंदु $P(a, 0, a)$ पर पूरे लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र की गणना लूप को दो समतलीय लूपों के संयोजन के रूप में मानकर की जा सकती है: $ABCDA$ ($xz$-तल में) और $AFEBA$ ($xy$-तल में)।
$1$. दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$ABCDA$ लूप द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में (अर्थात $\hat{i}$ दिशा में) होता है।
$2$. दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$AFEBA$ लूप द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $z$-अक्ष की दिशा में (अर्थात $\hat{k}$ दिशा में) होता है।
$3$. बिंदु $P$ के सापेक्ष दोनों लूपों की ज्यामिति समान होने के कारण,दोनों लूपों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होंगे।
$4$. मान लीजिए कि प्रत्येक लूप से चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0$ है। $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B} = B_0\hat{i} + B_0\hat{k}$ होगा।
$5$. परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{B_0\hat{i} + B_0\hat{k}}{\sqrt{B_0^2 + B_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{k})$ द्वारा दी जाती है।

(A) धारा $I$ ऋणात्मक $z$-दिशा में,यानी $-\hat{k}$ की दिशा में प्रवाहित हो रही है।
$xy$-तल में बिंदु $P(x, y)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को दाएं हाथ के नियम द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
तार से $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ के लंबवत होती है।
सदिश गुणनफल $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r^2} (\hat{k} \times \vec{r})$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\hat{k}$ धारा की दिशा $(-I\hat{k})$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{B} = \frac{\mu_0 (-I)}{2\pi r^2} (\hat{k} \times (x\hat{i} + y\hat{j})) = \frac{-\mu_0 I}{2\pi (x^2 + y^2)} (x\hat{j} - y\hat{i}) = \frac{\mu_0 I (y\hat{i} - x\hat{j})}{2\pi (x^2 + y^2)}$.

(C) तार $1, 2, 3$ और $4$ के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $(B_1, B_2, B_3, B_4)$ की दिशा चित्र में दिखाई गई है।
प्रत्येक तार के लिए,मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
- तार $1$ (धारा पृष्ठ से बाहर) $+x$ दिशा में $B_1$ उत्पन्न करता है।
- तार $2$ (धारा पृष्ठ के अंदर) $+y$ दिशा में $B_2$ उत्पन्न करता है।
- तार $3$ (धारा पृष्ठ के अंदर) $+x$ दिशा में $B_3$ उत्पन्न करता है।
- तार $4$ (धारा पृष्ठ से बाहर) $+y$ दिशा में $B_4$ उत्पन्न करता है।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र के घटक हैं:
$B_x = B_1 + B_3 = B + B = 2B$
$B_y = B_2 + B_4 = B + B = 2B$
मूल बिंदु पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_{net} = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \sqrt{(2B)^2 + (2B)^2} = \sqrt{4B^2 + 4B^2} = \sqrt{8B^2} = 2\sqrt{2} \,B$.

(B) मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,$L = 2\pi r$,इसलिए $r = \frac{L}{2\pi}$।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{circular} = \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0 i}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi i}{L}$ है।
$a$ भुजा वाली वर्गाकार कुंडली के लिए,$L = 4a$,इसलिए $a = \frac{L}{4}$।
वर्गाकार कुंडली की एक भुजा के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$ है।
चूंकि चार भुजाएं हैं,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{square} = 4 \times B_1 = \frac{4 \mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{4 \mu_0 i}{\sqrt{2} \pi (L/4)} = \frac{16 \mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L}$ है।
अनुपात $\frac{B_{circular}}{B_{square}} = \frac{\mu_0 \pi i / L}{16 \mu_0 i / (\sqrt{2} \pi L)} = \frac{\pi}{1} \times \frac{\sqrt{2} \pi}{16} = \frac{\sqrt{2} \pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$ होगा।

(B) प्रश्न के अनुसार,तार $ADC$ का प्रतिरोध तार $ABC$ के प्रतिरोध का दोगुना है। अतः,$ADC$ से प्रवाहित होने वाली धारा $ABC$ की आधी है,अर्थात $i_2 = i_1 / 2$।
चूंकि $i_1 + i_2 = i$,इसलिए $i_1 + i_1/2 = i$,जिससे $i_1 = 2i/3$ और $i_2 = i/3$ प्राप्त होता है।
तार $AB$ और $BC$ (जिनमें $i_1$ धारा प्रवाहित हो रही है) के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{ABC} = 2 \times \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i_1 \sin 45^\circ}{a/2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{4\sqrt{2} i_1}{a} \otimes$ है।
$i_1 = 2i/3$ रखने पर,$B_{ABC} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8\sqrt{2} i}{3a} \otimes$ प्राप्त होता है।
तार $AD$ और $DC$ (जिनमें $i_2$ धारा प्रवाहित हो रही है) के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{ADC} = 2 \times \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i_2 \sin 45^\circ}{a/2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{4\sqrt{2} i_2}{a} \odot$ है।
$i_2 = i/3$ रखने पर,$B_{ADC} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{4\sqrt{2} i}{3a} \odot$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{ABC} - B_{ADC} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{4\sqrt{2} i}{3a} (2 - 1) \otimes = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{3\pi a} \otimes$ होगा।

