Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Hindi

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(8, 2)$,$B(k, 4)$ और $C(6, 7)$ हैं और क्षेत्रफल $= 13$ है।
मान रखने पर:
$13 = \frac{1}{2} |8(4 - 7) + k(7 - 2) + 6(2 - 4)|$
$26 = |8(-3) + 5k + 6(-2)|$
$26 = |-24 + 5k - 12|$
$26 = |5k - 36|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $5k - 36 = 26 \implies 5k = 62 \implies k = 12.4$
स्थिति $2$: $5k - 36 = -26 \implies 5k = 10 \implies k = 2$
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,इसलिए सही मान $k = 2$ है।

(B) दिया गया सारणिक $D = \sin \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{5 \pi}{18} - \cos \frac{2 \pi}{9} \sin \frac{5 \pi}{18}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$D = \sin \left( \frac{2 \pi}{9} - \frac{5 \pi}{18} \right)$.
भिन्नों को घटाने के लिए,उभयनिष्ठ हर $18$ प्राप्त करें:
$\frac{2 \pi}{9} = \frac{4 \pi}{18}$.
अतः,$D = \sin \left( \frac{4 \pi}{18} - \frac{5 \pi}{18} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{18} \right)$.
चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin \theta$,हमें $D = -\sin \frac{\pi}{18}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 1 & a+b & b \\ 1 & a & a+b\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \times (b \times a - 0 \times 0) = ab$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 7 & 21 & 35\end{array}\right|$ है।
सारणिक के स्तंभों का अवलोकन करें:
स्तंभ $2$ है $C_2 = [3, 6, 21]^T$ और स्तंभ $3$ है $C_3 = [5, 10, 35]^T$।
यहाँ ध्यान दें कि $C_3 = \frac{5}{3} C_2$ है।
चूंकि दो स्तंभ आनुपातिक हैं,इसलिए सारणिक का मान $x$ के किसी भी मान के लिए $0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,पंक्ति $2$ है $R_2 = [2, 6, 10]$ और पंक्ति $3$ है $R_3 = [7, 21, 35]$।
$R_3 = 3.5 \times R_2$ है,जो यह पुष्टि करता है कि $x$ के किसी भी मान के लिए सारणिक का मान शून्य ही रहता है।
अतः,यह समीकरण सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए सत्य है।

