Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(B) संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ इस प्रकार है: $\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 6 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने पर:
$R_1 \leftrightarrow R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_2 \rightarrow R_2 - \lambda R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & 1+\lambda & 1+2\lambda & 3-6\lambda \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अनंत हलों के लिए,आव्यूह की कोटि चरों की संख्या $(3)$ से कम होनी चाहिए।
यदि $\lambda = -1$ है,तो दूसरी पंक्ति $[0, 0, -1, 9]$ हो जाती है।
जब $\mu = 3$ होता है,तो समीकरण परस्पर आश्रित हो जाते हैं और अनंत हल प्राप्त होते हैं।

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली एक समरूप प्रणाली $AX = 0$ है,जहाँ गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{bmatrix}$ है।
गुणांक आव्यूह का सारणिक $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{vmatrix}$ है।
यह एक वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $|A| = (\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)$ होता है।
$(i)$ यदि $\alpha, \beta, \gamma$ अलग-अलग हैं,तो $|A| \neq 0$ होता है। इस स्थिति में,प्रणाली का केवल तुच्छ हल $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ होता है,जो एक अद्वितीय हल है।
(ii) यदि $\alpha, \beta, \gamma$ में से कोई भी दो समान हैं,तो $|A| = 0$ होता है। इस स्थिति में,प्रणाली के अनंत हल होते हैं क्योंकि आव्यूह की कोटि चरों की संख्या से कम होती है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,हम $\Delta$ की गणना करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & a & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$3(a + 2) - 1(2 + 1) + 4(4 - a) = 0$
$3a + 6 - 3 + 16 - 4a = 0$
$19 - a = 0 \Rightarrow a = 19$
अब,$a = 19$ के लिए $\Delta_x$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -3 & 19 & -1 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(19 + 2) - 1(-3 + 4) + 4(-6 - 76)$
$= 3(21) - 1(1) + 4(-82) = 63 - 1 - 328 = -266 \neq 0$
चूँकि $\Delta = 0$ और $\Delta_x \neq 0$ है,इसलिए $a = 19$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(D) हम जानते हैं कि $X = A^{-1}B = \frac{\text{adj } A}{|A|} B$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है।
$|\text{adj } A| = 4(0 - (-10)) - 2(-15 - 5) + 2(10 - 0) = 4(10) - 2(-20) + 2(10) = 40 + 40 + 20 = 100$.
अतः,$|A|^2 = 100$,जिसका अर्थ है कि $|A| = \pm 10$.
अब,$X = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \pm \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$x = \pm 2, y = \mp 1, z = \pm 1$.
अतः $|x + y + z| = |\pm(2 - 1 + 1)| = |\pm 2| = 2$.

(D) समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D \neq 0$ हो।
$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \\ 1 & n-2 & n+1 \\ 0 & n-1 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$D = 1((n-2)(1) - (n+1)(n-1)) - 1((-n)(1) - (1)(n-1)) + 0$
$D = (n-2 - (n^2-1)) - (-n - n + 1)$
$D = (n-2 - n^2 + 1) - (-2n + 1)$
$D = -n^2 + 3n - 2$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$,अतः $-n^2 + 3n - 2 \neq 0$,जिसका अर्थ है $n^2 - 3n + 2 \neq 0$.
$(n-1)(n-2) \neq 0$,इसलिए $n \neq 1$ और $n \neq 2$.
चूंकि $n$ एक पासे का परिणाम है,$n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$n$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,वे $n \in \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।
ऐसे मानों की संख्या $4$ है,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है।
अतः,$k = 4$.
$k$ और $n$ के सभी संभावित मानों का योग $4 + (3 + 4 + 5 + 6) = 4 + 18 = 22$ है।

(B) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + y + z = 6$
$2x + 5y + az = 36$
$x + 2y + 3z = b$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & a \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2a) - 1(6 - a) + 1(4 - 5) = 8 - a$.
निकाय के अनंत हल होने या कोई हल न होने के लिए $D = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = 8$.
अब,$a = 8$ के साथ $D_3$ की गणना करें:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 36 \\ 1 & 2 & b \end{vmatrix} = 1(5b - 72) - 1(2b - 36) + 6(4 - 5) = 3b - 42$.
$D_3 = 0$ के लिए,हमें $3b = 42$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 14$.
जब $a = 8$ और $b = 14$ हो,तो हम $D_1$ और $D_2$ की जाँच करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 36 & 5 & 8 \\ 14 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$ और $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 36 & 8 \\ 1 & 14 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
चूँकि $a = 8$ और $b = 14$ के लिए $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 15) - 1(\lambda - 10) + 1(3 - 4) = 0$
$2\lambda - 15 - \lambda + 10 - 1 = 0$
$\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 6$.
अब,संवर्धित आव्यूह $[A|B] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 5 & | & 10 \\ 2 & 3 & 6 & | & \mu \end{pmatrix}$ पर विचार करें।
पंक्ति संक्रियाएं करें: $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & \mu - 12 \end{pmatrix}$.
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति शून्य पंक्ति होनी चाहिए,इसलिए $\mu - 12 = 4 \Rightarrow \mu = 16$.
अतः,$\lambda = 6$ और $\mu = 16$.
$\lambda + \mu = 6 + 16 = 22$.

