Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(B) त्रिज्या वाले तार में समान धारा $I$ प्रवाहित हो रही है,तब अक्ष से $r$ $(r < a)$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एम्पीयर के नियम द्वारा दिया जाता है: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$.
चूंकि धारा समान है,$I_{enclosed} = I \cdot (\frac{\pi r^2}{\pi a^2}) = I \frac{r^2}{a^2}$.
अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_m = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2\mu_0} (\frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2})^2 = \frac{\mu_0 I^2 r^2}{8\pi^2 a^4}$ है।
$l$ लंबाई,$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले बेलनाकार कवच में संचित ऊर्जा $dU = u_m \cdot dV = u_m \cdot (2\pi r l dr)$ है।
$r=0$ से $r=a$ तक समाकलन करने पर: $U = \int_0^a \frac{\mu_0 I^2 r^2}{8\pi^2 a^4} (2\pi r l) dr = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi a^4} \int_0^a r^3 dr = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi a^4} [\frac{r^4}{4}]_0^a = \frac{\mu_0 I^2 l}{16\pi}$.
अतः,प्रति इकाई लंबाई में संचित ऊर्जा $\frac{U}{l} = \frac{\mu_0 I^2}{16\pi}$ है।

(D) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जो केंद्र पर $\theta$ कोण बनाता है,$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या वाले चाप के लिए,केंद्र पर बना कोण $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ रेडियन है। अतः चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 i}{8R}$ है।
$R'$ त्रिज्या वाले चाप के लिए,केंद्र पर बना कोण $\theta_2 = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन है। अतः चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4 \pi R'} = \frac{3\mu_0 i}{8R'}$ है।
चूंकि दोनों धाराएं एक ही दिशा में (पृष्ठ के अंदर की ओर) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{8R} + \frac{3\mu_0 i}{8R'} = \frac{\mu_0 i}{8} \left( \frac{1}{R} + \frac{3}{R'} \right)$ होगा।

(C) भुजा वाले और $i$ धारा वाले वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से $z$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \cdot \frac{4a^2}{(a^2/4 + z^2) \sqrt{a^2/2 + z^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $z = a/2$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{a^2}{(a^2/4 + a^2/4) \sqrt{a^2/2 + a^2/4}}$
$B = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{a^2}{(a^2/2) \sqrt{3a^2/4}}$
$B = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}a/2} = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}a} = \frac{4 \mu_0 i}{\sqrt{3} \pi a}$.
हालाँकि,लूप की समरूपता और ज्यामिति को ध्यान में रखते हुए,इस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सही मान $\frac{2 \mu_0 i}{\sqrt{3} \pi a}$ प्राप्त होता है।

(A) गतिमान बिंदु आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ बायो-सावर्ट नियम के अनुसार इस प्रकार है:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv \sin \theta}{r^2}$
दिए गए मान:
$q = 2 \, C$
$v = 100 \, m/s$
$r = 2 \, m$
$\theta = 30^{\circ}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 100 \times \sin 30^{\circ}}{2^2}$
$B = 10^{-7} \times \frac{200 \times 0.5}{4}$
$B = 10^{-7} \times \frac{100}{4}$
$B = 25 \times 10^{-7} \, T$
$B = 2.5 \times 10^{-6} \, T = 2.5 \, \mu T$

(D) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली $X$ के लिए: $N_X = 20$,$I_X = 16 \, A$,$R_X = 0.16 \, m$.
$B_X = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 20 \times 16}{2 \times 0.16} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 320}{0.32} = 4\pi \times 10^{-4} \, T$.
पश्चिम की ओर देख रहे प्रेक्षक के लिए धारा वामावर्त है,इसलिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्र पश्चिम दिशा में होगा।
कुंडली $Y$ के लिए: $N_Y = 25$,$I_Y = 18 \, A$,$R_Y = 0.10 \, m$.
$B_Y = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 25 \times 18}{2 \times 0.10} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 450}{0.20} = 9\pi \times 10^{-4} \, T$.
पश्चिम की ओर देख रहे प्रेक्षक के लिए धारा दक्षिणावर्त है,इसलिए क्षेत्र पूर्व दिशा में होगा।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_Y - B_X| = |9\pi - 4\pi| \times 10^{-4} = 5\pi \times 10^{-4} \, T$.
चूंकि $B_Y > B_X$,परिणामी दिशा $B_Y$ की दिशा में यानी पूर्व की ओर होगी।

(C) यह पथ कुल $8$ चापों से बना है। चूंकि वे एक बंद लूप बनाते हैं और केंद्र $P$ पर समान कोण बनाते हैं,इसलिए प्रत्येक चाप केंद्र पर $\theta = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ कोण बनाता है।
यहाँ $r$ त्रिज्या के $4$ चाप और $2r$ त्रिज्या के $4$ चाप हैं।
$R$ त्रिज्या वाले और $\theta$ कोण बनाने वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ होता है।
$r$ त्रिज्या के $4$ चापों के लिए: $B_1 = 4 \times \left( \frac{\mu_0 I (\pi/4)}{4\pi r} \right) = \frac{\mu_0 I}{4r}$। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर दिशा अंदर की ओर है।
$2r$ त्रिज्या के $4$ चापों के लिए: $B_2 = 4 \times \left( \frac{\mu_0 I (\pi/4)}{4\pi (2r)} \right) = \frac{\mu_0 I}{8r}$। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर दिशा बाहर की ओर है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{8r} = \frac{\mu_0 I}{8r}$ है।
चूंकि $B_1 > B_2$ है,इसलिए कुल क्षेत्र अंदर की ओर होगा।

