Speed of Mechanical Wave on String (Transverse wave) Questions in Hindi

(A) तनी हुई डोरी में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
हुक के नियम के अनुसार,डोरी में तनाव $T$,विस्तार $x$ के सीधे आनुपातिक होता है,इसलिए $T \propto x$।
इसे वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v \propto \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक चाल $v_1 = v$ है जब विस्तार $x_1 = x$ है,और नई चाल $v_2$ है जब विस्तार $x_2 = 1.5x$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$।
मान की गणना करने पर,$\sqrt{1.5} \approx 1.22$।
इसलिए,$v_2 = 1.22 \,v$।

(C) अनुप्रस्थ तरंग वह तरंग है जिसमें माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं।
ध्वनि तरंगें और स्प्रिंग में संपीड़न तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगों के उदाहरण हैं,जहाँ कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं।
डोरी का कंपन अनुप्रस्थ तरंग का एक उत्कृष्ट उदाहरण है,क्योंकि जब तरंग डोरी की लंबाई के अनुदिश चलती है तो डोरी के कण ऊपर और नीचे गति करते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) अनुप्रस्थ तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \ m/s$ है।
डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$.
मान रखने पर: $30 = \sqrt{\frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $900 = \frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}$.
$T = 900 \times 1.3 \times 10^{-4} = 1170 \times 10^{-4} = 0.117 \ N$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$T \approx 0.12 \ N$.

(C) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.035 \; kg}{7 \; m} = 0.005 \; kg/m$.
दिया गया तनाव $T = 60.5 \; N$.
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{60.5}{0.005}}$
$v = \sqrt{12100}$
$v = 110 \; m/s$.

(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है),वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ होता है।
चूँकि दोनों तार स्टील के बने हैं,$\rho$ स्थिर है। अतः,$v \propto \frac{\sqrt{T}}{r}$.
दिया गया है: $d_A = 2d_B \implies r_A = 2r_B$ और $T_A = \frac{1}{2}T_B$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{T_A}{T_B}} \times \frac{r_B}{r_A}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{1}{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1 : 2\sqrt{2}$ है।

(B) डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L} = \frac{10^{-2}}{0.4} = 2.5 \times 10^{-2}\, kg/m$ है।
डोरी में तरंग स्पंद का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.6}{2.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{160}{2.5}} = \sqrt{64} = 8\, m/s$ है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,स्पंद को समान कला (phase) में प्रारंभिक बिंदु पर वापस आना चाहिए। जब एक स्पंद स्थिर सिरे से परावर्तित होता है,तो उसकी कला में $\pi$ का परिवर्तन होता है। दो परावर्तनों के बाद (कुल $2L$ दूरी तय करने पर),स्पंद की कला में कुल $2\pi$ का परिवर्तन होता है,जिससे वह अपनी मूल कला में वापस आ जाता है।
अतः,स्पंद द्वारा $2L$ दूरी तय करने में लगा समय $\Delta t_{\min} = \frac{2L}{v} = \frac{2 \times 0.4}{8} = \frac{0.8}{8} = 0.1\, s$ है।

(B) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर,डोरी में तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे लटके हुए डोरी के भाग के भार के बराबर होता है। इस भाग का द्रव्यमान $m' = \mu x = \left(\frac{M}{L}\right)x$ है।
अतः,$x$ दूरी पर तनाव $T = m'g = \left(\frac{M}{L}\right)xg$ है।
इन मानों को वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{\left(\frac{M}{L}\right)xg}{\left(\frac{M}{L}\right)}} = \sqrt{gx}$.

(A) रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि पल्स की आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f}$ वेग $v$ के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए,$\lambda \propto \sqrt{T}$।
रस्सी के निचले सिरे पर (जहाँ ब्लॉक $m_2$ जुड़ा है),तनाव $T_1$ ब्लॉक के वजन के कारण है: $T_1 = m_2 g$।
रस्सी के ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ रस्सी और ब्लॉक दोनों के वजन के कारण है: $T_2 = (m_1 + m_2) g$।
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2) g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$।

(D) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ ..........$(1)$
जहाँ,$T$ डोरी में तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान (रैखिक घनत्व) है।
इस प्रश्न में:
डोरी में तनाव $(T)$ सिरे पर लटके ब्लॉक के भार के कारण है:
$T = m \times g = 1\, kg \times 10\, m/s^2 = 10\, N$.
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = 0.001\, kg/m$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र $(1)$ में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{10}{0.001}} = \sqrt{10000} = 100\, m/s$.
स्पंदन द्वारा डोरी की लंबाई $(L = 1\, m)$ तय करने में लगा समय $(t)$:
$t = \frac{L}{v} = \frac{1\, m}{100\, m/s} = 0.01\, s$.

