Errors of Measurement Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: $A = 2.5 \, m/s$,$\Delta A = 0.5 \, m/s$ અને $B = 0.10 \, s$,$\Delta B = 0.01 \, s$.
આપણે $X = AB$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પ્રથમ,ગુણાકારની ગણતરી કરો: $X = AB = 2.5 \times 0.10 = 0.25 \, m$.
ગુણાકારમાં ત્રુટિના પ્રસરણ માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ છે: $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta X}{0.25} = \frac{0.5}{2.5} + \frac{0.01}{0.10}$.
$\frac{\Delta X}{0.25} = 0.2 + 0.1 = 0.3$.
$\Delta X = 0.3 \times 0.25 = 0.075$.
યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$\Delta X \approx 0.08$.
આમ,$AB = (0.25 \pm 0.08) \, m$.

(C) સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$ મળે.
$g$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$ મળે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમ મુજબ: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $l$ માં આંશિક ત્રુટિ $\frac{\Delta l}{l} = y$ અને $T$ માં આંશિક ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} = x$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = y + 2x$ અથવા $2x + y$ મળે.

(D) ઘન (cube) ની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{l^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $l$ એ ઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે દળમાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4\%$ અને લંબાઈમાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 3\%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
ઘનતામાં ટકાવારી ત્રુટિ $= 4\% + 3(3\%) = 4\% + 9\% = 13\%$.

(C) સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપન એ માપનમાં રહેલી નિરપેક્ષ ત્રુટિ છે,જે $\Delta t = 0.2\, s$ આપેલ છે.
$20\, \text{દોલનો}$ માટે માપેલ સમય $t = 25\, s$ છે.
સમયના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{\Delta t}{t} \right) \times 100\, \%$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{0.2}{25} \right) \times 100\, \%$
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = 0.2 \times 4\, \% = 0.8\, \%$

(C) ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$A$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.3\%$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠફળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (0.3\%) = 0.6\%$ થાય.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણમાં આપેલ સૂત્ર $\frac{\Delta A}{A} = \frac{4\Delta r}{r}$ ખોટું છે,કારણ કે સાચો સંબંધ $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(A) ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણે ત્રુટિના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta E}{E} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta v}{v}$.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1\%$ અને વેગમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 2\%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta E}{E} \times 100 = (\frac{\Delta m}{m} \times 100) + 2 \times (\frac{\Delta v}{v} \times 100)$
$\frac{\Delta E}{E} \times 100 = 1\% + 2 \times 2\% = 1\% + 4\% = 5\%$.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનમાં વપરાયેલ ત્રુટિના પ્રસરણના સૂત્રની સાચી સમજૂતી આપે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g$ ને કર્તા બનાવતા,$g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\ell = 25.0 \; cm$,તેથી $\Delta \ell = 0.1 \; cm$. $40$ દોલનો માટેનો સમય $t = 50 \; s$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = \frac{50}{40} = 1.25 \; s$. સ્ટોપવોચનું રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 1 \; s$ છે,તેથી $\Delta T = \frac{\Delta t}{40} = \frac{1}{40} \; s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{25.0} + 2 \times \frac{1/40}{50/40} = \frac{0.1}{25} + 2 \times \frac{1}{50} = 0.004 + 0.04 = 0.044$.
તેથી,ટકાવારી ત્રુટિ $0.044 \times 100 = 4.4 \%$ છે.

(B) ઘડિયાળોની ચોકસાઈ નક્કી કરવા માટે,આપણે સાત દિવસ દરમિયાન દરેક ઘડિયાળ માટે વિવિધતાની શ્રેણી (range) ગણીએ છીએ.
ઘડિયાળ $1$ માટે,રીડિંગ $11:59:08$ થી $12:01:50$ સુધીની છે. કુલ વિવિધતા $162 \; s$ છે.
ઘડિયાળ $2$ માટે,રીડિંગ $10:14:53$ થી $10:15:24$ સુધીની છે. કુલ વિવિધતા $31 \; s$ છે.
પ્રયોગમાં ચોકસાઈ એ ઘડિયાળની સુસંગતતા પર આધાર રાખે છે,તેની સંપૂર્ણ ચોકસાઈ (શૂન્ય ભૂલ) પર નહીં,કારણ કે સતત શૂન્ય ભૂલને કેલિબ્રેશન દ્વારા સરળતાથી સુધારી શકાય છે.
ઘડિયાળ $2$ માં ઘડિયાળ $1$ $(162 \; s)$ ની તુલનામાં ઘણી ઓછી વિવિધતા $(31 \; s)$ હોવાથી,તે વધુ સચોટ છે.
તેથી,ચોક્કસ સમયના અંતરાલના માપન માટે ઘડિયાળ $2$ પસંદ કરવામાં આવશે.

(N/A) લોલકનો સરેરાશ આવર્તકાળ:
$T = \frac{(2.63 + 2.56 + 2.42 + 2.71 + 2.80) \; s}{5} = \frac{13.12}{5} \; s = 2.624 \; s \approx 2.62 \; s$.
માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ:
$|\Delta T_1| = |2.63 - 2.62| = 0.01 \; s$
$|\Delta T_2| = |2.56 - 2.62| = 0.06 \; s$
$|\Delta T_3| = |2.42 - 2.62| = 0.20 \; s$
$|\Delta T_4| = |2.71 - 2.62| = 0.09 \; s$
$|\Delta T_5| = |2.80 - 2.62| = 0.18 \; s$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ:
$\Delta T_{\text{mean}} = \frac{0.01 + 0.06 + 0.20 + 0.09 + 0.18}{5} \; s = \frac{0.54}{5} \; s = 0.108 \; s \approx 0.11 \; s$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ:
$\text{સાપેક્ષ ત્રુટિ} = \frac{\Delta T_{\text{mean}}}{T} = \frac{0.11}{2.62} \approx 0.042$.
પ્રતિશત ત્રુટિ:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \frac{\Delta T_{\text{mean}}}{T} \times 100\% = \frac{0.11}{2.62} \times 100\% \approx 4.2\% \approx 4\%$.

