Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Hindi

(A) माना तीन खंडों की लंबाई क्रमशः $L_1$,$L_2$ और $L_3$ है। कुल लंबाई $L_1 + L_2 + L_3 = 110 \ cm$ है।
नियत तनाव के तहत सोनोमीटर तार के लिए,मूल आवृत्ति $n$,लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(n \propto 1/L)$,इसलिए $n_1 L_1 = n_2 L_2 = n_3 L_3 = k$।
आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ दिया गया है,इसलिए $n_1 = x, n_2 = 2x, n_3 = 3x$।
इन मानों को संबंध में रखने पर: $x L_1 = 2x L_2 = 3x L_3$।
इससे $L_2 = L_1/2$ और $L_3 = L_1/3$ प्राप्त होता है।
कुल लंबाई के समीकरण में रखने पर: $L_1 + L_1/2 + L_1/3 = 110 \ cm$।
हर को हटाने के लिए $6$ से गुणा करने पर: $6 L_1 + 3 L_1 + 2 L_1 = 660 \ cm$।
$11 L_1 = 660 \ cm \Rightarrow L_1 = 60 \ cm$।
अतः $L_2 = 30 \ cm$ और $L_3 = 20 \ cm$।
पहला पुल सिरे $A$ से $60 \ cm$ पर रखा जाना चाहिए। दूसरा पुल सिरे $A$ से $60 + 30 = 90 \ cm$ पर रखा जाना चाहिए।

(B) दोनों सिरों पर स्थिर तार के लिए $p$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_p = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $f_p = 320 \ Hz$ और अगली उच्च आवृत्ति $f_{p+1} = 400 \ Hz$ है।
हमारे पास अनुपात है: $\frac{f_{p+1}}{f_p} = \frac{p+1}{p}$.
मान रखने पर: $\frac{400}{320} = \frac{p+1}{p}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{5}{4} = \frac{p+1}{p}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $5p = 4(p+1) \Rightarrow 5p = 4p + 4$.
अतः,$p = 4$.

(C) दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
$n$-वां हार्मोनिक $(n-1)$-वें ओवरटोन के बराबर होता है।
इसलिए,तीसरा ओवरटोन $4$-थे हार्मोनिक $(n = 4)$ के बराबर है।
$n$-वें हार्मोनिक में,लूप्स की संख्या $n$ होती है।
$4$-थे हार्मोनिक के लिए,$4$ लूप्स होते हैं।
नोड्स की संख्या $(n + 1) = 4 + 1 = 5$ है।
एंटीनोड्स की संख्या $n = 4$ है।
अतः,इसमें $5$ नोड और $4$ एंटीनोड होते हैं।

(D) एक तनी हुई डोरी की दो लगातार अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर मूल आवृत्ति $(f_0)$ के बराबर होता है।
$f_0 = f_2 - f_1 = 450 \ Hz - 375 \ Hz = 75 \ Hz$.
मूल आवृत्ति का सूत्र $f_0 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T = 180 \ N$ और $\mu = 2 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
मान रखने पर: $75 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{180}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{90000} = \frac{300}{2L} = \frac{150}{L}$.
अतः,$L = \frac{150}{75} = 2 \ m$.
डोरी का कुल द्रव्यमान $m = \mu \times L = (2 \times 10^{-3} \ kg/m) \times (2 \ m) = 4 \times 10^{-3} \ kg = 4 \ g$ है।

(D) दिया गया है: $T_A = T_B = T$,$r_A = 2r_B$.
डोरी के लिए $n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (n+1) \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$.
$A$ का पहला ओवरटोन $(n=1)$: $f_{A,1} = 2 \times \frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{L_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ का दूसरा ओवरटोन $(n=2)$: $f_{B,2} = 3 \times \frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2L_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दोनों आवृत्तियों को बराबर करने पर: $\frac{1}{L_A r_A} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
$r_A = 2r_B$ रखने पर: $\frac{1}{L_A (2r_B)} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
सरल करने पर: $\frac{1}{2L_A} = \frac{3}{2L_B} \implies \frac{L_B}{L_A} = \frac{3}{1}$.

