Principle of superposition of waves Questions in Hindi

(C) दी गई तरंग समीकरणें $y_1 = A_1 \sin(\omega t - kx)$ और $y_2 = A_2 \sin(\omega t - kx - \theta)$ हैं,जहाँ $A_1 = 2a$ और $A_2 = 2a$ है।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों के लिए परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A_1 = A_2 = 2a$ और $\phi = \theta$ है।
$A_R = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2 + 2(2a)(2a) \cos \theta}$
$A_R = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + 8a^2 \cos \theta} = \sqrt{8a^2(1 + \cos \theta)}$
सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta / 2)$ का उपयोग करने पर:
$A_R = \sqrt{8a^2 \cdot 2 \cos^2(\theta / 2)} = \sqrt{16a^2 \cos^2(\theta / 2)}$
$A_R = 4a \cos(\theta / 2)$.

(B) विनाशी व्यतिकरण के लिए,दो तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ है। विनाशी व्यतिकरण की पहली स्थिति $(n=0)$ के लिए,पथ का अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ है।
संपोषी व्यतिकरण प्राप्त करने के लिए,पथ का अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x' = n\lambda$। संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $\Delta x' = m\lambda$ है (जहाँ $m$ एक पूर्णांक है)।
यदि हम एक तरंग के पथ में $\frac{\lambda}{2}$ की वृद्धि करते हैं,तो नया पथ अंतर $\Delta x_{new} = \Delta x + \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} = \lambda$ हो जाता है। चूँकि $\lambda$ तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज है $(m=1)$,इसलिए संपोषी व्यतिकरण होता है।

(D) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A_1 = A_2 = A$ और $\phi = \pi / 2$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2 A^2 \cos(\pi / 2)}$।
चूंकि $\cos(\pi / 2) = 0$ होता है,इसलिए $A_R = \sqrt{2 A^2} = \sqrt{2} A$ प्राप्त होता है।
परिणामी तरंग की आवृत्ति मूल तरंगों की आवृत्ति के समान ही रहती है,जो कि $\omega$ है।

(A) $A_1$ और $A_2$ आयाम वाली दो तरंगों के बीच $\phi$ कलांतर होने पर परिणामी आयाम $R$ का सूत्र $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\phi)}$ है।
यहाँ कलांतर $\phi = 2\pi$ दिया गया है।
चूंकि $\cos(2\pi) = 1$,इसलिए समीकरण $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2} = \sqrt{(A_1 + A_2)^2} = A_1 + A_2$ हो जाता है।
यह संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) को दर्शाता है,जिसमें परिणामी आयाम अधिकतम होता है।

(D) जब समान आवृत्ति $f$ और आयाम $a$ वाली दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi} = \sqrt{2a^2(1 + \cos \phi)} = \sqrt{4a^2 \cos^2(\phi/2)} = 2a \cos(\phi/2)$
चूंकि तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,
$I \propto (2a \cos(\phi/2))^2 = 4a^2 \cos^2(\phi/2)$.
संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) के लिए,अधिकतम तीव्रता $4a^2$ के समानुपाती होती है।

(B) माना प्रत्येक तरंग का आयाम $a$ है। परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है:
$A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi$
दिया गया है कि $a_1 = a_2 = a$ और परिणामी आयाम $A = a$,इन मानों को रखने पर:
$a^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$
$\cos \phi = -1/2$
अतः,कलान्तर $\phi = 2\pi / 3$ रेडियन होगा।

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350}{350} = 1 m = 100 cm$ है।
बिंदु $P$ पर तरंगों के बीच पथ अंतर $(\Delta x) = AP - BP = 25 cm$ है।
कलांतर $(\Delta \phi) = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{100} \times 25 = \frac{\pi}{2} rad$ है।
चूंकि कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है,परिणामी आयाम $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\Delta \phi)}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $A = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2 + 2(0.3)(0.4) \cos(\frac{\pi}{2})}$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $A = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 mm$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: प्रत्येक तरंग का आयाम = $a$. तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1 \ m$. पथ अंतर $\Delta x = AP - BP = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
पथ अंतर के कारण कला अंतर $\phi_{path} = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{1} \times 0.5 = \pi$.
चूंकि स्रोत $A$,$B$ से $\frac{\pi}{3}$ कला में आगे है,इसलिए बिंदु $P$ पर दोनों तरंगों के बीच कुल कला अंतर $\Delta \phi = \phi_{path} - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होगा।
परिणामी आयाम $R$ का सूत्र $R = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\Delta \phi)}$ है।
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{3}$ रखने पर:
$R = \sqrt{2a^2 + 2a^2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{2a^2 + 2a^2(-0.5)} = \sqrt{2a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a$.