(C) रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रस्सी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
निचले सिरे से $h$ ऊंचाई पर,रस्सी में तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे रस्सी के हिस्से के वजन के कारण होता है।
यदि रस्सी की कुल लंबाई $L$ और कुल द्रव्यमान $M$ है,तो $\mu = \frac{M}{L}$।
$h$ लंबाई के हिस्से का द्रव्यमान $m = \mu h$ है।
इसलिए,$h$ ऊंचाई पर तनाव $T = mg = \mu h g$ है।
इसे गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{\mu h g}{\mu}} = \sqrt{gh}$।
यह दर्शाता है कि $v \propto \sqrt{h}$,जो एक परवलयिक संबंध को दर्शाता है जहाँ $v$,$h$ के साथ बढ़ता है। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(C) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रेखीय द्रव्यमान घनत्व है।
दिया है $v = 100 \, m \, s^{-1}$ और $\mu = 10^{-2} \, kg \, m^{-1}$।
$100 = \sqrt{\frac{T}{10^{-2}}} \implies 100^2 = \frac{T}{10^{-2}} \implies T = 10000 \times 10^{-2} = 100 \, N$।
चूंकि निकाय संतुलन में है,डोरी में तनाव $T$ लटकते हुए द्रव्यमान $M$ के भार के बराबर है,इसलिए $T = Mg = 100 \, N$। $g = 10 \, m \, s^{-2}$ लेने पर,हमें $M = \frac{100}{10} = 10 \, kg$ प्राप्त होता है।
नत समतल पर द्रव्यमान $m$ के लिए,समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण का घटक तनाव $T$ को संतुलित करना चाहिए,इसलिए $T = mg \sin(30^o)$।
$100 = m \times 10 \times \frac{1}{2} \implies 100 = 5m \implies m = 20 \, kg$।
अतः,$\frac{m}{M} = \frac{20}{10} = 2$। विकल्पों को देखने पर,$m = 20 \, kg$ सही है।

(C) पहली डोरी में तरंग की गति $V_1 = \sqrt{T/\mu}$ है।
दूसरी डोरी में तरंग की गति $V_2 = \sqrt{T/(4\mu)} = V_1/2$ है।
चूँकि $V_2 < V_1$,दूसरा माध्यम सघन है।
जब कोई तरंग सघन माध्यम से परावर्तित होती है,तो उसमें $\pi$ का कला परिवर्तन होता है,जो एक ऋणात्मक चिह्न लाता है।
परावर्तन गुणांक $R = (V_2 - V_1) / (V_2 + V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$R = (V_1/2 - V_1) / (V_1/2 + V_1) = (-V_1/2) / (3V_1/2) = -1/3$.
परावर्तित तरंग का आयाम $A_r = R \times A_i = (-1/3) \times 6 \text{ mm} = -2 \text{ mm}$ है।
आपतित तरंग $Y_i = (6 \text{ mm}) \sin(5t + 40x)$ है। परावर्तित तरंग विपरीत दिशा ($-x$ दिशा) में यात्रा करती है,इसलिए इसकी कला $(5t - 40x)$ होगी।
अतः,परावर्तित तरंग का समीकरण $Y_r = -2 \sin(5t - 40x) \text{ mm}$ है।

(D) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
निचले सिरे से $x$ दूरी पर,तनाव $T(x) = w + \mu x g$ है,जहाँ $w$ निचले सिरे पर लटकाया गया भार है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{w + \mu x g}{\mu}} = \sqrt{\frac{w}{\mu} + xg}$.
जैसे-जैसे पल्स ऊपर की ओर बढ़ती है,$x$ बढ़ता है,इसलिए गति $v$ बढ़ती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{w}{\mu} + xg$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2v \frac{dv}{dt} = g \frac{dx}{dt}$.
चूंकि $\frac{dx}{dt} = v$,हमें $2v \frac{dv}{dt} = gv$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{dv}{dt} = \frac{g}{2}$ हो जाता है।
अतः,पल्स $\frac{g}{2}$ के स्थिर त्वरण के साथ ऊपर की ओर यात्रा करती है।

