Relation between Electric Field and Potential and Potential Gradient Questions in Gujarati

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = V_B - V_A$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના રેખા સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_B - V_A = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{r} = dx\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A(0, 0, 0)$ અને $B(2, 3, 4)$ છે.
$V_A - V_B = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r} = \int_{(0,0,0)}^{(2,3,4)} (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (dx\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k})$.
$V_A - V_B = \int_{0}^{2} dx + \int_{0}^{3} 2dy + \int_{0}^{4} dz$.
$V_A - V_B = [x]_0^2 + 2[y]_0^3 + [z]_0^4 = 2 + 2(3) + 4 = 2 + 6 + 4 = 12 \text{ V}$.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $12 \text{ V}$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $dV = -\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r}$.
એક-પરિમાણીય ક્ષેત્ર માટે,આ સમીકરણ $dV = -E_x dx$ બને છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_O$ શોધવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ થી બિંદુ $A$ $(x = 2 \, m)$ સુધી સંકલન કરીશું:
$V_A - V_O = -\int_{0}^{2} E_x dx$.
આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_x = 30x^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_A - V_O = -\int_{0}^{2} 30x^2 dx$.
સંકલન કરતા:
$V_A - V_O = -30 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$V_A - V_O = -30 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = -80 \, V$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 20\hat{i}\, N/C$ તરીકે આપેલ છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{AB} = (x_B - x_A)\hat{i} + (y_B - y_A)\hat{j} = (6 - 4)\hat{i} + (5 - 2)\hat{j} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $V_B - V_A = -(20\hat{i}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j})$ મળે છે.
$V_B - V_A = -20 \times 2 = -40\, V$.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = 4x^2$,તેથી આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
આમ,$\overrightarrow{E} = -(8x) \hat{i} = -8x \hat{i}$.
બિંદુ $(1 \ m, 0, 2 \ m)$ પર,$x$ નું મૂલ્ય $1 \ m$ છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \ V/m$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $8 \ V/m$ ના મૂલ્ય સાથે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પોટેન્શિયલ $V$ સાથે $E = -\frac{dV}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જે $V-x$ આલેખના ઢાળનું ઋણ મૂલ્ય છે.
$x = 13\,m$ આગળ,બિંદુ $x = 12\,m$ અને $x = 16\,m$ વચ્ચેના રેખાખંડ પર આવેલું છે.
આ રેખાખંડના અંતિમ બિંદુઓના યામ $(12, 30)$ અને $(16, 10)$ છે.
આ રેખાખંડનો ઢાળ $\text{slope} = \frac{V_2 - V_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 30}{16 - 12} = \frac{-20}{4} = -5\,V/m$ છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -(\text{slope}) = -(-5) = 5\,V/m$ થાય.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2 + 10x - 9$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $V$ નું વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 10x - 9) = 10x + 10$ મળે છે.
આ કિંમતને વિદ્યુત ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $E = -(10x + 10)$.
$x = 1 \, m$ આગળ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = -(10(1) + 10) = -(10 + 10) = -20 \, V m^{-1}$ થાય છે.