(D) આપેલ તાપમાન $t_{1} = 20^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ અને $t_{2} = 50^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ શોધવા માટે,આપણે મૂલ્યોની બાદબાકી કરીએ છીએ:
$\Delta t = (50 - 20)^{\circ}C = 30^{\circ}C$.
જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,તફાવતમાં રહેલી ત્રુટિ $\Delta(\Delta t) = \Delta t_{1} + \Delta t_{2} = 0.5^{\circ}C + 0.5^{\circ}C = 1.0^{\circ}C$ થાય.
આમ,તાપમાનનો તફાવત $30^{\circ}C \pm 1^{\circ}C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $V = 100 \; V$ અને $\Delta V = 5 \; V$. $V$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $(\Delta V / V) \times 100 = (5 / 100) \times 100 = 5 \%$ છે.
આપેલ છે કે $I = 10 \; A$ અને $\Delta I = 0.2 \; A$. $I$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $(\Delta I / I) \times 100 = (0.2 / 10) \times 100 = 2 \%$ છે.
કારણ કે $R = V / I$,$R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta R / R = \Delta V / V + \Delta I / I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$R$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $5 \% + 2 \% = 7 \%$ છે.

(A) શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R = R_{1} + R_{2}$ છે.
$R = (100 + 200) \pm (3 + 4) \ \Omega = 300 \pm 7 \ \Omega$.
$(b)$ સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R^{\prime}$ એ $\frac{1}{R^{\prime}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R^{\prime} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{100 \times 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} \approx 66.7 \ \Omega$.
ભૂલ $\Delta R^{\prime}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{\Delta R^{\prime}}{R^{\prime 2}} = \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\Delta R^{\prime} = R^{\prime 2} \left( \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}} \right) = (66.7)^{2} \left( \frac{3}{100^{2}} + \frac{4}{200^{2}} \right)$.
$\Delta R^{\prime} = 4448.89 \left( \frac{3}{10000} + \frac{4}{40000} \right) = 4448.89 \left( 0.0003 + 0.0001 \right) = 4448.89 \times 0.0004 \approx 1.8 \ \Omega$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $66.7 \pm 1.8 \ \Omega$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $Z = \frac{A^{4} B^{1/3}}{C D^{3/2}}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમો મુજબ,જો કોઈ રાશિ $Z = \frac{A^p B^q}{C^r D^s}$ હોય,તો તેની સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Z}{Z} = p\frac{\Delta A}{A} + q\frac{\Delta B}{B} + r\frac{\Delta C}{C} + s\frac{\Delta D}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણમાં ઘાતાંકો $p=4$,$q=1/3$,$r=1$,અને $s=3/2$ છે.
તેથી,$Z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Z}{Z} = 4\frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{3}\frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta C}{C} + \frac{3}{2}\frac{\Delta D}{D}$ થશે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $g = 4 \pi^2 L / T^2$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $L = 20.0 \; cm$ અને $\Delta L = 1 \; mm = 0.1 \; cm$ આપેલ છે. તેથી,$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.1}{20.0} = 0.005$.
આવર્તકાળ માટે,$T = \frac{t}{n}$,જ્યાં $t = 90 \; s$ અને $n = 100$ છે. ઘડિયાળનું રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 1 \; s$ છે.
$T = t/n$ હોવાથી,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta t}{t} = \frac{1}{90}$ થશે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 2 \left( \frac{1}{90} \right) = 0.005 + 0.0222 = 0.0272$.
ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.0272 \times 100 \approx 3 \%$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ: $P = \frac{a^3 b^2}{c^{1/2} d}$.
$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta P}{P} = 3 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{1}{2} \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે: $\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) \% = \left( 3 \times \frac{\Delta a}{a} \times 100 + 2 \times \frac{\Delta b}{b} \times 100 + \frac{1}{2} \times \frac{\Delta c}{c} \times 100 + \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) \%$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા: $\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) \% = (3 \times 1 + 2 \times 3 + 0.5 \times 4 + 2) \% = (3 + 6 + 2 + 2) \% = 13 \%$.
$P$ નું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય $3.763$ છે. પ્રતિશત ત્રુટિ $13 \%$ હોવાથી,જેમાં બે સાર્થક અંકો છે,તેથી પરિણામને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ. આમ,$3.763$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $3.8$ મળે છે.

(N/A)

ભૂલ (Mistake)	ત્રુટિ (Error)
$(1)$ ભૂલ બેદરકારી,ખોટી ગણતરી અથવા માપનની અયોગ્ય પદ્ધતિઓને કારણે થાય છે.	$(1)$ ત્રુટિ માપન સાધનની અપૂર્ણ રચના અથવા વ્યક્તિઓની અવલોકન મર્યાદાઓને કારણે થાય છે.
$(2)$ યોગ્ય કાળજી લેવાથી ભૂલને સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકાય છે.	$(2)$ વધુ અવલોકનો લઈને અથવા નાના લઘુત્તમ માપ (least count) વાળા સાધનનો ઉપયોગ કરીને ત્રુટિને ઘટાડી શકાય છે,પરંતુ તેને સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકાતી નથી.

