Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Hindi

(B) मैक संख्या एक विमाहीन राशि है जो किसी वस्तु की गति और आसपास के माध्यम में ध्वनि की गति के अनुपात को दर्शाती है।
गणितीय रूप से,$\text{Mach number} = \frac{\text{Velocity of object}}{\text{Velocity of sound}}$.
अतः,एक मैक संख्या उस माध्यम में ध्वनि के वेग के बराबर होती है,जो मानक परिस्थितियों में हवा में लगभग $332\,m/s$ होता है।

(B) गैस में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र है: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है,$P$ दबाव है और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि दोनों गैसें द्वि-परमाणुक हैं,इसलिए दोनों के लिए $\gamma$ समान होगा।
तापमान और दबाव $P$ स्थिर होने के कारण,गति $v_1$ और $v_2$ का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\gamma P / d_1}{\gamma P / d_2}} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$।

(D) गैस में ध्वनि तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
दिया गया है: दाब $P = 1 \, kPa = 10^3 \, Pa$,घनत्व $\rho = 2.6 \, kg/m^3$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{\frac{5}{3} \times 10^3}{2.6}}$
$v = \sqrt{\frac{1666.67}{2.6}}$
$v = \sqrt{641.02} \approx 25.3 \, m/s$।
चूंकि $25.3 \, m/s$ विकल्पों $A$,$B$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) ध्वनि एक यांत्रिक तरंग है,जिसे संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है। इसलिए,ध्वनि निर्वात से होकर यात्रा नहीं कर सकती है। चूंकि ध्वनि निर्वात में यात्रा ही नहीं कर सकती,इसलिए यह कथन कि यह निर्वात में हवा की तुलना में तेजी से यात्रा करती है,गलत है।

(A) माध्यम में ध्वनि तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ बल्क मापांक है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
ध्वनि तरंगों का अल्ट्रासोनिक,इन्फ्रासोनिक और श्रव्य श्रेणियों में वर्गीकरण पूरी तरह से उनकी आवृत्ति (या तरंग दैर्ध्य) पर आधारित है।
ध्वनि तरंग की गति केवल माध्यम के भौतिक गुणों (जैसे लोच और घनत्व) पर निर्भर करती है और यह तरंग की आवृत्ति से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,एक दिए गए माध्यम में,अल्ट्रासोनिक,इन्फ्रासोनिक और श्रव्य तरंगों की गति लगभग समान होती है,अर्थात $V_u \approx V_i \approx V_a$।

(D) तरंग वेग $(v)$,आवृत्ति $(n)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = n\lambda$.
दिया गया है:
आवृत्ति $(n)$ = $256\, Hz$ (प्रति सेकंड कंपन)।
ध्वनि का वेग $(v)$ = $330\, m/s$।
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{v}{n}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{330}{256} \approx 1.289\, m$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda = 1.29\, m$ प्राप्त होता है।

(D) सीटी की ध्वनि को स्रोत से व्यक्ति तक पहुँचने में एक निश्चित समय लगता है।
दिया गया है दूरी $d = 2\, km = 2000\, m$।
ध्वनि की गति $v = 330\, m/s$।
ध्वनि को व्यक्ति तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{d}{v}$ है।
$t = \frac{2000}{330} \approx 6.06\, s \approx 6\, s$।
चूंकि ध्वनि को व्यक्ति तक पहुँचने में $6\, s$ का समय लगता है,इसलिए वह सीटी बजने के $6\, s$ बाद आवाज सुनेगा। परिणामस्वरूप,वह अपनी घड़ी $6\, s$ देरी से सेट करेगा,जिसका अर्थ है कि उसकी घड़ी $6\, s$ पीछे होगी।

(A) सरल आवर्त गति में कण का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ सूत्र $v_{\max} = a\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है:
आयाम $a = 0.1 \text{ cm}$
आवृत्ति $n = 300 \text{ Hz}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 300 = 600\pi \text{ rad/s}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{\max} = 0.1 \times 600\pi = 60\pi \text{ cm/s}$.
अतः,कण का अधिकतम वेग $60\pi \text{ cm/s}$ है।