(A) माना प्रारंभिक लंबाई और तनाव क्रमशः $l$ और $T$ हैं। प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है।
मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
परिवर्तनों के बाद:
नई लंबाई $l' = l - 0.40l = 0.6l = \frac{3}{5}l$.
नया तनाव $T' = T + 0.44T = 1.44T = \frac{144}{100}T$.
नई आवृत्ति $n'$ का मान $n' = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ है।
अंतिम और प्रारंभिक आवृत्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{l'} \sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{l}{0.6l} \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1}{0.6} \times 1.2 = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
अतः,अंतिम और प्रारंभिक आवृत्ति का अनुपात $2:1$ है।

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
अतः,$n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
पहले तार का पहला ओवरटोन $n_1 = 2 \times n_{1, \text{fund}} = 2 \times \frac{1}{2l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दूसरे तार का दूसरा ओवरटोन $n_2 = 3 \times n_{2, \text{fund}} = 3 \times \frac{1}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{3}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दिया गया है कि $n_1 = n_2$,इसलिए $\frac{1}{l_1 r_1} = \frac{3}{2l_2 r_2}$।
लंबाई के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3r_1}$।
चूंकि $r_1 = 2r_2$,यह मान रखने पर $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3(2r_2)} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = \text{प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान} = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 = \frac{\rho \pi d^2}{4}$ है।
$\mu$ का मान रखने पर,$f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\frac{\rho \pi d^2}{4}}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ प्राप्त होता है।
तार $A$ के लिए: $n = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}}$.
तार $B$ के लिए: $n = \frac{1}{l(2d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
दोनों आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}} = \frac{1}{2ld} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
समान पदों को हटाने पर: $\sqrt{\frac{1}{\rho_1}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{\rho_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{\rho_1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\rho_2} = \frac{1}{2\rho_2}$.
अतः,$2\rho_2 = \rho_1$,जिससे $\rho_2 = \frac{\rho_1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) कंपन करती डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m = \frac{\text{आयतन} \times \text{घनत्व}}{l} = \frac{(\pi R^2 l) \rho}{l} = \pi R^2 \rho$.
चूंकि $\pi$ और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $m \propto R^2$.
इसे आवृत्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n \propto \frac{1}{l \sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{lR}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $l_2 = 2l_1$ और $R_2 = 2R_1$,इसलिए नई आवृत्ति $n_2$ और मूल आवृत्ति $n_1$ का अनुपात:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1 R_1}{l_2 R_2} = \frac{l_1 R_1}{(2l_1)(2R_1)} = \frac{1}{4}$.
अतः,नई आवृत्ति $n_2 = \frac{n}{4}$ है।

(A) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तार में तनाव है।
चूंकि तार $M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक ले जाता है,तनाव $T = Mg = V\rho g$ है,जहाँ $V$ ब्लॉक का आयतन है।
अतः,$n \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\rho Vg}$.
जब ब्लॉक को $\sigma$ घनत्व वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो प्रभावी भार (तनाव) $T' = V(\rho - \sigma)g$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n'$ के लिए $n' \propto \sqrt{T'}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{V(\rho - \sigma)g}{V\rho g}} = \sqrt{\frac{\rho - \sigma}{\rho}}$.
इसलिए,$n' = n \left[\frac{\rho - \sigma}{\rho}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(C) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की अनुनादी आवृत्तियाँ $f_n = n f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति (सबसे कम अनुनादी आवृत्ति) है और $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
यह दिया गया है कि $315 \,Hz$ और $420 \,Hz$ के बीच कोई अनुनादी आवृत्ति नहीं है,इसलिए ये दो आवृत्तियाँ क्रमागत हार्मोनिक्स होनी चाहिए,अर्थात $f_n = 315 \,Hz$ और $f_{n+1} = 420 \,Hz$।
अतः,$n f_0 = 315$ और $(n+1) f_0 = 420$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(n+1) f_0 - n f_0 = 420 - 315$,जिससे $f_0 = 105 \,Hz$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सबसे कम अनुनादी आवृत्ति $105 \,Hz$ है।

