Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Gujarati

(C) બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરીએ: $\left|\begin{array}{ccc} 1-x & -2 & 1 \\ -2 & 4-x & -2 \\ 1 & -2 & 1-x \end{array}\right|=0$.
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(1-x)[(4-x)(1-x) - 4] - (-2)[-2(1-x) - (-2)] + 1[4 - (4-x)] = 0$.
$(1-x)[4 - 4x - x + x^2 - 4] + 2[-2 + 2x + 2] + 1[4 - 4 + x] = 0$.
$(1-x)[x^2 - 5x] + 2[2x] + x = 0$.
$x^2 - 5x - x^3 + 5x^2 + 4x + x = 0$.
$-x^3 + 6x^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 - 6x^2 = 0$.
આને ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-6, c=0, d=0$ મળે છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ માટે,બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{0}{1} = 0$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 3x^2+x+3 & 2x^2-x+4 & 7x^2+8x+5 \\ 5x^2+3x+2 & 4x^2-2x-1 & 7x^2+5x+8 \\ 3x^2+2x+5 & 4x^2-x-2 & 3x^2+8x+7 \end{bmatrix} = Px^2+Qx+R$.
શ્રેણિક $R$ શોધવા માટે,આપણે આપેલ પદાવલિમાં $x=0$ મૂકીએ:
$R = \begin{bmatrix} 3(0)^2+0+3 & 2(0)^2-0+4 & 7(0)^2+8(0)+5 \\ 5(0)^2+3(0)+2 & 4(0)^2-2(0)-1 & 7(0)^2+5(0)+8 \\ 3(0)^2+2(0)+5 & 4(0)^2-0-2 & 3(0)^2+8(0)+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & -1 & 8 \\ 5 & -2 & 7 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે $R$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det R = 3((-1)(7) - (8)(-2)) - 4((2)(7) - (8)(5)) + 5((2)(-2) - (-1)(5))$
$\det R = 3(-7 + 16) - 4(14 - 40) + 5(-4 + 5)$
$\det R = 3(9) - 4(-26) + 5(1)$
$\det R = 27 + 104 + 5 = 136$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 5 \\ 5 & -\alpha \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $\det(A) = (\alpha^2)(-\alpha) - (5)(5) = -\alpha^3 - 25$ છે.
આપણને $\det(A^{10}) = 1024$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $\det(A^n) = (\det A)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\det A)^{10} = 1024$ મળે.
કારણ કે $1024 = 2^{10}$,તેથી $(\det A)^{10} = 2^{10}$,જેનો અર્થ છે કે $\det A = 2$ અથવા $\det A = -2$.
કિસ્સો $1$: $-\alpha^3 - 25 = 2 \Rightarrow -\alpha^3 = 27 \Rightarrow \alpha^3 = -27 \Rightarrow \alpha = -3$.
કિસ્સો $2$: $-\alpha^3 - 25 = -2 \Rightarrow -\alpha^3 = 23 \Rightarrow \alpha^3 = -23 \Rightarrow \alpha = -\sqrt[3]{23}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\alpha = -3$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
પદો $a = A + 4D$,$b = A + 7D$,અને $c = A + 12D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ b & 8 & 1 \\ c & 13 & 1 \end{vmatrix}$ ધ્યાનમાં લો.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ b-a & 8-5 & 1-1 \\ c-a & 13-5 & 1-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ 3D & 3 & 0 \\ 8D & 8 & 0 \end{vmatrix}$.
ત્રીજી સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot [(3D)(8) - (8D)(3)] = 1 \cdot [24D - 24D] = 0$.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} -2 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(A) = -2(-1 - 3) - x(-x - 2) + 1(3x - 2) = 0$ થાય.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $-2(-4) - x(-x - 2) + 3x - 2 = 0$.
$8 + x^2 + 2x + 3x - 2 = 0$.
$x^2 + 5x + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2)(x + 3) = 0$.
તેથી બીજ $l = -2$ અને $m = -3$ મળે છે.
આપણે $l^3 - m^3$ શોધવાનું છે.
જો $l = -2$ અને $m = -3$ લઈએ,તો $l^3 - m^3 = (-2)^3 - (-3)^3 = -8 - (-27) = -8 + 27 = 19$.
તેથી સાચો જવાબ $19$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & b & c \\ b & 2 & 3 \\ c & 3 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & b & c \\ -b & 0 & 2 \\ -c & -2 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સરવાળો $A+B$ શોધીએ:
$A+B = \begin{bmatrix} 1+0 & b+b & c+c \\ b-b & 2+0 & 3+2 \\ c-c & 3-2 & 4+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2b & 2c \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે પરિણામી શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(A+B) = \begin{vmatrix} 1 & 2b & 2c \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A+B) = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \times (2 \times 4 - 5 \times 1) = 1 \times (8 - 5) = 3$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 3x & x^2\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(6x^2 - 12x) - (-3)(x^2 - 4) + 1(3x - 6) = 0$
$6x^2 - 12x + 3(x^2 - 4) + 3x - 6 = 0$
$6x^2 - 12x + 3x^2 - 12 + 3x - 6 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$9x^2 - 9x - 18 = 0$
આખા સમીકરણને $9$ વડે ભાગતા:
$x^2 - x - 2 = 0$
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^2 - x - 2 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix}$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લેતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2(a+b+c) & a & a \\ 2(a+b+c) & c+a & b \\ 2(a+b+c) & c & a+b \end{vmatrix}$.
$C_1$ માંથી $2(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 1 & c+a & b \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 0 & c & b-a \\ 0 & c-a & b \end{vmatrix}$.
$C_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2(a+b+c) [1(c(b) - (b-a)(c-a))]$.
$\Delta = 2(a+b+c) [bc - (bc - ab - ac + a^2)]$.
$\Delta = 2(a+b+c) [ab + ac - a^2]$.
$\Delta = 2a(a+b+c) (b+c-a)$.