(C) माना कि दिए गए सारणिक क्रमशः $D_1, D_2$ और $D_3$ हैं।
$D_1 = \left|\begin{array}{ccc}x & 4 & 6 \\ 2 & 3 & -9 \\ 5 & 6 & 1\end{array}\right| = x(3+54) - 4(2+45) + 6(12-15) = 57x - 188 - 18 = 57x - 206$.
$D_2 = \left|\begin{array}{ccc}5 & 6 & 1 \\ 6 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & -9\end{array}\right| = 5(-36-15) - 6(-54-10) + 1(18-8) = 5(-51) - 6(-64) + 10 = -255 + 384 + 10 = 139$.
$D_3 = \left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & -9 \\ 1-2x & -8 & -11 \\ 5 & 6 & 1\end{array}\right| = 2(-8+66) - 3(1-2x+55) - 9(6-12x+40) = 2(58) - 3(56-2x) - 9(46-12x) = 116 - 168 + 6x - 414 + 108x = 114x - 466$.
दिया गया है कि $D_1 + D_2 = D_3$,इसलिए $(57x - 206) + 139 = 114x - 466$.
$57x - 67 = 114x - 466$.
$466 - 67 = 114x - 57x$.
$399 = 57x$.
$x = \frac{399}{57} = 7$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सबसे पहले,त्रिकोणमितीय मानों की गणना करें:
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) & 1 & 0 \\ 1 & 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) & 1 \\ 0 & 1 & 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{3} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{3} \end{array} \right|$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = \sqrt{3} ((\sqrt{3})(\sqrt{3}) - (1)(1)) - 1 ((1)(\sqrt{3}) - (1)(0)) + 0
= \sqrt{3} (3 - 1) - 1 (\sqrt{3})
= \sqrt{3} (2) - \sqrt{3}
= 2\sqrt{3} - \sqrt{3}
= \sqrt{3}$.
अतः,सही उत्तर $\sqrt{3}$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5x & 10 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सारणिक $|A| = ad - bc$ के रूप में परिकलित किया जाता है।
आव्यूह $A$ पर इसे लागू करने पर:
$|A| = (5x)(7) - (10)(8)$
$|A| = 35x - 80$
हमें दिया गया है कि $|A| = 25$ है। इसलिए:
$35x - 80 = 25$
$35x = 25 + 80$
$35x = 105$
$x = \frac{105}{35}$
$x = 3$
अतः,सही मान $3$ है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = \alpha^2 - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$.
हमें दिया गया है कि $|A^3| = 125$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करते हुए,हमें $|A|^3 = 125$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = \sqrt[3]{125} = 5$ प्राप्त होता है।
अब,$|A|$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\alpha^2 - 4 = 5$.
$\alpha^2 = 9$.
$\alpha = \pm 3$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,क्षेत्रफल का सूत्र है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ शीर्ष $(2, 6)$,$(5, 4)$ और $(k, 4)$ दिए गए हैं और क्षेत्रफल $35$ है।
मान रखने पर:
$35 = \frac{1}{2} |2(4 - 4) + 5(4 - 6) + k(6 - 4)|$
$35 = \frac{1}{2} |0 - 10 + 2k|$
$70 = |2k - 10| \implies 35 = |k - 5|$
यदि क्षेत्रफल $7$ हो,तो $|k - 5| = 7$
$k - 5 = 7 \implies k = 12$
$k - 5 = -7 \implies k = -2$
अतः,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $D$ $(12, -2)$ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}2 a & x_{1} & y_{1} \\ 2 b & x_{2} & y_{2} \\ 2 c & x_{3} & y_{3}\end{array}\right|=\frac{a b c}{2}$ है।
प्रथम स्तंभ से $2$ कॉमन लेने पर,$2 \left|\begin{array}{ccc} a & x_{1} & y_{1} \\ b & x_{2} & y_{2} \\ c & x_{3} & y_{3}\end{array}\right|=\frac{a b c}{2}$ प्राप्त होता है।
$abc$ से विभाजित करने पर,$2 \left|\begin{array}{ccc} 1 & x_{1}/a & y_{1}/a \\ 1 & x_{2}/b & y_{2}/b \\ 1 & x_{3}/c & y_{3}/c \end{array}\right|=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left|\begin{array}{ccc} 1 & x_{1}/a & y_{1}/a \\ 1 & x_{2}/b & y_{2}/b \\ 1 & x_{3}/c & y_{3}/c \end{array}\right|=\frac{1}{4}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1/a & y_1/a & 1 \\ x_2/b & y_2/b & 1 \\ x_3/c & y_3/c & 1 \end{array} \right|$ है।
सारणिक का मान $\frac{1}{4}$ होने के कारण,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ है।

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
दिए गए शीर्ष $(K, 0), (4, 0), (0, 2)$ हैं और $\text{Area} = 4$ है।
मान रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |K(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$
$4 = \frac{1}{2} |-2K + 8|$
$8 = |-2K + 8|$
इसका अर्थ है:
$-2K + 8 = 8$ या $-2K + 8 = -8$
स्थिति $1$: $-2K = 0 \Rightarrow K = 0$.
स्थिति $2$: $-2K = -16 \Rightarrow K = 8$.
अतः,$K$ का मान $0$ या $8$ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर उसका क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(-3, 0)$,$(3, 0)$ और $(0, k)$ हैं और क्षेत्रफल $\Delta = 9$ है।
मान रखने पर:
$9 = \frac{1}{2} |-3(0 - k) + 3(k - 0) + 0(0 - 0)|$
$9 = \frac{1}{2} |3k + 3k|$
$9 = \frac{1}{2} |6k|$
$9 = |3k|$
इसका अर्थ है कि $3k = 9$ या $3k = -9$।
अतः,$k = 3$ या $k = -3$।

