Progressive Waves Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण $y = 0.2 \cos \pi (0.04t + 0.02x - \frac{\pi}{6})$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \cos (\omega t + kx - \phi)$ से करने पर,हम कोष्ठक के भीतर $\pi$ का गुणा करते हैं:
$y = 0.2 \cos (0.04\pi t + 0.02\pi x - \frac{\pi^2}{6})$.
यहाँ,तरंग संख्या $k = 0.02\pi$ है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $0.02\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{2\pi}{0.02\pi} = 100 \ cm$.
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिया गया है कि $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{100} \Delta x$.
$\Delta x = \frac{\pi}{2} \times \frac{100}{2\pi} = 25 \ cm$.

(D) तरंग की कला $\phi = (\omega t - kx + \phi_0)$ द्वारा दी जाती है।
स्थानिक पृथक्करण $\Delta x$ के कारण कलांतर $\Delta \phi_x = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ होता है।
यहाँ $\Delta x = 15 \ cm$ और $\lambda = 60 \ cm$ दिया गया है,इसलिए दूरी के कारण कला में परिवर्तन $\Delta \phi_x = \frac{2\pi}{60} \times 15 = \frac{\pi}{2}$ होगा।
चूंकि कण तरंग प्रसार की दिशा में आगे है,इसलिए उसकी कला $\phi_1 = \phi_0 - \Delta \phi_x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$ होगी।
समय अंतराल $\Delta t = \frac{T}{2}$ के कारण कला में परिवर्तन $\Delta \phi_t = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T} \times \frac{T}{2} = \pi$ होगा।
नई कला $\phi_{new} = \phi_1 + \Delta \phi_t = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$ होगी।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $k$ तरंग संख्या है।
दिए गए समीकरण $y = a \sin(628t - 31.4x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 628 \, rad/s$
$k = 31.4 \, rad/cm$
तरंग का वेग $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक का अनुपात होता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{628}{31.4} = 20 \, cm/sec$.

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin (\omega t - kx + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 4 \sin \left( \frac{\pi t}{5} - \frac{\pi x}{9} + \frac{\pi}{6} \right)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
आयाम $a = 4$ इकाई (यदि इकाई $m$ है तो $a = 4 \, m$)।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{5} \, rad/s$.
तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{9} \, rad/m$.
आवृत्ति $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/5}{2\pi} = 0.1 \, Hz$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/9} = 18 \, m$.
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/5}{\pi/9} = 1.8 \, m/s$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin (\omega t - kx)$ होता है।
दिया गया समीकरण: $y = a \sin \pi (40t - x) = a \sin (40\pi t - \pi x)$।
इसकी तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 40\pi$ और तरंग संख्या $k = \pi$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \frac{40\pi}{\pi} = 40 \, m/s$।
वैकल्पिक रूप से,$y = f(vt - x)$ के रूप वाले तरंग समीकरण के लिए,वेग फलन के अंदर $t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक का अनुपात होता है: $v = \frac{40\pi}{\pi} = 40 \, m/s$।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ होता है।
दिया गया समीकरण: $y = 0.2 \sin \left( \frac{2\pi t}{0.01} - \frac{2\pi x}{0.3} \right)$ है।
इसे मानक रूप से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{0.01} \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{0.3} \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
तरंग के संचरण का वेग $v$,$v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \frac{2\pi / 0.01}{2\pi / 0.3} = \frac{0.3}{0.01} = 30 \text{ m/s}$।

(D) दिया गया समीकरण $y = 4\sin 2\pi \left( \frac{t}{0.02} - \frac{x}{100} \right)$ है।
इस समीकरण की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a\sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ से करने पर:
$1$. आयाम $a = 4 \ cm$ है।
$2$. आवर्तकाल $T = 0.02 \ sec$,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02} = 50 \ \text{Hz}$ (या $\text{cycles/sec}$)।
$3$. तरंगदैर्ध्य $\lambda = 100 \ cm$ है।
$4$. तरंग का वेग $v = f \lambda = 50 \times 100 = 5000 \ \text{cm/sec} = 5 \times 10^3 \ \text{cm/sec}$ है।
विकल्प $(d)$ से तुलना करने पर,$50 \times 10^3 \ \text{cm/sec}$ गलत है। अतः,कथन $(d)$ सत्य नहीं है।