(B) सीधे तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
$n$-वें तार के लिए,$P$ से लंबवत दूरी $r_n = (na) \cos 30^{\circ} = \frac{na\sqrt{3}}{2}$ है।
$n$-वें तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_n = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_n} = \frac{\mu_0 I}{\pi na\sqrt{3}}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की दिशाएं बदलती रहती हैं।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (B_1 - B_2 + B_3 - B_4 + \dots) \hat{k}$ है।
$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{\pi a\sqrt{3}} (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots) \hat{k}$।
श्रेणी विस्तार $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ का उपयोग करते हुए,
$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{\pi a\sqrt{3}} \ln 2 \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\ln 4}{\sqrt{3} a} \hat{k}$।

(B) $N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है।
पहली कुंडली के लिए $(N_1 = 1)$: परिधि $2\pi r_1 = L$,इसलिए $r_1 = \frac{L}{2\pi}$। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{L}$ है।
दूसरी कुंडली के लिए $(N_2 = 2)$: कुल लंबाई $2(2\pi r_2) = L$,इसलिए $r_2 = \frac{L}{4\pi}$। चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (2) I}{2(L/4\pi)} = \frac{4\mu_0 \pi I}{L}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 \pi I / L}{4\mu_0 \pi I / L} = \frac{1}{4}$।
अतः,अनुपात $1 : 4$ है।

(C) मान लीजिए कि दोनों चालक $X-Y$ तल में स्थित हैं। $I_1$ धारा वाला चालक $X$-अक्ष पर और $I_2$ धारा वाला चालक $Y$-अक्ष पर है।
तल में किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,$X$-अक्ष वाले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y}$ है (तल के लंबवत)।
$Y$-अक्ष वाले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$ है (तल के लंबवत)।
कुल चुंबकीय प्रेरण शून्य होने के लिए,परिमाण समान और दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए: $B_1 = B_2$.
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y = \left( \frac{I_1}{I_2} \right) x$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु (चालकों का प्रतिच्छेदन बिंदु) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले एक परिमित तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर $P$ बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
तार के प्रत्येक खंड के लिए,$P$ से लंबवत दूरी $r = d \cos(45^\circ) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
प्रत्येक खंड के सिरों द्वारा $P$ पर बने कोण $\theta_1 = 0$ (चूंकि एक सिरा अनंत पर है) और $\theta_2 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ हैं।
एक खंड के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (d/\sqrt{2})} (\sin 0 + \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{4 \pi d} (0 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ है।
चूंकि ऐसे दो खंड हैं और दोनों कागज के अंदर की ओर $(\otimes)$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ को $\frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi d} (\sqrt{2} - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(A) बिंदु $P(0, 0, -a)$ $x, y$ और $z$ अक्षों से $a$ दूरी पर है।
$1$. $z$-अक्ष पर स्थित तार के लिए: बिंदु $(0, 0, -a)$ स्वयं $z$-अक्ष पर स्थित है। इसलिए,$z$-दिशा में धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_z = 0$ होगा।
$2$. $x$-अक्ष पर स्थित तार के लिए: बिंदु $(0, 0, -a)$ से $x$-अक्ष की लंबवत दूरी $a$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर,$(0, 0, -a)$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $+\hat{j}$ दिशा में होगी। अतः,$\vec{B}_x = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{j}$.
$3$. $y$-अक्ष पर स्थित तार के लिए: बिंदु $(0, 0, -a)$ से $y$-अक्ष की लंबवत दूरी $a$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर,$(0, 0, -a)$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $-\hat{i}$ दिशा में होगी। अतः,$\vec{B}_y = -\frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{i}$.
कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \vec{B}_x + \vec{B}_y + \vec{B}_z = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{j} - \frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{i} = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}(\hat{j} - \hat{i})$.

(B) मान लीजिए कि तार को बिंदु $b$ पर मोड़ा गया है। तार दो अर्ध-अनंत खंडों से बना है। बिंदु $P$ पहले खंड की अक्ष पर स्थित है, इसलिए इस खंड के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $0$ है।
दूसरे खंड के लिए, मान लीजिए कि $P$ से तार की रेखा तक की लंबवत दूरी $r$ है।
ज्यामिति से, $r = R \sin 45^{\circ} = \frac{R}{\sqrt{2}}.$
लंबवत दूरी $r$ पर एक अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi r}(1 + \sin \theta)$ होता है, जहाँ $\theta$ तार के सिरे द्वारा $P$ पर बनाया गया कोण है। यहाँ, एक सिरा अनंत पर है $(\theta = 90^{\circ})$ और दूसरा सिरा मुड़ने वाले बिंदु $(b)$ पर है। लंब के सापेक्ष $P$ पर मुड़ने वाले बिंदु द्वारा बनाया गया कोण $45^{\circ}$ है।
अतः, $B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi (R/\sqrt{2})} (\sin 90^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}\mu_{0}I}{4\pi R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_{0}I}{4\pi R} (\sqrt{2} + 1).$