(C) मनुष्यों के लिए श्रव्य आवृत्ति की सीमा सामान्यतः $20 \ Hz$ से $20,000 \ Hz$ $(20 \ kHz)$ के बीच होती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 5 \ Hz$ इन्फ्रासोनिक है ($20 \ Hz$ से कम)।
$B) 27,000 \ Hz$ अल्ट्रासोनिक है ($20,000 \ Hz$ से अधिक)।
$C) 5,000 \ Hz$ श्रव्य सीमा के अंतर्गत आता है $(20 \ Hz - 20,000 \ Hz)$।
$D) 50,000 \ Hz$ अल्ट्रासोनिक है ($20,000 \ Hz$ से अधिक)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{v}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $n$ आवृत्ति है।
पराश्रव्य तरंगों की आवृत्ति $n$,$20,000 \, Hz$ से अधिक होती है। मान लीजिए $n \approx 50,000 \, Hz$ है।
वायु में ध्वनि की गति $v \approx 330 \, m/s$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{330}{50,000} \, m = 0.0066 \, m = 0.66 \, cm$।
वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर,$0.66 \, cm = 6.6 \times 10^{-1} \, cm$। हालाँकि,प्रयोगों में उपयोग की जाने वाली सामान्य पराश्रव्य तरंगों के लिए परिमाण की कोटि पर विचार करते हुए,$5 \times 10^{-5} \, cm$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(A) तरंग गति $(v)$,आवृत्ति $(n)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = n \lambda$।
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{v}{n}$।
दिया गया है:
आवृत्ति $(n)$ = $4.2 \, MHz = 4.2 \times 10^6 \, Hz$।
ध्वनि की गति $(v)$ = $1.7 \, km/s = 1.7 \times 10^3 \, m/s$।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{1.7 \times 10^3}{4.2 \times 10^6} = \frac{1.7}{4.2} \times 10^{-3} \approx 0.4047 \times 10^{-3} \, m = 4.047 \times 10^{-4} \, m$।
निकटतम मान लेने पर,$\lambda \approx 4 \times 10^{-4} \, m$ प्राप्त होता है।

(D) मानव कान के लिए श्रव्य आवृत्ति सीमा $20 \text{ Hz}$ से $20,000 \text{ Hz}$ होती है।
कमरे के तापमान पर हवा में ध्वनि की गति $v \approx 340 \text{ m/s}$ लेने पर।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min}$ ज्ञात करने के लिए,हम अधिकतम आवृत्ति $f_{\max} = 20,000 \text{ Hz}$ का उपयोग करते हैं।
$\lambda_{\min} = \frac{340}{20,000} \text{ m} = 0.017 \text{ m} = 17 \text{ mm}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लगभग $20 \text{ mm}$ है।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए चालों का अनुपात $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{N_2}}{\gamma_{He}} \times \frac{M_{He}}{M_{N_2}}}$ होगा।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,$\gamma_{N_2} = 1.4 = 7/5$ और मोलर द्रव्यमान $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ है।
हीलियम $(He)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,$\gamma_{He} = 1.67 = 5/3$ और मोलर द्रव्यमान $M_{He} = 4 \ g/mol$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \times \frac{4}{28}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.

(C) दिया गया है:
आवृत्ति $(n)$ = $200 Hz$
ध्वनि का वेग $(v)$ = $340 m/s$
हम जानते हैं कि वेग,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = n \times \lambda$
जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
$\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{v}{n}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{340}{200} = 1.7 m$
अतः,उत्पन्न ध्वनि की तरंगदैर्ध्य $1.7 m$ है।

(B) मानव कान $20 Hz$ से $20,000 Hz$ $(20 kHz)$ तक की आवृत्ति वाली ध्वनि तरंगों के प्रति संवेदनशील होते हैं।
इस विशिष्ट सीमा को मनुष्यों के लिए श्रव्य सीमा (audible range) के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,श्रव्य ध्वनि की आवृत्ति सीमा $20 Hz - 20 kHz$ है।

(D) माध्यम में ध्वनि की गति $v = \frac{d}{t}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम माध्यम के लिए,$v_1 = \frac{2 \, km}{3 \, sec} = \frac{2}{3} \, km/s$.
दूसरे माध्यम (हवा) के लिए,$v_2 = \frac{3 \, km}{10 \, sec} = \frac{3}{10} \, km/s$.
चूंकि ध्वनि तरंग की आवृत्ति $f$ विभिन्न माध्यमों के बीच यात्रा करते समय स्थिर रहती है,इसलिए गति $v$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक होती है $(v = f \lambda \implies v \propto \lambda)$.
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{v_1}{v_2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2/3}{3/10} = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}$.
इस प्रकार,अनुपात $20:9$ है।

(B) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में यात्रा करती है,तो उसकी आवृत्ति केवल तरंग के स्रोत पर निर्भर करती है और अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,माध्यम के गुणों (जैसे घनत्व और लोच) के आधार पर तरंग का वेग और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं।
इसलिए,आवृत्ति स्थिर रहती है।