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y = a \sin \pi [\frac{t}{2} - \frac{x}{4}]$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \sin (\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,हमें $\omega = \frac{\pi}{2}$ और $k = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/2}{\pi/4} = 2 \ m/s$ है।
$t = 8 \ s$ समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी $d = v \times t$ है।
$d = 2 \ m/s \times 8 \ s = 16 \ m$.

(B) तरंग $A$ का समीकरण $y_A = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,तरंग $B$ समय $t=0$ पर अपने अधिकतम धनात्मक मान से शुरू होती है,इसलिए इसका समीकरण $y_B = A \sin(\omega t + \pi/2)$ है। इसका अर्थ है कि तरंग $B$,तरंग $A$ से $\pi/2$ के कला कोण से आगे है।
तरंग $C$ समय $t=0$ पर अपने न्यूनतम मान से शुरू होती है,इसलिए इसका समीकरण $y_C = A \sin(\omega t - \pi/2)$ है। इसका अर्थ है कि तरंग $C$,तरंग $A$ से $\pi/2$ के कला कोण से पीछे है।
तरंग $D$ समय $t=0$ पर ऋणात्मक ढाल के साथ शुरू होती है,जो $A$ के सापेक्ष $\pi$ का कला विस्थापन दर्शाती है,इसलिए $y_D = A \sin(\omega t - \pi)$ है।
अतः,तरंग $C$,$\pi/2$ के कला कोण से पीछे है और तरंग $B$,$\pi/2$ के कला कोण से आगे है।

(D) डोरी पर किसी बिंदु का कण वेग $v_p$ संबंध $v_p = -v \times (\text{उस बिंदु पर ग्राफ का ढाल})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग की गति है।
चूंकि तरंग बाएं से दाएं यात्रा कर रही है, इसलिए ढाल कण की गति की दिशा निर्धारित करती है।
बिंदु $1$ पर: वक्र का ढाल धनात्मक है। इसलिए, $v_p = -v \times (\text{धनात्मक}) = \text{ऋणात्मक}$, जिसका अर्थ है कि वेग नीचे की ओर $(\downarrow)$ है।
बिंदु $2$ पर: वक्र का ढाल ऋणात्मक है। इसलिए, $v_p = -v \times (\text{ऋणात्मक}) = \text{धनात्मक}$, जिसका अर्थ है कि वेग ऊपर की ओर $(\uparrow)$ है।
बिंदु $3$ पर: वक्र का ढाल फिर से धनात्मक है। इसलिए, $v_p = -v \times (\text{धनात्मक}) = \text{ऋणात्मक}$, जिसका अर्थ है कि वेग नीचे की ओर $(\downarrow)$ है।
अतः, दिशाएं क्रमशः $\downarrow, \uparrow, \downarrow$ हैं।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.5 \sin(10t + x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \text{ rad/s}$.
तरंग संख्या $k = 1 \text{ rad/m}$.
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{10}{1} = 10 \text{ m/s}$।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + ky)$ होता है।
दिए गए समीकरण $x = 1.2 \sin(314t + 12.56y)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 12.56 \, \text{rad/m}$ प्राप्त होती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ है।
$k$ और $\pi \approx 3.14$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 3.14}{12.56} = \frac{6.28}{12.56} = 0.5 \, \text{m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि साइन फलन के अंदर का पद $(314t + 12.56y)$ है,$t$ और $y$ पदों के बीच धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि तरंग $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में यात्रा कर रही है।
अतः,तरंग $-ve \, y$-दिशा में गति कर रही है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = 4 \sin \frac{\pi}{2} (8t - \frac{x}{8})$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $y = 4 \sin (4\pi t - \frac{\pi x}{16})$ प्राप्त होता है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 4\pi \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{16} \, rad/cm$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{4\pi}{\pi/16} = 4\pi \times \frac{16}{\pi} = 64 \, cm/s$।
चूंकि $t$ और $x$ पदों के बीच ऋणात्मक चिह्न है,इसलिए तरंग धनात्मक $x$ दिशा में गति कर रही है।

