Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Hindi

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लूप की लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $\frac{1}{L_1} \sqrt{T_1} = \frac{1}{L_2} \sqrt{T_2}$ होगा।
दिया गया है $\frac{L_1}{L_2} = 2.2$,इसलिए $\sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = 2.2$,जिसका अर्थ है $T_1 = (2.2)^2 T_2 = 4.84 T_2$।
जब बेलन हवा में होता है,तो $T_1 = Mg$। जब पानी में डुबोया जाता है,तो $T_2 = Mg - F_B$,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$F_B = V_{cyl} \rho_w g = \frac{M}{\rho_{cyl}} \rho_w g = \frac{Mg}{S.G.}$,जहाँ $S.G.$ विशिष्ट गुरुत्व है।
अतः,$Mg = 4.84 (Mg - \frac{Mg}{S.G.})$।
$Mg$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $1 = 4.84 (1 - \frac{1}{S.G.})$।
$1 = 4.84 - \frac{4.84}{S.G.}$,जिससे $\frac{4.84}{S.G.} = 3.84$ प्राप्त होता है।
$S.G. = \frac{4.84}{3.84} \approx 1.26$।

(C) अप्रगामी तरंगों (stationary waves) में,जिन बिंदुओं पर कंपन का आयाम शून्य होता है उन्हें निस्पंद (nodes) कहा जाता है,और जिन बिंदुओं पर आयाम अधिकतम होता है उन्हें प्रस्पंद (antinodes) कहा जाता है।
प्रस्पंदों पर रखे गए कागज के टुकड़े अधिकतम कंपन के कारण नीचे गिर जाएंगे,जबकि निस्पंद पर रखा गया कागज का टुकड़ा तार पर ही रहेगा क्योंकि निस्पंद पर कंपन का आयाम शून्य होता है।
चूंकि बीच वाला कागज का टुकड़ा नहीं गिरता है,इसलिए इसे एक निस्पंद पर स्थित होना चाहिए।
दो आधारों $Q$ और $R$ के बीच की दूरी $L = 4x$ है।
यह दिया गया है कि बीच वाला टुकड़ा एक निस्पंद पर है,इसलिए तार दो लूपों में कंपन करता है (प्रत्येक की लंबाई $2x$ है)।
एक लूप की लंबाई $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
इसलिए,$2x = \frac{\lambda}{2}$,जिससे $\lambda = 4x$ प्राप्त होता है।
अतः,कंपन की तरंगदैर्ध्य $4x$ है।

(B) $l$ लंबाई के मूल तार की मूल आवृत्ति $n_0 = \frac{v}{2l}$ है,जहाँ $v$ तरंग की गति है।
जब केंद्र से $\Delta l$ की दूरी पर एक ब्रिज रखा जाता है,तो तार दो खंडों में विभाजित हो जाता है जिनकी लंबाई $l_1 = \frac{l}{2} + \Delta l$ और $l_2 = \frac{l}{2} - \Delta l$ है।
इन दो खंडों की मूल आवृत्तियाँ हैं:
$n_1 = \frac{v}{2l_1} = \frac{v}{l + 2\Delta l}$
$n_2 = \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{l - 2\Delta l}$
बीट आवृत्ति $|n_2 - n_1| = \frac{v}{l - 2\Delta l} - \frac{v}{l + 2\Delta l}$ है।
द्विपद सन्निकटन $(1 \pm x)^{-1} \approx 1 \mp x$ का उपयोग करते हुए:
$|n_2 - n_1| = \frac{v}{l} \left( (1 - \frac{2\Delta l}{l})^{-1} - (1 + \frac{2\Delta l}{l})^{-1} \right)$
$\approx \frac{v}{l} \left( (1 + \frac{2\Delta l}{l}) - (1 - \frac{2\Delta l}{l}) \right) = \frac{4v}{l} \cdot \frac{\Delta l}{l}$.
चूँकि $n_0 = \frac{v}{2l}$,इसलिए $\frac{v}{l} = 2n_0$ है।
अतः,बीट आवृत्ति $4(2n_0) \frac{\Delta l}{l} = 8 n_0 \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होती है।

(C) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: तनाव $44\%$ बढ़ाया जाता है। नया तनाव $T' = T + 0.44T = 1.44T$ है।
नई आवृत्ति $n' = n + 6$ है।
$n + 6 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{1.44T}{m}} = 1.2 \left( \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}} \right) = 1.2n$।
$0.2n = 6 \Rightarrow n = 30 \ Hz$।
स्थिति $2$: लंबाई $20\%$ बढ़ाई जाती है। नई लंबाई $l' = l + 0.2l = 1.2l$ है।
नई आवृत्ति $n'' = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{1}{2(1.2l)} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{n}{1.2} = \frac{30}{1.2} = 25 \ Hz$।
आवृत्ति में परिवर्तन $|n - n''| = |30 - 25| = 5 \ Hz$ है।