(A) एक परिमित सीधे तार के कारण उसके केंद्र से $a$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{{\mu _0}i}{4\pi a}(\sin {\phi _1} + \sin {\phi _2})$ है।
यहाँ,$a = \frac{L}{4}$ और $\phi _1 = \phi _2 = \phi$ है।
ज्यामिति से,$\sin \phi = \frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2 + (L/4)^2}} = \frac{L/2}{\sqrt{L^2/4 + L^2/16}} = \frac{L/2}{\sqrt{5L^2/16}} = \frac{L/2}{\sqrt{5}L/4} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{{\mu _0}i}{4\pi (L/4)} \times (2 \sin \phi) = \frac{{\mu _0}i}{\pi L} \times 2 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4{\mu _0}i}{\sqrt{5}\pi L}$.

(B) $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना तार लूप के विभिन्न भागों के योगदान पर विचार करके की जाती है।
भाग $(1)$ और $(5)$ सीधे खंड हैं जो $O$ की ओर या $O$ से दूर इंगित करते हैं,इसलिए $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में उनका योगदान $0$ है।
भाग $(2)$ त्रिज्या $r_1 = a/2$ का एक अर्ध-वृत्ताकार चाप है। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 r_1} = \frac{\mu_0 i}{4(a/2)} = \frac{\mu_0 i}{2a}$ है (पृष्ठ के अंदर की ओर,$-Z$-अक्ष)।
भाग $(4)$ त्रिज्या $r_2 = 3a/2$ का एक अर्ध-वृत्ताकार चाप है। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_4 = \frac{\mu_0 i}{4 r_2} = \frac{\mu_0 i}{4(3a/2)} = \frac{\mu_0 i}{6a}$ है (पृष्ठ के बाहर की ओर,$+Z$-अक्ष)।
$Z$-अक्ष पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_z = B_2 - B_4 = \frac{\mu_0 i}{2a} - \frac{\mu_0 i}{6a} = \frac{\mu_0 i}{3a}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर) है।
भाग $(3)$ और $(5)$ सीधे खंड हैं। एक सीमित तार के लिए बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करते हुए,$O$ पर क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है। इन खंडों के लिए,$O$ से दूरी $d$ क्रमशः $a/2$ और $3a/2$ है,और कोण $\pi/2$ और $0$ हैं। $Y$-अक्ष पर इन घटकों का योग करने पर $B_y = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2)} + \frac{\mu_0 i}{4\pi (3a/2)} = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} + \frac{\mu_0 i}{6\pi a} = \frac{4\mu_0 i}{6\pi a} = \frac{2\mu_0 i}{3\pi a}$ प्राप्त होता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_z^2 + B_y^2} = \sqrt{(\frac{\mu_0 i}{3a})^2 + (\frac{2\mu_0 i}{3\pi a})^2} = \frac{\mu_0 i}{3a} \sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}} = \frac{\mu_0 i}{3\pi a} \sqrt{\pi^2 + 4}$ है।

(B) $i$ धारा ले जाने वाले $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi r}}(\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ द्वारा दिया जाता है।
नियमित बहुभुज की एक भुजा के लिए,केंद्र पर आधी भुजा द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \frac{\pi}{n}$ है।
केंद्र से भुजा की लंबवत दूरी $r = a \cos \theta = a \cos(\frac{\pi}{n})$ है।
भुजा के सिरों पर कोण $\phi_1 = \phi_2 = \theta = \frac{\pi}{n}$ हैं।
अतः,एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi (a \cos \theta)}} (2 \sin \theta) = \frac{{{\mu _0}i}}{{2\pi a}} \tan \theta = \frac{{{\mu _0}i}}{{2\pi a}} \tan(\frac{\pi}{n})$ है।
चूंकि ऐसी $n$ भुजाएं हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = n \times B_1 = \frac{{n{\mu _0}i}}{{2\pi a}} \tan(\frac{\pi}{n})$ होगा।

(B) एक लंबे सीधे तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0 I}}{{2\pi r}}$ द्वारा दिया जाता है।
$BC$ के मध्य बिंदु के लिए,दोनों तारों $AB$ और $CD$ से लंबवत दूरी $r = d/2$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$AB$ में प्रवाहित धारा के कारण $BC$ के मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर ($-\hat k$ दिशा में) होता है।
$CD$ में प्रवाहित धारा के कारण $BC$ के मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र भी पृष्ठ के अंदर की ओर ($-\hat k$ दिशा में) होता है।
$AB$ के कारण क्षेत्र का परिमाण: $B_1 = \frac{{\mu _0 I}}{{2\pi (d/2)}} = \frac{{\mu _0 I}}{{\pi d}}$.
$CD$ के कारण क्षेत्र का परिमाण: $B_2 = \frac{{\mu _0 I}}{{2\pi (d/2)}} = \frac{{\mu _0 I}}{{\pi d}}$.
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{{\mu _0 I}}{{\pi d}} + \frac{{\mu _0 I}}{{\pi d}} = \frac{{2\mu _0 I}}{{\pi d}}$ जो $-\hat k$ दिशा में है।