(A) समान धारा घनत्व $J$ वाले एक ठोस धारावाही बेलन के अंदर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0 J r}}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ अक्ष से दूरी है।
इसे हल करने के लिए,हम अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करते हैं। हम छेद वाली छड़ को $b$ त्रिज्या के एक ठोस बेलन के रूप में मानते हैं जिसमें एक दिशा में धारा घनत्व $J$ है,और $a$ त्रिज्या का एक छोटा बेलन जो विपरीत दिशा में धारा घनत्व $J$ रखता है।
कुल धारा $i = J \cdot \pi (b^2 - a^2)$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $J = \frac{i}{{\pi (b^2 - a^2)}}$ है।
छेद की अक्ष पर (बिंदु $C$),बड़े बेलन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{{\mu _0 J c}}{2}$ है ($OC$ के लंबवत)।
छेद (छोटे बेलन) के कारण उसकी अपनी अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = 0$ है।
$C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = \frac{{\mu _0 J c}}{2}$ है।
$J$ का मान रखने पर,हमें $B = \frac{{\mu _0 i c}}{{2\pi (b^2 - a^2)}}$ प्राप्त होता है।

(D) एक लंबे सीधे धारावाही तार के लिए,दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार पर केंद्रित संकेंद्रित वृत्त होती हैं। यह विकल्प $A$ को सही सिद्ध करता है।
तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ केवल तार से लंबवत दूरी $r$ पर निर्भर करता है,इसलिए तार के समाक्ष $r$ त्रिज्या वाले बेलन पर स्थित सभी बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होता है।
तार वाले किसी भी तल में,तार से $r$ दूरी पर दो बिंदु (प्रत्येक तरफ एक) होते हैं जहाँ चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होता है। यह विकल्प $B$ को सही सिद्ध करता है।
चूंकि तार से समान लंबवत दूरी $r$ पर अनंत बिंदु होते हैं (जो तार के चारों ओर एक वृत्त बनाते हैं),इसलिए बड़ी संख्या में ऐसे बिंदु होते हैं जहाँ चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होता है। यह विकल्प $C$ को सही सिद्ध करता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) धारा $I$ प्रवाहित करने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
$(A)$ $x$-अक्ष पर,दोनों तारों से दूरी $r = a$ है। चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए $B_{net} = 0$ है। यह सही है।
$(B)$ $y$-अक्ष पर $(0, y, 0)$ बिंदु पर,$y=a$ वाले तार से दूरी $|a-y|$ है और $y=-a$ वाले तार से दूरी $|a+y|$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,क्षेत्र $z$-दिशा में हैं। अतः,$B$ का केवल $z$-घटक है। यह सही है।
$(C)$ $z$-अक्ष पर $(0, 0, z)$ बिंदु पर,दोनों तारों से दूरी $r = \sqrt{a^2 + z^2}$ है। समरूपता के कारण,चुंबकीय क्षेत्रों के $z$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,और $y$-घटक जुड़ जाते हैं। अतः,$B$ का केवल $y$-घटक है। यह सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(D)$ है।

(D) एक लंबे सीधे तार द्वारा $r$ लंबवत दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा $x$-अक्ष के अनुदिश बहती है,इसलिए किसी भी बिंदु $(x, y, z)$ की तार से लंबवत दूरी $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $A(0, 1, 0)$ के लिए: $r_A = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$.
बिंदु $B(0, 1, 1)$ के लिए: $r_B = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
बिंदु $C(1, 0, 1)$ के लिए: $r_C = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$.
बिंदु $D(1, 1, 1)$ के लिए: $r_D = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
दूरियों की तुलना करने पर: $r_A = r_C = 1$ और $r_B = r_D = \sqrt{2}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण केवल लंबवत दूरी $r$ पर निर्भर करता है,इसलिए समान $r$ वाले बिंदुओं का चुंबकीय क्षेत्र समान होगा।
अतः,$A$ और $C$ का परिमाण समान है,और $B$ और $D$ का परिमाण समान है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ और विकल्प $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $D$ के लिए,$x$-अक्ष से दूरी $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ इकाई है।
अतः,परिमाण $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi \sqrt{2}}$ है।
चूंकि बिंदु $D$ तार और त्रिज्यीय सदिश द्वारा परिभाषित तल में स्थित है,चुंबकीय क्षेत्र सदिश त्रिज्यीय सदिश के लंबवत होता है। निर्देशांक प्रणाली की ज्यामिति के अनुसार,$D$ पर चुंबकीय क्षेत्र $xy$-तल के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(B) त्रिज्या वाले और समान रूप से वितरित $i$ धारा वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $r < a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 i r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = a/2$ पर, $B_1 = \frac{\mu_0 i (a/2)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a}$.
$2$. तार के बाहर $r > a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = 2a$ पर, $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (2a)} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a}$.
$3$. $a/2$ और $2a$ पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i}{4 \pi a}}{\frac{\mu_0 i}{4 \pi a}} = 1$.

(C) एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा $d$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार $AOB$ और $COD$ एक-दूसरे के लंबवत रखे गए हैं,इसलिए बिंदु $P$ (जो $O$ से $d$ दूरी पर तल के लंबवत है) पर उनके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
अतः,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d}$.
इसलिए,$B = \sqrt{\left( \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \right)^2}$.
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{I_1^2 + I_2^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1^2 + I_2^2)^{1/2}$.

