Errors of Measurement Questions in Gujarati

(A) કેપેસિટરના શ્રેણી સંયોજનમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ છે.
પ્રથમ,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ ની ગણતરી કરો:
$C_{eq} = \frac{2000 \times 3000}{2000 + 3000} = \frac{6,000,000}{5000} = 1200 \text{ pF}$.
$C_{eq}$ માં ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\Delta C_{eq}}{C_{eq}^2} = \frac{\Delta C_1}{C_1^2} + \frac{\Delta C_2}{C_2^2}$ મળે છે.
$\Delta C_{eq} = C_{eq}^2 \left( \frac{\Delta C_1}{C_1^2} + \frac{\Delta C_2}{C_2^2} \right) = (1200)^2 \left( \frac{10}{2000^2} + \frac{15}{3000^2} \right) = 1440000 \left( 2.5 \times 10^{-6} + 1.667 \times 10^{-6} \right) \approx 6 \text{ pF}$.
હવે,ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta U}{U} = \frac{\Delta C_{eq}}{C_{eq}} + 2 \frac{\Delta V}{V}$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{6}{1200} + 2 \times \frac{0.02}{5.00} \right) \times 100 = (0.005 + 0.008) \times 100 = 1.3 \%$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 d \sin \theta = \lambda$,તેથી $d = \frac{\lambda}{2 \sin \theta}$.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta d$ શોધવા માટે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\Delta d = \left| \frac{d}{d\theta} \left( \frac{\lambda}{2 \sin \theta} \right) \right| \Delta \theta = \left| -\frac{\lambda \cos \theta}{2 \sin^2 \theta} \right| \Delta \theta = \frac{\lambda \cos \theta}{2 \sin^2 \theta} \Delta \theta$.
અહીં $\Delta \theta$ અચળ છે,તેથી જેમ $\theta$,$0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos \theta$ ઘટે છે અને $\sin \theta$ વધે છે,પરિણામે $\Delta d$ ઘટે છે.
હવે,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta d}{d}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\Delta d}{d} = \frac{\frac{\lambda \cos \theta}{2 \sin^2 \theta} \Delta \theta}{\frac{\lambda}{2 \sin \theta}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \Delta \theta = \cot \theta \Delta \theta$.
જેમ $\theta$,$0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cot \theta$ ઘટે છે. તેથી,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta d}{d}$ ઘટે છે.

(A) વિસ્તરણ $\Delta L$ એ $\Delta L = MSR + (VSR \times LC)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક રીડિંગ $L_1 = 3.20 \times 10^{-2} \text{ m} + 20 \times 1.0 \times 10^{-5} \text{ m} = 3.220 \times 10^{-2} \text{ m}$.
અંતિમ રીડિંગ $L_2 = 3.20 \times 10^{-2} \text{ m} + 45 \times 1.0 \times 10^{-5} \text{ m} = 3.245 \times 10^{-2} \text{ m}$.
વધારાના ભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિસ્તરણ $e = L_2 - L_1 = (45 - 20) \times 10^{-5} \text{ m} = 25 \times 10^{-5} \text{ m}$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{MgL}{Ae}$,જ્યાં $M = 2 \text{ kg}$,$L = 2 \text{ m}$,$A = 8 \times 10^{-7} \text{ m}^2$.
$Y$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta e}{e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિસ્તરણના માપનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta e$ એ બે રીડિંગ્સની અનિશ્ચિતતાનો સરવાળો છે,એટલે કે $\Delta e = LC + LC = 2 \times 10^{-5} \text{ m}$.
તેથી,મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} \times 100\% = \frac{\Delta e}{e} \times 100\% = \frac{2 \times 10^{-5}}{25 \times 10^{-5}} \times 100\% = \frac{2}{25} \times 100\% = 8\%$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $E(t) = A^2 e^{-\alpha t}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln E = 2 \ln A - \alpha t$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dA}{A} - \alpha dt$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $\left| \frac{dE}{E} \right| = 2 \left| \frac{dA}{A} \right| + \alpha |dt|$.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{A} = 1.25 \% = 0.0125$ અને સમયમાં ત્રુટિ $dt = 1.50 \% \text{ of } t = 0.015 \times 5 \ s = 0.075 \ s$.
આપેલ છે કે $\alpha = 0.2 \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dE}{E} \times 100 = 2(1.25 \%) + (0.2 \ s^{-1})(0.075 \ s) \times 100$.
$\frac{dE}{E} \times 100 = 2.5 \% + (0.2 \times 0.075) \times 100 \% = 2.5 \% + 1.5 \% = 4 \%$.
આમ,$E(t)$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $4 \%$ છે.

