Stationary Waves (Standing wave) Questions in Hindi

(C) जब कोई तरंग एक दृढ़ सीमा (या स्थिर सिरे) से परावर्तित होती है,तो परावर्तित तरंग में $\pi$ रेडियन का कला परिवर्तन होता है।
यह इसलिए होता है क्योंकि दृढ़ सीमा डोरी पर समान और विपरीत बल लगाती है,जिसके परिणामस्वरूप तरंग पल्स उल्टी हो जाती है।
अतः,कला में परिवर्तन $\pi$ है।

(D) जब एक तनी हुई डोरी पर यात्रा करने वाली तरंग पल्स एक स्थिर सिरे तक पहुँचती है,तो स्थिर सिरा एक कठोर सीमा या सघन माध्यम के रूप में कार्य करता है।
परावर्तन के नियमों के अनुसार,जब कोई तरंग एक स्थिर सीमा से परावर्तित होती है,तो उसमें $\pi$ रेडियन (या $180^o$) का कला परिवर्तन होता है।
चूंकि तरंग अब विपरीत दिशा में यात्रा कर रही है,इसलिए इसका वेग सदिश भी उल्टा हो जाता है।
अतः,परावर्तित पल्स में $180^o$ का कला परिवर्तन होता है और उसका वेग उल्टा हो जाता है।

(B) ध्वनि स्रोत और दीवार से उसका परावर्तन व्यतिकरण के कारण एक अप्रगामी तरंग पैटर्न बनाते हैं।
दी गई आवृत्ति $f = 170 \, Hz$ और ध्वनि की गति $v = 340 \, m/s$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{170} = 2 \, m$ है।
अप्रगामी तरंग में न्यूनतम तीव्रता (निस्पंद) वाली स्थितियों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,न्यूनतम तीव्रता वाली दो निकटतम स्थितियों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, m$ है।

(C) एक अप्रगामी तरंग में,न्यूनतम विस्थापन वाले बिंदुओं को निस्पंद $(N)$ कहा जाता है,और अधिकतम विस्थापन वाले बिंदुओं को प्रस्पंद $(A)$ कहा जाता है।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
एक निस्पंद और उसके निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी की आधी होती है,जो $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ है।

(C) एक अप्रगामी तरंग में,निस्पंद (nodes) वे बिंदु होते हैं जहाँ कणों का विस्थापन हमेशा शून्य होता है। चूंकि विस्थापन प्रवणता (जो विकृति से संबंधित है) इन बिंदुओं पर सबसे अधिक होती है,इसलिए दबाव में परिवर्तन और विकृति निस्पंदों पर अधिकतम होती है। इसके विपरीत,प्रस्पंदों (antinodes) पर विस्थापन अधिकतम होता है,लेकिन विकृति न्यूनतम होती है।

(C) एक अप्रगामी तरंग में,एक ही लूप में स्थित सभी कण एक-दूसरे के साथ समान कला में कंपन करते हैं।
आसन्न लूप में स्थित कण एक निस्पंद द्वारा अलग होते हैं।
जब दो कण एक निस्पंद के विपरीत पक्षों पर स्थित होते हैं,तो वे विपरीत कला में कंपन करते हैं।
इसलिए,उनके बीच का कलांतर $\pi \text{ रेडियन}$ है,जो $180^o$ के बराबर है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
प्रगामी तरंग में,जैसे-जैसे तरंग आगे बढ़ती है,माध्यम में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का निरंतर संचरण होता है।
इसके विपरीत,एक अप्रगामी (स्थिर) तरंग विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनती है,जिसके परिणामस्वरूप माध्यम में किसी भी बिंदु पर ऊर्जा का कोई शुद्ध संचरण नहीं होता है।

