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Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Hindi
Class 11 Physics · Waves and Sound · Transverse Stationary Waves and Sonometer
225+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 225 questions in Hindi
101
MediumMCQ
एक संगीत वाद्ययंत्र की डोरी की लंबाई $90 \;cm$ है और इसकी मूल आवृत्ति $120 \;Hz$ है। $180 \;Hz$ की मूल आवृत्ति उत्पन्न करने के लिए इसे कहाँ ($cm$ में) दबाया जाना चाहिए?
A
$80$
B
$75$
C
$60$
D
$45$
Solution
(C) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति डोरी की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $n \propto \frac{1}{L}$।
अतः,$n_1 L_1 = n_2 L_2$।
दिया गया है $n_1 = 120 \;Hz$,$L_1 = 90 \;cm$,और $n_2 = 180 \;Hz$।
मान रखने पर: $120 \times 90 = 180 \times L_2$।
$L_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60 \;cm$।
इस प्रकार,आवश्यक आवृत्ति उत्पन्न करने के लिए डोरी को एक सिरे से $60 \;cm$ की दूरी पर दबाया जाना चाहिए।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति डोरी की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $n \propto \frac{1}{L}$।
अतः,$n_1 L_1 = n_2 L_2$।
दिया गया है $n_1 = 120 \;Hz$,$L_1 = 90 \;cm$,और $n_2 = 180 \;Hz$।
मान रखने पर: $120 \times 90 = 180 \times L_2$।
$L_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60 \;cm$।
इस प्रकार,आवश्यक आवृत्ति उत्पन्न करने के लिए डोरी को एक सिरे से $60 \;cm$ की दूरी पर दबाया जाना चाहिए।
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DifficultMCQ
$9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ के रैखिक द्रव्यमान घनत्व वाला एक तार $900 \; \text{N}$ के तनाव के साथ दो दृढ़ आधारों के बीच खींचा गया है। तार $500 \; \text{Hz}$ की आवृत्ति पर अनुनाद करता है। उसी तार के लिए अगली उच्च अनुनाद आवृत्ति $550 \; \text{Hz}$ है। तार की लंबाई $...... \; \text{m}$ है।
A
$50$
B
$100$
C
$10$
D
$2$
Solution
(C) तार में तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $T = 900 \; \text{N}$ और $\mu = 9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ दिया गया है।
$v = \sqrt{\frac{900}{9.0 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^6} = 1000 \; \text{m/s}$.
दोनों सिरों पर स्थिर तार की अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{2L}$ सूत्र द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दो क्रमागत अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L}$ होता है।
यहाँ $\Delta f = 550 \; \text{Hz} - 500 \; \text{Hz} = 50 \; \text{Hz}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{v}{2L} = 50 \; \text{Hz}$.
$v = 1000 \; \text{m/s}$ का मान रखने पर,$\frac{1000}{2L} = 50$.
$2L = \frac{1000}{50} = 20$.
$L = 10 \; \text{m}$.
यहाँ $T = 900 \; \text{N}$ और $\mu = 9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ दिया गया है।
$v = \sqrt{\frac{900}{9.0 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^6} = 1000 \; \text{m/s}$.
दोनों सिरों पर स्थिर तार की अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{2L}$ सूत्र द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दो क्रमागत अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L}$ होता है।
यहाँ $\Delta f = 550 \; \text{Hz} - 500 \; \text{Hz} = 50 \; \text{Hz}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{v}{2L} = 50 \; \text{Hz}$.
$v = 1000 \; \text{m/s}$ का मान रखने पर,$\frac{1000}{2L} = 50$.
$2L = \frac{1000}{50} = 20$.
$L = 10 \; \text{m}$.
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MediumMCQ
$0.3\,m$ लंबाई का एक तार,जो दो दृढ़ आधारों के बीच खींचा गया है,के $n^{\text{th}}$ और $(n+1)^{\text{th}}$ हार्मोनिक्स क्रमशः $400\,Hz$ और $450\,Hz$ हैं। यदि तार में तनाव $2700\,N$ है,तो इसका रैखिक द्रव्यमान घनत्व ......... $kg/m$ है।
A
$1.5$
B
$6$
C
$9$
D
$3$
Solution
(D) $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{nv}{2L} = 400\,Hz$ द्वारा दी जाती है।
$(n+1)^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{n+1} = \frac{(n+1)v}{2L} = 450\,Hz$ है।
लगातार हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{v}{2L} = 450 - 400 = 50\,Hz$ है।
दी गई लंबाई $L = 0.3\,m$ के लिए,$\frac{v}{2(0.3)} = 50$,जिसका अर्थ है $v = 50 \times 0.6 = 30\,m/s$।
तरंग की गति $v$,तनाव $T$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ से $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर: $30 = \sqrt{\frac{2700}{\mu}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $900 = \frac{2700}{\mu}$।
अतः,$\mu = \frac{2700}{900} = 3\,kg/m$।
$(n+1)^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{n+1} = \frac{(n+1)v}{2L} = 450\,Hz$ है।
लगातार हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{v}{2L} = 450 - 400 = 50\,Hz$ है।
दी गई लंबाई $L = 0.3\,m$ के लिए,$\frac{v}{2(0.3)} = 50$,जिसका अर्थ है $v = 50 \times 0.6 = 30\,m/s$।
तरंग की गति $v$,तनाव $T$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ से $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर: $30 = \sqrt{\frac{2700}{\mu}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $900 = \frac{2700}{\mu}$।
अतः,$\mu = \frac{2700}{900} = 3\,kg/m$।
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EasyMCQ
यदि एक डोरी की मूल आवृत्ति $220 \, cps$ है,तो पाँचवें हार्मोनिक की आवृत्ति ......... $cps$ होगी।
A
$44$
B
$55$
C
$1100$
D
$440$
Solution
(C) डोरी की मूल आवृत्ति $f_1 = 220 \, cps$ दी गई है।
कंपन करती हुई डोरी में,$n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र $f_n = n \times f_1$ होता है।
पाँचवें हार्मोनिक के लिए,$n = 5$ है।
अतः,पाँचवें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_5 = 5 \times 220 \, cps = 1100 \, cps$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।
कंपन करती हुई डोरी में,$n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र $f_n = n \times f_1$ होता है।
पाँचवें हार्मोनिक के लिए,$n = 5$ है।
अतः,पाँचवें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_5 = 5 \times 220 \, cps = 1100 \, cps$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।
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MediumMCQ
एक तार में तनाव $19 \%$ कम हो जाता है। आवृत्ति में प्रतिशत कमी ......... $\%$ होगी।
A
$0.19$
B
$10$
C
$19$
D
$0.9$
Solution
(B) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है,$l$ लंबाई है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इस संबंध से,$f \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T_1 = T$ है और अंतिम तनाव $T_2 = T - 0.19T = 0.81T$ है।
नई आवृत्ति $f^{\prime}$ का मान $f^{\prime} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} f = \sqrt{0.81} f = 0.9f$ होगा।
आवृत्ति में कमी $\Delta f = f - f^{\prime} = f - 0.9f = 0.1f$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत कमी $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$ है।
इस संबंध से,$f \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T_1 = T$ है और अंतिम तनाव $T_2 = T - 0.19T = 0.81T$ है।
नई आवृत्ति $f^{\prime}$ का मान $f^{\prime} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} f = \sqrt{0.81} f = 0.9f$ होगा।
आवृत्ति में कमी $\Delta f = f - f^{\prime} = f - 0.9f = 0.1f$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत कमी $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$ है।
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MediumMCQ
एक $12 \,m$ लंबी कंपन करती डोरी में तरंग की गति $48 \,m/s$ है। यह किन आवृत्तियों पर अनुनादित होगी ($cps$ में)?
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) दोनों सिरों पर बंधी कंपन करती डोरी की आवृत्ति का सूत्र $f_n = \frac{n v}{2 l}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
दिया गया है: लंबाई $l = 12 \,m$ और तरंग की गति $v = 48 \,m/s$.
मान रखने पर: $f_n = \frac{n \times 48}{2 \times 12} = \frac{48 n}{24} = 2n \,Hz$.
$n=1$ के लिए,$f_1 = 2 \,Hz$.
$n=2$ के लिए,$f_2 = 4 \,Hz$.
$n=3$ के लिए,$f_3 = 6 \,Hz$.
चूंकि डोरी मूल आवृत्ति $(2 \,Hz)$ के किसी भी पूर्णांक गुणज पर अनुनादित हो सकती है,इसलिए दिए गए सभी विकल्प $(2, 4, 6)$ संभावित अनुनाद आवृत्तियाँ हैं।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।
दिया गया है: लंबाई $l = 12 \,m$ और तरंग की गति $v = 48 \,m/s$.
मान रखने पर: $f_n = \frac{n \times 48}{2 \times 12} = \frac{48 n}{24} = 2n \,Hz$.
$n=1$ के लिए,$f_1 = 2 \,Hz$.
$n=2$ के लिए,$f_2 = 4 \,Hz$.
$n=3$ के लिए,$f_3 = 6 \,Hz$.
चूंकि डोरी मूल आवृत्ति $(2 \,Hz)$ के किसी भी पूर्णांक गुणज पर अनुनादित हो सकती है,इसलिए दिए गए सभी विकल्प $(2, 4, 6)$ संभावित अनुनाद आवृत्तियाँ हैं।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।
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EasyMCQ
एक निश्चित डोरी कई आवृत्तियों पर अनुनादित होती है,जिनमें से सबसे कम आवृत्ति $200 \,Hz$ है। वह अगली तीन उच्च आवृत्तियाँ क्या हैं जिन पर यह अनुनादित होती है?
A
$400, 600, 800 \,Hz$
B
$300, 400, 500 \,Hz$
C
$100, 150, 200 \,Hz$
D
$200, 250, 300 \,Hz$
Solution
(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की अनुनादी आवृत्तियाँ सूत्र $f_n = n \times f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $f_1$ मूल आवृत्ति है।
यहाँ सबसे कम अनुनादी आवृत्ति (मूल आवृत्ति) $f_1 = 200 \,Hz$ दी गई है।
अगली तीन उच्च अनुनादी आवृत्तियाँ $n = 2, 3,$ और $4$ के संगत हैं।
$n = 2$ के लिए,$f_2 = 2 \times 200 = 400 \,Hz$.
$n = 3$ के लिए,$f_3 = 3 \times 200 = 600 \,Hz$.
$n = 4$ के लिए,$f_4 = 4 \times 200 = 800 \,Hz$.
अतः,अगली तीन उच्च आवृत्तियाँ $400 \,Hz, 600 \,Hz,$ और $800 \,Hz$ हैं।
यहाँ सबसे कम अनुनादी आवृत्ति (मूल आवृत्ति) $f_1 = 200 \,Hz$ दी गई है।
अगली तीन उच्च अनुनादी आवृत्तियाँ $n = 2, 3,$ और $4$ के संगत हैं।
$n = 2$ के लिए,$f_2 = 2 \times 200 = 400 \,Hz$.
$n = 3$ के लिए,$f_3 = 3 \times 200 = 600 \,Hz$.
$n = 4$ के लिए,$f_4 = 4 \times 200 = 800 \,Hz$.
अतः,अगली तीन उच्च आवृत्तियाँ $400 \,Hz, 600 \,Hz,$ और $800 \,Hz$ हैं।
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View Solution108
MediumMCQ
एक वायलिन के तार की आवृत्ति $440 \,cps$ है। यदि वायलिन के तार को एक-पांचवें भाग तक छोटा कर दिया जाए,तो इसकी आवृत्ति ........... $cps$ हो जाएगी।
A
$440$
B
$880$
C
$550$
D
$2200$
Solution
(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $l$ तार की लंबाई है।
प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 440 \,cps$ लंबाई $l_1 = l$ के लिए दी गई है।
यदि तार को एक-पांचवें भाग तक छोटा कर दिया जाता है,तो नई लंबाई $l_2 = \frac{l}{5}$ हो जाती है।
अतः,नई आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{2(l/5)} = 5 \times \frac{v}{2l} = 5 \times f_1$ होगी।
$f_2 = 5 \times 440 = 2200 \,cps$।
प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 440 \,cps$ लंबाई $l_1 = l$ के लिए दी गई है।
यदि तार को एक-पांचवें भाग तक छोटा कर दिया जाता है,तो नई लंबाई $l_2 = \frac{l}{5}$ हो जाती है।
अतः,नई आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{2(l/5)} = 5 \times \frac{v}{2l} = 5 \times f_1$ होगी।
$f_2 = 5 \times 440 = 2200 \,cps$।
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MediumMCQ
$1 \,m$ लंबाई का एक तार एक निश्चित प्रारंभिक तनाव के तहत $256 \,Hz$ की मूल आवृत्ति की ध्वनि उत्पन्न करता है। जब तनाव को $1 \,kg \,wt$ से बढ़ाया जाता है,तो मूल आवृत्ति बढ़कर $320 \,Hz$ हो जाती है। प्रारंभिक तनाव ........... $kg \,wt$ है।
A
$3/4$
B
$4/3$
C
$16/9$
D
$20/9$
Solution
(C) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T$ है। अतः,$256 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
जब तनाव को $1 \,kg \,wt$ से बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $(T+1) \,kg \,wt$ हो जाता है। नई आवृत्ति $320 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+1}{\mu}}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{320}{256} = \sqrt{\frac{T+1}{T}}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{320}{256} = \frac{5}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{16} = \frac{T+1}{T}$.