(B) ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$
$R_2 \to R_2 - R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$
$R_3 \to R_3 + R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = a(-bc - (-a^2)) - b(-b^2 - (-ac)) + c(-ab - (-c^2))$
$\Delta = a(a^2 - bc) - b(ac - b^2) + c(c^2 - ab)$
$\Delta = a^3 - abc - abc + b^3 + c^3 - abc$
$\Delta = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

(A) આપેલ છે: $\begin{vmatrix} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3 \end{vmatrix} = 0$
બીજા નિશ્ચાયકની હારમાંથી $x, y, z$ સામાન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 0$
બીજા નિશ્ચાયકના સ્તંભોને પ્રથમ નિશ્ચાયક સાથે મેળવવા માટે ગોઠવતા:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$(1 + xyz) \begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix}$ એ વેન્ડરમોન્ડ પ્રકારનો નિશ્ચાયક છે જે $(x-y)(y-z)(z-x)$ બરાબર થાય છે.
કારણ કે $x, y, z$ ભિન્ન છે,તેથી $(x-y)(y-z)(z-x) \neq 0$.
તેથી,$1 + xyz = 0$,જેનો અર્થ છે કે $xyz = -1$.

(B) ધારો કે $P(x) = \left|\begin{array}{cc}x^3+2 x^2+3 x-2 & x^2+2 x+4 \\ x^3-x^2-2 x-1 & 3 x^3-2 x^2+4 x-2\end{array}\right| = a x^6+b x^5+c x^4+d x^3+e x^2+f x+g$.
$a+b+c+d+e+f$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $P(1) = a+b+c+d+e+f+g$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયકમાં $x=1$ મૂકીને $P(1)$ ની ગણતરી કરો:
$P(1) = \left|\begin{array}{cc}1+2+3-2 & 1+2+4 \\ 1-1-2-1 & 3-2+4-2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}4 & 7 \\ -3 & 3\end{array}\right| = (4)(3) - (7)(-3) = 12 + 21 = 33$.
ત્યારબાદ,નિશ્ચાયકમાં $x=0$ મૂકીને $g$ ની કિંમત શોધો:
$g = P(0) = \left|\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (-2)(-2) - (4)(-1) = 4 + 4 = 8$.
કારણ કે $P(1) = a+b+c+d+e+f+g$,તેથી $33 = (a+b+c+d+e+f) + 8$.
આમ,$a+b+c+d+e+f = 33 - 8 = 25$.

