एक वास्तविक संख्या alpha के लिए,यदि रैखिक समी | vedclass

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Question

(D) प्रणाली के अनंत हल होते हैं यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और संवर्धित आव्यूह संगतता की शर्त को पूरा करता हो।सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना

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$1$

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(D) प्रणाली के अनंत हल होते हैं यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और संवर्धित आव्यूह संगतता की शर्त को पूरा करता हो।सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:$D = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 \ \alpha & 1 & \alpha \ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - \alpha^2) - \alpha(\alpha - \alpha^3) + \alpha^2(\alpha^2 - \alpha^2) = 1 - \alpha^2 - \alpha^2 + \alpha^4 = \alpha^4 - 2\alpha^2 + 1 = (\alpha^2 - 1)^2$.$D = 0$ रखने पर $(\alpha^2 - 1)^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$ या $\alpha = -1$।स्थिति $1$: यदि $\alpha = 1$ है,तो समीकरण:$x + y + z = 1$$x + y + z = -1$$x + y + z = 1$यह असंगत है क्योंकि $1 
eq -1$,इसलिए कोई हल नहीं है।स्थिति $2$: यदि $\alpha = -1$ है,तो समीकरण:$x - y + z = 1$$-x + y - z = -1$$x - y + z = 1$तीनों समीकरण $x - y + z = 1$ के समान हैं,जो एक समतल को दर्शाते हैं,इसलिए अनंत हल प्राप्त होते हैं।अतः,$\alpha = -1$।तब,$1 + \alpha + \alpha^2 = 1 + (-1) + (-1)^2 = 1 - 1 + 1 = 1$।

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