Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(D) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a\end{array}\right|$
$D = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6)$
$D = 3a - 25 - 2a + 20 - 3$
$D = a - 8$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,हम $D = 0$ रखते हैं,जिससे $a = 8$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 8$ पर संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 12\end{array}\right]$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3\end{array}\right]$
चूंकि अंतिम पंक्ति $0 = -3$ दर्शाती है,जो एक विरोधाभास है,इसलिए $a = 8$ होने पर निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$x+y-z=6$ $(1)$
$3x+2y-z=5$ $(2)$
$2x-y-2z=-3$ $(3)$
ऑगमेंटेड मैट्रिक्स (augmented matrix) विधि का उपयोग करते हुए:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 3 & 2 & -1 & | & 5 \\ 2 & -1 & -2 & | & -3 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं (row operations) को लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & -3 & 0 & | & -15 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & 0 & -6 & | & 24 \end{bmatrix}$
तीसरी पंक्ति से: $-6z = 24 \Rightarrow z = -4 = \gamma$.
दूसरी पंक्ति से: $-y + 2z = -13 \Rightarrow -y + 2(-4) = -13 \Rightarrow -y - 8 = -13 \Rightarrow y = 5 = \beta$.
पहली पंक्ति से: $x + y - z = 6 \Rightarrow x + 5 - (-4) = 6 \Rightarrow x + 9 = 6 \Rightarrow x = -3 = \alpha$.
अतः,$\alpha + \beta = -3 + 5 = 2$.

(B) गुणांक आव्यूह $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\right|$ है।
सारणिक का मान: $1(15-12) - 2(12-9) + 3(16-15) = 1(3) - 2(3) + 3(1) = 3 - 6 + 3 = 0$.
चूंकि $D=0$,निकाय के संगत होने के लिए क्रेमर नियम के अनुसार $D_3 = 0$ होना चाहिए।
$D_3 = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & \lambda\end{array}\right| = 0$.
$1(5\lambda - 20) - 2(4\lambda - 15) + 4(16 - 15) = 0$.
$5\lambda - 20 - 8\lambda + 30 + 4 = 0$.
$-3\lambda + 14 = 0 \Rightarrow 3\lambda = 14$.
दिया गया है $3\lambda = n + 100$,अतः $3\lambda = 14$ प्रतिस्थापित करने पर:
$14 = n + 100 \Rightarrow n = 14 - 100 = -86$.

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ है।
अद्वितीय हल के लिए शर्त $|A| \neq 0$ है।
$|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) \neq 0$.
$|A| = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 \neq 0$.
$|A| = a - 8 \neq 0$.
अतः,$a \neq 8$.
चूंकि $b$ का मान गुणांक आव्यूह के सारणिक को प्रभावित नहीं करता है,इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(b \in R)$।
इस प्रकार,शर्त $a \neq 8$ और $b \in R$ है।

(B) माना निकाय $AX = B$ के रूप में है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & -2 \\ 2 & 7 & 7 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(21 - (-14)) - 2(21 - (-4)) + 1(21 - 6)$
$|A| = 1(35) - 2(25) + 1(15) = 35 - 50 + 15 = 0$.
चूँकि $|A| = 0$ है,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,हम सहखंडज आव्यूह $adj(A)$ की जाँच करते हैं और $adj(A)B$ की गणना करते हैं:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix}$।
$adj(A)B = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -105 + 7 + 28 \\ 75 - 5 - 20 \\ -45 + 3 + 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -70 \\ 50 \\ -30 \end{bmatrix} \neq 0$।
चूँकि $adj(A)B \neq 0$ है,इसलिए इस निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) समीकरणों के निकाय को मैट्रिक्स रूप $AX=B$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
ऑगमेंटेड मैट्रिक्स है: $\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 3 & -1 & 2 & : & 1 \\ 2 & -2 & 3 & : & 2\end{array}\right]$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-3R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-2R_1$ को लागू करने पर:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & -6 & 5 & : & -4\end{array}\right]$
$R_3 \rightarrow 7R_3-6R_2$ लागू करने पर:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & 0 & 5 & : & 20\end{array}\right]$
चूंकि $\operatorname{Rank}(A:B)=\operatorname{Rank}(A)=3$,निकाय का एक अद्वितीय हल है।
रो-एशेलोन रूप से:
$5z=20 \Rightarrow z=4$
$-7y+5(4)=-8 \Rightarrow -7y=-28 \Rightarrow y=4$
$x+2(4)-4=3 \Rightarrow x+4=3 \Rightarrow x=-1$
अतः,$\alpha=-1, \beta=4, \gamma=4$.
इसलिए $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (-1)^2 + 4^2 + 4^2 = 1 + 16 + 16 = 33$.

