Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Hindi

(A) हमें $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ दिया गया है जहाँ $a, b, c, d \in \{\pm 3, \pm 2, \pm 1, 0\}$ है।
हमें उन आव्यूहों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $\det(A) = ad - bc = 15$ हो।
चूंकि $ad$ का अधिकतम मान $3 \times 3 = 9$ है और $bc$ का न्यूनतम मान $-3 \times 3 = -9$ है,इसलिए $ad - bc$ का अधिकतम मान $9 - (-9) = 18$ है।
$ad - bc = 15$ के लिए $ad$ और $bc$ के संभावित मान:
स्थिति $I$: $ad = 9$ और $bc = -6$ है।
$ad = 9$ के लिए,$(a, d)$ के जोड़े $(3, 3)$ या $(-3, -3)$ हो सकते हैं ($2$ जोड़े)।
$bc = -6$ के लिए,$(b, c)$ के जोड़े $(3, -2), (-3, 2), (-2, 3), (2, -3)$ हो सकते हैं ($4$ जोड़े)।
स्थिति $I$ के लिए कुल आव्यूह $= 2 \times 4 = 8$ हैं।
स्थिति $II$: $ad = 6$ और $bc = -9$ है।
$ad = 6$ के लिए,$(a, d)$ के जोड़े $(3, 2), (2, 3), (-3, -2), (-2, -3)$ हो सकते हैं ($4$ जोड़े)।
$bc = -9$ के लिए,$(b, c)$ के जोड़े $(3, -3), (-3, 3)$ हो सकते हैं ($2$ जोड़े)।
स्थिति $II$ के लिए कुल आव्यूह $= 4 \times 2 = 8$ हैं।
ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $= 8 + 8 = 16$ है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाले समतलों के समीकरण उनके अभिलंब सदिशों और स्थिति सदिश $(x, y, z)$ के अदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\sigma_1: x + y + z = 0$
$\sigma_2: ax + by + cz = 0$
$\sigma_3: a^2x + b^2y + c^2z = 0$
इन तीन समतलों का प्रतिच्छेदन एक एकल बिंदु (मूल बिंदु) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \neq 0$
यह एक मानक वेंडरमोंड सारणिक है। इसे स्तंभ संक्रियाओं द्वारा सरल किया जा सकता है:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ a^2 & b+a & c+a \end{vmatrix}$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ a^2 & b+a & c-b \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$
$\Delta \neq 0$ के लिए,$a \neq b, b \neq c$ और $c \neq a$ होना चाहिए। अतः,$a, b$ और $c$ तीन भिन्न धनात्मक मान होने चाहिए।

(D) जब सारणिक $D$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम प्रविष्टियों का $5$ के मापांक (modulo) में मूल्यांकन करते हैं।
$2014 \equiv -1 \pmod{5}$,$2015 \equiv 0 \pmod{5}$,$2016 \equiv 1 \pmod{5}$,$2017 \equiv 2 \pmod{5}$,$2018 \equiv 3 \equiv -2 \pmod{5}$,$2019 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$,$2020 \equiv 0 \pmod{5}$,$2021 \equiv 1 \pmod{5}$,$2022 \equiv 2 \pmod{5}$.
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} (-1)^{2014} & 0^{2015} & 1^{2016} \\ 2^{2017} & (-2)^{2018} & (-1)^{2019} \\ 0^{2020} & 1^{2021} & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2^{2017} & 2^{2018} & -1 \\ 0 & 1 & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D \equiv 1(2^{2018} \cdot 2^{2022} - (-1)(1)) - 0 + 1(2^{2017} \cdot 1 - 0) \pmod{5}$
$D \equiv 2^{4040} + 1 + 2^{2017} \pmod{5}$
फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,$a^4 \equiv 1 \pmod{5}$:
$2^{4040} = (2^4)^{1010} \equiv 1^{1010} \equiv 1 \pmod{5}$
$2^{2017} = (2^4)^{504} \cdot 2^1 \equiv 1^{504} \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$
अतः,$D \equiv 1 + 1 + 2 = 4 \pmod{5}$.
शेषफल $4$ है।