(N/A) ભૌતિક રાશિઓના માપનમાં થતી ભૂલોને નીચે મુજબ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$(a)$ વ્યવસ્થિત ભૂલ (Systematic Error)
$(b)$ યાદચ્છિક ભૂલ (Random Error)
$(a)$ વ્યવસ્થિત ભૂલ:
વ્યવસ્થિત ભૂલો એવી ભૂલો છે જે એક જ દિશામાં,કાં તો ધન અથવા ઋણ હોય છે. આ ભૂલો જાણીતા સ્ત્રોતોને કારણે ઉદભવે છે.
$(i)$ સાધનની ભૂલ (Instrumental Error): આ ભૂલ માપન સાધનની અપૂર્ણ ડિઝાઇન અથવા કેલિબ્રેશન અથવા સાધનમાં રહેલી શૂન્ય ભૂલને કારણે ઉદભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,થર્મોમીટરનું કેલિબ્રેશન યોગ્ય ન હોય તો તે $STP$ પર $100^{\circ}C$ ને બદલે $104^{\circ}C$ વાંચી શકે છે.
$(ii)$ પ્રાયોગિક પદ્ધતિમાં અપૂર્ણતા: આ ભૂલ પ્રાયોગિક ગોઠવણીમાં રહેલી ખામીઓને કારણે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો થર્મોમીટરને શરીરના સંપર્કમાં યોગ્ય રીતે મૂકવામાં ન આવે,તો તે શરીરનું સાચું તાપમાન માપી શકશે નહીં.
$(iii)$ વ્યક્તિગત ભૂલ (Personal Error): આ ભૂલ વ્યક્તિગત પૂર્વગ્રહ,સાધનોની યોગ્ય ગોઠવણીનો અભાવ અથવા બેદરકારીને કારણે ઉદભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો અવલોકનકારનું માથું સ્કેલ વાંચતી વખતે યોગ્ય સ્થિતિમાં ન હોય,તો પેરેલેક્સ (દ્રષ્ટિભેદ) ભૂલ થાય છે.
વ્યવસ્થિત ભૂલોને પ્રાયોગિક તકનીકોમાં સુધારો કરીને,વધુ સારા સાધનો પસંદ કરીને અને વ્યક્તિગત પૂર્વગ્રહ દૂર કરીને ઘટાડી શકાય છે.
$(b)$ યાદચ્છિક ભૂલ:
જે ભૂલો ચિહ્ન અને કદની દ્રષ્ટિએ અનિયમિત અને યાદચ્છિક રીતે થાય છે તેને યાદચ્છિક ભૂલ કહેવાય છે. આ ભૂલો પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં અનિશ્ચિત વધઘટને કારણે ઉદભવે છે (દા.ત. તાપમાન,વોલ્ટેજ સપ્લાય). ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે એક જ વ્યક્તિ સમાન અવલોકનનું પુનરાવર્તન કરે છે,ત્યારે તેને દરેક વખતે અલગ-અલગ રીડિંગ મળી શકે છે. આ ભૂલો ધન કે ઋણ હોઈ શકે છે અને મોટી સંખ્યામાં અવલોકનોની સરેરાશ લઈને તેને ઘટાડી શકાય છે.

(N/A) માપન સાધન દ્વારા માપી શકાય તેવા સૌથી નાના મૂલ્યને તેની લઘુત્તમ માપશક્તિ કહેવામાં આવે છે.
- તમામ અવલોકનો અથવા માપેલા મૂલ્યો ફક્ત આ મૂલ્ય સુધી જ સચોટ હોય છે.
- સાધનના રિઝોલ્યુશન સાથે સંકળાયેલી ત્રુટિને લઘુત્તમ માપશક્તિ ત્રુટિ કહેવામાં આવે છે.
- વર્નિયર કેલિપર્સની લઘુત્તમ માપશક્તિ $0.01 \text{ cm}$ છે અને સ્ફેરોમીટરની લઘુત્તમ માપશક્તિ $0.001 \text{ cm}$ છે.
- લઘુત્તમ માપશક્તિ ત્રુટિ એ યાદચ્છિક ત્રુટિ (random error) ના પ્રકારમાં આવે છે,પરંતુ તે મર્યાદિત કદની હોય છે.
- તે વ્યવસ્થિત (systematic) અને યાદચ્છિક (random) બંને ત્રુટિઓ સાથે જોવા મળી શકે છે.
- મીટર સ્કેલની લઘુત્તમ માપશક્તિ $1 \text{ mm}$ છે.
- ઉચ્ચ ચોકસાઈવાળા સાધનોનો ઉપયોગ કરીને અને પ્રાયોગિક તકનીકોમાં સુધારો કરીને લઘુત્તમ માપશક્તિ ત્રુટિ ઘટાડી શકાય છે.
- અવલોકનોનું ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરીને અને તમામ અવલોકનોની અંકગણિત સરેરાશ લેવાથી,સરેરાશ મૂલ્ય એ માપેલ રાશિના સાચા મૂલ્યની ખૂબ નજીક હોય છે.

(N/A) ભૂલનું અનુમાન એટલે પ્રાયોગિક માપનમાં રહેલી મહત્તમ શક્ય અનિશ્ચિતતા અથવા ભૂલ નક્કી કરવાની પ્રક્રિયા અને તેને અંતિમ પરિણામ સાથે દર્શાવવી. આ માપનની ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતાનો નિર્દેશ કરે છે.
ભૂલનું અનુમાન મુખ્યત્વે ત્રણ રીતે કરવામાં આવે છે:
$(1)$ નિરપેક્ષ ત્રુટિ (Absolute error): વ્યક્તિગત માપેલા મૂલ્ય અને રાશિના સાચા મૂલ્ય (અથવા સરેરાશ મૂલ્ય) વચ્ચેના તફાવતનું માન.
$(2)$ સાપેક્ષ ત્રુટિ અને આંશિક ત્રુટિ (Relative error and Fractional error): સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ અને માપેલ રાશિના સરેરાશ મૂલ્યનો ગુણોત્તર.
$(3)$ પ્રતિશત ત્રુટિ (Percentage error): સાપેક્ષ ત્રુટિને $100$ વડે ગુણીને ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