(A) दिए गए समीकरणों की प्रणाली $x+y+z=6$,$5x-y+2z=3$,और $2x+y-z=-5$ है।
मैट्रिक्स रूप $AX=D$ में,जहाँ $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]$,$X=\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$,और $D=\left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सहखंडज मैट्रिक्स $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-5-4) = 9$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5-(-2) = 7$
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1-1) = 2$
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1-2 = -3$
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2-(-1) = 3$
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -(2-5) = 3$
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -1-5 = -6$
अतः,$\operatorname{adj}(A) = C^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right]$।
अब,$(\operatorname{adj} A)D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-6+6-15 \\ 54-9-15 \\ 42+3+30\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-15 \\ 30 \\ 75\end{array}\right]$।

(A) माना $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}, w = \frac{1}{z}$. समीकरण इस प्रकार बनते हैं:
$u + 2v - 3w = 1$ ...$(i)$
$2u - 4v + 3w = 1$ ...(ii)
$3u + 6v - 6w = 4$ ...(iii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $3u - 2v = 2$ ...(iv)
(ii) को $2$ से गुणा करके (iii) में जोड़ने पर: $(4u - 8v + 6w) + (3u + 6v - 6w) = 2 + 4 \Rightarrow 7u - 2v = 6$ ...$(v)$
$(v)$ में से (iv) को घटाने पर: $(7u - 2v) - (3u - 2v) = 6 - 2 \Rightarrow 4u = 4 \Rightarrow u = 1$. चूँकि $u = \frac{1}{x}$,इसलिए $x = 1 = \alpha$.
$u = 1$ को (iv) में रखने पर: $3(1) - 2v = 2 \Rightarrow 2v = 1 \Rightarrow v = \frac{1}{2}$. चूँकि $v = \frac{1}{y}$,इसलिए $y = 2 = \beta$.
$u = 1, v = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर: $1 + 2(\frac{1}{2}) - 3w = 1 \Rightarrow 1 + 1 - 3w = 1 \Rightarrow 3w = 1 \Rightarrow w = \frac{1}{3}$. चूँकि $w = \frac{1}{z}$,इसलिए $z = 3 = \gamma$.
अतः,$\alpha^2 + \gamma^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
चूँकि $\beta = 2$,इसलिए $5\beta = 5(2) = 10$.
अतः,$\alpha^2 + \gamma^2 = 5\beta$.

(C) निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: $\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -4 & k \\ 1 & 2 & -1 \\ k & -1 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $3(6 - 1) + 4(3 + k) + k(-1 - 2k) \neq 0$.
$15 + 12 + 4k - k - 2k^2 \neq 0 \implies -2k^2 + 3k + 27 \neq 0 \implies 2k^2 - 3k - 27 \neq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2k - 9)(k + 3) \neq 0$,अतः $k \neq \frac{9}{2}$ और $k \neq -3$.
दिया गया है $2\beta - \gamma = 8$,हम दूसरे समीकरण $x + 2y - z = 9$ का उपयोग करते हैं। $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ रखने पर:
$\alpha + 2\beta - \gamma = 9 \implies \alpha + 8 = 9 \implies \alpha = 1$.
चूंकि $k \neq m$,$m$ उन मानों को दर्शाता है जिनके लिए निकाय का अद्वितीय हल नहीं है,अर्थात $m \in \{\frac{9}{2}, -3\}$.
यदि $m = -3$ है,तो $\alpha + m = 1 + (-3) = -2$.

(D) दिए गए समीकरण:
$1) x+y-z=6$
$2) 4x+y+z=2$
$3) x+ky+z=-8$
$x=2$ रखने पर:
$2+y-z=6 \Rightarrow y-z=4$ (समीकरण $i$)
$4(2)+y+z=2 \Rightarrow 8+y+z=2 \Rightarrow y+z=-6$ (समीकरण $ii$)
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2y = -2 \Rightarrow y = -1$
$z = -5$
समीकरण $(3)$ में $x=2, y=-1, z=-5$ रखने पर:
$2 + k(-1) - 5 = -8 \Rightarrow -k - 3 = -8 \Rightarrow k = 5$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार $k=1$ के लिए विकल्प $D$ सही है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX=B$ का अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$ हो।
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \mu \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1((-1)(-1) - (3)(\mu)) - 1((5)(-1) - (2)(\mu)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$|A| = 1(1 - 3\mu) - 1(-5 - 2\mu) + 1(15 + 2)$
$|A| = 1 - 3\mu + 5 + 2\mu + 17$
$|A| = 23 - \mu$
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है।
$23 - \mu \neq 0 \implies \mu \neq 23$.
चूंकि सारणिक $\lambda$ से स्वतंत्र है,इसलिए अद्वितीय हल की शर्त केवल $\mu$ पर निर्भर करती है। अतः,$\mu \neq 23$ और $\lambda$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(\lambda \in R)$.