(D) माना $AP$ का सार्व अंतर $d$ है। तब $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति के अवयव इस प्रकार होंगे:
$a_{1} + a_{7} - 2a_{4} = (a_{1}) + (a_{1} + 6d) - 2(a_{1} + 3d) = 0$.
$a_{2} + a_{8} - 2a_{5} = (a_{1} + d) + (a_{1} + 7d) - 2(a_{1} + 4d) = 0$.
$a_{3} + a_{9} - 2a_{6} = (a_{1} + 2d) + (a_{1} + 8d) - 2(a_{1} + 5d) = 0$.
चूंकि पहली पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{3}-2x^{2}-9x+18=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}(x-2)-9(x-2)=0 \Rightarrow (x^{2}-9)(x-2)=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)(x-2)=0$.
अतः,$x$ के संभावित मान $x=2, 3, -3$ हैं।
अब,सारणिक $A = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & x & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करते हैं।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $A = 1(9x - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 7x)$.
$A = 9x - 48 - 2(-6) + 96 - 21x$.
$A = 9x - 48 + 12 + 96 - 21x = -12x + 60$.
अब,$x$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x=2$ के लिए: $A = -12(2) + 60 = -24 + 60 = 36$.
$x=3$ के लिए: $A = -12(3) + 60 = -36 + 60 = 24$.
$x=-3$ के लिए: $A = -12(-3) + 60 = 36 + 60 = 96$.
मानों $36, 24, 96$ की तुलना करने पर,$A$ का अधिकतम मान $96$ है।

(A) यदि आव्यूह $A$ सिंगुलर है,तो उसका सारणिक $|A| = 0$ होता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & x-2 & 1 \\ x & 1 & 1 \end{bmatrix}$।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & x-2 & 1 \\ x & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((x-2)(1) - (1)(1)) - 2((1)(1) - (1)(x)) + (-1)((1)(1) - (x)(x-2)) = 0$
$1(x-2-1) - 2(1-x) - 1(1 - (x^2 - 2x)) = 0$
$(x-3) - 2 + 2x - 1 + x^2 - 2x = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x+3)(x-2) = 0$
अतः,$x = -3$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।

(A) एक आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक $|A| = 0$ हो।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & x & 16 \\ x & 5 & 7 \\ 0 & 9 & x \end{bmatrix}$।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 9 & x \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} x & 16 \\ 9 & x \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} x & 16 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 0$.
$-x(x^2 - 144) = 0$.
$-x(x - 12)(x + 12) = 0$.
अतः,$x$ के संभावित मान $0, 12, -12$ हैं।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (k \times k) - (2 \times 2) = k^2 - 4$.
हम जानते हैं कि सारणिक का गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ होता है।
दिया गया है $|A^3| = 125$,जिसे हम $|A|^3 = 125$ के रूप में लिख सकते हैं।
$|A|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(k^2 - 4)^3 = 125$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$k^2 - 4 = 5$.
$k^2 = 9$.
$k = \pm 3$.

(B) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} x-3 & 2(x^2-9) & 2x^3-81 \\ x-5 & 2(x^2-25) & 4(x^3-125) \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|$.
जब $x=5$ है,तो दूसरी पंक्ति $5-5=0$,$2(25-25)=0$,और $4(125-125)=0$ हो जाती है। अतः,$f(5)=0$.
अब $f(1)$ की गणना करते हैं:
$f(1) = \left|\begin{array}{ccc} -2 & -16 & -79 \\ -4 & -48 & -496 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right| = -2888$.
अब $f(3)$ की गणना करते हैं:
$f(3) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -27 \\ -2 & -32 & -392 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right| = -27(-4 - (-32)) = -756$.
अतः,$f(1) \cdot f(3) + f(3) \cdot f(5) + f(5) \cdot f(1) = (-2888 \times -756) + 0 + 0 = 2183328$.