(C) $a_1$ और $a_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र इस प्रकार है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$
यहाँ दिए गए मान $a_1 = 0.3 \ cm$,$a_2 = 0.4 \ cm$ और $\phi = \pi/2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2 + 2(0.3)(0.4) \cos(\pi/2)}$
चूँकि $\cos(\pi/2) = 0$ होता है,इसलिए समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$A = \sqrt{0.09 + 0.16 + 0} = \sqrt{0.25} = 0.5 \ cm$.

(A) जब दो तरंगें समान आवृत्ति और वेग के साथ एक ही दिशा में संचरित होती हैं,तो परिणामी आयाम $R$ का सूत्र $R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$ होता है।
चूंकि तरंगें समान कला में हैं,इसलिए कलांतर $\phi = 0$ है।
$\cos(0) = 1$ होने के कारण,सूत्र $R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2} = \sqrt{(a_1 + a_2)^2} = a_1 + a_2$ में सरल हो जाता है।
दिए गए आयामों $a_1 = 2A$ और $a_2 = A$ को रखने पर,हमें $R = 2A + A = 3A$ प्राप्त होता है।

(C) व्यतिकरण होने के लिए,दो तरंगों के बीच कला संबंध स्थिर होना चाहिए।
तरंग $(2)$ है $y = a \sin(\omega t - kx)$ और तरंग $(4)$ है $y = a \cos(\omega t - kx) = a \sin(\omega t - kx + \pi/2)$।
चूंकि दोनों तरंगें $(2)$ और $(4)$ समान आवृत्ति रखती हैं और $\pi/2$ के स्थिर कला अंतर के साथ एक ही दिशा में यात्रा करती हैं,इसलिए वे एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न कर सकती हैं।
इसी तरह,तरंगें $(1)$ और $(3)$ भी एक स्थिर कला संबंध रखती हैं,लेकिन दिए गए विकल्पों में से,केवल जोड़ी $(2)$ और $(4)$ ही व्यतिकरण के लिए एक वैध संयोजन के रूप में सही ढंग से सूचीबद्ध है।

(D) जब समान आवृत्ति और तीव्रता की दो तरंगें विपरीत कला ($\pi$ रेडियन का कलांतर) में अध्यारोपित होती हैं,तो विनाशी व्यतिकरण होता है।
विनाशी व्यतिकरण में,परिणामी आयाम $A_{res} = A_1 - A_2$ होता है।
चूंकि तीव्रता समान है,इसलिए आयाम भी समान होंगे $(A_1 = A_2 = A)$।
अतः,परिणामी आयाम $A_{res} = A - A = 0$ होता है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए परिणामी तीव्रता $I_{res} = 0$ होगी।
इस प्रकार,तीव्रता शून्य हो जाती है,जो विकल्पों $A$,$B$ या $C$ में नहीं दी गई है।

(A) दो तरंगों के बीच का कलांतर $\phi = (\omega t - \beta_2) - (\omega t - \beta_1) = \beta_1 - \beta_2$ है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,$A_1$ और $A_2$ आयामों वाली और $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\phi$ का मान रखने पर,हमें $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\beta_1 - \beta_2)}$ प्राप्त होता है।

(A) अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार परिणामी तरंग: $y = y_1 + y_2 = A\sin(\omega t - kx) + A\sin(\omega t - kx - \theta )$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2\sin(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 2A \sin(\omega t - kx - \frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$.
परिणामी आयाम $A_R$ साइन पद का गुणांक है:
$A_R = 2A \cos(\frac{\theta}{2})$.
वैकल्पिक रूप से,आयामों के लिए सदिश योग सूत्र का उपयोग करने पर:
$A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\theta} = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2\cos\theta} = \sqrt{2A^2(1 + \cos\theta)}$.
चूंकि $1 + \cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$,इसलिए $A_R = \sqrt{2A^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\theta}{2})} = 2A\cos(\frac{\theta}{2})$.

(C) पहली तरंग $y_1 = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ है।
दूसरी तरंग $y_2 = a \cos(\omega t) = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ है।
दोनों तरंगों के बीच का कलांतर $\phi = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - (\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।
समान आयाम $a$ वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$a_1 = a$,$a_2 = a$ और $\phi = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos(\frac{\pi}{3})}$
$A = \sqrt{2a^2 + 2a^2(\frac{1}{2})}$
$A = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3} a$.