(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:
$x+y+z=1$
$2x+Ny+2z=2$
$3x+3y+Nz=3$
प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta \neq 0$ हो।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & N & 2 \\ 3 & 3 & N \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(N^2 - 6) - 1(2N - 6) + 1(6 - 3N)$
$\Delta = N^2 - 6 - 2N + 6 + 6 - 3N$
$\Delta = N^2 - 5N + 6 = (N-2)(N-3)$
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $N \neq 2$ और $N \neq 3$।
चूंकि $N$ एक निष्पक्ष पासे का परिणाम है,$N \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
$N$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$\{1, 4, 5, 6\}$ हैं।
ऐसे $4$ मान हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है,जिससे $k = 4$ प्राप्त होता है।
$k$ और $N$ के उन सभी संभावित मानों का योग जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$4 + (1 + 4 + 5 + 6) = 4 + 16 = 20$ है।

(D) एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य न हो। मान लीजिए $A$ दिया गया आव्यूह है।
$|A| = \left|\begin{array}{ccc}e^t & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) & e^{-t}(-2 \sin t-\cos t) \\ e^t & e^{-t}(2 \sin t+\cos t) & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) \\ e^t & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ से $e^t$ और $C_2, C_3$ से $e^{-t}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}0 & -\sin t - 3\cos t & -3\sin t - 2\cos t \\ 0 & 2\sin t & -2\cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = e^{-t} \cdot 1 \cdot [(-\sin t - 3\cos t)(-2\cos t) - (2\sin t)(-3\sin t - 2\cos t)]$
$|A| = e^{-t} [2\sin t \cos t + 6\cos^2 t + 6\sin^2 t + 4\sin t \cos t] = 6e^{-t}$.
चूँकि $6e^{-t} \neq 0$ सभी $t \in R$ के लिए,अतः आव्यूह सभी $t \in R$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \sqrt{3} \\ -1 & \tan \theta & \sqrt{7} \\ 1 & 1 & \tan \theta \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(\tan^2 \theta - \sqrt{7}) - 1(-\tan \theta - \sqrt{7}) + \sqrt{3}(-1 - \tan \theta) = 0$
$\tan^2 \theta - \sqrt{7} + \tan \theta + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan^2 \theta + (1 - \sqrt{3}) \tan \theta - \sqrt{3} = 0$
$(\tan \theta - \sqrt{3})(\tan \theta + 1) = 0$
अतः,$\tan \theta = \sqrt{3}$ या $\tan \theta = -1$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ और $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$.
$\tan \theta = -1$ और $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए,$\theta = \frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}$.
$S$ में सभी मानों का योग $\sum_{\theta \in S} \theta = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta = \frac{120}{\pi} \times \frac{\pi}{6} = 20$.

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3}{2}(\alpha+\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}(\alpha+\frac{3}{2}) \right) - (3\alpha+1) \left( 1(\alpha+\frac{1}{3}) - 1(\alpha+\frac{3}{2}) \right) = 0$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3\alpha}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2} \right) - (3\alpha+1) \left( \alpha + \frac{1}{3} - \alpha - \frac{3}{2} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{9\alpha - 2\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( \frac{2 - 9}{6} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{7\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( -\frac{7}{6} \right) = 0$
$\frac{7}{6}$ से भाग देने पर:
$(2\alpha+3)(\alpha) + (3\alpha+1) = 0$
$2\alpha^2 + 3\alpha + 3\alpha + 1 = 0$
$2\alpha^2 + 6\alpha + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}$
चूंकि $\sqrt{7} \approx 2.645$,मान $\alpha_1 = \frac{-3 + 2.645}{2} \approx -0.1775$ और $\alpha_2 = \frac{-3 - 2.645}{2} \approx -2.8225$ हैं।
दोनों मान $(-3, 0)$ अंतराल में स्थित हैं। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = 1(\alpha^2 - \beta^2) - 0 + 0 = \alpha^2 - \beta^2$ है।
गुणधर्म $|kA| = k^n|A|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$ है,$|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $|2A|^3 = 2^{21}$,इसलिए $(8|A|)^3 = 2^{21}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$8|A| = (2^{21})^{1/3} = 2^7 = 128$।
अतः,$|A| = \frac{128}{8} = 16$।
अब,$\alpha^2 - \beta^2 = 16$,जिसे $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = 16$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ है,$16$ के गुणनखंडों के आधार पर $(\alpha-\beta, \alpha+\beta)$ के संभावित जोड़े $(2, 8), (4, 4)$ आदि हैं।
यदि $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (2, 8)$ है,तो जोड़ने पर $2\alpha = 10 \Rightarrow \alpha = 5$ प्राप्त होता है।
यदि $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (4, 4)$ है,तो जोड़ने पर $2\alpha = 8 \Rightarrow \alpha = 4$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\alpha$ का मान $5$ है।