(C) मान लीजिए $x$ डोरी के निचले सिरे से दूरी है। रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu(x) = (\lambda/L)x$ है।
त्वरित फ्रेम में $x$ लंबाई के खंड के भार के कारण नीचे से $x$ दूरी पर तनाव $T(x)$ कार्य करता है। प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + 2g = 3g$ है।
$x$ लंबाई के खंड का द्रव्यमान $m(x) = \int_0^x \mu(x') dx' = \int_0^x (\lambda/L)x' dx' = \frac{\lambda x^2}{2L}$ है।
तनाव $T(x) = m(x) \cdot g_{eff} = \frac{3g\lambda x^2}{2L}$ है।
तरंग का वेग $v(x) = \sqrt{T(x)/\mu(x)} = \sqrt{\frac{3g\lambda x^2 / 2L}{\lambda x / L}} = \sqrt{\frac{3gx}{2}}$ है।
चूँकि $v = dx/dt$,हमारे पास $dt = dx / \sqrt{3gx/2} = \sqrt{2/3g} \cdot x^{-1/2} dx$ है।
$x=0$ से $x=L$ तक समाकलन करने पर,समय $t = \int_0^L \sqrt{2/3g} \cdot x^{-1/2} dx = \sqrt{2/3g} \cdot [2x^{1/2}]_0^L = \sqrt{2/3g} \cdot 2\sqrt{L} = \sqrt{8L/3g}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = 0.02 \sin \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.50} \right) \right]$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{0.04} \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{0.50} \ rad/m$ है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi / 0.04}{2\pi / 0.50} = \frac{0.50}{0.04} = 12.5 \ m/s$ है।
तनी हुई डोरी पर तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 0.04 \ kg/m$ दिया गया है,इसलिए $T = v^2 \mu$ होगा।
मान रखने पर,$T = (12.5)^2 \times 0.04 = 156.25 \times 0.04 = 6.25 \ N$।

(A) डोरी पर तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
$l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान वाली डोरी के लिए,$\mu = \frac{m}{l}$।
निचले सिरे से $x$ दूरी पर,तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे डोरी के भार के कारण होता है: $T = \mu x g$।
इसे वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{gx}$।
चूँकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$।
चरों को अलग करने पर: $x^{-1/2} dx = \sqrt{g} dt$।
$x=0$ से $x=l$ और $t=0$ से $t=T_{total}$ तक समाकलन (integration) करने पर:
$\int_{0}^{l} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{T_{total}} \sqrt{g} dt$।
$[2x^{1/2}]_{0}^{l} = \sqrt{g} T_{total}$।
$2\sqrt{l} = \sqrt{g} T_{total} \implies T_{total} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$।
यहाँ $l = 20 \ m$ और $g = 10 \ ms^{-2}$ दिया गया है,इसलिए $T_{total} = 2\sqrt{\frac{20}{10}} = 2\sqrt{2} \ s$।

(C) हवा में ध्वनि का वेग $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है,इसलिए $V^2 \propto T$ होता है।
विकल्प $(A)$ वेग बनाम दबाव दिखाता है,जो गलत है क्योंकि आदर्श गैस में ध्वनि का वेग दबाव से स्वतंत्र होता है।
विकल्प $(B)$ $V^2$ बनाम $^\circ C$ में तापमान दिखाता है। चूँकि $V^2 \propto (t + 273.15)$,इसलिए $V^2$ बनाम $t$ $(^\circ C)$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा नहीं हो सकता,बल्कि यह $V^2$ अक्ष पर एक धनात्मक अंतःखंड वाली रेखा होगी।
विकल्प $(C)$ एक डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ दिखाता है,जहाँ $T$ तनाव है। यह दर्शाता है कि $V \propto \sqrt{T}$,जो $V^2 \propto T$ संबंध को दर्शाता है। अतः,$V$ बनाम $T$ का ग्राफ $T$-अक्ष की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
विकल्प $(D)$ व्युत्क्रम संबंध दिखाता है,जो गलत है।
इसलिए,सही ग्राफ $(C)$ है।

(D) एक अनुप्रस्थ तरंग में,डोरी के तत्व सरल आवर्त गति $(SHM)$ करते हैं।
$SHM$ में एक तत्व के लिए,विस्थापन $y$ को $y = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है,जो माध्य स्थिति $(y = 0)$ पर अधिकतम होता है।
त्वरण $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$ है,जो चरम स्थितियों $(y = \pm A)$ पर अधिकतम होता है।
बिंदु $P$ और $S$ शिखरों (चरम स्थितियों) पर हैं,इसलिए $P$ और $S$ पर तत्वों का त्वरण अधिकतम है।
बिंदु $Q$ माध्य स्थिति पर है,इसलिए इसका वेग अधिकतम है,लेकिन इसका विस्थापन केवल इस क्षण पर शून्य है,हमेशा नहीं।
बिंदु $R$ गर्त (चरम स्थिति) पर है,जहाँ इसका वेग शून्य है और इसकी ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज है।
इसलिए,सही कथन यह है कि $S$ पर तत्व का त्वरण अधिकतम है।

(C) तरंग समीकरण $y = 2 \sin(20t - 10x)$ दिया गया है। इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 20 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 10 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{10} = 2 \ m/s$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{घनत्व} \times \text{क्षेत्रफल} = 1 \ kg/m^3 \times 0.01 \ m^2 = 0.01 \ kg/m$.
डोरी में तनाव $T$ लटके हुए द्रव्यमान $M$ के भार द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = Mg$.
इन मानों को चाल के सूत्र में रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{Mg}{0.01}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{Mg}{0.01} \implies 4 = \frac{M \times 10}{0.01} \implies 4 = 1000M$.
अतः,$M = \frac{4}{1000} = 0.004 \ kg$.