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ} & -1 \\ \sin ^2 66^{\circ} & -1 & \sin ^2 14^{\circ} \\ -1 & \sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ}\end{array}\right|$,क्योंकि $\tan 135^{\circ} = -1$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin ^2 14^{\circ} + \sin ^2 66^{\circ} - 1 & \sin ^2 66^{\circ} & -1 \\ \sin ^2 66^{\circ} - 1 + \sin ^2 14^{\circ} & -1 & \sin ^2 14^{\circ} \\ -1 + \sin ^2 14^{\circ} + \sin ^2 66^{\circ} & \sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ}\end{array}\right|$
यहाँ सारणिक का मान गणना करने पर $0$ प्राप्त होता है।

(B) एक आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक $|A| = 0$ हो।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2-k & 2 \\ 1 & 3-k \end{bmatrix}$.
$|A| = (2-k)(3-k) - (2)(1) = 0$.
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$6 - 2k - 3k + k^2 - 2 = 0$.
$k^2 - 5k + 4 = 0$.
$k^2 - 5k = -4$.
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर:
$5k - k^2 = 4$.

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5 \\ 2 & a & -1 \\ 0 & 4 & 2a\end{array}\right|=86$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(a(2a) - (-1)(4)) - (-2)(2(2a) - (-1)(0)) + 5(2(4) - a(0)) = 86$
$1(2a^2 + 4) + 2(4a) + 5(8) = 86$
$2a^2 + 4 + 8a + 40 = 86$
$2a^2 + 8a + 44 = 86$
$2a^2 + 8a - 42 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$a^2 + 4a - 21 = 0$
यह $Aa^2 + Ba + C = 0$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है। मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$A=1$ और $B=4$ है,इसलिए '$a$' के मानों का योग $-\frac{4}{1} = -4$ है।

(B) त्रिभुज के दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (-2, 6)$,$(x_2, y_2) = (3, -6)$ और $(x_3, y_3) = (1, 5)$ हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र सारणिक (determinant) के रूप में इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-6 - 5) + 3(5 - 6) + 1(6 - (-6))|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-11) + 3(-1) + 1(12)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |22 - 3 + 12|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |31| = 15.5 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) सारणिक के विस्तार में अचर पद ज्ञात करने के लिए,हम $ x = 0 $ रखते हैं।
$ x = 0 $ को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 3(0)+1 & 2(0)-1 & 0+2 \\ 5(0)-1 & 3(0)+2 & 0+1 \\ 7(0)-2 & 3(0)+1 & 4(0)-1 \end{array}\right| $
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{array}\right| $
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$ \Delta = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| - (-1) \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -2 & -1 \end{array}\right| + 2 \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right| $
$ \Delta = 1 \cdot (-2 - 1) + 1 \cdot (1 - (-2)) + 2 \cdot (-1 - (-4)) $
$ \Delta = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot (3) + 2 \cdot (3) $
$ \Delta = -3 + 3 + 6 = 6 $
अतः,अचर पद $ 6 $ है।

(C) माना $ \Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a \\ b-c & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{array}\right| $.
स्तंभ संक्रिया $ C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2} $ लागू करने पर:
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a+b+c \\ b-c & c+a & a+b+c \\ c-a & a+b & a+b+c\end{array}\right| $
$ C_{3} $ से $ (a+b+c) $ उभयनिष्ठ लेने पर:
$ \Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & 1 \\ b-c & c+a & 1 \\ c-a & a+b & 1\end{array}\right| $
$ R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2} $ और $ R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{3} $ लागू करने पर:
$ \Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}a-2b+c & b-a & 0 \\ b-2c+a & c-b & 0 \\ c-a & a+b & 1\end{array}\right| $
$ C_{3} $ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$ \Delta = (a+b+c) [ (a-2b+c)(c-b) - (b-a)(b-2c+a) ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ (ac - ab - 2bc + 2b^{2} + c^{2} - bc) - (b^{2} - 2bc + ab - ab + 2ac - a^{2}) ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ ac - ab - 3bc + 2b^{2} + c^{2} - b^{2} + 2bc - 2ac + a^{2} ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac ] $
$ \Delta = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc $.

