Mix Examples-Waves and Sound Questions in Hindi

(B) हवा में ध्वनि की गति लगभग $340 \ m/s$ होती है,जबकि प्रकाश की गति लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ होती है।
चूंकि तरंग की गति $v$ को $v = f \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,एक निश्चित आवृत्ति के लिए,तरंगदैर्ध्य तरंग की गति के सीधे आनुपातिक होती है।
चूंकि प्रकाश की गति ध्वनि की गति से काफी अधिक है,इसलिए दृश्य स्पेक्ट्रम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य श्रव्य ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य की तुलना में बहुत छोटी होती है।
अतः,$\lambda_S > \lambda_V$।

(D) अनुप्रस्थ तरंग के लिए कण की अधिकतम गति $v_{\max} = a\omega = a(2\pi n)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $v_{\max} = v/10,$ जहाँ $v = 10 \ m/s,$ इसलिए $v_{\max} = 10/10 = 1 \ m/s.$
$a = 10^{-3} \ m$ रखने पर,हमें $10^{-3} \times 2\pi n = 1 \implies n = \frac{10^3}{2\pi} \ Hz$ प्राप्त होता है।
तरंग गति के संबंध $v = n\lambda$ का उपयोग करते हुए,$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{10}{10^3 / 2\pi} = 2\pi \times 10^{-2} \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) दोनों तरंगों के आयाम ${a_1} = 5$ और ${a_2} = 10$ हैं।
तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto a^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$।
आयामों के मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 10}{5 - 10} \right)^2 = \left( \frac{15}{-5} \right)^2 = (-3)^2 = 9$।
अतः,अनुपात $9$ है।

(D) सभागार का अनुरणन काल $T$,सबाइन (Sabine) के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{0.161 V}{\sum \alpha S}$,जहाँ $V$ सभागार का आयतन है,$S$ सतह का क्षेत्रफल है और $\alpha$ अवशोषण गुणांक है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T$ सभागार के आयतन $V$ के सीधे समानुपाती होता है।
अतः,$T \propto V$।

(A) माना $S$ ध्वनि का स्रोत है और $P$ व्यक्ति या श्रोता है।
$S$ से आने वाली तरंगें सीधे $SP$ पथ का अनुसरण करते हुए बिंदु $P$ तक पहुँचती हैं और छत पर बिंदु $A$ से परावर्तित होकर $SAP$ पथ का अनुसरण करते हुए भी पहुँचती हैं।
$M$,$SP$ का मध्य बिंदु है (अर्थात $SM = MP = 60 \ m$) और $\angle SMA = 90^\circ$ है।
सीधी तरंग की पथ लंबाई $SP = 120 \ m$ है।
परावर्तित तरंग की पथ लंबाई $SAP = SA + AP = 2 \times SA$ है।
$\triangle SMA$ में,$SA = \sqrt{SM^2 + MA^2} = \sqrt{60^2 + 25^2} = \sqrt{3600 + 625} = \sqrt{4225} = 65 \ m$ है।
अतः,$SAP = 2 \times 65 = 130 \ m$ है।
ज्यामितीय पथ अंतर $\Delta x_{geom} = SAP - SP = 130 - 120 = 10 \ m$ है।
चूंकि तरंग एक कठोर छत से परावर्तित होती है,इसलिए $\pi$ का अतिरिक्त कलांतर उत्पन्न होता है,जो $\lambda/2$ के पथ अंतर के बराबर होता है।
इस प्रकार,प्रभावी पथ अंतर $\Delta x = 10 + \lambda/2$ है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,प्रभावी पथ अंतर $\lambda$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$ (जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$)।
$10 + \lambda/2 = n\lambda \Rightarrow 10 = (n - 1/2)\lambda = (2n - 1)\lambda/2$ है।
$\lambda = 20 / (2n - 1)$ है।
$n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 20/1, 20/3, 20/5, \dots$ या $20, 20/3, 20/5, \dots \ m$ प्राप्त होती हैं।

(A) मान लीजिए कि तार में प्रारंभिक तनाव $T$ है और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m$ है। खींचे गए तार की आवृत्ति $f_w = \frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$L_p$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L_p}$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रारंभ में $f_w = f_c$,इसलिए $\frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{v}{4L_p}$ ..... $(i)$.
जब तनाव $8 \ N$ बढ़ा दिया जाता है,तो नई आवृत्ति $f_w' = \frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T+8}{m}}$ होती है। यह बंद पाइप के पहले ओवरटोन के साथ अनुनाद में है,जो $3f_c = \frac{3v}{4L_p}$ है।
इसलिए,$\frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T+8}{m}} = \frac{3v}{4L_p}$ ..... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{T+8}} = \frac{1}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T}{T+8} = \frac{1}{9}$.
$9T = T + 8 \Rightarrow 8T = 8 \Rightarrow T = 1 \ N$.

(B) माना स्पीकरों के बीच की दूरी $d = 2.0 \ m$ है। मध्यबिंदु से माइक्रोफ़ोन की दूरी $D = 4.0 \ m$ है।
प्रारंभ में,माइक्रोफ़ोन लंब समद्विभाजक पर है,इसलिए पथ अंतर $\Delta x = 0$ है। यह केंद्रीय उच्चिष्ठ $(n=0)$ के अनुरूप है।
जब बॉक्स को $90^\circ$ घुमाया जाता है,तो स्पीकर माइक्रोफ़ोन की सीध में आ जाते हैं। स्पीकरों से माइक्रोफ़ोन तक की दूरियाँ $D - d/2$ और $D + d/2$ हो जाती हैं।
इस अंतिम स्थिति में पथ अंतर $\Delta x = (D + d/2) - (D - d/2) = d = 2.0 \ m$ है।
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$0^\circ$ से $90^\circ$ तक घुमाने की प्रक्रिया में,हम $5$ उच्चिष्ठ देखते हैं। केंद्रीय उच्चिष्ठ $0^\circ$ $(n=0)$ पर है। जैसे-जैसे हम घूमते हैं,हम $n=1, 2, 3, 4$ से गुजरते हैं और अंत में $90^\circ$ पर $5$ वें उच्चिष्ठ तक पहुँचते हैं जहाँ $n=5$ है।
अतः,अंतिम स्थिति में,$\Delta x = 5\lambda$ है।
दिया गया है $\Delta x = 2.0 \ m$,इसलिए $5\lambda = 2.0 \ m$ है।
अतः,$\lambda = \frac{2.0}{5} = 0.4 \ m$।