(A) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$x+y+kz=1$ ... $(i)$
$2x+2y=3$ ... $(ii)$
$x+2y+2kz=k$ ... $(iii)$
प्रणाली का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और प्रणाली असंगत होनी चाहिए।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 2k \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(4k - 0) - 1(4k - 0) + k(4 - 2)$
$D = 4k - 4k + 2k = 2k$
$D = 0$ रखने पर,हमें $2k = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 0$.
अब,$k = 0$ के लिए संगतता की जाँच करने पर:
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$x+y=1$
$2x+2y=3$
$x+2y=0$
$(i)$ से,$x+y=1$,इसलिए $2x+2y=2$. लेकिन,$(ii)$ में $2x+2y=3$ दिया गया है। चूँकि $2 \neq 3$,इसलिए $k=0$ के लिए प्रणाली असंगत है।
अतः,$k$ के मानों का समुच्चय $\{0\}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 6y + 0z = -11$
$6x + 20y - 6z = -3$
$0x + 6y - 18z = -1$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 6 & 20 & -6 \\ 0 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D = 2(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6(6 \times (-18) - 0) + 0$
$D = 2(-360 + 36) - 6(-108)$
$D = 2(-324) + 648 = -648 + 648 = 0$
चूंकि $D = 0$,निकाय या तो असंगत है या इसके अनंत हल हैं। हम $D_1$ की जाँच करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} -11 & 6 & 0 \\ -3 & 20 & -6 \\ -1 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D_1 = -11(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6((-3) \times (-18) - (-1) \times (-6))$
$D_1 = -11(-360 + 36) - 6(54 - 6)$
$D_1 = -11(-324) - 6(48) = 3564 - 288 = 3276 \neq 0$
चूंकि $D = 0$ और $D_1 \neq 0$,इसलिए समीकरणों का निकाय असंगत है।

(A) दिए गए रैखिक समघाती समीकरण निकाय के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए:
$x-y+z=0$ $(i)$
$x+2y-z=0$ $(ii)$
$2x+y+3z=0$ $(iii)$
हम इस निकाय को आव्यूह रूप $AX=0$ में लिख सकते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ और $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(2 \times 3 - (-1) \times 1) - (-1)(1 \times 3 - (-1) \times 2) + 1(1 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$.
चूँकि $|A| \neq 0$,आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
समघाती निकाय $AX=0$ के लिए,यदि $|A| \neq 0$ हो,तो केवल तुच्छ हल (trivial solution) $X=0$ (अर्थात $x=0, y=0, z=0$) प्राप्त होता है।
अतः,केवल $1$ हल विद्यमान है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ और $S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right\}$.
$S$ की कार्डिनैलिटी ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ को हल करते हैं।
$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x + 3y \\ 4x - 3y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x + 3y = 3x \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
$4x - 3y = 3y \implies 4x = 6y \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
दोनों समीकरण एक ही शर्त $x = \frac{3}{2}y$ में परिणत होते हैं।
अतः,$S = \left\{ \begin{bmatrix} \frac{3}{2}y \\ y \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ y \begin{bmatrix} 1.5 \\ 1 \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\}$.
चूंकि $y$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए ऐसे अनंत सदिश हैं।
समुच्चय $S$,$\mathbb{R}^2$ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा को दर्शाता है,जिसमें अगणनीय बिंदु होते हैं।
इसलिए,$S$ की कार्डिनैलिटी अगणनीय (uncountable) है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,हम सारणिक $D$ की गणना करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -4 & b & 6 \\ 0 & -3 & -b \end{vmatrix} = 0$
$2(-b^2 + 18) - 5(4b - 0) + 1(12 - 0) = 0$
$-2b^2 + 36 - 20b + 12 = 0$
$-2b^2 - 20b + 48 = 0$
$b^2 + 10b - 24 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(b + 12)(b - 2) = 0$. अतः $b = -12$ और $b = 2$ प्राप्त होते हैं।
$b = 2$ के लिए जाँच करने पर: निकाय असंगत है (कोई हल नहीं)।
$b = -12$ के लिए जाँच करने पर: निकाय असंगत है (कोई हल नहीं)।
इन वास्तविक मानों का गुणनफल $(-12) \times (2) = -24$ है।

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = D$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $D = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ है।
हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम आव्यूह $A$ का सारणिक $\Delta = |A|$ ज्ञात करते हैं।
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$\Delta = 1 \cdot (2(1) - (-1)(1)) = 1 \cdot (2 + 1) = 3$.
चूँकि $\Delta = 3 \neq 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
अतः,निकाय $AX = D$ का एक अद्वितीय हल है जो $X = A^{-1}D$ द्वारा प्राप्त होता है।

(C) माना $u = |y|$ और $v = [z]$ है। समीकरण प्रणाली इस प्रकार हो जाती है:
$2x + 3u + 5v = 0$
$x + u - 2v = 4$
$x + u + v = 1$
तीसरे समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर:
$(x + u + v) - (x + u - 2v) = 1 - 4$
$3v = -3 \Rightarrow v = -1$.
$v = -1$ को दूसरे और तीसरे समीकरण में रखने पर:
$x + u + 2 = 4 \Rightarrow x + u = 2$
$x + u - 1 = 1 \Rightarrow x + u = 2$.
चूंकि दोनों समीकरण $x + u = 2$ में बदल जाते हैं,इसलिए $(x, u)$ के अनंत युग्म इसे संतुष्ट करते हैं।
दिया गया है $u = |y| = 2 - x$,किसी भी $x \leq 2$ के लिए,$u$ गैर-ऋणात्मक है।
साथ ही,$v = [z] = -1$ का अर्थ है $z \in [-1, 0)$।
चूंकि $x$ के ऐसे कई मान संभव हैं जिनके लिए $|y| = 2 - x \geq 0$ (अर्थात $x \leq 2$),इसलिए $(x, y, z)$ के अनंत हल हैं।