(B) स्थिर तरंगें (जिन्हें स्टैंडिंग वेव्स भी कहा जाता है) तब बनती हैं जब समान आवृत्ति (या तरंगदैर्ध्य) और समान आयाम की दो तरंगें एक ही पथ पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करते हुए अध्यारोपित होती हैं।
सूत्र $v = f \lambda$ के अनुसार, यदि आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य समान हैं, तो उनकी गति भी समान होती है।
इसलिए, शर्त यह है कि समान तरंगदैर्ध्य, समान आयाम और समान गति वाली दो तरंगें एक ही पथ पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करें।
अतः, विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = 2a \sin \frac{2\pi x}{\lambda} \cos \omega t$ है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \sin \frac{\pi x}{3} \cos 40\pi t$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें संचरण नियतांक $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 6 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,दूरी = $\frac{6}{2} = 3 \ cm$ है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $\overrightarrow{\phi}(x, t) = \overrightarrow{j} \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} vt \right) \cos \left( \frac{2\pi}{\lambda} x \right)$ है।
$1$. अप्रगामी बनाम प्रगामी: यदि तरंग में निस्पंद बिंदु (जहाँ आयाम हमेशा शून्य होता है) होते हैं,तो वह तरंग अप्रगामी तरंग होती है। यदि हम $x = \frac{(2n+1)\lambda}{4}$ रखें,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$,तो $\cos \left( \frac{2\pi}{\lambda} x \right)$ पद शून्य हो जाता है। चूंकि ये बिंदु समय $t$ पर निर्भर नहीं करते हैं,इसलिए आयाम हमेशा शून्य रहता है। अतः,यह एक अप्रगामी तरंग है।
$2$. अनुप्रस्थ बनाम अनुदैर्ध्य: विस्थापन सदिश $\overrightarrow{\phi}$,$\overrightarrow{j}$ की दिशा ($y$-दिशा) में है। तरंग फलन $x$ पर निर्भर करता है,जो दर्शाता है कि तरंग $x$-अक्ष की दिशा में संचरित हो रही है। चूंकि कंपन की दिशा ($y$-अक्ष) संचरण की दिशा ($x$-अक्ष) के लंबवत है,इसलिए तरंग अनुप्रस्थ है।
अतः,यह समीकरण एक अनुप्रस्थ अप्रगामी तरंग को दर्शाता है। सही विकल्प $(D)$ है।

(A) एक अप्रगामी तरंग में,किसी भी कण का विस्थापन $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कणों के विराम अवस्था में होने के लिए,वेग $v = \frac{dy}{dt} = -A \omega \sin(kx) \sin(\omega t)$ शून्य होना चाहिए।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब $\sin(\omega t) = 0$ हो,जो $\omega t = 0, \pi, 2\pi, \dots$ पर होता है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\sin(\omega t) = 0$ का अर्थ है $t = 0, \frac{T}{2}, T, \dots$
इस प्रकार,माध्यम के सभी कण प्रत्येक दोलन काल $T$ में दो बार एक साथ विराम अवस्था में आते हैं।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) एक स्थिर तरंग समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में चलने से बनती है।
दी गई आपतित तरंग $y_1 = a \cos (kx - \omega t)$ है।
बिंदु $x = 0$ के एक निस्पंद होने के लिए,$x = 0$ पर सभी समय $t$ के लिए परिणामी विस्थापन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए दूसरी तरंग $y_2 = a \cos (kx + \omega t + \phi)$ है।
परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = a [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ है।
सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \cos (kx + \phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$y = 2a \cos (\phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ होता है।
इसे एक निस्पंद (शून्य विस्थापन) होने के लिए,$\cos (\phi/2) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\phi/2 = \pi/2$,या $\phi = \pi$।
दूसरी तरंग के समीकरण में $\phi = \pi$ रखने पर:
$y_2 = a \cos (kx + \omega t + \pi) = -a \cos (kx + \omega t)$।