(B) समान आयाम $a$ वाली दो अध्यारोपित तरंगों के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है: $A^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$,जहाँ $\phi$ कलान्तर है।
दिया गया है कि परिणामी आयाम $A$ व्यक्तिगत तरंगों के आयाम $a$ के बराबर है,अर्थात $A = a$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $a^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$.
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$,इसलिए कलान्तर $\phi = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन होगा।

(B) $L_1$ और $L_2$ से डिटेक्टर $D$ तक पहुँचने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर इस प्रकार है:
$\Delta x = L_2D - L_1D$
ज्यामिति से,$L_1D = 40 \, m$ और $L_1$ तथा $L_2$ के बीच की दूरी $9 \, m$ है। अतः,$L_2D = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41 \, m$.
$\Delta x = 41 \, m - 40 \, m = 1 \, m$.
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,शर्त $\Delta x = n\lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
पहले उच्चिष्ठ के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं:
$1 \, m = 1 \cdot \lambda \implies \lambda = 1 \, m$.
आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v = 330 \, m/s$ है।
$f = \frac{330 \, m/s}{1 \, m} = 330 \, Hz$.

(C) माना आयाम $A_1 = 10 \,\mu m$,$A_2 = 4 \,\mu m$,और $A_3 = 7 \,\mu m$ हैं।
तरंगें $\frac{\pi}{2}$ के क्रमिक कलांतर के साथ पहुँचती हैं।
माना पहली तरंग की कला $0$,दूसरी की $\frac{\pi}{2}$,और तीसरी की $\pi$ है।
फेजर विधि का उपयोग करते हुए,परिणामी आयाम $A_R$ आयामों के सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$A_R = \sqrt{(\sum A_i \cos \phi_i)^2 + (\sum A_i \sin \phi_i)^2}$
$A_x = A_1 \cos(0) + A_2 \cos(\frac{\pi}{2}) + A_3 \cos(\pi) = 10(1) + 4(0) + 7(-1) = 10 - 7 = 3 \,\mu m$
$A_y = A_1 \sin(0) + A_2 \sin(\frac{\pi}{2}) + A_3 \sin(\pi) = 10(0) + 4(1) + 7(0) = 4 \,\mu m$
परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \,\mu m$.

(B) दो स्पंदों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 8 \ cm$ है।
प्रत्येक स्पंद $v = 2 \ cm/s$ की गति से एक-दूसरे की ओर बढ़ रहा है।
दोनों स्पंदों की सापेक्ष गति $v_{rel} = v + v = 2 + 2 = 4 \ cm/s$ है।
स्पंदों को मिलने में लगा समय $t = d / v_{rel} = 8 \ cm / 4 \ cm/s = 2 \ s$ है।
$2 \ s$ के बाद,दोनों स्पंद पूरी तरह से एक-दूसरे पर अध्यारोपित (overlap) हो जाते हैं।
चूंकि स्पंद विपरीत कलाओं में हैं (एक शृंग है और दूसरा समान परिमाण का गर्त है),उनका विस्थापन हर बिंदु पर एक-दूसरे को निरस्त कर देता है,जिससे डोरी क्षण भर के लिए सीधी हो जाती है।
चूंकि डोरी सीधी है,इसलिए कोई विरूपण नहीं है,और इस प्रकार स्थितिज ऊर्जा शून्य है।
हालाँकि,इस क्षण पर डोरी के कणों के पास अभी भी वेग है,इसलिए निकाय की कुल ऊर्जा पूर्णतः गतिज होती है।

(C) प्रत्येक स्पंद की गति $v = 2.5 \ cm/s$ है।
बीता हुआ समय $t = 2 \ s$ है।
प्रत्येक स्पंद द्वारा तय की गई दूरी $d = v \times t = 2.5 \ cm/s \times 2 \ s = 5 \ cm$ है।
प्रारंभ में,स्पंद एक-दूसरे से $10 \ cm$ की दूरी पर हैं। चूंकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं,$2 \ s$ के बाद,प्रत्येक स्पंद $5 \ cm$ की दूरी तय करेगा,जिससे $10 \ cm$ का अंतर समाप्त हो जाएगा।
जब दोनों स्पंद मिलते हैं,तो वे परस्पर विपरीत कला (phase) में होते हैं (एक श्रृंग है और दूसरा गर्त है)। अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत के अनुसार,डोरी का परिणामी विस्थापन व्यक्तिगत विस्थापनों का बीजगणितीय योग होगा।
चूंकि स्पंदों का आयाम समान और विपरीत है,इसलिए उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनका योग शून्य होगा।
अतः,डोरी एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देगी।