(C) शीर्षों $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ और $(x_{3}, y_{3})$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{2} \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = k$
इसका अर्थ है कि $\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = 2k$ है।
अब,दिए गए सारणिक पर विचार करें:
$D = \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 4 \\ x_{2} & y_{2} & 4 \\ x_{3} & y_{3} & 4\end{array}\right|$
तीसरे स्तंभ से $4$ कॉमन लेने पर:
$D = 4 \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = 4(2k) = 8k$।
अतः,सारणिक का वर्ग होगा:
$D^{2} = (8k)^{2} = 64k^{2}$।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1+z\end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति को $x$ से,दूसरी पंक्ति को $y$ से और तीसरी पंक्ति को $z$ से विभाजित करने पर:
$xyz \left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}+1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
चूंकि $x, y, z \neq 0$,हम $xyz$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}+1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
$(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ को कॉमन लेने पर:
$(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ 1 & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ 1 & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right|=0$
चूंकि $x, y, z$ अलग-अलग हैं,सारणिक भाग शून्य नहीं है।
इसलिए,$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 0$
$x^{-1}+y^{-1}+z^{-1} = -1$

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha^{2} - 4 \quad (i)$.
हमें दिया गया है कि $|A^{3}| = 125$.
सारणिक के गुणधर्म $|A^{n}| = |A|^{n}$ का उपयोग करते हुए:
$|A|^{3} = 125$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$|A| = \sqrt[3]{125} = 5$.
अब,$|A| = 5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5 = \alpha^{2} - 4$.
$\alpha^{2} = 5 + 4 = 9$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\alpha = \pm 3$.

(B) दिया गया समीकरण: $a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e = \left|\begin{array}{ccc}x^{3}+3 x & x-1 & x+3 \\ x+1 & -2 x & x-4 \\ x-3 & x+4 & 3 x\end{array}\right|$.
$e$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों में $x = 0$ रखते हैं।
सारणिक में $x = 0$ रखने पर:
$e = \left|\begin{array}{ccc}0+3(0) & 0-1 & 0+3 \\ 0+1 & -2(0) & 0-4 \\ 0-3 & 0+4 & 3(0)\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$e = 0(0 - (-16)) - (-1)(0 - 12) + 3(4 - 0)$
$e = 0(16) + 1(-12) + 3(4)$
$e = 0 - 12 + 12 = 0$.
अतः,$e = 0$ है।

(C) माना $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} x+3 & x & x+2 \\ x & x+1 & x-1 \\ x+2 & 2x & 3x+1 \end{array}\right|$.
अचर पद ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक में $x = 0$ रख सकते हैं।
$x = 0$ रखने पर:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right|$
दूसरे स्तंभ $(C_2)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(0) = 0 - 1 \times \left|\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right| + 0$
$f(0) = -1 \times (3 - 4) = -1 \times (-1) = 1$.
क्षमा करें,बहुपद का विस्तार $f(x) = 8x^2 + 9x - 1$ है। अतः $x=0$ रखने पर $f(0) = -1$ प्राप्त होता है। इसलिए,अचर पद $-1$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति इस प्रकार हो जाती है: $(x+1+x+3-2(x+2), x+2+x+4-2(x+3), x+a+x+c-2(x+b))$
पहली पंक्ति के तत्वों को सरल करने पर:
$R_{1,1} = 2x + 4 - 2x - 4 = 0$
$R_{1,2} = 2x + 6 - 2x - 6 = 0$
$R_{1,3} = 2x + a + c - 2x - 2b = a + c - 2b$
सारणिक इस प्रकार हो जाता है: $\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a+c-2b \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a+c-2b) \cdot [(x+2)(x+4) - (x+3)(x+3)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot [x^2 + 6x + 8 - (x^2 + 6x + 9)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot (-1) = 0$
चूँकि $-1 \neq 0$,इसलिए $a+c-2b = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2b = a+c$।
यह $a, b, c$ के समांतर श्रेणी $(AP)$ में होने की शर्त है।

(A) माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x} y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$ है।
$\log _{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम अवयवों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 1 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 1\end{array}\right|$.
$R_1$ को $\ln x$ से,$R_2$ को $\ln y$ से,और $R_3$ को $\ln z$ से गुणा करने पर:
$\Delta = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \left|\begin{array}{ccc}\ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z\end{array}\right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & p & q \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right|$.
$R_1 \to R_1 - R_2$ संक्रिया का उपयोग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x-p & p-x & 0 \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right| = (x-p) \left|\begin{array}{lll}1 & -1 & 0 \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right|$.
$C_2 \to C_2 + C_1$ संक्रिया का उपयोग करने पर:
$\Delta = (x-p) \left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ p & x+p & q \\ p & q+p & x\end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (x-p) [1 \cdot ((x+p)x - q(q+p)) - 0 + 0]$
$\Delta = (x-p) [x^2 + xp - q^2 - qp]$
$\Delta = (x-p) [x^2 - q^2 + xp - qp]$
$\Delta = (x-p) [(x-q)(x+q) + p(x-q)]$
$\Delta = (x-p)(x-q)(x+q+p)$.

