अंतराल $(0,4 \pi)$ में $\theta$ के मानों, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय

$3(\sin 3 \theta) x-y+z=2$

$3(\cos 2 \theta) x+4 y+3 z=3$

$6 x+7 y+7 z=9$

का कोई हल नहीं है, की संख्या है:

समीकरणों के निकाय $3x + y + 2z = 3,$ $2x - 3y - z =  - 3$, $x + 2y + z = 4$के लिये $x,y,z$ के मान होंगे

रैखिक समीकरण निकाय $\lambda x+2 y+2 z=5$, $2 \lambda x+3 y+5 z=8$, $4 x+\lambda y+6 z=10$

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x+y+3 z=0$, $x+3 y+k^{2} z=0$, $3 x+y+3 z=0$ का किसी $k \in R$, के लिए, एक शून्येत्तर हल $( x , y , z )$ है, तो $x +\left(\frac{ y }{ z }\right)$ बराबर है -

यदि $\omega $ इकाई का काल्पनिक मूल हो, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{b{\omega ^2}}&{a\omega }\\{b\omega }&c&{b{\omega ^2}}\\{c{\omega ^2}}&{a\omega }&c\end{array}\,} \right|$ का मान होगा

यदि ${x^a}{y^b} = {e^m},{x^c}{y^d} = {e^n},{\Delta _1} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}m&b\\n&d\end{array}\,} \right|\,\,{\Delta _2} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&m\\c&n\end{array}\,} \right|$ और ${\Delta _3} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}\,} \right|$हो, तब $ x $ और  $y$ के मान क्रमश: होंगे