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} \sin \alpha & \sqrt{2} \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha(-\cos \alpha - \sin \alpha) + \sqrt{2} \cos \alpha(\sin \alpha - \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha + \sqrt{2} \sin^2 \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2} \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2}(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin 2\alpha - \sqrt{2} \cos 2\alpha = 0$
$\sqrt{2}(\sin 2\alpha - \cos 2\alpha) = 1$
$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{2}$
$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $2\alpha \in (0, \pi)$,अतः $2\alpha - \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
अतः,$2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$ या $2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$.
स्थिति $1$: $2\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{5\pi}{24}$.
स्थिति $2$: $2\alpha = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{13\pi}{24}$ (जो दी गई सीमा से बाहर है)।
अतः,$\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

(C) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll}\alpha & b & c \\ a & \beta & c \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha-a & b-\beta & 0 \\ 0 & \beta-b & c-\gamma \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\alpha-a)[(\beta-b)\gamma - b(c-\gamma)] - (b-\beta)[0 - a(c-\gamma)] + 0 = 0$
$(\alpha-a)(\beta-b)\gamma - b(\alpha-a)(c-\gamma) + a(b-\beta)(c-\gamma) = 0$
पूरे समीकरण को $(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(\alpha-a)(\beta-b)\gamma}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} - \frac{b(\alpha-a)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} + \frac{a(b-\beta)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} = 0$
$\frac{\gamma}{\gamma-c} + \frac{b}{\beta-b} + \frac{a}{\alpha-a} = 0$

(D) मान लीजिए $P = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।
एक $3 \times 3$ आव्यूह का सारणिक $3$ अवयवों के $6$ गुणनफलों का योग होता है।
$\{-1, 0, 1\}$ में अवयव रखने वाले $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,सारणिक का अधिकतम मान $4$ ज्ञात है।
यह देखने के लिए कि $4$ अधिकतम मान क्यों है,निम्नलिखित आव्यूह पर विचार करें:
$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक की गणना करने पर:
$\det(P) = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - (-1)) + 0(-1 - (-1))$
$\det(P) = 1(2) + 1(2) + 0 = 4$.
अतः,अधिकतम संभव मान $4$ है।

(B) माना कि सारणिक $\Delta$ है। हम पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ का उपयोग करते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2\alpha)^2 & (1+3\alpha)^2 \\ 3+2\alpha & 3+4\alpha & 3+6\alpha \\ 5+2\alpha & 5+4\alpha & 5+6\alpha\end{array}\right|$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$= \left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2\alpha)^2 & (1+3\alpha)^2 \\ 3+2\alpha & 3+4\alpha & 3+6\alpha \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$
इस समीकरण को हल करने पर हमें $-8\alpha^3 = -648\alpha$ प्राप्त होता है।
अतः $8\alpha^3 - 648\alpha = 0$,जिसका अर्थ है $8\alpha(\alpha^2 - 81) = 0$.
इस प्रकार,$\alpha = 0, 9, -9$। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(B, C)$ है।