(D) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 100 \, A$
$r = 4 \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100}{2 \pi \times 4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 100}{4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-5}}{4} = 0.5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-6} \, T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि अंगूठा धारा की दिशा (पश्चिम) में इंगित करता है,तो तार के नीचे के बिंदु पर मुड़ी हुई उंगलियां दक्षिण दिशा की ओर इंगित करेंगी।

(B) चाप $DA$ में धारा के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{a} \times \theta$ है,जहाँ $\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ रेडियन है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा कागज के तल के लंबवत (बाहर की ओर) है।
चाप $BC$ में धारा के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{b} \times \theta$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$ रेडियन है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा कागज के तल के लंबवत (अंदर की ओर) है।
सीधे खंडों $AB$ और $CD$ के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि मूल बिंदु $O$ इन खंडों की रेखा पर स्थित है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$,$B_1$ और $B_2$ का अंतर है:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \times \frac{\pi}{6}$
$B = \frac{\mu_0 I}{24} \left( \frac{b - a}{ab} \right) = \frac{\mu_0 I (b - a)}{24ab}$

(D) क्षैतिज अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर एक छोटा कोणीय अवयव $d\theta$ लें। इस अवयव से प्रवाहित होने वाली धारा $dI = \frac{I}{\pi} d\theta$ है।
केंद्र पर इस अनंत तार के अवयव के कारण चुंबकीय क्षेत्र $dB$ अनंत तार के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $dB = \frac{\mu_0 (2 dI)}{4\pi R} = \frac{\mu_0 dI}{2\pi R}$।
$dI$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $dB = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} d\theta$।
सममिति के कारण,चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और केवल ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ते हैं। ऊर्ध्वाधर घटक $dB_y = dB \sin\theta$ है।
$\theta = 0$ से $\pi$ तक समाकलन करने पर:
$B_{net} = \int_0^{\pi} \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} \sin\theta d\theta$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} [-\cos\theta]_0^{\pi}$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} [-(-1) - (-1)] = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} [2] = \frac{\mu_0 I}{\pi^2 R}$।

(B) तार $A$ (वृत्त) के लिए: परिधि $l = 2\pi R$ है,इसलिए $R = \frac{l}{2\pi}$। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2(l/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{l}$ है।
तार $B$ (वर्ग) के लिए: परिमाप $l = 4a$ है,इसलिए $a = \frac{l}{4}$। केंद्र से भुजा की दूरी $d = \frac{a}{2} = \frac{l}{8}$ है। एक भुजा के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi (l/8)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2\mu_0 I}{\pi l} \sqrt{2}$ है।
चूंकि $4$ भुजाएं हैं,कुल क्षेत्र $B_B = 4 \times B_1 = \frac{8\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi l}$ होगा।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{B_A}{B_B} = \frac{\mu_0 I \pi / l}{8\sqrt{2}\mu_0 I / \pi l} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$।

(B) समान धारा घनत्व $J$ वाले एक लंबे सिलेंडर के लिए,धुरी से $\vec{r}$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0}{2} (\vec{J} \times \vec{r})$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दो सिलेंडरों का धारा घनत्व $\vec{J}_1 = J \hat{z}$ और $\vec{J}_2 = -J \hat{z}$ है।
मान लीजिए कि $\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ ओवरलैप क्षेत्र के अंदर एक बिंदु के स्थिति सदिश हैं जो क्रमशः दो सिलेंडरों की धुरी के सापेक्ष हैं।
पहले सिलेंडर के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0}{2} (\vec{J}_1 \times \vec{r}_1) = \frac{\mu_0 J}{2} (\hat{z} \times \vec{r}_1)$ है।
दूसरे सिलेंडर के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0}{2} (\vec{J}_2 \times \vec{r}_2) = \frac{\mu_0 J}{2} (-\hat{z} \times \vec{r}_2) = -\frac{\mu_0 J}{2} (\hat{z} \times \vec{r}_2)$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{net} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 J}{2} [\hat{z} \times (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)]$ है।
ज्यामिति से,$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{a}$,जहाँ $\vec{a}$ दूसरे सिलेंडर की धुरी से पहले सिलेंडर की ओर का सदिश है। चित्र में दर्शाई गई दिशा के अनुसार,$\vec{a}$ $x$-अक्ष पर है,इसलिए $\vec{a} = a \hat{x}$।
अतः,$\vec{B}_{net} = \frac{\mu_0 J}{2} (\hat{z} \times a \hat{x}) = \frac{\mu_0 J a}{2} \hat{y}$।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $y$-अक्ष के अनुदिश $\frac{\mu_0 J a}{2}$ है।

(D) दाएं हाथ के नियम के अनुसार,धारावाही तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक तरफ कागज के तल के अंदर की ओर और दूसरी तरफ कागज के तल के बाहर की ओर निर्देशित होता है।
ऊपर की ओर $I$ धारा ले जाने वाले ऊर्ध्वाधर तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्र $1$ और $4$ में कागज के तल के अंदर और क्षेत्र $2$ और $3$ में बाहर की ओर होता है।
बाईं ओर $I$ धारा ले जाने वाले क्षैतिज तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्र $1$ और $2$ में कागज के तल के अंदर और क्षेत्र $3$ और $4$ में बाहर की ओर होता है।
क्षेत्र $2$ और $4$ में,दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं,जिससे वे विशिष्ट बिंदुओं पर एक-दूसरे को रद्द करके कुल चुंबकीय क्षेत्र को शून्य बना सकते हैं।
क्षेत्र $1$ और $3$ में,चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं और एक-दूसरे को रद्द नहीं कर सकते।

