Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(D) सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - (-6)) - (-2)(3 - (-4)) + 3(9 - 2) = 1(7) + 2(7) + 3(7) = 7 + 14 + 21 = 42$.
चूँकि $D \neq 0$,इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।
$z$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम क्रेमर के नियम का उपयोग करते हैं,$z = \frac{D_z}{D}$,जहाँ $D_z$ तीसरे स्तंभ को अचर पदों से बदलकर प्राप्त सारणिक है:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 1(6 - 21) - (-2)(18 - 14) + 4(9 - 2) = 1(-15) + 2(4) + 4(7) = -15 + 8 + 28 = 21$.
अतः,$z = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.

(D) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
$3x - 4y + z = -7$
$2x + 3y - z = 10$
$x - 2y - 3z = 3$
इसे आव्यूह रूप $AX = B$ में निरूपित करने पर:
$A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -7 \\ 10 \\ 3 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 3(-9 - 2) + 4(-6 + 1) + 1(-4 - 3) = 3(-11) + 4(-5) + 1(-7) = -33 - 20 - 7 = -60$
चूंकि $|A| \neq 0$,निकाय का हल अद्वितीय है।
$x = \alpha$ के लिए क्रेमर के नियम का उपयोग करने पर:
$D_x = \begin{vmatrix} -7 & -4 & 1 \\ 10 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -7(-9 - 2) + 4(-30 + 3) + 1(-20 - 9) = -7(-11) + 4(-27) + 1(-29) = 77 - 108 - 29 = -60$
अतः,$\alpha = \frac{D_x}{|A|} = \frac{-60}{-60} = 1$.

(C) हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम पहले निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखते हैं या गुणांक आव्यूह $\Delta$ का सारणिक ज्ञात करते हैं।
निकाय इस प्रकार है:
$1x + 3y + 0z = -7$
$3x + 10y - 3z = -18$
$0x + 3y - 9z = -2$
गुणांक आव्यूह $\Delta$ का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 10 & -3 \\ 0 & 3 & -9 \end{vmatrix} = 1(10(-9) - (-3)(3)) - 3(3(-9) - 0) + 0 = 1(-90 + 9) - 3(-27) = -81 + 81 = 0$.
चूंकि $\Delta = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,हम $\Delta_1$ की गणना करते हैं (पहले स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर):
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} -7 & 3 & 0 \\ -18 & 10 & -3 \\ -2 & 3 & -9 \end{vmatrix} = -7(-90 + 9) - 3(162 - 6) + 0 = -7(-81) - 3(156) = 567 - 468 = 99$.
चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$,समीकरण निकाय असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

(C) दी गई समघात रैखिक समीकरणों की प्रणाली है:
$x+3by+bz=0$
$x+2ay+az=0$
$x+4cy+cz=0$
इस प्रणाली का एक गैर-शून्य हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 1 & 2a & a \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 4c-3b & c-b \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$(2a-3b)(c-b) - (a-b)(4c-3b) = 0$
$(2ac - 2ab - 3bc + 3b^2) - (4ac - 3ab - 4bc + 3b^2) = 0$
$2ac - 2ab - 3bc + 3b^2 - 4ac + 3ab + 4bc - 3b^2 = 0$
$-2ac + ab + bc = 0$
$ab + bc = 2ac$
$b(a+c) = 2ac$
अतः,प्रणाली का एक गैर-शून्य हल तब होता है जब $b(a+c) = 2ac$ हो।

(B) रैखिक समीकरणों के समघात निकाय $AX = 0$ का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(4\mu - (-5\lambda)) - (-2)(2\mu - (-15)) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$1(4\mu + 5\lambda) + 2(2\mu + 15) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$4\mu + 5\lambda + 4\mu + 30 + 6\lambda - 36 = 0$
$(4\mu + 4\mu) + (5\lambda + 6\lambda) + (30 - 36) = 0$
$8\mu + 11\lambda - 6 = 0$
$8\mu + 11\lambda = 6$

(A) समीकरणों की दी गई प्रणाली है:
$x + ky + 3z = -2$
$4x + 3y + kz = 14$
$2x + y + 2z = 3$
मैट्रिक्स व्युत्क्रम विधि द्वारा हल करने के लिए,गुणांक मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम मौजूद होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सारणिक $|A|$ शून्य नहीं होना चाहिए $(|A| \neq 0)$।
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 4 & 3 & k \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(3 \times 2 - k \times 1) - k(4 \times 2 - k \times 2) + 3(4 \times 1 - 3 \times 2)$
$|A| = 1(6 - k) - k(8 - 2k) + 3(4 - 6)$
$|A| = 6 - k - 8k + 2k^2 - 6$
$|A| = 2k^2 - 9k$
चूंकि $|A| \neq 0$:
$2k^2 - 9k \neq 0$
$k(2k - 9) \neq 0$
अतः,$k \neq 0$ और $k \neq \frac{9}{2}$।