(A) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x+2y+3z=6$
$x+3y+5z=9$
$2x+5y+\lambda z=\mu$
गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda - 25) - 2(\lambda - 10) + 3(5 - 6) = \lambda - 8$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,इसलिए $\lambda \neq 8$. अतः,$(B)$ का मिलान $3$ से होता है।
अब,$\lambda = 8$ के लिए $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ पर विचार करें:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 5 \\ \mu & 5 & 8 \end{vmatrix} = \mu - 15$.
यदि $\lambda = 8$ और $\mu \neq 15$,तो $\Delta_1 \neq 0$,जिसका अर्थ है कि निकाय का कोई हल नहीं है। अतः,$(A)$ का मिलान $2$ से होता है।
यदि $\lambda = 8$ और $\mu = 15$,तो $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0, \Delta_3 = 0$. निकाय के अनंत हल हैं। अतः,$(C)$ का मिलान $1$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $A-2, B-3, C-1$ है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय:
$x+y+z=a$ ... $(i)$
$x-y+bz=2$ ... $(ii)$
$2x+3y-z=1$ ... $(iii)$
निकाय के अनंततः अनेक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$1(1-3b) - 1(-1-2b) + 1(3+2) = 0$
$1-3b + 1+2b + 5 = 0$
$7-b = 0 \Rightarrow b=7$
अब,$b=7$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$(i) + (ii) \Rightarrow 2x + (1+7)z = a+2 \Rightarrow 2x+8z = a+2 \Rightarrow x+4z = \frac{a+2}{2}$ ... $(iv)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करके उसमें से $(iii)$ घटाने पर:
$3(x+y+z) - (2x+3y-z) = 3a - 1$
$3x+3y+3z - 2x-3y+z = 3a-1$
$x+4z = 3a-1$ ... $(v)$
अनंततः अनेक हलों के लिए,$(iv)$ और $(v)$ समान होने चाहिए:
$\frac{a+2}{2} = 3a-1$
$a+2 = 6a-2$
$5a = 4$
अंत में,$b-5a = 7-4 = 3$.

(C) क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हम सारणिकों की गणना करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 8 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 2(28+10) + 1(21-25) + 8(-6-20) = 76 - 4 - 208 = -136$
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 13 & -1 & 8 \\ 18 & 4 & 5 \\ 20 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 13(28+10) + 1(126-100) + 8(-36-80) = 494 + 26 - 928 = -408$
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 13 & 8 \\ 3 & 18 & 5 \\ 5 & 20 & 7 \end{vmatrix} = 2(126-100) - 13(21-25) + 8(60-90) = 52 + 52 - 240 = -136$
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 13 \\ 3 & 4 & 18 \\ 5 & -2 & 20 \end{vmatrix} = 2(80+36) + 1(60-90) + 13(-6-20) = 232 - 30 - 338 = -136$
अब,$\alpha = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-408}{-136} = 3$,$\beta = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-136}{-136} = 1$,$\gamma = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-136}{-136} = 1$.
अतः,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(1) + (1)(1) + (1)(3) = 3 + 1 + 3 = 7$.

(D) दिए गए समीकरण निकाय:
$x - 2y + 3z = 5$
$2x - 2y + z = 0$
$-x + 2y - 3z = 6$
माना $\Delta$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 1((-2)(-3) - (1)(2)) - (-2)((2)(-3) - (1)(-1)) + 3((2)(2) - (-2)(-1))$
$= 1(6 - 2) + 2(-6 + 1) + 3(4 - 2)$
$= 1(4) + 2(-5) + 3(2) = 4 - 10 + 6 = 0$
चूंकि $\Delta = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,पहले स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर $\Delta_1$ की गणना करें:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 5((-2)(-3) - (1)(2)) - (-2)((0)(-3) - (1)(6)) + 3((0)(2) - (-2)(6))$
$= 5(6 - 2) + 2(0 - 6) + 3(0 + 12)$
$= 5(4) + 2(-6) + 3(12) = 20 - 12 + 36 = 44$
चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$,इसलिए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$x+y+z=3$ ... $(i)$
$2x+2y-z=3$ ... $(ii)$
$x+y-z=1$ ... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+y+z) + (x+y-z) = 3+1$
$2x+2y = 4$
$x+y = 2$
$x+y=2$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2+z = 3$
$z = 1$
अब,हल $(x_0, y_0, z_0)$ के लिए $2x_0+2y_0+z_0$ का मान ज्ञात करना है:
$2x_0+2y_0+z_0 = 2(x_0+y_0) + z_0$
चूँकि $x_0+y_0=2$ और $z_0=1$:
$= 2(2) + 1$
$= 4+1 = 5$