(A) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ ---$(1)$
जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
जब तनाव को $8 \,N$ से बढ़ाया जाता है, तो नया तनाव $(T + 8) \,N$ हो जाता है और नई आवृत्ति $3n$ हो जाती है। अतः:
$3n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3n}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}}$
$3 = \sqrt{\frac{T + 8}{T}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = \frac{T + 8}{T}$
$9T = T + 8$
$8T = 8$
$T = 1 \,N$
अतः, तार पर लगाया गया प्रारंभिक तनाव $1 \,N$ था।

(A) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $f \propto \frac{1}{l}$, जिसका अर्थ है $f_1 l_1 = f_2 l_2$।
दिया गया है $f_1 = 800 \,Hz$, $l_1 = 50 \,cm$, और $f_2 = 1000 \,Hz$।
मान रखने पर: $800 \times 50 = 1000 \times l_2$।
$l_2 = \frac{800 \times 50}{1000} = 40 \,cm$।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = l_1 - l_2 = 50 \,cm - 40 \,cm = 10 \,cm$ होगा।

(C) सोनोमीटर के तार की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तार एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में है,इसलिए आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
पहले मामले में,तनाव $T_1 = w$ है,इसलिए $f = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}}$.
दूसरे मामले में,भार को $3w$ से बढ़ाया जाता है,इसलिए नया तनाव $T_2 = w + 3w = 4w$ हो जाता है। अतः,$f = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$.
$f$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}} = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{1}{L_2} \sqrt{4}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{2}{L_2}$
अतः,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$.

(B) खींचे गए तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
सप्तक (octave) का अर्थ है कि आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,इसलिए $n_2 = 2n_1$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{2 \ kgwt}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{2 \ kgwt}$।
अतः,$T_2 = 8 \ kgwt$।

(C) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $p$ लूप्स (एंटीनोड्स) की संख्या है, $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि आवृत्ति $f$, लंबाई $L$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $p \propto \sqrt{T}$, जिसका अर्थ है $T \propto p^2$.
अतः, $T_1 p_1^2 = T_2 p_2^2$.
यहाँ $T_1 = 1 \,kg$ (भार के बराबर), $p_1 = 4$, और $p_2 = 2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $1 \times (4)^2 = M \times (2)^2$.
$16 = 4M$.
$M = 4 \,kg$.

(B) तार के दोनों खंडों के लिए कंपन की आवृत्ति $n$ समान होनी चाहिए।
तने हुए तार की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
पहले तार के लिए (त्रिज्या $r$,लंबाई $L$): $n = \frac{p_1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
दूसरे तार के लिए (त्रिज्या $2r$,लंबाई $L$): $n = \frac{p_2}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi (2r)^2 \rho}} = \frac{p_2}{2L} \sqrt{\frac{T}{4 \pi r^2 \rho}} = \frac{p_2}{4L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{p_1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{p_2}{4L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
सरल करने पर,$\frac{p_1}{2} = \frac{p_2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।

(D) कंपन करते हुए तार की आवृत्ति $f = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $p$ लूप्स (एंटीनोड्स) की संख्या है, $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ और लंबाई $L$ स्थिर रहती है, इसलिए $p \propto \sqrt{T}$ या $T \propto p^2$ होता है।
अतः, $T_1 p_1^2 = T_2 p_2^2$.
यहाँ $T_1 = 9 \,kg-wt$, $p_1 = 5$ और $p_2 = 3$ दिया गया है।
मान रखने पर: $9 \times 5^2 = M \times 3^2$.
$9 \times 25 = M \times 9$.
$M = 25 \,kg$.