(D) આપણી પાસે છે,$\det(A) = \begin{vmatrix} a & a & a-y \\ a & a+x & a \\ a & a & a \end{vmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ લાગુ કરતા:
$\det(A) = \begin{vmatrix} y & a & a-y \\ 0 & a+x & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A) = y \cdot \begin{vmatrix} a+x & a \\ a & a \end{vmatrix} - 0 + 0$.
$\det(A) = y(a(a+x) - a^2) = y(a^2 + ax - a^2) = axy$.
આપેલ છે કે $\det(A) = 16$,તેથી $axy = 16$,જેનો અર્થ થાય છે $xy = \frac{16}{a}$.
અહીં $a$ એ શૂન્યતર અચળાંક હોવાથી,આ સમીકરણ $xy = k$ સ્વરૂપનું છે,જે લંબ અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta_k = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & k-1 \\ 0 & k-1 & k \end{array}\right|$.
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_k = 1 \cdot (k \cdot k - (k-1) \cdot (k-1)) - 0 + 0$
$\Delta_k = k^2 - (k-1)^2$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta_k = (k - (k-1))(k + (k-1)) = 1 \cdot (2k-1) = 2k-1$.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{20} \Delta_k = \sum_{k=1}^{20} (2k-1)$ શોધવાનો છે.
આ પ્રથમ $20$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $n^2$ દ્વારા મળે છે જ્યાં $n=20$.
$S = 20^2 = 400$.
વૈકલ્પિક રીતે,ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta_k = k^2 - (k-1)^2$
$\sum_{k=1}^{20} \Delta_k = (1^2 - 0^2) + (2^2 - 1^2) + (3^2 - 2^2) + \ldots + (20^2 - 19^2) = 20^2 - 0^2 = 400$.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}-x & x & 2 \\ 2 & x & -x \\ x & -2 & -2\end{array}\right]$.
શ્રેણિક $A$ અસામાન્ય (non-singular) ત્યારે જ કહેવાય જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ હોય.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = -x \begin{vmatrix} x & -x \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 2 & -x \\ x & -2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & x \\ x & -2 \end{vmatrix}$
$|A| = -x(-2x - 2x) - x(-4 + x^2) + 2(-4 - x^2)$
$|A| = -x(-4x) + 4x - x^3 - 8 - 2x^2$
$|A| = 4x^2 + 4x - x^3 - 8 - 2x^2$
$|A| = -x^3 + 2x^2 + 4x - 8$
શ્રેણિક અસામાન્ય હોવા માટે,$|A| \neq 0$ હોવું જોઈએ:
$-x^3 + 2x^2 + 4x - 8 \neq 0$
$-(x^3 - 2x^2 - 4x + 8) \neq 0$
$-(x^2(x - 2) - 4(x - 2)) \neq 0$
$-(x^2 - 4)(x - 2) \neq 0$
$-(x - 2)(x + 2)(x - 2) \neq 0$
$-(x - 2)^2(x + 2) \neq 0$
તેથી,$x \neq 2$ અને $x \neq -2$.
આમ,$2$ અને $-2$ સિવાયના તમામ $x$ માટે શ્રેણિક અસામાન્ય છે.