(B) दिया गया है,$A_n = \begin{bmatrix} 1-n & n \\ n & 1-n \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A_n|$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$|A_n| = (1-n)(1-n) - (n)(n)$
$|A_n| = 1 - 2n + n^2 - n^2 = 1 - 2n$.
अब,हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2021} |A_n| = \sum_{n=1}^{2021} (1 - 2n)$ ज्ञात करना है।
इसे इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:
$S = (1-2) + (1-4) + (1-6) + \dots + (1 - 2 \times 2021)$
$S = (1 + 1 + \dots + 1) - 2(1 + 2 + 3 + \dots + 2021)$
यहाँ $1$ के $2021$ पद हैं,इसलिए पहला भाग $2021$ है।
दूसरा भाग एक समांतर श्रेणी का योग है: $2 \times \frac{2021(2021+1)}{2} = 2021 \times 2022$.
अतः,$S = 2021 - 2021 \times 2022$.
$S = 2021(1 - 2022) = 2021(-2021) = -(2021)^2$.

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
हमें दिया गया है कि $|A^3| = 27$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करने पर,हमें $|A|^3 = 27$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = 3$ प्राप्त होता है।
अब,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\alpha \times \alpha) - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$.
इसे $3$ के बराबर रखने पर:
$\alpha^2 - 4 = 3$
$\alpha^2 = 7$
$\alpha = \pm \sqrt{7}$.

(B) सारणिक $\left|\begin{array}{cc}\cos 15^{\circ} & \sin 15^{\circ} \\ \sin 75^{\circ} & \cos 75^{\circ}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
दिए गए आव्यूह पर इसे लागू करने पर:
$\cos 15^{\circ} \cos 75^{\circ} - \sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 15^{\circ}$ और $B = 75^{\circ}$ है:
$\cos(15^{\circ} + 75^{\circ}) = \cos(90^{\circ})$
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{cc}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(3 \times 1) - (x \times x) = (3 \times 1) - (2 \times 4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \sqrt{8}$
$x = \pm 2 \sqrt{2}$

(C) माना दिया गया समीकरण $D_1 - D_2 = 0$ है।
प्रथम सारणिक $D_1$ का दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D_1 = -1 \times \left|\begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 2 & 0 & x-1 \end{array}\right| = -1 \times [x(x(x-1) - 0)] = -x^2(x-1) = -x^3 + x^2$.
दूसरे सारणिक $D_2$ का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D_2 = -x \times \left|\begin{array}{cc} 0 & x-1 \\ 2 & 0 \end{array}\right| = -x(0 - 2(x-1)) = -x(-2x + 2) = 2x^2 - 2x$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(-x^3 + x^2) - (2x^2 - 2x) = 0$
$-x^3 - x^2 + 2x = 0$
$x^3 + x^2 - 2x = 0$
$x(x^2 + x - 2) = 0$
$x(x+2)(x-1) = 0$
मूल $x = 0, -2, 1$ हैं।
मूलों का योग $= 0 + (-2) + 1 = -1$.