(B) डोरी के कंपन की आवृत्ति का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$
जहाँ $T$ तनाव है,$L$ लंबाई है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $m = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है),आवृत्ति $n$ होगी:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि जब $T$,$L$,और $\rho$ स्थिर हों तो $n \propto \frac{1}{r}$ होता है।
यदि त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए $(r' = 2r)$,तो नई आवृत्ति $n'$ होगी:
$\frac{n'}{n} = \frac{r}{r'} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
अतः,$n' = \frac{n}{2}$.

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $n \propto \frac{1}{L}$, जिसका अर्थ है $nL = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
प्रारंभ में, $n \times 25 = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
जब लंबाई $1 \,cm$ कम की जाती है, तो नई लंबाई $24 \,cm$ हो जाती है। आवृत्ति बढ़कर $(n + 6) \,Hz$ हो जाती है।
अतः, $(n + 6) \times 24 = k$.
$k$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$25n = 24(n + 6)$
$25n = 24n + 144$
$n = 144 \,Hz$.

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $\mu = \text{Area} \times \text{density} = (\pi r^2) \rho$,हम लिख सकते हैं:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{Lr}$.
दिया गया है कि लंबाई $L$ को दोगुना कर दिया गया है $(L_2 = 2L_1)$ और व्यास $D$ को दोगुना कर दिया गया है (जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $r$ भी दोगुनी हो जाती है,$r_2 = 2r_1$):
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1 r_1}{L_2 r_2} = \frac{L_1 r_1}{(2L_1)(2r_1)} = \frac{1}{4}$
इसलिए,$n_2 = \frac{n_1}{4} = \frac{n}{4}$.

(C) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2) \rho$.
आवृत्ति के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi R^2 \rho}} = \frac{1}{2LR} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
चूंकि पदार्थ समान है,$\rho$ स्थिर है। तनाव $T$ भी समान है,इसलिए $f \propto \frac{1}{LR}$ प्राप्त होता है।
पहले तार के लिए: $L_1 = L$,$R_1 = 2r$. अतः,$f_1 \propto \frac{1}{L \cdot 2r} = \frac{1}{2Lr}$.
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 2L$,$R_2 = r$. अतः,$f_2 \propto \frac{1}{2L \cdot r} = \frac{1}{2Lr}$.
उनकी आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{1/2Lr}{1/2Lr} = 1:1$ है।

(A) सोनोमीटर के तार की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $p$ लूप्स की संख्या (एंटीनोड्स),$L$ लंबाई,$T$ तनाव $(T = Mg)$ और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि आवृत्ति $n$,लंबाई $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $p \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{M}$ होगा।
प्रथम स्थिति के लिए: $p_1 = 5$ और $M_1 = 9 \ kg$।
द्वितीय स्थिति के लिए: $p_2 = 3$ और $M_2 = m$।
अनुपात लेने पर: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{5}{3} = \sqrt{\frac{9}{m}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{9} = \frac{9}{m}$।
अतः,$m = 25 \ kg$।

(A) दोनों सिरों पर बंधे तार के लिए $p$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = (p+1) \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,घनत्व $\rho$ स्थिर है। तनाव $T$ भी स्थिर है।
पहले तार के लिए,पहला ओवरटोन $(p=1)$ $f_1 = 2 \cdot \frac{1}{2 \ell_1} \sqrt{\frac{T}{\pi r_1^2 \rho}} = \frac{1}{\ell_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दूसरे तार के लिए,दूसरा ओवरटोन $(p=2)$ $f_2 = 3 \cdot \frac{1}{2 \ell_2} \sqrt{\frac{T}{\pi r_2^2 \rho}} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दिया गया है $f_1 = f_2$,इसलिए $\frac{1}{\ell_1 r_1} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$।
दिया गया है $r_1 = 2 r_2$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{\ell_1 (2 r_2)} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$।
सरल करने पर,$\frac{1}{2 \ell_1} = \frac{3}{2 \ell_2}$,जिससे $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) $5^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए, दोनों सिरों पर बंधी $L$ लंबाई की डोरी $5$ लूप में कंपन करती है।
लंबाई $L$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $L = \frac{5\lambda}{2}$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 3 \sin(0.4x) \cos(200\pi t)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ से करने पर, हमें तरंग संख्या $k = 0.4 \text{ rad/cm}$ प्राप्त होती है।
चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, इसलिए $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \text{ cm}$।
$\lambda$ का मान लंबाई के समीकरण में रखने पर: $L = \frac{5 \times 5\pi}{2} = \frac{25\pi}{2} = 12.5\pi \text{ cm}$।

