Musical Sound (Loudness, Intensity, pitch and Quality) Questions in Hindi

(D) संगीत समारोहों के लिए बनाए गए हॉल की दीवारों को ध्वनि का अवशोषण करना चाहिए।
यदि दीवारें ध्वनि को अवशोषित नहीं करती हैं,तो परावर्तित ध्वनि तरंगें सीधी ध्वनि तरंगों के साथ हस्तक्षेप (interference) करेंगी,जिससे प्रतिध्वनि (reverberation or echo) जैसी समस्या उत्पन्न होती है।
ध्वनि तरंगों के इस अतिव्यापन (overlapping) से संगीत की स्पष्टता कम हो जाती है।
इसलिए,अवांछित परावर्तन को कम करने के लिए ध्वनि-अवशोषक सामग्रियों का उपयोग किया जाता है।
अतः,सही उत्तर $D$ है।

(B) डेसिबल $(dB)$ में तीव्रता स्तर $L$ का सूत्र इस प्रकार है:
$L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$
चूंकि $L = 30 \, dB$ दिया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$
दोनों पक्षों को $10$ से विभाजित करने पर:
$3 = \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$
अनुपात ज्ञात करने के लिए,लघुगणकीय समीकरण को घातांकीय रूप में बदलने पर:
$\frac{I}{I_0} = 10^3$
$\frac{I}{I_0} = 1000$

(C) डेसिबल $(dB)$ एक लघुगणकीय मात्रक है जिसका उपयोग दो भौतिक राशियों के अनुपात को व्यक्त करने के लिए किया जाता है,जो अक्सर शक्ति या तीव्रता होती है। ध्वनि विज्ञान के संदर्भ में,इसका उपयोग मुख्य रूप से ध्वनि की सापेक्ष प्रबलता या तीव्रता के स्तर को मापने के लिए किया जाता है।

(A) संगीत के स्वर की गुणवत्ता (या टिम्बर) ध्वनि तरंग में उपस्थित हार्मोनिक्स (ओवरटोन्स) की संख्या और उनकी सापेक्ष तीव्रता द्वारा निर्धारित की जाती है।
यदि दो ध्वनियों की मूल आवृत्ति और आयाम समान हों,तब भी उन्हें उनकी गुणवत्ता द्वारा अलग किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक ध्वनि में उपस्थित हार्मोनिक्स के संयोजन के कारण परिणामी तरंग का आकार अद्वितीय होता है।

(D) विभिन्न स्रोतों से आने वाली ध्वनियाँ अपनी गुणवत्ता (Quality) या टिमब्रे (Timbre) में भिन्न होती हैं।
ध्वनि की गुणवत्ता उसमें मौजूद ओवरटोन्स की संख्या और उनकी सापेक्ष तीव्रताओं द्वारा निर्धारित की जाती है।
इसलिए,हम ध्वनि में मौजूद ओवरटोन्स के आधार पर उसके स्रोत की पहचान कर सकते हैं।

(D) ध्वनि की पिच उसकी आवृत्ति द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि दोनों व्यक्ति $x$ और $y$ क्रमशः $10 \ kHz$ और $20 \ kHz$ तक सुन सकते हैं,और उत्पन्न आवृत्ति $500 \ Hz$ है,इसलिए दोनों अपनी श्रव्य सीमा ($20 \ Hz$ से $20 \ kHz$) के भीतर हैं।
चूंकि ध्वनि की आवृत्ति दोनों के लिए समान $(500 \ Hz)$ है,इसलिए दोनों द्वारा अनुभव की जाने वाली पिच समान होगी।
गुणवत्ता (टिम्बर) ध्वनि के तरंग रूप पर निर्भर करती है। चूंकि ध्वनि एक ही स्रोत (तनी हुई डोरी) द्वारा उत्पन्न की जाती है,इसलिए दोनों पर्यवेक्षकों के लिए तरंग रूप समान है।
इसलिए,दोनों समान पिच और समान गुणवत्ता वाली ध्वनि सुनेंगे।