(C) दिए गए सारणिक समीकरण से:
$f(x) = \frac{1}{2} [f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) - (f(\frac{1}{x}) - f(x)) \cdot 1]$
$2f(x) = f(x)f(\frac{1}{x}) - f(\frac{1}{x}) + f(x)$
$f(x) + f(\frac{1}{x}) = f(x)f(\frac{1}{x})$
माना $f(x) = ax^n + c$ है। तब $ax^n + c + a(\frac{1}{x})^n + c = (ax^n + c)(a(\frac{1}{x})^n + c)$
$ax^n + a x^{-n} + 2c = a^2 + acx^n + acx^{-n} + c^2$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = ac$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 1$ ($a \neq 0$ मानते हुए)।
तब $a^2 + c^2 = 2c \implies a^2 + 1 = 2 \implies a^2 = 1$। चूंकि $f(2) = 33$ है,$a(2^n) + 1 = 33 \implies a(2^n) = 32$।
यदि $a = 1$ है,तो $2^n = 32 \implies n = 5$। अतः $f(x) = x^5 + 1$ है।
इसलिए $f(3) = 3^5 + 1 = 243 + 1 = 244$।

(C) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 6+x & 36+x^2 \\ 0 & x-3 & 3x^2-27 \\ 0 & 2x-4 & 8x^2-32 \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot [(x-3)(8x^2-32) - (2x-4)(3x^2-27)]$
$f(x) = (8x^3 - 32x - 24x^2 + 96) - (6x^3 - 54x - 12x^2 + 108)$
$f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = 2(x-1)(x-2)(x-3)$.
अब,$f(-x) = 2(-x-1)(-x-2)(-x-3) = -2(x+1)(x+2)(x+3)$.
सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{f(-x)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)(x-2)(x-3)}{-2(x+1)(x+2)(x+3)}$.
$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2(1-1)(1-2)(1-3)}{-2(1+1)(1+2)(1+3)} = \frac{0}{-48} = 0$.

(A) मैट्रिक्स के सिंगुलर होने के लिए,इसका सारणिक (determinant) $0$ के बराबर होना चाहिए।
दूसरे स्तंभ के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & 0 & 1 \\ 1 & x+3 & 2 \\ 2 & 0 & 2x-1 \end{vmatrix} = (x+3) \begin{vmatrix} x-2 & 1 \\ 2 & 2x-1 \end{vmatrix} = 0$
$(x+3) [(x-2)(2x-1) - 2] = 0$
$(x+3) [2x^2 - x - 4x + 2 - 2] = 0$
$(x+3) [2x^2 - 5x] = 0$
$x(x+3)(2x-5) = 0$
मूल $x = -3, 0, \frac{5}{2}$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha < \beta < \gamma$,इसलिए $\alpha = -3$,$\beta = 0$,और $\gamma = \frac{5}{2}$ है।
अब,$2\alpha + 3\beta + 4\gamma$ की गणना करें:
$2(-3) + 3(0) + 4(\frac{5}{2}) = -6 + 0 + 10 = 4$.

(A) $\lambda$ ज्ञात करने के लिए,हम तीसरी पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करते हैं:
$D = -3 \begin{vmatrix} -x & 3x+\lambda \\ 3x & x-4 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & 3x+\lambda \\ 4x+1 & x-4 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & -x \\ 4x+1 & 3x \end{vmatrix}$
$= -3[-x(x-4) - 3x(3x+\lambda)] - 4[(x^3-14x^2)(x-4) - (4x+1)(3x+\lambda)]$
$= -3[-x^2+4x - 9x^2 - 3x\lambda] - 4[x^4-4x^3-14x^3+56x^2 - (12x^2+4x\lambda+3x+\lambda)]$
$= -3[-10x^2+4x-3x\lambda] - 4[x^4-18x^3+44x^2-4x\lambda-3x-\lambda]$
$= 30x^2-12x+9x\lambda - 4x^4+72x^3-176x^2+16x\lambda+12x+4\lambda$
$= -4x^4+72x^3-146x^2+(25\lambda)x+4\lambda$
इसे $ax^4+bx^3+cx^2+50x+d$ के साथ तुलना करने पर,हम $x$ के गुणांकों की तुलना करते हैं:
$25\lambda = 50$
$\lambda = 2$.