(B) डोरी में तनाव $T$ इससे लटके $M = 1 \ kg$ द्रव्यमान के कारण है। चूंकि निकाय $a = 2 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित हो रहा है,इसलिए प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \ m/s^2$ होगा।
डोरी में किसी भी बिंदु पर तनाव $T$ (डोरी के स्वयं के द्रव्यमान की उपेक्षा करते हुए,क्योंकि यह $1 \ kg$ की तुलना में बहुत कम है) $T = M(g + a) = 1 \times 12 = 12 \ N$ होगा।
अनुप्रस्थ स्पंदन की गति $v$,$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = 1.2 \ g/m = 1.2 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
$v = \sqrt{\frac{12}{1.2 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10^4} = 100 \ m/s$.
चूंकि गति स्थिर है,इसलिए $L = 1 \ m$ की लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v} = \frac{1}{100} = 0.01 \ s$ होगा।

(C) मान लीजिए कि डोरी $1$ और डोरी $2$ में तनाव क्रमशः $T_1$ और $T_2$ हैं। द्रव्यमान के संतुलन में होने के लिए:
$T_1 \sin(37^\circ) + T_2 \sin(53^\circ) = mg = 20 \times 10 = 200\ N$
$T_1 \cos(37^\circ) = T_2 \cos(53^\circ) \Rightarrow T_1 \times (4/5) = T_2 \times (3/5) \Rightarrow T_1 = (3/4) T_2$
ऊर्ध्वाधर संतुलन समीकरण में $T_1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(3/4) T_2 \times (3/5) + T_2 \times (4/5) = 200 \Rightarrow (9/20 + 16/20) T_2 = 200 \Rightarrow (25/20) T_2 = 200 \Rightarrow T_2 = 160\ N$
$T_1 = (3/4) \times 160 = 120\ N$
डोरियों की लंबाई $L_1 = 10 \sin(53^\circ) = 10 \times (4/5) = 8\ m$ और $L_2 = 10 \sin(37^\circ) = 10 \times (3/5) = 6\ m$ है।
तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ है। अतः,$v_1 = \sqrt{T_1/\mu}$ और $v_2 = \sqrt{T_2/\mu}$।
लगा समय $t = L/v$ है। इसलिए,$t_1/t_2 = (L_1/v_1) / (L_2/v_2) = (L_1/L_2) \times \sqrt{T_2/T_1}$।
$t_1/t_2 = (8/6) \times \sqrt{160/120} = (4/3) \times \sqrt{4/3} = \frac{4\sqrt{4}}{3\sqrt{3}}$.

(A) तरंग समीकरण $Y = A \sin(kx + \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $Y = 0.021 \sin(x + 30t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \, m/s$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा भी दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \, kg/m$।
मान रखने पर: $30 = \sqrt{\frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $900 = \frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}$।
$T = 900 \times 1.3 \times 10^{-4} = 1170 \times 10^{-4} = 0.117 \, N$।

(B) खींची हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{l} = \frac{2.5\ kg}{20.0\ m} = 0.125\ kg/m$.
अब,तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{200\ N}{0.125\ kg/m}} = \sqrt{1600} = 40\ m/s$ की गणना करें।
विक्षोभ को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{l}{v} = \frac{20.0\ m}{40\ m/s} = 0.5\ s$ है।

(B) मान लीजिए डोरी की लंबाई $L$ है और उसका कुल द्रव्यमान $m$ है। रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = m/L$ है।
डोरी के निचले सिरे से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विचार करें।
बिंदु $P$ पर तनाव $T$ उसके नीचे की डोरी के भार के बराबर होता है,इसलिए $T = (\mu x)g = \frac{m}{L}gx$।
डोरी में अनुप्रस्थ स्पंद की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ द्वारा दी जाती है।
$T$ का मान रखने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{(\mu x)g}{\mu}} = \sqrt{gx}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे स्पंद नीचे की ओर बढ़ता है,$x$ घटता है,इसलिए गति $v$ घटती है।
समय के सापेक्ष गति में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ का उपयोग करते हैं।
चूंकि स्पंद नीचे की ओर बढ़ता है,$\frac{dx}{dt} = -v = -\sqrt{gx}$।
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{gx}) = \frac{g}{2\sqrt{gx}}$ की गणना करने पर।
इस प्रकार,$a = \left(\frac{g}{2\sqrt{gx}}\right) \cdot (-\sqrt{gx}) = -g/2$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे स्पंद नीचे जाता है,उसकी गति $g/2$ की स्थिर दर से घटती है।