(B) गूंज सुनने में लगा कुल समय $t$,पत्थर को पानी की सतह तक गिरने में लगे समय $(t_1)$ और ध्वनि को वापस ऊपर आने में लगे समय $(t_2)$ का योग है।
$t = t_1 + t_2$
विराम अवस्था से गिरते पत्थर के लिए,$h = \frac{1}{2}gt_1^2$,इसलिए $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
यहाँ $h = 19.6\,m$ और $g = 9.8\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2.0\,s$.
ध्वनि को वापस आने में लगा समय $t_2 = t - t_1 = 2.06\,s - 2.0\,s = 0.06\,s$.
ध्वनि का वेग $v = \frac{h}{t_2} = \frac{19.6}{0.06} \approx 326.7\,m/s$ होगा।

(B) गैस में ध्वनि का वेग उसके परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $v \propto \sqrt{T}$।
यह दिया गया है कि तापमान $T_2$ पर वेग,$T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ पर वेग का दोगुना है,इसलिए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$
इसे सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ}C) = 1092 - 273 = 819^{\circ}C$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) ध्वनि का वेग माध्यम की प्रत्यास्थता और घनत्व पर निर्भर करता है। ठोस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{Y/\rho}$ है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ घनत्व है।
दिए गए विकल्पों में से,$Steel$ (इस्पात) एक ठोस है,$Water$ (जल) एक द्रव है और $Air$ (वायु) एक गैस है। ध्वनि ठोस पदार्थों में सबसे तेज़ यात्रा करती है क्योंकि उनके कण अधिक निकटता से जुड़े होते हैं,जिससे यांत्रिक कंपन का संचरण तेज़ी से होता है।
$Vacuum$ (निर्वात) में ध्वनि बिल्कुल भी यात्रा नहीं कर सकती क्योंकि इसे संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है। इसलिए,ध्वनि का वेग $Steel$ में अधिकतम होता है।

(B) संपीड़न और निकटतम विरलन के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2}$।
दिया गया है,$\frac{\lambda}{2} = 1\, m$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2\, m$ है।
ध्वनि का वेग $v = 360\, m/s$ है।
आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{\lambda}$ है।
मान रखने पर,$f = \frac{360}{2} = 180\, Hz$।

(A) गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
यह मानते हुए कि दोनों गैसों के लिए तापमान और दबाव समान हैं,वेग का अनुपात उनके घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{\rho_{O_2}}}$
यह दिया गया है कि ऑक्सीजन का घनत्व हाइड्रोजन का $16$ गुना है,अर्थात $\rho_{O_2} = 16 \rho_{H_2}$,इसलिए:
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{16 \rho_{H_2}}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
अतः,ऑक्सीजन और हाइड्रोजन में ध्वनि तरंगों के वेग का अनुपात $1:4$ है।

(A) मान लीजिए कि शूटर और परावर्तक सतह के बीच की दूरी $d$ है।
जब ध्वनि उत्पन्न होती है,तो वह परावर्तक सतह तक जाती है और प्रतिध्वनि बनाने के लिए वापस शूटर के पास आती है।
इसलिए,ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d$ है।
प्रतिध्वनि सुनाई देने में लगा समय $t = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{ध्वनि का वेग}} = \frac{2d}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t = 8 \, s$ और $v = 350 \, m/s$।
मान रखने पर: $8 = \frac{2d}{350}$।
$2d = 8 \times 350 = 2800$।
$d = \frac{2800}{2} = 1400 \, m$।
अतः,परावर्तक सतह की दूरी $1400 \, m$ है।

(B) सायरन से व्यक्ति तक ध्वनि को पहुँचने में लगा समय $t = \frac{d}{v}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,दूरी $d = 1 \,km = 1000 \,m$ और ध्वनि का वेग $v = 330 \,m/s$ है।
समय की गणना करने पर: $t = \frac{1000}{330} \approx 3.03 \,s$।
चूंकि ध्वनि उत्पन्न होने के $3.03 \,s$ बाद व्यक्ति को सुनाई देती है,इसलिए वह $3.03 \,s$ देरी से ध्वनि सुनता है।
अतः,जब वह ध्वनि सुनकर अपनी घड़ी सेट करता है,तो उसकी घड़ी वास्तविक समय से $3.03 \,s$ पीछे होगी।
इस प्रकार,उसकी घड़ी लगभग $3 \,s$ पीछे सेट है।