$25T = 16(T+1) \implies 25T = 16T + 16$.
$9T = 16 \implies T = \frac{16}{9} \,kg \,wt$.
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T$ है। अतः,$256 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
जब तनाव को $1 \,kg \,wt$ से बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $(T+1) \,kg \,wt$ हो जाता है। नई आवृत्ति $320 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+1}{\mu}}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{320}{256} = \sqrt{\frac{T+1}{T}}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{320}{256} = \frac{5}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{16} = \frac{T+1}{T}$.
$25T = 16(T+1) \implies 25T = 16T + 16$.
$9T = 16 \implies T = \frac{16}{9} \,kg \,wt$.
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MediumMCQ
$20 \,cm$ लंबाई के तार वाले सोनोमीटर के साथ कंपन करने वाला एक ट्यूनिंग फोर्क प्रति सेकंड $5$ बीट्स उत्पन्न करता है। यदि तार की लंबाई बदलकर $21 \,cm$ कर दी जाए तो बीट आवृत्ति नहीं बदलती है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति ............ $Hz$ होनी चाहिए।
A
$200$
B
$210$
C
$205$
D
$215$
Solution
(C) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है और सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n = \frac{v}{2L}$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $5 \,Hz$ है,इसलिए $|f - n| = 5$ है।
$L_1 = 0.20 \,m$ के लिए,$n_1 = \frac{v}{2 \times 0.20} = \frac{v}{0.4}$ है।
$L_2 = 0.21 \,m$ के लिए,$n_2 = \frac{v}{2 \times 0.21} = \frac{v}{0.42}$ है।
चूंकि $L_2 > L_1$,इसलिए $n_2 < n_1$ होगा।
यदि बीट आवृत्ति $5 \,Hz$ बनी रहती है,तो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$,$n_1$ और $n_2$ के बीच होनी चाहिए।
स्थिति $1$: $n_1 - f = 5 \implies f = n_1 - 5$।
स्थिति $2$: $f - n_2 = 5 \implies f = n_2 + 5$।
दोनों की तुलना करने पर: $n_1 - 5 = n_2 + 5 \implies n_1 - n_2 = 10$।
$n_1 = \frac{v}{0.4}$ और $n_2 = \frac{v}{0.42}$ रखने पर:
$\frac{v}{0.4} - \frac{v}{0.42} = 10 \implies v \left( \frac{0.42 - 0.4}{0.168} \right) = 10 \implies v \left( \frac{0.02}{0.168} \right) = 10 \implies v = \frac{1.68}{0.02} = 84 \,m/s$।
अब,$n_1 = \frac{84}{0.4} = 210 \,Hz$।
अतः $f = n_1 - 5 = 210 - 5 = 205 \,Hz$।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $5 \,Hz$ है,इसलिए $|f - n| = 5$ है।
$L_1 = 0.20 \,m$ के लिए,$n_1 = \frac{v}{2 \times 0.20} = \frac{v}{0.4}$ है।
$L_2 = 0.21 \,m$ के लिए,$n_2 = \frac{v}{2 \times 0.21} = \frac{v}{0.42}$ है।
चूंकि $L_2 > L_1$,इसलिए $n_2 < n_1$ होगा।
यदि बीट आवृत्ति $5 \,Hz$ बनी रहती है,तो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$,$n_1$ और $n_2$ के बीच होनी चाहिए।
स्थिति $1$: $n_1 - f = 5 \implies f = n_1 - 5$।
स्थिति $2$: $f - n_2 = 5 \implies f = n_2 + 5$।
दोनों की तुलना करने पर: $n_1 - 5 = n_2 + 5 \implies n_1 - n_2 = 10$।
$n_1 = \frac{v}{0.4}$ और $n_2 = \frac{v}{0.42}$ रखने पर:
$\frac{v}{0.4} - \frac{v}{0.42} = 10 \implies v \left( \frac{0.42 - 0.4}{0.168} \right) = 10 \implies v \left( \frac{0.02}{0.168} \right) = 10 \implies v = \frac{1.68}{0.02} = 84 \,m/s$।
अब,$n_1 = \frac{84}{0.4} = 210 \,Hz$।
अतः $f = n_1 - 5 = 210 - 5 = 205 \,Hz$।
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EasyMCQ
दो दृढ़ आधारों के बीच तनी हुई $l$ लंबाई की एक डोरी में दूसरा हार्मोनिक उत्पन्न करना है। डोरी को किन बिंदुओं पर खींचना (pluck) और स्पर्श करना (touch) चाहिए?
A
$\frac{l}{4}, \frac{l}{2}$
B
$\frac{l}{4}, \frac{3l}{4}$
C
$\frac{l}{2}, \frac{l}{2}$
D
$\frac{l}{2}, \frac{3l}{4}$
Solution
(A) $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक में,डोरी दो लूप में कंपन करती है,जिसका अर्थ है कि डोरी के मध्य में $x = \frac{l}{2}$ पर एक नोड (node) और $x = \frac{l}{4}$ तथा $x = \frac{3l}{4}$ पर दो एंटीनोड (antinodes) होते हैं।
$2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक उत्पन्न करने के लिए,हमें डोरी को $x = \frac{l}{2}$ पर स्पर्श करके केंद्र में एक नोड बनाना होगा।
कंपन को उत्तेजित करने के लिए,हमें डोरी को एक एंटीनोड स्थिति पर खींचना होगा। उपलब्ध एंटीनोड स्थितियाँ $\frac{l}{4}$ या $\frac{3l}{4}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,(खींचने का बिंदु,स्पर्श करने का बिंदु) के लिए सही युग्म $(\frac{l}{4}, \frac{l}{2})$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
$2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक उत्पन्न करने के लिए,हमें डोरी को $x = \frac{l}{2}$ पर स्पर्श करके केंद्र में एक नोड बनाना होगा।
कंपन को उत्तेजित करने के लिए,हमें डोरी को एक एंटीनोड स्थिति पर खींचना होगा। उपलब्ध एंटीनोड स्थितियाँ $\frac{l}{4}$ या $\frac{3l}{4}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,(खींचने का बिंदु,स्पर्श करने का बिंदु) के लिए सही युग्म $(\frac{l}{4}, \frac{l}{2})$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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MediumMCQ
एक समान डोरी $32 \,N$ के अधिकतम तनाव पर एक ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद (resonate) करती है। यदि इसे एक सिरे से लंबाई के एक-चौथाई भाग पर एक वेज (wedge) रखकर दो खंडों में विभाजित किया जाता है,तो समान आवृत्ति के साथ अनुनाद करने के लिए डोरी के लिए तनाव का अधिकतम मान ........... $N$ होगा।
A
$2$
B
$4$
C
$8$
D
$16$
Solution
(A) कंपन करती डोरी की आवृत्ति $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ लूप की संख्या है,$L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
प्रारंभ में,पूरी डोरी अपने मूल मोड $(n=1)$ में अनुनाद करती है: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}}$,जहाँ $T_0 = 32 \,N$ है।
जब एक सिरे से $L/4$ की दूरी पर एक वेज रखा जाता है,तो डोरी $L_1 = L/4$ और $L_2 = 3L/4$ लंबाई के दो खंडों में विभाजित हो जाती है।
$L_1 = L/4$ लंबाई वाले खंड के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{1}{2(L/4)} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ है।
$f = f_1$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = 2 \sqrt{T_1} \implies \sqrt{T_0} = 4 \sqrt{T_1} \implies T_1 = \frac{T_0}{16} = \frac{32}{16} = 2 \,N$.
$L_2 = 3L/4$ लंबाई वाले खंड के लिए,मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{2(3L/4)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$ है।
$f = f_2$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = \frac{2}{3} \sqrt{T_2} \implies \sqrt{T_2} = \frac{3}{4} \sqrt{T_0} \implies T_2 = \frac{9}{16} T_0 = \frac{9}{16} \times 32 = 18 \,N$.
प्रश्न में तनाव का अधिकतम मान पूछा गया है,जो $18 \,N$ है। हालाँकि,चूंकि $18 \,N$ विकल्पों में नहीं है,हम $L_1$ खंड की जाँच करते हैं,जो $2 \,N$ देता है।
प्रारंभ में,पूरी डोरी अपने मूल मोड $(n=1)$ में अनुनाद करती है: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}}$,जहाँ $T_0 = 32 \,N$ है।
जब एक सिरे से $L/4$ की दूरी पर एक वेज रखा जाता है,तो डोरी $L_1 = L/4$ और $L_2 = 3L/4$ लंबाई के दो खंडों में विभाजित हो जाती है।
$L_1 = L/4$ लंबाई वाले खंड के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{1}{2(L/4)} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ है।
$f = f_1$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = 2 \sqrt{T_1} \implies \sqrt{T_0} = 4 \sqrt{T_1} \implies T_1 = \frac{T_0}{16} = \frac{32}{16} = 2 \,N$.
$L_2 = 3L/4$ लंबाई वाले खंड के लिए,मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{2(3L/4)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$ है।
$f = f_2$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = \frac{2}{3} \sqrt{T_2} \implies \sqrt{T_2} = \frac{3}{4} \sqrt{T_0} \implies T_2 = \frac{9}{16} T_0 = \frac{9}{16} \times 32 = 18 \,N$.
प्रश्न में तनाव का अधिकतम मान पूछा गया है,जो $18 \,N$ है। हालाँकि,चूंकि $18 \,N$ विकल्पों में नहीं है,हम $L_1$ खंड की जाँच करते हैं,जो $2 \,N$ देता है।
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DifficultMCQ
एक सोनोमीटर तार की आवृत्ति $100 \ Hz$ है। जब तनाव उत्पन्न करने वाले भार को पूरी तरह से पानी में डुबोया जाता है,तो आवृत्ति $80 \ Hz$ हो जाती है और जब भार को एक निश्चित तरल में डुबोया जाता है,तो आवृत्ति $60 \ Hz$ हो जाती है। तरल का विशिष्ट गुरुत्व (specific gravity) है:
A
$1.42$
B
$1.77$
C
$1.82$
D
$1.21$
Solution
(B) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है। चूंकि $T = mg$,इसलिए $f \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{mg_{eff}}$।
जब भार को $\rho_l$ घनत्व वाले तरल में डुबोया जाता है,तो प्रभावी गुरुत्व $g' = g(1 - \frac{\rho_l}{\rho_m})$ होता है,जहाँ $\rho_m$ भार का घनत्व है।
अतः,$f \propto \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}}$।
हवा में,$f_0 = 100 \ Hz$।
पानी में $(\rho_w = 1 \ g/cm^3)$,$f_w = 80 \ Hz \implies \frac{f_w}{f_0} = \frac{80}{100} = 0.8$।
इसलिए,$0.8 = \sqrt{1 - \frac{\rho_w}{\rho_m}} \implies 0.64 = 1 - \frac{\rho_w}{\rho_m} \implies \frac{\rho_w}{\rho_m} = 0.36$।
तरल में,$f_l = 60 \ Hz \implies \frac{f_l}{f_0} = \frac{60}{100} = 0.6$।
इसलिए,$0.6 = \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}} \implies 0.36 = 1 - \frac{\rho_l}{\rho_m} \implies \frac{\rho_l}{\rho_m} = 0.64$।
दोनों अनुपातों को विभाजित करने पर: $\frac{\rho_l}{\rho_w} = \frac{0.64}{0.36} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9} \approx 1.77$।
चूंकि विशिष्ट गुरुत्व $\frac{\rho_l}{\rho_w}$ होता है,इसलिए मान $1.77$ है।
जब भार को $\rho_l$ घनत्व वाले तरल में डुबोया जाता है,तो प्रभावी गुरुत्व $g' = g(1 - \frac{\rho_l}{\rho_m})$ होता है,जहाँ $\rho_m$ भार का घनत्व है।
अतः,$f \propto \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}}$।
हवा में,$f_0 = 100 \ Hz$।
पानी में $(\rho_w = 1 \ g/cm^3)$,$f_w = 80 \ Hz \implies \frac{f_w}{f_0} = \frac{80}{100} = 0.8$।
इसलिए,$0.8 = \sqrt{1 - \frac{\rho_w}{\rho_m}} \implies 0.64 = 1 - \frac{\rho_w}{\rho_m} \implies \frac{\rho_w}{\rho_m} = 0.36$।
तरल में,$f_l = 60 \ Hz \implies \frac{f_l}{f_0} = \frac{60}{100} = 0.6$।
इसलिए,$0.6 = \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}} \implies 0.36 = 1 - \frac{\rho_l}{\rho_m} \implies \frac{\rho_l}{\rho_m} = 0.64$।
दोनों अनुपातों को विभाजित करने पर: $\frac{\rho_l}{\rho_w} = \frac{0.64}{0.36} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9} \approx 1.77$।
चूंकि विशिष्ट गुरुत्व $\frac{\rho_l}{\rho_w}$ होता है,इसलिए मान $1.77$ है।
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EasyMCQ
$90\,cm$ लंबाई का एक गिटार का तार $120\,Hz$ की मूल आवृत्ति के साथ कंपन करता है। $180\,Hz$ की मूल आवृत्ति उत्पन्न करने के लिए तार की लंबाई $...........cm$ होगी।
A
$60$
B
$59$
C
$58$
D
$57$
Solution
(A) दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी के लिए,मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2\ell}$ है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $\ell$ तार की लंबाई है।
चूंकि $v$ तार के तनाव और रैखिक घनत्व पर निर्भर करता है,जो स्थिर रहते हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{\ell}$ होता है।
अतः,$f_1 \ell_1 = f_2 \ell_2$.