(D) આપેલ અસમતા $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \leq 0$ છે.
$2$ વડે ગુણતા અને ગોઠવતા,આપણને $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \leq 0$ મળે છે.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $a-b=0$,$b-c=0$,અને $c-a=0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $a=b=c$.
નિશ્ચાયકમાં $a=b=c$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} (a-a+1)^5 & a^7-a^7 & a^9-a^9 \\ a^{11}-a^{11} & (a-a+2)^3 & a^{13}-a^{13} \\ a^{15}-a^{15} & a^{17}-a^{17} & (a-a+3)^1 \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1^5 & 0 & 0 \\ 0 & 2^3 & 0 \\ 0 & 0 & 3^1 \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right| = 1 \times 8 \times 3 = 24$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\cos 2x & \sin^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos 2x & \cos^2 x \\ \cos 2x & \cos^2 x & \cos 2x\end{array}\right|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ અને $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2\cos^2 x - 1 & 1 - \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 \\ 1 - \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 & \cos^2 x \\ 2\cos^2 x - 1 & \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 \end{array}\right|$.
ધારો કે $u = \cos^2 x$. તો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2u-1 & 1-u & 2u-1 \\ 1-u & 2u-1 & u \\ 2u-1 & u & 2u-1 \end{array}\right|$.
$C_1$ માંથી $C_3$ બાદ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1-u & 2u-1 \\ 1-2u & 2u-1 & u \\ 0 & u & 2u-1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1-u & 2u-1 \\ 1-2u & 2u-1 & u \\ 0 & u & 2u-1 \end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(1-2u) \left[ (1-u)(2u-1) - u(2u-1) \right] = -(1-2u)(2u-1)(1-u-u) = (2u-1)^2(1-2u) = -(2u-1)^3$.
$u = \cos^2 x$ મૂકતા:
$\Delta = -(2\cos^2 x - 1)^3 = -(8\cos^6 x - 12\cos^4 x + 6\cos^2 x - 1) = -8\cos^6 x + 12\cos^4 x - 6\cos^2 x + 1$.
અચળ પદ એ $\cos x$ થી સ્વતંત્ર પદ છે,જે $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x-3 & 2(x^2-9) & 3(x^3-27) \\ x-5 & 2(x^2-25) & 4(x^3-125) \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|$.
પ્રથમ હારમાંથી $(x-3)$ અને બીજી હારમાંથી $(x-5)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = (x-3)(x-5) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2(x+3) & 3(x^2+3x+9) \\ 1 & 2(x+5) & 4(x^2+5x+25) \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|$.
આ પદાવલિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $f(3) = 0$ અને $f(5) = 0$ થાય છે.
હવે $f(1)f(3) + f(3)f(5) + f(5)f(1)$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$f(1)(0) + (0)(0) + (0)f(1) = 0$.
કારણ કે $f(3) = 0$ છે,તેથી અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય $f(3)$ થાય છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ k-4 & 2k-9 & 3k-16 \\ k-8 & 2k-27 & 3k-64 \end{array}\right|=0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ -2 & -6 & -12 \\ -6 & -24 & -60 \end{array}\right|=0$.
$R_2$ માંથી $-2$ અને $R_3$ માંથી $-6$ સામાન્ય લેતા:
$(-2) \times (-6) \left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 10 \end{array}\right|=0$.
$12 \left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 10 \end{array}\right|=0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(k-2)(30-24) - (2k-3)(10-6) + (3k-4)(4-3) = 0$.
$(k-2)(6) - (2k-3)(4) + (3k-4)(1) = 0$.
$6k - 12 - 8k + 12 + 3k - 4 = 0$.
$k - 4 = 0 \implies k = 4$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}bc & b+c & 1 \\ ca & c+a & 1 \\ ab & a+b & 1\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c(a-b) & a-b & 0 \\ b(a-c) & a-c & 0\end{array}\right|$.
$R_2$ માંથી $(a-b)$ અને $R_3$ માંથી $(a-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(a-c) \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c & 1 & 0 \\ b & 1 & 0\end{array}\right|$.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a-b)(a-c) \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c & 1 & 0 \\ b-c & 0 & 0\end{array}\right|$.
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a-b)(a-c) \cdot 1 \cdot [0 - (b-c)] = (a-b)(a-c)(-(b-c)) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}125 & 5 & 25 \\ 343 & 7 & 49 \\ 729 & 9 & 81\end{array}\right|$.
$R_1$ માંથી $5$,$R_2$ માંથી $7$ અને $R_3$ માંથી $9$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (5 \cdot 7 \cdot 9) \left|\begin{array}{lll}25 & 1 & 5 \\ 49 & 1 & 7 \\ 81 & 1 & 9\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = 315 \left|\begin{array}{lll}25 & 1 & 5 \\ 24 & 0 & 2 \\ 56 & 0 & 4\end{array}\right|$.
બીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 315 \cdot (-1) \cdot \left|\begin{array}{ll}24 & 2 \\ 56 & 4\end{array}\right|$.
$\Delta = -315 \cdot (24 \cdot 4 - 56 \cdot 2) = -315 \cdot (96 - 112) = -315 \cdot (-16) = 5040$.
કારણ કે $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$,તેથી જવાબ $7!$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4\end{array}\right|$ છે.
$R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ મળે છે.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b^2-a^2 & b^3-a^3 \\ 0 & c^2-a^2 & c^3-a^3\end{array}\right|$.
$R_2$ માંથી $(b-a)$ અને $R_3$ માંથી $(c-a)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc(b-a)(c-a) \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b+a & b^2+ab+a^2 \\ 0 & c+a & c^2+ac+a^2\end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = abc(b-a)(c-a) [(c+a)(b^2+ab+a^2) - (b+a)(c^2+ac+a^2)]$.
કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $(cb^2+abc+a^2c+ab^2+a^2b+a^3) - (bc^2+abc+a^2b+ac^2+a^2c+a^3) = cb^2+ab^2-bc^2-ac^2 = b^2c-bc^2+ab^2-ac^2 = bc(b-c) + a(b-c)(b+c) = (b-c)(bc+ab+ac)$.
આમ,$\Delta = abc(b-a)(c-a)(b-c)(ab+bc+ca) = abc(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
$k(a-b)(b-c)(c-a)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = abc(ab+bc+ca)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$A = \left|\begin{array}{lll}a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b\end{array}\right| = (a+b+c) \left|\begin{array}{lll}1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$A = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c\end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$A = (a+b+c) [(c-b)(b-c) - (a-c)(a-b)]$
$A = -(a+b+c) [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]$
$A = -\frac{1}{2}(a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી $(a+b+c) > 0$ અને $[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$ થાય. તેથી,$A < 0$ મળે.