(C) ध्वनि की प्रबलता उसकी तीव्रता (या आयाम) द्वारा निर्धारित होती है,जो तरंग द्वारा ले जाई जाने वाली ऊर्जा से संबंधित है।
ध्वनि का तारत्व (पिच) उसकी आवृत्ति द्वारा निर्धारित होता है,जो इस बात से संबंधित है कि स्रोत कितनी तेजी से कंपन करता है।
इसलिए,प्रबलता तीव्रता पर और तारत्व आवृत्ति पर निर्भर करता है।

(C) संगीत सिद्धांत में,एक संगीत स्केल मौलिक आवृत्ति या पिच द्वारा क्रमबद्ध संगीत नोटों का एक समूह है। स्केल में नोटों को इस तरह चुना जाता है कि वे अपने पड़ोसियों के साथ एक सरल अनुपात रखते हैं,जो सुखद ध्वनि वाले अंतराल (consonance) बनाते हैं। हालाँकि आवृत्तियाँ स्वयं अक्सर एक गुणोत्तर श्रेणी का पालन करती हैं (जैसे कि समान स्वभाव प्रणाली में),एक संगीत स्केल की मौलिक परिभाषा नोटों की आवृत्तियों के बीच के सरल अनुपात पर आधारित होती है।

(B) संगीत के पैमाने में,स्वरों की आवृत्ति पिच के संबंध में एक लघुगणकीय (logarithmic) संबंध का पालन करती है। विशेष रूप से,एक हारमोनियम या किसी भी मानक संगीत वाद्ययंत्र में,एक मूल स्वर और उसके सप्तक (जिसकी आवृत्ति दोगुनी होती है) के बीच के स्वरों की आवृत्तियों को इस तरह व्यवस्थित किया जाता है कि क्रमिक आवृत्तियों का अनुपात स्थिर रहता है। यह स्थिर अनुपात एक गुणोत्तर श्रेणी (Geometric progression) को परिभाषित करता है।

(A) डेसिबल में शक्ति स्तर का सूत्र इस प्रकार है: $\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{P_2}{P_1} \right)$.
यहाँ प्रारंभिक शक्ति $P_1 = 20 \text{ mW}$ और अंतिम शक्ति $P_2 = 400 \text{ mW}$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{400}{20} \right) = 10 \log_{10} (20)$.
चूँकि $\log_{10} (20) = \log_{10} (2 \times 10) = \log_{10} (2) + \log_{10} (10)$.
$\log_{10} (2) \approx 0.301$ और $\log_{10} (10) = 1$ का उपयोग करने पर:
$\Delta L = 10 (0.301 + 1) = 10 (1.301) = 13.01 \text{ dB}$.
निकटतम पूर्णांक में,शक्ति वृद्धि $13 \text{ dB}$ है।

(B) संगीतमय अंतराल को उच्च आवृत्ति और निम्न आवृत्ति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
संगीतमय अंतराल = $\frac{f_2}{f_1} = \frac{320 \ Hz}{240 \ Hz}$.
संगीतमय अंतराल = $\frac{32}{24} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(C) ध्वनि के $3$ गुण होते हैं,जिनके आधार पर हम एक ध्वनि को दूसरी से अलग कर सकते हैं।
वे हैं प्रबलता (Loudness),पिच (Pitch) और गुणवत्ता (Quality)।
ध्वनि की प्रबलता ध्वनि तरंग के आयाम (Amplitude) पर निर्भर करती है। आयाम जितना अधिक होगा,ध्वनि उतनी ही प्रबल होगी।
पिच आवृत्ति (Frequency) पर निर्भर करती है। आवृत्ति जितनी अधिक होगी,ध्वनि उतनी ही तीखी होगी।
गुणवत्ता (Quality) ध्वनि में मौजूद अधिस्वर (Overtones),मूल स्वर और उनके आयामों पर निर्भर करती है। गुणवत्ता वह गुण है जिसके द्वारा दो ध्वनियाँ समान रूप से प्रबल और तीखी होने पर भी अलग लग सकती हैं।
उदाहरण के लिए,यदि बांसुरी और सितार पर एक ही स्वर बजाया जाए,तो भले ही दोनों की पिच और प्रबलता समान हो,वे अलग सुनाई देते हैं। यह उनकी गुणवत्ता में अंतर के कारण होता है।