(A) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तार में तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
प्रणाली के संतुलन में होने के कारण,तार में तनाव $T$ लटकते हुए द्रव्यमान $M$ के भार के बराबर है,इसलिए $T = Mg$.
साथ ही,झुके हुए समतल पर द्रव्यमान $m$ के संतुलन के लिए,समतल के अनुदिश उसके भार का घटक तनाव को संतुलित करता है: $T = mg \sin 30^{\circ}$।
तनाव के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $Mg = mg \sin 30^{\circ} \implies M = m \sin 30^{\circ} = \frac{m}{2} \implies m = 2M$।
दिया गया है $v = 100 \, m \, s^{-1}$ और $\mu = 9.8 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$,हमारे पास है:
$100 = \sqrt{\frac{Mg}{9.8 \times 10^{-3}}}$
$100^2 = \frac{M(9.8)}{9.8 \times 10^{-3}}$
$10000 = M \times 1000$
$M = 10 \, kg$।
चूंकि $m = 2M$,हमें $m = 2 \times 10 = 20 \, kg$ प्राप्त होता है।

(D) प्रतिध्वनि स्पष्ट रूप से सुनाई न दे,इसके लिए ड्रम की थाप के बीच का समय अंतराल प्रतिध्वनि के वापस आने में लगने वाले समय के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $d$ प्रारंभिक दूरी है और $v$ ध्वनि की गति है।
$40$ बीट प्रति मिनट के लिए समय अंतराल $t_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \ s$ है।
अतः,$\frac{2d}{v} = 1.5 \implies 2d = 1.5v$......$(i)$
जब आदमी $90 \ m$ करीब जाता है,तो नई दूरी $(d - 90) \ m$ हो जाती है।
$60$ बीट प्रति मिनट के लिए समय अंतराल $t_2 = \frac{60}{60} = 1 \ s$ है।
अतः,$\frac{2(d - 90)}{v} = 1 \implies 2d - 180 = v$......$(ii)$
समीकरण $(i)$ से $2d = 1.5v$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$1.5v - 180 = v$
$0.5v = 180 \implies v = 360 \ m/s$.
अब,$v = 360 \ m/s$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2d = 1.5 \times 360 = 540$
$d = 270 \ m$.

(D) यदि कोई फलन $y(x, t)$ सामान्य तरंग समीकरण $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ को संतुष्ट करता है,तो वह तरंग गति का प्रतिनिधित्व करता है।
$1$. $y = \cos(kx + \omega t)$ के लिए,यह $f(kx \pm \omega t)$ के रूप का एक मानक प्रगामी तरंग समीकरण है,जो तरंग समीकरण को संतुष्ट करता है।
$2$. $y = \cos kx \sin \omega t$ के लिए,इसे $\frac{1}{2} [\sin(kx + \omega t) - \sin(kx - \omega t)]$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है,जो विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो प्रगामी तरंगों के अध्यारोपण से बनती है। अप्रगामी तरंगें भी तरंग गति का ही एक रूप हैं।
अतः,दोनों व्यंजक तरंग गति का वर्णन करते हैं।

(C) मान लीजिए $d$ सिस्मोग्राफ से भूकंप के केंद्र की दूरी है।
मान लीजिए $v_P = 8.0 \, km/s$ और $v_S = 4.5 \, km/s$ क्रमशः $P$ और $S$ तरंगों की गति हैं।
$P$ तरंगों द्वारा लिया गया समय $t_P = d / v_P$ और $S$ तरंगों द्वारा लिया गया समय $t_S = d / v_S$ है।
दिया गया समय का अंतर $\Delta t = t_S - t_P = 4.0 \, min = 240 \, s$ है।
समय के लिए समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $d / v_S - d / v_P = 240$.
$d (1 / 4.5 - 1 / 8.0) = 240$.
$d ((8.0 - 4.5) / (4.5 \times 8.0)) = 240$.
$d (3.5 / 36) = 240$.
$d = (240 \times 36) / 3.5 \approx 2468.6 \, km$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,दूरी लगभग $2500 \, km$ है।

(D) चूंकि बिंदु $A$ ऊपर की ओर गति कर रहा है,इसलिए,एक सूक्ष्म समयांतराल के बाद तरंग चित्र में बिंदुदार रेखा द्वारा दर्शाए अनुसार बाईं ओर खिसक जाएगी। इसका अर्थ है कि तरंग बाईं दिशा में गति कर रही है। अतः,कथन $(a)$ गलत है।
तरंग का विस्थापन आयाम तरंग के संचरण के कारण माध्यम के कणों का अधिकतम संभव विस्थापन है,जो चित्र में दर्शाए गए क्षण पर $B$ के विस्थापन के बराबर है। अतः,कथन $(b)$ सही है।
दो बिंदुओं के बीच कलान्तर $\frac{\pi}{2}$ होगा यदि उनके बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ के बराबर हो।
$A$ और $C$ के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ से कम है। यह $\frac{\lambda}{4}$ के बराबर हो सकती है।
अतः,इन दो बिंदुओं के बीच कलान्तर $\frac{\pi}{2}$ हो सकता है। इसलिए,कथन $(c)$ भी सही है।
चूंकि $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) अनुरणन काल वह समय है जिसके दौरान सभागार में ध्वनि की तीव्रता अपनी प्रारंभिक तीव्रता का दस लाखवां हिस्सा हो जाती है। अनुरणन काल के लिए सबाइन का सूत्र है:
$T = \frac{0.16 V}{\sum a s}$
जहाँ $V$ हॉल का आयतन $m^3$ में है और $\sum a s$ हॉल का कुल अवशोषण है।
चूंकि कमरे की विमाएँ दोगुनी कर दी गई हैं,इसलिए आयतन $V$ बढ़कर $V' = (2L)(2W)(2H) = 8V$ हो जाता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ (जो $\sum a s$ के समानुपाती है) $S' = (2L)(2W) + (2W)(2H) + (2H)(2L) = 4S$ हो जाता है।
अनुरणन काल के अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{T'}{T} = \frac{V'}{S'} \times \frac{S}{V} = \frac{8V}{4S} \times \frac{S}{V} = \frac{8}{4} = 2$
दिया गया है कि $T = 1 \; s$,इसलिए $T' = 2 \times 1 = 2 \; s$।

(A) तरंग की आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
माइक्रोवेव (विद्युतचुंबकीय तरंग) के लिए, गति $v_m \approx 3 \times 10^8 \, m/s$ होती है।
अल्ट्रासोनिक ध्वनि तरंग के लिए, गति $v_u \approx 330 \, m/s$ (हवा में ध्वनि की गति) होती है।
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य समान हैं $(\lambda_m = \lambda_u = \lambda)$, इसलिए उनकी आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_m}{f_u} = \frac{v_m / \lambda}{v_u / \lambda} = \frac{v_m}{v_u}$
$\frac{f_m}{f_u} \approx \frac{3 \times 10^8}{330} \approx 0.9 \times 10^6 \approx 10^6$
अतः, उनकी आवृत्तियों का अनुपात लगभग $10^6 : 1$ है।