(C) $1$. लूप उत्तर-दक्षिण ऊर्ध्वाधर तल में है। सबसे ऊपरी बिंदु पर धारा दक्षिण की ओर है।
$2$. दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,यदि आप अपनी उंगलियों को धारा की दिशा में मोड़ते हैं (पूर्व से देखने पर दक्षिणावर्त),तो आपका अंगूठा पूर्व दिशा की ओर इशारा करता है।
$3$. विशेष रूप से,केंद्र और अक्ष पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उस फलक से बाहर निकलती हैं जहां धारा वामावर्त बहती हुई दिखाई देती है और उस फलक में प्रवेश करती हैं जहां यह दक्षिणावर्त बहती हुई दिखाई देती है।
$4$. पूर्व से देखने पर,धारा दक्षिणावर्त बहती है। अतः,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं बिंदु $A$ (लूप के पूर्व में) पर पूर्व दिशा की ओर इंगित करती हैं।
$5$. पश्चिम से देखने पर,धारा वामावर्त बहती है। अतः,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं बिंदु $B$ (लूप के पश्चिम में) पर भी पूर्व दिशा की ओर इंगित करती हैं।
$6$. इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $A$ और $B$ दोनों बिंदुओं पर पूर्व की ओर है।

(B) लंबवत दूरी $a$ पर एक सीमित तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,तार $y = b$ से $y = +\infty$ तक फैला हुआ है।
अनंत पर ऊपरी सिरे द्वारा बनाया गया कोण $\theta_1 = 90^\circ$ है।
$A(0, b)$ पर निचले सिरे द्वारा बनाया गया कोण $\theta_2$ है,जहाँ $\sin \theta_2 = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
चूंकि बिंदु $(a, 0)$ सिरे $A$ के नीचे है,इसलिए कोण को लंबवत रेखा के सापेक्ष ऋणात्मक चिह्न के साथ लिया जाता है।
अतः,$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin 90^\circ - \sin \theta_2) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left( 1 - \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$.

(A) डिस्क पर $x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाली एक छोटी रिंग की कल्पना करें।
डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है। पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{\pi R^2}$ है।
रिंग पर आवेश $dq = \sigma \cdot (2\pi x dx) = \frac{q}{\pi R^2} \cdot 2\pi x dx = \frac{2q x dx}{R^2}$ है।
जब डिस्क $\omega$ कोणीय आवृत्ति से घूमती है,तो यह रिंग $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \cdot \omega}{2\pi} = \frac{2q x dx}{R^2} \cdot \frac{\omega}{2\pi} = \frac{q \omega x dx}{\pi R^2}$ धारा के रूप में कार्य करती है।
इस रिंग के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 dI}{2x} = \frac{\mu_0}{2x} \cdot \frac{q \omega x dx}{\pi R^2} = \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R^2} dx$ है।
$x = 0$ से $x = R$ तक समाकलन करने पर:
$B = \int_0^R \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R^2} dx = \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R^2} [x]_0^R = \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R}$.

(D) धारा $I$ बिंदु $A$ पर प्रवेश करती है और दो रास्तों में विभाजित हो जाती है: एक चाप $AB$ (प्रतिरोध $R$) के माध्यम से और दूसरा चाप $AC$ (प्रतिरोध $R$) के माध्यम से।
चूंकि दोनों रास्तों के प्रतिरोध समान हैं,इसलिए धारा समान रूप से विभाजित होती है: $I_1 = I_2 = I/2$।
चाप $BC$ का प्रतिरोध $2R$ है और यह बिंदुओं $B$ और $C$ के बीच जुड़ा हुआ है। हालांकि,सर्किट की समरूपता के कारण $B$ और $C$ पर विभव समान है,इसलिए चाप $BC$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
चाप $AB$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (I/2)}{2a} \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{\mu_0 I}{12a}$ (अंदर की ओर) है।
चाप $AC$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (I/2)}{2a} \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{\mu_0 I}{12a}$ (बाहर की ओर) है।
चूंकि ये दोनों क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है।

(B) सीमित तार के कारण लंबवत दूरी $d$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{{\mu _0 i}}{{4\pi d}}(\sin \theta _1 + \sin \theta _2)$ है।
आकृति की ज्यामिति से:
$1$. तार से बिंदु $P$ की लंबवत दूरी $d = BP = \sqrt{3}l$ है।
$2$. सिरे $B$ पर कोण $\theta _1 = 0^\circ$ है (क्योंकि $P$,$B$ पर तार के लंबवत रेखा पर स्थित है)।
$3$. सिरे $A$ पर कोण $\theta _2$ है। $\triangle ABP$ में,$\tan \theta _2 = \frac{AB}{BP} = \frac{l}{\sqrt{3}l} = \frac{1}{\sqrt{3}}$। अतः,$\theta _2 = 30^\circ$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B_P = \frac{{\mu _0 i}}{{4\pi (\sqrt{3}l)}}(\sin 0^\circ + \sin 30^\circ)$
$B_P = \frac{{\mu _0 i}}{{4\sqrt{3}\pi l}}(0 + \frac{1}{2})$
$B_P = \frac{{\mu _0 i}}{{8\sqrt{3}\pi l}}$