यहाँ $f_1 = 120\,Hz$,$\ell_1 = 90\,cm$,और $f_2 = 180\,Hz$ दिया गया है।
मान रखने पर: $120 \times 90 = 180 \times \ell_2$.
$\ell_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60\,cm$.
चूंकि $v$ तार के तनाव और रैखिक घनत्व पर निर्भर करता है,जो स्थिर रहते हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{\ell}$ होता है।
अतः,$f_1 \ell_1 = f_2 \ell_2$.
यहाँ $f_1 = 120\,Hz$,$\ell_1 = 90\,cm$,और $f_2 = 180\,Hz$ दिया गया है।
मान रखने पर: $120 \times 90 = 180 \times \ell_2$.
$\ell_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60\,cm$.
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MediumMCQ
$8 \times 10^3\,kg/m^3$ घनत्व वाला एक तार $0.5\,m$ की दूरी पर स्थित दो क्लैंप के बीच खींचा गया है। तार में उत्पन्न विस्तार $3.2 \times 10^{-4}\,m$ है। यदि $Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$ है,तो तार में कंपन की मूल आवृत्ति $......\,Hz$ होगी।
A
$80$
B
$60$
C
$40$
D
$20$
Solution
(A) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हम जानते हैं कि $T = Y A \frac{\Delta L}{L}$ और $\mu = \rho A$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इन मानों को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \Delta L / L}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \Delta L}{\rho L}}$.
दिए गए मान: $L = 0.5\,m$,$\Delta L = 3.2 \times 10^{-4}\,m$,$Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$,$\rho = 8 \times 10^3\,kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{8 \times 10^{10} \times 3.2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^3 \times 0.5}}$.
$f = 1 \times \sqrt{\frac{25.6 \times 10^6}{4 \times 10^3}} = \sqrt{6.4 \times 10^3} = \sqrt{6400} = 80\,Hz$.
यहाँ,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हम जानते हैं कि $T = Y A \frac{\Delta L}{L}$ और $\mu = \rho A$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इन मानों को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \Delta L / L}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \Delta L}{\rho L}}$.
दिए गए मान: $L = 0.5\,m$,$\Delta L = 3.2 \times 10^{-4}\,m$,$Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$,$\rho = 8 \times 10^3\,kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{8 \times 10^{10} \times 3.2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^3 \times 0.5}}$.
$f = 1 \times \sqrt{\frac{25.6 \times 10^6}{4 \times 10^3}} = \sqrt{6.4 \times 10^3} = \sqrt{6400} = 80\,Hz$.
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MediumMCQ
एक सोनोमीटर प्रयोग में,जब तार से $180\,g$ का द्रव्यमान जोड़ा जाता है,तो यह $30\,Hz$ की मूल आवृत्ति के साथ कंपन करता है। जब $m$ द्रव्यमान जोड़ा जाता है,तो तार $50\,Hz$ की मूल आवृत्ति के साथ कंपन करता है। $m$ का मान $.........\,g$ है।
A
$400$
B
$500$
C
$300$
D
$200$
Solution
(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $T = Mg$ (जहाँ $M$ लटकाया गया द्रव्यमान है),इसलिए $f \propto \sqrt{M}$ होता है।
अतः,$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दिया गया है $f_1 = 30\,Hz$,$M_1 = 180\,g$,$f_2 = 50\,Hz$,और $M_2 = m$.
मान रखने पर: $\frac{50}{30} = \sqrt{\frac{m}{180}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{m}{180} \Rightarrow \frac{25}{9} = \frac{m}{180}$.
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{25}{9} \times 180 = 25 \times 20 = 500\,g$.
चूँकि $T = Mg$ (जहाँ $M$ लटकाया गया द्रव्यमान है),इसलिए $f \propto \sqrt{M}$ होता है।
अतः,$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दिया गया है $f_1 = 30\,Hz$,$M_1 = 180\,g$,$f_2 = 50\,Hz$,और $M_2 = m$.
मान रखने पर: $\frac{50}{30} = \sqrt{\frac{m}{180}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{m}{180} \Rightarrow \frac{25}{9} = \frac{m}{180}$.
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{25}{9} \times 180 = 25 \times 20 = 500\,g$.
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DifficultMCQ
एक ट्यूनिंग फोर्क $1 \ m$ लंबाई के सोनोमीटर तार के साथ अनुनाद करता है,जो $6 \ N$ के तनाव के साथ खिंचा हुआ है। जब तार में तनाव बदलकर $54 \ N$ कर दिया जाता है,तो वही ट्यूनिंग फोर्क इसके साथ प्रति सेकंड $12$ बीट्स उत्पन्न करता है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $Hz$ में ज्ञात कीजिए।
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{T}$ होता है।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_0$ है।
$T_1 = 6 \ N$ के लिए,तार ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद करता है,इसलिए $f_1 = f_0 = k\sqrt{6}$,जहाँ $k = \frac{1}{2L\sqrt{\mu}}$ है।
$T_2 = 54 \ N$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_2 = k\sqrt{54} = k\sqrt{9 \times 6} = 3k\sqrt{6} = 3f_0$ होगी।
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या $|f_2 - f_0| = 12$ है।
$f_2 = 3f_0$ रखने पर,हमें $|3f_0 - f_0| = 12$ प्राप्त होता है।
$2f_0 = 12$,जिससे $f_0 = 6 \ Hz$ प्राप्त होता है।
चूँकि $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{T}$ होता है।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_0$ है।
$T_1 = 6 \ N$ के लिए,तार ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद करता है,इसलिए $f_1 = f_0 = k\sqrt{6}$,जहाँ $k = \frac{1}{2L\sqrt{\mu}}$ है।
$T_2 = 54 \ N$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_2 = k\sqrt{54} = k\sqrt{9 \times 6} = 3k\sqrt{6} = 3f_0$ होगी।
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या $|f_2 - f_0| = 12$ है।
$f_2 = 3f_0$ रखने पर,हमें $|3f_0 - f_0| = 12$ प्राप्त होता है।
$2f_0 = 12$,जिससे $f_0 = 6 \ Hz$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
एक सोनोमीटर तार की अनुनादी लंबाई $90 \ cm$ है और जब इसे कुछ तनाव में रखा जाता है तो इसकी मूल आवृत्ति $400 \ Hz$ होती है। समान तनाव के तहत $600 \ Hz$ की मूल आवृत्ति वाले तार की अनुनादी लंबाई . . . . . . $cm$ है।
A
$30$
B
$40$
C
$50$
D
$60$
Solution
(D) सोनोमीटर तार के लिए,मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $L$ अनुनादी लंबाई है।
चूँकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ स्थिर रहती है।
अतः,$f_0 L = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
दिया गया है $f_1 = 400 \ Hz$,$L_1 = 90 \ cm$,और $f_2 = 600 \ Hz$.
मान रखने पर: $400 \times 90 = 600 \times L_2$.
$L_2 = \frac{400 \times 90}{600} = \frac{36000}{600} = 60 \ cm$.
चूँकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ स्थिर रहती है।
अतः,$f_0 L = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
दिया गया है $f_1 = 400 \ Hz$,$L_1 = 90 \ cm$,और $f_2 = 600 \ Hz$.
मान रखने पर: $400 \times 90 = 600 \times L_2$.
$L_2 = \frac{400 \times 90}{600} = \frac{36000}{600} = 60 \ cm$.
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MediumMCQ
$1 \,m$ लंबाई और $2 \times 10^{-5} \,kg$ द्रव्यमान वाली एक डोरी $T$ तनाव के अधीन है। जब डोरी कंपन करती है, तो $750 \,Hz$ और $1000 \,Hz$ आवृत्तियों पर दो क्रमिक हार्मोनिक्स पाए जाते हैं। तनाव $T$ का मान . . . . . . न्यूटन है।
A
$3$
B
$5$
C
$10$
D
$15$
Solution
(B) $p$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_p = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है。
दिया गया है $L = 1 \,m$ और द्रव्यमान $m = 2 \times 10^{-5} \,kg$, इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = 2 \times 10^{-5} \,kg/m$.
मान लीजिए कि दो क्रमिक हार्मोनिक्स $p$ और $p+1$ हैं जिनकी आवृत्तियाँ $f_p = 750 \,Hz$ और $f_{p+1} = 1000 \,Hz$ हैं。
अतः, $750 = \frac{p}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (1)$ और $1000 = \frac{p+1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (2)$.
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर, $\frac{1000}{750} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow 4p = 3p + 3 \Rightarrow p = 3$.
$p=3$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $750 = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \Rightarrow 500 = \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $250000 = \frac{T}{2 \times 10^{-5}} \Rightarrow T = 250000 \times 2 \times 10^{-5} = 5 \,N$.
दिया गया है $L = 1 \,m$ और द्रव्यमान $m = 2 \times 10^{-5} \,kg$, इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = 2 \times 10^{-5} \,kg/m$.
मान लीजिए कि दो क्रमिक हार्मोनिक्स $p$ और $p+1$ हैं जिनकी आवृत्तियाँ $f_p = 750 \,Hz$ और $f_{p+1} = 1000 \,Hz$ हैं。
अतः, $750 = \frac{p}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (1)$ और $1000 = \frac{p+1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (2)$.
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर, $\frac{1000}{750} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow 4p = 3p + 3 \Rightarrow p = 3$.
$p=3$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $750 = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \Rightarrow 500 = \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $250000 = \frac{T}{2 \times 10^{-5}} \Rightarrow T = 250000 \times 2 \times 10^{-5} = 5 \,N$.