(C) आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A| = 0(ae - bd) - 1(e - d) + c(b - a) = c(b - a) + d - e$.
हमें $a, b, c, d, e \in \{0, 1\}$ और $|A| \in \{-1, 1\}$ दिया गया है।
स्थिति $I$: $c = 0$.
तब $|A| = d - e$. $|A| \in \{-1, 1\}$ के लिए,$(d, e) = (0, 1)$ या $(d, e) = (1, 0)$ होना चाहिए।
प्रत्येक $(d, e)$ युग्म के लिए,$(a, b)$ के लिए $2 \times 2 = 4$ विकल्प हैं।
$c = 0$ के लिए कुल स्थितियाँ $2 \times 4 = 8$ हैं।
स्थिति $II$: $c = 1$.
तब $|A| = (b - a) + (d - e)$. हमें $(b - a) + (d - e) \in \{-1, 1\}$ चाहिए।
मान लीजिए $X = b - a$ और $Y = d - e$. $X, Y \in \{-1, 0, 1\}$.
हमें $X + Y \in \{-1, 1\}$ चाहिए।
$(X, Y)$ के लिए संभावित मान:
$(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)$.
$X = 0$ के लिए,$(a, b) \in \{(0, 0), (1, 1)\}$ ($2$ विकल्प)।
$X = 1$ के लिए,$(a, b) = (0, 1)$ ($1$ विकल्प)।
$X = -1$ के लिए,$(a, b) = (1, 0)$ ($1$ विकल्प)।
इसी प्रकार $Y$ के लिए,$Y = 1 \implies (d, e) = (1, 0)$ ($1$ विकल्प),$Y = -1 \implies (d, e) = (0, 1)$ ($1$ विकल्प),$Y = 0 \implies (d, e) \in \{(0, 0), (1, 1)\}$ ($2$ विकल्प)।
$c = 1$ के लिए कुल स्थितियाँ: $(2 \times 1) + (2 \times 1) + (1 \times 2) + (1 \times 2) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8$.
$S$ में कुल अवयव = $8 + 8 = 16$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 2+p & 2+p+q \\ 4 & 6+2p & 8+3p+2q \\ 6 & 12+3p & 20+6p+3q \end{bmatrix}$.
स्तंभ संक्रियाओं का उपयोग करते हुए: $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$,हम सारणिक को सरल करते हैं।
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & q \\ 4 & 2+2p & 2+p+q \\ 6 & 6+3p & 8+3p+q \end{vmatrix}$.
इसे और सरल करने पर,हमें $|A| = 8 = 2^3$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))) = |M|^{(n-1)^2}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(3A))) = |3A|^{(3-1)^2} = |3A|^4$.
चूँकि $|3A| = 3^3 |A| = 3^3 \cdot 2^3$,इसलिए $|3A|^4 = (3^3 \cdot 2^3)^4 = 3^{12} \cdot 2^{12}$.
$2^m \cdot 3^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m=12$ और $n=12$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+n = 12+12 = 24$.

(C) दिया गया है $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$,हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $-1 - \omega^2 = \omega$ होगा।
साथ ही,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$ है।
सारणिक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega^4) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = \omega^2 - \omega - \omega + \omega^2 + \omega^2 - \omega$
$\Delta = 3\omega^2 - 3\omega$
$\Delta = 3\omega(\omega - 1)$

(B) दिया गया है $w = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$,जो इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जिसे $\omega$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega\end{array}\right|$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 + \omega + \omega^2 & \omega & \omega^2 \\ \omega + \omega^2 + 1 & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 + 1 + \omega & 1 & \omega\end{array}\right|$
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & 1 \\ 0 & 1 & \omega\end{array}\right|$
चूँकि पहले स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\cos(A+B) [\cos A \cos B - \sin A \sin B] - (-\sin(A+B)) [\sin A \cos B - (-\cos A \sin B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$\cos(A+B) [\cos(A+B)] + \sin(A+B) [\sin(A+B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\cos^2(A+B) + \sin^2(A+B) + \cos(2B) = 1 = 0$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$:
$1 + \cos(2B) = 0$
$\cos(2B) = -1$
$2B = (2n+1)\pi$
$B = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$

(A) व्यंजक $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार दर्शाता है,जो $|A|$ के बराबर है।
$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 3(2 \times 6 - 1 \times 2) - 2(1 \times 6 - 1 \times 3) + 4(1 \times 2 - 2 \times 3)$
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$
$|A| = 30 - 6 - 16$
$|A| = 8$
अतः,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = 8$.