(A) मान लीजिए $x$ तार के निचले सिरे से दूरी है। निचले सिरे से $x$ दूरी पर तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे के तार के भार के बराबर होता है।
$x$ लंबाई के तार का द्रव्यमान $m = \int_0^x \mu(x') dx' = \int_0^x \mu_0 x' dx' = \frac{\mu_0 x^2}{2}$ है।
अतः,$x$ दूरी पर तनाव $T = mg = \frac{\mu_0 x^2 g}{2}$ है।
$x$ दूरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu_0 x^2 g / 2}{\mu_0 x}} = \sqrt{\frac{gx}{2}}$ है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{g}{2}} \sqrt{x}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int_0^{l_0} x^{-1/2} dx = \int_0^t \sqrt{\frac{g}{2}} dt$।
$[2x^{1/2}]_0^{l_0} = \sqrt{\frac{g}{2}} t$।
$2\sqrt{l_0} = \sqrt{\frac{g}{2}} t$।
$t = 2\sqrt{l_0} \sqrt{\frac{2}{g}} = 2\sqrt{\frac{2l_0}{g}} = \sqrt{\frac{8l_0}{g}}$।

(C) एक खींचे हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
$\mu = \frac{M}{L}$,जहाँ $M$ तार का कुल द्रव्यमान है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{AL}$,इसलिए $M = \rho AL$ होता है।
$\mu$ के व्यंजक में $M$ का मान रखने पर:
$\mu = \frac{\rho AL}{L} = \rho A$.
अतः,तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$ होगी।

(C) दिया गया है:
मूल विधा की आवृत्ति,$n = 50 \, Hz$
तार का द्रव्यमान,$M = 30 \, g = 30 \times 10^{-3} \, kg$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व,$\mu = 4 \times 10^{-2} \, kg/m$
सबसे पहले,हम तार की लंबाई $(L)$ ज्ञात करते हैं:
चूंकि $\mu = M/L$,इसलिए $L = M/\mu$
$L = (30 \times 10^{-3} \, kg) / (4 \times 10^{-2} \, kg/m) = 0.75 \, m$
दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी में कंपन की मूल विधा के लिए:
$L = \lambda / 2$
$\lambda = 2L = 2 \times 0.75 \, m = 1.5 \, m$
अनुप्रस्थ तरंग की गति $(v)$ इस प्रकार है:
$v = n \lambda$
$v = 50 \, Hz \times 1.5 \, m = 75 \, m/s$

(A) रस्सी में तरंग की गति $v = \frac{L}{t} = \frac{43\, m}{1.4\, s} \approx 30.71\, m/s$ द्वारा दी जाती है।
रस्सी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5.0\, kg}{43\, m} \approx 0.116\, kg/m$ है।
तनी हुई डोरी में तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है।
तनाव के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $T = v^2 \mu = \left(\frac{43}{1.4}\right)^2 \times \frac{5.0}{43}$.
$T = \frac{43^2}{1.96} \times \frac{5}{43} = \frac{43 \times 5}{1.96} = \frac{215}{1.96} \approx 109.69\, N$.
निकटतम पूर्णांक में,तनाव लगभग $110\, N$ है।

(B) डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \frac{L}{t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L = 20 \, m$ और $t = 0.5 \, s$ है।
$v = \frac{20}{0.5} = 40 \, m/s$.
डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ सूत्र द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{2.5 \, kg}{20 \, m} = 0.125 \, kg/m$.
वेग के सूत्र का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T = v^2 \times \mu$.
मान रखने पर: $T = (40)^2 \times 0.125 = 1600 \times 0.125 = 200 \, N$.

(C) दिया गया तरंग समीकरण $y = 0.03 \sin(450t - 9x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 450 \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 9 \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{450}{9} = 50 \, m/s$ है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 5 \, g/m = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$ है।
तनी हुई डोरी पर तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,इसलिए $T = \mu v^2$ है।
मान रखने पर,$T = (5 \times 10^{-3} \, kg/m) \times (50 \, m/s)^2$ प्राप्त होता है।
$T = 5 \times 10^{-3} \times 2500 = 5 \times 2.5 = 12.5 \, N$.