(D) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$P$ दाब है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ के अनुसार,इसे $P = \frac{\rho RT}{M}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
इस मान को वेग के सूत्र में रखने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $v$ केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (स्थिर $\gamma$ और $M$) पर निर्भर करता है,इसलिए यह स्थिर तापमान पर दाब $P$ से स्वतंत्र होता है।
अतः,वायु में ध्वनि का वेग वायु के दाब से स्वतंत्र होता है।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म गुणांक (adiabatic index) है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों गैसें एकपरमाणुक हैं,इसलिए उनका रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = 5/3$ समान होगा।
यह दिया गया है कि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए ध्वनि की चाल मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अतः,गैस $1$ में ध्वनि की चाल $(v_1)$ और गैस $2$ में ध्वनि की चाल $(v_2)$ का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि आदमी की दोनों चट्टानों से दूरी क्रमशः $d_1$ और $d_2$ है।
पहली गूँज के लिए ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d_1 = v \times t_1$ है,जहाँ $v = 340 \, ms^{-1}$ और $t_1 = 1.5 \, s$ है।
$d_1 = \frac{v \times t_1}{2} = \frac{340 \times 1.5}{2} = 170 \times 1.5 = 255 \, m$.
दूसरी गूँज के लिए ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d_2 = v \times t_2$ है,जहाँ $t_2 = 3.5 \, s$ है।
$d_2 = \frac{v \times t_2}{2} = \frac{340 \times 3.5}{2} = 170 \times 3.5 = 595 \, m$.
चट्टानों के बीच की कुल दूरी $D = d_1 + d_2 = 255 + 595 = 850 \, m$ है।

(A) किसी दिए गए माध्यम में ध्वनि तरंग का वेग केवल माध्यम के गुणों (जैसे घनत्व,प्रत्यास्थता,तापमान,आदि) पर निर्भर करता है और यह तरंग की आवृत्ति से स्वतंत्र होता है।
चूंकि माध्यम समान रहता है,इसलिए आवृत्ति को $4n$ तक बढ़ाने पर भी तरंग का वेग $v$ ही बना रहता है।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $T_1$ तापमान पर ध्वनि की गति $v_1$ है और $T_2$ तापमान पर गति $v_2$ है।
दिया गया है कि $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$।
हम गति को दोगुना करना चाहते हैं,इसलिए $v_2 = 2v_1$।
समानुपात $v_2/v_1 = \sqrt{T_2/T_1}$ का उपयोग करने पर,हमें $2 = \sqrt{T_2/300}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = T_2/300$,जिससे $T_2 = 1200 \ K$ प्राप्त होता है।
सेल्सियस में बदलने पर,$T_2 = 1200 - 273 = 927^\circ C$।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
यहाँ,$\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $v$ केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (जो $\gamma$ और $M$ द्वारा दर्शाई जाती है) पर निर्भर करता है,इसलिए यह स्थिर तापमान पर गैस के दबाव $P$ और घनत्व $\rho$ से स्वतंत्र है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए कि व्यक्ति और परावर्तक सतह के बीच की दूरी $d$ है।
गूँज सुनने के लिए,ध्वनि को परावर्तक सतह तक जाना चाहिए और वापस प्रेक्षक तक आना चाहिए।
इसलिए,ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d$ है।
सूत्र $2d = v \times t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 340 \, m/s$ और $t = 1 \, s$ है:
$2d = 340 \times 1$
$2d = 340$
$d = \frac{340}{2} = 170 \, m$.
अतः,व्यक्ति और परावर्तन बिंदु के बीच की दूरी $170 \, m$ है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
दी गई गैसों के मोलर द्रव्यमान की तुलना करने पर:
$M(H_2) = 2 \ g/mol$
$M(N_2) = 28 \ g/mol$
$M(He) = 4 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
चूँकि दिए गए विकल्पों में $H_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए ध्वनि का वेग $H_2$ में अधिकतम होता है।

(D) परावर्तक सतह तक की दूरी $d$ के लिए सूत्र $2d = v \times t$ है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि का वेग है,जिसे सामान्यतः $332 \, m/s$ लिया जाता है।
$t$ सुनने की दृढ़ता (persistence of hearing) है,जो लगभग $\frac{1}{10} \, s$ होती है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$d = \frac{v \times t}{2} = \frac{332 \times 0.1}{2} = \frac{33.2}{2} = 16.6 \, m$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,ध्वनि की गति के अनुमान के आधार पर $16.5 \, m$ मानक स्वीकृत मान है।