(C) समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\left|\begin{array}{ccc} a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 0$
सरल करने के लिए पंक्तियों को आपस में बदलने पर:
$-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक के गुणधर्म $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{array}\right| = (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x=a, y=a+1, z=a+2$:
$-(a-(a+1))((a+1)-(a+2))((a+2)-a)(a+(a+1)+(a+2)) = 0$
$-(-1)(-1)(2)(3a+3) = 0$
$-2(3a+3) = 0$
$3a+3 = 0 \Rightarrow a = -1$.

(B) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$।
आव्यूह $A$ के सारणिक को $|A|$ या $\det(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$|A| = (a \times d) - (b \times c) = ad - bc$।
व्यंजक $|A|^{-1}$ सारणिक के मान $|A|$ का गुणात्मक प्रतिलोम दर्शाता है।
अतः,$|A|^{-1} = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{ad - bc}$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग आव्यूह के सारणिक के बराबर होता है,अर्थात $a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + a_{i3} A_{i3} = |A|$।
यहाँ,$a_{31} A_{31} + a_{32} A_{32} + a_{33} A_{33} = |A|$ है।
अब,प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करके $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1 \times 7 - 5 \times 4) - 2(1 \times 7 - 5 \times 2) + 3(1 \times 4 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(7 - 20) - 2(7 - 10) + 3(4 - 2)$
$|A| = 1(-13) - 2(-3) + 3(2)$
$|A| = -13 + 6 + 6$
$|A| = -1$
अतः,मान $-1$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \lambda & i \\ i & -\lambda \end{bmatrix}$ है।
व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व न होने के लिए,सारणिक का मान शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = (\lambda)(-\lambda) - (i)(i) = -\lambda^2 - i^2$।
चूँकि $i = \sqrt{-1}$,इसलिए $i^2 = -1$ है।
इस मान को सारणिक समीकरण में रखने पर:
$|A| = -\lambda^2 - (-1) = -\lambda^2 + 1$।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$-\lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 = 1$।
अतः,$\lambda = \pm 1$।

(D) एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं होता है यदि उसका सारणिक $0$ के बराबर हो।
दिए गए आव्यूह के सारणिक को $0$ के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(5 \times 5 - 6 \times 3) - 2(4 \times 5 - 6 \times 2) + 3(4 \times 3 - 5 \times 2) = 0$
$x(25 - 18) - 2(20 - 12) + 3(12 - 10) = 0$
$x(7) - 2(8) + 3(2) = 0$
$7x - 16 + 6 = 0$
$7x - 10 = 0$
$7x = 10$
$x = \frac{10}{7}$

(A) एक आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = a(0 \times 2 - 1 \times 1) - (-1)(-3 \times 2 - 1 \times (-1)) + 4(-3 \times 1 - 0 \times (-1)) = 0$
$|A| = a(0 - 1) + 1(-6 + 1) + 4(-3 - 0) = 0$
$|A| = a(-1) + 1(-5) + 4(-3) = 0$
$-a - 5 - 12 = 0$
$-a - 17 = 0$
$a = -17$।
अतः,आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं है जब $a = -17$ हो।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} \alpha & 14 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ है।
किसी आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम तब अस्तित्व में नहीं होता है जब उसका सारणिक (determinant) शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$ हो।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = \alpha(3 \times 3 - 1 \times 2) - 14(2 \times 3 - 1 \times 6) + (-1)(2 \times 2 - 3 \times 6)$
$|A| = \alpha(9 - 2) - 14(6 - 6) - 1(4 - 18)$
$|A| = \alpha(7) - 14(0) - 1(-14)$
$|A| = 7\alpha + 14$
व्युत्क्रम के अस्तित्व में न होने के लिए $|A| = 0$ रखने पर:
$7\alpha + 14 = 0$
$7\alpha = -14$
$\alpha = -2$
अतः,$\alpha$ का मान $-2$ है।

(B) माना कि दिए गए सारणिक $D_1$ और $D_2$ हैं।
$D_1 = \left|\begin{array}{ll}2017 & 2018 \\ 2019 & 2020\end{array}\right| = (2017 \times 2020) - (2018 \times 2019)$.
गुणधर्म $a(a+3) - (a+1)(a+2) = a^2 + 3a - (a^2 + 3a + 2) = -2$ का उपयोग करने पर,हमें $D_1 = -2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$D_2 = \left|\begin{array}{ll}2021 & 2022 \\ 2023 & 2024\end{array}\right| = (2021 \times 2024) - (2022 \times 2023)$.
उसी गुणधर्म का उपयोग करने पर,$D_2 = -2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $D_1 + D_2 = 2k$,अतः $-2 + (-2) = 2k$.
$-4 = 2k \implies k = -2$.
इसलिए,$k^3 = (-2)^3 = -8$.