(B) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I = kA^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। अतः,$A = \sqrt{I/k}$।
जब दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो अधिकतम और न्यूनतम आयाम $A_{\max} = A_1 + A_2$ और $A_{\min} = |A_1 - A_2|$ द्वारा दिए जाते हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = k(A_1 + A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = k(A_1 - A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2) = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं को जोड़ने पर:
$I_{\max} + I_{\min} = (I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}) = 2(I_1 + I_2)$।

(D) व्यतिकरण होने के लिए,तरंगों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्ति समान होनी चाहिए और उनके बीच का कलांतर (phase difference) स्थिर होना चाहिए।
दिए गए समीकरणों में,तरंगों $(i)$,$(iii)$,और $(iv)$ की कोणीय आवृत्ति $\omega$ समान है।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि चारों तरंगें 'स्वतंत्र' हैं।
स्वतंत्र स्रोत आमतौर पर समय के साथ स्थिर कलांतर बनाए नहीं रखते हैं,जो स्थिर व्यतिकरण के लिए एक अनिवार्य शर्त है।
इसलिए,इन स्रोतों की कला-संबद्धता के बारे में जानकारी के अभाव में,यह अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं है कि व्यतिकरण होगा या नहीं।

(A) जब कोई पल्स एक कठोर सीमा (स्थिर सिरा $A$) से परावर्तित होता है,तो उसमें $\pi$ का कला परिवर्तन होता है,जिसका अर्थ है कि वह उल्टा हो जाता है।
जब कोई पल्स एक मुक्त सीमा (मुक्त सिरा $B$) से परावर्तित होता है,तो उसमें कोई कला परिवर्तन नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि वह सीधा ही रहता है।
इस प्रश्न में,पल्स सबसे पहले कठोर दीवार $A$ से परावर्तित होता है। चूंकि पल्स शुरू में $A$ की ओर बढ़ रहा है,इसलिए $A$ पर परावर्तन के बाद यह उल्टा हो जाएगा और $B$ की ओर गति करना शुरू कर देगा।
फिर,यह उल्टा पल्स मुक्त सिरे $B$ से परावर्तित होता है। चूंकि मुक्त सिरे पर परावर्तन के कारण कोई कला परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए पल्स $A$ की ओर वापस लौटते समय उल्टा ही रहता है।
अतः,दो परावर्तनों के बाद,पल्स उल्टा होगा और दाईं ओर गति कर रहा होगा।

(B) तरंग द्वारा प्रेषित शक्ति $P = \frac{1}{2} \mu \omega^2 A^2 v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = \sqrt{T/\mu}$ है।
मान लीजिए हल्की डोरी का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu_1 = \mu$ और भारी डोरी का $\mu_2 = 4\mu$ है।
डोरियों का प्रतिबाधा (impedance) $Z_1 = \sqrt{\mu_1 T} = \sqrt{\mu T}$ और $Z_2 = \sqrt{\mu_2 T} = \sqrt{4\mu T} = 2\sqrt{\mu T}$ है।
प्रेषित तरंग का आयाम $A_t = \frac{2 Z_1}{Z_1 + Z_2} A_i = \frac{2 \sqrt{\mu T}}{\sqrt{\mu T} + 2\sqrt{\mu T}} A_i = \frac{2}{3} A_i$ है।
प्रेषित शक्ति $P_t = \frac{1}{2} \mu_2 \omega^2 A_t^2 v_2$ है।
$v_2 = \sqrt{T/4\mu} = \frac{1}{2} \sqrt{T/\mu} = \frac{1}{2} v_1$ और $A_t = \frac{2}{3} A_i$ रखने पर:
$P_t = \frac{1}{2} (4\mu) \omega^2 (\frac{4}{9} A_i^2) (\frac{1}{2} v_1) = \frac{8}{9} (\frac{1}{2} \mu \omega^2 A_i^2 v_1) = \frac{8}{9} P_i$।
प्रेषित शक्ति का प्रतिशत $\frac{8}{9} \times 100 \approx 88.89 \% \approx 89 \%$ है।