(B) दिए गए समीकरणों की प्रणाली:
$3x - 2y + z = 5k$
$2x + 3y - 2z = -5k$
$x + 4y + 3z = k$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 3(9 + 8) + 2(6 + 2) + 1(8 - 3) = 3(17) + 2(8) + 1(5) = 51 + 16 + 5 = 72$.
अब,क्रेमर के नियम का उपयोग करके $D_3$ ज्ञात करें:
$D_3 = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5k \\ 2 & 3 & -5k \\ 1 & 4 & k \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = k [3(3 + 20) + 2(2 + 5) + 5(8 - 3)] = k [3(23) + 2(7) + 5(5)] = k [69 + 14 + 25] = 108k$.
चूंकि $z = \frac{D_3}{D} = 3$,इसलिए:
$\frac{108k}{72} = 3$
$\frac{3k}{2} = 3$
$3k = 6$
$k = 2$.

(D) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय:
$2x-3y+5z=12$ $(1)$
$5x+2y+3z=11$ $(2)$
$x+2y-3z=-3$ $(3)$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-6) + 3(-15-3) + 5(10-2) = 2(-12) + 3(-18) + 5(8) = -24 - 54 + 40 = -38$.
अब,क्रेमर के नियम का उपयोग करके $D_1, D_2, D_3$ ज्ञात करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} 12 & -3 & 5 \\ 11 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 12(-6-6) + 3(-33+9) + 5(22+6) = 12(-12) + 3(-24) + 5(28) = -144 - 72 + 140 = -76$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 12 & 5 \\ 5 & 11 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \end{vmatrix} = 2(-33+9) - 12(-15-3) + 5(-15-11) = 2(-24) - 12(-18) + 5(-26) = -48 + 216 - 130 = 38$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 12 \\ 5 & 2 & 11 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-22) + 3(-15-11) + 12(10-2) = 2(-28) + 3(-26) + 12(8) = -56 - 78 + 96 = -38$.
$\alpha, \beta, \gamma$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{D_1}{D} = \frac{-76}{-38} = 2$.
$\beta = \frac{D_2}{D} = \frac{38}{-38} = -1$.
$\gamma = \frac{D_3}{D} = \frac{-38}{-38} = 1$.
अंत में,$2\alpha + 5\beta + 3\gamma$ का मान ज्ञात करें:
$2(2) + 5(-1) + 3(1) = 4 - 5 + 3 = 2$.

(A) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x+y+z=5$
$x+2y+2z=6$
$x+3y+\lambda z=\mu$
यह निकाय मैट्रिक्स इन्वर्जन विधि द्वारा तभी हल किया जा सकता है जब गुणांक मैट्रिक्स $A$ का सारणिक शून्य न हो $(|A| \neq 0)$।
गुणांक मैट्रिक्स $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 2) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 6 - \lambda + 2 + 1$
$|A| = \lambda - 3$
मैट्रिक्स इन्वर्जन विधि द्वारा हल करने के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\lambda - 3 \neq 0$,या $\lambda \neq 3$।
चूंकि $\lambda \neq 3$ के लिए मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय (invertible) है,इसलिए $\mu \in R$ के किसी भी मान के लिए निकाय का एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है।
अतः,शर्त $\lambda \neq 3, \mu \in R$ है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} \alpha + 2\beta + \gamma & 2\alpha + 3\beta + 2\gamma & 3\alpha - 5\beta + 5\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$1) \alpha + 2\beta + \gamma = 3$
$2) 2\alpha + 3\beta + 2\gamma = 5$
$3) 3\alpha - 5\beta + 5\gamma = 2$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण का दोगुना घटाने पर: $(2\alpha + 3\beta + 2\gamma) - 2(\alpha + 2\beta + \gamma) = 5 - 2(3) \Rightarrow -\beta = -1 \Rightarrow \beta = 1$.
$\beta = 1$ को समीकरण $(1)$ और $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + \gamma = 3 - 2(1) = 1 \Rightarrow \alpha + \gamma = 1$
$3\alpha + 5\gamma = 2 + 5(1) = 7 \Rightarrow 3\alpha + 5\gamma = 7$
इन दो समीकरणों को हल करने पर: $3(1 - \gamma) + 5\gamma = 7 \Rightarrow 3 - 3\gamma + 5\gamma = 7 \Rightarrow 2\gamma = 4 \Rightarrow \gamma = 2$.
अतः $\alpha = 1 - 2 = -1$.
इस प्रकार,$\alpha = -1, \beta = 1, \gamma = 2$.
अंत में,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = (-1)^3 + (1)^3 + (2)^3 = -1 + 1 + 8 = 8$.