(B) માત્ર $z$ પર આધારિત સ્થિતિમાન માટે પોઈસનનું સમીકરણ વાપરતા: $\frac{d^2V}{dz^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$|z| < 1 \ m$ માટે,$V(z) = 30 - 5z^2$. તેથી,$\frac{dV}{dz} = -10z$ અને $\frac{d^2V}{dz^2} = -10$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $-10 = -\frac{\rho_0}{\varepsilon_0} \implies \rho_0 = 10 \varepsilon_0$.
$|z| > 1 \ m$ માટે,$V(z) = 35 - 10|z|$. $z > 1$ માટે,$V(z) = 35 - 10z$,તેથી $\frac{dV}{dz} = -10$ અને $\frac{d^2V}{dz^2} = 0$. આમ,$\rho = 0$.
$z < -1$ માટે,$V(z) = 35 + 10z$,તેથી $\frac{dV}{dz} = 10$ અને $\frac{d^2V}{dz^2} = 0$. આમ,$\rho = 0$.
તેથી,$|z| \le 1 \ m$ માટે $\rho_0 = 10 \varepsilon_0$ અને અન્યત્ર $\rho_0 = 0$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = -(E_x dx + E_y dy)$.
અહીં $\vec{E} = (25 \hat{i} + 30 \hat{j}) \, NC^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $E_x = 25$ અને $E_y = 30$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ની સાપેક્ષે $(2, 2)$ પર સ્થિતિમાન શોધવા માટે,આપણે સંકલન કરીશું:
$V(2, 2) - V(0, 0) = -\int_{(0,0)}^{(2,2)} (25 dx + 30 dy)$.
કારણ કે $V(0, 0) = 0$ છે,તેથી:
$V(2, 2) = -[25x + 30y]_{(0,0)}^{(2,2)}$.
$V(2, 2) = -[25(2) + 30(2)] - [25(0) + 30(0)]$.
$V(2, 2) = -(50 + 60) = -110 \, V$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\frac{dV}{dx} \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $dV = -E_x dx$.
બંને બાજુ $x = -5$ થી $x = 1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{V_2}^{V_1} dV = -\int_{-5}^{1} (Ax + B) dx$
$V_1 - V_2 = -\int_{-5}^{1} (20x + 10) dx$
$V_1 - V_2 = -[10x^2 + 10x]_{-5}^{1}$
$V_1 - V_2 = -[(10(1)^2 + 10(1)) - (10(-5)^2 + 10(-5))]$
$V_1 - V_2 = -[(10 + 10) - (250 - 50)]$
$V_1 - V_2 = -[20 - 200]$
$V_1 - V_2 = -[-180] = 180\, V$.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = -5x + 3y + \sqrt{15}z$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(-5) = 5$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(3) = -3$
$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -(\sqrt{15}) = -\sqrt{15}$
તેથી,$\vec{E} = 5\hat{i} - 3\hat{j} - \sqrt{15}\hat{k}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$ છે.
$|\vec{E}| = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-\sqrt{15})^2} = \sqrt{25 + 9 + 15} = \sqrt{49} = 7$.