(C) तरंग का समीकरण $y = 2 \sin(2\pi x - 100\pi t + \pi/3)$ है।
कण के माध्य स्थिति पर होने के लिए,विस्थापन $y$ का मान $0$ होना चाहिए।
अतः,$2 \sin(2\pi x - 100\pi t + \pi/3) = 0$.
इसका अर्थ है कि साइन फलन का कोण $\pi$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $2\pi x - 100\pi t + \pi/3 = n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$x = 4 \text{ m}$ दिया गया है,इसे समीकरण में रखने पर:
$2\pi(4) - 100\pi t + \pi/3 = n\pi$
$8\pi - 100\pi t + \pi/3 = n\pi$
$100\pi t = 8\pi + \pi/3 - n\pi = \frac{25\pi}{3} - n\pi$.
पहला समय $t > 0$ ज्ञात करने के लिए,हम $n$ का मान इस प्रकार चुनते हैं कि $t$ धनात्मक और न्यूनतम हो। $n = 8$ लेने पर:
$100\pi t = \frac{25\pi}{3} - 8\pi = \frac{\pi}{3}$.
$t = \frac{\pi/3}{100\pi} = \frac{1}{300} \text{ s}$.

(B) $1$. आपतित तरंग धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करती है,इसलिए परावर्तित तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करेगी। यह साइन फलन के अंदर $x$ पद के चिह्न को $-x/2$ से बदलकर $+x/2$ कर देता है।
$2$. जब कोई तरंग सघन माध्यम से परावर्तित होती है,तो उसमें $\pi$ रेडियन $(180^{\circ})$ का कला परिवर्तन होता है,जो आयाम में एक ऋणात्मक चिह्न जोड़ता है।
$3$. नया आयाम आपतित आयाम का $2/3$ दिया गया है: $A' = (2/3) \times 0.6 = 0.4$.
$4$. इन सबको मिलाने पर,परावर्तित तरंग का समीकरण $y = -0.4 \sin 2\pi (t + x/2)$ है।

(A) एक समतल प्रगामी यांत्रिक तरंग में,माध्यम के कण समान आयाम के साथ $S.H.M.$ करते हैं,लेकिन उनकी स्थिति के आधार पर उनकी कला (phase) अलग-अलग होती है।
कथन $A$ गलत है क्योंकि तरंग संचरण की दिशा में अलग-अलग स्थानों पर स्थित कण अलग-अलग कला में कंपन करते हैं।
कथन $B$,$C$,और $D$ समतल प्रगामी तरंग के मानक गुण हैं और इसलिए वे सही हैं।

(B) आपतित तरंग धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है,जिसका समीकरण $y = 0.6 \sin 2\pi (t - x/2)$ है।
सघन माध्यम से परावर्तन के बाद,तरंग विपरीत दिशा (ऋणात्मक $x$-दिशा) में गति करती है,इसलिए $(t - x/2)$ पद $(t + x/2)$ में बदल जाता है।
इसके अतिरिक्त,सघन माध्यम से परावर्तन पर $\pi$ $(180^{\circ})$ का कला परिवर्तन होता है,जिसे ऋणात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
नया आयाम $A' = \frac{2}{3} \times 0.6 = 0.4$ है।
अतः,परावर्तित तरंग का समीकरण $y = -0.4 \sin 2\pi (t + x/2)$ होगा।