(C) तनाव $T$ के तहत तार में स्थिर तरंग की आवृत्ति $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ एंटीनोड्स की संख्या है,$L$ तार की लंबाई है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
तार में तनाव $T$ स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है और $x$ खिंचाव है।
अतः,$f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{kx}{\mu}}$.
पहले मामले के लिए,$n_1 = 3$ और $x_1 = 4.0\, cm$. इसलिए,$f = \frac{3}{2L} \sqrt{\frac{k(4.0)}{\mu}}$.
दूसरे मामले के लिए,$n_2 = 2$ और हमें $x_2$ ज्ञात करना है। चूंकि आवृत्ति $f$ समान है,$f = \frac{2}{2L} \sqrt{\frac{k(x_2)}{\mu}}$.
$f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{2L} \sqrt{\frac{k(4.0)}{\mu}} = \frac{2}{2L} \sqrt{\frac{k(x_2)}{\mu}}$.
सरल करने पर,हमें मिलता है $3 \sqrt{4.0} = 2 \sqrt{x_2}$.
$3 \times 2 = 2 \sqrt{x_2} \implies 6 = 2 \sqrt{x_2} \implies \sqrt{x_2} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x_2 = 9\, cm$.

(D) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $\mu = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{\lambda}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दिया गया है कि कुल द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L}$ है।
इस मान को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{M/L}}$
$\mu = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{FL}{M}}$
$\mu = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{FL}{M \cdot L^2}}$
$\mu = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{F}{ML}}$
अनुनाद तब होता है जब आरोपित आवृत्ति तार की मूल आवृत्ति से मेल खाती है,जिससे अधिकतम कंपन ऊर्जा उत्पन्न होती है।

(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान} = \rho \times \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} = \rho \pi r^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
दिया गया है: $L_1 = L$,$r_1 = 2r$,$L_2 = 2L$,$r_2 = r$,और $T_1 = T_2 = T$।
पहले तार के लिए: $f_1 = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r_1^2}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi (2r)^2}} = \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}$।
दूसरे तार के लिए: $f_2 = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r_2^2}} = \frac{1}{2(2L)} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}}{\frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}} = 1$।

(A) कॉर्ड अपनी सबसे सरल स्टैंडिंग-वेव मोड (फंडामेंटल मोड) में कंपन करती है,जहाँ कॉर्ड की लंबाई $d$ आधी तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है,अर्थात $d = \frac{\lambda}{2}$,या $\lambda = 2d$ है।
स्टैंडिंग वेव की आवृत्ति $f$,$AC$ करंट की आवृत्ति के बराबर है।
तनी हुई डोरी पर तरंग की गति $v$,$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
तरंग समीकरण $v = f\lambda$ का उपयोग करते हुए,हम $\lambda = 2d$ प्रतिस्थापित करते हैं जिससे $v = f(2d) = 2fd$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\sqrt{\frac{T}{\mu}} = 2fd$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T}{\mu} = 4f^2 d^2$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक संबंध $T = 4\mu f^2 d^2$ है।

(B) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{L}$।
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 = 1 : 2 : 3$ दिया गया है,इसलिए खंडों की लंबाई आवृत्तियों के व्युत्क्रमानुपाती होनी चाहिए:
$L_1 : L_2 : L_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$।
मान लीजिए कि लंबाई $L_1 = 6x$,$L_2 = 3x$,और $L_3 = 2x$ है।
कुल लंबाई $L_1 + L_2 + L_3 = 110\; cm$ है।
$6x + 3x + 2x = 110 \Rightarrow 11x = 110 \Rightarrow x = 10\; cm$।
इस प्रकार,लंबाई $L_1 = 60\; cm$,$L_2 = 30\; cm$,और $L_3 = 20\; cm$ है।
पहला पुल $A$ से $L_1 = 60\; cm$ की दूरी पर रखा जाता है।
दूसरा पुल $A$ से $L_1 + L_2 = 60 + 30 = 90\; cm$ की दूरी पर रखा जाता है।

(A) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n' \propto \frac{1}{l}$ द्वारा दी जाती है।
माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
लंबाई $l_1 = 50 \, cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $n_1 = \frac{k}{50}$ है। चूँकि यह $4$ बीट्स उत्पन्न करता है,$n_1 = n \pm 4$.
लंबाई $l_2 = 49 \, cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $n_2 = \frac{k}{49}$ है। चूँकि यह $4$ बीट्स उत्पन्न करता है,$n_2 = n \pm 4$.
चूँकि $l_2 < l_1$,इसलिए $n_2 > n_1$ होगा। अतः,$n_1 = n - 4$ और $n_2 = n + 4$.
इसलिए,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{49}{50} = \frac{n-4}{n+4}$.
$50(n-4) = 49(n+4)$.
$50n - 200 = 49n + 196$.
$n = 396 \, Hz$.