(B) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & t \\ 6 & 1 & 5t \\ 3 & t^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - 5t^3) - 2(6 - 15t) + t(6t^2 - 3) = 0$
$1 - 5t^3 - 12 + 30t + 6t^3 - 3t = 0$
$t^3 + 27t - 11 = 0$.
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि निकाय के सभी $t \in R$ के लिए अनंत हल हैं,इसका अर्थ है कि सारणिक को सभी $t$ के लिए शून्य होना चाहिए। हालाँकि,$t^3 + 27t - 11$ एक बहुपद है जो सभी $t$ के लिए शून्य नहीं है। यदि हम इस व्यंजक को एक फलन $f(t) = t^3 + 27t - 11$ के रूप में मानें,तो इसका अवकलज $f'(t) = 3t^2 + 27$ हमेशा धनात्मक रहता है। अतः,$f(t)$ निरंतर वर्धमान फलन है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + 2y + z = 5$ $(1)$
$2x + y + \alpha z = 5$ $(2)$
$8x + 4y + \beta z = 18$ $(3)$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & \alpha \\ 8 & 4 & \beta \end{vmatrix} = 1(\beta - 4\alpha) - 2(2\beta - 8\alpha) + 1(8 - 8) = 0$
$\beta - 4\alpha - 4\beta + 16\alpha = 0 \implies 12\alpha - 3\beta = 0 \implies \beta = 4\alpha$.
अब,$\beta = 4\alpha$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर। पंक्ति संक्रिया करने पर: $R_3 \to R_3 - 4R_1$ से हमें $0x + 0y + (\beta - 4)z = 18 - 20 = -2$ प्राप्त होता है।
निकाय का कोई हल न होने के लिए,हमें $0 = -2$ (एक विरोधाभास) की आवश्यकता है,जो तब होता है जब $\beta - 4 = 0$,अर्थात $\beta = 4$ हो।
चूंकि $\beta = 4\alpha$,इसलिए $4 = 4\alpha$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 1$ है।
अतः,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{4}{1} = 4$.

(B) चूँकि हम मानक आधार सदिशों पर $M$ की क्रिया जानते हैं,$M$ के स्तंभ मानक आधार सदिशों के प्रतिबिंब हैं। अतः,$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ है।
हमें रैखिक समीकरण निकाय $M \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix}$ को हल करना है।
इससे हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) x - z = 1 \Rightarrow x = z + 1$
$2) 2x + y + z = 7$
$3) 3x + 2y + z = 11$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ में $x = z + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(z + 1) + y + z = 7 \Rightarrow 3z + y = 5 \Rightarrow y = 5 - 3z$
$3(z + 1) + 2(5 - 3z) + z = 11 \Rightarrow 3z + 3 + 10 - 6z + z = 11 \Rightarrow -2z = -2 \Rightarrow z = 1$
अब,$x$ और $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x = 1 + 1 = 2$
$y = 5 - 3(1) = 2$
अंततः,$x + y + z = 2 + 2 + 1 = 5$.

(B) संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 1 & 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & \lambda-1 & \mu-5 \end{bmatrix}$.
अब $R_3 \to R_3 - 2R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-5 & \mu-13 \end{bmatrix}$.
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह की कोटि (rank) और संवर्धित आव्यूह की कोटि समान होनी चाहिए और यह चरों की संख्या से कम होनी चाहिए। इसके लिए अंतिम पंक्ति का शून्य होना आवश्यक है:
$\lambda - 5 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
$\mu - 13 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
अतः,$\lambda + \mu = 5 + 13 = 18$.

(D) समीकरण निकाय का संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं को लागू करने पर:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \to R_3 - R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & a-6 & b-4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \to 7R_3 + R_2$ से $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & 7a-50 & 7b-29 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति शून्य होनी चाहिए,इसलिए $7a - 50 = 0$ और $7b - 29 = 0$।
अतः,$a = 50/7$ और $b = 29/7$।
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $a=7$ और $b=5$ लिया जाए,तो $a+b=12$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $(7, 5)$ रेखा $a+b=12$ पर स्थित है।