(D) एक स्थिर तरंग में,कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच दोलन करती है।
जब डोरी की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,तो स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
स्थितिज ऊर्जा डोरी के विरूपण (विस्थापन) से जुड़ी होती है।
चूंकि स्थितिज ऊर्जा शून्य है,इसलिए उस क्षण डोरी पर प्रत्येक कण का विस्थापन शून्य होना चाहिए।
अतः,सभी कण एक साथ अपनी माध्य स्थितियों से गुजर रहे होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप,डोरी संतुलन अक्ष पर एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।

(B) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.15 \sin(5x) \cos(300t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 5 \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर,$5 = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi}{5} = \frac{2 \times 3.14159}{5} = \frac{6.283}{5} = 1.2566 \text{ m}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$\lambda \approx 1.26 \text{ m}$ प्राप्त होता है।

(D) एक अप्रगामी तरंग में,प्रस्पंद (antinodes) विस्थापन के अधिकतम आयाम वाले बिंदु होते हैं।
इन बिंदुओं पर,दबाव में परिवर्तन न्यूनतम होता है क्योंकि हवा के कण अधिकतम वेग के साथ गति करते हैं और घनत्व में परिवर्तन न्यूनतम होता है।
इसके विपरीत,निस्पंद (nodes) शून्य विस्थापन वाले बिंदु होते हैं,जहाँ दबाव परिवर्तन अधिकतम होता है।
इसलिए,प्रस्पंद अधिकतम विस्थापन और न्यूनतम दबाव परिवर्तन के अनुरूप होते हैं।

(D) एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच के सभी कण समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं।
चूंकि वे समान कला में होते हैं,इसलिए वे सभी एक ही समय पर अपनी माध्य स्थिति तक पहुँचते हैं।
हालाँकि,प्रत्येक कण के लिए कंपन का आयाम निस्पंदों से उसकी स्थिति $x$ पर निर्भर करता है,जो $A(x) = A_0 \sin(kx)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ होता है,माध्य स्थिति $(y = 0)$ पर वेग $v = \omega A$ होता है।
चूंकि निस्पंदों के बीच विभिन्न कणों के लिए आयाम $A$ अलग-अलग होता है,इसलिए माध्य स्थिति पर अधिकतम वेग प्रत्येक कण के लिए अलग-अलग होता है।
अतः,सभी कण एक ही समय पर लेकिन अलग-अलग वेग के साथ माध्य स्थिति से गुजरते हैं।

(D) स्थिर तरंगें समान आवृत्ति और गति वाली,लेकिन विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से बनती हैं।
$(a)$ दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी पर तरंगों का परावर्तन होता है,जिससे स्थिर तरंगें बनती हैं।
$(b)$ एक सिरे पर बंधी और दूसरे सिरे पर मुक्त डोरी पर भी परावर्तन के कारण स्थिर तरंगें उत्पन्न होती हैं।
$(c)$ जब एक आपतित तरंग दीवार से टकराती है,तो वह परावर्तित हो जाती है,और आपतित तथा परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण से स्थिर तरंगें बनती हैं।
अतः,दी गई सभी स्थितियों में स्थिर तरंगें उत्पन्न की जा सकती हैं। सही विकल्प $D$ है।

(A) दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
$3$ निस्पंदों और $2$ प्रस्पंदों वाली एक अप्रगामी तरंग में $2$ लूप होते हैं।
दो चरम निस्पंदों के बीच की कुल लंबाई $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि दो परमाणुओं (जो चरम निस्पंदों के रूप में कार्य करते हैं) के बीच की दूरी $1.21 \; \mathring{A}$ है,इसलिए $L = 1.21 \; \mathring{A}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1.21 \; \mathring{A}$ है।

(D) अप्रगामी तरंग में,एक निस्पंद और उसके निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
दिया गया है $\frac{\lambda}{4} = 20 \ cm$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda = 80 \ cm$ है।
$\Delta x$ दूरी से अलग दो कणों के बीच कलान्तर $\Delta \phi$ का सूत्र $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
$\Delta x = 60 \ cm$ और $\lambda = 80 \ cm$ का मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{80} \times 60 = \frac{120\pi}{80} = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन।

