Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Hindi

(C) तरंग का वेग $(v)$ उसकी आवृत्ति $(n)$ और उसके तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $v = n \times \lambda$.
आवृत्ति $(n)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$n = \frac{v}{\lambda}$.
अतः,सही संबंध $n = v/\lambda$ है।

(A) दो क्रमागत शिखरों के बीच की दूरी को तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,$\lambda = 5 \ cm$.
प्रति सेकंड किसी बिंदु से गुजरने वाली पूर्ण तरंगों की संख्या को आवृत्ति ($n$ या $f$) कहा जाता है।
दिया गया है,$n = 2 \ Hz$ (या $2 \ waves/sec$).
तरंग का वेग $(v)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $v = n \times \lambda$.
मान रखने पर: $v = 2 \times 5 = 10 \ cm/sec$.

(C) कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथ अंतर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
यहाँ $\Delta \phi = 1.6 \pi$ और $\Delta x = 40 \; cm = 0.4 \; m$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $1.6 \pi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0.4$.
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ ज्ञात करने पर: $\lambda = \frac{2 \times 0.4}{1.6} = \frac{0.8}{1.6} = 0.5 \; m$.
तरंग समीकरण $v = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 330 \; m/s$ और $\lambda = 0.5 \; m$ है:
$330 = f \times 0.5$.
अतः,$f = \frac{330}{0.5} = 660 \; Hz$.

(A) एक तरंग के लिए,पूर्ण तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर होने वाला कला परिवर्तन $2\pi$ रेडियन होता है।
चूंकि कला दूरी के साथ रैखिक रूप से बदलती है,इसलिए पथांतर $(\Delta x)$ के लिए कलांतर $(\Delta \phi)$ पथांतर और तरंगदैर्ध्य के अनुपात को $2\pi$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है।
अतः,सूत्र $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।

(A) एक ज्यावक्रीय तरंग में,अधिकतम विस्थापन (आयाम) से शून्य विस्थापन तक की गति कुल आवर्तकाल $(T)$ के एक-चौथाई के बराबर होती है।
अतः,लगा समय $t = \frac{T}{4}$ है।
चूंकि आवृत्ति ($n$ या $f$) आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है,इसलिए $T = \frac{1}{n}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $t = \frac{1}{4n}$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$n = \frac{1}{4t}$।
यहाँ $t = 0.170\,s$ दिया गया है,इसलिए $n = \frac{1}{4 \times 0.170} = \frac{1}{0.680} \approx 1.47\,Hz$ होगा।

(B) इकाई लंबाई में तरंगों की संख्या को तरंग संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का व्युत्क्रम होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\overline{n} = \frac{1}{\lambda}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वेग $(v)$, आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध समीकरण $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है। ये तीनों पैरामीटर तरंग प्रसार और माध्यम से आंतरिक रूप से जुड़े हुए हैं। हालाँकि, आयाम कणों का उनकी माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन दर्शाता है और यह तरंग के वेग, आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य से स्वतंत्र है। इसलिए, आयाम दूसरों से अलग है।

(C) दिया गया है: पथ अंतर $\Delta x = 1 \ m$,आवृत्ति $f = 120 \ Hz$,कलांतर $\phi = 90^o = \frac{\pi}{2} \text{ रेडियन}$.
कलांतर और पथ अंतर के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 1$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 4 \ m$.
तरंग का वेग $v = f \lambda$ द्वारा प्राप्त होता है।
$v = 120 \times 4 = 480 \ m/s$.

(D) दिया गया है:
तरंग की गति,$v = 960\, m/s$.
तरंगों की संख्या,$N = 3600$.
लिया गया समय,$t = 1\, minute = 60\, s$.
सबसे पहले,तरंग की आवृत्ति $(n)$ की गणना करें:
$n = \frac{N}{t} = \frac{3600}{60} = 60\, Hz$.
अब,तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ ज्ञात करने के लिए तरंग समीकरण $v = n \lambda$ का उपयोग करें:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{960}{60} = 16\, m$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $16\, m$ है।

(C) आवृत्ति $n$ प्रति सेकंड तरंगों की संख्या द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$54$ तरंगें प्रति मिनट।
$n = \frac{54}{60} \, Hz = 0.9 \, Hz$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \, m$.
तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = n \times \lambda$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।
$v = 0.9 \times 10 = 9 \, m/s$.
अतः,तरंग का वेग $9 \, m/s$ है।