(C) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$1) 2x + 3y - 2z = -4$
$2) 3x - 4y + 3z = -5$
$3) kx - 2y + z = -3$
चूंकि $x = \alpha = -2$ दिया गया है,हम समीकरणों में $x = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-2) + 3y - 2z = -4 \Rightarrow -4 + 3y - 2z = -4 \Rightarrow 3y - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 3y \Rightarrow z = \frac{3}{2}y$
$3(-2) - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -6 - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -4y + 3z = 1$
दूसरे समीकरण में $z = \frac{3}{2}y$ रखने पर:
$-4y + 3(\frac{3}{2}y) = 1 \Rightarrow -4y + \frac{9}{2}y = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}y = 1 \Rightarrow y = 2$
अतः $z = \frac{3}{2}(2) = 3$.
अब $x = -2, y = 2, z = 3$ को तीसरे समीकरण में रखने पर:
$k(-2) - 2(2) + 3 = -3$
$-2k - 4 + 3 = -3$
$-2k - 1 = -3$
$-2k = -2 \Rightarrow k = 1$.
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
विकल्प $C$: $\left| \begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = (3 \times 2) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1$.
अतः,$k = 1$ विकल्प $C$ के बराबर है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली:
$1) \beta x + \alpha y - z = -1$
$2) 3x - \beta y + \alpha z = 0$
$3) \alpha x + \beta y + z = 1$
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हल $x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = -1$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = 1$,और $z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = 2$ हैं।
इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)$ से: $\beta(-1) + \alpha(1) - 2 = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
$(2)$ से: $3(-1) - \beta(1) + \alpha(2) = 0 \Rightarrow 2\alpha - \beta = 3$
$(3)$ से: $\alpha(-1) + \beta(1) + 2 = 1 \Rightarrow -\alpha + \beta = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
अब $\alpha$ और $\beta$ के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$\alpha - \beta = 1$
$2\alpha - \beta = 3$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(2\alpha - \beta) - (\alpha - \beta) = 3 - 1$
$\alpha = 2$
$\alpha = 2$ को $\alpha - \beta = 1$ में रखने पर:
$2 - \beta = 1 \Rightarrow \beta = 1$
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, 1)$.

(D) रैखिक समीकरणों के एक समघात निकाय का अशून्य हल ($x = y = z = 0$ के अलावा) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
दिए गए समीकरण:
$3x - 2y + z = 0$
$\lambda x - 14y + 15z = 0$
$x + 2y - 3z = 0$
सारणिक $\Delta$ इस प्रकार है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3((-14)(-3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(-3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(42 - 30) + 2(-3\lambda - 15) + 1(2\lambda + 14) = 0$
$3(12) - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$36 - 30 + 14 - 4\lambda = 0$
$20 - 4\lambda = 0$
$4\lambda = 20$
$\lambda = 5$

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय:
$5x - 2y + 3z = 0$ $(1)$
$7x + 10y - 8z = 3$ $(2)$
$2x + 3y - 4z = -4$ $(3)$
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 7 & 10 & -8 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$D = 5(-40 + 24) + 2(-28 + 16) + 3(21 - 20) = -101$
अब,दूसरे स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर $D_y$ ज्ञात करें:
$D_y = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & -8 \\ 2 & -4 & -4 \end{vmatrix} = -202$
अतः,$y = \beta = \frac{D_y}{D} = \frac{-202}{-101} = 2$.

(B) माना $\tan A = x$,$\cos B = y$,और $\sin C = z$ है। समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$x + 3y + 6z = 1 \quad \dots(i)$
$3x + y + 4z = 4 \quad \dots(ii)$
$5x + 3y - 8z = -2 \quad \dots(iii)$
मैट्रिक्स व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए,गुणांक मैट्रिक्स $P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \\ 5 & 3 & -8 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|P| = 1(-8 - 12) - 3(-24 - 20) + 6(9 - 5) = -20 + 132 + 24 = 136$ है।
प्रणाली $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}$ को हल करने पर:
$x = 1 \implies \tan A = 1 \implies A = \frac{\pi}{4}$ (चूंकि $A \in [0, \frac{\pi}{2})$).
$y = -1 \implies \cos B = -1 \implies B = \pi$ (चूंकि $B \in [0, 2\pi]$).
$z = \frac{1}{2} \implies \sin C = \frac{1}{2} \implies C = \frac{\pi}{6}$ (चूंकि $C \in [0, \frac{\pi}{2})$).
अंत में,$B - 2A - C = \pi - 2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$।

(D) दिया गया समीकरण निकाय $2x + 9y + 5z = 8$,$2x + 3y - z = -4$,और $x - 2z = -5$ के अनंत हल $x = -5 + at$,$y = 2 + bt$,$z = ct$,जहाँ $t \in R$ है।
इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-5 + at) + 9(2 + bt) + 5(ct) = 8$
$2(-5 + at) + 3(2 + bt) - (ct) = -4$
$(-5 + at) - 2(ct) = -5$
इन्हें सरल करने पर:
$-10 + 2at + 18 + 9bt + 5ct = 8 \Rightarrow 2at + 9bt + 5ct = 0$
$-10 + 2at + 6 + 3bt - ct = -4 \Rightarrow 2at + 3bt - ct = 0$
$-5 + at - 2ct = -5 \Rightarrow at - 2ct = 0$
$t$ से भाग देने पर ($t \neq 0$ मानते हुए):
$2a + 9b + 5c = 0$
$2a + 3b - c = 0$
$a - 2c = 0 \Rightarrow a = 2c$
$a = 2c$ को $2a + 3b - c = 0$ में रखने पर:
$2(2c) + 3b - c = 0 \Rightarrow 4c + 3b - c = 0 \Rightarrow 3b = -3c \Rightarrow b = -c$
अतः,$a : b : c = 2c : -c : c = 2 : -1 : 1$।
इसलिए,$a = 2$,$b = -1$,$c = 1$।