(B) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
माना $D$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$D = \begin{vmatrix} k & k+1 & k-1 \\ k-1 & k+2 & k \\ k+1 & k & k+2 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = k((k+2)(k+2) - k^2) - (k+1)((k-1)(k+2) - k(k+1)) + (k-1)(k(k-1) - (k+2)(k+1)) = 0$.
$D = k(4k+4) - (k+1)(-2) + (k-1)(-4k-2) = 0$.
$4k^2+4k + 2k+2 - 4k^2-2k+4k+2 = 0$.
$8k + 4 = 0 \implies 8k = -4 \implies k = -\frac{1}{2}$.
अतः,$k$ का संभावित मान $-\frac{1}{2}$ है,इसलिए सभी संभावित मानों का योग $-\frac{1}{2}$ है।

(A) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$1) 3x + 4y - 5z = -6$
$2) 2x + 3y - 4z = -7$
$3) 4x - 2y + z = 9$
समीकरण $(3)$ से,$z = 9 - 4x + 2y$ प्राप्त होता है।
$z$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4y - 5(9 - 4x + 2y) = -6$
$3x + 4y - 45 + 20x - 10y = -6$
$23x - 6y = 39$ $(4)$
$z$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2x + 3y - 4(9 - 4x + 2y) = -7$
$2x + 3y - 36 + 16x - 8y = -7$
$18x - 5y = 29$ $(5)$
समीकरण $(4)$ को $5$ से और $(5)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$115x - 30y = 195$
$108x - 30y = 174$
इन समीकरणों को घटाने पर: $7x = 21 \implies x = 3$.
$x = 3$ का मान $(4)$ में रखने पर:
$23(3) - 6y = 39 \implies 69 - 6y = 39 \implies 6y = 30 \implies y = 5$.
$x = 3, y = 5$ का मान $(3)$ में रखने पर:
$z = 9 - 4(3) + 2(5) = 9 - 12 + 10 = 7$.
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (3, 5, 7)$.
$\alpha + 3\beta - 2\gamma = 3 + 3(5) - 2(7) = 3 + 15 - 14 = 4$.

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली है:
$x+y+z=5$
$x+2y+az=9$
$x+2y+z=b$
हम इसे मैट्रिक्स रूप $AX=B$ में लिख सकते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
प्रणाली के असंगत होने के लिए,सारणिक $|A|$ का मान $0$ होना चाहिए और प्रणाली का कोई हल नहीं होना चाहिए।
$|A| = 1(2-2a) - 1(1-a) + 1(2-2) = 2-2a-1+a = 1-a$.
$|A|=0$ रखने पर,हमें $1-a=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=1$ है।
अब,$a=1$ को समीकरणों में रखने पर:
$x+y+z=5$
$x+2y+z=9$
$x+2y+z=b$
दूसरे और तीसरे समीकरण की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यदि $b \neq 9$ है,तो प्रणाली दो समानांतर समतलों को दर्शाती है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है (असंगत)।
अतः,प्रणाली $a=1$ और $b \neq 9$ होने पर असंगत है।

(D) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX=B$ का एक अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो, अर्थात $|A| \neq 0$।
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$|A| = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1$
$|A| = \lambda - 5$
अद्वितीय हल के लिए, हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $\lambda - 5 \neq 0$, या $\lambda \neq 5$।
$\mu$ का मान अद्वितीय हल के अस्तित्व को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए $\mu$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(\mu \in R)$।
अतः, अद्वितीय हल के लिए शर्त $\lambda \neq 5$ और $\mu \in R$ है।

(C) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+2y+\lambda z=\mu$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की रैंक चरों की संख्या $(3)$ से कम होनी चाहिए।
संवर्धित आव्यूह लिखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & \lambda & | & \mu \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएं लागू करने पर:
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & \lambda-1 & | & \mu-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-3 & | & \mu-10 \end{bmatrix}$
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति को शून्य पंक्ति होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\lambda-3=0$ और $\mu-10=0$.
अतः,$\lambda=3$ और $\mu=10$.

(D) दिए गए समीकरण:
$2x + 3y + z = 5$
$3x + y + 5z = 7$
$x + 4y - 2z = 3$
इस निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 1 & 4 & -2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 2(-2 - 20) - 3(-6 - 5) + 1(12 - 1)$
$|A| = 2(-22) - 3(-11) + 1(11) = -44 + 33 + 11 = 0$
चूँकि $|A| = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। हम $(\text{adj } A)B$ की जाँच करते हैं:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix}$
$(\text{adj } A)B = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -110 + 70 + 42 \\ 55 - 35 - 21 \\ 55 - 35 - 21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \neq 0$
चूँकि $(\text{adj } A)B \neq 0$,इसलिए इस निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रणाली को मैट्रिक्स रूप $AX = B$ में लिखते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक $(|A|)$ ज्ञात करें:
$|A| = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$|A| = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$|A| = 2(1) - 1(-5) - 1(7) = 2 + 5 - 7 = 0$.
चूँकि $|A| = 0$ है,प्रणाली या तो असंगत है (कोई हल नहीं) या इसके अनंत हल हैं।
हम ऑगमेंटेड मैट्रिक्स $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ करने पर: $R_1 \leftrightarrow R_2$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 7 & -5 & | & 4 \end{bmatrix}$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{bmatrix}$.
अंतिम पंक्ति इंगित करती है कि $0 = -1$,जो एक विरोधाभास है।
इसलिए,इस प्रणाली का कोई हल नहीं है।