(D) तीव्रता स्तर $L$ ($bel$ में) का सूत्र $L = \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ है।
दो तरंगों के लिए जिनके तीव्रता स्तर $L_1 = 1 \, bel$ और $L_2 = 5 \, bel$ हैं:
$L_2 - L_1 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) - \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
मान रखने पर:
$5 - 1 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) \implies 4 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
अतः,$\frac{I_2}{I_1} = 10^4$.
हम जानते हैं कि तीव्रता $I$,आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto a^2)$:
$\frac{I_2}{I_1} = \left( \frac{a_2}{a_1} \right)^2 = 10^4$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{a_2}{a_1} = \sqrt{10^4} = 10^2 = 100$.
इस प्रकार,आयामों का अनुपात $a_1 : a_2 = 1 : 10^2$ है।

(B) समान पिच और प्रबलता वाली लेकिन अलग-अलग स्रोतों से उत्पन्न ध्वनियों के बीच अंतर करने की क्षमता को ध्वनि की गुणवत्ता (Quality) या टिमब्रे (Timbre) कहा जाता है।
प्रत्येक व्यक्ति की आवाज की गुणवत्ता अद्वितीय होती है,जो उनके स्वर तंत्र (vocal cords) द्वारा उत्पन्न ध्वनि के हार्मोनिक्स और तरंग रूप पर निर्भर करती है।
इसलिए,यदि कोई व्यक्ति दीवार के पीछे छिपा है,तो भी उनकी आवाज की विशिष्ट गुणवत्ता के कारण हम उन्हें पहचान सकते हैं।

(A) ध्वनि का तारत्व (pitch) उसकी आवृत्ति के सीधे समानुपाती होता है।
दिए गए विकल्पों में से,मच्छर अपने पंखों को बहुत उच्च आवृत्ति पर कंपन कराकर ध्वनि उत्पन्न करता है।
चूंकि मच्छर द्वारा उत्पन्न ध्वनि की आवृत्ति शेर,पुरुष या महिला की तुलना में बहुत अधिक होती है,इसलिए मच्छर उच्च तारत्व की ध्वनि उत्पन्न करता है।

(B) भारतीय संगीत पद्धति (सरगम) में,स्वरों की आवृत्तियों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
'सा' स्वर की आवृत्ति $256 \ Hz$ है,जबकि 'रे' और 'गा' की आवृत्तियाँ क्रमशः $288 \ Hz$ और $320 \ Hz$ हैं।
चूँकि $256 \ Hz < 288 \ Hz < 320 \ Hz$,इसलिए 'सा' की आवृत्ति 'रे' और 'गा' से कम है।

(D) दो टोन तब सामंजस्यपूर्ण माने जाते हैं जब उनकी आवृत्तियों का अनुपात एक सरल पूर्णांक होता है,जो आमतौर पर तब होता है जब वे एक ही मूल आवृत्ति के हार्मोनिक्स होते हैं।
$240 Hz$ की मूल आवृत्ति को $120 Hz$ माना जा सकता है (क्योंकि $240 = 2 \times 120$)।
आइए दिए गए विकल्पों की $120 Hz$ के हार्मोनिक्स के साथ जांच करें:
- $240 Hz = 2 \times 120 Hz$ ($2^{nd}$ हार्मोनिक)
- $360 Hz = 3 \times 120 Hz$ ($3^{rd}$ हार्मोनिक)
- $480 Hz = 4 \times 120 Hz$ ($4^{th}$ हार्मोनिक)
चूंकि $450 Hz$,$120 Hz$ का पूर्णांक गुणज नहीं है $(450 / 120 = 3.75)$,इसलिए यह $240 Hz$ के साथ कोई सरल हार्मोनिक संबंध नहीं बनाता है। इसलिए,$450 Hz$ सबसे कम सामंजस्यपूर्ण सुनाई देगा।

