Relation between Electric Field and Potential and Potential Gradient Questions in Gujarati

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $E = -\frac{dV}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે. વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E| = |\frac{dV}{dx}|$ છે,જે $V-x$ આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે.
વિસ્તાર $A$ ($x=0$ થી $1$ m) માં,$V$ અચળ ($2$ $V$) છે,તેથી ઢાળ $\frac{dV}{dx} = 0$ છે. આમ,$E_{A} = 0$.
વિસ્તાર $B$ ($x=1$ થી $2$ m) માં,ઢાળ $\frac{4-2}{2-1} = 2$ $V$/m છે. આમ,$|E_{B}| = 2$ $V$/m.
વિસ્તાર $C$ ($x=2$ થી $4$ m) માં,$V$ અચળ ($4$ $V$) છે,તેથી ઢાળ $\frac{dV}{dx} = 0$ છે. આમ,$E_{C} = 0$.
વિસ્તાર $D$ ($x=4$ થી $5$ m) માં,ઢાળ $\frac{0-4}{5-4} = -4$ $V$/m છે. આમ,$|E_{D}| = |-4| = 4$ $V$/m.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $E_{A} = E_{C} = 0$ અને $E_{B} = 2$ $V$/m,$E_{D} = 4$ $V$/m. તેથી,$E_{A} = E_{C}$ અને $E_{B} < E_{D}$.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = 3x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2) = 6x$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$.
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
આમ,$\vec{E} = -6x \hat{i}$.
બિંદુ $(2, 0, 1)$ પર,$x$-યામ $2$ છે.
$\vec{E}$ ના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા:
$\vec{E} = -6(2) \hat{i} = -12 \hat{i} \ Vm^{-1}$.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $-12 \ Vm^{-1}$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
અહીં સ્થિતિમાન $V$ માત્ર $x$ પર આધાર રાખે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_x = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $V = 3x^2 + 5$.
વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5) = 6x$.
તેથી,$E_x = -6x$.
$(-2, 1, 0)$ બિંદુ પર,$x$-યામ $-2$ છે.
$E_x$ ના સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$E_x = -6(-2) = +12 \ Vm^{-1}$.
આમ,$(-2, 1, 0)$ બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $+12 \ Vm^{-1}$ છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં, વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
ધારો કે વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્થિતિમાન $V = -E \cdot x + \text{અચળાંક}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના $x$-યામની સરખામણી કરતા:
બિંદુ $A$ સૌથી જમણી બાજુએ છે, તેથી તેનો $x$-યામ સૌથી મોટો છે.
બિંદુઓ $B$ અને $C$ સમાન $x$-યામ ધરાવે છે, તેથી $V_B = V_C$.
જેમ કે $A$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં $B$ અને $C$ કરતા આગળ છે, તેથી $A$ પરનું સ્થિતિમાન સૌથી ઓછું છે.
તેથી, $V_B = V_C > V_A$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $V_C > V_B > V_A$ એ સ્થિતિમાનના ઢાળનું સૌથી તાર્કિક નિરૂપણ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
આપેલ છે કે $V = 20|\vec{r}| = 20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
ગ્રેડિયન્ટ $\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k}$ ની ગણતરી કરતા.
$\frac{\partial V}{\partial x} = 20 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2x = \frac{20x}{|\vec{r}|}$.
તે જ રીતે,$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{20y}{|\vec{r}|}$ અને $\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{20z}{|\vec{r}|}$.
આમ,$\vec{E} = -\frac{20}{|\vec{r}|} (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = -\frac{20}{|\vec{r}|} \vec{r} = -20 \hat{r}$.
બિંદુ $(4, 3, -5)$ પર,મૂલ્ય $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{E} = -\frac{20}{5\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -2\sqrt{2} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k})$.
આનું સાદું રૂપ $-\sqrt{2} (8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 10 \hat{k})$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે: $\vec{E} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \text{ NC}^{-1}$ અને $V(0,0) = 0 \text{ V}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $(1,2)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{V(0,0)}^{V(1,2)} dV = -\int_{(0,0)}^{(1,2)} (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$V(1,2) - V(0,0) = -\left[ \int_{0}^{1} 30 dx + \int_{0}^{2} 40 dy \right]$
$V(1,2) - 0 = -[30(1) + 40(2)]$
$V(1,2) = -(30 + 80) = -110 \text{ V}$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન $V$ ના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$.