(D) चूंकि बिंदु $P(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x + y + z = 1$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2\alpha + \beta + \gamma = 1 \quad \dots(i)$
दिया गया आव्यूह समीकरण:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\alpha + 8\beta + 7\gamma = 0 \quad \dots(ii)$
$9\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0 \quad \dots(iii)$
$\alpha + \beta + \gamma = 0 \quad \dots(iv)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(iv)$ को घटाने पर:
$(2\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 1 - 0 \implies \alpha = 1$
$\alpha = 1$ को $(iv)$ में रखने पर:
$1 + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -1 \quad \dots(v)$
$\alpha = 1$ को $(ii)$ में रखने पर:
$1 + 8\beta + 7\gamma = 0 \implies 8\beta + 7\gamma = -1 \quad \dots(vi)$
$(v)$ से,$\gamma = -1 - \beta$. इसे $(vi)$ में रखने पर:
$8\beta + 7(-1 - \beta) = -1 \implies 8\beta - 7 - 7\beta = -1 \implies \beta = 6$
अतः $\gamma = -1 - 6 = -7$.
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (1)^2 + (6)^2 + (-7)^2 = 1 + 36 + 49 = 86$.

(B) निकाय के लिए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स है:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 8 & 15\end{array}\right]$
$R_3 \to 2R_3 - R_2$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
दिए गए मैट्रिक्स $\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & c & 32\end{array}\right]$ के साथ तुलना करने पर,पहली पंक्ति के तीसरे स्तंभ में $0$ प्राप्त करने के लिए $R_1 \to R_1 + R_2$ करने पर:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
अतः,$a = 3$,$b = -2$,और $c = 15$.
इसलिए,$\sqrt{a+b+c} = \sqrt{3 - 2 + 15} = \sqrt{16} = 4$.

(B) दिया गया है कि $5 A^{-1}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
दोनों पक्षों में $A$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5 I = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3x+4y & 2x-y & 2x-y \\ 2x-y & -3x+4y & 2x-y \\ 2x-y & 2x-y & -3x+4y \end{bmatrix}$
अवयवों की तुलना करने पर,$-3x+4y=5$ और $2x-y=0$ प्राप्त होता है।
$2x-y=0$ से,$y=2x$ प्राप्त होता है। पहले समीकरण में मान रखने पर: $-3x+4(2x)=5 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1$.
अतः $y=2(1)=2$.
इस प्रकार,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
दिए गए समीकरण $5 A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$5 A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = A - 4 I$.
दाहिनी ओर $A$ से गुणा करने पर: $5 I = A^2 - 4 A$.

(D) दिए गए रैखिक समीकरण $AX=B$ और $AY=Q$ हैं।
चूंकि $B$,$AY=Q$ का अद्वितीय हल है,इसलिए $AB=Q$ है।
हमें $AX=B$ में $X$ का मान ज्ञात करना है।
$AX=B$ के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर:
$A(AX) = AB$
$A^2 X = AB$
चूंकि $AB=Q$ है,समीकरण में $Q$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^2 X = Q$
चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है। दोनों पक्षों को $(A^{-1})^2$ से गुणा करने पर:
$(A^{-1})^2 (A^2 X) = (A^{-1})^2 Q$
$I X = (A^{-1})^2 Q$
$X = (A^{-1})^2 Q$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय है:
$2x + y + z = 1$ $(i)$
$3y - z = 1$ $(ii)$
$x - y + z = 0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(2x + y + z) - (x - y + z) = 1 - 0$
$x + 2y = 1 \Rightarrow x = 1 - 2y$ $(iv)$
समीकरण $(ii)$ से,$z = 3y - 1$ प्राप्त होता है।
माना $y = K$,जहाँ $K \in R$ है।
तब $x = 1 - 2K$ और $z = 3K - 1$ होगा।
अतः,हल सदिश है:
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 2K \\ K \\ 3K - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + K \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $AB = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a+3b \\ c & 2c+3d \end{bmatrix}$.
चूँकि $AB$ एक अदिश आव्यूह है,$c = 0$ और $2a+3b = 0$,और $a = 2c+3d = 3d$.
अतः,$a = 3d$ और $b = -\frac{2}{3}a = -2d$.
इसलिए,$A = \begin{bmatrix} 3d & -2d \\ 0 & d \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $\det(3A) = 27$,इसलिए $3^2 \det(A) = 27$,जिसका अर्थ है $\det(A) = 3$.
$\det(A) = (3d)(d) - 0 = 3d^2 = 3$,जिसका अर्थ है $d^2 = 1$. $d=1$ लेने पर,हमें $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
तब $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$3A^{-1} + A^2 = 3 \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.