$(a)$ નિરપેક્ષ ત્રુટિ:
વ્યક્તિગત માપન અને ભૌતિક રાશિના સાચા મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતના માનને માપનની નિરપેક્ષ ત્રુટિ કહેવામાં આવે છે. તેને $|\Delta a|$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. અન્ય કોઈ પદ્ધતિના અભાવમાં,આપણે અંકગણિતીય મધ્યકને સાચું મૂલ્ય ગણીએ છીએ.
ધારો કે એક ભૌતિક રાશિ '$a$' છે. તેના માપન $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}$ છે. સરેરાશ મૂલ્ય:
$a_{\text{mean}} = \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}$
દરેક માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ:
$\Delta a_{1} = a_{1} - a_{\text{mean}}, \Delta a_{2} = a_{2} - a_{\text{mean}}, \ldots, \Delta a_{n} = a_{n} - a_{\text{mean}}$.
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ:
$(\Delta a)_{\text{mean}} = \frac{|\Delta a_{1}| + |\Delta a_{2}| + \ldots + |\Delta a_{n}|}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\Delta a_{i}|$.
$(b)$ સાપેક્ષ ત્રુટિ:
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ અને ભૌતિક રાશિના સરેરાશ મૂલ્યના ગુણોત્તરને સાપેક્ષ ત્રુટિ કહેવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $= \frac{(\Delta a)_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}}$.
$(c)$ પ્રતિશત ત્રુટિ:
જ્યારે સાપેક્ષ ત્રુટિને ટકાવારીમાં દર્શાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેને પ્રતિશત ત્રુટિ કહેવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{(\Delta a)_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}} \times 100\%$.

(N/A) જ્યારે પ્રયોગમાં અનેક માપનો સામેલ હોય,ત્યારે તમામ વ્યક્તિગત માપનમાં રહેલી ભૂલો અંતિમ પરિણામને અસર કરવા માટે સંયોજિત થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ઘનતા $(d = m/V)$ ના માપનમાં,દળ $(m)$ અને કદ $(V)$ ના માપનમાં રહેલી ભૂલો સંયોજિત થઈને ગણતરી કરેલી ઘનતામાં ભૂલ ઉત્પન્ન કરે છે.
ભૂલો નીચેની ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ અનુસાર સંયોજિત થાય છે:
$1$. સરવાળો: જો $z = a + b$ હોય,તો નિરપેક્ષ ભૂલ $\Delta z = \Delta a + \Delta b$ થાય.
$2$. બાદબાકી: જો $z = a - b$ હોય,તો નિરપેક્ષ ભૂલ $\Delta z = \Delta a + \Delta b$ થાય.
$3$. ગુણાકાર: જો $z = ab$ હોય,તો સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}$ થાય.
$4$. ભાગાકાર: જો $z = a/b$ હોય,તો સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}$ થાય.
$5$. ઘાત: જો $z = a^n$ હોય,તો સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta z}{z} = n \frac{\Delta a}{a}$ થાય.

(N/A) ધારો કે બે ભૌતિક રાશિઓ $A$ અને $B$ ના માપેલા મૂલ્યો અનુક્રમે $A \pm \Delta A$ અને $B \pm \Delta B$ છે.
$(i)$ સરવાળા માટે:
ધારો કે $Z$ એ $A$ અને $B$ ના સરવાળાથી મળતી રાશિ છે.
$Z = A + B$
ધારો કે $Z$ માં ઉદ્ભવતી ત્રુટિ $\Delta Z$ છે.
$Z \pm \Delta Z = (A \pm \Delta A) + (B \pm \Delta B)$
$Z \pm \Delta Z = (A + B) \pm (\Delta A + \Delta B)$
$Z = A + B$ હોવાથી,$\pm \Delta Z = \pm \Delta A \pm \Delta B$ મળે.
મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ માટે,$\Delta Z = \Delta A + \Delta B$ થાય.
$(ii)$ બાદબાકી માટે:
ધારો કે $A$ અને $B$ નો તફાવત $Z$ છે.
$Z = A - B$ (જ્યાં $A > B$)
$Z \pm \Delta Z = (A \pm \Delta A) - (B \pm \Delta B)$
$Z \pm \Delta Z = (A - B) \pm \Delta A \mp \Delta B$
$Z = A - B$ હોવાથી,$\pm \Delta Z = \pm \Delta A \mp \Delta B$ મળે.
$\Delta Z$ ના શક્ય મૂલ્યો $\Delta A - \Delta B$,$-\Delta A + \Delta B$,$\Delta A + \Delta B$ અથવા $-\Delta A - \Delta B$ છે.
મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ માટે,$\Delta Z = \Delta A + \Delta B$ થાય.