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली के संगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए,और सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी शून्य होने चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
चूंकि $\Delta = 0$ है,प्रणाली संगत है यदि $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ हो।
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & 2 & 4 \\ k^2 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 2(k^2 - 3k + 2) = 2(k-1)(k-2)$.
$\Delta_1 = 0$ रखने पर,$(k-1)(k-2) = 0$,जिसका अर्थ है $k = 1$ या $k = 2$.
इसी प्रकार,$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 4 \\ 1 & k^2 & 10 \end{vmatrix} = -3(k^2 - 3k + 2) = -3(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = 0$ रखने पर,$k = 1$ या $k = 2$.
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{vmatrix} = (k^2 - 3k + 2) = (k-1)(k-2)$.
$\Delta_3 = 0$ रखने पर,$k = 1$ या $k = 2$.
अतः,प्रणाली $k = 1, 2$ के लिए संगत है।

(C) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय है:
$x+y+z=3$
$x+2y+2z=6$
$x+ay+3z=b$
निकाय को आव्यूह रूप $AX=B$ में लिखने पर,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & a & 3 \end{bmatrix}$ है।
गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$\Delta = |A| = 1(6-2a) - 1(3-2) + 1(a-2)$
$\Delta = 6 - 2a - 1 + a - 2 = 3 - a$.
निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,सारणिक $\Delta$ का मान शून्य नहीं होना चाहिए,अर्थात $\Delta \neq 0$.
$3 - a \neq 0 \Rightarrow a \neq 3$.
यदि $a \neq 3$ है,तो $b$ के किसी भी मान के लिए निकाय का एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$x+y+z=3$
$2x+2y-z=3$
$x+y+\lambda z=1$
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ का मान:
$|A| = 1(2\lambda + 1) - 1(2\lambda + 1) + 1(2-2) = 0$
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए किसी भी $\lambda \in R$ के लिए निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं है।
अब,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 2 & -1 & | & 3 \\ 1 & 1 & \lambda & | & 1 \end{bmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \\ 0 & 0 & \lambda-1 & | & -2 \end{bmatrix}$
$R_2$ से,$-3z = -3 \implies z = 1$ प्राप्त होता है।
$z=1$ को $R_3$ में रखने पर: $(\lambda-1)(1) = -2 \implies \lambda = -1$।
यदि $\lambda = -1$ है,तो निकाय संगत है (अनंत हल)।
यदि $\lambda \neq -1$ है,तो निकाय असंगत है (कोई हल नहीं)।
अतः,कथन '$S$ सभी $\lambda \in R$ के लिए संगत है' गलत है।

(C) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 0$
$12 - 2q - 3p + pq - 6 = 0$
$pq - 3p - 2q + 6 = 0$
$p(q - 3) - 2(q - 3) = 0$
$(p - 2)(q - 3) = 0$
इसका अर्थ है $p = 2$ या $q = 3$।
स्थिति $1$: यदि $p = 2$ है,तो समीकरण बनते हैं:
$2x + 2y + 6z = 8 \Rightarrow x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
यहाँ,पहला और तीसरा समीकरण समान हैं। यदि $p=2$ है,तो निकाय के अनंत हल होंगे,इसलिए $p=2$ 'कोई हल नहीं' की स्थिति नहीं देता है।
स्थिति $2$: यदि $q = 3$ और $p \neq 2$ है,तो समीकरण हैं:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + 3z = 5$
$x + y + 3z = 4$
दूसरे समीकरण से तीसरे को घटाने पर: $y = 1$।
$y=1$ को तीसरे समीकरण में रखने पर: $x + 3z = 3$।
$y=1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $2x + p + 6z = 8 \Rightarrow 2x + 6z = 8 - p$।
चूंकि $x + 3z = 3$,तो $2x + 6z = 6$।
कोई हल न होने के लिए,$6 \neq 8 - p$,जिसका अर्थ है $p \neq 2$।
अतः,कोई हल न होने की शर्त $p \neq 2$ और $q = 3$ है।