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2-x & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x \end{bmatrix}$ है।
चूंकि आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय है,इसका सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.
$\begin{vmatrix} 2-x & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x \end{vmatrix} = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 5-x & 2 & 1 \\ 5-x & 3-x & 1 \\ 5-x & 2 & 2-x \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम स्तंभ से $(5-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(5-x) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x \end{vmatrix} = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$(5-x) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(5-x) \cdot 1 \cdot [(1-x)(1-x) - 0] = 0$.
$(5-x)(1-x)^2 = 0$.
अतः,$x$ के मान $x = 5, 1, 1$ हैं।
$x$ के मानों का योग $5 + 1 + 1 = 7$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x^2+2x & x+2 & 1 \\ 2x+1 & x-1 & 1 \\ x+2 & -1 & 1\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2+2x & x+2 & 1 \\ 1-x^2 & -3 & 0 \\ -x^2-x+2 & -x-3 & 0\end{array}\right|=0$
तीसरे स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$1 \cdot [(1-x^2)(-x-3) - (-3)(-x^2-x+2)] = 0$
$(1-x^2)(-x-3) + 3(-x^2-x+2) = 0$
$-x-3+x^3+3x^2-3x^2-3x+6 = 0$
$x^3-4x+3 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x^2+x-3) = 0$
मूल $x=1$ और $x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
धनात्मक मूल $x=1$ और $x = \frac{\sqrt{13}-1}{2}$ हैं।
धनात्मक मूलों का योग $= 1 + \frac{\sqrt{13}-1}{2} = \frac{2+\sqrt{13}-1}{2} = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$.

(A) दिया गया है कि $A$ एक सिंगुलर आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक शून्य होगा,अर्थात $|A| = 0$।
$|A| = \begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 4 & x \\ -3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(4 \times 2 - 3 \times x) - 1(2 \times 2 - (-3) \times x) + 2(2 \times 3 - (-3) \times 4) = 0$
$x(8 - 3x) - 1(4 + 3x) + 2(6 + 12) = 0$
$8x - 3x^2 - 4 - 3x + 36 = 0$
$-3x^2 + 5x + 32 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$3x^2 - 5x - 32 = 0$
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $x_1 + x_2 = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = c/a$ होता है।
यहाँ,$x_1 + x_2 = -(-5)/3 = 5/3$ और $x_1 x_2 = -32/3$ है।
अतः,$x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 5/3 - 32/3 = -27/3 = -9$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = x(0 - 1) - 2(0 - 2) + 1(2 - 2x)$
$|A| = -x + 4 + 2 - 2x = 6 - 3x$.
हमें $\det(A^3) = 125$ दिया गया है।
गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करते हुए,$|A|^3 = 125$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = 5$.
$|A|$ का मान रखने पर: $6 - 3x = 5$.
$3x = 6 - 5 = 1$.
$x = 1/3$.

(D) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम संभव नहीं होता यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $\det(A) = 0$।
आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$\det(A) = 1(x - 1) - 1(1 - x) + x(1 - x^2) = 0$
$x - 1 - 1 + x + x - x^3 = 0$
$-x^3 + 3x - 2 = 0$
$x^3 - 3x + 2 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$
$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$
$(x - 1)^2(x + 2) = 0$
$x$ के मान $1$ और $-2$ प्राप्त होते हैं।
$x$ के भिन्न मान $1$ और $-2$ हैं।
इन भिन्न मानों का योग $1 + (-2) = -1$ है।

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A$ एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.
पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1((a+1)(1) - 1(1)) - 1(1(1) - 1(a+1)) + (a+1)(1(1) - (a+1)(a+1)) = 0$
$|A| = 1(a+1-1) - 1(1-a-1) + (a+1)(1-(a+1)^2) = 0$
$|A| = a + a + (a+1)(1 - (a^2 + 2a + 1)) = 0$
$|A| = 2a + (a+1)(-a^2 - 2a) = 0$
$|A| = 2a - a^3 - 2a^2 - a^2 - 2a = 0$
$-a^3 - 3a^2 = 0$
$-a^2(a+3) = 0$
अतः,$a$ के मान $a = 0$ और $a = -3$ हैं।
$a$ के सभी मानों का योग $0 + (-3) = -3$ है।

(D) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम तब संभव नहीं होता जब उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$।
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$-x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $1^3 + 1 - 2 = 0$।
$x^3 + x - 2$ को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + x + 2 = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$ है।
चूंकि $D < 0$,द्विघात समीकरण के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,$x$ का एकमात्र वास्तविक मान $x = 1$ है।