(B) શંકુનું કદ $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 H = \frac{1}{12} \pi D^2 H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta H}{H}$ મળે છે.
આપેલ છે,લઘુત્તમ માપશક્તિ $\Delta D = \Delta H = 2 \text{ mm} = 0.2 \text{ cm}$.
માપેલ મૂલ્યો $D = H = 20.0 \text{ cm}$.
$D$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta D}{D} \times 100\% = \frac{0.2 \text{ cm}}{20.0 \text{ cm}} \times 100\% = 1\%$ છે.
$H$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta H}{H} \times 100\% = \frac{0.2 \text{ cm}}{20.0 \text{ cm}} \times 100\% = 1\%$ છે.
તેથી,કદ $V$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100\% = 2(1\%) + 1\% = 3\%$ છે.

(B) તારની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^2 \ell}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \left( \frac{0.003}{0.60} + 2 \times \frac{0.01}{0.50} + \frac{0.05}{10.00} \right)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{0.003}{0.60} = 0.005$,
$2 \times \frac{0.01}{0.50} = 2 \times 0.02 = 0.04$,
$\frac{0.05}{10.00} = 0.005$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $0.005 + 0.04 + 0.005 = 0.05$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
પ્રતિશત ત્રુટિ $= 0.05 \times 100 = 5 \%$.

(C) આપેલ ઉર્જાનું સમીકરણ: $E = \alpha^3 e^{-\beta t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln E = 3 \ln \alpha - \beta t$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dE}{E} = 3 \frac{d\alpha}{\alpha} - \beta dt$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3 \left( \frac{d\alpha}{\alpha} \right) + \beta |dt|$.
અહીં $\frac{d\alpha}{\alpha} = 1.2 \%$ અને $t$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{dt}{t} = 1.6 \%$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $dt = 0.016 \times t$.
$t = 5 \ s$ સમયે,$dt = 0.016 \times 5 = 0.08 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3(1.2 \%) + (0.3 \ s^{-1})(0.08 \ s) \times 100 \%$.
$\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3.6 \% + (0.024) \times 100 \% = 3.6 \% + 2.4 \% = 6 \%$.

(C) આપેલ સંબંધ $Q = \frac{ab^4}{cd}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ માં આંશિક ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta a}{a} + 4\frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = \left( \frac{\Delta a}{a} + 4\frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{1000} = \left( \frac{3}{60} + 4 \times \frac{0.1}{20} + \frac{0.2}{40} + \frac{0.1}{50} \right) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = (0.05 + 4 \times 0.005 + 0.005 + 0.002) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = (0.05 + 0.02 + 0.005 + 0.002) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = 0.077 \times 100 = 7.7$.
તેથી,$\frac{x}{1000} = 7.7$ હોવાથી,$x = 7.7 \times 1000 = 7700$.

(A) આપેલ સંબંધ: $C = p^1 q^2 r^{-3} s^{-1/2}$.
$C$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર:
$\frac{\Delta C}{C} = \left| 1 \frac{\Delta p}{p} \right| + \left| 2 \frac{\Delta q}{q} \right| + \left| 3 \frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{1}{2} \frac{\Delta s}{s} \right|$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ: $\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3\%$,$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 2\%$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta C}{C} \times 100 = (1 \times 1\%) + (2 \times 2\%) + (3 \times 3\%) + (0.5 \times 2\%)$.
$= 1\% + 4\% + 9\% + 1\% = 15\%$.
આમ,$C$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $15\%$ છે.