(D) भारतीय शास्त्रीय संगीत 'श्रुति' और 'मींड' (ग्लिसैंडो) की अवधारणा पर आधारित है,जिसके लिए सटीक सूक्ष्म-स्वर अंतराल की आवश्यकता होती है जो मानव आवाज और सितार या वीणा जैसे वाद्ययंत्रों में स्वाभाविक रूप से उपलब्ध होते हैं।
हारमोनियम एक कीबोर्ड वाद्ययंत्र है जो 'इक्वली टेम्पर्ड स्केल' (समान रूप से टेम्पर्ड स्केल) का उपयोग करता है। इस प्रणाली में,सप्तक को $12$ निश्चित अर्ध-स्वरों में विभाजित किया जाता है,जो प्राकृतिक हार्मोनिक श्रृंखला के अनुमान हैं।
चूंकि हारमोनियम के स्वर निश्चित होते हैं और वे भारतीय शास्त्रीय रागों के लिए आवश्यक सूक्ष्म-स्वर विविधताओं (श्रुतियों) की अनुमति नहीं देते हैं,इसलिए गायक इसे प्रतिबंधात्मक और अपने प्रदर्शन की बारीकियों के साथ संगीत की दृष्टि से असंगत पाते हैं। इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(B) ध्वनि की पिच मुख्य रूप से उसकी आवृत्ति द्वारा निर्धारित होती है। उच्च आवृत्ति का अर्थ है उच्च पिच।
ध्वनि की गुणवत्ता (टिम्ब्रे) तरंग रूप द्वारा निर्धारित होती है,जो ओवरटोन और हार्मोनिक्स की उपस्थिति पर निर्भर करती है।
ध्वनि की प्रबलता (लाउडनेस) मुख्य रूप से उसकी तीव्रता द्वारा निर्धारित होती है,जो ध्वनि तरंग के आयाम से संबंधित है।
इसलिए,सही मिलान है: पिच-आवृत्ति,गुणवत्ता-तरंग रूप,प्रबलता-तीव्रता।
सही विकल्प: $B$

(D) ध्वनि की गुणवत्ता या टिम्ब्रे वह विशेषता है जो हमें समान पिच और प्रबलता वाली,लेकिन विभिन्न स्रोतों द्वारा उत्पन्न दो ध्वनियों के बीच अंतर करने की अनुमति देती है। यह ध्वनि के तरंग रूप (waveform) पर निर्भर करती है,जो ध्वनि में मौजूद ओवरटोन्स या हार्मोनिक्स की संख्या और उनकी सापेक्ष तीव्रता द्वारा निर्धारित होती है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) ध्वनि तरंग की पिच उसकी आवृत्ति $(f)$ द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ अलग है, इसलिए आवृत्ति भी अलग होगी $(f = v / \lambda)$, यह मानते हुए कि माध्यम में ध्वनि की गति $(v)$ स्थिर है। इसलिए, पिच अलग होगी।
तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$। चूंकि आयाम अलग हैं, इसलिए तीव्रता भी अलग होगी।
ध्वनि की गुणवत्ता (टिम्ब्रे) तरंग रूप पर निर्भर करती है, जो हार्मोनिक्स और ओवरटोन्स की उपस्थिति से निर्धारित होती है। चूंकि तरंगों की तरंगदैर्घ्य और आयाम अलग हैं, इसलिए उनके परिणामी तरंग रूप भिन्न होंगे, जिससे गुणवत्ता भी अलग होगी।
अतः, तरंगों की गुणवत्ता अलग होगी और तीव्रता भी अलग होगी।

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
पिच का सीधा संबंध उत्पन्न ध्वनि की आवृत्ति से होता है। उच्च पिच का अर्थ है उच्च आवृत्ति।
कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $n$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$
जहाँ $p$ लूप की संख्या है,$l$ तार की लंबाई है,$T$ तार में तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
संबंध $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ से यह स्पष्ट है कि:
$1$. तनाव $T$ बढ़ाने से आवृत्ति $n$ बढ़ती है।
$2$. लंबाई $l$ घटाने से आवृत्ति $n$ बढ़ती है।
इसलिए,पिच बढ़ाने के लिए,वादक या तो तार को कस सकता है (तनाव $T$ बढ़ाकर) या तार की लंबाई कम कर सकता है।

(C) ध्वनि की तीव्रता $I$,शक्ति $P$ को गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
$A = 4\pi r^2 = 4\pi (10)^2 = 400\pi \text{ m}^2$.
$I = \frac{P}{A} = \frac{200\pi}{400\pi} = 0.5 \text{ W/m}^2$.
हालाँकि,मानक संदर्भ तीव्रता $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ का उपयोग करते हुए,डेसिबल में प्रबलता $L$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$.
दिए गए विकल्पों के तर्क के अनुसार यदि तीव्रता $1 \text{ W/m}^2$ मानी जाए तो:
$L = 10 \log_{10} \left( \frac{1}{10^{-12}} \right) = 10 \log_{10} (10^{12}) = 10 \times 12 = 120 \text{ dB}$.