(D) तार तीन भागों से बना है: एक अर्ध-अनंत सीधा तार $AB$,एक चतुर्थांश-वृत्ताकार चाप $BCD$,और दूसरा अर्ध-अनंत सीधा तार $DE$।
$1$. अर्ध-अनंत तार $AB$ के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi a}$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा $\hat{k}$ है।
$2$. अर्ध-अनंत तार $DE$ के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi a}$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा $\hat{k}$ है।
$3$. $a$ त्रिज्या वाले चतुर्थांश-वृत्ताकार चाप $BCD$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_3 = \frac{\mu_0 i}{4a} \times \frac{1}{4} = \frac{\mu_0 i}{4\pi a} \times \frac{\pi}{2}$ है। दिशा $\hat{k}$ है।
$4$. $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश योग है: $B_{total} = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi a} \left( 1 + 1 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i}{a} \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k}$.

(C) धारा $i$ ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय प्रेरण $B$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
यह दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{r}$ है।
जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,चुंबकीय प्रेरण $B$ हाइपरबोलिक रूप से घटता है।
इसलिए,$B$ बनाम $r$ को दर्शाने वाला ग्राफ एक आयताकार हाइपरबोला है,जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(A) मान लीजिए कि दोनों तारों में धारा $I$ है। एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
रेखा $AB$ (जो अक्षों के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है) पर किसी भी बिंदु के लिए,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष से लंबवत दूरी समान है,मान लीजिए $r$ है।
$AB$ पर स्थित बिंदु $(x, y)$ पर $X$-अक्ष के अनुदिश तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर की ओर निर्देशित होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके),जबकि $Y$-अक्ष के अनुदिश तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र तल के बाहर की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि दूरियां समान हैं और धाराएं समान हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान है: $B_X = B_Y = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$।
चूंकि दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए रेखा $AB$ के प्रत्येक बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_X - B_Y = 0$ होगा।

(B) यदि धारा कागज से बाहर की ओर बहती है,तो तार के दाईं ओर के बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर और बाईं ओर नीचे की ओर होगा। मान लीजिए कि तार $A$ और $B$ पर हैं,और मध्य बिंदु $C$ है। $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि $A$ और $B$ के क्षेत्र एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
$B$ के दाईं ओर के क्षेत्र में,चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर $(+ve)$ है क्योंकि सभी बिंदु दोनों तारों के दाईं ओर हैं। इसी तरह,$A$ के बाईं ओर के क्षेत्र में,चुंबकीय क्षेत्र नीचे की ओर $(-ve)$ है।
$AC$ क्षेत्र में,बिंदु $B$ की तुलना में $A$ के करीब हैं,इसलिए $A$ के कारण क्षेत्र प्रभावी है और ऊपर की ओर $(+ve)$ है।
$BC$ क्षेत्र में,बिंदु $A$ की तुलना में $B$ के करीब हैं,इसलिए $B$ के कारण क्षेत्र प्रभावी है और नीचे की ओर $(-ve)$ है।
ग्राफ $(b)$ चुंबकीय क्षेत्र में इन परिवर्तनों को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, $a$ त्रिज्या वाले बेलनाकार चालक से बहने वाली स्थिर धारा $I$ के लिए:
$1$. चालक के अंदर $(r < a)$: चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $B_{in} \propto r$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. चालक के बाहर $(r > a)$: चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $B_{out} \propto \frac{1}{r}$, जो एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
इसलिए, ग्राफ $r = a$ तक रैखिक वृद्धि और $r > a$ के लिए अतिपरवलयिक कमी को दर्शाता है, जो पहले विकल्प के अनुरूप है।

(A) $\text{R}$ त्रिज्या वाले एक लंबे पतले खोखले धात्विक बेलन के लिए जिसमें '$\text{i}$' धारा प्रवाहित हो रही है:
$1$. बेलन के अंदर $(r < R)$, एम्पीरियन लूप द्वारा कोई धारा परिबद्ध नहीं होती है। एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$। चूँकि $I_{enclosed} = 0$ है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = 0$ होता है।
$2$. बेलन के बाहर $(r \ge R)$, बेलन '$\text{i}$' धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार की तरह व्यवहार करता है। '$\text{r}$' दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि $B_{out} \propto \frac{1}{r}$।
$3$. अतः, $r < R$ के लिए चुंबकीय क्षेत्र शून्य है और $r \ge R$ के लिए यह $1/r$ के अनुपात में घटता है। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ $r=R$ तक $B=0$ है और उसके बाद यह हाइपरबोलिक रूप से घटता है।