(D) कण का वेग $v_p$ संबंध $v_p = -v \times (\text{उस बिंदु पर ग्राफ का ढाल})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग का वेग है।
चूंकि तरंग बाएं से दाएं यात्रा कर रही है, इसलिए $v$ धनात्मक है।
बिंदु $1$ पर: वक्र का ढाल धनात्मक है। इसलिए, कण का वेग $v_p = -v \times (\text{धनात्मक ढाल})$ ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि दिशा नीचे की ओर $(\downarrow)$ है।
बिंदु $2$ पर: वक्र का ढाल ऋणात्मक है। इसलिए, कण का वेग $v_p = -v \times (\text{ऋणात्मक ढाल})$ धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि दिशा ऊपर की ओर $(\uparrow)$ है।
बिंदु $3$ पर: वक्र का ढाल धनात्मक है। इसलिए, कण का वेग $v_p = -v \times (\text{धनात्मक ढाल})$ ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि दिशा नीचे की ओर $(\downarrow)$ है।
अतः, सही दिशाएँ $1 - \downarrow, 2 - \uparrow, 3 - \downarrow$ हैं।

(B) दी गई आकृति से,हम तरंगों के बीच कला संबंध देख सकते हैं।
तरंग $A$ को $y = a \sin(\omega t)$ द्वारा दर्शाया गया है।
तरंग $B$,$t=0$ पर ऋणात्मक ढाल के साथ शुरू होती है और $t=0$ पर अपनी माध्य स्थिति प्राप्त करती है,जो $A$ के सापेक्ष $+\pi/2$ का कला अंतर दर्शाती है (चूंकि यह एक ऋणात्मक साइन तरंग है,$y_B = a \sin(\omega t + \pi/2) = a \cos(\omega t)$)।
तरंग $C$,$t = \pi/2\omega$ पर अपनी माध्य स्थिति प्राप्त करती है,जो तरंग $A$ से $\pi/2$ बाद है। अतः,तरंग $C$,तरंग $A$ से $\pi/2$ के कला कोण से पीछे है $(y_C = a \sin(\omega t - \pi/2))$।
इसलिए,तरंग $C$,$\pi/2$ के कला कोण से पीछे है और तरंग $B$,$\pi/2$ के कला कोण से आगे है।

(A) एक समतल प्रगामी यांत्रिक तरंग में,माध्यम के कण समान आयाम और आवृत्ति के साथ $SHM$ करते हैं,लेकिन वे अपनी स्थिति के आधार पर अलग-अलग कलाओं में कंपन करते हैं। तरंग का वेग माध्यम के गुणों (जैसे प्रत्यास्थता और घनत्व) द्वारा निर्धारित होता है। इसलिए,यह कथन कि 'सभी कण समान कला में कंपन कर रहे हैं' गलत है,क्योंकि कला समीकरण $\phi = kx - \omega t$ के अनुसार स्थिति $x$ के साथ बदलती रहती है।

(C) एक प्रगामी तरंग को $f(x \pm vt)$ के रूप के फलन या $k x \pm \omega t$ के हार्मोनिक पदों के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है।
विकल्प $A$ एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है क्योंकि इसमें स्थानिक और समय के भाग अलग-अलग हैं।
विकल्प $B$ एक मान्य तरंग फलन नहीं है क्योंकि यह तरंग समीकरण $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ को संतुष्ट नहीं करता है।
विकल्प $C$ को $y = R \sin(5x - 0.5t + \phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक प्रगामी तरंग का मानक रूप है।
विकल्प $D$ दो अप्रगामी तरंगों के अध्यारोपण को दर्शाता है।
अतः,केवल विकल्प $C$ ही एक प्रगामी तरंग को दर्शाता है।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ है।
दिया गया समीकरण $y = 0.02 \sin \left( \frac{2\pi t}{0.01} - \frac{2\pi x}{0.30} \right)$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{0.01} \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{0.30} \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
संचरण का वेग $v$,$v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \frac{2\pi / 0.01}{2\pi / 0.30} = \frac{0.30}{0.01} = 30 \text{ m/s}$.