(D) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
$3^{rd}$ ओवरटोन $4^{th}$ हार्मोनिक के अनुरूप है,इसलिए $n = 4$ है।
दिया गया है: लंबाई $L = 1 \, m$,तनाव $T = 200 \, N$,रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu = 5 \, g/m = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$ है।
सबसे पहले,तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{200}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{40000} = 200 \, m/s$ की गणना करें।
अब,आवृत्ति $f_4 = \frac{4 \times 200}{2 \times 1} = 2 \times 200 = 400 \, Hz$ की गणना करें।

(B) दिया गया है: लंबाई $L = 1.5 \, m$,घनत्व $\rho = 7.7 \times 10^3 \, kg/m^3$,यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$,विकृति $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = 1 \% = 0.01$.
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,इसलिए तनाव $F = Y \cdot A \cdot \epsilon$.
तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = A \cdot \rho$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
$F$ का मान रखने पर: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \cdot A \cdot \epsilon}{A \cdot \rho}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \cdot \epsilon}{\rho}}$.
मान रखने पर: $n = \frac{1}{2 \times 1.5} \sqrt{\frac{2 \times 10^{11} \times 0.01}{7.7 \times 10^3}}$.
$n = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 \times 10^9}{7.7 \times 10^3}} = \frac{1}{3} \sqrt{0.2597 \times 10^6} = \frac{1}{3} \times 509.6 \approx 170 \, Hz$.

(A) दोनों सिरों पर बंधी $l$ लंबाई की डोरी में द्वितीय हार्मोनिक के लिए,अप्रगामी तरंग पैटर्न में दो लूप होते हैं जिसमें केंद्र $(l/2)$ पर एक निस्पंद (node) होता है।
किसी विशिष्ट हार्मोनिक को उत्तेजित करने के लिए,हम डोरी को एक प्रस्पंद (antinode) पर खींचते हैं और एक निस्पंद (node) पर छूते हैं।
द्वितीय हार्मोनिक $(n=2)$ के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 2l/n = l$ है।
निस्पंद $x = 0, l/2, l$ पर स्थित होते हैं।
प्रस्पंद $x = l/4$ और $x = 3l/4$ पर स्थित होते हैं।
द्वितीय हार्मोनिक उत्पन्न करने के लिए,हमें डोरी को एक प्रस्पंद (जैसे $l/4$) पर खींचना चाहिए और एक निस्पंद (जैसे $l/2$) पर छूना चाहिए ताकि मूल आवृत्ति दब जाए और द्वितीय हार्मोनिक बना रहे।

(D) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
अतः,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
इससे हमें प्राप्त होता है कि $n \propto \frac{\sqrt{T}}{lr}$।
मान लीजिए प्रारंभिक मान $l_1 = l$,$T_1 = T$,और $r_1 = r$ हैं। नए मान $l_2 = 3l$,$T_2 = 3T$,और $r_2 = 3r$ हैं।
आवृत्तियों का अनुपात:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \times \frac{l_1}{l_2} \times \frac{r_1}{r_2}$
$\frac{n_2}{n} = \sqrt{\frac{3T}{T}} \times \frac{l}{3l} \times \frac{r}{3r}$
$\frac{n_2}{n} = \sqrt{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$
इसलिए,$n_2 = \frac{n}{3\sqrt{3}}$।

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की अनुनादी आवृत्तियाँ $f_n = n \cdot f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति है और $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, \dots)$।
यहाँ दो क्रमागत अनुनादी आवृत्तियाँ $f_n = 315\,Hz$ और $f_{n+1} = 420\,Hz$ दी गई हैं।
दो क्रमागत अनुनादी आवृत्तियों के बीच का अंतर मूल आवृत्ति $f_0$ होता है।
$f_0 = f_{n+1} - f_n = 420\,Hz - 315\,Hz = 105\,Hz$।
अतः,सबसे कम अनुनादी आवृत्ति (मूल आवृत्ति) $105\,Hz$ है।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
विकल्प $A$ के लिए: $n' = \frac{1}{2(2l)} \sqrt{\frac{4T}{m}} = \frac{1}{4l} \cdot 2 \sqrt{\frac{T}{m}} = n$ (कोई परिवर्तन नहीं)।
विकल्प $B$ के लिए: $n' = \frac{1}{2(l/2)} \sqrt{\frac{2T}{m}} = \sqrt{2} n$ (परिवर्तन होता है)।
विकल्प $C$ के लिए: $n' = \frac{1}{2(l/2)} \sqrt{\frac{T/2}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} n$ (परिवर्तन होता है)।
विकल्प $D$ के लिए: $n' = \frac{1}{2(2l)} \sqrt{\frac{2T}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} n$ (परिवर्तन होता है)।
अतः,विकल्प $A$ में किया गया समायोजन मूल आवृत्ति को प्रभावित नहीं करता है।

(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $\ell$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\ell$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n$ है। जब तनाव $T$ को $44\%$ बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 0.44T = 1.44T$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n'$ को $n + 6$ के रूप में दिया गया है।
समानुपातिकता $n \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{n+6}{n} = \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
अतः,$n + 6 = 1.2n$.
$0.2n = 6$.
$n = \frac{6}{0.2} = 30\, Hz$.