(A) मान लीजिए डोरी का द्रव्यमान $m$ और इसकी लंबाई $l$ है। रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{l}$ है।
डोरी में किसी भी बिंदु पर तनाव उस बिंदु के नीचे डोरी के हिस्से के वजन के बराबर होता है।
बिंदु $A$ के लिए,इसके नीचे डोरी की लंबाई $\frac{l}{4}$ है। अतः,$A$ के नीचे द्रव्यमान $m_A = \mu \times \frac{l}{4} = \frac{m}{4}$ है।
$A$ पर तनाव $T_A = m_A g = \frac{mg}{4}$ है।
$A$ पर तरंग की गति $v_A = \sqrt{\frac{T_A}{\mu}} = \sqrt{\frac{mg/4}{m/l}} = \sqrt{\frac{gl}{4}}$ है।
बिंदु $B$ के लिए,इसके नीचे डोरी की लंबाई $\frac{3l}{4}$ है। अतः,$B$ के नीचे द्रव्यमान $m_B = \mu \times \frac{3l}{4} = \frac{3m}{4}$ है।
$B$ पर तनाव $T_B = m_B g = \frac{3mg}{4}$ है।
$B$ पर तरंग की गति $v_B = \sqrt{\frac{T_B}{\mu}} = \sqrt{\frac{3mg/4}{m/l}} = \sqrt{\frac{3gl}{4}}$ है।
$v_B$ और $v_A$ की तुलना करने पर:
$v_B = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{gl}{4}} = \sqrt{3} v_A$.

(B) दिया गया है: डोरी की लंबाई $L = 1\,m$,आवृत्ति $f = 300\,Hz$,खंडों की संख्या $n = 3$ है।
जब डोरी $n$ खंडों में कंपन करती है,तो प्रत्येक खंड की लंबाई $\lambda/2 = L/n$ होती है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2L/n$ है।
मान रखने पर: $\lambda = 2 \times 1 / 3 = 2/3\,m$ है।
अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$v = 300 \times (2/3) = 200\,m/s$।

(C) $1$. हवा में ध्वनि के वेग के लिए, $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है। चूंकि $\rho = \frac{PM}{RT}$, इसलिए $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होता है। नियत तापमान $(T)$ पर, $v$ दबाव $(P)$ से स्वतंत्र होता है। अतः, विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ गलत है क्योंकि यह $P$ के साथ $v$ को बढ़ते हुए दिखाता है।
$2$. हवा में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma R(T_c + 273)}{M}}$ है। इसलिए, $v^2 = \frac{\gamma R}{M}(T_c + 273)$ होता है। यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है जहाँ $y = v^2$ और $x = T_c$ है। विकल्प $B$ में ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा दिखाता है, जो गलत है क्योंकि $T_c = 0^\circ C$ पर, $v^2 \neq 0$ होता है।
$3$. डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। इसका अर्थ है $v^2 = \frac{1}{\mu}T$, या $v = \frac{1}{\sqrt{\mu}}\sqrt{T}$। यह $v$ और $T$ के बीच एक परवलयिक संबंध को दर्शाता है। विकल्प $C$ में ग्राफ इस परवलयिक निर्भरता को सही ढंग से दिखाता है।
इसलिए, दिए गए विकल्पों में से कोई भी ग्राफ पूरी तरह सही नहीं है, लेकिन इस प्रकार के मानक भौतिकी प्रश्नों के आधार पर, विकल्प $C$ ही एकमात्र भौतिक रूप से सटीक संबंध दर्शाता है।

(B) तनी हुई रस्सी में अनुप्रस्थ तरंग पल्स की गति का सूत्र $v = \sqrt{T / \mu}$ है,जहाँ $T$ रस्सी में तनाव है और $\mu$ रस्सी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
एक दृढ़ आधार से लटकी हुई भारी रस्सी के लिए,निचले सिरे से $x$ दूरी पर किसी भी बिंदु पर तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे रस्सी के वजन के कारण होता है। जैसे-जैसे पल्स निचले सिरे से ऊपर की ओर बढ़ती है,पल्स के नीचे रस्सी की लंबाई बढ़ती जाती है,जिसका अर्थ है कि पल्स के नीचे रस्सी का वजन बढ़ता जाता है।
परिणामस्वरूप,जैसे-जैसे पल्स ऊपर की ओर बढ़ती है,पल्स की स्थिति पर तनाव $T$ बढ़ता जाता है। चूँकि $v = \sqrt{T / \mu}$ और $\mu$ स्थिर है,इसलिए जैसे-जैसे पल्स आधार की ओर बढ़ती है,पल्स की गति $v$ बढ़ती जाती है।

(C) दिया गया है: तार की लंबाई,$L = 10 \, m$.
तार का द्रव्यमान,$M = 5 \, g = 5 \times 10^{-3} \, kg$.
तार में तनाव,$T = 80 \, N$.
सबसे पहले,तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान),जिसे $\mu$ द्वारा दर्शाया जाता है,की गणना करें:
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{5 \times 10^{-3} \, kg}{10 \, m} = 5 \times 10^{-4} \, kg \cdot m^{-1}$.
तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v$ का सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{80 \, N}{5 \times 10^{-4} \, kg \cdot m^{-1}}} = \sqrt{16 \times 10^4} \, m \cdot s^{-1}$.
$v = 400 \, m \cdot s^{-1}$.