(C) ધારો કે $D = \left|\begin{array}{lll}b^2-a b & b-c & b c-a c \\ a b-a^2 & a-b & b^2-a b \\ b c-a c & c-a & a b-a^2\end{array}\right|$.
$C_1$ અને $C_3$ માંથી $(b-a)$ સામાન્ય લેતા:
$D = (b-a)(b-a) \left|\begin{array}{lll}b & b-c & c \\ a & a-b & b \\ c & c-a & a\end{array}\right|$.
અહીં $C_2 = C_1 - C_3$ છે.
તેથી,$C_2 - (C_1 - C_3) = 0$.
સ્તંભ $C_2$ ના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સમઘાત છે: $-x + y \cos C + z \cos B = 0$,$x \cos C - y + z \cos A = 0$,$x \cos B + y \cos A - z = 0$.
આ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} -1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & -1 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $D = -1(1 - \cos^2 A) - \cos C(-\cos C - \cos A \cos B) + \cos B(\cos A \cos C + \cos B)$.
$D = -1 + \cos^2 A + \cos^2 C + \cos A \cos B \cos C + \cos A \cos B \cos C + \cos^2 B$.
$D = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C - 1$.
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,નિત્યસમ $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$ ત્યારે જ સાચું છે જો ત્રિકોણ સમબાજુ હોય $(A=B=C=60^\circ)$.
જો $A=B=C=60^\circ$ હોય,તો $\cos A = \cos B = \cos C = 1/2$. આ કિંમતો મૂકતા,$D = 3(1/4) + 2(1/8) - 1 = 3/4 + 1/4 - 1 = 0$.
આમ,સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ માત્ર ત્યારે જ મળે છે જ્યારે ત્રિકોણ સમબાજુ હોય.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સંહતિ છે:
$x + 7ay + 2az = 0$
$x + 6by + 2bz = 0$
$x + 5cy + 2cz = 0$
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 7a & 2a \\ 1 & 6b & 2b \\ 1 & 5c & 2c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(12bc - 10bc) - 1(14ac - 10ac) + 1(14ab - 12ab) = 0$
$2bc - 4ac + 2ab = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$bc - 2ac + ab = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા (કારણ કે $abc \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત સૂચવે છે કે $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x = \frac{a}{b-c} \Rightarrow a - bx + cx = 0$
$y = \frac{b}{c-a} \Rightarrow ay + b - cy = 0$
$z = \frac{c}{a-b} \Rightarrow az - bz - c = 0$
આ સમીકરણોને શ્રેણિક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -x & x \\ y & 1 & -y \\ z & -z & -1\end{array}\right| \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$a, b, c$ ના શૂન્યેતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -x & x \\ y & 1 & -y \\ z & -z & -1\end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આ સમીકરણને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -x & x \\ 1 & 1 & -y \\ 1 & z & 1\end{array}\right| = 0$
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x - ay - az = 0$
$-bx + y - bz = 0$
$-cx - cy + z = 0$
શૂન્યેતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -a & -a \\ -b & 1 & -b \\ -c & -c & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 - bc) + a(-b - bc) - a(bc + c) = 0$
$1 - bc - ab - abc - abc - ac = 0$
$1 - (ab + bc + ca) - 2abc = 0$
સમીકરણ $x = a(y+z)$ પરથી,આપણને મળે $x = a(x+y+z) - ax$,તેથી $x(1+a) = a(x+y+z)$.
આમ,$\frac{x}{x+y+z} = \frac{a}{a+1}$.
તે જ રીતે,$\frac{y}{x+y+z} = \frac{b}{b+1}$ અને $\frac{z}{x+y+z} = \frac{c}{c+1}$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x+y+z}{x+y+z} = \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1}$.
શૂન્યેતર ઉકેલ હોવાથી,$x+y+z \neq 0$,તેથી:
$1 = \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1}$.