(C) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T = Mg$ तार में तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$.
तार को उसी ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में रहने के लिए,आवृत्ति $n$ स्थिर रहनी चाहिए।
चूँकि $\ell$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{Mg}$.
अतः,$\sqrt{M_1 g_1} = \sqrt{M_2 g_2}$.
यहाँ $M_1 = 1 \, kg$,$g_1 = g$,और $g_2 = g/6$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\sqrt{1 \times g} = \sqrt{M_2 \times \frac{g}{6}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $g = M_2 \times \frac{g}{6}$.
$M_2$ के लिए हल करने पर,हमें $M_2 = 6 \, kg$ प्राप्त होता है।

(B) नियत तनाव और रैखिक घनत्व वाले खींचे हुए तार के लिए, आवृत्ति $n$ लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $n \propto 1/l$ या $nl = \text{स्थिरांक}$.
कुल लंबाई $L = l_1 + l_2 + l_3 = 110 \, cm$ दी गई है。
आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ है。
चूंकि $n_1 l_1 = n_2 l_2 = n_3 l_3 = k$, इसलिए $l_1 = k/n_1, l_2 = k/n_2, l_3 = k/n_3$ होगा。
अतः, $l_1 : l_2 : l_3 = 1/1 : 1/2 : 1/3 = 6 : 3 : 2$ होगा。
मान लीजिए कि लंबाई $6x, 3x$ और $2x$ है。
तब $6x + 3x + 2x = 110 \, cm \Rightarrow 11x = 110 \, cm \Rightarrow x = 10 \, cm$。
इसलिए, लंबाई $l_1 = 6(10) = 60 \, cm$, $l_2 = 3(10) = 30 \, cm$ और $l_3 = 2(10) = 20 \, cm$ होगी।

(D) तार में तनाव $T$ लटके हुए द्रव्यमान के भार के बराबर है,$T = Mg = 9 \times 9.8 = 88.2 \, N$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{l} = \frac{12 \times 10^{-3} \, kg}{1.5 \, m} = 8 \times 10^{-3} \, kg/m$.
अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{88.2}{8 \times 10^{-3}}} = \sqrt{11025} = 105 \, m/s$.
$p=3$ लूप में कंपन के लिए,आवृत्ति $f = \frac{p v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$f = \frac{3 \times 105}{2 \times 1.5} = \frac{315}{3} = 105 \, Hz$.
चूंकि $105 \, Hz$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{T/A}{\Delta \ell / \ell}$ है,जहाँ $T$ तनाव है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta \ell$ विस्तार है और $\ell$ लंबाई है।
$T = \frac{Y A \Delta \ell}{\ell}$.
तार में अनुप्रस्थ तरंगों का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = A \rho$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है और $\rho$ घनत्व है।
$v = \sqrt{\frac{Y A \Delta \ell}{\ell A \rho}} = \sqrt{\frac{Y \Delta \ell}{\ell \rho}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $v = \sqrt{\frac{9 \times 10^{10} \times 4.9 \times 10^{-4}}{1 \times 9 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{44.1 \times 10^6}{9 \times 10^3}} = \sqrt{4.9 \times 10^3} = \sqrt{4900} = 70 \,m/s$.
न्यूनतम आवृत्ति (मूल आवृत्ति) $f = \frac{v}{2\ell} = \frac{70}{2 \times 1} = 35 \,Hz$ होगी।

(A) दिया गया समीकरण $y = 0.06 \sin \left( \frac{2\pi}{3}x \right) \cos (120\pi t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 120\pi \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{3} \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120\pi}{2\pi/3} = 180 \, m/s$ है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3.0 \times 10^{-2} \, kg}{1.5 \, m} = 2.0 \times 10^{-2} \, kg/m$ है।
डोरी में तनाव $T = v^2 \mu$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$T = (180)^2 \times (2.0 \times 10^{-2}) = 32400 \times 0.02 = 648 \, N$।

(C) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव (भार) है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $f \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
सप्तक (octave) का अर्थ है कि आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,इसलिए $f_2 = 2f_1$।
अतः,$\frac{2f_1}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,जिसका अर्थ है $2 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4 = \frac{T_2}{T_1}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $T_1 = 4\,kg-wt$,इसलिए $T_2 = 4 \times 4 = 16\,kg-wt$।

(D) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$।
यहाँ,$T$ तनाव है और $\mu$ तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर रहते हैं,इसलिए आवृत्ति और लंबाई का गुणनफल स्थिर होता है: $f_1 l_1 = f_2 l_2$।
दिया गया है $f_1 = 512 \; Hz$,$l_1 = 0.5 \; m$,और $f_2 = 256 \; Hz$।
मान रखने पर: $512 \times 0.5 = 256 \times l_2$।
$256 = 256 \times l_2$।
अतः,$l_2 = 1 \; m$।

(B) सोनोमीटर तार के लिए,कंपन की आवृत्ति $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ लूप्स (प्रस्पंदों) की संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $\mu = \pi r^2 \rho$,आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ हो जाता है।
संयुक्त तार के लिए,आवृत्ति $n$ दोनों भागों $W_1$ और $W_2$ के लिए समान है। साथ ही,$T$,$r$,और $l$ दोनों तारों के लिए समान हैं।
अतः,$n_1 = n_2 \implies \frac{p_1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho_1}} = \frac{p_2}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho_2}}$.
सरल करने पर,हमें $\frac{p_1}{\sqrt{\rho_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{\rho_2}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\rho_2 = 4\rho_1$,इसलिए $\frac{p_1}{\sqrt{\rho_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{4\rho_1}} = \frac{p_2}{2\sqrt{\rho_1}}$.
इस प्रकार,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$.