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Advanced
अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके निम्नलिखित के उत्तर दें।
एक संगीत वाद्ययंत्र चार अलग-अलग धातु के तारों $1, 2, 3$ और $4$ का उपयोग करके बनाया गया है,जिनकी प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान क्रमशः $\mu, 2\mu, 3\mu$ और $4\mu$ है। वाद्ययंत्र को $L_0$ और $2L_0$ की सीमा के बीच मुक्त लंबाई को बदलकर तारों को कंपन कराकर बजाया जाता है। यह पाया गया है कि तार-$1$ $(\mu)$ में मुक्त लंबाई $L_0$ और तनाव $T_0$ पर मूल मोड की आवृत्ति $f_0$ है।
$List-I$ उपरोक्त चार तार देता है जबकि $List-II$ कुछ राशियों का परिमाण सूचीबद्ध करता है।
$(1)$ यदि प्रत्येक तार में तनाव $T_0$ है,तो $f_0$ इकाइयों में मूल आवृत्ति के लिए सही मिलान होगा,
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$
$(2)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$
$(3)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow S, III \rightarrow R, IV \rightarrow P$
$(4)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow P, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(2)$ तारों $1, 2, 3$ और $4$ की लंबाई क्रमशः $L_0, 3L_0/2, 5L_0/4$ और $7L_0/4$ पर स्थिर रखी गई है। तारों $1, 2, 3$ और $4$ को क्रमशः उनके $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}$ और $14^{th}$ हार्मोनिक्स पर इस प्रकार कंपन कराया जाता है कि सभी तारों की आवृत्ति समान हो। $T_0$ की इकाइयों में चार तारों में तनाव के लिए सही मिलान होगा।
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow T, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow U$
$(3)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(4)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
एक संगीत वाद्ययंत्र चार अलग-अलग धातु के तारों $1, 2, 3$ और $4$ का उपयोग करके बनाया गया है,जिनकी प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान क्रमशः $\mu, 2\mu, 3\mu$ और $4\mu$ है। वाद्ययंत्र को $L_0$ और $2L_0$ की सीमा के बीच मुक्त लंबाई को बदलकर तारों को कंपन कराकर बजाया जाता है। यह पाया गया है कि तार-$1$ $(\mu)$ में मुक्त लंबाई $L_0$ और तनाव $T_0$ पर मूल मोड की आवृत्ति $f_0$ है।
$List-I$ उपरोक्त चार तार देता है जबकि $List-II$ कुछ राशियों का परिमाण सूचीबद्ध करता है।
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ तार-$1$ $(\mu)$ | $(P) 1$ |
| $(II)$ तार-$2$ $(2\mu)$ | $(Q) 1/2$ |
| $(III)$ तार-$3$ $(3\mu)$ | $(R) 1/\sqrt{2}$ |
| $(IV)$ तार-$4$ $(4\mu)$ | $(S) 1/\sqrt{3}$ |
| $(T) 3/16$ | |
| $(U) 1/16$ |
$(1)$ यदि प्रत्येक तार में तनाव $T_0$ है,तो $f_0$ इकाइयों में मूल आवृत्ति के लिए सही मिलान होगा,
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$
$(2)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$
$(3)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow S, III \rightarrow R, IV \rightarrow P$
$(4)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow P, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(2)$ तारों $1, 2, 3$ और $4$ की लंबाई क्रमशः $L_0, 3L_0/2, 5L_0/4$ और $7L_0/4$ पर स्थिर रखी गई है। तारों $1, 2, 3$ और $4$ को क्रमशः उनके $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}$ और $14^{th}$ हार्मोनिक्स पर इस प्रकार कंपन कराया जाता है कि सभी तारों की आवृत्ति समान हो। $T_0$ की इकाइयों में चार तारों में तनाव के लिए सही मिलान होगा।
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow T, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow U$
$(3)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(4)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
Solution
(A) मूल मोड के लिए,आवृत्ति $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
$(1)$ $T = T_0$ और $L = L_0$ के साथ,$f_n = \frac{n}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu_n}}$।
तार $1$ के लिए: $f_1 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = f_0 \rightarrow (P)$।
तार $2$ के लिए: $f_2 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{2\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{2}} \rightarrow (R)$।
तार $3$ के लिए: $f_3 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{3\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{3}} \rightarrow (S)$।
तार $4$ के लिए: $f_4 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{4\mu}} = \frac{f_0}{2} \rightarrow (Q)$।
अतः,$I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$।
$(2)$ सभी तारों के लिए $f = f_0$ दिया गया है।
तार $1$ के लिए: $f_0 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = f_0 \Rightarrow T_1 = T_0 \rightarrow (P)$।
तार $2$ के लिए: $f_0 = \frac{3}{2(3L_0/2)} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = \frac{1}{L_0} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = f_0 \Rightarrow T_2 = T_0/2 \rightarrow (Q)$।
तार $3$ के लिए: $f_0 = \frac{5}{2(5L_0/4)} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = \frac{2}{L_0} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = f_0 \Rightarrow T_3 = 3T_0/16 \rightarrow (T)$।
तार $4$ के लिए: $f_0 = \frac{14}{2(7L_0/4)} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = \frac{4}{L_0} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = f_0 \Rightarrow T_4 = T_0/16 \rightarrow (U)$।
अतः,$I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$।
$(1)$ $T = T_0$ और $L = L_0$ के साथ,$f_n = \frac{n}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu_n}}$।
तार $1$ के लिए: $f_1 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = f_0 \rightarrow (P)$।
तार $2$ के लिए: $f_2 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{2\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{2}} \rightarrow (R)$।
तार $3$ के लिए: $f_3 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{3\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{3}} \rightarrow (S)$।
तार $4$ के लिए: $f_4 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{4\mu}} = \frac{f_0}{2} \rightarrow (Q)$।
अतः,$I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$।
$(2)$ सभी तारों के लिए $f = f_0$ दिया गया है।
तार $1$ के लिए: $f_0 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = f_0 \Rightarrow T_1 = T_0 \rightarrow (P)$।
तार $2$ के लिए: $f_0 = \frac{3}{2(3L_0/2)} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = \frac{1}{L_0} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = f_0 \Rightarrow T_2 = T_0/2 \rightarrow (Q)$।
तार $3$ के लिए: $f_0 = \frac{5}{2(5L_0/4)} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = \frac{2}{L_0} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = f_0 \Rightarrow T_3 = 3T_0/16 \rightarrow (T)$।
तार $4$ के लिए: $f_0 = \frac{14}{2(7L_0/4)} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = \frac{4}{L_0} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = f_0 \Rightarrow T_4 = T_0/16 \rightarrow (U)$।
अतः,$I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$।
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DifficultMCQ
दो सिरों पर बंधी एक क्षैतिज तनी हुई डोरी अपने पांचवें हार्मोनिक में समीकरण $y(x, t) = (0.01 \ m) \sin[(62.8 \ m^{-1}) x] \cos[(628 \ s^{-1}) t]$ के अनुसार कंपन कर रही है। $\pi = 3.14$ मानते हुए,सही कथन है (हैं) :
$(A)$ नोड्स की संख्या $5$ है।
$(B)$ डोरी की लंबाई $0.25 \ m$ है।
$(C)$ डोरी के मध्य बिंदु का उसकी साम्यावस्था से अधिकतम विस्थापन $0.01 \ m$ है।
$(D)$ मूल आवृत्ति $100 \ Hz$ है।
$(A)$ नोड्स की संख्या $5$ है।
$(B)$ डोरी की लंबाई $0.25 \ m$ है।
$(C)$ डोरी के मध्य बिंदु का उसकी साम्यावस्था से अधिकतम विस्थापन $0.01 \ m$ है।
$(D)$ मूल आवृत्ति $100 \ Hz$ है।
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) दिया गया समीकरण $y(x, t) = (0.01 \ m) \sin(62.8x) \cos(628t)$ है।
$(A)$ $n$-वें हार्मोनिक के लिए,लूप्स की संख्या $n = 5$ है। नोड्स की संख्या $n + 1 = 5 + 1 = 6$ होती है। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ तरंग संख्या $k = 62.8 \ m^{-1}$ है। चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{62.8} = 0.1 \ m$। $5$-वें हार्मोनिक के लिए,डोरी की लंबाई $L = \frac{5\lambda}{2} = \frac{5 \times 0.1}{2} = 0.25 \ m$ है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ अप्रगामी तरंग का आयाम $A(x) = 0.01 \sin(62.8x)$ है। मध्य बिंदु $x = \frac{L}{2} = 0.125 \ m$ पर,$A(0.125) = 0.01 \sin(62.8 \times 0.125) = 0.01 \sin(7.85) \approx 0.01 \sin(2.5\pi) = 0.01 \times 1 = 0.01 \ m$। अतः,कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ कोणीय आवृत्ति $\omega = 628 \ rad/s$ है। आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{628}{2 \times 3.14} = 100 \ Hz$ है। मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{f}{n} = \frac{100}{5} = 20 \ Hz$ है। अतः,कथन $(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।
$(A)$ $n$-वें हार्मोनिक के लिए,लूप्स की संख्या $n = 5$ है। नोड्स की संख्या $n + 1 = 5 + 1 = 6$ होती है। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ तरंग संख्या $k = 62.8 \ m^{-1}$ है। चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{62.8} = 0.1 \ m$। $5$-वें हार्मोनिक के लिए,डोरी की लंबाई $L = \frac{5\lambda}{2} = \frac{5 \times 0.1}{2} = 0.25 \ m$ है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ अप्रगामी तरंग का आयाम $A(x) = 0.01 \sin(62.8x)$ है। मध्य बिंदु $x = \frac{L}{2} = 0.125 \ m$ पर,$A(0.125) = 0.01 \sin(62.8 \times 0.125) = 0.01 \sin(7.85) \approx 0.01 \sin(2.5\pi) = 0.01 \times 1 = 0.01 \ m$। अतः,कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ कोणीय आवृत्ति $\omega = 628 \ rad/s$ है। आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{628}{2 \times 3.14} = 100 \ Hz$ है। मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{f}{n} = \frac{100}{5} = 20 \ Hz$ है। अतः,कथन $(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।
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MediumMCQ
दो दृढ़ आधारों के बीच खींचा गया एक तार अपने मूल विधा (fundamental mode) में $25 \ Hz$ की आवृत्ति के साथ कंपन करता है। तार का द्रव्यमान $2 \ g$ है और इसका रैखिक द्रव्यमान घनत्व $4 \times 10^{-3} \ kg/m$ है। तार में तनाव कितना है ($N$ में)?
A
$5$
B
$10$
C
$2.5$
D
$20$
Solution
(C) खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
दिया गया है: $n = 25 \ Hz$,$m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,और $\mu = 4 \times 10^{-3} \ kg/m$.
सबसे पहले,$\mu = \frac{m}{L}$ संबंध का उपयोग करके तार की लंबाई $L$ ज्ञात करें:
$L = \frac{m}{\mu} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{4 \times 10^{-3} \ kg/m} = 0.5 \ m$.
अब,मानों को आवृत्ति के सूत्र में रखें:
$25 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
$25 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$625 = \frac{T}{4 \times 10^{-3}}$
$T = 625 \times 4 \times 10^{-3} = 2500 \times 10^{-3} = 2.5 \ N$.
दिया गया है: $n = 25 \ Hz$,$m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,और $\mu = 4 \times 10^{-3} \ kg/m$.
सबसे पहले,$\mu = \frac{m}{L}$ संबंध का उपयोग करके तार की लंबाई $L$ ज्ञात करें:
$L = \frac{m}{\mu} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{4 \times 10^{-3} \ kg/m} = 0.5 \ m$.
अब,मानों को आवृत्ति के सूत्र में रखें:
$25 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
$25 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$625 = \frac{T}{4 \times 10^{-3}}$
$T = 625 \times 4 \times 10^{-3} = 2500 \times 10^{-3} = 2.5 \ N$.
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MediumMCQ
समान पदार्थ की दो कंपन करती डोरियाँ $A$ और $B$ जिनकी लंबाई क्रमशः $3 L$ और $2 L$ है,उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $2 r$ और $3 r$ हैं। वे समान तनाव के तहत खींची गई हैं। डोरी $A$ दूसरे ओवरटोन में और डोरी $B$ मूल विधा (fundamental mode) में कंपन करती है। उनकी आवृत्तियों का अनुपात $n_A / n_B$ क्या होगा?
A
$2: 1$
B
$3: 1$
C
$4: 1$
D
$3: 2$
Solution
(B) कंपन करती डोरी की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = \rho \pi r^2$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि पदार्थ समान है,घनत्व $\rho$ स्थिर है। तनाव $T$ भी स्थिर है,इसलिए आवृत्ति $n \propto \frac{p}{Lr}$ है।
डोरी $A$ के लिए: लंबाई $L_A = 3L$,त्रिज्या $r_A = 2r$,और यह दूसरे ओवरटोन में कंपन करती है,इसलिए $p_A = 3$.
अतः,$n_A \propto \frac{3}{(3L)(2r)} = \frac{1}{2Lr}$.
डोरी $B$ के लिए: लंबाई $L_B = 2L$,त्रिज्या $r_B = 3r$,और यह मूल विधा में कंपन करती है,इसलिए $p_B = 1$.
अतः,$n_B \propto \frac{1}{(2L)(3r)} = \frac{1}{6Lr}$.
अनुपात $\frac{n_A}{n_B} = \frac{1/2Lr}{1/6Lr} = \frac{6}{2} = 3$.
इसलिए,अनुपात $n_A / n_B = 3: 1$ है।
चूँकि पदार्थ समान है,घनत्व $\rho$ स्थिर है। तनाव $T$ भी स्थिर है,इसलिए आवृत्ति $n \propto \frac{p}{Lr}$ है।
डोरी $A$ के लिए: लंबाई $L_A = 3L$,त्रिज्या $r_A = 2r$,और यह दूसरे ओवरटोन में कंपन करती है,इसलिए $p_A = 3$.
अतः,$n_A \propto \frac{3}{(3L)(2r)} = \frac{1}{2Lr}$.
डोरी $B$ के लिए: लंबाई $L_B = 2L$,त्रिज्या $r_B = 3r$,और यह मूल विधा में कंपन करती है,इसलिए $p_B = 1$.
अतः,$n_B \propto \frac{1}{(2L)(3r)} = \frac{1}{6Lr}$.
अनुपात $\frac{n_A}{n_B} = \frac{1/2Lr}{1/6Lr} = \frac{6}{2} = 3$.
इसलिए,अनुपात $n_A / n_B = 3: 1$ है।
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DifficultMCQ
एक सोनोमीटर तार की लंबाई या तो $95 \ cm$ है या $100 \ cm$ है। दोनों स्थितियों में,एक ट्यूनिंग फोर्क तार के साथ $5 \ beats/sec$ उत्पन्न करता है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति क्या है ($Hz$ में)?
A
$192$
B
$195$
C
$190$
D
$200$
Solution
(B) सोनोमीटर तार की आवृत्ति का सूत्र $f_w = \frac{v}{2L}$ है।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क दोनों स्थितियों में $5 \ beats/sec$ उत्पन्न करता है,इसलिए तार की आवृत्ति $f_w$ या तो $(f + 5)$ होगी या $(f - 5)$ होगी।
कम लंबाई $(95 \ cm)$ के लिए आवृत्ति अधिक होगी: $f_1 = \frac{v}{2 \times 0.95} = f + 5 \dots (1)$
अधिक लंबाई $(100 \ cm)$ के लिए आवृत्ति कम होगी: $f_2 = \frac{v}{2 \times 1.00} = f - 5 \dots (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f+5}{f-5} = \frac{1.00}{0.95} = \frac{100}{95} = \frac{20}{19}$
$19(f + 5) = 20(f - 5)$
$19f + 95 = 20f - 100$
$f = 195 \ Hz$.