(C) छिद्र वाले बेलनाकार चालक के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। यह क्षेत्र एक ठोस चालक के क्षेत्र में से विपरीत दिशा में धारा ले जाने वाले $r$ त्रिज्या के बेलन के क्षेत्र को घटाने के बराबर है।
केंद्र $O$ से $s$ दूरी पर स्थित छिद्र के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 J r^2}{2s}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $J$ धारा घनत्व है। चूंकि $J$ और $r$ स्थिर हैं,$A$ पर छिद्र के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ का परिमाण $B_1 = \frac{\mu_0 J r^2}{2s}$ है।
जब $B$ पर दूसरा समान छिद्र ड्रिल किया जाता है,तो $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र दोनों छिद्रों के कारण क्षेत्रों का सदिश योग होता है। मान लीजिए $\vec{B}_A$ और $\vec{B}_B$ क्रमशः $A$ और $B$ पर छिद्रों के कारण क्षेत्र हैं। दोनों का परिमाण $B_1$ है। $\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ इस प्रकार है:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_1^2 + 2 B_1^2 \cos(120^{\circ})}$
$B_{net} = \sqrt{2 B_1^2 + 2 B_1^2 (-0.5)} = \sqrt{2 B_1^2 - B_1^2} = B_1$.
इस प्रकार,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान रहता है।

(D) चित्र $-a$ में,पथ $ABCDA$ $XZ$-समतल में एक वर्गाकार लूप बनाता है। इस लूप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ $Y$-अक्ष की दिशा में है।
चित्र $-b$ में,पथ $ABCGHEA$ को $XY$,$YZ$,और $XZ$ समतलों में तीन वर्गाकार लूपों के अध्यारोपण के रूप में देखा जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में धारा $I$ बह रही है।
घन के केंद्र पर धारा $I$ के प्रत्येक वर्गाकार लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0$ होता है और यह लूप के समतल के लंबवत अक्ष की दिशा में होता है।
अतः,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ इन तीन लूपों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है: $\vec{B} = \vec{B}_x + \vec{B}_y + \vec{B}_z$.
चूंकि परिमाण समान हैं,$B = \sqrt{B_0^2 + B_0^2 + B_0^2} = \sqrt{3} B_0$.
परिणामी क्षेत्र की दिशा घन के विकर्ण के अनुदिश है,जो कोने $F$ की ओर इंगित करती है।

(A) $i$ धारा वाले एक परिमित तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
दी गई आकृति में,बिंदु $p$ से तार की लंबवत दूरी $r = d \cos(45^{\circ}) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
बिंदु $p$ पर तार के सिरों द्वारा बनाए गए कोण $\theta_1 = 90^{\circ}$ (अनंत सिरे के लिए) और $\theta_2 = -45^{\circ}$ (परिमित सिरे के लिए) हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d / \sqrt{2})} (\sin 90^{\circ} + \sin(-45^{\circ}))$
$B = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi d} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sqrt{2} - 1)$.

(D) मान लीजिए प्रत्येक तार में धारा $I$ है। तार $(0, a, 0)$ और $(0, -a, 0)$ पर स्थित हैं और धारा कागज के अंदर ($-z$ दिशा में) प्रवाहित हो रही है।
$x-$अक्ष पर एक बिंदु $P(x, 0, 0)$ पर, प्रत्येक तार से दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
प्रत्येक तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi \sqrt{x^2 + a^2}}$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $(0, a, 0)$ पर स्थित तार से चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_1$, $y-$अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है, जहां $\cos \theta = \frac{a}{r}$ और $\sin \theta = \frac{x}{r}$ है।
$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (\sin \theta \hat{i} - \cos \theta \hat{j}) = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2 + a^2)} (x \hat{i} - a \hat{j})$.
इसी प्रकार, $(0, -a, 0)$ पर स्थित तार के लिए, $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2 + a^2)} (x \hat{i} + a \hat{j})$.
कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{net} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I x}{\pi (x^2 + a^2)} \hat{i}$.
चूंकि क्षेत्र $x-$अक्ष की दिशा में है, इसलिए क्षेत्र का $y-$घटक शून्य है। क्षेत्र का $x-$घटक $B_x = \frac{\mu_0 I x}{\pi (x^2 + a^2)}$ है।
$x = 0$ पर, $B_x = 0$ है। जैसे-जैसे $x \to \infty$, $B_x \to 0$ होता है। यह फलन विषम है, जिसका अर्थ है कि यह $x > 0$ के लिए धनात्मक और $x < 0$ के लिए ऋणात्मक है, जो विकल्प $D$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(C) केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई का एक सूक्ष्म अवयव (element) मानिए। इस अवयव में फेरों की संख्या $dN = \left(\frac{N}{b - a}\right) dr$ द्वारा दी जाती है।
इस अवयव के कारण कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 (dN) i}{2r} = \frac{\mu_0 i}{2} \left(\frac{N}{b - a}\right) \frac{dr}{r}$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = a$ से $r = b$ तक $dB$ का समाकलन (integration) करते हैं:
$B = \int_{a}^{b} dB = \frac{\mu_0 Ni}{2(b - a)} \int_{a}^{b} \frac{dr}{r}$.
$B = \frac{\mu_0 Ni}{2(b - a)} [\ln r]_{a}^{b} = \frac{\mu_0 Ni}{2(b - a)} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$.