(B) तार की कुल लंबाई $L = 110 \ cm = 1.1 \ m$ है। लंबाई का अनुपात $6:3:2$ है। मान लीजिए लंबाई $l_1, l_2, l_3$ है।
भागों का योग $= 6+3+2 = 11$.
$l_1 = (6/11) \times 110 = 60 \ cm = 0.6 \ m$.
$l_2 = (3/11) \times 110 = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
$l_3 = (2/11) \times 110 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T = 400 \ N$ और $\mu = 0.01 \ kg/m$.
$\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{400}{0.01}} = \sqrt{40000} = 200 \ m/s$.
$f_1 = \frac{200}{2 \times 0.6} = \frac{100}{0.6} = \frac{1000}{6} \ Hz$.
$f_2 = \frac{200}{2 \times 0.3} = \frac{100}{0.3} = \frac{1000}{3} \ Hz$.
$f_3 = \frac{200}{2 \times 0.2} = \frac{100}{0.2} = 500 \ Hz = \frac{1000}{2} \ Hz$.
सामान्य आवृत्ति आवृत्तियों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है।
$LCM(\frac{1000}{6}, \frac{1000}{3}, \frac{1000}{2}) = \frac{LCM(1000, 1000, 1000)}{GCD(6, 3, 2)} = \frac{1000}{1} = 1000 \ Hz$.

(D) तार की कुल लंबाई,$L = 114\, cm$ है।
तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $n \propto \frac{1}{L}$।
आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ दिया गया है।
इसलिए,तीन खंडों की लंबाई का अनुपात $L_1 : L_2 : L_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 12 : 4 : 3$ होगा।
अनुपात के भागों का योग $12 + 4 + 3 = 19$ है।
लंबाई की गणना:
$L_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72\, cm$।
$L_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24\, cm$।
$L_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18\, cm$।
तार को इन खंडों में विभाजित करने के लिए,पहला पुल एक सिरे से $72\, cm$ पर और दूसरा पुल उसी सिरे से $72 + 24 = 96\, cm$ पर रखा जाना चाहिए।

(D) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5 \times 10^{-3} \, kg}{1 \, m} = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$.
तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{8.0}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{1600} = 40 \, m/s$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{40 \, m/s}{100 \, Hz} = 0.4 \, m$.
क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होती है।
दूरी $= \frac{0.4 \, m}{2} = 0.2 \, m = 20 \, cm$.

(A) माना तारों $A$ और $B$ का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान क्रमशः $\mu_1$ और $\mu_2$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए घनत्व $\rho$ समान है।
$\mu_1 = \rho \pi r^2$ और $\mu_2 = \rho \pi (2r)^2 = 4 \rho \pi r^2 = 4 \mu_1$ है।
दोनों तारों में तनाव $T$ समान है।
तारों में तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है।
अतः,$v_1 = \sqrt{T/\mu_1} = v$ और $v_2 = \sqrt{T/\mu_2} = \sqrt{T/(4\mu_1)} = v/2$ है।
दोनों सिरों पर स्थिर $L$ लंबाई के तार के लिए,$n$-वीं हार्मोनिक की आवृत्ति $f = n \frac{v}{2L}$ होती है।
चूंकि जोड़ एक निस्पंद है,इसलिए दोनों तार समान आवृत्ति $f$ के साथ स्वतंत्र रूप से कंपन करते हैं।
$f = p \frac{v_1}{2L} = q \frac{v_2}{2L}$,जहाँ $p$ और $q$ लूप की संख्या हैं (जो प्रस्पंदों की संख्या के बराबर है)।
$p \frac{v}{2L} = q \frac{v/2}{2L} \implies p = q/2 \implies p/q = 1/2$ है।
अतः,अनुपात $p : q$ का मान $1 : 2$ है।

(B) दोनों सिरों पर कसी हुई डोरी के लिए,$n^{th}$ हार्मोनिक में लंबाई $\ell = n \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 4$ दिया गया है,इसलिए $\ell = 4 \frac{\lambda}{2} = 2\lambda$.
अप्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
दिए गए समीकरण $Y = 0.3 \sin(0.157 x) \cos(200\pi t)$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $k = 0.157$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0.157 \approx \frac{\pi}{20}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{20}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 40 \, m$ प्राप्त होता है।
इस मान को लंबाई के सूत्र में रखने पर: $\ell = 2 \lambda = 2 \times 40 = 80 \, m$.