(B) तरंग की आवृत्ति $n$ प्रति इकाई समय में एक बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या है。
दिया गया है: तरंगों की संख्या = $3600$, समय $t = 2\, \text{मिनट} = 2 \times 60 = 120\, \text{सेकंड}$。
आवृत्ति $n = \frac{3600}{120} = 30\, \text{Hz}$。
तरंग की गति $v$, आवृत्ति $n$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $v = n \lambda$ है。
इसलिए, $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{760}{30} = 25.33\, \text{m}$。
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, तरंगदैर्ध्य $25.3\, \text{m}$ है。

(C) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ को तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$
दिया गया है,$\lambda = 6000 \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
सूत्र में $\lambda$ का मान रखने पर:
$\bar{\nu} = \frac{1}{6 \times 10^{-7} \ m}$
$\bar{\nu} = \frac{1}{6} \times 10^7 \ m^{-1}$
$\bar{\nu} = 0.1666 \times 10^7 \ m^{-1} = 1.66 \times 10^6 \ m^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) पथ अंतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
दिया गया कलांतर $\phi = 60^{\circ}$ है।
कलांतर को रेडियन में बदलने पर: $\phi = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$.
अतः,पथ अंतर $\lambda / 6$ है।

(C) एक तरंग में दो क्रमिक शृंगों के बीच की दूरी एक तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है,जिसे $\lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है।
कलान्तर $\phi$ और पथान्तर $\Delta x$ के बीच का संबंध सूत्र $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में पथान्तर $\Delta x = \lambda$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
अतः,दो क्रमिक शृंगों के बीच का कलान्तर $2\pi$ रेडियन है।

(B) दी गई आवृत्ति $n = 500 \, Hz$ और वेग $v = 360 \, m/s$ है।
सबसे पहले,$v = n\lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{360}{500} = 0.72 \, m$.
कलांतर $\phi = 60^o$ दिया गया है। इसे रेडियन में बदलने पर:
$\phi = 60^o \times \frac{\pi}{180^o} = \frac{\pi}{3} \, \text{रेडियन}$.
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\phi$ के बीच संबंध:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{0.72}{2\pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{0.72}{6} = 0.12 \, m$.
दूरी को सेंटीमीटर में बदलने पर:
$\Delta x = 0.12 \times 100 = 12 \, cm$.

(D) आवृत्ति $n$ प्रति सेकंड तरंगों की संख्या है।
दिया गया है,प्रति मिनट तरंगों की संख्या $= 54$ है।
अतः,आवृत्ति $n = \frac{54}{60} \ Hz = 0.9 \ Hz$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \ m$ है।
तरंग का वेग सूत्र $v = n \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = 0.9 \times 10 = 9 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 2 \sin \pi (0.5x - 200t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2 \sin (0.5\pi x - 200\pi t)$.
यहाँ,तरंग संख्या $k = 0.5\pi$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 200\pi$ है।
तरंग का वेग $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{0.5\pi} = 400 \ cm/sec$.

(B) दो क्रमिक श्रृंगों के बीच के समय अंतराल को तरंग का आवर्तकाल $T$ कहा जाता है।
दिया गया है,$T = 0.2 \ s$.
तरंग की आवृत्ति $f$ (या $n$),आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है:
$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.2 \ s} = 5 \ Hz$.
अतः,तरंग की आवृत्ति $5 \ Hz$ है।

(C) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 10 \sin \pi (0.01x - 2t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 10 \sin (0.01\pi x - 2\pi t)$.
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \text{ rad/s}$ है।
हम जानते हैं कि आवृत्ति $f$ कोणीय आवृत्ति से $\omega = 2\pi f$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$2\pi = 2\pi f$.
अतः,$f = 1 \text{ sec}^{-1}$.

