माना $\lambda, \mu \in R$ है। यदि समीकरण निकाय
$3x + 5y + \lambda z = 3$
$7x + 11y - 9z = 2$
$97x + 155y - 189z = \mu$
के अनंत हल हैं,तो $\mu + 2\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:

कथन $-1$: रैखिक समीकरणों की प्रणाली
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में स्थित $\alpha$ के केवल एक मान के लिए एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है।
कथन $-2$: $\alpha$ में समीकरण
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में केवल एक हल है।

यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $A^{2} + xA + yI = 0$ के लिए $(x, y)$ का मान क्या है?

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय $2x + 2y + 3z = a$,$3x - y + 5z = b$,और $x - 3y + 2z = c$,जहाँ $a, b, c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,के एक से अधिक हल हैं,तो:

दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। उन पर आने वाली संख्याओं को $\lambda$ और $\mu$ के रूप में लिया जाता है,और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली
$x+y+z=5$
$x+2y+3z=\mu$
$x+3y+\lambda z=1$
बनाई जाती है। यदि $p$ प्रणाली का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता है और $q$ प्रणाली का कोई हल न होने की प्रायिकता है,तो:

समीकरणों की प्रणाली $2x + y + z = \beta$,$10x - y + \alpha z = 10$ और $4x + 3y - z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व किस पर निर्भर करता है?