(B) $\alpha=1$ के लिए,प्रणाली एक समरूप प्रणाली में कम हो जाती है जो हमेशा सुसंगत होती है। इसलिए,$\alpha \neq 1$।
$\alpha \neq 1$ के लिए,हम सारणिक $D$ की गणना करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} \alpha & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$।
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D = \begin{vmatrix} \alpha+2 & \alpha+2 & \alpha+2 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$।
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$D = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \alpha-1 & 0 \\ 1 & 0 & \alpha-1 \end{vmatrix} = (\alpha+2)(\alpha-1)^2$।
अब,$D_1$ की गणना करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} \alpha-1 & -1 & -1 \\ \alpha-1 & -\alpha & -1 \\ \alpha-1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix}$।
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$D_1 = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1)(1-\alpha)^2 = (\alpha-1)^3$।
प्रणाली के असंगत होने के लिए,हमें $D=0$ और $D_1 \neq 0$ की आवश्यकता है।
$D=0$ का अर्थ है $\alpha = -2$ या $\alpha = 1$।
चूंकि $\alpha \neq 1$,हम $\alpha = -2$ की जांच करते हैं।
$\alpha = -2$ के लिए,$D=0$ और $D_1 = (-2-1)^3 = -27 \neq 0$।
अतः,$\alpha = -2$ के लिए प्रणाली असंगत है।

(A) हमें दिया गया है $A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 7 & -6 \end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}$.
$AB=\begin{bmatrix} 2 & 14 & -4 \\ 4 & 1 & -8 \\ -6 & 15 & 12 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
आव्यूह गुणन करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 2+4b_{21}+2b_{31} & 4b_{22}+2b_{32} & -2+4b_{23}+2b_{33} \\ 4-b_{21}+4b_{31} & -b_{22}+4b_{32} & -4-b_{23}+4b_{33} \\ -6+7b_{21}-6b_{31} & 7b_{22}-6b_{32} & 6+7b_{23}-6b_{33} \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
स्तंभ $1$ से: $2b_{21}+b_{31}=0$ और $-b_{21}+4b_{31}=0$ को हल करने पर $b_{21}=0, b_{31}=0$ प्राप्त होता है।
स्तंभ $2$ से: $4b_{22}+2b_{32}=14$ और $-b_{22}+4b_{32}=1$ को हल करने पर $b_{22}=3, b_{32}=1$ प्राप्त होता है।
स्तंभ $3$ से: $-2+4b_{23}+2b_{33}=-4$ और $-4-b_{23}+4b_{33}=-8$ को हल करने पर $b_{23}=0, b_{33}=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$|B| = 2(-3-0) - 0 + (-2)(0-0) = -6$.
$\operatorname{trace}(B) = 2+3-1 = 4$.
इसलिए,$|B|+\operatorname{trace}(B) = -6+4 = -2$.

(D) माना $A = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया समीकरण $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,गुणनफल $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,$\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$ से गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 & 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 & 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर,हमें मिलता है:
$2x_1 + x_2 = 1$ और $3x_1 + 2x_2 = 0$।
दूसरे समीकरण से,$x_2 = -\frac{3}{2}x_1$ है।
पहले समीकरण में मान रखने पर: $2x_1 - \frac{3}{2}x_1 = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x_1 = 1 \Rightarrow x_1 = 2$।
तब $x_2 = -\frac{3}{2}(2) = -3$।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$।

(D) निकाय $AX=B$ के लिए,चूंकि इसका अद्वितीय हल है,आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\operatorname{rank}(A) = 3$। अतः,संवर्धित आव्यूह $[A: B]$ की रैंक भी $3$ है।
निकाय $CX=D$ के लिए,चूंकि इसके अनंत हल हैं,आव्यूह $C$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\operatorname{rank}(C) < 3$। साथ ही,संगतता के लिए,$\operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}([C: D]) < 3$ होना चाहिए।
रैंक की तुलना करने पर: $\operatorname{rank}(A) = 3$ और $\operatorname{rank}(C) < 3$,इसलिए $\operatorname{rank}(A) > \operatorname{rank}(C)$।
संवर्धित आव्यूहों के संबंध में,$\operatorname{rank}([A: D])$ अधिकतम $3$ है,और $\operatorname{rank}([C: B])$ अधिकतम $3$ है। चूंकि $\operatorname{rank}(A) = 3$,$[A: D]$ की रैंक $3$ है। चूंकि $\operatorname{rank}(C) < 3$,$[C: B]$ की रैंक अधिकतम $3$ है। अतः,$\operatorname{rank}([A: D]) \geq \operatorname{rank}([C: B])$ एक सत्य कथन है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & p \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$1(3p - 2) + 2(2p - 1) + 1(4 - 3) = 0$
$3p - 2 + 4p - 2 + 1 = 0$
$7p - 3 = 0 \implies p = \frac{3}{7}$।
अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने पर,हमें $q = \frac{24}{7}$ प्राप्त होता है।
अब,$q - p = \frac{24}{7} - \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3$। अतः विकल्प $C$ सही है।

(A) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$1) 2x + 3y + z = -1$
$2) 3x + y + z = 4$
$3) x - 3y - 2z = 1$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y + z) - (3x + y + z) = -1 - 4$
$-x + 2y = -5 \implies x - 2y = 5 \implies x = 2y + 5$
$x = 2y + 5$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$(2y + 5) - 3y - 2z = 1$
$-y - 2z = -4 \implies y + 2z = 4 \implies z = \frac{4-y}{2}$
$x = 2y + 5$ और $z = \frac{4-y}{2}$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$3(2y + 5) + y + (\frac{4-y}{2}) = 4$
$6y + 15 + y + 2 - 0.5y = 4$
$6.5y = 4 - 17 = -13$
$y = \frac{-13}{6.5} = -2$
अतः,$\beta = -2$.