(N/A) ધારો કે બે ભૌતિક રાશિઓ $A$ અને $B$ ના માપેલા મૂલ્યો અનુક્રમે $A \pm \Delta A$ અને $B \pm \Delta B$ છે,જ્યાં $\Delta A$ અને $\Delta B$ તેમની નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ છે.
ગુણાકાર માટે: ધારો કે $Z = AB$. તો માપેલું મૂલ્ય $Z \pm \Delta Z = (A \pm \Delta A)(B \pm \Delta B) = AB \pm A \Delta B \pm B \Delta A \pm \Delta A \Delta B$ થાય.
$Z = AB$ વડે ભાગતા,આપણને $1 \pm \frac{\Delta Z}{Z} = 1 \pm \frac{\Delta A}{A} \pm \frac{\Delta B}{B} \pm \frac{\Delta A}{A} \cdot \frac{\Delta B}{B}$ મળે.
$\frac{\Delta A}{A}$ અને $\frac{\Delta B}{B}$ ખૂબ નાના હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર અવગણવામાં આવે છે. મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ માટે,$\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$ થાય.
ભાગાકાર માટે: ધારો કે $Z = \frac{A}{B}$. તો $Z \pm \Delta Z = \frac{A \pm \Delta A}{B \pm \Delta B} = \frac{A(1 \pm \Delta A/A)}{B(1 \pm \Delta B/B)} = Z(1 \pm \Delta A/A)(1 \pm \Delta B/B)^{-1}$ થાય.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 \pm x)^n \approx 1 \pm nx$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 \pm \frac{\Delta Z}{Z} \approx (1 \pm \frac{\Delta A}{A})(1 \mp \frac{\Delta B}{B}) \approx 1 \pm \frac{\Delta A}{A} \mp \frac{\Delta B}{B}$ મળે.
આમ,મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$ છે.

(N/A) $1$. માપનમાં ત્રુટિ: માપન કરેલ મૂલ્ય અને ભૌતિક રાશિના સાચા મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતને ત્રુટિ કહે છે. તે સાધનોની મર્યાદા,પર્યાવરણીય પરિબળો અથવા અવલોકનકારની પદ્ધતિને કારણે કોઈપણ માપનમાં રહેલી અનિવાર્ય અનિશ્ચિતતા છે. ત્રુટિઓને વ્યવસ્થિત અને યાદચ્છિક ત્રુટિઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે અને તેને સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકાતી નથી,માત્ર ઘટાડી શકાય છે.
$2$. માપનમાં ભૂલ: ભૂલ (Mistake) એ માનવીય બેદરકારીને કારણે થતી ક્ષતિ છે,જેમ કે સ્કેલનું ખોટું વાંચન,ડેટાની ખોટી નોંધણી અથવા ખોટા સૂત્રનો ઉપયોગ. ત્રુટિઓથી વિપરીત,ભૂલો ટાળી શકાય તેવી છે અને સાવચેતી રાખીને તથા પ્રક્રિયાની ચકાસણી કરીને તેને દૂર કરી શકાય છે.

(N/A) લઘુત્તમ માપ એટલે માપન સાધન દ્વારા ચોકસાઈપૂર્વક માપી શકાતું સૌથી નાનું મૂલ્ય. ઉદાહરણ તરીકે,સામાન્ય મીટર સ્કેલનું લઘુત્તમ માપ $1 \ mm$ અથવા $0.1 \ cm$ છે.
લઘુત્તમ માપની ત્રુટિ એ સાધનના રિઝોલ્યુશન સાથે સંકળાયેલી એક પ્રકારની વ્યવસ્થિત ત્રુટિ છે. તે એટલા માટે થાય છે કારણ કે સાધન તેના લઘુત્તમ માપ કરતા નાની કિંમતો માપી શકતું નથી. આ ત્રુટિને વધુ ચોકસાઈ ધરાવતા સાધનો (નાનું લઘુત્તમ માપ) નો ઉપયોગ કરીને અને પ્રાયોગિક તકનીકોમાં સુધારો કરીને ઘટાડી શકાય છે.

(N/A) સાપેક્ષ ત્રુટિ એટલે માપેલ ભૌતિક રાશિની સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ અને તે રાશિના સરેરાશ મૂલ્યનો ગુણોત્તર.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\text{Relative Error} = \frac{\Delta a_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}}$.
આંશિક ત્રુટિ એ સાપેક્ષ ત્રુટિ માટે વપરાતો બીજો શબ્દ છે. તે માપનમાં રહેલી અનિશ્ચિતતાને માપના કદના સંદર્ભમાં દર્શાવે છે. જ્યારે સાપેક્ષ ત્રુટિને ટકાવારીમાં દર્શાવવામાં આવે,ત્યારે તેને પ્રતિશત ત્રુટિ કહેવાય છે,જેનું સૂત્ર: $\text{Percentage Error} = \frac{\Delta a_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}} \times 100\%$ છે.

(A) નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ માપેલ મૂલ્ય અને ભૌતિક રાશિના સાચા મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત છે. તે ભૌતિક રાશિ દર્શાવતી હોવાથી,તેનો એકમ માપેલ રાશિના એકમ જેવો જ હોય છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ એ સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ અને રાશિના સરેરાશ મૂલ્યનો ગુણોત્તર છે. સમાન એકમ ધરાવતી બે રાશિઓનો ગુણોત્તર હોવાથી,એકમો ઉડી જાય છે,પરિણામે તે પરિમાણરહિત રાશિ બને છે.
આંશિક ત્રુટિ એ સાપેક્ષ ત્રુટિ જેવી જ છે (જ્યારે તેને $100$ વડે ગુણવામાં આવે ત્યારે તે ટકાવારીમાં દર્શાવાય છે),અને તે પણ પરિમાણરહિત છે.
તેથી,નિરપેક્ષ ત્રુટિને એકમ હોય છે,જ્યારે સાપેક્ષ અને આંશિક ત્રુટિને એકમ હોતો નથી.

(B) ના,ભૂલને સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકાતી નથી.
માપન હંમેશા માપવાના સાધનની મર્યાદાઓ,પર્યાવરણીય પરિસ્થિતિઓ અને માનવીય મર્યાદાઓને કારણે અમુક અંશે અનિશ્ચિતતાને આધીન હોય છે.
જોકે આપણે સાવચેતીપૂર્વક કેલિબ્રેશન,વધુ સારી તકનીકો અને આંકડાકીય સરેરાશ દ્વારા ભૂલોને ઘટાડી શકીએ છીએ,પરંતુ શૂન્ય ભૂલ સાથે સંપૂર્ણ સચોટ માપન પ્રાપ્ત કરવું અશક્ય છે.