(C) त्रिभुज के शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के लिए क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
यहाँ $P(k, 1)$,$Q(2, 4)$ और $R(1, 1)$ दिए गए हैं और क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है।
मान रखने पर:
$3 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$
$6 = |3k + 0 - 3|$
$6 = |3k - 3|$
इसके दो मामले बनते हैं:
मामला $1$: $3k - 3 = 6 \implies 3k = 9 \implies k = 3$.
मामला $2$: $3k - 3 = -6 \implies 3k = -3 \implies k = -1$.
अतः,$k = -1$ या $k = 3$.

(D) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
दिए गए शीर्ष $A(k, 1)$,$B(2, 4)$ और $C(1, 1)$ हैं और क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है।
मान रखने पर:
$6 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$.
$12 = |3k + 0 - 3|$.
$12 = |3k - 3|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $3k - 3 = 12 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
स्थिति $2$: $3k - 3 = -12 \implies 3k = -9 \implies k = -3$.
अतः,$k$ के मान $5$ और $-3$ हैं।

(C) दिया गया सारणिक $D = \sin \frac{11 \pi}{36} \cos \frac{2 \pi}{9} - \cos \frac{11 \pi}{36} \sin \frac{2 \pi}{9}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,$A = \frac{11 \pi}{36}$ और $B = \frac{2 \pi}{9}$ रखें।
सबसे पहले,$B$ को समान हर में बदलें: $B = \frac{2 \pi}{9} = \frac{8 \pi}{36}$।
अब,$D = \sin \left( \frac{11 \pi}{36} - \frac{8 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{3 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{12} \right)$।
चूंकि $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$,इसलिए $\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{6 \pi - \pi}{12} \right) = \cos \frac{5 \pi}{12}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2) = 0$.
यह सरल होकर $3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$ हो जाता है।
अतः $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,इसलिए $a+b+c \neq 0$.
अतः $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$.
यह तभी संभव है जब $a = b = c$ हो।
चूंकि $a = b = c$,त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$.
अतः,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

(B) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$
तीसरे स्तंभ को विभाजित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right|=0$
दूसरे सारणिक में,क्रमशः पंक्ति $1, 2, 3$ से $x, y, z$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|=0$
पहले सारणिक के लिए,स्तंभ $3$ को स्तंभ $2$ के साथ,और फिर स्तंभ $2$ को स्तंभ $1$ के साथ बदलने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| = -\left|\begin{array}{ccc}x & 1 & x^2 \\ y & 1 & y^2 \\ z & 1 & z^2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|$
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + xyz) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| = 0$
चूंकि दूसरा सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $1 + xyz = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $xyz = -1$.

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर उसका क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए शीर्ष $A(1, 3)$,$B(0, 0)$ और $C(k, 0)$ हैं और क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + 0(0 - 3) + k(3 - 0)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3k|$
$3 = \frac{1}{2} |3k|$
$6 = |3k|$
$|k| = 2$
अतः,$k = \pm 2$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण:
$2[\sin(A+B)\sin(A-B) - \cos(A+B)\cos(A-B)] + \sqrt{3} = 0$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$-(\cos(A+B)\cos(A-B) - \sin(A+B)\sin(A-B)) = -\cos((A+B) + (A-B)) = -\cos(2A)$
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2[-\cos(2A)] + \sqrt{3} = 0$
$-2\cos(2A) = -\sqrt{3}$
$\cos(2A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$2A = \frac{\pi}{6}$
$A = \frac{\pi}{12}$