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = a \sin (\omega t + kx + \phi)$ है।
इसे $y(x, t) = 3.0 \sin (36t + 0.018x + \pi/4)$ के साथ तुलना करने पर:
$(a)$ चूँकि समीकरण $f(ax + bt)$ के रूप में है,यह एक प्रगामी तरंग को दर्शाता है। $t$ और $x$ के बीच धनात्मक चिह्न होने के कारण,यह दाएं से बाएं (ऋणात्मक $x$-दिशा) की ओर संचरित होती है। चाल $v = \omega/k = 36 / 0.018 = 2000 \, cm/s = 20 \, m/s$ है।
$(b)$ आयाम $a = 3.0 \, cm$ है। आवृत्ति $\nu = \omega / (2\pi) = 36 / (2 \times 3.1416) \approx 5.73 \, Hz$ है।
$(c)$ मूल बिंदु $(x=0, t=0)$ पर प्रारंभिक कला $\phi = \pi/4 \, rad$ है।
$(d)$ दो क्रमिक शृंगों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2\pi / k = 2 \times 3.1416 / 0.018 \approx 349 \, cm = 3.49 \, m$ है।

(N/A) $1$. प्रगामी तरंग: वह तरंग जो बिना अपना रूप बदले किसी माध्यम में एक निश्चित दिशा में निरंतर आगे बढ़ती है,उसे प्रगामी तरंग कहते हैं।
$2$. तरंग समीकरण: वह गणितीय व्यंजक जो माध्यम के कणों के विस्थापन को स्थिति $(x)$ और समय $(t)$ के फलन के रूप में वर्णित करता है,तरंग समीकरण कहलाता है।
$3$. प्रगामी हार्मोनिक अनुप्रस्थ तरंग के लिए तरंग समीकरण: स्थिति $x$ और समय $t$ पर कण का विस्थापन $y$ इस प्रकार है: $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$,जहाँ $A$ आयाम है,$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ कोणीय तरंग संख्या है,$\omega = 2\pi f$ कोणीय आवृत्ति है और $\phi$ प्रारंभिक कला नियतांक है।
$4$. ग्राफ द्वारा व्याख्या:
- $y-x$ ग्राफ (नियत $t$ पर): यह किसी विशेष क्षण पर तरंग की स्थिति को दर्शाता है,जो विस्थापन में स्थानिक परिवर्तन को प्रदर्शित करता है।
- $y-t$ ग्राफ (नियत $x$ पर): यह समय के साथ एक निश्चित स्थिति पर एक एकल कण के दोलन को दर्शाता है।

(B) प्रगामी तरंग (या ट्रैवलिंग वेव) वह तरंग है जो माध्यम में अपने आकार में परिवर्तन किए बिना निरंतर आगे बढ़ती है।
यह माध्यम में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा और संवेग के निरंतर स्थानांतरण द्वारा अभिलक्षित होती है।
उदाहरणों में ध्वनि तरंगें,जल तरंगें और प्रकाश तरंगें शामिल हैं।
एक प्रगामी तरंग में,माध्यम का प्रत्येक कण अपने माध्य स्थिति के चारों ओर समान आयाम और आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति करता है,लेकिन अपने पड़ोसी कणों के सापेक्ष कलांतर (phase difference) रखता है।

(N/A) तरंग चाल: एकांक समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी को तरंग चाल कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक $m/s$ है।
प्रगामी तरंग की चाल ज्ञात करने के लिए,हम तरंग पर स्थित एक बिंदु (जैसे कि श्रृंग) की गति पर विचार करते हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,तरंग पर स्थित बिंदु तरंग पैटर्न के सापेक्ष अपना विस्थापन बनाए रखता है।
यदि तरंग $\Delta t$ समय में $\Delta x$ विस्थापन तय करती है,तो तरंग चाल है:
$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$
प्रगामी तरंग के लिए $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$,तरंग पैटर्न पर एक विशिष्ट बिंदु के लिए कला (phase) स्थिर रहती है:
$kx - \omega t = \text{स्थिरांक}$
जैसे-जैसे तरंग आगे बढ़ती है,किसी बिंदु को बाद के समय $(t + \Delta t)$ पर समान कला बनाए रखने के लिए,उसकी स्थिति बदलकर $(x + \Delta x)$ होनी चाहिए:
$k(x + \Delta x) - \omega(t + \Delta t) = kx - \omega t$
$kx + k\Delta x - \omega t - \omega\Delta t = kx - \omega t$
$k\Delta x = \omega\Delta t$
$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\omega}{k}$
चूंकि $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$,इसलिए $v = \frac{\omega}{k}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$ और $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \frac{(2\pi / T)}{(2\pi / \lambda)} = \frac{\lambda}{T}$.