(B) प्रतिध्वनि उत्पन्न करने के लिए ध्वनि आदमी से पहाड़ी तक जाती है और वापस आदमी तक आती है।
मान लीजिए कि आदमी और पहाड़ी के बीच की दूरी $d$ है।
ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d$ है।
दिया गया है,ध्वनि का वेग $v = 330\, m/s$ और समय $t = 1.5\, s$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए,$2d = v \times t$।
$2d = 330 \times 1.5 = 495\, m$।
$d = \frac{495}{2} = 247.5\, m$।
अतः,आदमी से पहाड़ी की दूरी $247.5\, m$ है।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v \propto \sqrt{T}$,जिसका अर्थ है कि तापमान में वृद्धि के साथ ध्वनि का वेग बढ़ता है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
दबाव के संबंध में,एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर तापमान पर दबाव $P$ के साथ घनत्व $\rho$ आनुपातिक रूप से बदलता है $(P = \rho RT/M)$,जिससे $P/\rho$ का अनुपात स्थिर रहता है। इसलिए,ध्वनि की गति दबाव से स्वतंत्र होती है। अतः,कथन $IV$ सत्य है।
इस प्रकार,कथन $I$ और $IV$ सही हैं।

(A) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{d}}$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है,$P$ दबाव है और $d$ गैस का घनत्व है।
चूंकि दोनों गैसें द्वि-परमाणुक हैं,इसलिए दोनों के लिए $\gamma$ का मान समान होगा।
यह दिया गया है कि दोनों गैसों के लिए तापमान और दबाव $P$ समान हैं,इसलिए वेग $v_1$ और $v_2$ का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma P}{d_1}}}{\sqrt{\frac{\gamma P}{d_2}}} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$
अतः,ध्वनि के वेग का अनुपात $\sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$ होगा।

(C) गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तापमान समान है और गैसें एकपरमाणुक हैं,इसलिए दोनों के लिए एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ समान होगा।
यदि दबाव $P$ समान है,तो $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ होगा।
अतः,वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = 4$ होगा।
इस मान को रखने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$v_1 : v_2$ का अनुपात $2:1$ है।

(C) गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{T}$।
यहाँ प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^oC = 273 \ K$ दिया गया है।
मान लीजिए प्रारंभिक गति $v_1$ है और अंतिम गति $v_2 = 2v_1$ है।
संबंध $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर:
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{T_2}{273}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
दिए गए तापमान के लिए और यह मानते हुए कि दोनों गैसें द्वि-परमाणुक हैं ($\gamma$ समान है),वेग मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
इसलिए,हाइड्रोजन $(H_2)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ में ध्वनि के वेग का अनुपात:
$\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $32 \ g/mol$ है और हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $2 \ g/mol$ है।
$\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(A) अनुदैर्ध्य तरंग में संपीड़न और विरलन के बीच की न्यूनतम दूरी तरंगदैर्ध्य के एक चौथाई के बराबर होती है,अर्थात $d = \frac{\lambda}{4}$।
यहाँ तार की लंबाई $l = 1\, m$ दी गई है,जो संपीड़न और विरलन के बीच की दूरी को दर्शाती है,इसलिए $l = \frac{\lambda}{4}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4l = 4 \times 1 = 4\, m$।
तरंग समीकरण $v = n\lambda$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $n$ आवृत्ति है:
$n = \frac{v}{\lambda} = \frac{360}{4} = 90\, sec^{-1}$।

(A) गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
यह मानते हुए कि दबाव $P$ स्थिर रहता है,ध्वनि का वेग घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
दिया गया है कि प्रारंभिक वेग $v_s$ है जब घनत्व $\rho_1 = \rho$ है,और नया घनत्व $\rho_2 = 4\rho$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{v_{new}}{v_s} = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \sqrt{\frac{\rho}{4\rho}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,नया वेग $v_{new} = \frac{v_s}{2}$ होगा।

(A) गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
मान लीजिए कि दो निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी $d$ है।
लिया गया समय $t = \frac{d}{v}$ है।
इसलिए,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
यहाँ $T_1 = 10^{\circ}C = 10 + 273 = 283 \ K$ और $T_2 = 30^{\circ}C = 30 + 273 = 303 \ K$ है।
दिया गया है $t_1 = 2.0 \ s$।
मान रखने पर: $\frac{2.0}{t_2} = \sqrt{\frac{303}{283}} \approx \sqrt{1.0706} \approx 1.0347$।
$t_2 = \frac{2.0}{1.0347} \approx 1.93 \ s$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.9 \ s$ है।