(B, C) तार की लंबाई $l = 2\pi Rn$ है,जिसका अर्थ है $n = \frac{l}{2\pi R}$।
$n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण का मान है:
$B = \frac{\mu_0 n i}{2R}$
सूत्र में $n = \frac{l}{2\pi R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{2R} \left( \frac{l}{2\pi R} \right) = \frac{\mu_0 i l}{4\pi R^2}$
यह दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{R^2}$। जैसे $R \to 0$,$B \to \infty$,और जैसे $R \to \infty$,$B \to 0$। यह विकल्प $(b)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र में $R = \frac{l}{2\pi n}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{\mu_0 n i}{2 (l / 2\pi n)} = \frac{\mu_0 i}{2l} (2\pi n^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi i}{l} \right) n^2$
यह दर्शाता है कि $B \propto n^2$। $B$ और $n$ के बीच का ग्राफ एक परवलय है जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है और जिसका ढाल बढ़ता जा रहा है,जो विकल्प $(c)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $U$ का सूत्र $U = \frac{B^2}{2\mu_0}$ है।
$R$ त्रिज्या वाले बेलनाकार शेल के लिए जिससे $i$ धारा प्रवाहित हो रही है,$r = 2R$ (शेल के बाहर) दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,एम्पीयर के नियम के अनुसार $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ है।
$r = 2R$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi (2R)} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}$।
अब,ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $B$ का यह मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \right)^2 = \frac{1}{2\mu_0} \cdot \frac{\mu_0^2 i^2}{16\pi^2 R^2} = \frac{\mu_0 i^2}{32\pi^2 R^2}$।
अतः,$U \propto i^2$।
$U$ बनाम $i$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला एक परवलय है,जो $U$-अक्ष के सापेक्ष सममित है और जिसकी ढाल बढ़ती जा रही है। यह ग्राफ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(B) धारावाही कुंडली की अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा समान रहती है,हालांकि परिमाण बदलता रहता है। अतः,संपूर्ण $x$-अक्ष के लिए चुंबकीय प्रेरण धनात्मक रहेगा। इसलिए,ग्राफ $(c)$ और $(d)$ गलत हैं।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $x$ के साथ इस नियम के अनुसार बदलता है: $B = \frac{\mu_0 NI R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$x = 0$ पर,$B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$,और जब $x \to \infty$,तब $B \to 0$ होता है।
ग्राफ की ढाल $\frac{dB}{dx} = - \frac{3\mu_0 NI R^2 x}{2(R^2 + x^2)^{5/2}}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 0$ पर,ढाल शून्य है,जिसका अर्थ है कि $x = 0$ पर ग्राफ की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समानांतर होनी चाहिए। इस प्रकार,ग्राफ का मूल बिंदु पर शून्य ढाल के साथ एक शिखर होना चाहिए। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $(b)$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) चुंबकीय प्रेरण,जिसे चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(B)$ के रूप में भी जाना जाता है,को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर उसके परिमाण और दिशा दोनों द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और यह सदिश योग के नियमों का पालन करता है,इसलिए इसे $VECTOR$ (सदिश) राशि के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

(B) चुंबकीय बल रेखाएं चुंबकीय क्षेत्र में काल्पनिक रेखाएं होती हैं जो उस पथ को दर्शाती हैं जिस पर एक काल्पनिक इकाई उत्तरी ध्रुव गति करेगा।
$1$. वे कभी भी एक-दूसरे को नहीं काट सकतीं क्योंकि यदि वे ऐसा करती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर उत्तरी ध्रुव को एक साथ दो दिशाओं में गति करनी होगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।
$2$. चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं,जो चुंबक के बाहर उत्तरी ध्रुव से शुरू होकर दक्षिणी ध्रुव पर समाप्त होती हैं और चुंबक के अंदर दक्षिण से उत्तर की ओर जारी रहती हैं।
$3$. इन रेखाओं का घनत्व चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता को दर्शाता है। वे वहां घनी होती हैं जहां क्षेत्र मजबूत होता है (ध्रुवों के पास) और वहां दूर-दूर होती हैं जहां क्षेत्र कमजोर होता है (ध्रुवों से दूर)।
$4$. चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निर्वात से आसानी से गुजर सकती हैं,क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र को फैलने के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
अतः,सही कथन यह है कि वे हमेशा बंद लूप बनाती हैं।