(A) तरंग की चाल $(v)$ उसके तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और आवृत्ति $(\nu)$ के गुणनफल के बराबर होती है: $v = \nu \lambda$।
$t$ समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी इस प्रकार है: $\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$।
चाल का मान रखने पर: $\text{दूरी} = (\nu \lambda) \times t = \lambda \nu t$।

(B) एक प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \sin (0.01x - 2t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हम तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ की पहचान करते हैं:
$k = 0.01 \ rad/cm$
$\omega = 2 \ rad/s$
तरंग की संचरण गति $v$ को कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{2}{0.01} = 200 \ cm/s$
अतः,संचरण की गति $200 \ cm/s$ है।

(N/A) दिए गए समीकरण $y = 5 \sin(100\pi t + 0.4\pi x)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t + kx + \phi)$ से करने पर:
$(a)$ आयाम $a = 5 \ m$.
$(b)$ तरंग संख्या $k = 0.4\pi$. चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $0.4\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2}{0.4} = 5 \ m$.
$(c)$ कोणीय आवृत्ति $\omega = 100\pi$. चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $100\pi = 2\pi f \Rightarrow f = 50 \ Hz$.
$(d)$ तरंग वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100\pi}{0.4\pi} = 250 \ m/s$.
$(e)$ कण वेग का आयाम $v_{\max} = a\omega = 5 \times 100\pi = 500\pi \ m/s$.

(B) धनात्मक $x$-दिशा में गति करने वाली एक समतल प्रगामी तरंग को गणितीय रूप से $y = A \sin(\omega t - kx)$ समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$A$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,$t$ समय है,$k$ तरंग संख्या है और $x$ स्थिति है।
$\omega t$ और $kx$ के बीच का ऋणात्मक चिह्न धनात्मक $x$-दिशा में संचरण को दर्शाता है,जबकि धनात्मक चिह्न ऋणात्मक $x$-दिशा में संचरण को दर्शाता है।

(C) दी गई तरंग का समीकरण $y = A \cos 240(t - x/12)$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $y = A \cos(240t - 240x/12) = A \cos(240t - 20x)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = A \cos(\omega t - kx)$ से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 20 \, rad/m$ प्राप्त करते हैं।
$\Delta x$ दूरी से अलग दो बिंदुओं के बीच कलांतर $\Delta \phi$ सूत्र $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta x = 0.5 \, m$ और $k = 20 \, rad/m$ दिया गया है,इसलिए:
$\Delta \phi = 20 \times 0.5 = 10 \, rad$.
अतः,कलांतर $10 \, rad$ है।

(D) दो बिंदु कंपन की समान अवस्था (समान कला) में तब होते हैं जब उनका विस्थापन समान हो और वे एक ही दिशा में गति कर रहे हों। यह उन बिंदुओं पर होता है जो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के पूर्णांक गुणज की दूरी पर स्थित होते हैं।
आरेख को देखने पर,बिंदु $B$ पहले श्रृंग (crest) के नीचे की ओर ढलान पर स्थित है। बिंदु $E$ तीसरे श्रृंग के नीचे की ओर ढलान पर स्थित है।
$B$ और $E$ के बीच की दूरी ठीक एक पूर्ण तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर है।
अतः,बिंदु $B$ और $E$ समान कला में हैं।