(D) બિન-તુચ્છ ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta = 0$.
$\left|\begin{array}{ccc} \sin 3 \theta & -1 & 1 \\ \cos 2 \theta & 4 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\sin 3 \theta (28 - 21) - (-1) (7 \cos 2 \theta - 6) + 1 (7 \cos 2 \theta - 8) = 0$
$7 \sin 3 \theta + 7 \cos 2 \theta - 6 + 7 \cos 2 \theta - 8 = 0$
$7 \sin 3 \theta + 14 \cos 2 \theta - 14 = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$\sin 3 \theta + 2 \cos 2 \theta - 2 = 0$
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ અને $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta) + 2(1 - 2 \sin^2 \theta) - 2 = 0$
$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta + 2 - 4 \sin^2 \theta - 2 = 0$
$-\sin \theta (4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta - 3) = 0$
$-\sin \theta (2 \sin \theta - 1)(2 \sin \theta + 3) = 0$
કારણ કે કોઈ પણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે $2 \sin \theta + 3 \neq 0$,તેથી:
$\sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = n \pi$
$\sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$
આમ,$\theta$ ના મૂલ્યોનો સમૂહ $\theta = n \pi$ અથવા $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$(a-1)x - y - z = 0$
$-x + (b-1)y - z = 0$
$-x - y + (c-1)z = 0$
શૂન્યતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a-1 & -1 & -1 \\ -1 & b-1 & -1 \\ -1 & -1 & c-1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a-1)((b-1)(c-1) - 1) + 1(-(c-1) - 1) - 1(1 + (b-1)) = 0$
$(a-1)(bc - b - c + 1 - 1) + (-c + 1 - 1) - (1 + b - 1) = 0$
$(a-1)(bc - b - c) - c - b = 0$
$abc - ab - ac - bc + b + c - c - b = 0$
$abc - ab - ac - bc = 0$
તેથી,$ab + bc + ca = abc$.