(D) ध्वनि तरंगें और प्रकाश तरंगें दोनों ही तरंग घटनाएं हैं जो व्यतिकरण का गुण प्रदर्शित करती हैं। व्यतिकरण तब होता है जब समान आवृत्ति और स्थिर कला अंतर वाली दो तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,जिसके परिणामस्वरूप अलग आयाम वाली एक नई तरंग पैटर्न बनती है। चूंकि ध्वनि और प्रकाश दोनों तरंग अध्यारोपण की शर्तों को पूरा करते हैं,इसलिए वे दोनों व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करते हैं। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि ध्वनि तरंगें यांत्रिक और अनुदैर्ध्य होती हैं,जबकि प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय और अनुप्रस्थ होती हैं,और वे बहुत अलग गति से यात्रा करती हैं।

(B) दी गई तरंग समीकरणें $y_1 = 4\sin \omega t$ और $y_2 = 3\sin (\omega t + \pi/3)$ हैं।
इन्हें मानक रूप $y = a\sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $a_1 = 4$ और $a_2 = 3$ प्राप्त होते हैं,और कलांतर $\phi = \pi/3$ है।
परिणामी तरंग का आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$ है।
मान रखने पर: $A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/3)}$.
चूंकि $\cos(\pi/3) = 0.5$,इसलिए $A = \sqrt{16 + 9 + 24(0.5)} = \sqrt{25 + 12} = \sqrt{37}$.
वर्गमूल लेने पर,$A \approx 6.08$,जो लगभग $6$ के बराबर है।

(D) दो तरंगें जिनके आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और कलांतर $\delta$ है,उनका परिणामी आयाम $R$ इस प्रकार दिया जाता है: $R^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \delta$.
यहाँ,$a_1 = a$ और $a_2 = a$ है।
इन मानों को रखने पर,$R^2 = a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos \delta$.
$R^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \delta = 2a^2(1 + \cos \delta)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \delta = 2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$R^2 = 2a^2 \times 2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right) = 4a^2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$.
चूंकि तीव्रता $I \propto R^2$ होती है,इसलिए परिणामी तीव्रता $4a^2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$ के समानुपाती है।

(D) व्यतिकरण एक ऐसी घटना है जो तब होती है जब दो या दो से अधिक कला-संबद्ध (coherent) तरंगें अध्यारोपित होती हैं।
कला-संबद्ध तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनकी आवृत्ति समान होती है और समय के साथ कलांतर स्थिर रहता है।
इस प्रश्न में,तरंगों को 'स्वतंत्र' बताया गया है।
प्रकाश के स्वतंत्र स्रोत यादृच्छिक कला परिवर्तनों के साथ तरंगों का उत्सर्जन करते हैं,जिसका अर्थ है कि वे असंबद्ध (incoherent) हैं।
इसलिए,स्वतंत्र स्रोतों के बीच व्यतिकरण का अवलोकन नहीं किया जा सकता है।
अतः,दिए गए युग्मों में से कोई भी व्यतिकरण की घटना को नहीं दर्शाता है।

(D) दो तरंगें जिनके आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके बीच का कलांतर $\phi$ है,तो उनका परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$.
यहाँ,$a_1 = a$,$a_2 = a$ और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos(\frac{\pi}{3})}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2(\frac{1}{2})}$
$A = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3} a$.

(A) परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2$ है।
$y = A_1 \sin(wt - \beta_1) + A_2 \sin(wt - \beta_2)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ का उपयोग करते हुए:
$y = A_1(\sin wt \cos \beta_1 - \cos wt \sin \beta_1) + A_2(\sin wt \cos \beta_2 - \cos wt \sin \beta_2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y = (A_1 \cos \beta_1 + A_2 \cos \beta_2) \sin wt - (A_1 \sin \beta_1 + A_2 \sin \beta_2) \cos wt$.
मान लीजिए $X = A_1 \cos \beta_1 + A_2 \cos \beta_2$ और $Y = A_1 \sin \beta_1 + A_2 \sin \beta_2$.
परिणामी आयाम $A = \sqrt{X^2 + Y^2}$ होता है।
$A = \sqrt{(A_1 \cos \beta_1 + A_2 \cos \beta_2)^2 + (A_1 \sin \beta_1 + A_2 \sin \beta_2)^2}$.
वर्गों का विस्तार करने पर:
$A = \sqrt{A_1^2(\cos^2 \beta_1 + \sin^2 \beta_1) + A_2^2(\cos^2 \beta_2 + \sin^2 \beta_2) + 2A_1A_2(\cos \beta_1 \cos \beta_2 + \sin \beta_1 \sin \beta_2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\beta_1 - \beta_2)}$.