(C) રાશિ $Q = X^{-2} Y^{\frac{3}{2}} Z^{-\frac{2}{5}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta Q}{Q} = |-2| \frac{\Delta X}{X} + |\frac{3}{2}| \frac{\Delta Y}{Y} + |-\frac{2}{5}| \frac{\Delta Z}{Z}$
આપેલ સાપેક્ષ ત્રુટિઓ $\frac{\Delta X}{X} = 0.1$,$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.2$,અને $\frac{\Delta Z}{Z} = 0.5$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 2(0.1) + \frac{3}{2}(0.2) + \frac{2}{5}(0.5)$
$\frac{\Delta Q}{Q} = 0.2 + 0.3 + 0.2$
$\frac{\Delta Q}{Q} = 0.7$

(C) આપેલ સંબંધ: $P = a^3 b^2 c^{-1} d^{-1/2}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{\Delta P}{P} = 3 \left( \frac{\Delta a}{a} \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \right) + 1 \left( \frac{\Delta c}{c} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \right)$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $(1 \%, 3 \%, 2 \%, 4 \%)$ મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3(1 \%) + 2(3 \%) + 1(2 \%) + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$= 3 \% + 6 \% + 2 \% + 2 \% = 13 \%$.

(A) આપેલ છે: $A = 2.5 \ ms^{-1}$,$\Delta A = 0.5 \ ms^{-1}$ અને $B = 0.10 \ s$,$\Delta B = 0.01 \ s$.
આપણે ગુણાકાર $X = AB$ શોધવાનો છે.
$X = 2.5 \times 0.10 = 0.25 \ m$.
ગુણાકારમાં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta X}{0.25} = \frac{0.5}{2.5} + \frac{0.01}{0.10}$.
$\frac{\Delta X}{0.25} = 0.2 + 0.1 = 0.3$.
$\Delta X = 0.3 \times 0.25 = 0.075$.
સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં લેતા,$\Delta X \approx 0.08 \ m$.
તેથી,$AB = (0.25 \pm 0.08) \ m$.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $KE$ અને તેના દળ $m$ તથા વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે: $\frac{\Delta KE}{KE} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta p}{p}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ: $\frac{\Delta KE}{KE} \% = \frac{\Delta m}{m} \% + 2 \left( \frac{\Delta p}{p} \% \right)$.
અહીં આપેલ છે કે $\frac{\Delta m}{m} \% = 1 \%$ અને $\frac{\Delta p}{p} \% = 2 \%$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta KE}{KE} \% = 1 \% + 2(2 \%) = 1 \% + 4 \% = 5 \%$.
આમ,ગતિઊર્જાના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $5 \%$ છે.

(C) રેન્ડમ ભૂલો એ પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં થતા અનિશ્ચિત ફેરફારો છે.
આ ભૂલો ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે,તેથી મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો લેવાથી તે એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,રેન્ડમ ભૂલને ઘટાડવાની સૌથી અસરકારક પદ્ધતિ એ છે કે પ્રયોગનું ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવું અને તમામ અવલોકિત પરિણામોની અંકગણિતીય સરેરાશ (mean) લેવી.

(D) આપેલ સૂત્ર $P = \frac{x^3 y}{z^2}$ છે.
$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta P}{P} = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \right) + 1 \left( \frac{\Delta y}{y} \right) + 2 \left( \frac{\Delta z}{z} \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 0.6 \%$,$\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 1.3 \%$ છે.
આ કિંમતોને પ્રતિશત ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3(0.6 \%) + 1(3 \%) + 2(1.3 \%)$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 1.8 \% + 3 \% + 2.6 \%$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 7.4 \%$.
તેથી,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $7.4 \%$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = (38.6 \pm 0.2)^{\circ}C$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = (82.3 \pm 0.3)^{\circ}C$ છે.
તાપમાનમાં થયેલો વધારો $\Delta T$ એ $\Delta T = T_2 - T_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta T = 82.3 - 38.6 = 43.7^{\circ}C$.
જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,તાપમાનમાં થયેલા વધારામાં ત્રુટિ $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2$ થશે.
$\Delta(\Delta T) = 0.2 + 0.3 = 0.5^{\circ}C$.
આમ,યોગ્ય ત્રુટિ મર્યાદા સાથે તાપમાનમાં થયેલો વધારો $(43.7 \pm 0.5)^{\circ}C$ છે.

(A) પગલું $1$: સરેરાશ સમય $(T_{mean})$ ની ગણતરી કરો.
$T_{mean} = \frac{30 + 32 + 35 + 35}{4} = \frac{132}{4} = 33 \ s$.
પગલું $2$: નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ $(\Delta T_i = |T_i - T_{mean}|)$ ની ગણતરી કરો.
$\Delta T_1 = |30 - 33| = 3 \ s$
$\Delta T_2 = |32 - 33| = 1 \ s$
$\Delta T_3 = |35 - 33| = 2 \ s$
$\Delta T_4 = |35 - 33| = 2 \ s$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $(\Delta T_{mean})$ ની ગણતરી કરો.
$\Delta T_{mean} = \frac{3 + 1 + 2 + 2}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$.
પગલું $4$: પરિણામને $T_{mean} \pm \Delta T_{mean}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો સરેરાશ સમય $(33 \pm 2) \ s$ છે.