(A) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta V = -\int \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $\Delta V = -E \cdot dr \cdot \cos \theta$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $d \overrightarrow{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર મહત્તમ થવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$|\cos \theta|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ (બળની રેખાઓ) ની દિશામાં ગતિ કરવી.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec E = -\nabla V$ છે.
અહીં $V = 2x^2$ હોવાથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec E = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat i + \frac{\partial V}{\partial y} \hat j + \frac{\partial V}{\partial z} \hat k \right)$ થશે.
આંશિક વિકલન કરતા: $\frac{\partial V}{\partial x} = 4x$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$,અને $\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
તેથી,$\vec E = -(4x) \hat i$.
બિંદુ $(2 \ m, 0, 3 \ m)$ પર,$x$-યામ $2 \ m$ છે.
$x = 2$ મૂકતા,આપણને $\vec E = -(4 \times 2) \hat i = -8 \hat i \ N C^{-1}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{1}{2}(y^2 - 4x)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{2}y^2 - 2x \right) = -(-2) = 2 \text{ V/m}$.
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{2}y^2 - 2x \right) = -\left( \frac{1}{2} \cdot 2y \right) = -y \text{ V/m}$.
બિંદુ $(1 \text{ m}, 1 \text{ m})$ માટે:
$E_x = 2 \text{ V/m}$.
$E_y = -1 \text{ V/m}$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 2\hat{i} - \hat{j} \text{ V/m}$ મળે છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\vec{E} = a(y\hat{i} + x\hat{j})$,તેથી:
$-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j}\right) = ay\hat{i} + ax\hat{j}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -ay$ અને $\frac{\partial V}{\partial y} = -ax$.
$\frac{\partial V}{\partial x} = -ay$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$V = -axy + f(y)$,જ્યાં $f(y)$ એ $y$ નું વિધેય છે.
આનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial y} = -ax + f'(y)$.
આને $\frac{\partial V}{\partial y} = -ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f'(y) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(y) = C$ (એક અચળાંક).
તેથી,$V = -axy + C$.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આપેલ $V = 2x + 3y - z$ માટે,આપણે આંશિક વિકલન કરીએ:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + 3y - z) = 2$
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 3y - z) = 3$
$\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2x + 3y - z) = -1$
આ કિંમતોને $\vec{E}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -(2\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k})$
$\vec{E} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2 + 10x - 9$.
$V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 10x - 9) = 10x + 10$.
તેથી,$E = -(10x + 10)$.
$x = 1 \, m$ પર:
$E = -(10(1) + 10) = -(10 + 10) = -20 \, V/m$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec E = -\nabla V$ છે,જેનો અર્થ છે કે $dV = -\vec E \cdot d\vec r$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $(1, 1, 1)$ સુધી સંકલન કરતા:
$V(1, 1, 1) - V(0, 0, 0) = -\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)} (2x\hat i + y^2\hat j) \cdot (dx\hat i + dy\hat j + dz\hat k)$.
$V(1, 1, 1) - 2 = -\left[ \int_{0}^{1} 2x \, dx + \int_{0}^{1} y^2 \, dy \right]$.
$V(1, 1, 1) - 2 = -\left[ x^2 \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$V(1, 1, 1) - 2 = -(1 - 0) - (1/3 - 0) = -1 - 1/3 = -4/3$.
$V(1, 1, 1) = 2 - 4/3 = 2/3 \, V$.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ માં બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -\int \vec E \cdot d\vec l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,આ સૂત્ર $\Delta V = E \Delta r$ માં સરળ બને છે,જ્યાં $\Delta r$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થાનાંતર છે.
આપેલ આકૃતિમાં,માર્ગની લંબાઈ $d$ છે જે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ સાથે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થાનાંતરનો ઘટક $\Delta r = d \cos 60^o$ છે.
તેથી,બિંદુ $1$ અને $2$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E d \cos 60^o$ થશે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{E} = 2x\hat{i} + 3y\hat{j}$ અને $V(0,0) = 5\, V$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $(X, Y)$ બિંદુ સુધી સંકલન કરતા:
$V(X, Y) - V(0,0) = -\int_{(0,0)}^{(X, Y)} (2x\hat{i} + 3y\hat{j}) \cdot (dx\hat{i} + dy\hat{j})$
$V(X, Y) - 5 = -\int_{0}^{X} 2x\, dx - \int_{0}^{Y} 3y\, dy$
$V(X, Y) - 5 = -[x^2]_{0}^{X} - [\frac{3}{2}y^2]_{0}^{Y}$
$V(X, Y) - 5 = -X^2 - \frac{3}{2}Y^2$
$V(X, Y) = -X^2 - \frac{3}{2}Y^2 + 5$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
જો કોઈ બિંદુએ $V = 0$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $E = 0$ જ હોય. ઉદાહરણ તરીકે,સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચના કેન્દ્રમાં,$V$ અચળ અને શૂન્યતર છે,પરંતુ $E = 0$ છે. તેનાથી વિપરીત,બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારોની વચ્ચે,મધ્યબિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય છે,પરંતુ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય નથી.
તે જ રીતે,જો કોઈ બિંદુએ $E = 0$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $V = 0$ હોય. ઉદાહરણ તરીકે,વિદ્યુતભારીત વાહક ગોળાની અંદર,$E = 0$ હોય છે,પરંતુ $V$ અચળ હોય છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે.
તેથી,જો $V = 0$ હોય,તો $E$ શૂન્ય હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે. તેવી જ રીતે,જો $E = 0$ હોય,તો $V$ શૂન્ય હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j})$ છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{1}{2}(y^2 - 4x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} [\frac{1}{2}(y^2 - 4x)] = -\frac{1}{2}(-4) = 2 \text{ V/m}$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y} [\frac{1}{2}(y^2 - 4x)] = -\frac{1}{2}(2y) = -y \text{ V/m}$.
બિંદુ $(1 \text{ m}, 1 \text{ m})$ પર,$x = 1$ અને $y = 1$ છે.
$E_y$ ના સમીકરણમાં $y = 1$ મૂકતા:
$E_y = -1 \text{ V/m}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E_x\hat{i} + E_y\hat{j} = 2\hat{i} - 1\hat{j} \text{ V/m}$ થશે.

