$\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरणों की प्रणाली $\lambda x + y + z = 0, -x + \lambda y + z = 0, -x - y + \lambda z = 0$ का एक गैर-शून्य समाधान होगा यदि $\lambda$ के वास्तविक मान निम्नलिखित हैं:

यदि $\omega \neq 1$ इकाई का घनमूल है,तो सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}\omega+\omega^2 & \omega^2+\omega^9 & \omega^9+\omega \\ \omega^{27}+\omega^{31} & \omega^{31}+\omega^{17} & \omega^{17}+\omega^{27} \\ \omega^{30}+\omega^{41} & \omega^{41}+\omega^{19} & \omega^{19}+\omega^{30}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ के वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b, c \in R$ और $a, b \neq 0$ है। यदि $u, v, w$ में समीकरणों की प्रणाली $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$,$\beta u + \gamma v + \alpha w = 0$,और $\gamma u + \alpha v + \beta w = 0$ का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो $\frac{a^{2}}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$c \in R$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x - cy - cz = 0$,$cx - y + cz = 0$,$cx + cy - z = 0$ का एक अशून्य हल (non-trivial solution) हो।

यदि $ax^4+bx^3+cx^2+50x+d = \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & -x & 3x+\lambda \\ 4x+1 & 3x & x-4 \\ -3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$ है,तो $\lambda$ ज्ञात कीजिए।