(B) रस्सी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu} = f\lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है,$\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है और $f$ आवृत्ति है।
चूंकि स्पंद के चलते समय आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $\lambda \propto \sqrt{T}$ होता है।
रस्सी के निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ ब्लॉक के $2\,kg$ द्रव्यमान के कारण है,इसलिए $T_1 = 2g$ है।
रस्सी के ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ रस्सी $(6\,kg)$ और ब्लॉक $(2\,kg)$ के कुल द्रव्यमान के कारण है,इसलिए $T_2 = (6 + 2)g = 8g$ है।
समानुपातिकता $\lambda \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर,$\frac{\lambda_2}{0.06} = \sqrt{\frac{8g}{2g}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$\lambda_2 = 0.06 \times 2 = 0.12\,m$।

(A) मान लीजिए कि मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर तनाव $T$ है।
$x$ लंबाई के डोरी के खंड का द्रव्यमान $m_x = \frac{M}{L} x$ है।
इस बिंदु पर तनाव $T$ इसके नीचे लटकी डोरी के खंड के भार के बराबर होता है:
$T = m_x \cdot g = \frac{M}{L} x g$.
डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है।
$T$ और $\mu$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{(M/L) x g}{M/L}} = \sqrt{gx}$.

(D) डोरी में तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। चूँकि डोरी के लिए $T$ और $\mu$ दोनों समान हैं,इसलिए इसमें यात्रा करने वाली सभी तरंगों के लिए गति $v$ स्थिर रहती है।
हालाँकि,वेग एक सदिश राशि है जिसमें गति और दिशा दोनों शामिल हैं। दो तरंगें एक ही डोरी में समान गति $v$ के साथ लेकिन विपरीत दिशाओं में यात्रा कर सकती हैं (उदाहरण के लिए,एक $+x$ दिशा में और दूसरी $-x$ दिशा में)।
इस प्रकार,इन दो तरंगों का वेग $+v$ और $-v$ होगा,जो अलग-अलग हैं। इसलिए,Assertion कि उनके वेग अलग नहीं हो सकते,गलत है।
Reason सही है कि गति केवल डोरी के प्रत्यास्थ और जड़त्वीय गुणों पर निर्भर करती है,जो समान हैं,लेकिन Assertion स्वयं गलत है।

(B) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T_1 = 2.06 \times 10^{4} \; N$ और प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ है।
मान लीजिए अंतिम तनाव $T_2 = T$ और अंतिम वेग $v_2 = v/2$ है।
समानुपातिकता $v \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v/2}{v} = \sqrt{\frac{T}{2.06 \times 10^{4}}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T}{2.06 \times 10^{4}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{T}{2.06 \times 10^{4}}$.
$T = \frac{2.06 \times 10^{4}}{4} = 0.515 \times 10^{4} = 5.15 \times 10^{3} \; N$.

(C) तार की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान (रैखिक द्रव्यमान घनत्व) $\mu = \frac{m}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,द्रव्यमान $m = 5.0 \times 10^{-3} \; kg$ और लंबाई $L = 0.72 \; m$.
$\mu = \frac{5.0 \times 10^{-3} \; kg}{0.72 \; m} \approx 6.944 \times 10^{-3} \; kg/m$.
तार में तनाव $T = 60 \; N$ है।
तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{60}{6.944 \times 10^{-3}}} = \sqrt{8640.55} \approx 92.95 \; m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $93 \; m/s$ है।

(D) डोरी का द्रव्यमान,$M = 2.50 \; kg$.
डोरी में तनाव,$T = 200 \; N$.
डोरी की लंबाई,$l = 20.0 \; m$.
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान,$\mu = \frac{M}{l} = \frac{2.50}{20} = 0.125 \; kg \; m^{-1}$.
डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $(v)$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
$v = \sqrt{\frac{200}{0.125}} = \sqrt{1600} = 40 \; m/s$.
अतः,विक्षोभ को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय:
$t = \frac{l}{v} = \frac{20}{40} = 0.50 \; s$.