(B) સમઘનની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર: $\rho = \frac{M}{L^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ સમઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \left( \frac{\Delta L}{L} \right)$ મળે છે.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) = 5 \%$ અને લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) = 6 \%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
ઘનતામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$.
ઘનતામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 5 \% + 3 \times (6 \%) = 5 \% + 18 \% = 23 \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સંબંધ $A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ માટે સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} = \alpha \frac{\Delta B}{B} + \beta \frac{\Delta C}{C} + \gamma \frac{\Delta D}{D} + \delta \frac{\Delta E}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ.
તેથી,$A$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right)_{max} = \alpha \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \beta \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + \gamma \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right) + \delta \left( \frac{\Delta E}{E} \times 100 \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $b\%, c\%, d\%$ અને $e\%$ મૂકતા,આપણને મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $(\alpha b + \beta c + \gamma d + \delta e) \%$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: ગોળાના કદનું સૂત્ર યાદ કરો.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
પગલું $2$: ત્રુટિના પ્રસરણનો નિયમ લાગુ કરો.
જો કોઈ ભૌતિક રાશિ $Q$ એ $x$ પર $Q = k \cdot x^n$ મુજબ આધાર રાખતી હોય,તો સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} = n \cdot \frac{\Delta x}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \% = n \cdot \left( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \% \right)$ થાય.
પગલું $3$: આ નિયમ કદના સૂત્ર માટે લાગુ કરો.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,કદ $V$ એ $r^3$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(V \propto r^3)$.
તેથી,$V$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\Delta V \% = 3 \cdot \Delta r \%$ થશે.
પગલું $4$: આપેલ કિંમત મૂકો.
આપેલ છે કે $\Delta r \% = 2 \%$.
તેથી,$\Delta V \% = 3 \times 2 \% = 6 \%$.

(A) આવર્તકાળનું સૂત્ર: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $T^2 = 4 \pi^2 \frac{\ell}{g}$,જેનો અર્થ છે $g = 4 \pi^2 \frac{\ell}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે: $\ell = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$,$\Delta \ell = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$.
તેથી,$\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.001}{1} = 0.001$.
$100$ દોલનો માટેનો સમય $t = 100 \times T = 100 \times 2 = 200 \text{ s}$.
$100$ દોલનો માપવામાં ત્રુટિ $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
આવર્તકાળ $T$ માં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{0.1}{100} = 0.001 \text{ s}$.
તેથી,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.001}{2} = 0.0005$.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 2(0.0005) = 0.001 + 0.001 = 0.002$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.002 \times 100 = 0.2 \%$.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઝડપ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,ગતિઊર્જામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ અને ઝડપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= (3 \%) + 2 \times (4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
તેથી,ગતિઊર્જાના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $11 \%$ છે.

(D) રેન્ડમ ભૂલો અનિયમિત હોય છે અને પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં અણધારી વધઘટ અથવા અવલોકન પૂર્વગ્રહને કારણે થાય છે.
$1$. થર્મોમીટરનું અયોગ્ય કેલિબ્રેશન એ વ્યવસ્થિત (systematic) ભૂલ છે.
$2$. વોલ્ટમીટરમાં $1 \mu V$ ની શૂન્ય ભૂલ એ વ્યવસ્થિત ભૂલ છે.
$3$. વિદ્યાર્થી દ્વારા સતત માપન ભૂલ ($20^{\circ}$ ને બદલે $22^{\circ}$ માપવું) એ વ્યવસ્થિત ભૂલ છે.
$4$. વીજ પુરવઠામાં થતી વધઘટ અણધારી હોય છે અને માપનમાં રેન્ડમ ફેરફારોનું કારણ બને છે,તેથી તે રેન્ડમ ભૂલોની શ્રેણીમાં આવે છે.