(A) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों,जिनकी तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है और कलांतर $\phi$ है,की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$।
यहाँ दिया गया है कि $I_1 = I$,$I_2 = I$ और $\phi = 120^o$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos(120^o)$।
चूँकि $\cos(120^o) = -1/2$ होता है,इसलिए:
$I_R = 2I + 2I(-1/2) = 2I - I = I$।
अतः,परिणामी तीव्रता $I$ है।

(C) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi}$
यहाँ,$a_1 = 4$,$a_2 = 3$,और कलांतर $\phi = \pi / 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi / 3)}$
चूंकि $\cos(\pi / 3) = 0.5$:
$A = \sqrt{16 + 9 + 24(0.5)}$
$A = \sqrt{25 + 12}$
$A = \sqrt{37}$
$A \approx 6.08$
निकटतम पूर्णांक में,आयाम $6$ है।

(B) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$।
यहाँ $A_1 = A_2 = a$ और परिणामी आयाम $A = a$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $a = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$।
$a^2$ से भाग देने पर: $1 = 2 + 2 \cos \phi$।
अतः,$2 \cos \phi = -1$,यानी $\cos \phi = -1/2$।
इसलिए,कलांतर $\phi = 120^\circ$ या $\phi = 2\pi / 3$ रेडियन होगा।

(D) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$।
जब $a_1$ और $a_2$ आयाम वाली दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी आयाम $A_R$ का मान $|a_1 - a_2|$ से $(a_1 + a_2)$ के बीच हो सकता है।
अधिकतम तीव्रता (संपोषी व्यतिकरण) के लिए,परिणामी आयाम $A_R = a_1 + a_2$ होता है।
चूंकि $a_1 = a_2 = a$ दिया गया है,इसलिए परिणामी आयाम $A_R = a + a = 2a$ होगा।
परिणामी तीव्रता $I$ परिणामी आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है:
$I \propto (A_R)^2$
$I \propto (2a)^2$
$I \propto 4a^2$.

(D) दो अध्यारोपित होने वाली तरंगों,जिनके आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और कलान्तर $\phi$ है,का परिणामी आयाम $A_R$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$
यहाँ $a_1 = a_2 = A$ और $\phi = \pi / 2$ दिया गया है:
$A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\pi / 2)}$
चूंकि $\cos(\pi / 2) = 0$ होता है,इसलिए:
$A_R = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2} A$
जब समान आवृत्ति की दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तरंग की आवृत्ति मूल तरंगों के समान ही रहती है।
अतः,परिणामी आवृत्ति $\omega$ होगी।

(A) समयांतर $(\Delta t)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{T} \times \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta t = \frac{3T}{2}$,इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\phi = \frac{2\pi}{T} \times \frac{3T}{2} = 3\pi$.
$I_1 = x$ और $I_2 = y$ तीव्रता वाली दो तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ है।
$\phi = 3\pi$ और $\cos(3\pi) = -1$ रखने पर:
$I_R = x + y + 2\sqrt{xy}(-1) = x + y - 2\sqrt{xy} = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$.
अतः,सही परिणामी तीव्रता $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$ है।

(B) ध्वनि तरंग जंक्शन पर दो रास्तों में विभाजित हो जाती है। एक रास्ता सीधा है (लंबाई $L_1 = 2r$) और दूसरा रास्ता अर्धवृत्ताकार है (लंबाई $L_2 = \pi r$)।
डिटेक्टर $D$ पर न्यूनतम ध्वनि सुनाई देने के लिए,दोनों तरंगों के बीच पथ का अंतर तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$।
न्यूनतम त्रिज्या $r$ के लिए,हम $n = 0$ लेते हैं,इसलिए $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$।
पथ का अंतर $\Delta x = L_2 - L_1 = \pi r - 2r = r(\pi - 2)$ है।
दिया गया है $\lambda = 32 \ cm$,इसलिए $r(\pi - 2) = \frac{32}{2} = 16$।
अतः,$r = \frac{16}{\pi - 2} \approx \frac{16}{3.14 - 2} = \frac{16}{1.14} \approx 14 \ cm$।

(C) समान तीव्रता $I_0$ वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ तरंगों के बीच का कलांतर है।
जब तरंगें समान कला में आती हैं,तो कलांतर $\phi_1 = 0^{\circ}$ होता है।
अतः,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0/2) = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
जब तरंगें $90^{\circ}$ कलांतर पर आती हैं,तो कलांतर $\phi_2 = 90^{\circ}$ होता है।
अतः,$I_2 = 4I_0 \cos^2(90^{\circ}/2) = 4I_0 \cos^2(45^{\circ}) = 4I_0 \times (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0 \times (1/2) = 2I_0$.
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ है।