(D) तरंग पल्स $v = 1 \, cm/s$ की गति से चलती है। $t = 3 \, s$ में,पल्स $d = v \times t = 1 \, cm/s \times 3 \, s = 3 \, cm$ की दूरी तय करती है।
प्रारंभिक चित्र को देखने पर,पल्स का अगला हिस्सा मुक्त सिरे $O$ से $4 \, cm$ दूर है ($2 \, cm$ सपाट डोरी + $2 \, cm$ पल्स का आधार)। $3 \, s$ के बाद,पल्स का अगला हिस्सा $O$ से $1 \, cm$ की दूरी पर पहुँच जाता है।
चूँकि $O$ एक मुक्त सिरा है,तरंग बिना किसी कला परिवर्तन के परावर्तित होती है। जब कोई पल्स मुक्त सिरे से परावर्तित होती है,तो परावर्तित पल्स आपतित पल्स के साथ अध्यारोपित हो जाती है और उनके आयाम जुड़ जाते हैं।
$t = 3 \, s$ पर,पल्स का शिखर (जो अगले हिस्से से $1 \, cm$ दूर है) मुक्त सिरे $O$ पर पहुँच जाता है। इस क्षण पर,$O$ पर आयाम आपतित और परावर्तित आयामों के योग के बराबर,यानी $1 \, cm + 1 \, cm = 2 \, cm$ हो जाता है। यह आकार दर्शाता है कि पल्स आंशिक रूप से परावर्तित होकर मुक्त सिरे पर अध्यारोपित हो रही है,जिसके परिणामस्वरूप $O$ पर अधिकतम आयाम $2 \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) क्विंके की नली में,दो तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = 2 \times \Delta d$ होता है,जहाँ $\Delta d$ नली का विस्थापन है।
दिया गया है कि $\Delta d = 5 \, cm$,इसलिए पथ अंतर में कुल परिवर्तन $\Delta x = 2 \times 5 \, cm = 10 \, cm$ है।
जैसे-जैसे नली को स्थानांतरित किया जाता है,डिटेक्टर $10$ बार अधिकतम तीव्रता का पता लगाता है और अंत में न्यूनतम तीव्रता पर समाप्त होता है। इसका मतलब है कि पथ अंतर $10$ पूर्ण तरंगदैर्ध्य और क्रमिक न्यूनतम के बीच की दूरी (जो प्रत्येक छोर पर $\lambda/2$ है) को कवर करता है।
दी गई आकृति के आधार पर,कुल दूरी $\frac{\lambda}{2} + 9\lambda + \frac{\lambda}{2} = 10 \, cm$ के बराबर है।
इसे सरल करने पर,हमें $10\lambda = 10 \, cm$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 1 \, cm$।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = \cos(500t - 70x)$ है।
$1$. $(kx - \omega t)$ या $(\omega t - kx)$ के फलन द्वारा दर्शाई गई तरंग एक प्रगामी तरंग होती है। यांत्रिक तरंगों में,यदि विस्थापन प्रसार की दिशा के लंबवत होता है,तो यह एक अनुप्रस्थ तरंग होती है।
$2$. तरंग की गति $v$,$v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega = 500 \ rad/s$ और $k = 70 \ rad/m$ है।
$v = \frac{500}{70} = \frac{50}{7} \ m/s$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. तरंगदैर्ध्य $\lambda$,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{70} \ m = \frac{\pi}{35} \ m$ द्वारा दी जाती है।
$cm$ में बदलने पर: $\lambda = \frac{\pi}{35} \times 100 \ cm = \frac{100\pi}{35} \ cm = \frac{20\pi}{7} \ cm$। समान कला में स्थित दो निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होती है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि $A$,$B$,और $C$ सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) कण का वेग $v_p$, $v_p = -v \cdot (\text{ढाल})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग की गति है और ढाल $\frac{\partial y}{\partial x}$ है।
$1$. बिंदु $P$ के लिए: ढाल धनात्मक है। चूंकि तरंग दाईं ओर बढ़ रही है, $v_P = -v \cdot (\text{धनात्मक ढाल}) < 0$, इसलिए $v_P$ नीचे की ओर है।
$2$. बिंदु $Q$ और $R$ के लिए: दोनों बिंदु $y$-अक्ष के विपरीत पक्षों पर समान दूरी पर हैं। समरूपता के अनुसार, $Q$ और $R$ पर ढाल का परिमाण समान है और दोनों ऋणात्मक हैं। इसलिए $v_Q = v_R$ है।
$3$. परिमाण की तुलना: $P$ पर ढाल $Q$ और $R$ की ढाल से अधिक तीव्र है। इसलिए, $|v_P| > |v_Q| = |v_R|$।
अतः, कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) खींचे गए तार में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $\mu = \rho \cdot A_{cross} = \rho \cdot \pi r^2$,इसलिए $\mu \propto \rho \cdot d^2$ (जहाँ $d$ व्यास है)।
तार $B$ के लिए दिया गया है: $L_B = 2L_A$,$T_B = 2T_A$,$d_B = 2d_A$,और $\rho_B = 2\rho_A$.
वेग का अनुपात: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{T_B}{T_A} \cdot \frac{\mu_A}{\mu_B}} = \sqrt{\frac{2T_A}{T_A} \cdot \frac{\rho_A d_A^2}{\rho_B d_B^2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$v_B = \frac{1}{2} v_A$. इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।
मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L}$.
$\frac{n_B}{n_A} = \frac{v_B}{v_A} \cdot \frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$n_A = 4n_B$. $B$ का तीसरा ओवरटोन $4n_B$ है,जो $n_A$ के बराबर है। इसलिए,विकल्प $(A)$ भी सही है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) स्थिर तरंग के लिए,कुल ऊर्जा $E$,आवृत्ति के वर्ग $\Omega^2$ और आयाम के वर्ग $A^2$ के समानुपाती होती है। चूंकि $\Omega_n = n \Omega_1$,इसलिए ऊर्जा $E_n \propto n^2 E_1$ होती है। अतः,$n^{th}$ हार्मोनिक की कुल ऊर्जा मूल आवृत्ति की ऊर्जा की $n^2$ गुना होती है।
किसी भी हार्मोनिक ऑसिलेटर (डोरी के खंडों सहित) के लिए,एक पूर्ण चक्र के दौरान औसत गतिज ऊर्जा,औसत स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है। चूंकि कुल ऊर्जा $E = K.E._{avg} + P.E._{avg}$ और $K.E._{avg} = P.E._{avg}$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $K.E._{avg} = E / 2$।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) ग्राफ $(A)$ के लिए: हवा में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\rho = \frac{PM}{RT}$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$। स्थिर तापमान पर,$v$ दबाव से स्वतंत्र होता है। अतः,$v$ बनाम $P$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा होनी चाहिए। ग्राफ $(A)$ गलत है।
ग्राफ $(B)$ के लिए: हवा में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{\gamma R}{M} T$। चूंकि $\frac{\gamma R}{M}$ स्थिर है,इसलिए $v^2 \propto T$। $v^2$ बनाम $T$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। ग्राफ $(B)$ सही है।
ग्राफ $(C)$ के लिए: डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। अतः,$v \propto \sqrt{T}$,जिसका अर्थ है $v^2 \propto T$। $v$ बनाम $T$ का ग्राफ $T$-अक्ष की ओर खुलने वाला एक परवलय है। ग्राफ $(C)$ सही है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) छोटे रास्ते की लंबाई $L_1 = \frac{1}{4}(2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$ है।
लंबे रास्ते की लंबाई $L_2 = \frac{3}{4}(2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ है।
दोनों तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta = L_2 - L_1 = \frac{3\pi R}{2} - \frac{\pi R}{2} = \pi R$ है।
डिटेक्टर पर संपोषी व्यतिकरण (maxima) के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए:
$\Delta = n\lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
$\Delta = \pi R$ रखने पर,हमें $\pi R = n\lambda$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lambda = \frac{\pi R}{n}$।
$n=1$ के लिए,$\lambda = \pi R$।
$n=2$ के लिए,$\lambda = \frac{\pi R}{2}$।
$n=4$ के लिए,$\lambda = \frac{\pi R}{4}$।
चूंकि सभी विकल्प संभव हैं,इसलिए सही विकल्प 'उपरोक्त सभी' है।

(D) वृत्ताकार नली की परिधि $2\pi R$ है। स्रोत $S$ और डिटेक्टर $D$ एक-दूसरे के समकोण पर स्थित हैं।
छोटे रास्ते की लंबाई $L_1 = \frac{1}{4} (2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$ है।
लंबे रास्ते की लंबाई $L_2 = \frac{3}{4} (2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ है।
दोनों रास्तों से यात्रा करने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = L_2 - L_1 = \frac{3\pi R}{2} - \frac{\pi R}{2} = \pi R$ है।
डिटेक्टर पर निम्निष्ठ बनने के लिए,पथ का अंतर अर्ध-तरंगदैर्ध्य का विषम गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = (n + \frac{1}{2}) \lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
$\pi R = \frac{(2n + 1) \lambda}{2}$
$\lambda = \frac{2\pi R}{2n + 1}$
$n = 0$ के लिए,$\lambda = 2\pi R$.
$n = 1$ के लिए,$\lambda = \frac{2\pi R}{3}$.
$n = 2$ के लिए,$\lambda = \frac{2\pi R}{5}$.
अतः,दिए गए सभी विकल्प तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए संभावित मान हैं।