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $A$ क्षेत्रफल है।
चुंबकीय क्षेत्र के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $B = \frac{\phi}{A}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का मात्रक $Weber$ $(Wb)$ है और क्षेत्रफल $A$ का मात्रक $m^2$ है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मात्रक $\frac{Weber}{m^2}$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,$1 \text{ } Weber/m^2 = 1 \text{ } Tesla$ $(T)$.
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,तार '$A$' से '$x$' दूरी पर और तार '$B$' से '$(6 - x)$' दूरी पर है।
चूँकि दोनों तारों में धारा एक ही दिशा में बह रही है,इसलिए शून्य बिंदु उनके बीच में स्थित होगा।
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,तार '$A$' और तार '$B$' द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण बराबर होना चाहिए:
$\frac{\mu_0 (5i)}{2\pi x} = \frac{\mu_0 (2i)}{2\pi (6 - x)}$
$\frac{5}{x} = \frac{2}{6 - x}$
$5(6 - x) = 2x$
$30 - 5x = 2x$
$7x = 30$
$x = \frac{30}{7} \, cm$ (तार '$A$' से दूरी)।
तार '$B$' से दूरी $(6 - x) = 6 - \frac{30}{7} = \frac{42 - 30}{7} = \frac{12}{7} \, cm$ होगी।

(C) प्रत्येक तार द्वारा मूल बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0}{2\pi x} i$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके,हम मूल बिंदु पर प्रत्येक तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र की दिशा निर्धारित करते हैं:
- तार $1$ (धारा पृष्ठ से बाहर): क्षेत्र $B_1$,$+x$ दिशा में है।
- तार $2$ (धारा पृष्ठ के अंदर): क्षेत्र $B_2$,$+y$ दिशा में है।
- तार $3$ (धारा पृष्ठ के अंदर): क्षेत्र $B_3$,$+x$ दिशा में है।
- तार $4$ (धारा पृष्ठ से बाहर): क्षेत्र $B_4$,$+y$ दिशा में है।
प्रत्येक अक्ष पर क्षेत्रों का योग करने पर:
$B_x = B_1 + B_3 = B + B = 2B$
$B_y = B_2 + B_4 = B + B = 2B$
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \sqrt{(2B)^2 + (2B)^2} = \sqrt{4B^2 + 4B^2} = \sqrt{8B^2} = 2\sqrt{2}B$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक तार से मध्य बिंदु की दूरी $x$ है। एक लंबे सीधे तार के कारण $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi x}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $(i)$: धाराएं एक ही दिशा में हैं। मध्य बिंदु पर दोनों तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं। चूंकि $i_1 > i_2$,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi x} (i_1 - i_2) = 10 \, \mu T \quad .....(1)$
स्थिति $(ii)$: ${i_2}$ की दिशा उलट दी जाती है। अब,मध्य बिंदु पर दोनों तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं। परिणामी चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_{net}' = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi x} (i_1 + i_2) = 30 \, \mu T \quad .....(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{i_1 + i_2}{i_1 - i_2} = \frac{30}{10} = 3$
$i_1 + i_2 = 3(i_1 - i_2)$
$i_1 + i_2 = 3i_1 - 3i_2$
$4i_2 = 2i_1$
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{4}{2} = 2$
अतः,अनुपात $\frac{i_1}{i_2}$ का मान $2$ है।

(A) $n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2R}$ होता है।
$L$ लंबाई के तार से बनी एक फेरे वाली कुंडली की त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ होती है। अतः,$B = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{L}$।
जब उसी तार से $n$ फेरों वाली कुंडली बनाई जाती है,तो नई त्रिज्या $R' = \frac{L}{2\pi n} = \frac{R}{n}$ हो जाती है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 n I}{2R'} = \frac{\mu_0 n I}{2(R/n)} = n^2 \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = n^2 B$ होता है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = 3^2 B = 9B$ होगा।

(C) लंबाई के सीधे तार के कारण उसके केंद्र से $r = a/2$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
यहाँ,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ और $r = a/2$ है।
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{2\pi a} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$
चूंकि ऐसी $4$ भुजाएँ हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{net} = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$

(B) $(i)$ सीधे खंडों के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है। अर्धवृत्ताकार चाप के कारण क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4r}$ है जो पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ है। अतः,$(i)$,$(C)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ दो अर्धवृत्ताकार चापों के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4r_1}$ $(\otimes)$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4r_2}$ $(\otimes)$ हैं। कुल क्षेत्र $B_{net} = \frac{\mu_0 i}{4}(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2})$ $(\otimes)$ होगा। अतः,$(ii)$,$(B)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ दो अर्धवृत्ताकार चापों के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4r_1}$ $(\otimes)$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4r_2}$ $(\odot)$ हैं। चूंकि $r_1 < r_2$,इसलिए $B_1 > B_2$ है। परिणामी क्षेत्र $B_{net} = \frac{\mu_0 i}{4}(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$ $(\otimes)$ होगा। अतः,$(iii)$,$(A)$ से मेल खाता है।