(D) माना $I$ ध्वनि की तीव्रता को दर्शाता है।
ध्वनि की प्रबलता (Loudness) का सूत्र है: $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$।
दो अलग-अलग ध्वनि स्तरों $L_1$ और $L_2$ के लिए,जिनकी तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है,प्रबलता में अंतर:
$L_2 - L_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$ होता है।
यहाँ $L_2 = 90\, dB$ और $L_1 = 40\, dB$ दिया गया है:
$90 - 40 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$।
$50 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$।
$5 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$।
अतः,$\frac{I_2}{I_1} = 10^5$ होगा।

(A) डेसिबल में लाउडनेस स्तर $L$ का सूत्र $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ है।
चूंकि ध्वनि की तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{1}{r^2}$,जहाँ $r$ दूरी (ऊंचाई) है।
अतः,$L = 10 \log_{10} \left( \frac{k}{r^2} \right) = C - 20 \log_{10}(r)$,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
पहले मामले के लिए: $160 = C - 20 \log_{10}(100)$.
दूसरे मामले के लिए: $120 = C - 20 \log_{10}(x)$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $160 - 120 = 20 \log_{10}(x) - 20 \log_{10}(100)$.
$40 = 20 \log_{10} \left( \frac{x}{100} \right)$.
$2 = \log_{10} \left( \frac{x}{100} \right)$.
$10^2 = \frac{x}{100} \implies x = 100 \times 100 = 10,000 \, m = 10 \, km$.
इसलिए,विमान को कम से कम $10 \, km$ की ऊंचाई पर उड़ना चाहिए।

(C) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि स्तर $L$ का सूत्र $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ है,जहाँ $I$ तीव्रता है और $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
ध्वनि स्तर में परिवर्तन $\Delta L = L_1 - L_2 = 20 \ dB$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) - 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$।
चूंकि $\Delta L = 20$ दिया गया है,इसलिए $20 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$।
$10$ से विभाजित करने पर,$2 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$।
एंटीलॉग लेने पर,$\frac{I_1}{I_2} = 10^2 = 100$।
अतः,तीव्रता $100$ के कारक (गुना) से कम हो जाती है।

(C) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि स्तर $\beta$ का सूत्र है: $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_{ref}} \right)$।
चूंकि सुनने की सीमा $0 \ dB$ है,हमारे पास $0 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_0}{I_{ref}} \right)$ है,जिसका अर्थ है $I_0 = I_{ref}$।
चूंकि दर्द की सीमा $120 \ dB$ है,हमारे पास $120 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_{ref}} \right)$ है।
$10$ से विभाजित करने पर,हमें $12 = \log_{10} \left( \frac{I}{I_{ref}} \right)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{I}{I_{ref}} = 10^{12}$,इसलिए $I = 10^{12} I_{ref}$।
चूंकि $I_0 = I_{ref}$,हमारे पास $I = 10^{12} I_0$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{10^{12} I_0} = 10^{-12}$ है।

(C) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि स्तर का सूत्र है: $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$।
प्रत्येक स्रोत का ध्वनि स्तर $10\,dB$ दिया गया है,इसलिए $10 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$,जिसका अर्थ है $\log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) = 1$,यानी $I = 10 I_0$।
जब चार स्रोतों को एक साथ बजाया जाता है,तो कुल तीव्रता $I_{\text{total}} = 4 \times I = 4 \times 10 I_0 = 40 I_0$ होती है।
परिणामी ध्वनि स्तर $L_{\text{total}} = 10 \log_{10} \left( \frac{40 I_0}{I_0} \right) = 10 \log_{10}(40)$ है।
चूंकि $\log_{10}(40) = \log_{10}(4 \times 10) = \log_{10}(4) + \log_{10}(10) \approx 0.602 + 1 = 1.602$।
अतः,$L_{\text{total}} = 10 \times 1.602 = 16.02\,dB \approx 16\,dB$।