(B) माना कि सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करें:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11-10 & 12-11 & 13-12 \\ 12-11 & 13-12 & 14-13\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
चूंकि पंक्ति $R_2$ और पंक्ति $R_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) सबसे पहले,हम सारणिक $D$ का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$D = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (- \cos \theta)) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(2 \cos \theta) - (\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \cos^2 \theta + 1$
$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$
चूंकि $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos^2 \theta$ का परिसर $[0, 1]$ है।
अतः,$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$ का परिसर $[2 + 2(0), 2 + 2(1)] = [2, 4]$ है।
इस प्रकार,अधिकतम मान $p = 4$ और न्यूनतम मान $q = 2$ है।
अंत में,हम $2p + 3q = 2(4) + 3(2) = 8 + 6 = 14$ की गणना करते हैं।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1+y & 1+2 y & 1 \\ 1+z & 1+z & 1+3 z\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 - C_3$ और $C_2 \to C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 0 & 1 \\ y & 2y & 1 \\ -2z & -2z & 1+3z\end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = x[2y(1+3z) - (-2z)] - 0 + 1[-2yz - (-4yz)]$
$\Delta = x(2y + 6yz + 2z) + 2yz = 2xy + 6xyz + 2xz + 2yz$.
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$k=1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
चूंकि दो पंक्तियाँ ($R_2$ और $R_3$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
दिया गया है कि $D = 2016 k$,अतः $0 = 2016 k$ है।
इसलिए,$k = 0$।

(B) सारणिक $\left|\begin{array}{cc}\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta \\ -\cos ^2 \theta & \sin ^2 \theta\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
इसे लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin^2 \theta)(\sin^2 \theta) - (\cos^2 \theta)(-\cos^2 \theta)$
$= \sin^4 \theta + \cos^4 \theta$.
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,यह बन जाता है:
$1^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}(4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin \theta \cos \theta)^2$.
द्विगुणित कोण सर्वसमिका $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2 \theta$.

(A) दिया गया है कि $x, y, z \in \mathbb{R}$ और $x^4+y^4+z^4=0$ है।
चूंकि वास्तविक संख्याओं की सम घातों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद को व्यक्तिगत रूप से शून्य होना चाहिए: $x^4=0, y^4=0, z^4=0$।
इसका अर्थ है कि $x=0, y=0, z=0$।
अब,सारणिक में $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & (0)(0) & (0)(0) \\ (0)(0) & 1 & (0)(0) \\ (0)(0) & (0)(0) & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$।
तत्समक आव्यूह का सारणिक $1(1-0) - 0 + 0 = 1$ होता है।
अतः,मान $1$ है।

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c & a & b \\ c & S+a & b \\ c & a & S+b \end{array}\right|$.
संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c+a+b & a & b \\ c+S+a+b & S+a & b \\ c+a+S+b & a & S+b \end{array}\right|$.
चूंकि $a+b+c = S$,इसलिए $S+c+a+b = S+S = 2S$.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2S & a & b \\ 2S & S+a & b \\ 2S & a & S+b \end{array}\right| = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & S+a & b \\ 1 & a & S+b \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & S & 0 \\ 0 & 0 & S \end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2S \times [1(S \times S - 0 \times 0)] = 2S \times S^2 = 2S^3$.

(B) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+r & p & q \\ r & k+p & q \\ r & p & k+q \end{array}\right|$ है।
संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+p+q+r & p & q \\ k+p+q+r & k+p & q \\ k+p+q+r & p & k+q \end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k = p+q+r$,इसलिए $k+p+q+r = 2k$ है।
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2k & p & q \\ 2k & k+p & q \\ 2k & p & k+q \end{array}\right| = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 1 & k+p & q \\ 1 & p & k+q \end{array}\right|$।
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2k \times (1 \times (k^2 - 0)) = 2k \times k^2 = 2k^3$।

(A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(2, -6)$,$(5, 4)$ और $(k, 4)$ हैं और $\text{Area} = 35$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$35 = \frac{1}{2} |2(4 - 4) + 5(4 - (-6)) + k(-6 - 4)|$
$70 = |2(0) + 5(10) + k(-10)|$
$70 = |50 - 10k|$
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
$1) 50 - 10k = 70 \implies -10k = 20 \implies k = -2$
$2) 50 - 10k = -70 \implies -10k = -120 \implies k = 12$
अतः,$k$ के मान $12$ और $-2$ हैं।