(C) $(i)$ $\theta$ कोण वाले वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi r}$ होता है। यहाँ, चाप केंद्र $O$ पर $270^\circ$ या $\frac{3\pi}{2}$ रेडियन का कोण बनाता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर, क्षेत्र बाहर की ओर $(\odot)$ है।
$B = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4\pi r} = \frac{3\mu_0 i}{8r} \odot$. अतः, $(i)$, $(D)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ परिपथ में दो अर्ध-अनंत तार और एक अर्ध-वृत्ताकार चाप है। दो सीधे खंडों के कारण $O$ पर क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ (अंदर की ओर, $\otimes$) है। अर्ध-वृत्त के कारण क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4r}$ (अंदर की ओर, $\otimes$) है। कुल क्षेत्र $B_{net} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} + \frac{\mu_0 i}{4r} = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (2 + \pi) \otimes$ है। अतः, $(ii)$, $(B)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ परिपथ में एक पूर्ण वृत्ताकार लूप और दो सीधे तार हैं। लूप के कारण क्षेत्र $B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r} \otimes$ है। केंद्र पर सीधे तारों के कारण क्षेत्र शून्य है क्योंकि वे $O$ के साथ संरेखीय हैं। हालाँकि, दिए गए विकल्पों के आधार पर, सही मिलान $(B)$ है।

(A) स्थिति $1$: बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक अर्ध-वृत्ताकार चाप और दो सीधे तारों के कारण है। सीधे तार $O$ पर शून्य क्षेत्र उत्पन्न करते हैं क्योंकि $O$ उनकी अक्ष पर स्थित है। अर्ध-वृत्ताकार चाप $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4r}$ (अंदर की ओर) क्षेत्र देता है।
स्थिति $2$: बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण है। $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4r}$ (बाहर की ओर)।
स्थिति $3$: बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $270^\circ$ ($3\pi/2$ रेडियन) चाप के कारण है। $B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 i}{8r}$ (अंदर की ओर)।
परिमाणों और दिशाओं को ध्यान में रखते हुए,चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\left( -\frac{\pi}{2} \right) : \left( \frac{\pi}{2} \right) : \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) अनंत लंबाई के तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$ होता है।
$X$-अक्ष पर स्थित तार के लिए जिसमें $I_1 = 8\,A$ धारा बह रही है,$P(0, 0, d)$ बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (8)}{2\pi d} = \frac{4\mu_0}{\pi d}$ होगा।
$Y$-अक्ष पर स्थित तार के लिए जिसमें $I_2 = 6\,A$ धारा बह रही है,$P(0, 0, d)$ बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (6)}{2\pi d} = \frac{3\mu_0}{\pi d}$ होगा।
चूंकि ये दोनों चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B_{net} = \sqrt{\left(\frac{4\mu_0}{\pi d}\right)^2 + \left(\frac{3\mu_0}{\pi d}\right)^2} = \frac{\mu_0}{\pi d} \sqrt{16 + 9} = \frac{\mu_0}{\pi d} \sqrt{25} = \frac{5\mu_0}{\pi d}$.

(B) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र त्रिभुज की तीन भुजाओं द्वारा उत्पन्न होता है।
$1$. $P$ से जुड़ी दो भुजाएं $P$ पर शून्य चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं क्योंकि बिंदु $P$ इन तारों की अक्ष पर स्थित है।
$2$. तीसरी भुजा (आधार) बिंदु $P$ से $d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ की लंबवत दूरी पर है।
$3$. $d$ दूरी पर स्थित एक सीमित तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. आधार के लिए,$P$ पर बनने वाले कोण $\theta_1 = 30^\circ$ और $\theta_2 = 30^\circ$ हैं।
$5$. मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi (\frac{\sqrt{3}a}{2})} (\sin 30^\circ + \sin 30^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2\sqrt{3}\pi a} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 i}{2\sqrt{3}\pi a}$.
$6$. दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा बाहर की ओर $(\odot)$ है।

(A) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार रिंग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
अतः अनुपात $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I R^2 / 2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}}{R^3} = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$ होगा।
यहाँ $x = 3R$ दिया गया है,इसलिए $\frac{x^2}{R^2} = \frac{(3R)^2}{R^2} = 9$ होगा।
इस मान को अनुपात के सूत्र में रखने पर: $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = (1 + 9)^{3/2} = (10)^{3/2} = 10\sqrt{10}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}}{R^3} = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
दिया गया है कि $B_{axis} = \frac{1}{8} B_{center}$,इसलिए $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = 8$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $8 = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर: $8^{2/3} = 1 + \frac{x^2}{R^2}$.
$4 = 1 + \frac{x^2}{R^2} \implies 3 = \frac{x^2}{R^2}$.
अतः,$x^2 = 3R^2$,जिससे $x = \sqrt{3}R$ प्राप्त होता है।