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क दोनों स्थितियों में $5 \ beats/sec$ उत्पन्न करता है,इसलिए तार की आवृत्ति $f_w$ या तो $(f + 5)$ होगी या $(f - 5)$ होगी।
कम लंबाई $(95 \ cm)$ के लिए आवृत्ति अधिक होगी: $f_1 = \frac{v}{2 \times 0.95} = f + 5 \dots (1)$
अधिक लंबाई $(100 \ cm)$ के लिए आवृत्ति कम होगी: $f_2 = \frac{v}{2 \times 1.00} = f - 5 \dots (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f+5}{f-5} = \frac{1.00}{0.95} = \frac{100}{95} = \frac{20}{19}$
$19(f + 5) = 20(f - 5)$
$19f + 95 = 20f - 100$
$f = 195 \ Hz$.
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MediumMCQ
एक ट्यूनिंग फोर्क $48 \ cm$ लंबाई के सोनोमीटर तार के साथ बजाए जाने पर प्रति सेकंड $4$ बीट्स उत्पन्न करता है। जब तार की लंबाई $50 \ cm$ कर दी जाती है और तनाव समान रखा जाता है,तब भी यह प्रति सेकंड $4$ बीट्स उत्पन्न करता है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $Hz$ में क्या है?
A
$196$
B
$284$
C
$375$
D
$460$
Solution
(A) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ स्थिर है क्योंकि तनाव स्थिर है। अतः,$f \propto \frac{1}{L}$,जिसका अर्थ है कि $fL = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है।
$L_1 = 48 \ cm$ लंबाई के लिए,तार की आवृत्ति $f_1 = \frac{k}{48}$ है। यह $4$ बीट्स उत्पन्न करता है,इसलिए $f_1 = f + 4$ या $f_1 = f - 4$ होगा। चूंकि $L_1 < L_2$,इसलिए $f_1 > f_2$ होगा,अतः $f_1 = f + 4$।
$L_2 = 50 \ cm$ लंबाई के लिए,तार की आवृत्ति $f_2 = \frac{k}{50}$ है। यह $4$ बीट्स उत्पन्न करता है,इसलिए $f_2 = f - 4$ होगा।
अतः,$f_1 L_1 = f_2 L_2 \implies (f + 4) \times 48 = (f - 4) \times 50$.
$48f + 192 = 50f - 200$.
$2f = 392$.
$f = 196 \ Hz$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है।
$L_1 = 48 \ cm$ लंबाई के लिए,तार की आवृत्ति $f_1 = \frac{k}{48}$ है। यह $4$ बीट्स उत्पन्न करता है,इसलिए $f_1 = f + 4$ या $f_1 = f - 4$ होगा। चूंकि $L_1 < L_2$,इसलिए $f_1 > f_2$ होगा,अतः $f_1 = f + 4$।
$L_2 = 50 \ cm$ लंबाई के लिए,तार की आवृत्ति $f_2 = \frac{k}{50}$ है। यह $4$ बीट्स उत्पन्न करता है,इसलिए $f_2 = f - 4$ होगा।
अतः,$f_1 L_1 = f_2 L_2 \implies (f + 4) \times 48 = (f - 4) \times 50$.
$48f + 192 = 50f - 200$.
$2f = 392$.
$f = 196 \ Hz$.
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DifficultMCQ
$1 \ m$ लंबाई और $0.1 \ kg$ द्रव्यमान का एक स्टील का तार,जिसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $10^{-6} \ m^2$ है,दोनों सिरों पर मजबूती से कसा हुआ है। तार का तापमान $20^{\circ} C$ कम कर दिया जाता है। यदि तार अपनी मूल विधा (fundamental mode) में कंपन कर रहा है,तो आवृत्ति ($Hz$ में) ज्ञात कीजिए।
$(Y_{\text{steel}} = 2 \times 10^{11} \ N/m^2, \alpha_{\text{steel}} = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C)$
$(Y_{\text{steel}} = 2 \times 10^{11} \ N/m^2, \alpha_{\text{steel}} = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C)$
A
$11$
B
$20$
C
$15$
D
$10$
Solution
(A) तापमान में परिवर्तन $\Delta t$ के कारण उत्पन्न तापीय विकृति (Strain) $\text{Strain} = \alpha \Delta t$ द्वारा दी जाती है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,तापीय प्रतिबल (Stress) $\text{Stress} = Y \times \text{Strain} = Y \alpha \Delta t$ होता है।
तार में तनाव $T = \text{Area} \times \text{Stress} = A Y \alpha \Delta t$ है।
यहाँ $A = 10^{-6} \ m^2$,$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\alpha = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,और $\Delta t = 20^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए:
$T = 10^{-6} \times 2 \times 10^{11} \times 1.21 \times 10^{-5} \times 20 = 48.4 \ N$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1 \ kg}{1 \ m} = 0.1 \ kg/m$.
मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $f = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{48.4}{0.1}} = \frac{1}{2} \sqrt{484} = \frac{22}{2} = 11 \ Hz$.
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,तापीय प्रतिबल (Stress) $\text{Stress} = Y \times \text{Strain} = Y \alpha \Delta t$ होता है।
तार में तनाव $T = \text{Area} \times \text{Stress} = A Y \alpha \Delta t$ है।
यहाँ $A = 10^{-6} \ m^2$,$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\alpha = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,और $\Delta t = 20^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए:
$T = 10^{-6} \times 2 \times 10^{11} \times 1.21 \times 10^{-5} \times 20 = 48.4 \ N$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1 \ kg}{1 \ m} = 0.1 \ kg/m$.
मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $f = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{48.4}{0.1}} = \frac{1}{2} \sqrt{484} = \frac{22}{2} = 11 \ Hz$.
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एक वायलिन $T$ तनाव के तहत $n_1$ आवृत्ति की ध्वनि तरंगें उत्सर्जित करता है। जब लंबाई और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान को स्थिर रखते हुए तनाव को $44\%$ बढ़ा दिया जाता है,तो ध्वनि तरंगों की आवृत्ति $n_2$ हो जाती है। आवृत्ति $n_2$ और आवृत्ति $n_1$ का अनुपात क्या है?
A
$5: 6$
B
$6: 7$
C
$6: 5$
D
$7: 6$
Solution
(C) तनी हुई डोरी की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,आवृत्ति $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ है।
जब तनाव को $44\%$ बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
$n_2$ और $n_1$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}} = \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
$1.2$ को भिन्न में बदलने पर,हमें $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2:n_1$ का अनुपात $6:5$ है।
प्रारंभ में,आवृत्ति $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ है।
जब तनाव को $44\%$ बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
$n_2$ और $n_1$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}} = \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
$1.2$ को भिन्न में बदलने पर,हमें $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2:n_1$ का अनुपात $6:5$ है।
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MediumMCQ
जब $l$ लंबाई की एक डोरी को $l_1, l_2$ और $l_3$ लंबाई के तीन खंडों में विभाजित किया जाता है,तो तीनों खंडों की मूल आवृत्तियाँ क्रमशः $n_1, n_2$ और $n_3$ हैं। डोरी की मूल आवृत्ति $n$ क्या होगी?
A
$n = n_1 + n_2 + n_3$
B
$\sqrt{n} = \sqrt{n_1} + \sqrt{n_2} + \sqrt{n_3}$
C
$\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$
D
$\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n_1}} + \frac{1}{\sqrt{n_2}} + \frac{1}{\sqrt{n_3}}$
Solution
(C) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $T$ और $\mu$ खंडों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $nl = k$ (स्थिरांक)।
दिया गया है कि कुल लंबाई $l = l_1 + l_2 + l_3$,इसलिए प्रत्येक खंड की लंबाई $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,और $l_3 = \frac{k}{n_3}$ के रूप में लिखी जा सकती है।
मूल लंबाई $l = \frac{k}{n}$ है।
इन मानों को लंबाई के समीकरण में रखने पर: $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$।
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $T$ और $\mu$ खंडों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $nl = k$ (स्थिरांक)।
दिया गया है कि कुल लंबाई $l = l_1 + l_2 + l_3$,इसलिए प्रत्येक खंड की लंबाई $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,और $l_3 = \frac{k}{n_3}$ के रूप में लिखी जा सकती है।
मूल लंबाई $l = \frac{k}{n}$ है।
इन मानों को लंबाई के समीकरण में रखने पर: $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$।
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ प्राप्त होता है।
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$260 \ cm$ लंबाई के एक खींचे हुए तार को कंपन में सेट किया जाता है। इसे तीन खंडों में विभाजित किया गया है जिनकी आवृत्तियों का अनुपात $2:3:4$ है। उनकी लंबाई क्या होनी चाहिए?
A
$80 \ cm, 60 \ cm, 120 \ cm$
B
$120 \ cm, 80 \ cm, 60 \ cm$
C
$60 \ cm, 80 \ cm, 120 \ cm$
D
$120 \ cm, 60 \ cm, 80 \ cm$
Solution
(B) एक खींचे हुए तार द्वारा उत्पन्न आवृत्ति $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$p$ लूपों की संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि एक ही तार के लिए $T$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास $f \propto \frac{1}{l}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 = 2 : 3 : 4$ दिया गया है,इसलिए लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ होगा।
लघुत्तम समापवर्त्य $(12)$ से गुणा करने पर,हमें $l_1 : l_2 : l_3 = 6 : 4 : 3$ प्राप्त होता है।
अनुपात के भागों का योग $6 + 4 + 3 = 13$ है।
कुल लंबाई $L = 260 \ cm$ दी गई है,इसलिए व्यक्तिगत लंबाई इस प्रकार है:
$l_1 = \frac{6}{13} \times 260 = 120 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{13} \times 260 = 80 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{13} \times 260 = 60 \ cm$.
यहाँ,$p$ लूपों की संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि एक ही तार के लिए $T$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास $f \propto \frac{1}{l}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 = 2 : 3 : 4$ दिया गया है,इसलिए लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ होगा।
लघुत्तम समापवर्त्य $(12)$ से गुणा करने पर,हमें $l_1 : l_2 : l_3 = 6 : 4 : 3$ प्राप्त होता है।
अनुपात के भागों का योग $6 + 4 + 3 = 13$ है।
कुल लंबाई $L = 260 \ cm$ दी गई है,इसलिए व्यक्तिगत लंबाई इस प्रकार है:
$l_1 = \frac{6}{13} \times 260 = 120 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{13} \times 260 = 80 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{13} \times 260 = 60 \ cm$.