(D) दी गई तरंग का समीकरण $y = 4\sin \frac{\pi }{2}\left( {8t - \frac{x}{8}} \right)$ है।
साइन फलन के अंदर के पद का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 4\sin \left( {4\pi t - \frac{{\pi x}}{{16}}} \right)$.
प्रगामी तरंग का मानक रूप $y = A\sin(\omega t - kx)$ होता है।
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = 4\pi$ और तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{16}$ है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \frac{4\pi}{\pi/16} = 4\pi \times \frac{16}{\pi} = 64\, cm/s$.
चूंकि $\omega t$ और $kx$ के बीच का चिह्न ऋणात्मक है,इसलिए तरंग $+x$ दिशा में यात्रा कर रही है।

(D) पहली तरंग $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दी गई है।
दूसरी तरंग $y_2 = a \cos(\omega t - kx)$ द्वारा दी गई है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करते हुए,हम दूसरी तरंग को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y_2 = a \sin(\omega t - kx + \frac{\pi}{2})$.
दोनों तरंगों की कला (phase) की तुलना करने पर,$y_1$ की कला $(\omega t - kx)$ है और $y_2$ की कला $(\omega t - kx + \frac{\pi}{2})$ है।
अतः,कलांतर $\Delta \phi = (\omega t - kx + \frac{\pi}{2}) - (\omega t - kx) = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) $y$-दिशा में चलने वाली समतल तरंग का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t \pm ky)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 1.2 \sin(314t + 12.56y)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 12.56 \ rad/m$ प्राप्त होती है।
$t$ पद और $y$ पद के बीच '$+$' चिह्न का अर्थ है कि तरंग $-ve \ y$ दिशा में चल रही है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
मान रखने पर: $12.56 = \frac{2 \times 3.14}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{6.28}{12.56} = 0.5 \ m$.
अतः,तरंग की तरंगदैर्ध्य $0.5 \ m$ है और यह $-ve \ y$ दिशा में चलती है।

(C) सरल आवर्त तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = \frac{10}{\pi} \sin \left( 2000\pi t - \frac{\pi x}{17} \right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
आयाम $a = \frac{10}{\pi} \, cm = \frac{0.1}{\pi} \, m$ (चूंकि $1 \, cm = 10^{-2} \, m$)।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000\pi \, rad/s$।
$1$. कणों का अधिकतम वेग $(v_{\max})$:
$v_{\max} = a\omega = \left( \frac{0.1}{\pi} \right) \times (2000\pi) = 0.1 \times 2000 = 200 \, m/s$।
$2$. आवर्तकाल $(T)$:
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$।
$2000\pi = \frac{2\pi}{T} \implies T = \frac{2\pi}{2000\pi} = \frac{1}{1000} = 10^{-3} \, s$।
अतः,आवर्तकाल $10^{-3} \, s$ है और अधिकतम वेग $200 \, m/s$ है।

(B) एक प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \cos(\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \cos \pi(100t - x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम इसे $y = 3 \cos(100\pi t - \pi x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,तरंग संख्या $k$,$x$ का गुणांक है,इसलिए $k = \pi$ है।
हम जानते हैं कि तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 2 \ cm$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण $Y = Y_0 \sin 2\pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ से करने पर:
हमें आयाम $a = Y_0$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$,और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम कण वेग $(v_{\max})_{\text{particle}} = a\omega = Y_0 \times 2\pi f$ होता है।
तरंग वेग $v_{\text{wave}} = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi f}{2\pi / \lambda} = f\lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम कण वेग,तरंग वेग का चार गुना है:
$(v_{\max})_{\text{particle}} = 4 v_{\text{wave}}$
$Y_0 \times 2\pi f = 4 f\lambda$
दोनों पक्षों को $4f$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda = \frac{2\pi Y_0}{4} = \frac{\pi Y_0}{2}$.

(D) दिए गए समीकरण $y = 10^4 \sin(60t + 2x)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t + kx)$ से करने पर:
$1$. चूंकि $\omega t$ और $kx$ के बीच धनात्मक चिह्न है,इसलिए तरंग ऋणात्मक $X$-दिशा में यात्रा कर रही है।
$2$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \, rad/s$ है। आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{60}{2\pi} = \frac{30}{\pi} \, Hz$ है।
$3$. तरंग संख्या $k = 2 \, m^{-1}$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, m$ है।
$4$. तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{2} = 30 \, m/s$ है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) ऋणात्मक $x$-दिशा में गति करने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ या $A \cos(kx + \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: आयाम $A = 0.5\, m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1\, m$,आवृत्ति $f = 2\, Hz$.
कोणीय तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi\, rad/m$ की गणना करें।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi(2) = 4\pi\, rad/s$ की गणना करें।
इन मानों को तरंग समीकरण में रखने पर: $y(x, t) = 0.5 \cos(2\pi x + 4\pi t)$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \times 10^{-4} \sin(100t - 50x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 50 \, rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक का अनुपात होता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{50} = 2 \, m/s$.
अतः,तरंग का वेग $2 \, m/s$ है।