(D) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र $f_n = \frac{n v}{2L}$ है।
दिया गया है: लंबाई $L = 2.0\, m$,आवृत्ति $f_3 = 240\, Hz$,और हार्मोनिक $n = 3$.
सूत्र में मान रखने पर: $240 = \frac{3 \times v}{2 \times 2.0}$.
$240 = \frac{3v}{4} \Rightarrow 3v = 960 \Rightarrow v = 320\, m/s$.
मूल आवृत्ति $(n=1)$ $f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{320}{2 \times 2.0} = \frac{320}{4} = 80\, Hz$ है।

(B) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{T}{A}$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{m}{L} = \frac{\rho \cdot A \cdot L}{L} = \rho A$ है,इसलिए $\frac{T}{\mu} = \frac{\sigma A}{\rho A} = \frac{\sigma}{\rho}$ होगा।
इस मान को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{\sigma}{\rho}}$.
दिया गया है: $L = 0.75\, m$,$\sigma = 8.1 \times 10^8\, N/m^2$,और $\rho = 9 \times 10^3\, kg/m^3$.
$n = \frac{1}{2 \times 0.75} \sqrt{\frac{8.1 \times 10^8}{9 \times 10^3}} = \frac{1}{1.5} \sqrt{0.9 \times 10^5} = \frac{1}{1.5} \sqrt{9 \times 10^4} = \frac{300}{1.5} = 200\, Hz$.

(D) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
सोनोमीटर के तार की आवृत्ति $f$ उसकी लंबाई $\ell$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto \frac{1}{\ell}$।
यह दिया गया है कि ट्यूनिंग फोर्क दोनों स्थितियों में $5 \, Hz$ के विस्पंद उत्पन्न करता है,इसलिए तार की आवृत्ति या तो $(n + 5)$ होगी या $(n - 5)$।
चूंकि आवृत्ति लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए कम लंबाई के लिए आवृत्ति अधिक होगी:
$n + 5 = \frac{k}{1}$
$n - 5 = \frac{k}{1.05}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{n + 5}{n - 5} = \frac{1.05}{1}$
$n + 5 = 1.05(n - 5)$
$n + 5 = 1.05n - 5.25$
$0.05n = 10.25$
$n = \frac{10.25}{0.05} = 205 \, Hz$.

(A) एक तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि डोरी के लिए $T$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $vl = k$ (एक स्थिरांक)।
इसलिए,तीन खंडों के लिए,हमारे पास $v_1 l_1 = v_2 l_2 = v_3 l_3 = k$ है।
इससे $l_1 = \frac{k}{v_1}$,$l_2 = \frac{k}{v_2}$,और $l_3 = \frac{k}{v_3}$ प्राप्त होता है।
डोरी की मूल लंबाई $l$ खंडों की लंबाई का योग है: $l = l_1 + l_2 + l_3$.
आवृत्तियों के संदर्भ में लंबाई के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{k}{v} = \frac{k}{v_1} + \frac{k}{v_2} + \frac{k}{v_3}$.
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}$ प्राप्त होता है।

(D) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\mu$ स्थिर रहता है,इसलिए $n \propto \frac{1}{L} \sqrt{T}$।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1$ और प्रारंभिक तनाव $T_1$ है। अंतिम लंबाई $L_2 = L_1 - 0.40L_1 = 0.60L_1$ और अंतिम तनाव $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ है।
अंतिम आवृत्ति $n_2$ और प्रारंभिक आवृत्ति $n_1$ का अनुपात $\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1}{L_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1}{0.60L_1} \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1}{0.6} \times 1.2 = 2$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(C) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \rho \times A = \rho \times \pi r^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $r$ त्रिज्या है,सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए $L$,$T$ और $\rho$ समान हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{r_2}{r_1}$ होगा।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 1 : 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1}$ है।
इस प्रकार,मूल आवृत्तियों का अनुपात $2 : 1$ है।

(C) नियत तनाव $T$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाली एक तनी हुई डोरी के लिए,मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि सभी खंडों के लिए $T$ और $\mu$ नियत हैं,इसलिए आवृत्ति लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto \frac{1}{L}$।
दी गई लंबाइयाँ $L_1 = 50\,cm$,$L_2 = 40\,cm$ और $L_3 = 10\,cm$ हैं।
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 = \frac{1}{L_1} : \frac{1}{L_2} : \frac{1}{L_3}$ होगा।
मान रखने पर: $f_1 : f_2 : f_3 = \frac{1}{50} : \frac{1}{40} : \frac{1}{10}$।
सरल बनाने के लिए,$50, 40, 10$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $200$ से गुणा करने पर:
$f_1 : f_2 : f_3 = \frac{200}{50} : \frac{200}{40} : \frac{200}{10} = 4 : 5 : 20$।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x,t) = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y(x,t) = 0.6 \sin \left( \frac{2\pi}{3}x \right) \cos (120\pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 120\pi \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{3} \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120\pi}{2\pi/3} = 180 \, m/s$ है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L} = \frac{3.0 \times 10^{-2} \, kg}{1.5 \, m} = 2 \times 10^{-2} \, kg/m$ है।
डोरी में तरंग की चाल और तनाव $T$ के बीच संबंध $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,इसलिए $T = \mu v^2$।
मान रखने पर: $T = (2 \times 10^{-2} \, kg/m) \times (180 \, m/s)^2 = 2 \times 10^{-2} \times 32400 = 648 \, N$।