(C) रैखिक समघात समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ के बराबर होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A| = 0$ रखने पर:
$1(2(1) - (-1)(3)) - a(a(1) - (-1)(2)) + 1(a(3) - 2(2)) = 0$
$1(2 + 3) - a(a + 2) + 1(3a - 4) = 0$
$5 - a^2 - 2a + 3a - 4 = 0$
$-a^2 + a + 1 = 0$
$a^2 - a - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि हमें $a$ का धनात्मक मान ज्ञात करना है,इसलिए $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $A X=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$ और $\operatorname{Adj} A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ है।
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$ होता है।
$A X = B$ को दोनों पक्षों में $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $X = A^{-1} B = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A \cdot B$ प्राप्त होता है।
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$।
आव्यूह गुणन करने पर:
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1(1) + (-1)(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1 - 1 - 2 \\ 1 + 1 - 2 \\ 1 + 1 + 2\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right]$।
चूंकि $|A| > 0$ है,हम दिए गए $\operatorname{Adj} A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है।
$|\operatorname{Adj} A| = 1(1+1) - (-1)(1+1) + (-1)(1-1) = 2 + 2 + 0 = 4$।
अतः,$|A|^2 = 4 \implies |A| = 2$ (क्योंकि $|A| > 0$ है)।
$X$ के समीकरण में $|A| = 2$ रखने पर:
$X = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) ऑगमेंटेड मैट्रिक्स $[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ -2 & 5 & -9 & : & -c \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ लागू करने पर:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & -3 & 5 & : & -c + 2a \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ लागू करने पर:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & 0 & 0 & : & -c + 2a - b \end{bmatrix}$.
चूंकि $A$ की कोटि $\rho(A) = 2$ है,इसलिए $[A: B]$ की कोटि $A$ की कोटि के बराबर होने के लिए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति शून्य होनी चाहिए।
अतः,$-c + 2a - b = 0$,जिसका अर्थ है कि $2a = b + c$।

(C) समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x+\lambda y-2 z=1$
$x-y+\lambda z=2$
$x-2 y+3 z=3$
निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D=0$ होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -2 \\ 1 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(-3 + 2\lambda) - \lambda(3 - \lambda) - 2(-2 + 1) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0$.
यहाँ $\lambda$ के दो मान $\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं।
द्विघात समीकरण $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\lambda_1 + \lambda_2 = -(\lambda \text{ का गुणांक}) / (\lambda^2 \text{ का गुणांक}) = -(-1)/1 = 1$।

(A) समघात रैखिक समीकरण निकाय का अतुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
माना $D = \begin{vmatrix} \sin \theta & 1 & -2 \\ 2 & -1 & \cos \theta \\ -3 & \sec \theta & 3 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = \sin \theta (-3 - \cos \theta \sec \theta) - 1(6 + 3 \cos \theta) - 2(2 \sec \theta - 3) = 0$.
चूँकि $\cos \theta \sec \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$D = \sin \theta (-3 - 1) - 6 - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta + 6 = 0$.
$-4 \sin \theta - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta = 0$.
$\cos \theta$ से गुणा करने पर (जहाँ $\cos \theta \neq 0$):
$-4 \sin \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$-2 \sin(2\theta) - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$-2 \sin(2\theta) - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(2\theta) - 4 = 0$.
$-4 \sin(2\theta) - 3 \cos(2\theta) = 11$.
चूँकि $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$ होता है,और $5 < 11$,इसलिए $\theta$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

(D) रैखिक समीकरण निकाय $AX = 0$ का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
दिए गए समीकरण:
$(\sin \theta) x - y + z = 0$
$x - (\cos \theta) y + z = 0$
$x + y + (\sin \theta) z = 0$
सारणिक:
$|A| = \begin{vmatrix} \sin \theta & -1 & 1 \\ 1 & -\cos \theta & 1 \\ 1 & 1 & \sin \theta \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\sin \theta (-\cos \theta \cdot \sin \theta - 1) - (-1) (\sin \theta - 1) + 1 (1 - (-\cos \theta)) = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta - \sin \theta + \sin \theta - 1 + 1 + \cos \theta = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta + \cos \theta = 0$
$\cos \theta (1 - \sin^2 \theta) = 0$
$\cos \theta (\cos^2 \theta) = 0$
$\cos^3 \theta = 0$
$\cos \theta = 0$
$\theta$ के न्यूनतम धनात्मक मान के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$।