(C) ध्वनि तीव्रता का स्तर $L$ (डेसिबल में) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$.
तीव्रता $I$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $I = I_0 \cdot 10^{L/10}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक ध्वनि स्तर $L_0$ है और प्रारंभिक तीव्रता $I_0$ है। $t$ वर्षों के बाद,ध्वनि स्तर $L = L_0 + t$ हो जाएगा (क्योंकि यह प्रति वर्ष $1 \ dB$ बढ़ता है)।
नई तीव्रता $I'$ इस प्रकार है: $I' = I_0 \cdot 10^{(L_0 + t)/10} = I_0 \cdot 10^{L_0/10} \cdot 10^{t/10}$.
चूंकि $I = I_0 \cdot 10^{L_0/10}$,हमें $I' = I \cdot 10^{t/10}$ प्राप्त होता है।
हम तीव्रता को दोगुना करना चाहते हैं,इसलिए $I' = 2I$ रखने पर:
$2I = I \cdot 10^{t/10} \implies 2 = 10^{t/10}$.
दोनों तरफ लॉग लेने पर: $\log_{10}(2) = \frac{t}{10}$.
चूंकि $\log_{10}(2) \approx 0.3010$,इसलिए $0.3010 = \frac{t}{10}$.
अतः,$t = 3.01 \approx 3 \text{ वर्ष}$।

(C) डेसिबल में ध्वनि तीव्रता स्तर $L$ को $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_0 = 10^{-12} \ W/m^2$ है।
संगीत के लिए,$L_m = 60 \ dB$,इसलिए $I_m = 10^{-12} \times 10^{60/10} = 10^{-6} \ W/m^2$ है।
दर्शक के चिल्लाने के लिए,$L_s = 40 \ dB$,इसलिए $I_s = 10^{-12} \times 10^{40/10} = 10^{-8} \ W/m^2$ है।
कुल तीव्रता $I_{total} = I_m + I_s = 10^{-6} + 10^{-8} = 10^{-6} (1 + 0.01) = 1.01 \times 10^{-6} \ W/m^2$ है।
संयुक्त ध्वनि स्तर $L_{total} = 10 \log_{10} \left( \frac{1.01 \times 10^{-6}}{10^{-12}} \right) = 10 \log_{10} (1.01 \times 10^6)$ है।
$L_{total} = 10 [\log_{10}(1.01) + \log_{10}(10^6)] = 10 [0.0043 + 6] \approx 60.04 \ dB$ है।
अतः,अनुमानित संयुक्त ध्वनि स्तर $60 \ dB$ है।

(A) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि स्तर में परिवर्तन का सूत्र है: $\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{P_2}{P_1} \right)$.
यहाँ प्रारंभिक शक्ति $P_1 = 20 \text{ mW}$ और अंतिम शक्ति $P_2 = 400 \text{ mW}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{400}{20} \right)$
$\Delta L = 10 \log_{10} (20)$
चूँकि $\log_{10} (20) = \log_{10} (2 \times 10) = \log_{10} (2) + \log_{10} (10) \approx 0.301 + 1 = 1.301$.
$\Delta L = 10 \times 1.301 = 13.01 \text{ dB}$.
निकटतम पूर्णांक में,शक्ति वृद्धि $13 \text{ dB}$ है।

(D) मान लीजिए कि $S_1$ और $S_2$ के कारण व्यक्तिगत आयाम $a$ है।
$S_1$ के कारण तीव्रता $I_1$,$a^2$ के समानुपाती है,इसलिए $I_1 = K a^2$.
चूंकि $S_1$ और $S_2$ बिंदु $P$ पर समान कला में पहुँचते हैं,इसलिए उनके आयाम जुड़ जाते हैं: $A_{res} = a + a = 2a$.
परिणामी तीव्रता $I$,$(2a)^2$ के समानुपाती है,इसलिए $I = K(2a)^2 = 4 K a^2 = 4 I_1$.
डेसिबल में लाउडनेस का अंतर $\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_1} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$n = 10 \log_{10} \left( \frac{4 I_1}{I_1} \right) = 10 \log_{10} (4)$.
चूंकि $\log_{10} (4) \approx 0.602$,इसलिए $n = 10 \times 0.602 = 6.02 \approx 6$.