(N/A) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ માટે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ માટે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V = E \times r$.
મુખ્ય તફાવતો:
$1$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ સદિશ રાશિ છે,જ્યારે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ છે.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળનું નિરૂપણ કરે છે,જ્યારે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અનંત અંતરેથી એકમ ધન વિદ્યુતભારને કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્યનું નિરૂપણ કરે છે.

(N/A) કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને તે બિંદુએ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (negative gradient) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,આ સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\vec{E} = -\nabla V$.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,તેને આ રીતે લખી શકાય: $\vec{E} = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આ સંબંધ સૂચવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાનમાં થતા સૌથી ઝડપી ઘટાડાની દિશામાં હોય છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બે નજીક રહેલી સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ $A$ અને $B$ લો,જેના સ્થિતિમાનના મૂલ્યો $V$ અને $V+\delta V$ છે,જ્યાં $\delta V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં $V$ માં થતો ફેરફાર છે.
ધારો કે $P$ એ સપાટી $B$ પરનું એક બિંદુ છે. $\delta l$ એ સપાટી $A$ નું $P$ થી લંબ અંતર છે. ધારો કે એક એકમ ધન વિદ્યુતભારને સપાટી $B$ થી સપાટી $A$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં લંબ રૂપે ખસેડવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $|\vec{E}| \delta l$ છે.
પરંતુ થયેલું કાર્ય,$W = V_{A} - V_{B}$.
તેથી,$|\vec{E}| \delta l = V - (V + \delta V)$.
$|\vec{E}| \delta l = -\delta V$.
$|\vec{E}| = -\frac{\delta V}{\delta l}$.
આમ,સ્થિતિમાન પ્રચલનનું ઋણ મૂલ્ય એ વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય જેટલું હોય છે. $\frac{\delta V}{\delta l}$ ને સ્થિતિમાન પ્રચલન કહેવામાં આવે છે. તેનો એકમ $V \cdot m^{-1}$ છે.
આના પરથી બે મહત્વના તારણો મળે છે:
$(1)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર તે દિશામાં હોય છે જે દિશામાં સ્થિતિમાન સૌથી ઝડપથી ઘટે છે.
$(2)$ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય એ બિંદુએ સમસ્થિતિમાન સપાટીને લંબ એકમ સ્થાનાંતર દીઠ સ્થિતિમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.

(N/A) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ તે બિંદુએ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ ના ઋણ પ્રચલન (negative gradient) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$E = -\nabla V$
એક પરિમાણમાં,આ સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -\frac{dV}{dr}$
જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$V$ એ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે અને $r$ એ સ્થાન નિર્દેશાંક છે.