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$49 \ cm$ लंबा एक सोनोमीटर तार '$n$' आवृत्ति वाले ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में है। यदि तार की लंबाई $1 \ cm$ कम कर दी जाए और इसे उसी ट्यूनिंग फोर्क के साथ कंपित किया जाए,तो प्रति सेकंड $6$ बीट्स सुनाई देते हैं। '$n$' का मान है ($Hz$ में)
A
$256$
B
$288$
C
$320$
D
$384$
Solution
(B) सोनोमीटर तार के लिए,आवृत्ति $n$ लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(n \propto 1/L)$,इसलिए $n_1 L_1 = n_2 L_2$।
यहाँ $L_1 = 49 \ cm$ और $L_2 = 48 \ cm$ है,और प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ है।
अतः $n \times 49 = n_2 \times 48$,जिससे $n_2 = \frac{49}{48} n$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंबाई कम हो गई है,आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए $n_2 > n_1$।
बीट आवृत्ति $n_2 - n_1 = 6$ दी गई है।
$n_2$ का मान रखने पर: $\frac{49}{48} n - n = 6$।
$\frac{n}{48} = 6$।
$n = 6 \times 48 = 288 \ Hz$।
यहाँ $L_1 = 49 \ cm$ और $L_2 = 48 \ cm$ है,और प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ है।
अतः $n \times 49 = n_2 \times 48$,जिससे $n_2 = \frac{49}{48} n$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंबाई कम हो गई है,आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए $n_2 > n_1$।
बीट आवृत्ति $n_2 - n_1 = 6$ दी गई है।
$n_2$ का मान रखने पर: $\frac{49}{48} n - n = 6$।
$\frac{n}{48} = 6$।
$n = 6 \times 48 = 288 \ Hz$।
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DifficultMCQ
पृथ्वी के ध्रुवों पर,एक निश्चित लंबाई का खिंचा हुआ तार एक ट्यूनिंग फोर्क के साथ एकसमान कंपन करता है। पृथ्वी की भूमध्य रेखा पर,समान सेटिंग के लिए,उसी ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद उत्पन्न करने के लिए,तार की कंपन लंबाई
A
कम की जानी चाहिए।
B
बढ़ाई जानी चाहिए।
C
समान रहनी चाहिए।
D
मूल लंबाई की तीन गुनी होनी चाहिए।
Solution
(A) एक खिंचे हुए तार की कंपन आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T$ तार में तनाव है,जो उस पर लटके द्रव्यमान $M$ के भार द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = Mg$।
अतः,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$।
समान ट्यूनिंग फोर्क के साथ आवृत्ति $n$ को स्थिर रखने के लिए,हमारे पास $\frac{1}{l} \sqrt{g} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसका अर्थ है $l \propto \sqrt{g}$।
चूंकि पृथ्वी के ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ $(g_p)$,भूमध्य रेखा $(g_e)$ की तुलना में अधिक होता है,अर्थात $g_p > g_e$,इसलिए लंबाई $l$ को तदनुसार समायोजित करना होगा।
भूमध्य रेखा पर जहाँ $g$ कम है,समान आवृत्ति बनाए रखने के लिए,$g$ में कमी की भरपाई करने के लिए लंबाई $l$ को कम किया जाना चाहिए ताकि अनुपात $\frac{\sqrt{g}}{l}$ स्थिर रहे।
इसलिए,तार की कंपन लंबाई कम की जानी चाहिए।
यहाँ,$T$ तार में तनाव है,जो उस पर लटके द्रव्यमान $M$ के भार द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = Mg$।
अतः,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$।
समान ट्यूनिंग फोर्क के साथ आवृत्ति $n$ को स्थिर रखने के लिए,हमारे पास $\frac{1}{l} \sqrt{g} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसका अर्थ है $l \propto \sqrt{g}$।
चूंकि पृथ्वी के ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ $(g_p)$,भूमध्य रेखा $(g_e)$ की तुलना में अधिक होता है,अर्थात $g_p > g_e$,इसलिए लंबाई $l$ को तदनुसार समायोजित करना होगा।
भूमध्य रेखा पर जहाँ $g$ कम है,समान आवृत्ति बनाए रखने के लिए,$g$ में कमी की भरपाई करने के लिए लंबाई $l$ को कम किया जाना चाहिए ताकि अनुपात $\frac{\sqrt{g}}{l}$ स्थिर रहे।
इसलिए,तार की कंपन लंबाई कम की जानी चाहिए।
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EasyMCQ
ध्रुवों पर,एक निश्चित लंबाई का खिंचा हुआ तार एक ट्यूनिंग फोर्क के साथ एकसमान कंपन करता है। भूमध्य रेखा पर,उसी ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद उत्पन्न करने के लिए तार की कंपन लंबाई
A
बढ़ाई जानी चाहिए।
B
मूल लंबाई की $3$ गुनी होनी चाहिए।
C
समान होनी चाहिए।
D
घटाई जानी चाहिए।
Solution
(D) खिंचे हुए तार की कंपन आवृत्ति $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए कि तनाव $T$ तार से लटके द्रव्यमान $M$ द्वारा प्रदान किया जाता है,तो $T = Mg$ और $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
मान लीजिए कि $\ell_1$ और $g_1$ ध्रुवों पर लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण हैं,और $\ell_2$ और $g_2$ भूमध्य रेखा पर लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण हैं।
चूंकि समान ट्यूनिंग फोर्क के लिए आवृत्ति $n$ समान रहती है,इसलिए $\frac{1}{2\ell_1} \sqrt{\frac{Mg_1}{m}} = \frac{1}{2\ell_2} \sqrt{\frac{Mg_2}{m}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{\sqrt{g_1}}{\ell_1} = \frac{\sqrt{g_2}}{\ell_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$.
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण ध्रुवों पर भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है $(g_1 > g_2)$,इसलिए $\ell_1 > \ell_2$ होता है।
अतः,भूमध्य रेखा पर अनुनाद बनाए रखने के लिए तार की कंपन लंबाई को घटाया जाना चाहिए।
मान लीजिए कि तनाव $T$ तार से लटके द्रव्यमान $M$ द्वारा प्रदान किया जाता है,तो $T = Mg$ और $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
मान लीजिए कि $\ell_1$ और $g_1$ ध्रुवों पर लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण हैं,और $\ell_2$ और $g_2$ भूमध्य रेखा पर लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण हैं।
चूंकि समान ट्यूनिंग फोर्क के लिए आवृत्ति $n$ समान रहती है,इसलिए $\frac{1}{2\ell_1} \sqrt{\frac{Mg_1}{m}} = \frac{1}{2\ell_2} \sqrt{\frac{Mg_2}{m}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{\sqrt{g_1}}{\ell_1} = \frac{\sqrt{g_2}}{\ell_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$.
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण ध्रुवों पर भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है $(g_1 > g_2)$,इसलिए $\ell_1 > \ell_2$ होता है।
अतः,भूमध्य रेखा पर अनुनाद बनाए रखने के लिए तार की कंपन लंबाई को घटाया जाना चाहिए।
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EasyMCQ
एक सोनोमीटर प्रयोग में,तनाव के तहत $L$ लंबाई की एक डोरी दो पुलों के बीच अपने दूसरे ओवरटोन में कंपन करती है। कंपन का आयाम कहाँ अधिकतम होता है?
A
$\frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \frac{5L}{6}$
B
$\frac{L}{8}, \frac{L}{4}, \frac{L}{2}$
C
$\frac{L}{2}, \frac{L}{4}, \frac{L}{6}$
D
$\frac{L}{3}, \frac{2L}{3}, \frac{5L}{6}$
Solution
(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के दूसरे ओवरटोन में,डोरी $3$ लूप्स (खंडों) में कंपन करती है।
$L$ लंबाई की डोरी के लिए जो $n$ लूप्स में कंपन करती है,एंटीनोड्स (जहाँ आयाम अधिकतम होता है) की स्थिति $x = \frac{(2k-1)L}{2n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = 1, 2, ..., n$ है।
यहाँ,$n = 3$ (दूसरा ओवरटोन $3$ रा हार्मोनिक है)।
$k = 1$ के लिए: $x_1 = \frac{(2(1)-1)L}{2(3)} = \frac{L}{6}$.
$k = 2$ के लिए: $x_2 = \frac{(2(2)-1)L}{2(3)} = \frac{3L}{6} = \frac{L}{2}$.
$k = 3$ के लिए: $x_3 = \frac{(2(3)-1)L}{2(3)} = \frac{5L}{6}$.
अतः,आयाम $\frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \text{ और } \frac{5L}{6}$ पर अधिकतम है।
$L$ लंबाई की डोरी के लिए जो $n$ लूप्स में कंपन करती है,एंटीनोड्स (जहाँ आयाम अधिकतम होता है) की स्थिति $x = \frac{(2k-1)L}{2n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = 1, 2, ..., n$ है।
यहाँ,$n = 3$ (दूसरा ओवरटोन $3$ रा हार्मोनिक है)।
$k = 1$ के लिए: $x_1 = \frac{(2(1)-1)L}{2(3)} = \frac{L}{6}$.
$k = 2$ के लिए: $x_2 = \frac{(2(2)-1)L}{2(3)} = \frac{3L}{6} = \frac{L}{2}$.
$k = 3$ के लिए: $x_3 = \frac{(2(3)-1)L}{2(3)} = \frac{5L}{6}$.
अतः,आयाम $\frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \text{ और } \frac{5L}{6}$ पर अधिकतम है।
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EasyMCQ
$80 \,cm$ लंबाई की एक तनी हुई डोरी पर एक अप्रगामी तरंग उत्पन्न होती है। डोरी की अनुनादी आवृत्तियाँ $90 \,Hz$, $150 \,Hz$ और $210 \,Hz$ हैं। डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की चाल क्या है ($\,m/s$ में)?
A
$45$
B
$75$
C
$48$
D
$80$
Solution
(C) अनुनादी आवृत्तियाँ $f_1 = 90 \,Hz$, $f_2 = 150 \,Hz$ और $f_3 = 210 \,Hz$ दी गई हैं।
क्रमागत आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = 60 \,Hz$ है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए, मूल आवृत्ति $f_0 = 30 \,Hz$ है क्योंकि $90 = 3 \times 30$, $150 = 5 \times 30$, $210 = 7 \times 30$ है।
सूत्र $f_n = \frac{n v}{2L}$ का उपयोग करने पर, $n=3$ के लिए $f_3 = \frac{3v}{2L} = 90 \,Hz$.
यहाँ $L = 0.8 \,m$ है, इसलिए $90 = \frac{3v}{2 \times 0.8}$.
$90 = \frac{3v}{1.6} \implies 3v = 144 \implies v = 48 \,m/s$.
क्रमागत आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = 60 \,Hz$ है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए, मूल आवृत्ति $f_0 = 30 \,Hz$ है क्योंकि $90 = 3 \times 30$, $150 = 5 \times 30$, $210 = 7 \times 30$ है।
सूत्र $f_n = \frac{n v}{2L}$ का उपयोग करने पर, $n=3$ के लिए $f_3 = \frac{3v}{2L} = 90 \,Hz$.
यहाँ $L = 0.8 \,m$ है, इसलिए $90 = \frac{3v}{2 \times 0.8}$.
$90 = \frac{3v}{1.6} \implies 3v = 144 \implies v = 48 \,m/s$.
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MediumMCQ
मेल्डे के प्रयोग में,जब तनाव $0.009 \ kg-wt$ कम हो जाता है,तो लूप्स की संख्या $4$ से बदलकर $5$ हो जाती है। प्रारंभिक तनाव है
A
$0.036 \ kg-wt$.
B
$0.009 \ kg-wt$.
C
$0.018 \ kg-wt$.
D
$0.025 \ kg-wt$.
Solution
(D) मेल्डे के प्रयोग में,कंपन करती हुई डोरी की आवृत्ति $f = \frac{P}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ लूप्स की संख्या है,$T$ तनाव है,$L$ लंबाई है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि आवृत्ति $f$ और लंबाई $L$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $P \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$,जिसका अर्थ है $T P^{2} = \text{स्थिरांक}$।
माना प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और अंतिम तनाव $T_2 = T_1 - 0.009 \ kg-wt$ है।
दिया गया है $P_1 = 4$ और $P_2 = 5$।
संबंध $T_1 P_1^{2} = T_2 P_2^{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_1 (4)^{2} = (T_1 - 0.009) (5)^{2}$
$16 T_1 = 25 T_1 - 0.009 \times 25$
$25 T_1 - 16 T_1 = 0.225$
$9 T_1 = 0.225$
$T_1 = \frac{0.225}{9} = 0.025 \ kg-wt$.
चूँकि आवृत्ति $f$ और लंबाई $L$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $P \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$,जिसका अर्थ है $T P^{2} = \text{स्थिरांक}$।
माना प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और अंतिम तनाव $T_2 = T_1 - 0.009 \ kg-wt$ है।
दिया गया है $P_1 = 4$ और $P_2 = 5$।
संबंध $T_1 P_1^{2} = T_2 P_2^{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_1 (4)^{2} = (T_1 - 0.009) (5)^{2}$
$16 T_1 = 25 T_1 - 0.009 \times 25$
$25 T_1 - 16 T_1 = 0.225$
$9 T_1 = 0.225$
$T_1 = \frac{0.225}{9} = 0.025 \ kg-wt$.
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EasyMCQ
यदि आप दोनों सिरों पर बंधी एक डोरी पर $7^{th}$ ओवरटोन सेट करते हैं,तो इसमें कितने नोड्स और एंटीनोड्स बनते हैं?
A
$9, 8$
B
$8, 9$
C
$7, 8$
D
$8, 7$
Solution
(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ मोड संख्या है।
$n^{th}$ हार्मोनिक $(n-1)^{th}$ ओवरटोन के अनुरूप होता है।
यहाँ हमें $7^{th}$ ओवरटोन दिया गया है,इसलिए $n-1 = 7$,जिसका अर्थ है कि $n = 8$ है।
अतः,$7^{th}$ ओवरटोन $8^{th}$ हार्मोनिक है।
$n^{th}$ हार्मोनिक में,लूप्स की संख्या $n$ होती है।
इसलिए,$8^{th}$ हार्मोनिक के लिए,$8$ लूप्स होते हैं।
$n$ लूप्स वाली डोरी के लिए,नोड्स की संख्या $n+1$ और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
$n = 8$ के लिए,नोड्स की संख्या $8 + 1 = 9$ और एंटीनोड्स की संख्या $8$ है।
$n^{th}$ हार्मोनिक $(n-1)^{th}$ ओवरटोन के अनुरूप होता है।
यहाँ हमें $7^{th}$ ओवरटोन दिया गया है,इसलिए $n-1 = 7$,जिसका अर्थ है कि $n = 8$ है।
अतः,$7^{th}$ ओवरटोन $8^{th}$ हार्मोनिक है।
$n^{th}$ हार्मोनिक में,लूप्स की संख्या $n$ होती है।
इसलिए,$8^{th}$ हार्मोनिक के लिए,$8$ लूप्स होते हैं।
$n$ लूप्स वाली डोरी के लिए,नोड्स की संख्या $n+1$ और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
$n = 8$ के लिए,नोड्स की संख्या $8 + 1 = 9$ और एंटीनोड्स की संख्या $8$ है।
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DifficultMCQ
$L$ लंबाई,$D$ व्यास और $\rho$ घनत्व वाले एक समान तार को $T$ तनाव द्वारा खींचा जाता है। तार की आवृत्ति $f$ किसके समानुपाती है?