(B) समीकरण निकाय का शून्येतर हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{bmatrix}$
$|A| = 0$ रखने पर:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & \lambda-3 & -\lambda+3 \\ -\lambda+3 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_2$ और $R_3$ से $(\lambda-3)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\lambda-3)^2 [(\lambda-1)(1-0) - (3\lambda+1)(0-1) + 2\lambda(0 - (-1))] = 0$
$(\lambda-3)^2 [\lambda-1 + 3\lambda+1 + 2\lambda] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6\lambda] = 0$
अतः,$\lambda$ के दो भिन्न वास्तविक मान $\lambda = 3$ और $\lambda = 0$ हैं। इसलिए $p=3$ और $q=0$ है।
अंत में,$p^2+q^2-pq = 3^2 + 0^2 - (3)(0) = 9 + 0 - 0 = 9$।

(B) दिया गया समरूप समीकरण निकाय $AX=0$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है,इसलिए सारणिक $|A| = 0$ है।
सारणिक की गणना करने पर: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 1 - bc - ab + abc + abc - ac = 1 - ab - bc - ca + 2abc = 0$ प्राप्त होता है।
अब गैर-समरूप निकाय $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ पर विचार करें। संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $A' = \begin{bmatrix} 1 & a & a & | & a \\ b & 1 & b & | & b \\ c & c & 1 & | & c \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $|A|=0$ है,इसलिए निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
पंक्ति संक्रियाओं द्वारा,हम देखते हैं कि संवर्धित आव्यूह $A'$ की कोटि (rank),$A$ की कोटि के बराबर है (जो $a, b, c \neq 1$ के लिए $2$ है)।
चूंकि गुणांक आव्यूह की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

(A) माना $x = \sin \alpha$,$y = \cos \beta$,और $z = \tan \gamma$ है। समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:
$2x - y + 3z = 3 \quad \dots (i)$
$4x + 2y - 2z = 2 \quad \dots (ii)$
$6x - 3y + z = 9 \quad \dots (iii)$
मैट्रिक्स रूप $AX = B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & -2 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A| = 2(2 - 6) - (-1)(4 + 12) + 3(-12 - 12) = -64$ है।
$X = A^{-1}B$ को हल करने पर,हमें $x = 1$,$y = -1$,$z = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \alpha = 1 \implies \alpha = \pi/2$.
$\cos \beta = -1 \implies \beta = \pi$.
$\tan \gamma = 0 \implies \gamma = 0$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $2\alpha - \beta - \gamma = 2(\pi/2) - \pi - 0 = 0$। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया है,$AX=D$ तीन रैखिक गैर-सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली है।
चूंकि $|A|=0$ है,इसलिए प्रणाली का कोई अद्वितीय हल नहीं है।
हमें दिया गया है कि $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha$ है।
Rouché-Capelli प्रमेय के अनुसार,यदि $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha < n$ (जहाँ $n=3$ चरों की संख्या है),तो प्रणाली के अनंत हल होते हैं।
अतः,जब $\alpha < 3$ होता है,तो $AX=D$ प्रणाली के अनंत हल होते हैं।

(A) दी गई प्रणाली: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
मैट्रिक्स का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(4\lambda^2 - 4\lambda^2) - 2(2\lambda^2 - 2\lambda^2) + \lambda(4\lambda - 4\lambda) = 0 - 0 + 0 = 0$।
चूंकि गुणांक मैट्रिक्स का सारणिक $0$ है,इसलिए प्रणाली $AX = 0$ के पास किसी भी $\lambda \in (-\infty, \infty)$ के लिए हमेशा अनंत हल (नॉन-ट्रिवियल हल) होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$ax+ay+2az=4$
एक रैखिक समीकरण निकाय $AX=B$ का एक अद्वितीय हल होता है यदि और केवल यदि गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$.
गुणांक आव्यूह $A$ है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(3(2a) - 2(a)) - 1(2(2a) - 2(a)) + 1(2(a) - 3(a))$
$|A| = 1(6a - 2a) - 1(4a - 2a) + 1(2a - 3a)$
$|A| = 4a - 2a - a = a$
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $a \neq 0$.
अतः,निकाय का हल सभी $a \in R-\{0\}$ के लिए अद्वितीय है.

(D) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=9$
$2x+5y+7z=52$
$x+7y+11z=77$
हम इस निकाय को संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $[A|B]$ के रूप में निरूपित करते हैं:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 2 & 5 & 7 & 52 \\ 1 & 7 & 11 & 77 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 6 & 10 & 68 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3-2R_2$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
यहाँ,गुणांक आव्यूह की कोटि $\rho(A) = 2$ है और संवर्धित आव्यूह की कोटि $\rho(A|B) = 2$ है। चूँकि $\rho(A) = \rho(A|B) < 3$ (जहाँ $3$ चरों की संख्या है),इसलिए इस निकाय के अनंत हल हैं।

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ -1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 0$
$\sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 1$
$\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(2\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \beta$ के लिए सामान्य हल $\theta = n\pi + (-1)^n \beta$ है।
$2\alpha + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$2\alpha = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$
$\alpha = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8}$

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$x+y+z=4$ $(1)$
$x-y+z=2$ $(2)$
$x+2y+2z=1$ $(3)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $(x+y+z) - (x-y+z) = 4-2 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
$y=1$ का मान $(1)$ और $(3)$ में रखने पर:
$x+1+z=4 \implies x+z=3$ $(4)$
$x+2(1)+2z=1 \implies x+2z=-1$ $(5)$
समीकरण $(5)$ में से $(4)$ घटाने पर: $(x+2z) - (x+z) = -1 - 3 \implies z = -4$.
$z=-4$ का मान $(4)$ में रखने पर: $x-4=3 \implies x=7$.
अतः,$a=7, b=1, c=-4$.
अब,$ab+bc+ca$ ज्ञात करते हैं:
$ab+bc+ca = (7)(1) + (1)(-4) + (-4)(7) = 7 - 4 - 28 = -25$.