(D) सीमित लंबाई के सीधे तार के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi r}}(\sin {\phi _1} + \sin {\phi _2})$
जहाँ $r$ तार से बिंदु $P$ तक की लंबवत दूरी है।
आकृति से,लंबवत दूरी $r = l$ है।
तार बिंदु $P$ के स्तर से नीचे की ओर $l$ दूरी तक फैला हुआ है।
अतः,तार के सिरों द्वारा बिंदु $P$ पर बनने वाले कोण $\phi _1 = 0^\circ$ और $\phi _2 = 45^\circ$ हैं (चूंकि तार की लंबाई $l$ है और क्षैतिज दूरी $l$ है,$\tan \phi _2 = l/l = 1$,इसलिए $\phi _2 = 45^\circ$)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi l}}(\sin 0^\circ + \sin 45^\circ)$
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi l}}(0 + \frac{1}{{\sqrt 2 }})$
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\sqrt 2 \pi l}} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 {\mu _0}i}}{{8\pi l}}$

(A) सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi d}}(\sin {\theta _1} + \sin {\theta _2})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आकृति के अनुसार,बिंदु $P$ से तार की लंबवत दूरी $d = r \sin {45^o} = \frac{r}{{\sqrt 2 }}$ है।
प्रत्येक तार के लिए,कोण ${\theta _1} = {45^o}$ और ${\theta _2} = {45^o}$ हैं।
एक तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi (r/\sqrt 2 )}}(\sin {45^o} + \sin {45^o}) = \frac{{{\mu _0}i \sqrt 2 }}{{4\pi r}} \times \sqrt 2 = \frac{{{\mu _0}i}}{{2\pi r}}$ है।
चूंकि दोनों तारों के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में है,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{{{\mu _0}i}}{{2\pi r}}$ होगा।

(A) $R$ त्रिज्या के पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जिसमें $i$ धारा बह रही है,$B = \frac{\mu_0 i}{2R}$ होता है।
अर्धवृत्ताकार लूप के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र इसका आधा होता है,अर्थात $B_{semi} = \frac{\mu_0 i}{4R}.$
मान लीजिए कि $x-y$ तल में स्थित अर्धवृत्ताकार लूप ऋणात्मक $z$-अक्ष की दिशा में $B_{xy} = \frac{\mu_0 i}{4R}$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)।
इसी प्रकार,$x-z$ तल में स्थित अर्धवृत्ताकार लूप ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में $B_{xz} = \frac{\mu_0 i}{4R}$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
चूंकि ये दोनों क्षेत्र परस्पर लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार होगा:
$B = \sqrt{B_{xy}^2 + B_{xz}^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 i}{4R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 i}{4R}\right)^2}$
$B = \sqrt{2 \left(\frac{\mu_0 i}{4R}\right)^2} = \frac{\mu_0 i}{4R} \sqrt{2} = \frac{\mu_0 i}{2\sqrt{2} R}.$

(A) घूमते हुए आवेश द्वारा उत्पन्न धारा $I$ आवेश के प्रवाह की दर द्वारा दी जाती है,जो $I = q \times f$ है।
$R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 (qf)}{2R}$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ द्वारा दी जाती है।
$I$ धारा वाली पहली कुंडली के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ है।
$2I$ धारा वाली दूसरी कुंडली के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_{2} = \frac{\mu_{0} (2I)}{2 R} = \frac{\mu_{0} I}{R}$ है।
चूंकि कुंडलियों के तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ और $B_{2}$ परस्पर लंबवत हैं।
केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B_{\text{net}}$ इस प्रकार है:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2}}$
$B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_{0} I}{2 R}\right)^{2} + \left(\frac{\mu_{0} I}{R}\right)^{2}}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_{0} I}{2 R} \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$
$B_{\text{net}} = \frac{\sqrt{5} \mu_{0} I}{2 R}$

(C) एक लंबे सीधे तार के कारण $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_1$ धारा वाले तार $AOB$ के लिए,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$ है।
$I_2$ धारा वाले तार $COD$ के लिए,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d}$ है।
चूंकि तार एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_1$ और $\vec{B}_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = \sqrt{\left( \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d} \right)^2}$.
$B = \frac{\mu_0}{2\pi d} \sqrt{I_1^2 + I_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1^2 + I_2^2)^{1/2}$.

(C) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है। तार तीन भागों से बना है: $X$-अक्ष के समानांतर दो अर्ध-अनंत सीधे तार और $Y-Z$ तल में एक अर्धवृत्ताकार चाप।
$1$. दो अर्ध-अनंत सीधे तारों ($1$ और $3$) के लिए: अर्ध-अनंत तार के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R}$ होता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दोनों तार बिंदु $O$ पर $-\hat{k}$ दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः,$\vec{B}_{1} = \vec{B}_{3} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k}$.
$2$. अर्धवृत्ताकार चाप $(2)$ के लिए: $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ होता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,क्षेत्र $-\hat{i}$ दिशा में निर्देशित है। अतः,$\vec{B}_{2} = -\frac{\mu_{0} I}{4 R} \hat{i}$.
$3$. बिंदु $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश योग है: $\vec{B} = \vec{B}_{1} + \vec{B}_{2} + \vec{B}_{3}$.
मान रखने पर: $\vec{B} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k} - \frac{\mu_{0} I}{4 R} \hat{i} - \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k}$.
$-\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$ को कॉमन लेने पर: $\vec{B} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\pi \hat{i} + 2 \hat{k})$.