(C) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तार समान हैं,इसलिए दोनों के लिए $\mu$ समान है।
पहले तार के लिए: $N = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$
दूसरे तार के लिए: $1.5N = \frac{1}{2(2\ell)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{N}{1.5N} = \frac{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}}{\frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}}$
$\frac{1}{1.5} = \frac{4\ell}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\frac{1}{1.5} = 2 \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \frac{1}{1.5 \times 2} = \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{9}$.

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$,जहाँ $T$ तनाव है,$\ell$ लंबाई है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,$n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
जब तनाव को $8 \ N$ से बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 8$ हो जाता है। नई आवृत्ति $3n$ है।
अतः,$3n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T+8}{m}}$.
दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{3n}{n} = \frac{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T+8}{m}}}{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}}$
$3 = \sqrt{\frac{T+8}{T}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = \frac{T+8}{T}$
$9T = T + 8$
$8T = 8$
$T = 1 \ N$.

(A) सोनोमीटर के तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। चूँकि $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होगा।
हवा में,तनाव $T_1 = mg = V \varrho g$ है,जहाँ $V$ भार का आयतन है और $\varrho$ इसका विशिष्ट गुरुत्व है।
जब भार को पानी में डुबोया जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल (buoyant force) कार्य करता है। प्रभावी तनाव $T_2 = V(\varrho - 1)g$ हो जाता है (चूँकि पानी का घनत्व $1 \text{ g/cm}^3$ है)।
आवृत्तियों का अनुपात लेने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{V(\varrho - 1)g}{V \varrho g}} = \sqrt{\frac{\varrho - 1}{\varrho}}$.
अतः,नई आवृत्ति $n_2 = n \sqrt{\frac{\varrho - 1}{\varrho}}$ होगी।

(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{L}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ है और नई लंबाई $L_2 = L + 0.25L = 1.25L$ है।
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 50 \ Hz$ है।
नई मूल आवृत्ति $n_2$ के लिए,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2 = 0.8 \times 50 \ Hz = 40 \ Hz$ है।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $2n$ है। प्रारंभ में,$2n_1 = 2 \times 50 = 100 \ Hz$। अंत में,$2n_2 = 2 \times 40 = 80 \ Hz$।
आवृत्ति में परिवर्तन $100 \ Hz - 80 \ Hz = 20 \ Hz$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{20}{100} \times 100 \% = 20 \%$ है।

(D) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T$ है और अंतिम तनाव $T + 3$ है।
दिया गया है कि आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,इसलिए $n_2 = 2n_1$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T}{T+3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{T}{T+3}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $T + 3 = 4T$.
$3 = 3T$,जिससे $T = 1 \ kg$ प्राप्त होता है।

(D) सोनोमीटर के तार की कंपन आवृत्ति $v$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$
जहाँ $T$ तनाव (भार $w$) है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रथम स्थिति के लिए,आवृत्ति:
$v = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{m}} \quad (i)$
दूसरी स्थिति के लिए,भार को घटाकर $\frac{w}{4}$ कर दिया जाता है और लंबाई $L_2$ हो जाती है:
$v = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{w/4}{m}} = \frac{1}{2L_2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{w}{m}} = \frac{1}{4L_2} \sqrt{\frac{w}{m}} \quad (ii)$
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $v$ समान रहती है,इसलिए समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{m}} = \frac{1}{4L_2} \sqrt{\frac{w}{m}}$
$\frac{1}{2L_1} = \frac{1}{4L_2}$
$4L_2 = 2L_1$
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{2} = 2$
अतः,अनुपात $\frac{L_1}{L_2}$ का मान $2:1$ है।