(C) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે અશૂન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{bmatrix}$ માટે,આપણે $|A| = 0$ લઈએ.
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{vmatrix} = 0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3$ માં $R_2$ ઉમેરતા $(R_3 \rightarrow R_3 + R_2)$:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$.
ત્રીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$4 \times \begin{vmatrix} t & t+1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
$4 \times (-t - (t+1)) = 0$.
$4 \times (-2t - 1) = 0$.
$-8t - 4 = 0 \implies t = -\frac{1}{2}$.
આમ,$t$ ની માત્ર એક જ વાસ્તવિક કિંમત $(t = -\frac{1}{2})$ મળે છે,તેથી વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$(k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3$
$(k+1) x + (k+2) y = (k+3)$
$x + y = 1$
સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & (k+2)^3 & (k+3)^3 \\ (k+1) & (k+2) & (k+3) \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
કોલમ ઓપરેશન $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & (k+2)^3 - (k+1)^3 & (k+3)^3 - (k+1)^3 \\ (k+1) & (k+2) - (k+1) & (k+3) - (k+1) \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$
$D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & 3k^2 + 9k + 7 & 6k^2 + 24k + 26 \\ (k+1) & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હાર (row) મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot [2(3k^2 + 9k + 7) - 1(6k^2 + 24k + 26)] = 0$
$6k^2 + 18k + 14 - 6k^2 - 24k - 26 = 0$
$-6k - 12 = 0$
$-6k = 12 \Rightarrow k = -2$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક: $\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} > 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) > 0$
$abc - a - c + 1 + 1 - b > 0$
$abc + 2 > a + b + c$ . . . . . . $(i)$
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ:
$\frac{a + b + c}{3} \geq (abc)^{1/3} \Rightarrow a + b + c \geq 3(abc)^{1/3}$ . . . . . . $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$abc + 2 > 3(abc)^{1/3}$
ધારો કે $x = (abc)^{1/3}$,તો $x^3 + 2 > 3x$
$x^3 - 3x + 2 > 0$
$(x - 1)^2(x + 2) > 0$
કારણ કે $(x - 1)^2$ હંમેશા અ-ઋણ છે,અસમતા સાચી રહે તે માટે $x + 2 > 0$ હોવું જોઈએ
$x > -2 \Rightarrow (abc)^{1/3} > -2$
બંને બાજુ ઘન કરતા: $abc > -8$

(D) શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર કહેવાય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & k & k \\ k & -4 & -6 \\ k & -3 & -5 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0((-4)(-5) - (-6)(-3)) - k(k(-5) - (-6)(k)) + k(k(-3) - (-4)(k))$
$|A| = 0 - k(-5k + 6k) + k(-3k + 4k)$
$|A| = -k(k) + k(k)$
$|A| = -k^2 + k^2 = 0$.
અહીં નિશ્ચાયક $k$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $0$ થાય છે,તેથી શ્રેણિક $A$ એ $k$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સિંગ્યુલર છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સમીકરણ $x^3+6x^2+5x-42=0$ નું વાસ્તવિક બીજ શોધો. $-42$ ના પૂર્ણાંક અવયવો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ માટે: $(2)^3+6(2)^2+5(2)-42 = 8+24+10-42 = 0$. તેથી,$\alpha=2$ એ એક બીજ છે.
હવે $\alpha=2$ ને શ્રેણિકમાં મૂકતા:
$M = \left[\begin{array}{ccc}2-1 & 2+1 & 2+2 \\ 2-2 & 2+3 & 2-3 \\ 2+4 & 2-4 & 2+5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -1 \\ 6 & -2 & 7\end{array}\right]$.
હવે,નિશ્ચાયક $|M|$ ની ગણતરી કરો:
$|M| = 1(5 \times 7 - (-1) \times (-2)) - 3(0 \times 7 - (-1) \times 6) + 4(0 \times (-2) - 5 \times 6)$
$|M| = 1(35 - 2) - 3(0 + 6) + 4(0 - 30)$
$|M| = 1(33) - 3(6) + 4(-30)$
$|M| = 33 - 18 - 120 = -105$.

(A) આપેલ છે કે,$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 1 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ -1 & -\cos \theta & 1 \end{vmatrix}$.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 1 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$.
$R_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 2(1 + \cos^2 \theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$,તેથી $1 \leq 1 + \cos^2 \theta \leq 2$.
$2$ વડે ગુણતા,$2 \leq 2(1 + \cos^2 \theta) \leq 4$.
તેથી,$\Delta \in [2, 4]$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(60, 3)$,$B(40, -8)$ અને $C(a, -52)$ છે. જો બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય અથવા રેખાખંડોના ઢાળ સમાન હોય.
નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને સમરેખતાની શરત:
$\left|\begin{array}{ccc} 60 & 3 & 1 \\ 40 & -8 & 1 \\ a & -52 & 1 \end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$60(-8 - (-52)) - 3(40 - a) + 1(40(-52) - (-8)a) = 0$
$60(44) - 120 + 3a - 2080 + 8a = 0$
$2640 - 120 - 2080 + 11a = 0$
$440 + 11a = 0$
$11a = -440$
$a = -40$