(B) दिया गया निकाय $\begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ है।
इसे $\begin{bmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतुच्छ हल के लिए,सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{vmatrix} = 0$.
$(2-k)(7-k) - 24 = 0$.
$k^2 - 9k + 14 - 24 = 0$.
$k^2 - 9k - 10 = 0$.
$(k-10)(k+1) = 0$.
अतः,$k = 10$ या $k = -1$. धनात्मक मान लेने पर,$k = 10$.
$k = 10$ रखने पर,हमें $-8a + 8b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$.

(A) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+2z=3$
$x+2y+3z=4$
$x+y+cz=5$
निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(2c - 3) - 1(c - 3) + 2(1 - 2) = 0$
$2c - 3 - c + 3 - 2 = 0$
$c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$
यदि $c=2$ है,तो समीकरण $x+y+2z=3$ और $x+y+2z=5$ प्राप्त होते हैं,जो परस्पर विरोधी हैं।
अतः,$c=2$ के लिए निकाय असंगत है।
नोट: यदि तीसरा समीकरण $x+y+2cz=5$ है,तो $c=1$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$ax + by + cz = 2$
$bx + cy + az = 2$
$cx + ay + bz = 2$
गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
चूंकि $a+b+c = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
चूंकि $\Delta = 0$,प्रणाली का या तो कोई समाधान नहीं है या अनंत समाधान हैं।
आइए $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ की गणना करके संगति की जाँच करें।
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & b & c \\ 2 & c & a \\ 2 & a & b \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 2(c^2 + ab + ab - c^2 - a^2 - b^2) = 2(2ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
चूंकि $a+b+c=0$,$c = -(a+b)$,इसलिए $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
अतः,$\Delta_x = 2(2ab - a^2 - b^2 - (a^2 + b^2 + 2ab)) = 2(-2a^2 - 2b^2) = -4(a^2 + b^2)$.
यदि $a, b, c$ सभी शून्य नहीं हैं,तो $\Delta_x \neq 0$।
चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक शून्य नहीं है,इसलिए प्रणाली असंगत है।

(D) समीकरण निकाय के हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम क्रेमर के नियम का उपयोग करके सारणिक $D$ और $D_1, D_2, D_3$ की गणना करते हैं।
$D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 3 \\ 9 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 4(-35 + 9) - 1(7 - 27) + 2(-3 + 45) = 4(-26) - 1(-20) + 2(42) = -104 + 20 + 84 = 0$.
चूंकि $D = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। अब हम $D_1, D_2, D_3$ की गणना करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 10 & -5 & 3 \\ 20 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 5(-35 + 9) - 1(70 - 60) + 2(-30 + 100) = 5(-26) - 1(10) + 2(70) = -130 - 10 + 140 = 0$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 1 & 10 & 3 \\ 9 & 20 & 7 \end{vmatrix} = 4(70 - 60) - 5(7 - 27) + 2(20 - 90) = 4(10) - 5(-20) + 2(-70) = 40 + 100 - 140 = 0$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 5 \\ 1 & -5 & 10 \\ 9 & -3 & 20 \end{vmatrix} = 4(-100 + 30) - 1(20 - 90) + 5(-3 + 45) = 4(-70) - 1(-70) + 5(42) = -280 + 70 + 210 = 0$.
चूंकि $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$,इसलिए समीकरण निकाय संगत है और इसके अनंत हल हैं।

(D) दी गई समीकरणों की प्रणाली है:
$3x + 2y + z = 6$
$3x + 4y + 3z = 14$
$6x + 10y + 8z = a$
माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 6 & 10 & 8 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 3(32 - 30) - 2(24 - 18) + 1(30 - 24) = 3(2) - 2(6) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,प्रणाली का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। अनंत हलों के लिए,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ होना चाहिए।
$A$ का एड्जॉइंट इस प्रकार है:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix}$.
अब,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ की गणना करते हैं:
$\begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 84 + 2a \\ -36 + 252 - 6a \\ 36 - 252 + 6a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a - 72 \\ 216 - 6a \\ 6a - 216 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
पहली पंक्ति से,$2a - 72 = 0 \implies a = 36$.
अन्य पंक्तियों के साथ जांचने पर,$216 - 6(36) = 216 - 216 = 0$.
अतः,$a = 36$ के लिए,प्रणाली के अनंत हल हैं।