(N/A) સ્થિતિમાન પ્રચલન એટલે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં અંતરની સાપેક્ષે વિદ્યુત સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર.
ગાણિતિક રીતે,તેને $E = -\frac{dV}{dr}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,$V$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે અને $r$ એ અંતર છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
સ્થિતિમાન પ્રચલનનો $SI$ એકમ $V/m$ (વોલ્ટ પ્રતિ મીટર) છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ ગ્રેડિયન્ટના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V$.
આપેલ વિસ્તારમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ $(5 \ V)$ હોવાથી,તેનું સ્થાનિક વિકલન (ગ્રેડિયન્ટ) શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$\vec{E} = -\frac{dV}{dr} = 0$.
આમ,આ વિસ્તારમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $0 \ N/C$ છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = 3x^2$,તેથી આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
આમ,$\vec{E} = -(6x) \hat{i} = -6x \hat{i}$.
બિંદુ $(1, 0, 3)$ પર,$x$-યામ $1$ છે. આ કિંમત $\vec{E}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -6(1) \hat{i} = -6 \hat{i} \, Vm^{-1}$.
તેનું મૂલ્ય $6 \, Vm^{-1}$ છે અને ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(A) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એટલે અંતરની સાપેક્ષમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\frac{dV}{dr}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,આપણી પાસે $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
જેમ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ એ સદિશ રાશિ છે,તેથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\frac{dV}{dr}$ પણ સદિશ રાશિ હોવી જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 - V_6$ એ $x = 2 \, m$ અને $x = 6 \, m$ વચ્ચેના $E-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_2 - V_6 = \int_{2}^{6} E \, dx$
આ સંકલન $x = 2 \, m$ થી $x = 6 \, m$ સુધીના $E-x$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આ ક્ષેત્રફળમાં $x = 2$ થી $x = 4$ સુધીનો લંબચોરસ અને $x = 4$ થી $x = 6$ સુધીનો ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{પાયો } \times \text{વેધ } = (4 - 2) \times 10 = 2 \times 10 = 20 \, V$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો } \times \text{વેધ } = \frac{1}{2} \times (6 - 4) \times 10 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \, V$.
કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત = $20 + 10 = 30 \, V$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠોને લંબ હોય છે અને ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે.
આકૃતિ પરથી,સમસ્થિતિમાન રેખાઓ ધન $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓને લંબ રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બે ક્રમિક પૃષ્ઠો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 10 \, V$ છે.
બે ક્રમિક પૃષ્ઠો વચ્ચેનું લંબ અંતર $d$ ભૂમિતિ પરથી ગણી શકાય: $d = 1 \cdot \sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \, m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{|\Delta V|}{d} = \frac{10}{1/\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2} \, V/m$ છે.
ક્ષેત્ર ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોવાથી,તે $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે દિશામાન થયેલ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
આપેલ છે કે $V = 10axy$.
વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો નીચે મુજબ મળે છે:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(10axy) = -10ay$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}(10axy) = -10ax$
$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રનો સદિશ $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} + E_z \hat{k} = -10ay \hat{i} - 10ax \hat{j} = -10a(y \hat{i} + x \hat{j})$ થાય.

(B) $x$-અક્ષની દિશામાં વિદ્યુત ક્ષેત્રનો ઘટક $E_x = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સ્થિતિમાન $4 \,m$ ના અંતર ($x = -2 \,m$ થી $x = +2 \,m$) માં $60 \,V$ થી $20 \,V$ સુધી સમાન રીતે ઘટે છે,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્રના $x$-ઘટકનું મૂલ્ય $|E_x| = \frac{\Delta V}{\Delta x} = \frac{60 \,V - 20 \,V}{2 \,m - (-2 \,m)} = \frac{40 \,V}{4 \,m} = 10 \,V/m$ થાય.
સ્થિતિમાન ફક્ત $x$ ના વિધેય તરીકે આપેલ હોવાથી,આપણે એવું કહી શકતા નથી કે $y$ અથવા $z$ દિશામાં વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઘટકો શૂન્ય છે. કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$ છે.
જો $E_y$ અને $E_z$ શૂન્ય ન હોય,તો પણ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{(10)^2 + E_y^2 + E_z^2}$ થશે,જે $10 \,V/m$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હશે.
તેથી,ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $10 \,V/m$ કરતા વધારે હોઈ શકે છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{3x^2}{2} - \frac{y^2}{4}$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{3x^2}{2} - \frac{y^2}{4} \right) = -3x$.
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{3x^2}{2} - \frac{y^2}{4} \right) = -\left( -\frac{2y}{4} \right) = \frac{y}{2}$.
બિંદુ $(1 \, m, 2 \, m)$ પર,$x = 1$ અને $y = 2$ મુકતા:
$E_x = -3(1) = -3 \, N/C$.
$E_y = \frac{2}{2} = 1 \, N/C$.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = -3 \hat{i} + \hat{j} \, N/C$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સ્થિતિમાન વિધેય $V = 8x^2 + 2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(8x^2 + 2) = 16x$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_x = -16x$ થાય.
બિંદુ $(-4, 0)$ પર,$x$-યામ $x = -4$ છે.
આ કિંમતને $E_x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E_x = -16(-4) = 64 \, V/m$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E_x| = 64 \, V/m$ છે.