(D) $e$ आवेश वाला एक इलेक्ट्रॉन जो $n$ आवृत्ति (प्रति सेकंड चक्कर) के साथ वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है,उसके द्वारा उत्पन्न धारा $I = q \times f = e \times n$ द्वारा दी जाती है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
धारा $I = ne$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 (ne)}{2r} = \frac{\mu_0 ne}{2r}$.

(B) त्रिज्या वाले एक लंबे सीधे तार के लिए जिसमें $I$ धारा समान रूप से वितरित है:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$ $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \frac{a}{2}$ के लिए,$B = \frac{\mu_0 I (a/2)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ प्राप्त होता है।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$ $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = 2a$ के लिए,$B' = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (2a)} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ प्राप्त होता है।
$3$. चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B}{B'} = \frac{\frac{\mu_0 I}{4 \pi a}}{\frac{\mu_0 I}{4 \pi a}} = 1$ है।

(B) घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न समतुल्य धारा $i = q \nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ है और $\nu$ आवृत्ति $(6.6 \times 10^{15} \, r.p.s.)$ है।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
इस सूत्र में $i = q \nu$ रखने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 q \nu}{2r}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$\nu = 6.6 \times 10^{15} \, Hz$,और $r = 0.53 \times 10^{-10} \, m$ दिया गया है:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 6.6 \times 10^{15}}{2 \times 0.53 \times 10^{-10}}$
$B = \frac{2\pi \times 1.6 \times 6.6 \times 10^{-11}}{0.53 \times 10^{-10}} \approx 12.518 \, T$.

(C) $i$ धारा प्रवाहित करने वाले $l$ लंबाई के सीधे तार के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi r}}(\sin {\phi _1} + \sin {\phi _2})$
जहाँ $r$ तार से बिंदु $P$ तक की लंबवत दूरी है,और $\phi_1, \phi_2$ तार के सिरों द्वारा बिंदु $P$ पर बनाए गए कोण हैं।
यहाँ,लंबवत दूरी $r = l$ है। ऊपरी सिरे द्वारा बनाया गया कोण $\phi_1 = 0^\circ$ है। निचले सिरे द्वारा बनाया गया कोण $\phi_2 = 45^\circ$ है (चूंकि तार की लंबाई $l$ है और दूरी $l$ है,इसलिए $\tan \phi_2 = l/l = 1$,अर्थात $\phi_2 = 45^\circ$)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi l}}(\sin 0^\circ + \sin 45^\circ)$
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\pi l}}(0 + \frac{1}{{\sqrt 2 }})$
$B = \frac{{{\mu _0}i}}{{4\sqrt 2 \pi l}} = \frac{{\sqrt 2 {\mu _0}i}}{{8\pi l}}$

(A) सीधे खंडों $1, 3, 5,$ और $7$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि बिंदु $O$ इन खंडों की अक्ष पर स्थित है।
वृत्ताकार चाप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0}i\theta }{4\pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
चाप $2$ के लिए (त्रिज्या $3r$,धारा $i$ दक्षिणावर्त): $B_2 = \frac{{\mu _0}i\theta }{4\pi (3r)} = \frac{{\mu _0}i\theta }{12\pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर,$\otimes$)।
चाप $4$ के लिए (त्रिज्या $2r$,धारा $i$ वामावर्त): $B_4 = \frac{{\mu _0}i\theta }{4\pi (2r)} = \frac{{\mu _0}i\theta }{8\pi r}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर,$\odot$)।
चाप $6$ के लिए (त्रिज्या $r$,धारा $i$ दक्षिणावर्त): $B_6 = \frac{{\mu _0}i\theta }{4\pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर,$\otimes$)।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_2 - B_4 + B_6 = \frac{{\mu _0}i\theta }{4\pi r} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1) = \frac{{\mu _0}i\theta }{4\pi r} (\frac{2 - 3 + 6}{6}) = \frac{5{\mu _0}i\theta }{24\pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर)।

(D) केबल से प्रवाहित कुल धारा $I_{net}$ व्यक्तिगत धाराओं का बीजगणितीय योग है:
$I_{net} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 = 20 - 6 + 12 - 7 + 18 = 37\,A$
चूंकि तार एक साथ बंधे हैं,हम केबल को एक लंबे सीधे तार के रूप में मान सकते हैं जो $r = 10\,cm = 0.1\,m$ की दूरी पर कुल धारा $I_{net}$ ले जा रहा है।
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2I_{net}}{r}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 37}{0.1} = 10^{-7} \times 740 = 74 \times 10^{-6}\,T = 74\,\mu T$
अतः,सही विकल्प $D$ है।