(A) तरंग का वेग $v = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
यहाँ $v = 1200\, m/s$ और $n = 300\, Hz$ दिया गया है।
तरंगदैर्ध्य की गणना करने पर: $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{1200}{300} = 4\, m$।
अप्रगामी तरंग में एक निस्पंद और उसके निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी हमेशा $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
अतः,अभीष्ट दूरी $= \frac{4\, m}{4} = 1\, m$।

(A) अप्रगामी तरंगें उत्पन्न करने के लिए,दो तरंगों की आवृत्ति और आयाम समान होने चाहिए और उन्हें एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करनी चाहिए।
तरंग $A$ $(z_1 = a\cos(kx - \omega t))$ धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करती है।
तरंग $B$ $(z_2 = a\cos(kx + \omega t))$ ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करती है।
तरंग $A$ और $B$ दोनों का आयाम $a$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ समान है,और वे एक ही अक्ष ($x$-अक्ष) पर संचरित होती हैं।
तरंग $C$ $(z_3 = a\cos(ky - \omega t))$ $y$-अक्ष पर संचरित होती है,इसलिए यह $A$ या $B$ के साथ अप्रगामी तरंग नहीं बना सकती है।
अतः,$A$ और $B$ के अध्यारोपण से एक अप्रगामी तरंग प्राप्त होती है: $z = z_1 + z_2 = a[\cos(kx - \omega t) + \cos(kx + \omega t)] = 2a\cos(kx)\cos(\omega t)$.

(A) अप्रगामी तरंग के लिए दिया गया समीकरण $Y = A \sin(100t) \cos(0.01x)$ है।
इस समीकरण की तुलना अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t) \cos(kx)$ से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 0.01 \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{0.01} = 10000 \ m/s$.

(B) स्थिर सिरे पर हमेशा एक निस्पंद (node) बनता है।
यह दिया गया है कि स्थिर सिरे से $10 \, cm$ की दूरी पर एक निस्पंद बनता है,यह दूरी दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी को दर्शाती है।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2} = 10 \, cm$ होती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
तरंग की चाल $v$ का सूत्र $v = f \lambda$ है,जहाँ $f = 100 \, Hz$ है।
$v = 100 \times 0.2 = 20 \, m/s$.

(C) एक अप्रगामी तरंग समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से बनती है जो विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं।
दी गई पहली तरंग $y_1 = a \cos (kx + \omega t)$ है।
अप्रगामी तरंग के लिए $x = 0$ पर निस्पंद होने के लिए,परिणामी विस्थापन $y = y_1 + y_2$ को प्रत्येक $t$ के लिए $x = 0$ पर शून्य होना चाहिए।
अतः,$y_1(0, t) + y_2(0, t) = 0$.
$a \cos (\omega t) + y_2(0, t) = 0$,जिसका अर्थ है $y_2(0, t) = -a \cos (\omega t)$.
चूंकि तरंगों को विपरीत दिशाओं में यात्रा करनी चाहिए,यदि पहली तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है (जैसा कि $kx + \omega t$ द्वारा इंगित किया गया है),तो दूसरी तरंग को धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करनी चाहिए,जिसका रूप $y_2 = a' \cos (kx - \omega t + \phi)$ होगा।
$x = 0$ पर,$y_2(0, t) = a' \cos (- \omega t + \phi) = a' \cos (\omega t - \phi)$.
इसे $-a \cos (\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a' = a$ और $\phi = \pi$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y_2 = a \cos (kx - \omega t + \pi) = -a \cos (kx - \omega t)$.