(B) $S$ पर स्थित स्रोत $I_0$ तीव्रता की तरंग उत्पन्न करता है। यह तीव्रता दो समान भागों में विभाजित हो जाती है,इसलिए प्रत्येक भाग की तीव्रता $I = I_0 / 2$ है।
चूंकि तीव्रता $I$,आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए प्रत्येक तरंग का आयाम $A = \sqrt{I} = \sqrt{I_0 / 2}$ है।
जब ये दोनों तरंगें $D$ बिंदु पर मिलती हैं,तो वे व्यतिकरण करती हैं। परिणामी तीव्रता $I_{res}$ का सूत्र $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,तरंगों को संपोषी व्यतिकरण करना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos \phi = 1$।
अतः,$I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$।
$I_1 = I_2 = I_0 / 2$ रखने पर:
$I_{max} = (\sqrt{I_0 / 2} + \sqrt{I_0 / 2})^2 = (2 \sqrt{I_0 / 2})^2 = 4 \times (I_0 / 2) = 2I_0$।

(A) मान लीजिए कि डोरियों $AB$ और $CD$ में तनाव क्रमशः $T_1$ और $T_2$ हैं।
दिया गया है कि $AB$ की मूल आवृत्ति $CD$ की $2^{nd}$ हार्मोनिक आवृत्ति के बराबर है:
$f_1 = f_2$
$\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = \frac{2}{2l} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$
$\sqrt{T_1} = 2 \sqrt{T_2} \implies T_1 = 4T_2$
छड़ के बिंदु $O$ के परितः घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,बलाघूर्ण (torques) संतुलित होने चाहिए:
$T_1 \cdot x = T_2 \cdot (L - x)$
$T_1 = 4T_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4T_2 \cdot x = T_2 \cdot (L - x)$
$4x = L - x$
$5x = L$
$x = \frac{L}{5}$

(A) बंद ऑर्गन पाइप के पहले ओवरटोन (तीसरे हार्मोनिक) की आवृत्ति $f = \frac{3v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 340 \ m/s$ और $L = 0.75 \ m$ दिया गया है,इसलिए $f = \frac{3 \times 340}{4 \times 0.75} = \frac{1020}{3} = 340 \ Hz$ है।
डोरी $340 \ Hz$ पर अनुनाद करती है,इसलिए डोरी की आवृत्ति $f_s = 340 \ Hz$ है।
$n$ आवृत्ति वाले ट्यूनिंग फोर्क के साथ उत्पन्न बीट्स $|f_s - n| = 4$ हैं,इसलिए $n = 340 \pm 4$,जिसका अर्थ है $n = 344 \ Hz$ या $336 \ Hz$।
जब तनाव $T$ बढ़ाया जाता है,तो डोरी की आवृत्ति $f_s$ बढ़ती है $(f_s \propto \sqrt{T})$।
यदि $n = 344 \ Hz$ है,तो जैसे-जैसे $f_s$ बढ़ता है,बीट आवृत्ति $|344 - f_s|$ घटकर $4$ से $2$ हो जाती है।
यदि $n = 336 \ Hz$ है,तो जैसे-जैसे $f_s$ बढ़ता है,बीट आवृत्ति $|f_s - 336|$ बढ़ेगी।
अतः,सही आवृत्ति $n = 344 \ Hz$ है।

(B) जब छड़ को सिरे पर क्लैंप किया जाता है,तो कंपन की मूल विधा तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई के बराबर होती है,इसलिए $L = \frac{\lambda_r}{4}$,जिससे $\lambda_r = 4L$ प्राप्त होता है। आवृत्ति $f = \frac{v_r}{\lambda_r} = \frac{v_r}{4L}$ है।
वायु स्तंभ में,क्रमिक निस्पंदों (पाउडर के ढेर) के बीच की दूरी $\frac{\lambda_a}{2} = 0.6\ m$ है,इसलिए $\lambda_a = 1.2\ m$ है। वायु स्तंभ की आवृत्ति $f = \frac{v_a}{\lambda_a} = \frac{330}{1.2} = 275\ Hz$ है।
चूंकि छड़ और वायु स्तंभ समान आवृत्ति पर कंपन करते हैं,इसलिए हमारे पास $\frac{v_r}{4L} = 275$ है।
$L = 1\ m$ प्रतिस्थापित करने पर,$v_r = 275 \times 4 = 1100\ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) विवर्तन का अर्थ है किसी बाधा के किनारों या किसी छिद्र से तरंगों का मुड़ना। महत्वपूर्ण विवर्तन के लिए शर्त यह है कि तरंग की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बाधा या छिद्र के आकार $(a)$ के तुलनीय होनी चाहिए, अर्थात $\lambda \approx a$।
दैनिक जीवन में, बाधाओं (जैसे दरवाजे या खिड़कियां) का आकार आमतौर पर $0.1 \, m$ से $1 \, m$ की सीमा में होता है।
श्रव्य ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य लगभग $1.7 \, cm$ से $17 \, m$ तक होती है, जो इन बाधाओं के आकार के तुलनीय है।
इसके विपरीत, दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य अत्यंत छोटी होती है, जो लगभग $400 \, nm$ से $700 \, nm$ ($4 \times 10^{-7} \, m$ से $7 \times 10^{-7} \, m$) के बीच होती है।
चूंकि $\lambda_{\text{sound}} \gg \lambda_{\text{light}}$, इसलिए ध्वनि तरंगें प्रकाश तरंगों की तुलना में सामान्य वस्तुओं के चारों ओर अधिक आसानी से विवर्तित हो जाती हैं।

(D) $1$. विनाशी व्यतिकरण तब होता है जब दो तरंगों की आवृत्ति और आयाम समान हों लेकिन कलांतर $\pi$ रेडियन $(180^o)$ हो। $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,कलांतर $\Delta \phi = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi$ है। अतः,$(i)$ और $(ii)$ विनाशी व्यतिकरण उत्पन्न करेंगे।
$2$. अप्रगामी (स्थिर) तरंगें तब बनती हैं जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगें विपरीत दिशाओं में गति करती हैं। $(iii)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर,उनकी आवृत्ति $n_2$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ समान हैं,लेकिन $\pm \frac{x}{\lambda_2}$ पद यह दर्शाता है कि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रही हैं। अतः,$(iii)$ और $(iv)$ अप्रगामी तरंगें उत्पन्न करेंगे।