(D) एक प्रगामी तरंग को $y = f(x \pm vt)$ के रूप में होना चाहिए।
विकल्प $A$,$B$,और $C$ में,तर्क (arguments) क्रमशः $(x - vt)$,$(x + vt)$,और $(x - vt)$ के रूप में हैं,जो प्रगामी तरंग की शर्त को पूरा करते हैं।
विकल्प $D$ में,तर्क $(x^2 - vt^2)$ है। यह एक प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं करता है क्योंकि इसे $(x \pm vt)$ के फलन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,$y = f(x^2 - vt^2)$ एक प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

(D) ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए मानक तरंग समीकरण $y = A\sin(kx + \omega t + \phi_0)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = A\sin(10\pi x + 15\pi t + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 15\pi\,rad/s$ और तरंग संख्या $k = 10\pi\,rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15\pi}{10\pi} = 1.5\,m/s$ है। चूँकि $x$ और $t$ पदों के चिह्न समान हैं,इसलिए तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0.2\,m$ है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) दी गई तरंग का समीकरण $y = a \cos(kx - \omega t + \phi)$ है।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $y = 3 \cos \left( \frac{x}{4} - 10t - \frac{\pi}{2} \right)$ से करने पर,हमें आयाम $a = 3$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 10$ प्राप्त होती है।
माध्यम के कणों का अधिकतम वेग ज्ञात करने का सूत्र $v_{\max} = a \omega$ है।
मान रखने पर,हमें $v_{\max} = 3 \times 10 = 30$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए दो तरंग समीकरण:
$y_1 = a_1 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$
$y_2 = a_2 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi \right)$
कला (phase) की तुलना करने के लिए,कोसाइन फलन को साइन फलन में बदलें,सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करके:
$y_2 = a_2 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2} \right)$
कलांतर $\Delta \Phi$ साइन फलनों के तर्कों (arguments) के बीच का अंतर है:
$\Delta \Phi = \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2} \right) - \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right) = \phi + \frac{\pi}{2}$
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\Delta \Phi$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \Delta \Phi$ है।
कलांतर का मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \left( \phi + \frac{\pi}{2} \right)$.

(A) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = a \sin(\omega t \pm kx + \phi)$ होता है।
पहली तरंग के लिए,$y_1 = a \sin(\omega t - kx)$,$kx$ के पहले ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि तरंग धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है।
दूसरी तरंग के लिए,$y_2 = a \sin(\omega t + kx)$,$kx$ के पहले धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है।
चूंकि तरंगें विपरीत दिशाओं में गति कर रही हैं,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.5 \sin(10t - x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 1 \ rad/m$
तरंग का वेग $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{10}{1} = 10 \ m/s$.

(A) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 7 \sin(7\pi t - 0.04\pi x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 7\pi \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 0.04\pi \, rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक का अनुपात है (चिह्न को छोड़कर),जो $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{7\pi}{0.04\pi} = \frac{7}{0.04} = \frac{700}{4} = 175 \, m/s$.

(A) दिया गया समीकरण $y = 10\sin(0.01\pi x - 2\pi t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A\sin(kx - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $A = 10 \ cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
रस्सी में एक कण की अधिकतम अनुप्रस्थ गति का सूत्र $v_{\max} = A\omega$ है।
मान रखने पर,हमें $v_{\max} = 10 \times 2\pi$ प्राप्त होता है।
$v_{\max} = 20 \times 3.14159 = 62.83 \ cm/s$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $v_{\max} \approx 63 \ cm/s$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = y_0 \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $a = y_0$ और तरंग वेग $v_{wave} = v$ प्राप्त होता है।
कण का वेग $v_p$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = y_0 \cdot \frac{2\pi v}{\lambda} \cos \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$.
अधिकतम कण वेग $(v_{max})_{particle} = y_0 \cdot \frac{2\pi v}{\lambda}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(v_{max})_{particle} = 2 \cdot v_{wave}$.
मान रखने पर: $\frac{y_0 \cdot 2\pi v}{\lambda} = 2v$.
दोनों पक्षों से $v$ को हटाने पर: $\frac{2\pi y_0}{\lambda} = 2$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \pi y_0$.