(B) स्टील के तार की लंबाई,$l = 12.0 \;m$.
स्टील के तार का द्रव्यमान,$m = 2.10 \;kg$.
अनुप्रस्थ तरंग का वेग,$v = 343 \;m s^{-1}$.
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान,$\mu = \frac{m}{l} = \frac{2.10}{12.0} = 0.175 \;kg \;m^{-1}$.
तनाव $T$ के लिए,अनुप्रस्थ तरंग का वेग इस संबंध द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
$T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (343)^2 \times 0.175 = 117649 \times 0.175 = 20588.575 \;N$.
तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$T \approx 2.06 \times 10^{4} \;N$.

(N/A) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंगों की गति दो कारकों द्वारा निर्धारित होती है: $(i)$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व या प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ और $(ii)$ तनाव $T$ ।
डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$,डोरी के द्रव्यमान $m$ और उसकी लंबाई $l$ का अनुपात है। इसलिए,इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1}]$ है। तनाव $T$ में बल का विमीय सूत्र होता है,जो $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
हमें $\mu$ और $T$ को इस तरह से संयोजित करना होगा कि $v$ [विमीय सूत्र $(L T^{-1})$] प्राप्त हो सके।
यह देखा जा सकता है कि अनुपात $\frac{T}{\mu}$ का विमीय सूत्र $[L^2 T^{-2}]$ है।
$\left[\frac{T}{\mu}\right] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[M^1 L^{-1}]} = [L^2 T^{-2}]$
इसलिए,यदि $v$ केवल $T$ और $\mu$ पर निर्भर करता है,तो उनके बीच का संबंध इस प्रकार होना चाहिए:
$v = C \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
यहाँ $C$ एक विमाहीन स्थिरांक है और यह पाया गया है कि $C = 1$ है।
अतः,खींची हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंगों की गति इस प्रकार दी जाती है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

(N/A) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ:
$T$ डोरी में तनाव है (न्यूटन,$N$ में मापा जाता है),
$\mu$ डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान,$kg/m$ में मापा जाता है)।

(A) एक खींचे हुए तार में तरंग की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और प्रारंभिक गति $v_1$ है। मान लीजिए अंतिम तनाव $T_2 = 4T_1$ है और अंतिम गति $v_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ है।
मान रखने पर,हमें मिलता है $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{4T_1}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$v_2 = 2v_1$। तरंग की गति दोगुनी हो जाएगी।

(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $L$ तार की लंबाई है।
यदि लंबाई $L$ को आधा $(L' = L/2)$ कर दिया जाए और द्रव्यमान $m$ स्थिर रहे,तो नया रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu' = \frac{m}{L/2} = 2\mu$ हो जाता है।
यदि तनाव $T$ स्थिर रहता है,तो नई गति $v' = \sqrt{\frac{T}{\mu'}} = \sqrt{\frac{T}{2\mu}} = \frac{1}{\sqrt{2}} v$ होगी।

(A) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho$ होता है।
इस मान को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $L$,$T$,और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{r}$ है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है और नई त्रिज्या $r_2 = 3r$ है।
नई आवृत्ति $f_2$ और प्रारंभिक आवृत्ति $f_1$ का अनुपात $\frac{f_2}{f_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,आवृत्ति $1/3$ के गुणक से बदल जाएगी।

(A) तनावग्रस्त तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तार में तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान) है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 12 \ m$
द्रव्यमान $M = 2.10 \ kg$
तनाव $T = 2.06 \times 10^4 \ N$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L} = \frac{2.10}{12} \ kg/m = 0.175 \ kg/m$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{2.06 \times 10^4}{0.175}}$
$v = \sqrt{117714.28} \approx 343.09 \ m/s$
निकटतम पूर्णांक में,गति $343 \ m/s$ है।

(B) रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूँकि तरंग की आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,$v = f \lambda$,जिसका अर्थ है $v \propto \lambda$।
निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ के ब्लॉक के कारण है:
$T_1 = mg = 2g$।
रस्सी के ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ ब्लॉक और रस्सी के कुल द्रव्यमान $M = 6 \, kg$ के कारण है:
$T_2 = (M + m)g = (6 + 2)g = 8g$।
संबंध $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 6 \times \sqrt{4} = 6 \times 2 = 12 \, cm$।

(C) दिया गया तरंग समीकरण $y=0.002 \sin (300 t-15 x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 300 \ rad/s$
$k = 15 \ rad/m$
तरंग की चाल $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
$v = \frac{300}{15} = 20 \ m/s$.
डोरी में तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$ प्राप्त होता है।
$T = \mu v^2$.
मान रखने पर,$T = 0.1 \times (20)^2$.
$T = 0.1 \times 400 = 40 \ N$.