(B) ध्वनि का वेग $v$ परम तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \sqrt{T}$।
चूंकि बांसुरी की लंबाई स्थिर रहती है,इसलिए मूल स्वर की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ स्थिर रहती है। $v = n\lambda$ होने के कारण,$n \propto v$,अतः $n \propto \sqrt{T}$।
माना $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ पर $n_1 = 300 \ Hz$ है।
माना $T_2 = 31 + 273 = 304 \ K$ पर $n_2 = 300 + x$ है,जहाँ $x$ प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या है।
अनुपात लेने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\frac{300 + x}{300} = \sqrt{\frac{304}{300}} = \sqrt{1 + \frac{4}{300}}$
द्विपद सन्निकटन $(1 + z)^n \approx 1 + nz$ का उपयोग करने पर:
$1 + \frac{x}{300} \approx 1 + \frac{1}{2} \times \frac{4}{300}$
$\frac{x}{300} = \frac{2}{300}$
$x = 2$.
अतः,प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $2$ है।

(A) डोरी के $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
$AB$ के $1^{st}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{AB} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T_{AB}}{\mu}}$ है।
$CD$ के $2^{nd}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{CD} = \frac{2}{2l} \sqrt{\frac{T_{CD}}{\mu}} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T_{CD}}{\mu}}$ है।
दिया गया है कि $f_{AB} = f_{CD}$,इसलिए:
$\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T_{AB}}{\mu}} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T_{CD}}{\mu}}$
$\Rightarrow \frac{T_{AB}}{4} = T_{CD} \Rightarrow T_{AB} = 4T_{CD} \quad ...(i)$
बिंदु $O$ के परितः छड़ के घूर्णी संतुलन के लिए:
$T_{AB} \cdot x = T_{CD} \cdot (L - x) \quad ...(ii)$
स्थानांतरीय संतुलन के लिए:
$T_{AB} + T_{CD} = mg \quad ...(iii)$
$(i)$ को $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4T_{CD} + T_{CD} = mg \Rightarrow 5T_{CD} = mg \Rightarrow T_{CD} = \frac{mg}{5}$.
अतः,$T_{AB} = 4 \left( \frac{mg}{5} \right) = \frac{4mg}{5}$.
इन मानों को $(ii)$ में रखने पर:
$\left( \frac{4mg}{5} \right) x = \left( \frac{mg}{5} \right) (L - x)$
$4x = L - x \Rightarrow 5x = L \Rightarrow x = \frac{L}{5}$.

(B) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें हैं जिन्हें संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है क्योंकि वे माध्यम के कणों के संपीड़न और विरलन के माध्यम से यात्रा करती हैं। इसलिए,वे निर्वात में यात्रा नहीं कर सकतीं।
प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जो संचरण की दिशा के लंबवत दोलन करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र वैक्टर से बनी होती हैं। चूंकि उन्हें माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है,इसलिए वे निर्वात में यात्रा कर सकती हैं।
$Assertion$ सही है।
$Reason$ सही ढंग से पहचानता है कि ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य (ध्रुवीकृत नहीं की जा सकतीं) हैं और विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ (ध्रुवीकृत की जा सकती हैं) हैं। हालाँकि,ध्रुवीकृत होने की क्षमता अनुप्रस्थ तरंगों का एक गुण है,न कि यह कारण कि वे निर्वात में यात्रा क्यों कर सकती हैं। इसलिए,$Reason$ एक सत्य कथन है लेकिन $Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) $1$. विंड इंस्ट्रूमेंट्स (जैसे बांसुरी या ऑर्गन पाइप) के लिए,आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,हवा में ध्वनि की गति $v$ बढ़ जाती है। चूंकि $f \propto v$,इसलिए आवृत्ति (पिच) बढ़ जाती है।
$2$. स्ट्रिंग इंस्ट्रूमेंट्स (जैसे गिटार या वायलिन) के लिए,आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,थर्मल विस्तार के कारण डोरी की लंबाई $L$ बढ़ जाती है। इसके अतिरिक्त,इंस्ट्रूमेंट की बॉडी के विस्तार के कारण डोरी में तनाव $T$ कम हो जाता है। ये दोनों कारक आवृत्ति (पिच) में कमी लाते हैं।
$3$. इस प्रकार,अभिकथन सही है। कारण सही ढंग से बताता है कि तापमान के साथ ध्वनि की गति बढ़ती है और स्ट्रिंग इंस्ट्रूमेंट्स में होने वाले भौतिक परिवर्तनों की व्याख्या करता है जो पिच में कमी का कारण बनते हैं। इसलिए,कारण अभिकथन की सही व्याख्या है।

(A) एक सिरे पर बंधी बहुत लंबी डोरी में,जब एक अनुप्रस्थ तरंग उत्पन्न होती है,तो वह स्थिर सिरे की ओर यात्रा करती है और परावर्तित हो जाती है।
हालाँकि,क्योंकि डोरी बहुत लंबी है,परावर्तित तरंग स्रोत या मुक्त सिरे तक वापस पहुँचने से पहले डैम्पिंग और आंतरिक घर्षण के कारण महत्वपूर्ण ऊर्जा खो देती है।
परिणामस्वरूप,मुक्त सिरे के पास (जहाँ तरंग उत्पन्न होती है),परावर्तित तरंग का आयाम आपतित तरंग की तुलना में नगण्य होता है।
इसलिए,आपतित और परावर्तित तरंगों का अध्यारोपण स्थिर तरंग पैटर्न बनाने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण नहीं है,और केवल प्रगामी तरंग ही देखी जाती है।
अभिकथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण यह बताता है कि परावर्तित तरंग स्रोत के सिरे पर स्थिर तरंग बनाने के लिए महत्वपूर्ण रूप से हस्तक्षेप क्यों नहीं करती है।

(C) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है: $v = 90\; ms^{-1}$,$m = 6.0 \times 10^{-3}\; kg$,$L = 0.6\; m$,$A = 1.0 \times 10^{-6}\; m^{2}$,$Y = 16 \times 10^{11}\; Nm^{-2}$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{6.0 \times 10^{-3}}{0.6} = 10^{-2}\; kg/m$.
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ से,$T = v^{2} \mu = (90)^{2} \times 10^{-2} = 8100 \times 10^{-2} = 81\; N$.
यंग मापांक $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$,इसलिए $\Delta L = \frac{T L}{Y A}$.
मान रखने पर: $\Delta L = \frac{81 \times 0.6}{16 \times 10^{11} \times 1.0 \times 10^{-6}} = \frac{48.6}{16 \times 10^{5}} = 3.0375 \times 10^{-5}\; m \approx 0.03\; mm$.