(N/A) જ્યારે $A$ અને $B$ જેટલી બે ભૌતિક રાશિઓ,જેની નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ અનુક્રમે $\Delta A$ અને $\Delta B$ છે,તેમનો સરવાળો કે બાદબાકી કરવામાં આવે,ત્યારે પરિણામ $Z = A \pm B$ મળે છે.
પરિણામ $Z$ માં ઉદ્ભવતી નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta Z$ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની નિરપેક્ષ ત્રુટિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
એટલે કે,$\Delta Z = \Delta A + \Delta B$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે બે રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી કરવામાં આવે,ત્યારે અંતિમ પરિણામમાં મળતી નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની નિરપેક્ષ ત્રુટિઓના સરવાળા બરાબર હોય છે.

(N/A) જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓ $A$ અને $B$ નો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરીને પરિણામ $Z$ મેળવવામાં આવે (જ્યાં $Z = AB$ અથવા $Z = A/B$),ત્યારે પરિણામ $Z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓ $A$ અને $B$ માં રહેલી સાપેક્ષ ત્રુટિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $Z = AB$ અથવા $Z = A/B$ હોય,તો મહત્તમ અપૂર્ણાંક ત્રુટિ અથવા સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$
અહીં,$\Delta A$ અને $\Delta B$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ માં રહેલી નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ છે,અને $\Delta Z$ એ પરિણામ $Z$ માં રહેલી નિરપેક્ષ ત્રુટિ છે.

(A) માપનમાં ત્રુટિ એટલે ભૌતિક રાશિના માપેલ મૂલ્ય અને સાચા મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\text{Error} = \text{Measured Value} - \text{True Value}$.
આ તફાવત સાધનની મર્યાદાઓ,પર્યાવરણીય પરિસ્થિતિઓ અથવા માનવીય અવલોકન ભૂલો જેવા વિવિધ પરિબળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.

(N/A) $(1)$ એક પાતળી લંબચોરસ પ્લેટની લંબાઈ $l = 16.2 \text{ cm}$ અને પહોળાઈ $b = 10.1 \text{ cm}$ છે. મીટર સ્કેલનું લઘુત્તમ માપન $0.1 \text{ cm}$ છે,તેથી માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $0.1 \text{ cm}$ ગણાય.
$l = (16.2 \pm 0.1) \text{ cm}$
$b = (10.1 \pm 0.1) \text{ cm}$
લંબાઈના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ:
$\frac{0.1}{16.2} \times 100 \approx 0.6 \%$
$l = (16.2 \pm 0.6 \%) \text{ cm}$
પહોળાઈના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ:
$\frac{0.1}{10.1} \times 100 \approx 1 \%$
$b = (10.1 \pm 1 \%) \text{ cm}$
લંબચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ:
$A = l \times b = 16.2 \times 10.1 = 163.62 \text{ cm}^2$
$A$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{\Delta l}{l} \times 100 + \frac{\Delta b}{b} \times 100 = 0.6 \% + 1 \% = 1.6 \%$
$\Delta A = \frac{1.6 \times 163.62}{100} \approx 2.6 \text{ cm}^2$
ક્ષેત્રફળ: $A = (163.62 \pm 2.6) \text{ cm}^2$
અહીં લઘુત્તમ સાર્થક અંકો $3$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળને $A \approx (164 \pm 3) \text{ cm}^2$ તરીકે દર્શાવવું જોઈએ.
$(2)$ જો પ્રાયોગિક ડેટાનો સેટ '$n$' સાર્થક અંકો સુધી આપવામાં આવ્યો હોય,તો ડેટાને જોડવાથી મળતું પરિણામ સામાન્ય રીતે '$n$' સાર્થક અંકો સુધી માન્ય રહે છે. જોકે,જો ડેટાની બાદબાકી કરવામાં આવે,તો સાર્થક અંકોની સંખ્યા ઘટી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$12.9 \text{ g} - 7.06 \text{ g} = 5.84 \text{ g}$. બાદબાકીમાં આપણે દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. તેથી આ પરિણામ $5.8 \text{ g}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવશે.

(N/A) ધારો કે એક જ વર્નિયર કેલિપર્સથી બે ભિન્ન પદાર્થની લંબાઈ માપતાં તે $2.20 \pm 0.01 \text{ cm}$ અને $8.05 \pm 0.01 \text{ cm}$ મળે છે.
અહીં દરેક માપમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $(0.01 \text{ cm})$ સમાન છે.
પ્રથમ માપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{0.01}{2.20} \times 100 \% = 0.45 \%$.
બીજા માપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{0.01}{8.05} \times 100 \% = 0.12 \%$.
આમ,નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ સમાન હોવા છતાં,મોટા માપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ ઓછી અને નાના માપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ મોટી મળે છે. આથી કહી શકાય કે જેમ પ્રતિશત ત્રુટિ ઓછી હોય તેમ માપ વધુ ચોકસાઈભર્યું કહેવાય.

(N/A) સાધનનું લઘુતમ માપ એ તે સાધન દ્વારા ચોકસાઈપૂર્વક માપી શકાતું સૌથી નાનું માપ છે.
જ્યારે આપણે નાના લઘુતમ માપવાળા સાધનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,ત્યારે માપનમાં ઉદ્ભવતી નિરપેક્ષ ત્રુટિ (Absolute Error) ઘટે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ (અથવા પ્રતિશત ત્રુટિ) એ નિરપેક્ષ ત્રુટિના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,નાનું લઘુતમ માપ પ્રતિશત ત્રુટિમાં ઘટાડો કરે છે.
આથી,શક્ય તેટલું નાનું લઘુતમ માપ ધરાવતું સાધન વાપરવાથી માપનમાં ચોકસાઈ અને સચોટતા વધે છે.