આપેલ છે $V = \frac{1}{2} y^2 - 2x$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -2$
$\frac{\partial V}{\partial y} = y$
આ કિંમતોને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -(-2 \hat{i} + y \hat{j}) = 2 \hat{i} - y \hat{j}$.
બિંદુ $(x = 1 \text{ m}, y = 1 \text{ m})$ પર:
$\vec{E} = 2 \hat{i} - (1) \hat{j} = 2 \hat{i} - \hat{j} \text{ Vm}^{-1}$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 5x \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર $X$-દિશામાં હોવાથી, $Y$-અક્ષ (જ્યાં $x=0$ છે) એ સમસ્થિતિમાન રેખા છે. તેથી, બિંદુ $A(0, 5)$ પરનું સ્થિતિમાન એ ઉગમબિંદુ $C(0, 0)$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ છે.
$V_A = V_C$.
હવે, આપણે $C(0, 0)$ અને $B(2, 0)$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત ગણીએ:
$V_B - V_C = -\int_{0}^{2} E_x dx = -\int_{0}^{2} 5x dx$.
$V_B - V_C = -5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = -5 \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = -5(2) = -10 \text{ V}$.
કારણ કે $V_A = V_C$, તેથી $V_B - V_A = -10 \text{ V}$ થાય.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla \phi$ છે.
અહીં સ્થિતિમાન $\phi$ માત્ર $x$ પર આધારિત હોવાથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i}$ થશે.
આપેલ છે કે $\phi(x) = \phi_0 \frac{x_0}{x} = (8 \ V)(5 \ m) \frac{1}{x} = \frac{40}{x} \ V \cdot m$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{\partial \phi}{\partial x} = 40 \frac{d}{dx}(x^{-1}) = 40 (-x^{-2}) = -\frac{40}{x^2}$.
તેથી,$\vec{E} = -(-\frac{40}{x^2}) \hat{i} = \frac{40}{x^2} \hat{i} \ V/m$.
બિંદુ $(10 \ m, 5 \ m, 5 \ m)$ પર,$x$-યામ $10 \ m$ છે.
$\vec{E}$ ના સમીકરણમાં $x = 10 \ m$ મૂકતા: $\vec{E} = \frac{40}{10^2} \hat{i} = \frac{40}{100} \hat{i} = 0.40 \ Vm^{-1} \hat{i}$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે,જેનો અર્થ છે કે $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
આપેલ છે કે $\vec{E} = A(x \hat{i} + y \hat{j})$,તેથી $dV = -A(x dx + y dy)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$V = -A \int x dx - A \int y dy = -A \frac{x^2}{2} - A \frac{y^2}{2} + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલન અચળાંક છે.
$A = 10 \ Vm^{-2}$ મૂકતા,$V = -5(x^2 + y^2) + C$ મળે.
આપેલ છે કે $(10 \ m, 20 \ m)$ પર સ્થિતિમાન શૂન્ય છે,તેથી $0 = -5(10^2 + 20^2) + C$.
$0 = -5(100 + 400) + C \Rightarrow 0 = -5(500) + C \Rightarrow C = 2500 \ V$.
આમ,સ્થિતિમાનનું વિધેય $V(x, y) = -5(x^2 + y^2) + 2500$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર,સ્થિતિમાન $V(0, 0) = -5(0^2 + 0^2) + 2500 = 2500 \ V$ થાય.

(D) અનંત અવાહક શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\sigma = 7 \times 10^{-7} \text{ C m}^{-2}$ અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ SI units}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\varepsilon_0 = \frac{1}{4 \pi \times 9 \times 10^9} \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ F m}^{-1}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ વચ્ચેનો સંબંધ અંતર $\Delta r$ માટે $|E| = \frac{\Delta V}{\Delta r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{\Delta V}{\Delta r}$
$\Delta r = \frac{\Delta V \times 2 \varepsilon_0}{\sigma} = \frac{19.8 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12}}{7 \times 10^{-7}}$
$\Delta r = \frac{19.8 \times 17.7 \times 10^{-12}}{7 \times 10^{-7}} \approx 5 \times 10^{-4} \text{ m} = 0.5 \text{ mm}$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન પ્રચલન સાથે $\vec{E} = -\nabla V$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
સ્થિતિમાન પ્રચલનનું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં મહત્તમ હોય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એવું પૃષ્ઠ છે જ્યાં દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ માટે,સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ દરેક બિંદુએ પૃષ્ઠને લંબ હોવો જોઈએ.