(A) दी गई तरंगें $y_1 = 5 \sin (\omega t - kx)$ और $y_2 = -5 \cos (\omega t - kx - 150^{\circ})$ हैं।
हम जानते हैं कि $-\cos(\theta) = \sin(\theta - 90^{\circ})$.
अतः,$y_2 = 5 \sin (\omega t - kx - 150^{\circ} - 90^{\circ}) = 5 \sin (\omega t - kx - 240^{\circ})$.
वैकल्पिक रूप से,$y_2 = 5 \sin (\omega t - kx - 240^{\circ} + 360^{\circ}) = 5 \sin (\omega t - kx + 120^{\circ})$.
दो तरंगों $A_1 \sin(\phi_1)$ और $A_2 \sin(\phi_2)$ का परिणामी आयाम $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A_1 = 5$,$A_2 = 5$,और कलांतर $\Delta\phi = 120^{\circ} - 0^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
$A = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos(120^{\circ})}$.
चूंकि $\cos(120^{\circ}) = -0.5$,इसलिए $A = \sqrt{25 + 25 + 50(-0.5)} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5$.

(A) तरंगों के आयाम $a_{1} = 10 \, \mu m$,$a_{2} = 4 \, \mu m$ और $a_{3} = 7 \, \mu m$ हैं।
पहली और दूसरी तरंग के बीच का कलांतर $\phi_{12} = \pi / 2$ है और दूसरी तथा तीसरी तरंग के बीच का कलांतर $\phi_{23} = \pi / 2$ है। अतः,पहली और तीसरी तरंग के बीच का कलांतर $\phi_{13} = \pi$ होगा।
सबसे पहले,हम पहली और तीसरी तरंग को संयोजित करते हैं। चूंकि वे विपरीत कला $(\pi)$ में हैं,उनका परिणामी आयाम $A_{13}$ होगा:
$A_{13} = |a_{1} - a_{3}| = |10 - 7| = 3 \, \mu m$.
अब,हम इस परिणामी $A_{13}$ को दूसरी तरंग के साथ संयोजित करते हैं। दूसरी तरंग और पहली तथा तीसरी तरंग के परिणामी के बीच का कलांतर $\pi / 2$ है (क्योंकि परिणामी $A_{13}$ पहली तरंग की दिशा में है)।
अंतिम परिणामी आयाम $A$ इस प्रकार होगा:
$A = \sqrt{A_{13}^{2} + a_{2}^{2} + 2 A_{13} a_{2} \cos(\pi / 2)}$
$A = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \mu m$.

(A) व्यक्ति दो रास्तों से ध्वनि प्राप्त करता है: $d_1 = 6\, m$ लंबाई का सीधा रास्ता और $d_2 = 5\, m + 5\, m = 10\, m$ लंबाई का परावर्तित रास्ता।
दोनों तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = d_2 - d_1 = 10\, m - 6\, m = 4\, m$ है।
संपोषी व्यतिकरण (अधिकतम ध्वनि तीव्रता) के लिए,पथ का अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
मान रखने पर,हमें $4 = n\lambda$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{4}{n}$.
अधिकतम तरंगदैर्ध्य ज्ञात करने के लिए,हमें $n$ के लिए सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान चुनना होगा,जो $n = 1$ है।
अतः,$\lambda_{\max} = \frac{4}{1} = 4\, m$।

(B) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलांतर $\phi_A = \pi / 2$ है। सूत्र में मान रखने पर:
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi / 2) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$.
बिंदु $B$ पर,कलांतर $\phi_B = \pi$ है। सूत्र में मान रखने पर:
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$.
$A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $I_A - I_B = 5I - I = 4I$ है।