(A) डोरी में कण का विस्थापन $y = A\sin (kx - \omega t)$ द्वारा दिया गया है।
कण का वेग ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन $y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [A\sin (kx - \omega t)]$
$v = A \cos (kx - \omega t) \cdot (-\omega)$
$v = -A\omega \cos (kx - \omega t)$
कण का अधिकतम वेग तब होता है जब कोसाइन फलन का परिमाण $1$ होता है।
अतः,$v_{\max} = | -A\omega | = A\omega$.

(A) प्रगामी तरंग के लिए मानक समीकरण $y(x, t) = a \sin(\omega t - kx)$ है।
दिया गया समीकरण: $y(x, t) = 0.03 \sin(2\pi t - 0.01\pi x)$।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हम $x$ के गुणांक को तरंग संख्या $k$ के रूप में पहचानते हैं:
$k = 0.01\pi$।
हम जानते हैं कि तरंग संख्या $k$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$k$ का मान रखने पर:
$0.01\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = \frac{2\pi}{0.01\pi} = \frac{2}{0.01} = 200 \ m$।

(B) माध्यम के दो कणों के बीच,जो $\Delta x$ दूरी से अलग हैं,कंपनों के बीच का कलांतर $\Delta \phi$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$
जहाँ $\lambda$ तरंग की तरंगदैर्ध्य है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कलांतर सीधे पथ अंतर $\Delta x$ पर निर्भर करता है,जो कणों को अलग करने वाली दूरी है। इसलिए,कलांतर उन्हें अलग करने वाली दूरी के साथ बदलता है।

(D) दिए गए समीकरण $y = 3 \sin 2\pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.01} \right)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ से करने पर:
$1$. आवर्तकाल $T = 0.04 \, s$.
$2$. आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.04} = 25 \, Hz$.
$3$. आयाम $a = 3 \, cm$.
$4$. कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.04} = 50\pi \, rad/s$.
$5$. कण का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 a$ द्वारा दिया जाता है।
$a_{max} = (50\pi)^2 \times 3 = 2500 \times \pi^2 \times 3 = 7500 \times 9.8696 \approx 7.4 \times 10^4 \, cm/s^2$.

(D) साइनसोइडल तरंग समीकरण का मानक रूप $y = a \cos(\omega t + kx + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.40 \cos(2000t + 0.80x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $2000 = 2\pi f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi} \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ या $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $D$,$Y = A \sin (at - bx + c)$,एक प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि यह $(at - bx)$ का एक फलन है,जो तरंग समीकरण $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ तरंग की गति $v = \frac{a}{b}$ है।
विकल्प $A$,$B$,और $C$ एक प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं क्योंकि उनमें स्थान $(x)$ और समय $(t)$ दोनों पर आवश्यक निर्भरता सही कार्यात्मक रूप में नहीं है।

(A) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kz - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 100 \sin \pi (0.04z - 2t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम $\pi$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करते हैं:
$y = 100 \sin (0.04\pi z - 2\pi t)$.
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega$,$t$ का गुणांक है,जो $\omega = 2\pi \text{ rad/s}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$2\pi = 2\pi f$.
अतः,$f = 1 \text{ Hz}$।

(A) समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin (\omega t + kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.025 \sin (100t + 0.25x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $n$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi n$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $100 = 2\pi n$ प्राप्त होता है।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.0015 \sin (62.4x + 316t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 62.4 \, \text{rad/unit}$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $62.4 = \frac{2 \times 3.14}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए गणना करने पर: $\lambda = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \, \text{unit}$।

(B) प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $Y = a \sin(\omega t - kx)$ है।
इसे दिए गए समीकरण $Y = 0.5 \sin(10\pi t - 5x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $a = 0.5 \text{ cm}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 10\pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = a\omega$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $v_{\max} = 0.5 \times 10\pi = 5\pi \text{ cm/s}$ प्राप्त होता है।