(D) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = n f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
दो क्रमागत अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर मूल आवृत्ति के बराबर होता है:
$f_{n+1} - f_n = f_1 = 450 \, Hz - 375 \, Hz = 75 \, Hz$.
मूल आवृत्ति का सूत्र $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $L$ डोरी की लंबाई,$T$ तनाव और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
मान रखने पर:
$75 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{360}{4 \times 10^{-3}}}$
$75 = \frac{1}{2L} \sqrt{90000} = \frac{300}{2L}$
$L = \frac{300}{150} = 2 \, m$.
डोरी का कुल द्रव्यमान $m = \mu \times L$ द्वारा प्राप्त होता है।
$m = (4 \times 10^{-3} \, kg/m) \times (2 \, m) = 8 \times 10^{-3} \, kg$.

(D) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ रैखिक घनत्व है।
$\mu$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि तनाव $T$ और घनत्व $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति $n \propto \frac{1}{lr}$ है।
दिया गया है कि लंबाई दोगुनी $(l' = 2l)$ हो जाती है और व्यास दोगुना हो जाता है,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या भी दोगुनी $(r' = 2r)$ हो जाती है।
नई आवृत्ति $n'$ के लिए,$n' = n \times (\frac{l}{l'}) \times (\frac{r}{r'}) = n \times (\frac{l}{2l}) \times (\frac{r}{2r}) = n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$।

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,जब वह $n$ लूप में कंपन करती है,तो डोरी की लंबाई $L$ का सूत्र $L = \frac{n\lambda}{2}$ होता है।
यहाँ,लूप की संख्या $n = 3$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{3 \times 10}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
अतः,डोरी की लंबाई $15 \, cm$ है।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की अनुनादी आवृत्तियाँ $f_n = n \times f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_1 = \frac{v}{2L}$ मूल आवृत्ति है और $n = 1, 2, 3, \dots$ एक पूर्णांक है।
दो क्रमागत अनुनादी आवृत्तियाँ $f_n = 315\, Hz$ और $f_{n+1} = 420\, Hz$ दी गई हैं।
हम जानते हैं कि दो क्रमागत अनुनादी आवृत्तियों के बीच का अंतर मूल आवृत्ति $f_1$ के बराबर होता है।
$f_1 = f_{n+1} - f_n = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.
वैकल्पिक रूप से,$\frac{f_{n+1}}{f_n} = \frac{n+1}{n} = \frac{420}{315} = \frac{4}{3}$.
यह दर्शाता है कि $n = 3$,इसलिए $f_3 = 315\, Hz$ और $f_4 = 420\, Hz$.
चूँकि $f_3 = 3 \times f_1 = 315\, Hz$,हमें $f_1 = \frac{315}{3} = 105\, Hz$ प्राप्त होता है।
सबसे कम अनुनादी आवृत्ति मूल आवृत्ति $f_1 = 105\, Hz$ है।

(D) दोनों सिरों पर बंधे तार के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई क्रमागत आवृत्तियाँ $f_n = 420 \; Hz$ और $f_{n+1} = 490 \; Hz$ हैं।
क्रमागत आवृत्तियों के बीच का अंतर मूल आवृत्ति $f_1 = f_{n+1} - f_n = 490 - 420 = 70 \; Hz$ है।
हम जानते हैं कि $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = 70 \; Hz$ है।
यहाँ $T = 540 \; N$ और $\mu = 6.0 \times 10^{-3} \; kg/m$ दिया गया है।
तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{540}{6.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{90,000} = 300 \; m/s$ की गणना करें।
$v$ का मान मूल आवृत्ति समीकरण में रखने पर: $70 = \frac{300}{2L}$।
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{300}{140} \approx 2.14 \; m$।
अतः,लंबाई $L$ लगभग $2.1 \; m$ है।

(N/A) दिया गया है:
तार का द्रव्यमान,$m = 3.5 \times 10^{-2} \;kg$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व,$\mu = 4.0 \times 10^{-2} \;kg \;m^{-1}$
कंपन की आवृत्ति,$f = 45 \;Hz$
तार की लंबाई,$l = \frac{m}{\mu} = \frac{3.5 \times 10^{-2}}{4.0 \times 10^{-2}} = 0.875 \;m$
कंपन की मूल विधा के लिए,तार की लंबाई $l$ तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $l = \frac{\lambda}{2}$।
इसलिए,$\lambda = 2l = 2 \times 0.875 = 1.75 \;m$।
$(a)$ अनुप्रस्थ तरंग की चाल $(v)$ इस प्रकार है:
$v = f \lambda = 45 \times 1.75 = 78.75 \;m/s$।
$(b)$ तार में तनाव $(T)$ संबंध $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $T = v^2 \mu$।
$T = (78.75)^2 \times 4.0 \times 10^{-2} = 6201.5625 \times 0.04 = 248.06 \;N$।