(A) $y = 2 \cos(3x) \sin(10t)$ एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है क्योंकि स्थानिक भाग $k x$ और समय भाग $\omega t$ अलग-अलग कारकों के रूप में दिखाई देते हैं।
$(b)$ $y = 2 \sqrt{x - vt}$ किसी तरंग को नहीं दर्शाता है क्योंकि यह सामान्य तरंग समीकरण $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ को संतुष्ट नहीं करता है और यह एक आवर्ती फलन नहीं है।
$(c)$ $y = 3 \sin(5x - 0.5t) + 4 \cos(5x - 0.5t)$ एक प्रगामी तरंग को दर्शाता है क्योंकि यह $f(kx - \omega t)$ के रूप वाले फलनों का एक रैखिक संयोजन है।
$(d)$ $y = \cos x \sin t + \cos 2x \sin 2t$ एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है क्योंकि यह दो अप्रगामी तरंगों का अध्यारोपण है,जहाँ प्रत्येक पद में अलग-अलग स्थानिक और समय घटक होते हैं।

(N/A) विस्थापन निस्पंद वह बिंदु है जहाँ कंपन का आयाम शून्य होता है,जो अधिकतम दबाव परिवर्तन (दाब प्रस्पंद) के अनुरूप होता है। इसके विपरीत,विस्थापन प्रस्पंद अधिकतम आयाम का बिंदु है,जो न्यूनतम दबाव परिवर्तन (दाब निस्पंद) के अनुरूप होता है।
$(b)$ चमगादड़ उच्च आवृत्ति वाली अल्ट्रासोनिक तरंगें उत्सर्जित करते हैं। ये तरंगें बाधाओं से परावर्तित होती हैं। परावर्तित तरंगों के समय विलंब,तीव्रता और आवृत्ति परिवर्तन का विश्लेषण करके,चमगादड़ बाधाओं की दूरी,दिशा,प्रकृति और आकार निर्धारित कर सकते हैं।
$(c)$ हालाँकि मूल आवृत्तियाँ समान हो सकती हैं,लेकिन ध्वनि की गुणवत्ता या टिम्बर अलग होती है क्योंकि वायलिन और सितार द्वारा उत्पन्न ओवरटोन्स (हार्मोनिक्स) की संख्या और सापेक्ष तीव्रता अलग-अलग होती है।
$(d)$ ठोस पदार्थों में कर्तन मापांक (shear modulus) होता है,जो उन्हें कर्तन प्रतिबल (shearing stress) को सहन करने की क्षमता देता है,जो अनुप्रस्थ तरंगों के लिए आवश्यक है। गैसों में कर्तन मापांक का अभाव होता है और वे कर्तन प्रतिबल को सहन नहीं कर सकतीं,इसलिए वे अनुप्रस्थ तरंगों का समर्थन नहीं कर सकतीं। ठोस और गैस दोनों में आयतन मापांक (bulk modulus) होता है,जो उन्हें अनुदैर्ध्य तरंगों का समर्थन करने की अनुमति देता है।
$(e)$ पल्स विभिन्न तरंग दैर्ध्य वाली तरंगों का अध्यारोपण है। एक विक्षेपी माध्यम में,तरंग का वेग उसकी तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है। चूँकि पल्स के विभिन्न घटक अलग-अलग गति से यात्रा करते हैं,इसलिए समय के साथ पल्स का आकार विकृत हो जाता है।

(C) जब सितार के तार को छेड़ा जाता है,तो तार के कणों का विस्थापन तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होता है,जिसके परिणामस्वरूप तार पर यांत्रिक अनुप्रस्थ तरंगें बनती हैं।
जैसे-जैसे तार कंपन करता है,यह आसपास के हवा के अणुओं को धक्का देता है और खींचता है,जिससे संपीड़न और विरलन (compression and rarefaction) उत्पन्न होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप हवा में यांत्रिक अनुदैर्ध्य तरंगें (ध्वनि तरंगें) बनती हैं।

(D) $(i)$ असत्य। हवा में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि नम हवा शुष्क हवा की तुलना में कम घनी होती है,इसलिए नम हवा में ध्वनि की गति अधिक होती है।
$(ii)$ असत्य। ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को रगड़ने या घिसने से पदार्थ हट जाता है,जिससे प्रोंग्स का द्रव्यमान कम हो जाता है। आवृत्ति के सूत्र $f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ के अनुसार,आवृत्ति बढ़ जाती है।
$(iii)$ असत्य। अप्रगामी तरंग में,आयाम नोड्स पर शून्य से लेकर एंटीनोड्स पर अधिकतम तक बदलता रहता है। एक लूप में कणों का आयाम उनकी स्थिति के आधार पर अलग-अलग होता है।
$(iv)$ असत्य। अप्रगामी तरंग में,कण का आयाम नोड पर शून्य से बढ़कर एंटीनोड पर अधिकतम मान तक पहुँच जाता है।

(A) $(i)$ ध्वनि की गति $v = 332 \text{ m/s}$ और अधिकतम श्रव्य आवृत्ति $f_{\max} = 20000 \text{ Hz}$ दी गई है।
$v = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,$\lambda_{\min} = \frac{v}{f_{\max}} = \frac{332}{20000} = 0.0166 \text{ m} = 1.66 \text{ cm}$ है।
$(ii)$ तरल (द्रव और गैस) अपरूपण प्रतिबल (shear stress) का समर्थन नहीं करते हैं,इसलिए उनमें केवल अनुदैर्ध्य (longitudinal) तरंगें ही प्रसारित हो सकती हैं।
$(iii)$ एक सेकंड में तरंग द्वारा तय की गई दूरी उसकी गति $v$ के बराबर होती है।
चूंकि $v = \frac{\lambda}{T}$,इसलिए एक सेकंड में तय की गई दूरी $\frac{\lambda}{T}$ है।

(A) $(i)$ एक बंद पाइप के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = (2n - 1)f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
पहला ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक $(n=2)$ है,और दूसरा ओवरटोन $5^{th}$ हार्मोनिक $(n=3)$ है।
इसलिए,दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $f_3 = 5 \times f_1 = 5 \times 50 \ Hz = 250 \ Hz$ है।
$(ii)$ $STP$ ($0^{\circ}C$ और $1 \ atm$) पर हवा में ध्वनि की गति लगभग $332 \ m/s$ होती है।
$(iii)$ मानव कान के लिए बीट्स को स्पष्ट रूप से सुनने के लिए,श्रवण की दृढ़ता (persistence of hearing) के कारण बीट आवृत्ति $|f_1 - f_2|$ का मान सामान्यतः $6 \ Hz$ से $7 \ Hz$ से अधिक नहीं होना चाहिए।