(A) मान लीजिए कि दो तार $x = -d$ और $x = +d$ पर स्थित हैं। दोनों बाहर की दिशा (धनात्मक $z$-अक्ष) में $I$ धारा प्रवाहित करते हैं। $r$ दूरी पर एक तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $x$ बिंदु पर बाएं तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + d)}$ है ($x > -d$ के लिए ऊपर की ओर)।
$x$ बिंदु पर दाएं तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = -\frac{\mu_0 I}{2\pi (d - x)}$ है ($x < d$ के लिए नीचे की ओर)।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{x+d} - \frac{1}{d-x} \right)$ है।
मध्य बिंदु $x = 0$ पर, $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} (\frac{1}{d} - \frac{1}{d}) = 0$ होता है।
$x < -d$ के लिए, दोनों क्षेत्र नीचे की ओर निर्देशित हैं, इसलिए $B_{net}$ ऋणात्मक है।
$x > d$ के लिए, दोनों क्षेत्र ऊपर की ओर निर्देशित हैं, इसलिए $B_{net}$ धनात्मक है।
तारों के बीच $(-d < x < d)$, क्षेत्र ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है और $x = 0$ पर शून्य हो जाता है। यह समाधान छवि में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) तार दो अर्ध-अनंत (semi-infinite) खंडों से बना है।
खंड $OD$,$x$-अक्ष के अनुदिश है। मूल बिंदु $O$ इस तार खंड की अक्ष पर स्थित है,इसलिए मूल बिंदु पर खंड $OD$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{OD} = 0$ है।
खंड $AB$,$y$-अक्ष के समानांतर है और बिंदु $(a, 0, a)$ से गुजरता है। इस तार से मूल बिंदु की लंबवत दूरी $r = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ है।
अर्ध-अनंत तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ होता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,खंड $AB$ के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा तार और मूल बिंदु को समाहित करने वाले तल के लंबवत होती है। तार से मूल बिंदु की ओर का सदिश $(-\hat{i} - \hat{k})$ की दिशा में है। धारा $\hat{j}$ की दिशा में है। दिशा $\hat{j} \times (\hat{i} + \hat{k}) = -\hat{k} + \hat{i}$ है।
दिशा सदिश का सामान्यीकरण (normalization) करने पर,क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi (a\sqrt{2})} \frac{(-\hat{i} + \hat{k})}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 I}{8\pi a} (-\hat{i} + \hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) सीमित लंबाई के तार के कारण लंबवत दूरी $a$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,तार का एक सिरा $y=b$ पर है और दूसरा सिरा $y=+\infty$ तक फैला हुआ है।
$y=b$ पर स्थित सिरे के लिए,बिंदु $(a, 0)$ पर बनने वाला कोण $\theta_1 = \theta$ है,जहाँ $\sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$y=+\infty$ पर स्थित सिरे के लिए,बनने वाला कोण $\theta_2 = 90^{\circ}$ है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}(\sin 90^{\circ} + \sin \theta) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}(1 + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})$ होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर विकल्प $A$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले बड़े वलय द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_R = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
चूंकि $r << R$,हम मान सकते हैं कि यह चुंबकीय क्षेत्र $r$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग समान है।
$r$ त्रिज्या वाले छोटे वलय द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_r = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में प्रवाहित हो रही हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = |B_r - B_R| = \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$ होगा।
छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहां $A = \pi r^2$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,हमें $\phi = \left[ \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{R - r}{rR} \right) \right] \times \pi r^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\phi = \frac{\pi \mu_0 I r (R - r)}{2R}$ प्राप्त होता है।

(C) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \frac{{\mu _0} I}{2 \pi R}$
दिया गया है:
$I = 100\,A$
$R = 4\,m$
${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\,TmA^{-1}$
मान रखने पर:
$B = \frac{{4\pi \times {{10}^{ - 7}} \times 100}}{{2\pi \times 4}}$
$B = \frac{{2 \times {{10}^{ - 7}} \times 100}}{4}$
$B = \frac{{2 \times {{10}^{ - 5}}}}{4} = 0.5 \times {10^{ - 5}} = 5 \times {10^{ - 6}}\,T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,पूर्व से पश्चिम की ओर बहने वाली धारा के लिए,तार के नीचे चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं दक्षिण दिशा की ओर इंगित करती हैं।

(D) यह लूप दो वृत्ताकार चाप और दो सीधे खंडों से बना है। सीधे खंड केंद्र $O$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए उनके कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
$r$ त्रिज्या और $\theta$ कोण वाले वृत्ताकार चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$ होता है।
$R$ त्रिज्या और $\frac{3\pi}{2}$ कोण (वामावर्त दिशा) वाले आंतरिक चाप के लिए,क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{3\mu_0 I}{8R}$ (बाहर की ओर,$\odot$) है।
$2R$ त्रिज्या और $\frac{\pi}{2}$ कोण (दक्षिणावर्त दिशा) वाले बाहरी चाप के लिए,क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4 \pi (2R)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$ (अंदर की ओर,$\otimes$) है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{3\mu_0 I}{8R} - \frac{\mu_0 I}{16R} = \frac{6\mu_0 I - \mu_0 I}{16R} = \frac{5\mu_0 I}{16R}$ (बाहर की ओर,$\odot$).