(N/A) मान लीजिए कि $L$ लंबाई की एक डोरी दोनों सिरों पर तनाव $T$ के अंतर्गत बंधी है। मान लीजिए $\mu$ डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अप्रगामी तरंग के लिए तरंग समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डोरी $x = 0$ और $x = L$ पर स्थिर है,इसलिए सीमा शर्तें $y(0, t) = 0$ और $y(L, t) = 0$ हैं।
$x = L$ पर सीमा शर्त लागू करने पर,हमें $\sin(kL) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $kL = n\pi$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi L}{\lambda} = n\pi$,जिससे $\lambda = \frac{2L}{n}$ प्राप्त होता है।
डोरी में तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है।
संबंध $v = f\lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f$ आवृत्ति है,हमें $f = \frac{v}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{2L}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = \frac{nv}{2L} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ कंपन की विधा को दर्शाता है।

(B) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
प्रारंभ में,तार अपनी मूल विधा (प्रथम हार्मोनिक) में $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = f$ आवृत्ति के साथ कंपन करता है,जहाँ $f$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है।
जब लंबाई दोगुनी कर दी जाती है $(L' = 2L)$ और तनाव $T$ स्थिर रहता है,तो नई मूल आवृत्ति $f_1' = \frac{1}{2(2L)} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{2} f$ हो जाती है।
ट्यूनिंग फोर्क के अभी भी अनुनाद में रहने के लिए,तार को एक उच्च हार्मोनिक में कंपन करना चाहिए ताकि उसकी आवृत्ति $f$ से मेल खा सके। $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \times f_1'$ होती है।
$f_n = f$ रखने पर,हमें $n \times (\frac{1}{2} f) = f$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $n = 2$ है।
अतः,जब तार अपने दूसरे हार्मोनिक (प्रथम ओवरटोन) में कंपन करेगा,तब ट्यूनिंग फोर्क तार के साथ अनुनाद में रहेगा।

(N/A) दोनों सिरों पर बंधी $L$ लंबाई की डोरी के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र है: $f_n = \frac{nv}{2L}$,जहाँ $n$ लूपों की संख्या है,$v$ डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति है और $L$ डोरी की लंबाई है।
चूंकि एक निश्चित तनाव के तहत डोरी के लिए $v$ और $L$ स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति $f_n$ लूपों की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक है $(f_n \propto n)$।
$n=1, 2, 3, 4$ के लिए,आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{2L}$,$f_2 = \frac{2v}{2L}$,$f_3 = \frac{3v}{2L}$,और $f_4 = \frac{4v}{2L}$ हैं।
अतः,आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = 1 : 2 : 3 : 4$ है।

(A) दिया गया है: घनत्व $\rho = 9 \times 10^{-3} \,kg/cm^3 = 9000 \,kg/m^3$.
लंबाई $L = 1 \,m$.
विकृति (Strain) $= 4.9 \times 10^{-4}$.
यंग मापांक $Y = 9 \times 10^{10} \,N/m^2$.
न्यूनतम आवृत्ति (मूल विधा) के लिए,$L = \lambda / 2$,इसलिए $\lambda = 2L = 2 \,m$.
आवृत्ति $f = v / \lambda = (1 / \lambda) \sqrt{T / \mu}$,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि $Y = (T/A) / \text{strain}$,इसलिए $T = Y \cdot A \cdot \text{strain}$.
साथ ही,$\mu = m/L = (\rho \cdot V) / L = (\rho \cdot A \cdot L) / L = \rho \cdot A$.
इन मानों को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर:
$f = (1 / 2L) \sqrt{(Y \cdot A \cdot \text{strain}) / (\rho \cdot A)} = (1 / 2L) \sqrt{(Y \cdot \text{strain}) / \rho}$.
मान रखने पर:
$f = (1 / 2) \sqrt{(9 \times 10^{10} \times 4.9 \times 10^{-4}) / 9000} = (1 / 2) \sqrt{4900} = 35 \,Hz$.

(C) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि डोरियाँ $X$ और $Z$ एकसमान हैं और एक ही पदार्थ से बनी हैं,इसलिए उनकी लंबाई $L$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ समान होंगे।
अतः,आवृत्ति तनाव के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $f \propto \sqrt{T}$.
दिया गया है $f_{x} = 450\, Hz$ और $f_{z} = 300\, Hz$,इसलिए:
$\frac{f_{x}}{f_{z}} = \sqrt{\frac{T_{x}}{T_{z}}}$
मान रखने पर:
$\frac{450}{300} = \sqrt{\frac{T_{x}}{T_{z}}}$
$1.5 = \sqrt{\frac{T_{x}}{T_{z}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T_{x}}{T_{z}} = (1.5)^2 = 2.25$.