दर्शाइए कि बिंदु $A (a, b+c), B (b, c+a)$ और $C (c, a+b)$ संरेख हैं।
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Area of $\triangle \mathrm{ABC}$ is given by the relation,
$\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}a & b+c & 1 \\ b & c+a & 1 \\ c & a+b & 1\end{array}\right|$
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a & b+c & 1 \\ b-a & a-b & 0 \\ c-a & a-c & 0\end{array}\right|$
( Applying $ R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ and $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$)
$=\frac{1}{2}(a-b)(c-a)\left|\begin{array}{ccc}a & b+c & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right|$
$=\frac{1}{2}(a-b)(c-a)\left|\begin{array}{ccc}a & b+c & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right| \quad\left(\text { Applying } R_{3} \rightarrow R_{3}+R_{2}\right)$
$=0 \quad$ (All elements of $R_{3}$ are $0$ )
Thus, the area of the triangle formed by points $A, B$ and $C$ is zero.
Hence, the points $A, B$ and $C$ are collinear.
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यदि $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. तब सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ - 1 - {\omega ^2}}&{{\omega ^2}}\\1&{{\omega ^2}}&{{\omega ^4}}\end{array}\,} \right|$
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$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x}&{\cos x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}\,} \right| = 0$ के विभिन्न वास्तविक हलों की संख्या होगी $\left( {- \frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{4}} \right)$
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निम्न रैखिक समीकरणों का निकाय $3 x -2 y - kz =10$ ; $2 x -4 y -2 z =6$ ; $x +2 y - z =5 m$ असंगत है यदि
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यदि समीकरण निकाय
$2 x+3 y+6 z=8$ ; $x+2 y+a z=5$ ; $3 x+5 y+9 z=b$ का कोई हल नहीं है, तो $a$ और $b$ के मान है
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