(C) ध्वनि की प्रबलता डेसिबल $(dB)$ में इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$,जहाँ $I$ ध्वनि की तीव्रता है और $I_0 = 10^{-12}\, W/m^2$ संदर्भ तीव्रता है।
दिया गया है $L = 120\, dB$,अतः: $120 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{10^{-12}} \right)$.
$10$ से भाग देने पर,हमें मिलता है $12 = \log_{10} \left( \frac{I}{10^{-12}} \right)$,जिसका अर्थ है $\frac{I}{10^{-12}} = 10^{12}$.
इस प्रकार,$I = 10^{12} \times 10^{-12} = 1\, W/m^2$.
बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ है,जहाँ $P = 2\, W$ शक्ति है।
मान रखने पर: $1 = \frac{2}{4 \pi r^2}$.
$r^2$ के लिए हल करने पर: $r^2 = \frac{2}{4 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \approx \frac{1}{6.28} \approx 0.159\, m^2$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \sqrt{0.159} \approx 0.399\, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $r \approx 0.399 \times 100 = 39.9\, cm \approx 40\, cm$.

(A) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि स्तर $L$ का सूत्र $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ है,जहाँ $I$ तीव्रता है और $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
ध्वनि स्तर में परिवर्तन $\Delta L = L_1 - L_2 = 20 \ dB$ दिया गया है।
सूत्र $\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$ का उपयोग करने पर,
$20 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$,
$2 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$,
$\frac{I_1}{I_2} = 10^2 = 100$.
अतः,तीव्रता $100$ के कारक (factor) से कम हो जाती है।

(B) ध्वनि स्तर (डेसिबल में) को $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $I$ ध्वनि की तीव्रता है और $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
एंटीलॉग लेने पर,हमें $\frac{I}{I_0} = 10^{\beta/10}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I = I_0 \times 10^{\beta/10}$।
दिया गया रैखिक संबंध $\beta = kf + c$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति ($kHz$ में) है:
$f = 1 \, kHz$ पर,$\beta = 20 \implies 20 = k(1) + c \quad (i)$।
$f = 9 \, kHz$ पर,$\beta = 60 \implies 60 = k(9) + c \quad (ii)$।
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $40 = 8k \implies k = 5$।
$k = 5$ को $(i)$ में रखने पर: $20 = 5 + c \implies c = 15$।
अतः,$f = 5 \, kHz$ पर,$\beta = 5(5) + 15 = 40 \, dB$।
अब,तीव्रताओं की गणना करने पर:
$I_{1 \, kHz} = I_0 \times 10^{20/10} = I_0 \times 10^2$।
$I_{5 \, kHz} = I_0 \times 10^{40/10} = I_0 \times 10^4$।
इसलिए,अनुपात $\frac{I_{5 \, kHz}}{I_{1 \, kHz}} = \frac{10^4}{10^2} = 100$ है। $5 \, kHz$ पर तीव्रता $1 \, kHz$ पर तीव्रता की $100$ गुना है।

(D) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि स्तर $\beta$ को $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ तीव्रता है और $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
मान लीजिए प्रारंभिक तीव्रता $I_1 = I$ है और अंतिम तीव्रता $I_2 = 100I$ है।
प्रारंभिक ध्वनि स्तर $\beta_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ है।
अंतिम ध्वनि स्तर $\beta_2 = 10 \log_{10} \left( \frac{100I}{I_0} \right)$ है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\beta_2 = 10 \left( \log_{10} 100 + \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) \right)$।
चूंकि $\log_{10} 100 = 2$,इसलिए $\beta_2 = 10(2) + 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) = 20 + \beta_1$।
इस प्रकार,ध्वनि स्तर $20 \, dB$ बढ़ जाता है। दिए गए विकल्पों में से,$80 \, dB$ से $100 \, dB$ तक की वृद्धि $20 \, dB$ की वृद्धि को दर्शाती है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
ध्वनि का वह गुण जो हमें समान आवृत्ति और आयाम वाली दो ध्वनियों के बीच अंतर करने की अनुमति देता है, उसे ध्वनि की गुणवत्ता या टिम्बर (timbre) कहा जाता है。
यह गुण ध्वनि तरंग के तरंग रूप (waveform) पर निर्भर करता है, जो यह बताता है कि समय के साथ विस्थापन आयाम कैसे बदलता है। भले ही दो वाद्ययंत्र समान पिच (आवृत्ति) और प्रबलता (आयाम) का स्वर उत्पन्न करें, उनके तरंग रूप अलग-अलग ओवरटोन या हार्मोनिक्स की उपस्थिति के कारण भिन्न होते हैं, जो हमारे कानों को उनके बीच अंतर करने में सक्षम बनाते हैं।