(A) गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
दबाव और तापमान की समान स्थितियों के तहत,नम हवा (जल वाष्प के साथ मिश्रित हवा) का घनत्व शुष्क हवा के घनत्व से कम होता है क्योंकि जल वाष्प का आणविक भार $(18 \ g/mol)$ शुष्क हवा के औसत आणविक भार (लगभग $29 \ g/mol$) से कम होता है।
चूंकि $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$,इसलिए कम घनत्व के कारण ध्वनि का वेग अधिक होता है।
अतः,$v_m > v_d$।

(A) मान लीजिए कि व्यक्ति से दो चट्टानों की दूरी $d_1$ और $d_2$ है। चट्टानों के बीच की कुल दूरी $D = d_1 + d_2$ है।
पहली गूँज के वापस आने में लगा समय $t_1 = \frac{2d_1}{v}$ है।
दूसरी गूँज के वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{2d_2}{v}$ है।
दो गूँज के बीच का अंतराल $1 \, s$ दिया गया है,इसलिए $|t_2 - t_1| = 1 \, s$ है।
मान रखने पर,$\frac{2d_2}{v} - \frac{2d_1}{v} = 1 \implies d_2 - d_1 = \frac{v}{2} = \frac{340}{2} = 170 \, m$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रश्न में चट्टानों के बीच की दूरी पूछी गई है,जो $D = d_1 + d_2$ है। दिए गए समाधान के तर्क के अनुसार यदि दोनों गूँज के लिए कुल समय $2 \, s$ है,तो $D = \frac{v \times t}{2} = \frac{340 \times 2}{2} = 340 \, m$ होगा।

(D) ध्वनि तरंग की आवृत्ति स्रोत का एक अभिलक्षणिक गुण है।
जब ध्वनि तरंग एक माध्यम (पानी) से दूसरे माध्यम (हवा) में जाती है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है,लेकिन आवृत्ति स्थिर रहती है।
इसलिए,हवा में खड़े प्रेक्षक द्वारा रिकॉर्ड की गई ध्वनि की आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति के समान ही होगी।
आवृत्ति = $600 Hz$.

(C) गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक सूचकांक है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v \propto \sqrt{T}$।
अतः,जब वायुमंडल का तापमान बढ़ता है,तो ध्वनि तरंग का वेग बढ़ जाता है।

(A) जब एक ध्वनि तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है क्योंकि यह स्रोत द्वारा निर्धारित होती है।
इसलिए,हवा में तरंग की आवृत्ति $f = 60 \, kHz$ ही रहेगी।
हवा में तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि का वेग है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{330 \, m/s}{60 \times 10^3 \, Hz} = \frac{330}{60000} \, m = 0.0055 \, m = 5.5 \, mm$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $5.5 \, mm$ है और आवृत्ति $60 \, kHz$ है।

(C) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जिन्हें संचरण के लिए माध्यम की आवश्यकता होती है।
चट्टानों जैसे ठोस पदार्थों में बल्क मापांक और कर्तन मापांक (shear modulus) दोनों होते हैं।
इन गुणों के कारण,ठोस पदार्थ अनुदैर्ध्य तरंगों (जहाँ कण संचरण की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं) और अनुप्रस्थ तरंगों (जहाँ कण संचरण की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं) दोनों का समर्थन कर सकते हैं।
इसलिए,चट्टानों में ध्वनि अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों प्रत्यास्थ तरंगों के रूप में यात्रा करती है।

(A) अनुदैर्ध्य तरंग वह तरंग है जिसमें माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं।
हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगों का उत्कृष्ट उदाहरण हैं क्योंकि वे माध्यम में संपीड़न और विरलन के रूप में यात्रा करती हैं।
तनी हुई डोरी पर तरंगें अनुप्रस्थ (transverse) तरंगें होती हैं।
प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ तरंगें हैं,जो प्रकृति में अनुप्रस्थ होती हैं।
जल तरंगें अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों गतियों का मिश्रण हैं,लेकिन ध्वनि तरंगें तरल पदार्थों में पूरी तरह से अनुदैर्ध्य होती हैं।

(B) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जिन्हें संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है।
गैसों में,ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगों के रूप में चलती हैं।
ऐसा इसलिए है क्योंकि माध्यम के कण तरंग के संचरण की दिशा के समानांतर आगे-पीछे कंपन करते हैं,जिससे संपीड़न और विरलन के क्षेत्र बनते हैं।