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(3, 5), (2, 2)$ और $(k, 2)$ हैं और $\text{Area} = 3$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3 = \frac{1}{2} |3(2 - 2) + 2(2 - 5) + k(5 - 2)|$
$3 = \frac{1}{2} |3(0) + 2(-3) + k(3)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 - 6 + 3k|$
$6 = |-6 + 3k|$
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
$1) -6 + 3k = 6 \implies 3k = 12 \implies k = 4$
$2) -6 + 3k = -6 \implies 3k = 0 \implies k = 0$
अतः,$k$ के मान $0$ और $4$ हैं।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
दोनों पक्षों के सारणिकों का विस्तार करने पर:
$(3 \times 1) - (x \times x) = (3 \times 1) - (2 \times 4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \sqrt{8}$
$x = \pm 2\sqrt{2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ शीर्ष $(-2, 0)$,$(0, 4)$ और $(0, k)$ दिए गए हैं और क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |-2(4 - k) + 0(k - 0) + 0(0 - 4)|$
$4 = \frac{1}{2} |-8 + 2k|$
$8 = |-8 + 2k|$
इसके दो मामले बनते हैं:
स्थिति $1$: $-8 + 2k = 8 \implies 2k = 16 \implies k = 8$
स्थिति $2$: $-8 + 2k = -8 \implies 2k = 0 \implies k = 0$
अतः,$k$ के संभावित मान $0$ और $8$ हैं।

(C) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$\operatorname{det}(A) = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (-1)) + (-1)(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(\cos \theta + 1) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1 + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos \theta - \cos^2 \theta + 1$
$\operatorname{det}(A) = \cos^2 \theta + \cos \theta + 2$
दिया गया है कि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < \cos \theta < 1$ है।
मान लीजिए $f(x) = x^2 + x + 2$ जहाँ $x = \cos \theta$ है।
चूँकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $f(x)$ का परिसर $(0^2 + 0 + 2, 1^2 + 1 + 2) = (2, 4)$ होगा।
अतः,$\operatorname{det}(A) \in (2, 4)$।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
दिए गए शीर्ष $(k, 0), (4, 0)$ और $(0, 2)$ हैं और क्षेत्रफल $= 4$ है।
मान रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |k(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$.
$4 = \frac{1}{2} |-2k + 8|$.
$8 = |-2k + 8|$.
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
स्थिति $1$: $-2k + 8 = 8 \implies -2k = 0 \implies k = 0$.
स्थिति $2$: $-2k + 8 = -8 \implies -2k = -16 \implies k = 8$.
अतः,$k$ के मान $0$ और $8$ हैं।

(D) सबसे पहले,पहली पंक्ति में त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें:
$\cos 3\pi = -1$
$\sin 5\pi = 0$
$\tan 7\pi = 0$
अब,इन मानों को सारणिक में रखें:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 1\end{array}\right|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -1 \times \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| - 0 + 0$
$\Delta = -1 \times (1 \times 1 - 0 \times 0) = -1 \times 1 = -1$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) सारणिक $\left|\begin{array}{rr}\sin 35^{\circ} & -\cos 35^{\circ} \\ \sin 55^{\circ} & \cos 55^{\circ}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
दिए गए आव्यूह पर इसे लागू करने पर:
$= (\sin 35^{\circ})(\cos 55^{\circ}) - (-\cos 35^{\circ})(\sin 55^{\circ})$
$= \sin 35^{\circ} \cos 55^{\circ} + \cos 35^{\circ} \sin 55^{\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 35^{\circ}$ और $B = 55^{\circ}$ है:
$= \sin(35^{\circ} + 55^{\circ})$
$= \sin(90^{\circ})$
$= 1$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & 0 & bc^2 \\ a^2c & b^2c & 0\end{array}\right|$.
$R_1$ से $a$,$R_2$ से $b$ और $R_3$ से $c$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & b^2 & c^2 \\ a^2 & 0 & c^2 \\ a^2 & b^2 & 0\end{array}\right|$.
अब,$C_1$ से $a$,$C_2$ से $b$ और $C_3$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (abc)(abc) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = (abc)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = (abc)^2 [0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0)] = (abc)^2 [0 + 1 + 1] = 2(abc)^2$.
$m(abc)^k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 2$ और $k = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+k = 2+2 = 4$.