(B) अप्रगामी तरंग (stationary wave) में दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दिया गया वेग $v = 20 \ m/s$ और आवृत्ति $f = n$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20}{n}$ के रूप में की जाती है।
अतः,दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{20}{n} = \frac{10}{n}$ होगी।

(A) एक अप्रगामी तरंग (जिसे स्टैंडिंग वेव भी कहा जाता है) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण द्वारा बनती है।
अप्रगामी तरंग में,ऊर्जा नोड्स (nodes) के बीच फंसी रहती है और माध्यम में आगे नहीं बढ़ती है।
हालांकि ऊर्जा विभिन्न बिंदुओं पर गतिज और स्थितिज रूपों के बीच दोलन करती है,लेकिन माध्यम में ऊर्जा का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है।
इसके विपरीत,प्रगामी तरंगें,अनुप्रस्थ तरंगें और विद्युतचुंबकीय तरंगें सभी ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए जानी जाती हैं।
इसलिए,सही उत्तर $A$ है।

(C) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos(kx) \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \cos(\pi x / 3) \sin(40 \pi t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \pi / 3$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = 2\pi / \lambda$,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
$k$ का मान रखने पर: $\pi / 3 = 2\pi / \lambda$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 6 \, cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\lambda / 2$ होती है।
अतः,दूरी = $6 / 2 = 3 \, cm$ है।

(D) जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो ज्यावक्रीय तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) बनाती हैं।
एक अप्रगामी तरंग में,डोरी एक आवर्तकाल $T$ में दो बार समतल होती है (सभी कण अपनी माध्य स्थिति से गुजरते हैं)।
इसलिए,दो क्रमिक क्षणों के बीच का समय अंतराल जब डोरी समतल होती है,$\frac{T}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\frac{T}{2} = 0.5 \, s$,जिसका अर्थ है $T = 1.0 \, s$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$,तरंग की गति $v$ और आवर्तकाल $T$ के बीच का संबंध $\lambda = v \times T$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\lambda = 10 \, ms^{-1} \times 1.0 \, s = 10 \, m$.

(C) एक अप्रगामी तरंग (स्थिर तरंग) में,तरंग का पैटर्न माध्यम में आगे नहीं बढ़ता है।
यद्यपि माध्यम के व्यक्तिगत कण अलग-अलग आयामों के साथ $SHM$ करते हैं,लेकिन तरंग स्वयं तरंग प्रसार की दिशा में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का परिवहन नहीं करती है।
इसलिए,माध्यम के किसी भी अनुप्रस्थ काट से शुद्ध ऊर्जा प्रवाह शून्य होता है।
ऊर्जा परिवहन की यह कमी ही वह मुख्य विशेषता है जो अप्रगामी तरंगों को उनका नाम देती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\lambda/2$ होती है।
दिया गया है कि तरंगों का वेग $v = 16 \ m/s$ और आवृत्ति $n$ है।
वेग,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $v = n\lambda$ है,जिसका अर्थ है $\lambda = v/n$।
निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी के व्यंजक में $\lambda$ का मान रखने पर:
दूरी $= \lambda/2 = (v/n)/2 = v/(2n)$।
$v = 16 \ m/s$ रखने पर:
दूरी $= 16/(2n) = 8/n$।

(D) स्थिर तरंगें समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में अध्यारोपण (superposition) से बनती हैं।
चूंकि तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,इसलिए किसी भी अनुप्रस्थ काट पर शुद्ध ऊर्जा परिवहन शून्य होता है।
स्थिर तरंगों की विशेषता शून्य विस्थापन वाले निश्चित बिंदु हैं जिन्हें निस्पंद (nodes) कहा जाता है और अधिकतम विस्थापन वाले बिंदु जिन्हें प्रस्पंद (antinodes) कहा जाता है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) एक अप्रगामी तरंग में,माध्यम नोड्स (शून्य विस्थापन वाले बिंदु) द्वारा विभिन्न खंडों में विभाजित होता है।
एक खंड (अर्थात दो क्रमिक नोड्स के बीच का क्षेत्र) में स्थित सभी कण किसी भी क्षण एक ही दिशा में गति करते हैं और एक साथ अपनी चरम स्थितियों तक पहुँचते हैं।
इसलिए,दो नोड्स के बीच के क्षेत्र में सभी कण समान कला में कंपन करते हैं।