(B) બિંદુઓ $B$ અને $C$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_C - V_B = 20 \, V - 15 \, V = 5 \, V$ છે.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સમાન છે અને ત્રિકોણના સમતલમાં છે,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = E \cdot d \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે અને $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$A$ અને $B$ સમાન સ્થિતિમાન પર હોવાથી,રેખા $AB$ એ સમસ્થિતિમાન રેખા છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સમસ્થિતિમાન રેખા $AB$ ને લંબ હોવું જોઈએ. તેથી,$\vec{E}$ એ $BC$ ને સમાંતર છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = BC = 4 \, cm = 0.04 \, m$ છે.
કારણ કે $\vec{E}$ એ $BC$ ને સમાંતર છે,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = E \cdot d$ થશે.
$5 \, V = E \times 0.04 \, m$.
$E = \frac{5}{0.04} \, V/m = 125 \, V/m$ (અથવા $N/C$).

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
આપેલ $V = 2ar^2 + b$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$E = -\frac{d}{dr}(2ar^2 + b) = -4ar$ મળે છે.
સમાન રીતે વીજભારિત ગોળા માટે ગૌસના નિયમ મુજબ,અંદરના ભાગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ કદ વીજભાર ઘનતા છે.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $-4ar = \frac{\rho r}{3\varepsilon}$.
$\rho$ માટે ઉકેલતા: $\rho = -12a\varepsilon$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\rho = -\lambda a\varepsilon$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 12$ મળે છે.

(B) બે મોટી સમાંતર વાહક પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન હોય છે અને તે $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $d = 10 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E = \frac{V}{10 \ cm}$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = E \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં બિંદુઓ વચ્ચેના સ્થાનાંતર સદિશનો પ્રક્ષેપ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ (આડું) હોય છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું આડું અંતર (પ્રક્ષેપ) એ $C$ અને $B$ વચ્ચેના આડા અંતર જેટલું જ છે,જે $4 \ cm$ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = E \cdot (4 \ cm) = \left( \frac{V}{10 \ cm} \right) \times 4 \ cm = \frac{4}{10} V = \frac{2}{5} V$ થાય.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાનના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6 - 8y^2$
$\frac{\partial V}{\partial y} = -16xy - 8 + 6z$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 6y - 8z$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6 - 0 = 6$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0 - 8 + 0 = -8$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0 - 0 = 0$
આમ,$\vec{E} = -(6 \hat{i} - 8 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -6 \hat{i} + 8 \hat{j} \text{ V/m}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ N/C}$.
વિદ્યુત બળ $F = qE = 2 \text{ C} \times 10 \text{ N/C} = 20 \text{ N}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ અને સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ વચ્ચેના લંબ અંતર $d$ સાથે $E = \frac{\Delta V}{d}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આકૃતિ પરથી,બે નજીકની સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 20 \ V - 10 \ V = 10 \ V$ છે.
આ બે સપાટીઓ વચ્ચે $x$-અક્ષ પરનું અંતર $\Delta x = 20 \ cm - 10 \ cm = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
સપાટીઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર $d$ એ $d = \Delta x \sin 30^{\circ} = 0.1 \times \sin 30^{\circ} = 0.1 \times 0.5 = 0.05 \ m$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{10 \ V}{0.05 \ m} = 200 \ V/m$ થશે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 2x^2 + 10x - 9$.
$V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2 + 10x - 9) = 4x + 10$.
તેથી,$E = -(4x + 10)$.
$x = 1 \text{ m}$ આગળ,વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E = -(4(1) + 10) = -(4 + 10) = -14 \text{ V/m}$.