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय समघात (homogeneous) है,जिसे आव्यूह रूप $AX = O$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
हलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
एक समघात निकाय $AX = O$ के लिए,यदि $|A| \neq 0$ है,तो निकाय का केवल तुच्छ हल $(x=0, y=0, z=0)$ ही होता है।
अतः,गैर-तुच्छ हलों की संख्या $0$ है।

(C) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$3x - 4y + 7z = -6$
$5x + 2y - 4z = -9$
$8x - 6y - z = -5$
इसे $AX = D$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 \\ 5 & 2 & -4 \\ 8 & -6 & -1 \end{bmatrix}$ और $D = \begin{bmatrix} -6 \\ -9 \\ -5 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 3(-2 - 24) + 4(-5 + 32) + 7(-30 - 16)$
$|A| = 3(-26) + 4(27) + 7(-46)$
$|A| = -78 + 108 - 322 = -292 \neq 0$.
चूँकि $|A| \neq 0$,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $3$ है।
संवर्धित आव्यूह $[A|D] = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 & | & -6 \\ 5 & 2 & -4 & | & -9 \\ 8 & -6 & -1 & | & -5 \end{bmatrix}$ के लिए,इसकी कोटि भी $3$ है क्योंकि $3 \times 3$ उप-आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य नहीं है।
अतः,$\operatorname{Rank}(A) = \operatorname{Rank}([A|D]) = 3$.

(A) दिए गए समीकरण $x^a y^b = e^m$ और $x^c y^d = e^n$ हैं। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
यह $X = \ln x$ और $Y = \ln y$ चरों में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है।
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{md-bn}{ad-bc}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{an-mc}{ad-bc}$
चूंकि $X = \ln x$,इसलिए $x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$।
चूंकि $Y = \ln y$,इसलिए $y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$।

(B) दिया गया मैट्रिक्स समीकरण: $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
पहले दो मैट्रिक्स का गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
इससे रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x - y + 2z = 5$
$-x + y - 2z = -5$
$2x - 2y + 4z = 10$
ये तीनों समीकरण एक ही समतल समीकरण $x - y + 2z = 5$ के बराबर हैं।
चूंकि $x, y, z$ के गुणांक शून्य नहीं हैं,इसलिए यह समतल किसी भी निर्देशांक समतल $(XY, YZ, ZX)$ के समानांतर नहीं है।
अतः,सभी हल एक ऐसे समतल पर स्थित हैं जो किसी भी निर्देशांक समतल के समानांतर नहीं है।

(C) दिया गया है,$f(x) = 2x^2 + 5x + 1$।
साथ ही,$f(x) = a(x+1)(x-2) + b(x-2)(x-1) + c(x-1)(x+1)$।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$f(x) = (a+b+c)x^2 + (-a-3b)x + (-2a+2b-c)$।
$x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
$1) \; a + b + c = 2$
$2) \; -a - 3b = 5$
$3) \; -2a + 2b - c = 1$
चूंकि हमारे पास $3$ चरों $(a, b, c)$ के लिए $3$ रैखिक समीकरण हैं और गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $a, b, c$ के लिए एक अद्वितीय हल मौजूद है।
इन्हें हल करने पर,हमें $a = -\frac{35}{4}$,$b = \frac{5}{4}$,और $c = \frac{38}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a, b, c$ में से प्रत्येक के लिए केवल एक ही विकल्प है।

(D) हमें आव्यूह समीकरण $AX = B$ दिया गया है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix}$ है।
हम प्रत्येक विकल्प के लिए आव्यूह गुणन $AX$ करके विकल्पों की जाँच कर सकते हैं।
माना $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ है।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
$AX = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(4) + (-1)(2) + (0)(1) \\ (0)(4) + (1)(2) + (-1)(1) \\ (1)(4) + (1)(2) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 2 + 0 \\ 0 + 2 - 1 \\ 4 + 2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix} = B$ है।
अतः,सही आव्यूह $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।

(C) एक आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं होता है यदि और केवल यदि इसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 12 & 24 & 5 \\ x & 6 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 12(6 \times 3 - 2 \times (-2)) - 24(x \times 3 - 2 \times (-1)) + 5(x \times (-2) - 6 \times (-1))$
$|A| = 12(18 + 4) - 24(3x + 2) + 5(-2x + 6)$
$|A| = 12(22) - 72x - 48 - 10x + 30$
$|A| = 264 - 82x - 18$
$|A| = 246 - 82x$
$|A| = 0$ रखने पर:
$246 - 82x = 0$
$82x = 246$
$x = \frac{246}{82} = 3$
अतः,$x$ का मान $3$ है।