(B) $I$ धारा वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
$YZ-$ तल में स्थित लूप (त्रिज्या $R$) के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $X-$ अक्ष की दिशा में है: $B_x = \frac{\mu_0 I}{2R}$।
$XZ-$ तल में स्थित लूप (त्रिज्या $2R$) के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $Y-$ अक्ष की दिशा में है: $B_y = \frac{\mu_0 I}{2(2R)} = \frac{\mu_0 I}{4R}$।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}$ है।
$X-$ अक्ष के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{B_y}{B_x} = \frac{\mu_0 I / 4R}{\mu_0 I / 2R} = \frac{2R}{4R} = \frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{2}$,हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसकी सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $2$ है। कर्ण $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$।

(D) वर्गाकार लूप को चार खंडों $AB, BC, CD,$ और $DA$ में विभाजित किया गया है।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$r$ लंबवत दूरी पर एक सीमित तार खंड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ भुजा वाले वर्ग के लिए,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी $r = a/2$ है। प्रत्येक भुजा के सिरों द्वारा केंद्र पर बनने वाले कोण $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ हैं।
अतः,एक भुजा के कारण क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi (a/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2}\pi a}$ है।
दिए गए परिपथ में,धारा $I$ बिंदु $A$ पर प्रवेश करती है और $C$ पर बाहर निकलती है। धारा दो समानांतर पथों $ABC$ और $ADC$ में विभाजित हो जाती है।
समरूपता के कारण,केंद्र $O$ पर $AB$ और $AD$ खंडों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द कर देते हैं। इसी तरह,$BC$ और $DC$ के क्षेत्र भी एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
इसलिए,केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $M$ की प्रत्येक तार से दूरी $r$ है। एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $B_1$ तार $PQ$ ($2\,A$ धारा) के कारण और $B_2$ तार $RS$ ($1\,A$ धारा) के कारण चुंबकीय क्षेत्र है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,$PQ$ के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर है,और $RS$ के कारण कागज के तल के बाहर की ओर है।
$B_1 = \frac{\mu_0 (2)}{2\pi r} = 2k$ (जहाँ $k = \frac{\mu_0}{2\pi r}$)।
$B_2 = \frac{\mu_0 (1)}{2\pi r} = k$।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = 2k - k = k$ है।
जब $2\,A$ की धारा बंद कर दी जाती है,तो $PQ$ के कारण क्षेत्र शून्य हो जाता है।
$M$ पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = B_2 = k$ होगा।
चूंकि $B = k$,इसलिए नया क्षेत्र $B' = B$ होगा।

(C) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,तारों के बीच की दूरी $d = 5 \; m$ है। बिंदु मध्य में है,इसलिए प्रत्येक तार से दूरी $r = d/2 = 2.5 \; m$ होगी।
$I_1 = 2.5 \; A$ धारा वाले तार $P$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 (2.5)}{2 \pi (2.5)} = \frac{\mu_0}{2 \pi}$ है।
$I_2 = 5 \; A$ धारा वाले तार $Q$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 (5)}{2 \pi (2.5)} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{\pi}$ है।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,दाएं हाथ के नियम के अनुसार,मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_2 - B_1| = |\frac{\mu_0}{\pi} - \frac{\mu_0}{2 \pi}| = \frac{\mu_0}{2 \pi}$ होगा।

(A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जो केंद्र पर $\theta$ कोण बनाता है,$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,चाप एक चौथाई वृत्त है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
सीधे तार के खंड बिंदु $O$ की ओर या उससे दूर निर्देशित हैं,इसलिए उनके कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
अतः,$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र केवल चौथाई-वृत्ताकार चाप के कारण है:
$B = \frac{1}{4} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$।
दिया गया है: $I = 10 \, A$,$R = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$।
मान रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{8 \times 5 \times 10^{-2}} = \frac{40 \pi \times 10^{-7}}{40 \times 10^{-2}} = \pi \times 10^{-5} \, T$।

(B) तार से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक छोटी पट्टी पर विचार करें। इस दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (r+x)}$ है।
इस पट्टी का क्षेत्रफल $dA = s \cdot dx$ है।
इस पट्टी से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $d\phi = B \cdot dA = \frac{\mu_0 I s}{2 \pi (r+x)} dx$ है।
कुल फ्लक्स $\phi$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ से $x = t$ तक समाकलन करें:
$\phi = \int_{0}^{t} \frac{\mu_0 I s}{2 \pi (r+x)} dx = \frac{\mu_0 I s}{2 \pi} [\ln(r+x)]_{0}^{t} = \frac{\mu_0 I s}{2 \pi} \ln\left(\frac{r+t}{r}\right)$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ लूप की भुजा की लंबाई $s$ के सीधे समानुपाती है।

(B) अर्ध-अनंत तार $AB$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ है, जो तल के अंदर की ओर $(\otimes)$ निर्देशित है।
तार के भाग $BC$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{BC} = 0$ है क्योंकि बिंदु $P$, तार $BC$ की अक्ष पर स्थित है।
अर्ध-अनंत तार $A'B'$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{A'B'} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ है, जो तल के अंदर की ओर $(\otimes)$ निर्देशित है।
तार के भाग $B'C'$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{B'C'} = 0$ है क्योंकि बिंदु $P$, तार $B'C'$ की अक्ष पर स्थित है।
चूंकि सभी गैर-शून्य चुंबकीय क्षेत्र घटक तल के अंदर की ओर निर्देशित हैं, इसलिए $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र इन घटकों का योग होगा:
$B_{net} = B_{AB} + B_{A'B'} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{2\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{2I}{r} \right)$.