(B) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $Y = a \sin (\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = a \sin (2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{5})$ के साथ तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n$.
तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{5}$.
तरंग वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / 5} = 5n$.
कण का वेग $v_p = \frac{dY}{dt} = a \omega \cos (\omega t - kx)$.
अधिकतम कण वेग $v_m = a \omega = a (2 \pi n) = 2 \pi n a$.
अधिकतम कण वेग और तरंग वेग का अनुपात $\frac{v_m}{v} = \frac{2 \pi n a}{5n} = \frac{2 \pi a}{5}$ है।

(C) कलांतर $\Delta \phi$ और समयांतराल $\Delta t$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \omega \Delta t = (2\pi f) \Delta t$
दी गई आवृत्ति $f = 50 \,Hz$ और समयांतराल $\Delta t = 0.01 \,s$ है।
मान रखने पर:
$\Delta \phi = 2 \times \pi \times 50 \times 0.01$
$\Delta \phi = 100 \pi \times 0.01$
$\Delta \phi = \pi \,rad$.

(C) प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 12 \sin(5t - 4x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 4 \ rad/cm$ प्राप्त होती है।
$\Delta x$ दूरी से अलग हुए दो बिंदुओं के बीच कलांतर $\Delta \phi$ को संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
हमें कलांतर $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \ rad$ दिया गया है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$।
अतः,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \times 4} = \frac{\pi}{8} \ cm$।

(B) दिया गया है:
आवृत्ति $f = 400 \ Hz$
वेग $v = 336 \ m/s$
कलांतर $\Delta \phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
सबसे पहले,$v = f \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{336}{400} = 0.84 \ m$.
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
$\Delta x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta x = \frac{\Delta \phi \cdot \lambda}{2\pi}$.
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{(\pi/3) \cdot 0.84}{2\pi} = \frac{0.84}{6} = 0.14 \ m$.
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $0.14 \ m$ है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin \left( \omega t - kx + \phi \right)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 3 \sin \left[ \pi \left( \frac{t}{3} - \frac{x}{5} \right) + \frac{\pi}{4} \right]$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$Y = 3 \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi x}{5} + \frac{\pi}{4} \right)$.
यहाँ,आयाम $A = 3 \ m$ है (क्योंकि $x$ और $y$ मीटर में हैं)।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ है।
तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{5} \ rad/m$ है।
$1$. तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \ m$.
$2$. वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/3}{\pi/5} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \ m/s$.
$3$. आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \ Hz$.
इन परिणामों की तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(B) प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 12 \sin (5t - 4x)$ है।
प्रगामी तरंग का मानक रूप $y = A \sin (\omega t - kx)$ होता है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 4$ प्राप्त होती है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$.
अतः,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} = \frac{\pi}{8}$.

(C) एक सरल आवर्ती प्रगामी तरंग वह तरंग है जो माध्यम के कणों के स्थायी विस्थापन के बिना माध्यम में यात्रा करती है।
गणितीय रूप से,एक प्रगामी तरंग को $y = f(vt \pm x)$ या $y = a \sin(\omega t \pm kx + \phi)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
इस व्यंजक में,$y$ विस्थापन है,$a$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,$t$ समय है,$k$ तरंग संख्या है,और $x$ स्थिति है।
विकल्प $A$ एक निश्चित स्थिति पर सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
विकल्प $B$ एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है।
विकल्प $C$ एक सरल आवर्ती प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि इसमें कला (phase) के तर्क में स्थान $(x)$ और समय $(t)$ दोनों चर शामिल हैं।
विकल्प $D$ केवल स्थानिक परिवर्तन को दर्शाता है।

(B) प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y=3 \sin \pi\left(\frac{t}{2}-\frac{x}{4}\right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हम समीकरण को $y=3 \sin 2\pi \left(\frac{t}{4}-\frac{x}{8}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इससे,हम आवर्तकाल $T=4 \,s$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda=8 \,m$ प्राप्त करते हैं।
तरंग का वेग $v = \frac{\lambda}{T} = \frac{8}{4} = 2 \,m/s$ है।
$t=5 \,s$ समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी $s = v \times t = 2 \times 5 = 10 \,m$ है।