(C) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ होता है।
चूंकि $l$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ है।
माना प्रारंभिक आवृत्ति $v$ है और प्रारंभिक तनाव $T$ है।
जब तनाव $69 \%$ बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 0.69T = 1.69T$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $v' = v + 9$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{1.69T}{T}} = \sqrt{1.69} = 1.3$।
अतः,$v + 9 = 1.3v$।
$0.3v = 9$।
$v = \frac{9}{0.3} = 30 \ Hz$।

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
अतः,$f = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
पहले तार का पहला ओवरटोन $f_1 = 2f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दूसरे तार का दूसरा ओवरटोन $f_2 = 3f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दिया गया है कि $f_1 = f_2$,इसलिए $\frac{1}{L_1 r_1} = \frac{3}{2L_2 r_2}$।
लंबाई के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2r_2}{3r_1}$।
चूँकि $r_1 = 2r_2$,मान रखने पर: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2r_2}{3(2r_2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

(A) दोनों सिरों पर बंधी हुई तनी हुई डोरी के लिए,$ n $-वें ओवरटोन की आवृत्ति $ f_n = (n+1) f_1 $ द्वारा दी जाती है,जहाँ $ f_1 $ मूल आवृत्ति है।
दूसरे ओवरटोन के लिए,$ n = 2 $,इसलिए डोरी $ 3^{rd} $ हार्मोनिक मोड में कंपन करती है।
$ 3^{rd} $ हार्मोनिक मोड में,डोरी में $ 3 $ लूप होते हैं।
$ p $ लूप वाली अप्रगामी तरंग में नोड्स $( N )$ की संख्या $ p+1 $ होती है। यहाँ,$ p = 3 $,इसलिए नोड्स की संख्या $ 3+1 = 4 $ है।
एंटीनोड्स $( A )$ की संख्या लूप की संख्या के बराबर होती है,जो कि $ 3 $ है।
अतः,यहाँ $ 4 $ नोड्स और $ 3 $ एंटीनोड्स हैं।

(A) कंपन करती डोरी की आवृत्ति का सूत्र: $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इससे,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $v_1 = 200 \ Hz$,$l_1 = l$,और $T_1 = T$ है। मान लीजिए अंतिम स्थिति $v_2 = 300 \ Hz$,$l_2 = 2l$,और $T_2 = T'$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{T'}/l_2}{\sqrt{T}/l_1} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l_1}{l_2}$.
मान रखने पर: $\frac{300}{200} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l}{2l}$.
$1.5 = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot 0.5$.
$\sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{T'}{T} = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,नए तनाव और मूल तनाव का अनुपात $9: 1$ है।

$(A)$ तने हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र है: $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है。
$\mu$ का मान रखने पर: $f = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
प्रारंभिक शर्तें: $f_1 = 600 \,Hz$, लंबाई $l_1 = l$, त्रिज्या $r_1 = r$, और तनाव $T_1 = T$.
नई शर्तें: $l_2 = 2l$, $r_2 = r/2$, और $T_2 = T/9$.
आवृत्तियों का अनुपात: $\frac{f_2}{f_1} = \frac{l_1}{l_2} \times \frac{r_1}{r_2} \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{f_2}{600} = \frac{l}{2l} \times \frac{r}{r/2} \times \sqrt{\frac{T/9}{T}}$.
$\frac{f_2}{600} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{\frac{1}{9}} = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
अतः, $f_2 = \frac{600}{3} = 200 \,Hz$.