(A) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ होता है।
चूंकि $\det(A) = 1$ दिया गया है,समीकरण $\lambda^2 - (a+d)\lambda + 1 = 0$ हो जाता है।
इस द्विघात समीकरण के मूल काल्पनिक होने के लिए,इसका विविक्तकर $D$ शून्य से कम $(D < 0)$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = [-(a+d)]^2 - 4(1)(1) = (a+d)^2 - 4$ है।
$D < 0$ रखने पर,हमें $(a+d)^2 - 4 < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(a+d)^2 < 4$।

(B) दिया गया है $A U_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$,और $A U_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$.
इसे $A U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $U = [U_{1} U_{2} U_{3}]$.
हम जानते हैं कि $A U = B$,जहाँ $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$U = A^{-1} B$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,$U^{-1} = (A^{-1} B)^{-1} = B^{-1} A$.
सबसे पहले $A^{-1}$ ज्ञात करें। $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ एक निम्न त्रिभुजाकार आव्यूह है।
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
अब $B^{-1}$ ज्ञात करें। चूँकि $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,$|B| = 1(3-0) = 3$.
$B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$U^{-1} = B^{-1} A = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & -2/3 & 0 \\ -7/3 & -5/3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
अवयवों का योग = $(-1/3 - 2/3 + 0) + (-7/3 - 5/3 - 1) + (3 + 2 + 1) = -1 - 5 + 6 = 0$.

(D) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX = B$ का एक अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$.
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a-4 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1((1)(a-4) - (2)(2)) - 2((2)(a-4) - (2)(1)) + 4((2)(2) - (1)(1))$
$|A| = 1(a-4-4) - 2(2a-8-2) + 4(4-1)$
$|A| = (a-8) - 2(2a-10) + 4(3)$
$|A| = a - 8 - 4a + 20 + 12$
$|A| = -3a + 24$
अद्वितीय हल के लिए,$|A| \neq 0$.
$-3a + 24 \neq 0 \Rightarrow -3a \neq -24 \Rightarrow a \neq 8$.

(C) दी गई समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$\lambda x + y + 3z = 0$
$2x + \mu y - z = 0$
$5x + 7y + z = 0$
प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 3 \\ 2 & \mu & -1 \\ 5 & 7 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\lambda(\mu(1) - (-1)(7)) - 1(2(1) - (-1)(5)) + 3(2(7) - \mu(5)) = 0$
$\lambda(\mu + 7) - 1(2 + 5) + 3(14 - 5\mu) = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 7 + 42 - 15\mu = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 15\mu + 35 = 0$
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(C)$ के लिए,$\lambda = 1$ और $\mu = 3$ रखने पर:
$(1)(3) + 7(1) - 15(3) + 35 = 3 + 7 - 45 + 35 = 10 - 45 + 35 = 0$.
चूंकि समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए सही विकल्प $(C)$ है।

(D) दिया गया समीकरण निकाय एक समघात निकाय $AX = 0$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{bmatrix}$ है।
हलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = |A|$ ज्ञात करते हैं।
$D = \begin{vmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{vmatrix}$
$D = 8((-8)(-8) - (3)(5)) - (-3)((5)(-8) - (3)(3)) + (-5)((5)(5) - (-8)(3))$
$D = 8(64 - 15) + 3(-40 - 9) - 5(25 + 24)$
$D = 8(49) + 3(-49) - 5(49)$
$D = 49(8 - 3 - 5) = 49(0) = 0$.
चूँकि सारणिक $D = 0$ है,इसलिए इस समघात समीकरण निकाय के अनंत शून्येतर हल हैं।

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह $A$ लिखते हैं:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = 2(-2\lambda - 1) - (-1)(\lambda - 1) - 2(1 - (-2)) = 0$
$|A| = 2(-2\lambda - 1) + 1(\lambda - 1) - 2(3) = 0$
$-4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 6 = 0$
$-3\lambda - 9 = 0$
$-3\lambda = 9$
$\lambda = -3$
अतः,$\lambda$ का मान $-3$ है जिसके लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) दिए गए समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1-\alpha)x + 3y + 5z = 0$
$5x + (1-\alpha)y + 3z = 0$
$3x + 5y + (1-\alpha)z = 0$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-\alpha & 3 & 5 \\ 5 & 1-\alpha & 3 \\ 3 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 9-\alpha & 3 & 5 \\ 9-\alpha & 1-\alpha & 3 \\ 9-\alpha & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
प्रथम स्तंभ से $(9-\alpha)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1-\alpha & 3 \\ 1 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ करने पर:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 0 & -\alpha-2 & -2 \\ 0 & 2 & -\alpha-4 \end{array}\right| = 0$
$(9-\alpha) [(-\alpha-2)(-\alpha-4) - (-4)] = 0$
$(9-\alpha) [\alpha^2 + 6\alpha + 8 + 4] = 0$
$(9-\alpha) (\alpha^2 + 6\alpha + 12) = 0$
$\alpha^2 + 6\alpha + 12 = 0$ के लिए विविक्तकर $D = 6^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$ है। अतः,इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
इसलिए,केवल $\alpha = 9$ ही एकमात्र वास्तविक मान है। अतः वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।