(B) एक प्रगामी तरंग को $y = f(ax \pm bt)$ के रूप के फलन द्वारा दर्शाया जाता है।
विकल्प $(A)$ एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है क्योंकि यह स्थानिक और समय फलनों का गुणनफल है।
विकल्प $(B)$ एक आवर्ती फलन नहीं है।
विकल्प $(C)$ को सर्वसमिका $A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin(\theta + \phi)$ का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है,जहाँ $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है। अतः,$y = 5 \sin(5x - 0.5t + \phi)$,जो एक मानक प्रगामी तरंग समीकरण है।
विकल्प $(D)$ अलग-अलग आवृत्तियों और तरंग संख्याओं वाली दो तरंगों का अध्यारोपण है,यह एक एकल प्रगामी तरंग नहीं है।
इसलिए,केवल $(C)$ एक प्रगामी तरंग को दर्शाता है।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $x = A \cos(\omega t - ky)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.4 \cos \left(8t - \frac{y}{2}\right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 8 \ rad \cdot s^{-1}$
तरंग संख्या $k = \frac{1}{2} \ m^{-1}$
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{8}{1/2} = 8 \times 2 = 16 \ m \cdot s^{-1}$।
अतः,तरंग की गति $16 \ m \cdot s^{-1}$ है।

(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = 500 \,Hz$, वेग $v = 360 \,ms^{-1}$, कलांतर $\Delta\phi = 60^{\circ}$.
सबसे पहले, $\lambda = \frac{v}{f}$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें।
$\lambda = \frac{360}{500} = 0.72 \,m$.
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\Delta\phi$ के बीच का संबंध $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
$60^{\circ}$ को रेडियन में बदलने पर: $60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \,rad$.
मान रखने पर: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
$\Delta x = \frac{\lambda}{6} = \frac{0.72}{6} = 0.12 \,m$.
अतः, दो बिंदुओं के बीच की दूरी $0.12 \,m$ है।

(A) धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ है।
$t=0$ पर,समीकरण $y = 3 \sin(-2\pi x / 3)$ है,जिसका अर्थ है $k = 2\pi / 3$.
तरंग का वेग $v = 4 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $v = \omega / k$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\omega = v \cdot k = 4 \times (2\pi / 3) = 8\pi / 3$.
अतः,सामान्य तरंग समीकरण $y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}t - \frac{2\pi}{3}x\right)$ होगा।
$t=4 \ s$ पर,$t$ का मान रखने पर:
$y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}(4) - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$y = 3 \sin \left(\frac{32\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$2\pi$ को कॉमन लेने पर:
$y = 3 \sin 2\pi \left(\frac{16}{3} - \frac{x}{3}\right) = 3 \sin 2\pi \left(-\frac{x-16}{3}\right)$.

(A) दी गई तरंग समीकरण $y = A \sin \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ है।
इसे मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,हमें $\omega = \frac{2 \pi v}{\lambda}$ और $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
कण का वेग $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \cos \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ होता है।
कण का अधिकतम वेग $(v_p)_{\max} = A \omega = A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(v_p)_{\max} = 3v$ है।
अतः,$A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right) = 3v$ है।
दोनों पक्षों से $v$ को हटाने पर,$\frac{2 \pi A}{\lambda} = 3$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,$\lambda = \frac{2 \pi A}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos(\omega t - kx)$ है।
दिया गया समीकरण: $y = 5 \cos(200\pi t - \frac{\pi x}{150})$.
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 200\pi \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{150} \text{ rad/cm}$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{200\pi}{\pi/150} = 200 \times 150 = 30000 \text{ cm/s}$.
वेग को m/s में बदलने के लिए,हम $100$ से भाग देंगे: $v = \frac{30000}{100} = 300 \text{ m/s}$.