કારણ કે મહત્તમ સ્થિતિમાન પ્રચલન વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે,તેથી મહત્તમ સ્થિતિમાન પ્રચલન અને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $x = 1 \ m$ અને $x = 3 \ m$ ની વચ્ચેના વિસ્તારમાં,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ $(V = 2 \ V)$ છે.
આ વિસ્તારમાં સ્થિતિમાન અચળ હોવાથી,અંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,એટલે કે $\frac{dV}{dx} = 0$.
તેથી,$x = 2 \ m$ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dx} = 0 \ V/m$ થશે.

(B) સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A$ એ રેખા સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta V = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ છે.
$\Delta V = -\int_{(2,1,0)}^{(0,2,4)} (x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k})$
$\Delta V = -[\int_{2}^{0} x \ dx - \int_{1}^{2} 2y \ dy + \int_{0}^{4} z \ dz]$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{2}^{0} x \ dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{0} = 0 - 2 = -2$
$\int_{1}^{2} 2y \ dy = [y^2]_{1}^{2} = 4 - 1 = 3$
$\int_{0}^{4} z \ dz = [\frac{z^2}{2}]_{0}^{4} = 8 - 0 = 8$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = -[-2 - 3 + 8] = -[3] = -3 \ V$.
સ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|\Delta V| = 3 \ V$ થાય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ $E = 3 \hat{i} + 4y \hat{j}$ પરથી:
$-\frac{\partial V}{\partial x} = 3 \implies \frac{\partial V}{\partial x} = -3$
$-\frac{\partial V}{\partial y} = 4y \implies \frac{\partial V}{\partial y} = -4y$
આ આંશિક વિકલનોનું સંકલન કરતા:
$V(x, y) = \int -3 \ dx = -3x + f(y)$
$V(x, y) = \int -4y \ dy = -2y^2 + g(x)$
આ બંનેને જોડતા,સામાન્ય સ્થિતિમાન વિધેય $V(x, y) = -(3x + 2y^2) + C$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર સ્થિતિમાન $0$ હોવાથી,$V(0, 0) = -(3(0) + 2(0)^2) + C = 0$,જે દર્શાવે છે કે $C = 0$.
તેથી,$V(x, y) = -(3x + 2y^2)$.
બિંદુ $(2, 1)$ પર સ્થિતિમાન $V(2, 1) = -(3(2) + 2(1)^2) = -(6 + 2) = -8 \ V$ થાય.

(D) સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $V = 10^4 \,V$ અને $d = 0.5 \,cm = 0.5 \times 10^{-2} \,m$ આપેલ છે.
તેથી, $E = \frac{10^4}{0.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^6 \,V/m$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે, જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$F = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (2 \times 10^6 \,V/m) = 3.2 \times 10^{-13} \,N$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{1}{2}y^2 - 2x$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = -2$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = y$.
તેથી,$\vec{E} = -(-2 \hat{i} + y \hat{j}) = 2 \hat{i} - y \hat{j}$.
બિંદુ $(x = 1 \text{ m}, y = 1 \text{ m})$ પર:
$\vec{E} = 2 \hat{i} - (1) \hat{j} = 2 \hat{i} - \hat{j} \text{ V m}^{-1}$.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 500 \ NC^{-1}$,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = 30 \ V$.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{V}{r}$ છે.
તેથી,અંતર $r = \frac{V}{E} = \frac{30}{500} = 0.06 \ m$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V = \frac{kq}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{30 \times 0.06}{9 \times 10^9} = \frac{1.8}{9 \times 10^9} = 0.2 \times 10^{-9} \ C$.
આમ,$q = 2 \times 10^{-10} \ C$.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$d\phi = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = a(y \hat{i} + x \hat{j})$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$d\phi = -a(y \hat{i} + x \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$d\phi = -a(y dx + x dy)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y dx + x dy$.