(N/A) ભૌતિક રાશિના માપનમાં રહેલી અચોક્કસતાને ત્રુટિ કહે છે. માપેલું મૂલ્ય સાચા મૂલ્ય કરતા સહેજ વધારે અથવા સહેજ ઓછું હોઈ શકે છે. આ અનિશ્ચિતતા દર્શાવવા માટે ત્રુટિને ધન $(+)$ અને ઋણ $(-)$ એમ બંને નિશાનીઓ સાથે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) જો કોઈ ભૌતિક રાશિની ઘાત $n$ હોય (દા.ત.,$x^n$),તો પરિણામમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $n \times (\Delta x / x)$ દ્વારા મળે છે.
જેમ ઘાત $n$ વધે છે,તેમ માપનમાં રહેલી સાપેક્ષ ત્રુટિ $n$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
તેથી,$x$ ના પ્રારંભિક માપનમાં રહેલી નાની ત્રુટિ પણ અંતિમ પરિણામમાં મોટી ત્રુટિ લાવી શકે છે.
અંતિમ પરિણામ સ્વીકાર્ય ચોકસાઈ મર્યાદામાં રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,મોટી ઘાત ધરાવતી રાશિઓના માપન ખૂબ જ ચોકસાઈથી લેવા જોઈએ.

(A) આપેલ સંબંધ $f = x^2$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુનું વિકલન કરીએ છીએ અથવા ત્રુટિ માટે ઘાતનો નિયમ વાપરીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(f) = 2 \ln(x)$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{df}{f} = 2 \frac{dx}{x}$.
નાની ત્રુટિઓ માટે,આપણે વિકલનને નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ સાથે બદલીએ છીએ: $\frac{\Delta f}{f} = 2 \frac{\Delta x}{x}$.

(A) આપેલ દળ $m = 225 \, g$ અને નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta m = 0.05 \, g$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિનું સૂત્ર $\frac{\Delta m}{m} \times 100 \%$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \frac{0.05}{225} \times 100 \%$.
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \frac{5}{225} \%$.
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \frac{1}{45} \% \approx 0.022 \%$.

(B) આપેલ મૂલ્યો $\theta_1 = 25.5 \pm 0.1 \, ^\circ C$ અને $\theta_2 = 35.3 \pm 0.1 \, ^\circ C$ છે.
તફાવત $Z = \theta_1 - \theta_2$ શોધવા માટે,આપણે સરેરાશ મૂલ્યોની બાદબાકી કરીએ છીએ: $Z = 25.5 - 35.3 = -9.8 \, ^\circ C$.
જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે: $\Delta Z = \Delta \theta_1 + \Delta \theta_2 = 0.1 + 0.1 = 0.2 \, ^\circ C$.
તેથી,અંતિમ પરિણામ $\theta_1 - \theta_2 = (-9.8 \pm 0.2) \, ^\circ C$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે,$t_1 = 39.6\, s$,$t_2 = 39.9\, s$ અને $t_3 = 39.5\, s$.
માપન સાધનનું લઘુત્તમ માપ (Least count) $= 0.1\, s$ છે (કારણ કે માપમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી માત્ર એક જ સાર્થક અંક છે).
માપનમાં ચોકસાઈ (Precision) $=$ સાધનનું લઘુત્તમ માપ $= 0.1\, s$.
$20$ દોલનો માટે સરેરાશ સમય:
$t_{avg} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} = \frac{39.6 + 39.9 + 39.5}{3} = \frac{119.0}{3} = 39.666... \approx 39.7\, s$.
માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ:
$\Delta t_1 = |t_{avg} - t_1| = |39.7 - 39.6| = 0.1\, s$
$\Delta t_2 = |t_{avg} - t_2| = |39.7 - 39.9| = 0.2\, s$
$\Delta t_3 = |t_{avg} - t_3| = |39.7 - 39.5| = 0.2\, s$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ (સચોટતા) $= \frac{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3}{3} = \frac{0.1 + 0.2 + 0.2}{3} = \frac{0.5}{3} \approx 0.17\, s$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,માપનની સચોટતા $\pm 0.2\, s$ મળે છે.

(D) આપેલ ભૌતિક રાશિ $X = a^2 b^3 c^{\frac{5}{2}} d^{-2}$ છે.
$X$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = \left[ 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) \right]$
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા:
$= [2(1\%) + 3(2\%) + 2.5(3\%) + 2(4\%)]$
$= [2 + 6 + 7.5 + 8] \% = 23.5 \%$
આમ,$X$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $23.5 \%$ છે.
$2.763$ ના મૂલ્યને રાઉન્ડ ઓફ કરવા માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિ જોઈએ છીએ,જે $23.5 \% = 0.235$ છે. ત્રુટિ પ્રથમ દશાંશ સ્થાનમાં હોવાથી,આપણે પરિણામને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરીશું. તેથી,$2.763$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $2.8$ મળે છે.

(D) ગોળાની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi (D/2)^3} = \frac{6M}{\pi D^3}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln \rho = \ln(6/\pi) + \ln M - 3 \ln D$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dM}{M} - 3 \frac{dD}{D}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ: $\left( \frac{d\rho}{\rho} \times 100 \right)_{\text{max}} = \left( \frac{dM}{M} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{dD}{D} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $\frac{dM}{M} \times 100 = 6.0 \%$ અને $\frac{dD}{D} \times 100 = 1.5 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\text{મહત્તમ ત્રુટિ} = 6.0 + 3(1.5) = 6.0 + 4.5 = 10.5 \%$.
આપણને ત્રુટિ $\left(\frac{x}{100}\right) \% = 10.5 \%$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
તેથી,$\frac{x}{100} = 10.5 \implies x = 1050$.