(A) एक अप्रगामी तरंग विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनती है।
यदि आपतित तरंग ${y_1} = a \sin(\omega t - kx)$ है और परावर्तित तरंग ${y_2} = a \sin(\omega t + kx)$ है,तो परिणामी अप्रगामी तरंग ${y} = {y_1} + {y_2} = 2a \sin(\omega t) \cos(kx)$ होती है।
इस व्यंजक में,कोणीय आवृत्ति $\omega$ व्यक्तिगत तरंगों के समान ही रहती है।
इसलिए,अप्रगामी तरंग की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ व्यक्तिगत तरंगों की आवृत्ति के समान होती है।

(B) एक अप्रगामी तरंग में,निस्पंद (node) वह बिंदु है जहाँ आयाम हमेशा शून्य रहता है,और प्रस्पंद (antinode) वह बिंदु है जहाँ आयाम हमेशा अधिकतम होता है।
चूंकि तरंग की ऊर्जा उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(E \propto A^2)$,इसलिए निस्पंदों पर ऊर्जा शून्य (जहाँ $A = 0$) होती है और प्रस्पंदों पर अधिकतम (जहाँ $A$ अधिकतम है) होती है।
अतः,ऊर्जा निस्पंदों पर न्यूनतम और प्रस्पंदों पर अधिकतम होती है।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos(20 \pi t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
$k$ का मान रखने पर: $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{4}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 8$।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{8}{2} = 4$।

(A) अनुदैर्ध्य अप्रगामी तरंगों में,निस्पंद वे बिंदु होते हैं जहाँ कणों का विस्थापन हमेशा शून्य होता है।
चूंकि इन बिंदुओं पर कण गति नहीं करते हैं,इसलिए यहाँ संपीड़न और विरलन सबसे तीव्र होते हैं।
परिणामस्वरूप,निस्पंदों पर दाब और घनत्व में परिवर्तन अधिकतम होता है।
इसके विपरीत,प्रस्पंदों (antinodes) पर विस्थापन अधिकतम होता है,लेकिन दाब और घनत्व में परिवर्तन न्यूनतम होता है।

(A) एक अप्रगामी तरंग (standing wave) तब बनती है जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगें एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं और उनका अध्यारोपण होता है।
दिया गया है:
$z_1 = A \sin(kx - \omega t)$ ($+x$ दिशा में यात्रा कर रही है)
$z_2 = A \sin(kx + \omega t)$ ($-x$ दिशा में यात्रा कर रही है)
$z_3 = A \sin(ky - \omega t)$ ($+y$ दिशा में यात्रा कर रही है)
$z_1$ और $z_2$ को जोड़ने पर:
$z_1 + z_2 = A \sin(kx - \omega t) + A \sin(kx + \omega t)$
सर्वसमिका $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$z_1 + z_2 = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$
यह एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है क्योंकि इसमें स्थानिक भाग $\sin(kx)$ और समय भाग $\cos(\omega t)$ अलग-अलग हैं।
तरंगें $z_3$ और $z_1$ (या $z_2$) अलग-अलग दिशाओं ($y$ और $x$) में यात्रा करती हैं,इसलिए वे एक अप्रगामी तरंग नहीं बनाती हैं।