તેથી,$d\phi = -a d(xy)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\phi = -a \int d(xy) = -axy + C$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) એક વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદર સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ $V = A r^2 + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $E = -\frac{dV}{dr}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
$V$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$E = -\frac{d}{dr}(A r^2 + B) = -2 A r$.
ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ સમીકરણ દ્વારા જોડાયેલ છે.
ગોલીય સંમિતિ ધરાવતા વિતરણ માટે,આ સમીકરણ $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ બને છે.
$E = -2 A r$ મૂકતા:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot (-2 A r)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2 A r^3) = \frac{1}{r^2} (-6 A r^2) = -6 A$.
તેથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = -6 A \varepsilon_0$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક $E_{x}$ એ $x$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિતિમાનના ઋણ ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $E_{x} = -\frac{dV}{dx}$.
આલેખ પરથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_{2} - V_{1} = 4 \ V - 2 \ V = 2 \ V$ છે.
આ બે સમસ્થિતિમાન રેખાઓ વચ્ચે $x$-અક્ષ પરનું અંતર $\Delta x = 4 \ cm - 2 \ cm = 2 \ cm = 0.02 \ m$ છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$-ઘટકનું મૂલ્ય $E_{x} = -\frac{\Delta V}{\Delta x} = -\frac{2 \ V}{0.02 \ m} = -100 \ V/m$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $V-X$ આલેખના ઢાળનું ઋણ મૂલ્ય છે.
$1$. અંતરાલ $X \in [-4, -2]$ માટે: ઢાળ $\frac{10 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{10}{2} = 5$ છે. તેથી,$E = -5$.
$2$. અંતરાલ $X \in [-2, 2]$ માટે: સ્થિતિમાન અચળ $(V = 10)$ છે,તેથી ઢાળ $0$ છે. તેથી,$E = 0$.
$3$. અંતરાલ $X \in [2, 7]$ માટે: ઢાળ $\frac{0 - 10}{7 - 2} = \frac{-10}{5} = -2$ છે. તેથી,$E = -(-2) = 2$.
આ મૂલ્યોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ એ $X \in [-4, -2]$ માટે $E = -5$,$X \in [-2, 2]$ માટે $E = 0$ અને $X \in [2, 7]$ માટે $E = 2$ દર્શાવે છે.

(A) સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = ar^3 + b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાન સાથે $E = -\frac{dV}{dr}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $E = -\frac{d}{dr}(ar^3 + b) = -3ar^2$ મળે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \epsilon_0 \oint E \cdot dA$ દ્વારા મળે છે.
$r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટી માટે,ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2 = 4\pi(1)^2 = 4\pi$ થાય.
$r=1$ આગળ કિંમતો મૂકતા,$E = -3a(1)^2 = -3a$ મળે.
આમ,$q_{enc} = \epsilon_0 \times (-3a) \times 4\pi = -12\pi a \epsilon_0$.
આને આપેલ પદ $\alpha \times \pi a \epsilon_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -12$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 10x\hat{i} + 5y\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પરનું સ્થિતિમાન $V_0$ છે અને $(10, 20)$ પરનું સ્થિતિમાન $V_P$ છે.
$V_P - V_0 = -\int_{(0,0)}^{(10,20)} (10x\hat{i} + 5y\hat{j}) \cdot (dx\hat{i} + dy\hat{j})$.
$500 - V_0 = -\int_{0}^{10} 10x \ dx - \int_{0}^{20} 5y \ dy$.
$500 - V_0 = -[5x^2]_0^{10} - [\frac{5y^2}{2}]_0^{20}$.
$500 - V_0 = -[5(100) - 0] - [\frac{5(400)}{2} - 0]$.
$500 - V_0 = -500 - 1000$.
$500 - V_0 = -1500$.
$V_0 = 500 + 1500 = 2000 \ V$.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j})$ છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2 - 5y^2$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x^2 - 5y^2) = 10x$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^2 - 5y^2) = -10y$.
$\vec{E}$ ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{E} = -(10x\hat{i} - 10y\hat{j}) = -10x\hat{i} + 10y\hat{j}$.
બિંદુ $(2, 3) \text{ m}$ પર,$x = 2$ અને $y = 3$ લેતા:
$\vec{E} = -10(2)\hat{i} + 10(3)\hat{j} = -20\hat{i} + 30\hat{j} \text{ V/m}$.