मान लीजिए कि रैखिक समीकरण निकाय
$-x+2y-9z=7$
$-x+3y-7z=9$
$-2x+y+5z=8$
$-3x+y+13z=\lambda$
का अद्वितीय हल $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ है। तो बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $2x-2y+z=\lambda$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

कथन $-1$: रैखिक समीकरणों की प्रणाली
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में स्थित $\alpha$ के केवल एक मान के लिए एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है।
कथन $-2$: $\alpha$ में समीकरण
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में केवल एक हल है।

समीकरणों की प्रणाली $x+y+z=6$,$x+2y+5z=9$,$x+5y+\lambda z=\mu$ का कोई हल नहीं है यदि

मान लीजिए $a, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:
$a x + 2 y = \lambda$
$3 x - 2 y = \mu$
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ यदि $a = -3$ है,तो $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए प्रणाली के अनंत हल हैं।
$(B)$ यदि $a \neq -3$ है,तो $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए प्रणाली का एक अद्वितीय हल है।
$(C)$ यदि $\lambda + \mu = 0$ है,तो $a = -3$ के लिए प्रणाली के अनंत हल हैं।
$(D)$ यदि $\lambda + \mu \neq 0$ है,तो $a = -3$ के लिए प्रणाली का कोई हल नहीं है।

यदि रैखिक समीकरण निकाय $2x - 3y = \gamma + 5$ और $\alpha x + 5y = \beta + 1$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in R$ के अनंत हल हैं,तो $|9\alpha + 3\beta + 5\gamma|$ का मान किसके बराबर है?

$\lambda$ के उन वास्तविक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $2x + 4y - \lambda z = 0$,$4x + \lambda y + 2z = 0$,और $\lambda x + 2y + 2z = 0$ के अनंत हल हैं।