A
$f \propto \frac{L}{D}$
B
$f \propto \frac{1}{L D}$
C
$f \propto \frac{1}{L \sqrt{D}}$
D
$f \propto \frac{1}{L D^2}$
Solution
(B) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ को प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे घनत्व $\rho$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के संदर्भ में $\mu = A \rho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि तार का अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है और व्यास $D$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A = \pi \frac{D^2}{4}$ होगा।
इस मान को $\mu$ के सूत्र में रखने पर,हमें $\mu = \frac{\pi D^2 \rho}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\mu$ के मान को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi D^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi D^2 \rho}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $f \propto \frac{1}{LD}$।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ को प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे घनत्व $\rho$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के संदर्भ में $\mu = A \rho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि तार का अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है और व्यास $D$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A = \pi \frac{D^2}{4}$ होगा।
इस मान को $\mu$ के सूत्र में रखने पर,हमें $\mu = \frac{\pi D^2 \rho}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\mu$ के मान को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi D^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi D^2 \rho}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $f \propto \frac{1}{LD}$।
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MediumMCQ
$L$ लंबाई,$d$ व्यास और $\rho$ घनत्व वाला एक तार $T$ तनाव के अधीन है,जिसकी मूल आवृत्ति $n_A$ है। एक अन्य तार जिसकी लंबाई $2L$,तनाव $2T$,घनत्व $2\rho$ और व्यास $3d$ है,उसकी मूल आवृत्ति $n_B$ है। $n_B : n_A$ का अनुपात क्या है?
A
$1 : 2$
B
$1 : 4$
C
$1 : 6$
D
$1 : 8$
Solution
(C) तने हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $\mu = \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,हम लिख सकते हैं $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
तार $A$ के लिए: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
तार $B$ के लिए: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
अनुपात लेने पर $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
अतः,$n_B : n_A$ का अनुपात $1 : 6$ है।
चूँकि $\mu = \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,हम लिख सकते हैं $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
तार $A$ के लिए: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
तार $B$ के लिए: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
अनुपात लेने पर $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
अतः,$n_B : n_A$ का अनुपात $1 : 6$ है।
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MediumMCQ
समान पदार्थ के दो एकसमान तार समान तनाव के तहत कंपन कर रहे हैं। यदि पहले तार का पहला ओवरटोन दूसरे तार के दूसरे ओवरटोन के बराबर है और पहले तार की त्रिज्या दूसरे तार की त्रिज्या से दोगुनी है,तो पहले तार की लंबाई और दूसरे तार की लंबाई का अनुपात ज्ञात कीजिए।
A
$1: 3$
B
$3: 1$
C
$2: 3$
D
$3: 2$
Solution
(A) तने हुए तार के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
अतः,$f = \frac{n}{2L r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
पहले तार के लिए,पहला ओवरटोन $2$-रा हार्मोनिक $(n_1 = 2)$ है।
इसलिए,$f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
दूसरे तार के लिए,दूसरा ओवरटोन $3$-रा हार्मोनिक $(n_2 = 3)$ है।
इसलिए,$f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
दिया गया है कि $f_1 = f_2$ और $r_1 = 2r_2$:
$\frac{1}{L_1 (2r_2)} = \frac{3}{2L_2 r_2}$।
$\frac{1}{2L_1} = \frac{3}{2L_2} \implies \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$।
अतः,अनुपात $1: 3$ है।
अतः,$f = \frac{n}{2L r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
पहले तार के लिए,पहला ओवरटोन $2$-रा हार्मोनिक $(n_1 = 2)$ है।
इसलिए,$f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
दूसरे तार के लिए,दूसरा ओवरटोन $3$-रा हार्मोनिक $(n_2 = 3)$ है।
इसलिए,$f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
दिया गया है कि $f_1 = f_2$ और $r_1 = 2r_2$:
$\frac{1}{L_1 (2r_2)} = \frac{3}{2L_2 r_2}$।
$\frac{1}{2L_1} = \frac{3}{2L_2} \implies \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$।
अतः,अनुपात $1: 3$ है।
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EasyMCQ
एक सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति किसी दी गई लंबाई और तनाव के लिए $50 \text{ Hz}$ है। यदि तनाव को समान रखते हुए लंबाई में $25 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति में कितना परिवर्तन होगा?
A
$20 \%$ की वृद्धि
B
$20 \%$ की कमी
C
$10 \%$ की वृद्धि
D
$10 \%$ की कमी
Solution
(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{L}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ और प्रारंभिक मूल आवृत्ति $f_1 = 50 \text{ Hz}$ है।
नई लंबाई $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ है।
नई मूल आवृत्ति $f_2$ के लिए,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ है।
अतः,$f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_n = n \times f_n$ होती है। दूसरे हार्मोनिक $(n=2)$ के लिए,$f'_2 = 2 \times f_2 = 2 \times 40 \text{ Hz} = 80 \text{ Hz}$।
प्रारंभिक दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_1 = 2 \times f_1 = 2 \times 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$ थी।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f'_2 - f'_1 = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20 \%$ है।
इस प्रकार,दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति में $20 \%$ की कमी होती है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{L}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ और प्रारंभिक मूल आवृत्ति $f_1 = 50 \text{ Hz}$ है।
नई लंबाई $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ है।
नई मूल आवृत्ति $f_2$ के लिए,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ है।
अतः,$f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_n = n \times f_n$ होती है। दूसरे हार्मोनिक $(n=2)$ के लिए,$f'_2 = 2 \times f_2 = 2 \times 40 \text{ Hz} = 80 \text{ Hz}$।
प्रारंभिक दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_1 = 2 \times f_1 = 2 \times 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$ थी।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f'_2 - f'_1 = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20 \%$ है।
इस प्रकार,दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति में $20 \%$ की कमी होती है।
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दो ट्यूनिंग फोर्क जब एक साथ बजाए जाते हैं तो $4$ बीट्स प्रति सेकंड उत्पन्न करते हैं। एक फोर्क सोनोमीटर तार की $23 \ cm$ लंबाई के साथ और दूसरा उसी तार की $24 \ cm$ लंबाई के साथ अनुनाद (unison) में है। दोनों ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ क्या हैं?
A
$96 \ Hz, 92 \ Hz$
B
$92 \ Hz, 88 \ Hz$
C
$72 \ Hz, 68 \ Hz$
D
$48 \ Hz, 44 \ Hz$
Solution
(A) सोनोमीटर तार के लिए,आवृत्ति $f$ तार की लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto 1/l$ या $f \cdot l = k$ (स्थिरांक)।
मान लीजिए कि दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं।
दिया गया है कि $f_1 \cdot 23 = f_2 \cdot 24 = k$।
इसका अर्थ है $f_1 = k/23$ और $f_2 = k/24$।
चूंकि $f_1 > f_2$,बीट आवृत्ति $f_1 - f_2 = 4$ होगी।
मान रखने पर: $k/23 - k/24 = 4$।
$k$ को कॉमन लेने पर: $k(24 - 23) / (23 \cdot 24) = 4$।
$k / 552 = 4 \implies k = 2208$।
अब,$f_1 = 2208 / 23 = 96 \ Hz$।
और $f_2 = 2208 / 24 = 92 \ Hz$।
अतः,आवृत्तियाँ $96 \ Hz$ और $92 \ Hz$ हैं।
मान लीजिए कि दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं।
दिया गया है कि $f_1 \cdot 23 = f_2 \cdot 24 = k$।
इसका अर्थ है $f_1 = k/23$ और $f_2 = k/24$।
चूंकि $f_1 > f_2$,बीट आवृत्ति $f_1 - f_2 = 4$ होगी।
मान रखने पर: $k/23 - k/24 = 4$।
$k$ को कॉमन लेने पर: $k(24 - 23) / (23 \cdot 24) = 4$।
$k / 552 = 4 \implies k = 2208$।
अब,$f_1 = 2208 / 23 = 96 \ Hz$।
और $f_2 = 2208 / 24 = 92 \ Hz$।
अतः,आवृत्तियाँ $96 \ Hz$ और $92 \ Hz$ हैं।
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एक सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ है। यदि तनाव $3$ गुना और लंबाई $3$ गुना बढ़ा दी जाए और व्यास $2$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नई आवृत्ति क्या होगी?
A
$\sqrt{\frac{3}{2}} n$
B
$\frac{\sqrt{3}}{2} n$
C
$\frac{n}{2 \sqrt{3}}$
D
$2 \sqrt{3} n$
Solution
(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है),आवृत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $n = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
व्यास $D = 2r$ होने के कारण,$n \propto \frac{1}{LD} \sqrt{T}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ है। नई आवृत्ति $n_2$ परिवर्तनों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n_2 = n_1 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{D_1}{D_2} \right) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
यहाँ $L_2 = 3L_1$,$D_2 = 2D_1$,और $T_2 = 3T_1$ दिया गया है:
$n_2 = n \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \times \sqrt{3} = n \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
अतः,नई आवृत्ति $\frac{n}{2 \sqrt{3}}$ होगी।
चूँकि $\mu = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है),आवृत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $n = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
व्यास $D = 2r$ होने के कारण,$n \propto \frac{1}{LD} \sqrt{T}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ है। नई आवृत्ति $n_2$ परिवर्तनों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n_2 = n_1 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{D_1}{D_2} \right) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
यहाँ $L_2 = 3L_1$,$D_2 = 2D_1$,और $T_2 = 3T_1$ दिया गया है:
$n_2 = n \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \times \sqrt{3} = n \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
अतः,नई आवृत्ति $\frac{n}{2 \sqrt{3}}$ होगी।
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MediumMCQ
ध्रुवों पर,एक निश्चित लंबाई का खिंचा हुआ तार एक ट्यूनिंग फोर्क के साथ एकसमान कंपन करता है। भूमध्य रेखा पर,समान सेटिंग के लिए,उसी ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद उत्पन्न करने के लिए,तार की कंपन करती लंबाई
A
घटाई जानी चाहिए।
B
बढ़ाई जानी चाहिए।
C
समान रहनी चाहिए।
D
तीन गुना होनी चाहिए।
Solution
(A) एक खिंचे हुए तार की कंपन आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ कंपन करती लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ स्थिर है,इसलिए $L \propto \sqrt{T}$ है।
तार में तनाव $T$ एक लटके हुए द्रव्यमान $M$ द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = Mg$,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस प्रकार,$L \propto \sqrt{g}$ है।
भूमध्य रेखा पर,$g$ का मान ध्रुवों की तुलना में कम होता है $(g_{equator} < g_{poles})$।
चूंकि $L$,$\sqrt{g}$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए समान आवृत्ति $f$ बनाए रखने के लिए भूमध्य रेखा पर कंपन करती लंबाई $L$ को कम किया जाना चाहिए।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ स्थिर है,इसलिए $L \propto \sqrt{T}$ है।
तार में तनाव $T$ एक लटके हुए द्रव्यमान $M$ द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = Mg$,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस प्रकार,$L \propto \sqrt{g}$ है।
भूमध्य रेखा पर,$g$ का मान ध्रुवों की तुलना में कम होता है $(g_{equator} < g_{poles})$।
चूंकि $L$,$\sqrt{g}$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए समान आवृत्ति $f$ बनाए रखने के लिए भूमध्य रेखा पर कंपन करती लंबाई $L$ को कम किया जाना चाहिए।
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एक ट्यूनिंग फोर्क सोनोमीटर तार की $40 \ cm$ लंबाई के साथ प्रति सेकंड $5$ बीट्स देता है। यदि तार की लंबाई $1 \ cm$ कम कर दी जाए,तो भी बीट्स की संख्या समान रहती है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति क्या है ($Hz$ में)?