(A) सही मिलान इस प्रकार है:
$(a)$ प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं,जो गैर-यांत्रिक और अनुप्रस्थ प्रकृति की होती हैं। अतः,$(a-iii)$।
$(b)$ ध्वनि तरंगों को संचरण के लिए माध्यम की आवश्यकता होती है,जो उन्हें यांत्रिक बनाती है,और वे अनुदैर्ध्य तरंगों के रूप में चलती हैं। अतः,$(b-ii)$।
$(c)$ भूकंपीय तरंगों में $P$-तरंगें (अनुदैर्ध्य) और $S$-तरंगें (अनुप्रस्थ) दोनों शामिल होती हैं,जो उन्हें यांत्रिक,अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य बनाती हैं। अतः,$(c-iv)$।
$(d)$ तनी हुई डोरी पर तरंगें यांत्रिक तरंगें हैं जो अनुप्रस्थ तरंगों के रूप में चलती हैं। अतः,$(d-i)$।
इसलिए,सही मिलान $(a-iii, b-ii, c-iv, d-i)$ है।

(A) पानी में अल्ट्रासोनिक तरंग की तरंग दैर्ध्य $\lambda = v / f = 1500 / (0.5 \times 10^6) = 3 \times 10^{-3} \,m = 3 \,mm$ द्वारा दी जाती है।
पानी के स्तंभ की ऊँचाई $L = 61.5 \,mm$ है।
एक सिरे पर बंद (ट्रांसड्यूसर द्वारा) और दूसरे सिरे पर खुले (या तल से परावर्तित) स्तंभ में अप्रगामी तरंग के लिए,अनुनाद की स्थिति $L = (2n - 1) \lambda / 4$ है।
यहाँ,$61.5 / 3 = 20.5$,जो $L = 41 \lambda / 2$ या समान अप्रगामी तरंग मोड के अनुरूप है। अप्रगामी तरंग पानी में बदलती घनत्व के क्षेत्र बनाती है।
चूंकि पानी का अपवर्तनांक उसके घनत्व पर निर्भर करता है,इसलिए पानी का स्तंभ आपतित प्रकाश के लिए एक विवर्तन झंझरी (diffraction grating) या चरण-मॉड्यूलेटेड माध्यम के रूप में कार्य करता है।
विभिन्न घनत्व वाले क्षेत्रों से गुजरने वाला प्रकाश अलग-अलग चरण बदलाव (phase shift) का अनुभव करता है,जिससे स्क्रीन पर व्यतिकरण पैटर्न बनते हैं।
चूंकि अप्रगामी तरंग में $61.5 \,mm$ लंबाई पर कई नोड्स और एंटीनोड्स होते हैं,इसलिए स्क्रीन पर तीव्रता वितरण कई व्यतिकरण अधिकतम और न्यूनतम दिखाएगा,जिसे कई तीखे शिखरों वाले आलेख द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है।

(B) ध्वनि तीव्रता स्तर का अंतर $\Delta \beta = 10 \log_{10} (I_0 / I) = 60 \,dB$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\log_{10} (I_0 / I) = 6$,जिसका अर्थ है $I_0 / I = 10^6$,या $I = I_0 \times 10^{-6}$।
क्षय सूत्र $I = I_0 \exp(-c_1 \alpha)$ और $c_1 = 1/4$ दिया गया है,इसलिए $I = I_0 \exp(-\alpha / 4)$।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $I_0 \exp(-\alpha / 4) = I_0 \times 10^{-6}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\alpha / 4 = \ln(10^{-6}) = -6 \ln(10)$।
इसलिए,$\alpha = 24 \ln(10) \approx 24 \times 2.303 = 55.272$।
भौतिक मापदंडों पर आधारित $\alpha$ के लिए संबंध $\alpha = (A_e \cdot v_s \cdot t) / V$ है।
$A_e$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $A_e = (\alpha \cdot V) / (v_s \cdot t)$।
मान रखने पर: $A_e = (55.272 \times 600) / (340 \times 1) = 33163.2 / 340 \approx 97.54 \,m^2$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$A_e \approx 100 \,m^2$।

(B) तरंग की तीव्रता $I = 2 \pi^2 f^2 \rho v A^2$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $I \propto f^2 A^2$।
विभिन्न आवृत्तियों वाली दो तरंगों के लिए,परिणामी तीव्रता समय के साथ बदलती है। हालाँकि,विभिन्न आवृत्तियों वाली तरंगों के अध्यारोपण के संदर्भ में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अनुपात के लिए,हम व्यक्तिगत तरंगों के आयामों को $A_1' = f_1 A_1$ और $A_2' = f_2 A_2$ के रूप में लेते हैं।
दिया गया है $y_1 = 2 \sin(20 \pi t - 0.8 \pi x)$,इसलिए $f_1 = 10 \text{ Hz}$ और $A_1 = 2$। अतः,$A_1' = 10 \times 2 = 20$।
दिया गया है $y_2 = 4 \sin(40 \pi t - 1.6 \pi x)$,इसलिए $f_2 = 20 \text{ Hz}$ और $A_2 = 4$। अतः,$A_2' = 20 \times 4 = 80$।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1' + A_2')^2}{(A_2' - A_1')^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(20 + 80)^2}{(80 - 20)^2} = \frac{100^2}{60^2} = \left(\frac{100}{60}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$।
अतः,अनुपात $25: 9$ है।

(A) दिया गया है कि तीव्रताओं का अनुपात $I_1/I_2 = 4/1$ है,इसलिए $I_1 = 4I_2$ है।
माना आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूंकि $I \propto A^2$ है,इसलिए $A_1/A_2 = \sqrt{I_1/I_2} = \sqrt{4/1} = 2/1$,अतः $A_1 = 2A_2$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (A_1 + A_2)^2 = (2A_2 + A_2)^2 = (3A_2)^2 = 9A_2^2$ है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (A_1 - A_2)^2 = (2A_2 - A_2)^2 = (A_2)^2 = A_2^2$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $I_{max}/I_{min} = 9/1$ है।
$dB$ में लाउडनेस का अंतर $\Delta L = 10 \log_{10}(I_{max}/I_{min})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\Delta L = 10 \log_{10}(9) = 10 \log_{10}(3^2) = 20 \log_{10}(3)$।