(A) जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो प्रगामी तरंगें एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं और उनका अध्यारोपण होता है,तो अप्रगामी तरंग का निर्माण होता है।
$1$. $Z_1 = A \cos(\omega t - kx)$ एक तरंग को दर्शाता है जो $+x$ दिशा में $\omega$ आवृत्ति के साथ यात्रा कर रही है।
$2$. $Z_2 = A \cos(\omega t + kx)$ एक तरंग को दर्शाता है जो $-x$ दिशा में समान आवृत्ति $\omega$ और आयाम $A$ के साथ यात्रा कर रही है।
$3$. चूंकि $Z_1$ और $Z_2$ की आवृत्ति समान है और वे एक ही अक्ष ($x$-अक्ष) पर विपरीत दिशाओं में यात्रा कर रहे हैं,इसलिए उनके अध्यारोपण से एक अप्रगामी तरंग बनती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) समान आवृत्ति और आयाम के साथ विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) उत्पन्न होती है।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = A\sin[k(x - ct)] + A\sin[k(x + ct)]$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(C) + \sin(D) = 2\sin(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 2A\sin(kx)\cos(kct)$.
निस्पंद (nodes) वहां होते हैं जहां विस्थापन हर समय $t$ के लिए शून्य होता है,जो तब होता है जब $\sin(kx) = 0$ हो।
इसका अर्थ है $kx = n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
निस्पंदों की स्थितियाँ $x = \frac{n\pi}{k}$ हैं।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी क्रमिक स्थितियों के बीच का अंतर है:
$\Delta x = \frac{(n+1)\pi}{k} - \frac{n\pi}{k} = \frac{\pi}{k}$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2} = \frac{\pi}{k}$ होती है।

(D) अप्रगामी तरंग के लिए दिया गया समीकरण $y = 5 \sin \left( \frac{2\pi x}{3} \right) \cos (20\pi t)$ है।
इस समीकरण की तुलना अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $y = A \sin \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \cos (\omega t)$ से करने पर,हमें $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 3 \ cm$ है।
अप्रगामी तरंग में दो निकटवर्ती निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दूरी $= \frac{3}{2} = 1.5 \ cm$।

(C) डोरी की लंबाई $l = 10 \; m$ है। खंडों की संख्या $p = 5$ है। तरंग का वेग $v = 20 \; m/s$ है।
जब डोरी $p$ खंडों में कंपन करती है,तो लंबाई $l$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $l = p \cdot \frac{\lambda}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$10 = 5 \cdot \frac{\lambda}{2}$,जिसे सरल करने पर $\lambda = \frac{10 \cdot 2}{5} = 4 \; m$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर,$f = \frac{20 \; m/s}{4 \; m} = 5 \; Hz$ प्राप्त होता है।

(C) अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होती है।
दिया गया है,निस्पंदों के बीच की दूरी $5.0 \ cm = 0.05 \ m$ है।
अतः,$\frac{\lambda}{2} = 0.05 \ m$,जिसका अर्थ है $\lambda = 0.1 \ m$।
तरंग का वेग $v = 2 \ m/s$ दिया गया है।
आवृत्ति $f$ की गणना $v = f \lambda$ संबंध का उपयोग करके की जाती है।
इस प्रकार,$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{2 \ m/s}{0.1 \ m} = 20 \ Hz$।

(C) दोनों सिरों पर बंधी $l$ लंबाई की डोरी के लिए,सीमा स्थितियों के अनुसार दोनों सिरों पर निस्पंद (nodes) होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि डोरी की लंबाई $l$ को अर्ध-तरंगदैर्ध्य का पूर्णांक गुणज होना चाहिए: $l = n \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ लूपों की संख्या या हार्मोनिक संख्या है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda = \frac{2l}{n}$.

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ हार्मोनिक $n$ लूप के अनुरूप होता है।
सातवें $(7^{th})$ हार्मोनिक में,डोरी $7$ लूप में कंपन करती है।
प्रत्येक लूप में $1$ एंटीनोड होता है,इसलिए एंटीनोड्स की कुल संख्या $7$ है।
$n$ लूप वाली डोरी में नोड्स की संख्या $n + 1$ होती है।
इसलिए,नोड्स की संख्या $= 7 + 1 = 8$ है।
अतः,इसमें $8$ नोड्स और $7$ एंटीनोड्स होते हैं।