(B) $2 \times 2$ નિશ્ચાયકમાં $4$ સ્થાનો હોય છે,દરેકને $0$ અથવા $1$ વડે ભરી શકાય છે. આમ,શક્ય નિશ્ચાયકોની કુલ સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ છે.
નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય જો $ad - bc \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $ad \neq bc$.
કારણ કે $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,$ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $1$ છે.
શરત $ad \neq bc$ નીચેના કિસ્સાઓમાં સાચી પડે છે:
$1$. $ad = 1$ અને $bc = 0$: આનો અર્થ છે $a=1, d=1$ અને $(b=0$ અથવા $c=0)$. $(b, c)$ ની જોડીઓ $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ હોઈ શકે છે. આવા $3$ શ્રેણિકો છે.
$2$. $ad = 0$ અને $bc = 1$: આનો અર્થ છે $b=1, c=1$ અને $(a=0$ અથવા $d=0)$. $(a, d)$ ની જોડીઓ $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ હોઈ શકે છે. આવા $3$ શ્રેણિકો છે.
શૂન્યતર નિશ્ચાયક ધરાવતા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $= 3 + 3 = 6$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક: $\left| \begin{array}{cc} 2 + 3i & i \\ 1 - 2i & -i \end{array} \right| = x + iy$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(2 + 3i)(-i) - (i)(1 - 2i) = x + iy$
$-2i - 3i^2 - i + 2i^2 = x + iy$
$i^2 = -1$ હોવાથી: $-2i - 3(-1) - i + 2(-1) = x + iy$
$-2i + 3 - i - 2 = x + iy$
$1 - 3i = x + iy$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા: $x = 1$ અને $y = -3$
તેથી,$x + y = 1 + (-3) = -2$

(A) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(1 \times 1 - 0 \times 2) - 0 + 1(2 \times 2 - 1 \times 3)$
$|A| = 1(1 - 0) + 1(4 - 3)$
$|A| = 1(1) + 1(1) = 1 + 1 = 2$
આમ,$\det(A)$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
કારણ કે $x^2+y^2+z^2 \neq 0$,તેથી આ સિસ્ટમનો શૂન્યેતર ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ca + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$

(D) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ન હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$|A| = -x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $x = 1$ લઈએ,તો $1^3 + 1 - 2 = 0$ થાય છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $x = 1$ હોય,તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ બને છે.
અહીં પ્રથમ અને ત્રીજી હાર (અથવા સ્તંભ) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
તેથી,$x$ ની વાસ્તવિક કિંમત $1$ છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 16 & 36 & 25 \\ 25 & 49 & 36\end{array}\right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$R_2 - R_1 = (16-9, 36-25, 25-16) = (7, 11, 9)$.
$R_3 - R_2 = (25-16, 49-36, 36-25) = (9, 13, 11)$.
હવે,$D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 9 & 13 & 11\end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
$R_3$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા: $D = 2 [1(225-176) - 1(81-112) + 1(99-175)] = 2 [49 + 31 - 76] = 2 [4] = 8$.
આમ,$K = 8$. બીજ $K=8$ અને $K+1=9$ છે.
$8$ અને $9$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x-8)(x-9) = x^2 - 17x + 72 = 0$ છે.

(B) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x[(-2)(3) - (x-1)(x-2)] - (-3)[(-1)(3) - (1)(x-1)] + 2[(-1)(x-2) - (1)(-2)] = 0$
$x[-6 - (x^2 - 3x + 2)] + 3[-3 - x + 1] + 2[-x + 2 + 2] = 0$
$x[-6 - x^2 + 3x - 2] + 3[-x - 2] + 2[-x + 4] = 0$
$x[-x^2 + 3x - 8] - 3x - 6 - 2x + 8 = 0$
$-x^3 + 3x^2 - 8x - 5x + 2 = 0$
$-x^3 + 3x^2 - 13x + 2 = 0$
$x^3 - 3x^2 + 13x - 2 = 0$
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સ્વરૂપના ત્રિઘાત સમીકરણ માટે,બીજોનો સરવાળો $-b/a$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -3$ છે.
બીજોનો સરવાળો = $-(-3)/1 = 3$.