(A) આપેલા મૂલ્યોના અંકગણિતીય મધ્યકને સાચું મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે.
$t_{\text{mean}} = \frac{1.25 + 1.24 + 1.27 + 1.21 + 1.28}{5} = \frac{6.25}{5} = 1.25 \; s$.
દરેક માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ નીચે મુજબ છે:
$|\Delta t_1| = |1.25 - 1.25| = 0 \; s$
$|\Delta t_2| = |1.24 - 1.25| = 0.01 \; s$
$|\Delta t_3| = |1.27 - 1.25| = 0.02 \; s$
$|\Delta t_4| = |1.21 - 1.25| = 0.04 \; s$
$|\Delta t_5| = |1.28 - 1.25| = 0.03 \; s$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ:
$\Delta t_{\text{mean}} = \frac{0 + 0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \; s$.
પ્રતિશત સાપેક્ષ ત્રુટિ:
$\text{Percentage error} = \frac{\Delta t_{\text{mean}}}{t_{\text{mean}}} \times 100 = \frac{0.02}{1.25} \times 100 = 1.6 \%$.

(A) સરેરાશ મૂલ્ય $\bar{x}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{80.0 + 80.5 + 81.0 + 81.5 + 82.0}{5} = \frac{405}{5} = 81.0$
દરેક અવલોકન માટે નિરપેક્ષ ભૂલ $|x_i - \bar{x}|$ છે. દરેક માટે સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$ છે.

અવલોકન $(x_i)$	નિરપેક્ષ ભૂલ $|x_i - \bar{x}|$	સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$
$80.0$	$1.0$	$0.0125$
$80.5$	$0.5$	$0.00621$
$81.0$	$0.0$	$0.0000$
$81.5$	$0.5$	$0.00613$
$82.0$	$1.0$	$0.01219$

સાપેક્ષ ભૂલોનો સરવાળો $= 0.0125 + 0.00621 + 0 + 0.00613 + 0.01219 = 0.03703$
સરેરાશ સાપેક્ષ ભૂલ $= \frac{0.03703}{5} = 0.007406$
સરેરાશ ટકાવારી ભૂલ $= 0.007406 \times 100 \% \approx 0.74 \%$.

(D) અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{V}{I}$ છે.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો: $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $V = 50 \; V$,$\Delta V = 2 \; V$ અને $I = 20 \; A$,$\Delta I = 0.2 \; A$.
$R$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ = $\left( \frac{2}{50} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{20} \times 100 \right)$.
$R$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ = $4\% + 1\% = 5\%$.
આમ,$x = 5$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{4 \pi^2 \ell}{T^2}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે $\ell = 10 \ cm$ અને $\Delta \ell = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
$200$ દોલનો માટે,કુલ સમય $t = 100 \ s$ અને રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 1 \ s$ છે. આવર્તકાળ $T = \frac{t}{200} = \frac{100}{200} = 0.5 \ s$.
આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{200} = \frac{1}{200} \ s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{10} + 2 \left( \frac{1/200}{0.5} \right) = 0.01 + 2 \left( \frac{1}{100} \right) = 0.01 + 0.02 = 0.03$.
ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3 \%$ છે.

(A) અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{V}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અવરોધકતા $\rho = \frac{AV}{I\ell} = \frac{\pi d^2 V}{4I\ell}$,જ્યાં $A = \frac{\pi d^2}{4}$.
અવરોધકતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ મૂલ્યો: $V = 5.0\, V, \Delta V = 0.1\, V, \ell = 10.0\, cm, \Delta \ell = 0.1\, cm, d = 5.00\, mm, \Delta d = 0.01\, mm, I = 2.00\, A, \Delta I = 0.01\, A$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 2\left(\frac{0.01}{5.00}\right) + \frac{0.1}{5.0} + \frac{0.01}{2.00} + \frac{0.1}{10.0}$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.004 + 0.02 + 0.005 + 0.01 = 0.039$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.039 \times 100 = 3.9\%$ છે.

(B) ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln V = \ln(\frac{4}{3} \pi) + 3 \ln r$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$.
અહીં $r = 7.50 \, cm$ અને $\Delta r = 0.85 \, cm$ આપેલ છે.
કદમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r}) \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{0.85}{7.50}) \times 100$.
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 0.11333 \times 100 = 34\%$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $34$ છે.

(A) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = 4 \pi^2 \frac{L}{g}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો $L = 1.0 \text{ m}$,$\Delta L = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$,$T = 1.95 \text{ s}$,અને $\Delta T = 0.01 \text{ s}$ છે.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.001}{1.0} + 2 \times \frac{0.01}{1.95}$.
$\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 0.010256 = 0.011256$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $0.011256 \times 100 \approx 1.13 \%$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\ell = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$.
નાના દોલનો માટે સાદા લોલકની ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m g \ell \theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$\ell$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{1}{2} m g \left( \frac{T^2 g}{4\pi^2} \right) \theta^2 = \frac{m g^2 T^2 \theta^2}{8\pi^2}$.
ધારી લઈએ કે દળ $m$ અને કંપવિસ્તાર $\theta$ અચળ છે,તો $E$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta E}{E} = 2 \frac{\Delta g}{g} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta g}{g} = 4\%$ અને $\frac{\Delta T}{T} = 3\%$,તેથી $\frac{\Delta E}{E} = 2(4\%) + 2(3\%) = 8\% + 6\% = 14\%$.
આમ,$E$ ની ચોકસાઈ $14\%$ છે.