(A) खींचे गए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान} = \text{घनत्व} \times \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} = \rho \times (\pi \frac{D^2}{4})$.
आवृत्ति के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi \frac{D^2}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi \rho D^2}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
चूंकि $T$,$\rho$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{LD}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: तार की लंबाई $L = 1.25 \ m$,विकृति $\epsilon = 0.14 \% = 0.0014$,घनत्व $\rho = 7.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,यंग मापांक $Y = 2.2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$।
मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu = \rho A$ है।
चूंकि $Y = \frac{T/A}{\epsilon}$,इसलिए $\frac{T}{A} = Y \epsilon = 2.2 \times 10^{11} \times 0.0014 = 3.08 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$।
सूत्र $\frac{T}{\mu} = \frac{T}{\rho A} = \frac{Y \epsilon}{\rho}$ को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \epsilon}{\rho}} = \frac{1}{2 \times 1.25} \sqrt{\frac{3.08 \times 10^8}{7.7 \times 10^3}} = \frac{1}{2.5} \sqrt{0.4 \times 10^5} = \frac{1}{2.5} \sqrt{40000} = \frac{200}{2.5} = 80 \ Hz$.

(C) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{L}$ होता है,जिसका अर्थ है $fL = \text{स्थिरांक} = k$.
इसलिए,$L = \frac{k}{f}$.
जब $L$ लंबाई के तार को $L_1, L_2, L_3$ लंबाई के तीन खंडों में विभाजित किया जाता है,तो $L = L_1 + L_2 + L_3$ होता है।
समीकरण में $L = \frac{k}{f}$,$L_1 = \frac{k}{f_1}$,$L_2 = \frac{k}{f_2}$,और $L_3 = \frac{k}{f_3}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{k}{f} = \frac{k}{f_1} + \frac{k}{f_2} + \frac{k}{f_3}$.
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें संबंध प्राप्त होता है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$.

(D) दी गई डोरी के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{m_{string}}{l} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 2 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंगों की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है। चूँकि पिंड लटका हुआ है,$T = M_{body} \times g$ होगा।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{M_{body} \times g}{\mu}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f_0^2 = \frac{M_{body} \times g}{4l^2 \mu}$ प्राप्त होता है।
पिंड के द्रव्यमान के लिए सूत्र: $M_{body} = \frac{4l^2 f_0^2 \mu}{g}$ है।
मान रखने पर: $M_{body} = \frac{4 \times (1)^2 \times (100)^2 \times (2 \times 10^{-3})}{10} = \frac{4 \times 10000 \times 0.002}{10} = \frac{80}{10} = 8 \ kg$.

(C) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तनाव है,$L$ लंबाई है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए तारों $A$ और $B$ की मूल आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_A}{f_B} = \frac{\frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\mu_A}}}{\frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\mu_B}}} = \frac{L_B}{L_A} \sqrt{\frac{\mu_B}{\mu_A}}$
हमें लंबाई का अनुपात $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$ है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ को $\mu = \frac{m}{L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए,अनुपात $\frac{\mu_A}{\mu_B}$ है:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{m_A / L_A}{m_B / L_B} = \left( \frac{m_A}{m_B} \right) \left( \frac{L_B}{L_A} \right)$
चूंकि $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{1}$ और $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$ दिया गया है,हमारे पास है:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \left( \frac{2}{1} \right) = \frac{4}{1}$
इस प्रकार,$\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{1}{4}$ है।
इन मानों को आवृत्ति अनुपात सूत्र में रखने पर:
$\frac{f_A}{f_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
अतः,मूल आवृत्तियों का अनुपात $1: 1$ है।

(A) कंपन करती डोरी की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि डोरी समान है,इसलिए सभी खंडों के लिए तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर रहते हैं।
अतः,मूल आवृत्ति खंड की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $f \propto \frac{1}{l}$ या $l \propto \frac{1}{f}$।
दिया गया है कि मूल आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 = 1 : 2 : 3$ है।
खंडों की लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{f_1} : \frac{1}{f_2} : \frac{1}{f_3}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य $(6)$ से गुणा करें: $l_1 : l_2 : l_3 = (1 \times 6) : (\frac{1}{2} \times 6) : (\frac{1}{3} \times 6) = 6 : 3 : 2$।

