theta in (0, 4pi) के उन मानों की संख्या जिनके | vedclass

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Question

(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करे

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$7$

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(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:$D = \begin{vmatrix} 3\sin 3	heta & -1 & 1 \ 3\cos 2	heta & 4 & 3 \ 6 & 7 & 7 \end{vmatrix} = 0$$D = 3\sin 3	heta(28 - 21) + 1(21\cos 2	heta - 18) + 1(21\cos 2	heta - 24) = 0$$D = 21\sin 3	heta + 42\cos 2	heta - 42 = 0$$21$ से भाग देने पर,हमें $\sin 3	heta + 2\cos 2	heta - 2 = 0$ प्राप्त होता है।$\cos 2	heta = 1 - 2\sin^2 	heta$ और $\sin 3	heta = 3\sin 	heta - 4\sin^3 	heta$ का उपयोग करने पर:$(3\sin 	heta - 4\sin^3 	heta) + 2(1 - 2\sin^2 	heta) - 2 = 0$$-4\sin^3 	heta - 4\sin^2 	heta + 3\sin 	heta = 0$$-\sin 	heta (2\sin 	heta - 1)(2\sin 	heta + 3) = 0$इससे $\sin 	heta = 0$,$\sin 	heta = 1/2$,या $\sin 	heta = -3/2$ (असंभव) प्राप्त होता है।$(0, 4\pi)$ में $\sin 	heta = 0$ के लिए,$	heta = \pi, 2\pi, 3\pi$ है।$(0, 4\pi)$ में $\sin 	heta = 1/2$ के लिए,$	heta = \pi/6, 5\pi/6, 13\pi/6, 17\pi/6$ है।अतः,कुल $3 + 4 = 7$ मान प्राप्त होते हैं।

$\theta \in (0, 4\pi)$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $3(\sin 3\theta)x - y + z = 2$,$3(\cos 2\theta)x + 4y + 3z = 3$,और $6x + 7y + 7z = 9$ का कोई हल नहीं है,है:

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सभी वास्तविक मान $p, q$ जिनके लिए समीकरण निकाय $\begin{cases} 2x + py + 6z = 8 \\ x + 2y + qz = 5 \\ x + y + 3z = 4 \end{cases}$ का कोई हल न हो,हैं

यदि समीकरण निकाय $x+y+z=2$,$2x+4y-z=6$,और $3x+2y+\lambda z=\mu$ के अनंत हल हैं,तो:

समीकरणों के निकाय $\lambda x - y + (\cos\theta) z = 0$,$3x + y + 2z = 0$,और $(\cos\theta) x + y + 2z = 0$ के लिए $0 < \theta < 2\pi$ का अशून्य (non-trivial) हल है:

रैखिक समीकरण निकाय $\lambda x + 2y + 2z = 5$,$2\lambda x + 3y + 5z = 8$,और $4x + \lambda y + 6z = 10$ के लिए:

समीकरणों की प्रणाली $3x + 2y + z = 6$,$3x + 4y + 3z = 14$ और $6x + 10y + 8z = a$ के अनंत हल हैं,यदि $a$ का मान है

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