(A) કણ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = mg$
અહીં $F_e = qE$ અને $E = \frac{V}{d}$ હોવાથી,$F_e = \frac{qV}{d}$ મળે.
બળોને સરખાવતા: $mg = \frac{qV}{d}$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર: $m = \frac{qV}{gd}$.
આપેલ કિંમતો: $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$V = 980 \text{ V}$,$d = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$,$g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 980}{9.8 \times 0.08}$
$m = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 100}{0.08}$
$m = \frac{1.6 \times 10^{-17}}{0.08} = 20 \times 10^{-17} \text{ kg} = 2 \times 10^{-16} \text{ kg}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
આપેલ છે કે $V = ar^2 + b$,તેથી $E = -\frac{d}{dr}(ar^2 + b) = -2ar$.
ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,ત્રિજ્યાવર્તી ક્ષેત્ર $E(r)$ માટે ડાયવર્જન્સ $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $E = -2ar$ મૂકતા:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot (-2ar)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2ar^3) = \frac{1}{r^2} (-6ar^2) = -6a$.
તેથી,$\rho = -6a\varepsilon_0$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 4x^2 + 8x - 3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $V$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 + 8x - 3) = 8x + 8$.
આને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = -(8x + 8) = -8x - 8$.
હવે,$x = 0.5 \ m$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય શોધતા:
$E = -8(0.5) - 8 = -4 - 8 = -12 \ V/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુતબળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = F/q = 3000 \, N / 3 \, C = 1000 \, N/C$ છે।
એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $d$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
અહીં $d = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા, $V = 1000 \, N/C \times 10^{-2} \, m = 10 \, V$ મળે છે।

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = 30x^2 \hat{i}$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i}$ આપેલ છે,તેથી $dV = -30x^2 dx$ થાય.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_0)$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી સંકલન કરીશું:
$\int_{V_0}^{V_A} dV = -\int_{0}^{2} 30x^2 dx$.
$V_A - V_0 = -[10x^3]_{0}^{2}$.
$V_A - V_0 = -(10(2)^3 - 10(0)^3) = -(10 \times 8) = -80 \ V$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{l}$.
આપેલ છે કે $\vec{E} = 20x^2 \hat{i}$ અને $d\vec{l} = dx \hat{i}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $dV = -(20x^2 \hat{i}) \cdot (dx \hat{i}) = -20x^2 dx$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_0$ શોધવા માટે,આપણે $x=0$ થી $x=3 \ m$ સુધી સંકલન કરીશું:
$V_A - V_0 = \int_{V_0}^{V_A} dV = \int_{0}^{3} -20x^2 dx$.
$V_A - V_0 = -20 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$V_A - V_0 = -20 \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = -20 \left( \frac{27}{3} \right) = -20 \times 9 = -180 \ V$.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(5x^2) = 10x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
આમ,$\overrightarrow{E} = -(10x)\hat{i} = -10x\hat{i} \text{ N/C}$.
બિંદુ $(1, 2, 3) \text{ m}$ પર,$x = 1$ મૂકતા:
$\overrightarrow{E} = -10(1)\hat{i} = -10\hat{i} \text{ N/C}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10 \ V$
અંતર $d = 20 \ cm = 20 \times 10^{-2} \ m = 0.2 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{10}{0.2} = 50 \ Vm^{-1}$
તેથી,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $50 \ Vm^{-1}$ છે.

(B) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{|\Delta V|}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V = V_2 - V_1 = 30 \,V - (-10 \,V) = 40 \,V$.
અંતર $d = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{40 \,V}{2 \times 10^{-2} \,m} = 20 \times 10^2 \,V/m = 2000 \,V/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.