(C) एक सप्तक (octave) का अर्थ है आवृत्ति का दोगुना होना।
यदि प्रारंभिक आवृत्ति $f$ है,तो एक सप्तक के बाद आवृत्ति $2f$ हो जाती है।
दो सप्तक के बाद,आवृत्ति $2 \times 2f = 4f$ हो जाती है।
तीन सप्तक के बाद,आवृत्ति $2 \times 2 \times 2f = 2^3f = 8f$ हो जाती है।
अतः,अंतिम स्वर और प्रारंभिक स्वर के बीच का आवृत्ति अनुपात $8:1$ है,जिसे $8$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) डेसिबल $(dB)$ में शक्ति वृद्धि की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\text{Gain (dB)} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_2}{P_1} \right)$.
यहाँ,प्रारंभिक शक्ति $P_1 = 20 \text{ mW}$ और अंतिम शक्ति $P_2 = 200 \text{ mW}$ है।
मान रखने पर: $\text{Gain} = 10 \log_{10} \left( \frac{200}{20} \right)$.
$\text{Gain} = 10 \log_{10} (10)$.
चूंकि $\log_{10} (10) = 1$,इसलिए गेन $10 \times 1 = 10 \text{ dB}$ प्राप्त होता है।

(D) परकशन (ताल वाद्य) वह वाद्ययंत्र है जो टकराने,रगड़ने या हिलाने से ध्वनि उत्पन्न करता है। डफली,संबल और झांझ सभी ताल वाद्य हैं।
दूसरी ओर,क्लैरिनेट एक वायु वाद्य (wind instrument) है,न कि ताल वाद्य। यह हवा फूँकने पर रीड के कंपन के माध्यम से ध्वनि उत्पन्न करता है।
अतः,क्लैरिनेट सही उत्तर है।

(C) दो ध्वनियों की प्रबलता $L_2 = 60 \ dB$ और $L_1 = 30 \ dB$ दी गई है।
ध्वनि की प्रबलता का सूत्र $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ है।
प्रबलता में अंतर $L_2 - L_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $60 - 30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
$30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
$\log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) = 3$.
अतः,$\frac{I_2}{I_1} = 10^3 = 1000$.
इस प्रकार,$60 \ dB$ की ध्वनि $30 \ dB$ की ध्वनि से $1000$ गुना अधिक तीव्र है।

(D) ध्वनि की तीव्रता का स्तर ज्ञात करने का सूत्र है: $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) \ dB$।
यहाँ,दी गई तीव्रता $I = 10^{-8} \ W/m^2$ है और संदर्भ तीव्रता $I_0 = 10^{-12} \ W/m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{10^{-8}}{10^{-12}} \right) \ dB$।
$\beta = 10 \log_{10} (10^4) \ dB$।
चूँकि $\log_{10} (10^4) = 4$,इसलिए:
$\beta = 10 \times 4 \ dB = 40 \ dB$।

(A) डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि की तीव्रता का स्तर $L$,सूत्र $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ ध्वनि की तीव्रता है और $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
$60 \ dB$ की ध्वनि के लिए: $60 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \Rightarrow 6 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \Rightarrow \frac{I_1}{I_0} = 10^6$.
$30 \ dB$ की ध्वनि के लिए: $30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \Rightarrow 3 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \Rightarrow \frac{I_2}{I_0} = 10^3$.
यह पता लगाने के लिए कि $60 \ dB$ की ध्वनि $30 \ dB$ की ध्वनि से कितने गुना अधिक तीव्र है,हम अनुपात $\frac{I_1}{I_2}$ की गणना करते हैं:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1 / I_0}{I_2 / I_0} = \frac{10^6}{10^3} = 10^3 = 1000$.
अतः,$60 \ dB$ की ध्वनि $30 \ dB$ की ध्वनि से $1000$ गुना अधिक तीव्र है।