(D) तने हुए तार के मूल स्वर की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है,$l$ लंबाई है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $m = \text{Area} \times \text{density} = \frac{\pi d^2}{4} \rho$,इसलिए $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi d^2 \rho / 4}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
यह दिया गया है कि $T$,$l$,और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{d}$.
अतः,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{0.90}{0.93} \approx 0.9677$.
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{f_2 - f_1}{f_1} \times 100 = \left( \frac{f_2}{f_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\left( \frac{0.90}{0.93} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{0.90 - 0.93}{0.93} \right) \times 100 = \left( \frac{-0.03}{0.93} \right) \times 100 \approx -3.22 \%$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,प्रतिशत परिवर्तन $-3.2 \%$ है।

(A) खींची हुई डोरी की आवृत्ति $f = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $m = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $\rho$ घनत्व है),आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{n}{2l r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ हो जाता है।
$A$ के पहले ओवरटोन के लिए,$n = 2$ है। अतः,$f_A = \frac{2}{2 l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ के दूसरे ओवरटोन के लिए,$n = 3$ है। अतः,$f_B = \frac{3}{2 l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दिया गया है कि $f_A = f_B$,इसलिए $\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2 l_B r_B}$.
लंबाई के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_A}{l_B} = \frac{2 r_B}{3 r_A}$.
दिया गया है कि $r_A = 2 r_B$,मान रखने पर $\frac{l_A}{l_B} = \frac{2 r_B}{3 (2 r_B)} = \frac{1}{3}$.

(C) $1$. तापमान में परिवर्तन के कारण उत्पन्न थर्मल स्ट्रेन $\Delta L / L = \alpha \Delta T$ है।
$2$. थर्मल स्ट्रेस $F / A = Y (\Delta L / L) = Y \alpha \Delta T$ है।
$3$. तनाव $T = Y A \alpha \Delta T = (200 \times 10^9) \times (10^{-6}) \times (1.21 \times 10^{-5}) \times 20 = 48.4 \,N$.
$4$. रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu = m / L = 0.1 / 1 = 0.1 \,kg/m$.
$5$. तरंग की गति $v = \sqrt{T / \mu} = \sqrt{48.4 / 0.1} = \sqrt{484} = 22 \,m/s$.
$6$. मूल आवृत्ति $f = v / (2L) = 22 / (2 \times 1) = 11 \,Hz$.

(C) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
प्रारंभिक आवृत्ति $f_1$ और अंतिम आवृत्ति $f_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
दिया गया है कि $l_2 = l_1(1 - \frac{x}{100})$,$T_2 = T_1(1 + \frac{44}{100}) = 1.44 T_1$,और $\frac{f_1}{f_2} = \frac{1}{2}$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{l_1(1 - \frac{x}{100})}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{1.44 T_1}}$
$\frac{1}{2} = (1 - \frac{x}{100}) \times \frac{1}{\sqrt{1.44}}$
$\frac{1}{2} = (1 - \frac{x}{100}) \times \frac{1}{1.2}$
$0.6 = 1 - \frac{x}{100}$
$\frac{x}{100} = 0.4$
$x = 40$.

(A) तनी हुई डोरी के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
$A$ के पहले ओवरटोन $(n=2)$ के लिए: $f_{A} = \frac{2}{2l_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ के दूसरे ओवरटोन $(n=3)$ के लिए: $f_{B} = \frac{3}{2l_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दिया गया है कि $f_A = f_B$ और $r_A = 2r_B$,इसलिए:
$\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B} \Rightarrow \frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B} \Rightarrow \frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
अतः,लंबाई का अनुपात $l_A : l_B = 1:3$ है।

(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ (तार समान होने के कारण) स्थिर रहते हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$ होता है।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$।
यहाँ $n_1 = 1 \ kHz$ और $n_2 = 1.001 \ kHz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$।
ऊष्मीय प्रसार के सूत्र $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$।
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$।
$20\alpha = 0.001$।
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$।