(C) $x = 0$ पर परिणामी तरंग फलन $y = y_1 + y_2$ है।
तरंग फलनों में $x = 0$ रखने पर:
$y_1 = A \cos(-kvt) = A \cos(kvt)$
$y_2 = A \cos(kvt + \phi)$
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$y = A [\cos(kvt) + \cos(kvt + \phi)]$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 2A \cos(kvt + \frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2})$.
संपोषी व्यतिकरण के लिए,आयाम अधिकतम होना चाहिए,जो तब होता है जब $|\cos(\frac{\phi}{2})| = 1$,अर्थात $\frac{\phi}{2} = n\pi$,या $\phi = 2n\pi$ (जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$)।
विनाशी व्यतिकरण के लिए,आयाम शून्य होना चाहिए,जो तब होता है जब $\cos(\frac{\phi}{2}) = 0$,अर्थात $\frac{\phi}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,या $\phi = (2n+1)\pi$ (जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$)।
विकल्पों की जाँच करने पर,विनाशी व्यतिकरण की स्थिति के लिए $n=0$ लेने पर,$\phi = \pi$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) मान लीजिए कि दो तरंगों के समीकरण $y_1 = A \sin(kx - \omega t)$ और $y_2 = A \sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{2})$ हैं।
चूंकि $\sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{2}) = \cos(kx - \omega t)$,परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = A \sin(kx - \omega t) + A \cos(kx - \omega t)$ है।
$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi)$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जहाँ $\phi = \tan^{-1}(b/a)$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \sqrt{A^2 + A^2} \sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}A \sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{4})$.
परिणामी तरंग का आयाम $\sqrt{2}A$ है,जो व्यक्तिगत आयाम $A$ से भिन्न है।
हालाँकि,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ और आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ (और इसलिए वेग $v = f\lambda = \frac{\omega}{k}$) व्यक्तिगत तरंगों के समान ही रहते हैं।
इसलिए,परिणामी तरंग में व्यक्तिगत तरंगों के समान तरंगदैर्ध्य और वेग होता है,लेकिन आयाम भिन्न होता है।

(B) वृत्ताकार नली की परिधि $2\pi R$ है।
$S$ से $D$ तक के दो रास्ते वृत्त के चाप के अनुदिश हैं। चूंकि $S$ और $D$ समकोण पर हैं,इसलिए छोटे रास्ते की लंबाई $L_1 = \frac{1}{4}(2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$ है।
लंबे रास्ते की लंबाई $L_2 = \frac{3}{4}(2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ है।
दोनों तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = L_2 - L_1 = \frac{3\pi R}{2} - \frac{\pi R}{2} = \pi R$ है।
$D$ पर विनाशी व्यतिकरण (minima) होने के लिए,पथ का अंतर आधी तरंग दैर्ध्य का विषम गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
पथ के अंतर की तुलना करने पर:
$\pi R = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{2\pi R}{2n + 1}$
$\lambda$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $n = 0$ लेते हैं:
$\lambda_{\text{max}} = \frac{2\pi R}{2(0) + 1} = 2\pi R$.

(A) पथ अंतर $\Delta x = S_1P - S_2P = \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
कला अंतर $\Delta \phi$ की गणना $\Delta \phi = k \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ के रूप में की जाती है।
$\Delta x$ का मान रखने पर,हमें $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi$ प्राप्त होता है।
चूंकि कला अंतर $\pi$ है,इसलिए दोनों तरंगें बिंदु $P$ पर विनाशी व्यतिकरण करती हैं।
परिणामी आयाम $A_R$ को $A_R = |A_1 - A_2|$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_1 = 2a$ और $A_2 = a$ है।
अतः,$A_R = |2a - a| = a$।
$P$ पर परिणामी दोलन $a$ आयाम वाली एक साइनसोइडल तरंग होगी।

(C) बिंदु $A$ पर समय $t$ पर $S_1$ से आने वाली तरंग का विस्थापन $y_{A1} = 5 \sin(\pi(t - 1))$ है।
बिंदु $A$ पर समय $t$ पर $S_2$ से आने वाली तरंग का विस्थापन $y_{A2} = 5 \sin(\pi(t - 0.5) + \pi/6)$ है।
बिंदु $A$ पर कलाओं की तुलना करने पर:
तरंग $1$ की कला: $\phi_1 = \pi t - \pi$.
तरंग $2$ की कला: $\phi_2 = \pi t - 0.5\pi + \pi/6 = \pi t - \pi/2 + \pi/6 = \pi t - \pi/3$.
कलांतर $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = (\pi t - \pi/3) - (\pi t - \pi) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$.
परिणामी आयाम $A_{res} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\Delta\phi)}$.
यहाँ $A_1 = A_2 = 5 \text{ mm}$ और $\Delta\phi = 2\pi/3$ दिया गया है:
$A_{res} = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos(2\pi/3)} = \sqrt{25 + 25 + 50(-0.5)} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5 \text{ mm}$.