A
$390$
B
$395$
C
$400$
D
$405$
Solution
(B) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{L}$।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
लंबाई $L_1 = 40 \ cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_1 = \frac{k}{40}$ है। चूँकि यह $5$ बीट्स उत्पन्न करता है,$f_1 = n \pm 5$।
लंबाई $L_2 = 39 \ cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_2 = \frac{k}{39}$ है। चूँकि यह $5$ बीट्स उत्पन्न करता है,$f_2 = n \pm 5$।
चूँकि $L_2 < L_1$,इसलिए $f_2 > f_1$। अतः,$f_1 = n - 5$ और $f_2 = n + 5$।
इस प्रकार,$\frac{k}{40} = n - 5$ और $\frac{k}{39} = n + 5$।
पहले समीकरण से,$k = 40(n - 5)$।
दूसरे समीकरण से,$k = 39(n + 5)$।
दोनों की तुलना करने पर: $40n - 200 = 39n + 195$।
$40n - 39n = 195 + 200$।
$n = 395 \ Hz$।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
लंबाई $L_1 = 40 \ cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_1 = \frac{k}{40}$ है। चूँकि यह $5$ बीट्स उत्पन्न करता है,$f_1 = n \pm 5$।
लंबाई $L_2 = 39 \ cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_2 = \frac{k}{39}$ है। चूँकि यह $5$ बीट्स उत्पन्न करता है,$f_2 = n \pm 5$।
चूँकि $L_2 < L_1$,इसलिए $f_2 > f_1$। अतः,$f_1 = n - 5$ और $f_2 = n + 5$।
इस प्रकार,$\frac{k}{40} = n - 5$ और $\frac{k}{39} = n + 5$।
पहले समीकरण से,$k = 40(n - 5)$।
दूसरे समीकरण से,$k = 39(n + 5)$।
दोनों की तुलना करने पर: $40n - 200 = 39n + 195$।
$40n - 39n = 195 + 200$।
$n = 395 \ Hz$।
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सोनोमीटर प्रयोग में,उपयोग किए गए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $288 \ Hz$ है। किस आवृत्ति पर हार्मोनिक्स उत्पन्न 'नहीं' होंगे ($Hz$ में)?
A
$288$
B
$576$
C
$844$
D
$864$
Solution
(C) सोनोमीटर प्रयोग में,तार उन हार्मोनिक्स में कंपन करता है जो मूल आवृत्ति $(f_0)$ के पूर्णांक गुणज होते हैं।
दी गई मूल आवृत्ति $f_0 = 288 \ Hz$ है।
हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = n \times f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
कुछ शुरुआती हार्मोनिक्स की गणना करने पर:
$n=1: f_1 = 1 \times 288 = 288 \ Hz$
$n=2: f_2 = 2 \times 288 = 576 \ Hz$
$n=3: f_3 = 3 \times 288 = 864 \ Hz$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$844 \ Hz$,$288 \ Hz$ का पूर्णांक गुणज नहीं है। इसलिए,$844 \ Hz$ पर हार्मोनिक्स उत्पन्न नहीं होंगे।
दी गई मूल आवृत्ति $f_0 = 288 \ Hz$ है।
हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = n \times f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
कुछ शुरुआती हार्मोनिक्स की गणना करने पर:
$n=1: f_1 = 1 \times 288 = 288 \ Hz$
$n=2: f_2 = 2 \times 288 = 576 \ Hz$
$n=3: f_3 = 3 \times 288 = 864 \ Hz$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$844 \ Hz$,$288 \ Hz$ का पूर्णांक गुणज नहीं है। इसलिए,$844 \ Hz$ पर हार्मोनिक्स उत्पन्न नहीं होंगे।
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MediumMCQ
एक सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ है। यदि तनाव को $3$ गुना और लंबाई को $3$ गुना बढ़ा दिया जाए और व्यास को $2$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नई आवृत्ति क्या होगी?
A
$2 n$
B
$\frac{\sqrt{3}}{2} n$
C
$\frac{n}{2 \sqrt{3}}$
D
$\sqrt{3} n$
Solution
(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $\mu = \text{Area} \times \text{Density} = (\pi r^2) \rho = \pi (\frac{d}{2})^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,हम लिख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{L d} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
प्रारंभिक शर्तें: $n_1 = n$,$L_1 = L$,$T_1 = T$,$d_1 = d$.
नई शर्तें: $L_2 = 3L$,$T_2 = 3T$,$d_2 = 2d$.
नई आवृत्ति $n_2$ इस प्रकार होगी: $n_2 = n_1 \times (\frac{L_1}{L_2}) \times (\frac{d_1}{d_2}) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $n_2 = n \times (\frac{L}{3L}) \times (\frac{d}{2d}) \times \sqrt{\frac{3T}{T}}$.
$n_2 = n \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} n = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} n = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
चूंकि $\mu = \text{Area} \times \text{Density} = (\pi r^2) \rho = \pi (\frac{d}{2})^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,हम लिख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{L d} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
प्रारंभिक शर्तें: $n_1 = n$,$L_1 = L$,$T_1 = T$,$d_1 = d$.
नई शर्तें: $L_2 = 3L$,$T_2 = 3T$,$d_2 = 2d$.
नई आवृत्ति $n_2$ इस प्रकार होगी: $n_2 = n_1 \times (\frac{L_1}{L_2}) \times (\frac{d_1}{d_2}) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $n_2 = n \times (\frac{L}{3L}) \times (\frac{d}{2d}) \times \sqrt{\frac{3T}{T}}$.
$n_2 = n \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} n = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} n = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
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MediumMCQ
एक तार $A$ की लंबाई,व्यास,तनाव और घनत्व दूसरे तार $B$ से दोगुनी है। तार $A$ का कौन सा ओवरटोन,तार $B$ की मूल आवृत्ति के समान आवृत्ति रखेगा?
A
प्रथम
B
द्वितीय
C
तृतीय
D
चतुर्थ
Solution
(C) तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \rho \pi r^2$ है।
तार $B$ के लिए: $n_B = \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}}$.
तार $A$ के लिए दिया गया है: $l_A = 2l_B$,$d_A = 2d_B \Rightarrow r_A = 2r_B$,$T_A = 2T_B$,और $\rho_A = 2\rho_B$.
$\mu_A$ की गणना करने पर: $\mu_A = \rho_A \pi r_A^2 = (2\rho_B) \pi (2r_B)^2 = 8 \rho_B \pi r_B^2 = 8\mu_B$.
अब,तार $A$ की मूल आवृत्ति: $n_A = \frac{1}{2l_A} \sqrt{\frac{T_A}{\mu_A}} = \frac{1}{2(2l_B)} \sqrt{\frac{2T_B}{8\mu_B}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}} \right) = \frac{1}{4} n_B$.
तार $A$ के $p^{\text{वें}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_p = (p+1)n_A$ है।
हमें $f_p = n_B$ चाहिए,इसलिए $(p+1) \frac{n_B}{4} = n_B$.
इससे $p+1 = 4$,या $p = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,तार $A$ का $3^{\text{रा}}$ ओवरटोन तार $B$ की मूल आवृत्ति के समान आवृत्ति रखेगा।
तार $B$ के लिए: $n_B = \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}}$.
तार $A$ के लिए दिया गया है: $l_A = 2l_B$,$d_A = 2d_B \Rightarrow r_A = 2r_B$,$T_A = 2T_B$,और $\rho_A = 2\rho_B$.
$\mu_A$ की गणना करने पर: $\mu_A = \rho_A \pi r_A^2 = (2\rho_B) \pi (2r_B)^2 = 8 \rho_B \pi r_B^2 = 8\mu_B$.
अब,तार $A$ की मूल आवृत्ति: $n_A = \frac{1}{2l_A} \sqrt{\frac{T_A}{\mu_A}} = \frac{1}{2(2l_B)} \sqrt{\frac{2T_B}{8\mu_B}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}} \right) = \frac{1}{4} n_B$.
तार $A$ के $p^{\text{वें}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_p = (p+1)n_A$ है।
हमें $f_p = n_B$ चाहिए,इसलिए $(p+1) \frac{n_B}{4} = n_B$.
इससे $p+1 = 4$,या $p = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,तार $A$ का $3^{\text{रा}}$ ओवरटोन तार $B$ की मूल आवृत्ति के समान आवृत्ति रखेगा।
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DifficultMCQ
एक सोनोमीटर के तार को धातु के गोले को लटकाकर खींचा जाता है,तार की मूल आवृत्ति $n_1$ है। जब गोले को पूरी तरह से पानी में डुबोया जाता है,तो तार के कंपन की आवृत्ति $n_2$ हो जाती है। धातु के गोले का आपेक्षिक घनत्व है
A
$\frac{n_1^2}{n_1^2-n_2^2}$
B
$\frac{n_2^2}{n_1^2-n_2^2}$
C
$\frac{n_1^2}{n_1^2+n_2^2}$
D
$\frac{n_2^2}{n_1^2+n_2^2}$
Solution
(A) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तार में तनाव है।
जब $W$ भार का गोला हवा में होता है,तो तनाव $T_1 = W$ होता है। अतः,$n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W}{\mu}}$.
जब गोले को पानी में डुबोया जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल $F_B$ कार्य करता है,जिससे तनाव घटकर $T_2 = W - F_B$ हो जाता है। अतः,$n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W - F_B}{\mu}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{W}{W - F_B}} \implies \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - F_B}$.
आपेक्षिक घनत्व $\sigma = \frac{W}{F_B}$.
अनुपात को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - (W/\sigma)} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$\sigma$ के लिए हल करने पर: $n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
अतः,$\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.
जब $W$ भार का गोला हवा में होता है,तो तनाव $T_1 = W$ होता है। अतः,$n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W}{\mu}}$.
जब गोले को पानी में डुबोया जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल $F_B$ कार्य करता है,जिससे तनाव घटकर $T_2 = W - F_B$ हो जाता है। अतः,$n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W - F_B}{\mu}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{W}{W - F_B}} \implies \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - F_B}$.
आपेक्षिक घनत्व $\sigma = \frac{W}{F_B}$.
अनुपात को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - (W/\sigma)} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$\sigma$ के लिए हल करने पर: $n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
अतः,$\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.
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MediumMCQ
जब एक डोरी में तनाव $3 \ kg \ wt$ बढ़ा दिया जाता है,तो मूल विधा (fundamental mode) की आवृत्ति $2:3$ के अनुपात में बढ़ जाती है। डोरी में प्रारंभिक तनाव कितना है ($kg \ wt$ में)?
A
$1.6$
B
$2.0$
C
$2.4$
D
$2.8$
Solution
(C) एक तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $m$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T$ है। प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
जब तनाव $3 \ kg \ wt$ बढ़ा दिया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 3$ हो जाता है। नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+3}{m}}$ है।
चूंकि आवृत्तियों का अनुपात $f : f' = 2 : 3$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{f}{f'} = \sqrt{\frac{T}{T+3}} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T}{T+3} = \frac{4}{9}$
$9T = 4(T + 3)$
$9T = 4T + 12$
$5T = 12$
$T = 2.4 \ kg \ wt$
अतः,डोरी में प्रारंभिक तनाव $2.4 \ kg \ wt$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T$ है। प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
जब तनाव $3 \ kg \ wt$ बढ़ा दिया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 3$ हो जाता है। नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+3}{m}}$ है।
चूंकि आवृत्तियों का अनुपात $f : f' = 2 : 3$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{f}{f'} = \sqrt{\frac{T}{T+3}} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T}{T+3} = \frac{4}{9}$
$9T = 4(T + 3)$
$9T = 4T + 12$
$5T = 12$
$T = 2.4 \ kg \ wt$
अतः,डोरी में प्रारंभिक तनाव $2.4 \ kg \ wt$ है।
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DifficultMCQ
एक सोनोमीटर का तार '$n$' आवृत्ति वाले ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में है जब इसे '$d$' विशिष्ट गुरुत्व (specific gravity) के भार द्वारा खींचा जाता है। जब भार को पूरी तरह से पानी में डुबोया जाता है,तो प्रति सेकंड '$x$' बीट्स उत्पन्न होते हैं,तो
A
$\frac{n}{n-x}=\frac{d}{d-1}$
B
$\frac{n}{n-x}=\sqrt{\frac{d}{d-1}}$
C
$\frac{n-x}{n}=\frac{d-1}{d}$
D
$\frac{n-x}{n}=\sqrt{\frac{d}{d-1}}$
Solution
(B) सोनोमीटर के लिए,कंपन की आवृत्ति $n$,तनाव $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $n \propto \sqrt{T}$।
जब भार हवा में होता है,तो तनाव $T_1 = V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g$ होता है,जहाँ $V$ भार का आयतन है,$d$ इसका विशिष्ट गुरुत्व है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
अतः,$n \propto \sqrt{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}$।
जब भार को पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल के कारण प्रभावी भार (तनाव) $T_2 = V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n'$ को $n' = n - x$ द्वारा दिया जाता है (चूंकि बीट्स उत्पन्न होते हैं)।
अतः,$n' \propto \sqrt{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}$।
दोनों आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}}$
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{d}{d-1}}$।
जब भार हवा में होता है,तो तनाव $T_1 = V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g$ होता है,जहाँ $V$ भार का आयतन है,$d$ इसका विशिष्ट गुरुत्व है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
अतः,$n \propto \sqrt{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}$।
जब भार को पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल के कारण प्रभावी भार (तनाव) $T_2 = V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n'$ को $n' = n - x$ द्वारा दिया जाता है (चूंकि बीट्स उत्पन्न होते हैं)।
अतः,$n' \propto \sqrt{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}$।
दोनों आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}}$
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{d}{d-1}}$।
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View SolutionWaves and Sound — Transverse Stationary Waves and Sonometer · Frequently Asked Questions
1Are these Waves and Sound questions useful for JEE and NEET?
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2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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3How do I generate a question paper from this subtopic?
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