(C) $t = 0 \ s$ पर,त्रिकोणीय स्पंद $x = 0 \ m$ और $x = 2 \ m$ के बीच है और $1 \ m/s$ की गति से दाईं ओर बढ़ रहा है। आयताकार स्पंद $x = 4 \ m$ और $x = 7 \ m$ के बीच है और $1 \ m/s$ की गति से बाईं ओर बढ़ रहा है।
$t = 3 \ s$ पर,त्रिकोणीय स्पंद $3 \ m$ दाईं ओर खिसक गया है,जो $x = 3 \ m$ और $x = 5 \ m$ के बीच के क्षेत्र पर कब्जा कर लेता है।
आयताकार स्पंद $3 \ m$ बाईं ओर खिसक गया है,जो $x = 1 \ m$ और $x = 4 \ m$ के बीच के क्षेत्र पर कब्जा कर लेता है।
इसलिए,$t = 3 \ s$ पर डोरी का संयुक्त आकार इन दो स्पंदों का अध्यारोपण (superposition) है,जो $x = 1 \ m$ से $x = 5 \ m$ तक फैला हुआ है।

(B) मान लीजिए स्रोत $S$ पर है और प्रेक्षक $O$ पर है। सीधी दूरी $SO = 120\,m$ है।
छत की ऊंचाई $h = 25\,m$ है। परावर्तित तरंग $S$ से छत के मध्य-बिंदु तक और फिर $O$ तक यात्रा करती है।
चूंकि छत मध्य-बिंदु पर है,$S$ से परावर्तन बिंदु तक की क्षैतिज दूरी $60\,m$ है और परावर्तन बिंदु से $O$ तक की दूरी भी $60\,m$ है।
परावर्तित तरंग की पथ लंबाई $d = 2 \times \sqrt{60^2 + 25^2} = 2 \times \sqrt{3600 + 625} = 2 \times \sqrt{4225} = 2 \times 65 = 130\,m$ है।
परावर्तित तरंग और सीधी तरंग के बीच पथ का अंतर $\Delta x = 130\,m - 120\,m = 10\,m$ है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,पथ का अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए: $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
अतः,$10 = n\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{10}{n}$।
$n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,संभावित तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10\,m, 5\,m, \frac{10}{3}\,m, \dots$ हैं।

(D) पहली तरंग $y_1 = a \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ है।
दूसरी तरंग $y_2 = a \cos \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x) = a \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x) + \frac{\pi}{2} \right)$ है।
इन्हें मानक रूप $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,दोनों तरंगों के बीच का कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ है।
समान आयाम $a$ और कलांतर $\Delta \phi$ वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $A_{res} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\Delta \phi)}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \phi = 90^{\circ}$ रखने पर,हमें $A_{res} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(90^{\circ})} = \sqrt{2a^2 + 0} = a\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) $a_1$ और $a_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
यहाँ,$a_1 = 4$,$a_2 = 3$,और $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos 60^{\circ}}$
$A = \sqrt{16 + 9 + 24 \times 0.5}$
$A = \sqrt{25 + 12}$
$A = \sqrt{37} \approx 6.08$
अतः,परिणामी तरंग का आयाम लगभग $6$ है।

(D) व्यतिकरण सभी तरंग घटनाओं का एक मूलभूत गुण है। प्रकाश तरंगें (विद्युत चुम्बकीय) और ध्वनि तरंगें (यांत्रिक/अनुदैर्ध्य) दोनों ही व्यतिकरण की घटना प्रदर्शित करती हैं जब दो या दो से अधिक तरंगें अंतरिक्ष में एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं।

(A) दो तरंगें $Y_1 = A_1 \sin(\omega t - \beta_1)$ और $Y_2 = A_2 \sin(\omega t - \beta_2)$ दी गई हैं।
इन दो तरंगों के बीच का कलांतर $\phi = (\omega t - \beta_1) - (\omega t - \beta_2) = \beta_2 - \beta_1$ है।
$A_1$ और $A_2$ आयामों वाली और $\phi$ कलांतर वाली दो अध्यारोपित तरंगों के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$।
सूत्र में $\phi = \beta_2 - \beta_1$ रखने पर और यह देखते हुए कि $\cos(\beta_2 - \beta_1) = \cos(\beta_1 - \beta_2)$ होता है:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\beta_1 - \beta_2)}$।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $y = 4 \cos^2(t/2) \sin(1000t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = 2 [2 \cos^2(t/2)] \sin(1000t)$
$y = 2(1 + \cos t) \sin(1000t)$
$y = 2 \sin(1000t) + 2 \sin(1000t) \cos t$
गुणनफल से योग की सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$y = 2 \sin(1000t) + \sin(1000t + t) + \sin(1000t - t)$
$y = 2 \sin(1000t) + \sin(1001t) + \sin(999t)$
अतः,दिया गया व्यंजक तीन तरंगों के अध्यारोपण का परिणाम है।