(D) દબાણ $P$ એ બળ $F$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. $L$ લંબાઈ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ થાય. તેથી,$P = \frac{F}{L^2}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં બળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$ અને લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,દબાણમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2(2 \%) = 4 \% + 4 \% = 8 \%$ મળે છે.

(C) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ છે.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો:
$M = 0.3 \text{ g}, \Delta M = 0.003 \text{ g} \implies \frac{\Delta M}{M} = \frac{0.003}{0.3} = 0.01$.
$r = 0.5 \text{ mm}, \Delta r = 0.005 \text{ mm} \implies \frac{\Delta r}{r} = \frac{0.005}{0.5} = 0.01$.
$L = 6 \text{ cm}, \Delta L = 0.06 \text{ cm} \implies \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.06}{6} = 0.01$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2(0.01) + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \% = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$ થાય.

(A) દબાણ $P$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $L$ બાજુવાળી ચોરસ પ્લેટ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ થાય.
તેથી,$P = \frac{F}{A} = \frac{F}{L^2}$.
દબાણમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા,દબાણમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$ થાય.

(B) ઘનતા $\rho$ ને $\rho = \frac{M}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે સમઘન અથવા સમાન પદાર્થ માટે કદ $V = L^3$ છે,તેથી $\rho = \frac{M}{L^3}$ થાય.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3(3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
તેથી,ઘનતાના માપનમાં ત્રુટિ $13 \%$ છે.

(A) આપેલ સૂત્ર $A = \frac{pq^2}{r^2 s^4}$ છે.
$A$ માં સાપેક્ષ ભૂલનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta p}{p} + 2\frac{\Delta q}{q} + 2\frac{\Delta r}{r} + 4\frac{\Delta s}{s}$.
આપેલ ટકાવારી ભૂલો:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2 \%$
$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$
આ કિંમતોને ટકાવારી ભૂલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = (3 \%) + 2(2 \%) + 2(3 \%) + 4(1 \%)$
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 6 \% + 4 \% = 17 \%$.
તેથી,$A$ માં થતી ટકાવારી ભૂલ $17 \%$ છે.

(D) અંતર માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
$g$ ને કર્તા બનાવતા: $g = \frac{2h}{t^2}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln(g) = \ln(2) + \ln(h) - 2\ln(t)$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{\Delta g}{g} = 0 + \frac{\Delta h}{h} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ: $\left(\frac{\Delta g}{g} \times 100\right)_{max} = \left(\frac{\Delta h}{h} \times 100\right) + 2\left(\frac{\Delta t}{t} \times 100\right)$.
અહીં $h$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $e_1$ અને $t$ માં $e_2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા: $g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ = $e_1 + 2e_2$.

(C) આપેલ સંબંધ $X = a^2 b^3 c^{5/2} d^{-2}$ છે.
$X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \right) + 2 \left( \frac{\Delta d}{d} \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ: $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 2\%$,અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + 3(2\%) + \frac{5}{2}(2\%) + 2(4\%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2\% + 6\% + 5\% + 8\% = 21\%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{l^3}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3 \frac{\Delta l}{l}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ મેળવવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
અહીં $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1.5 \%$ અને $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2.5 \%$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = 1.5 \% + 3 \times (2.5 \%)$
$= 1.5 \% + 7.5 \% = 9 \%$.

(C) ઘનતા $(\rho)$ એ દળ $(M)$ અને કદ $(V)$ નો ગુણોત્તર છે. $L$ બાજુવાળા ઘન માટે,કદ $V = L^3$ થાય.
તેથી,$\rho = \frac{M}{L^3}$.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$.
અહીં દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$ અને લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3 \times (3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
આમ,ઘનતાના માપનમાં મહત્તમ ત્રુટિ $13 \%$ થશે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગુણાકાર અને ઘાત માટે ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$KE$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{\Delta KE}{KE} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta KE}{KE} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
અહીં દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 2 \%$ અને ઝડપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 3 \%$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$KE$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 2 \% + 2(3 \%) = 2 \% + 6 \% = 8 \%$.

(B) આપેલ ભૌતિક રાશિ $x = \frac{a^2 b^2}{c}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta x}{x} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c}$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 3\%$ અને $\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4\%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2(2\%) + 2(3\%) + 4\%$.
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\% + 6\% + 4\% = 14\%$.
તેથી,$x$ ના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $14\%$ છે.

(C) સાદા લોલકનો સમયગાળો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$g$ માટે ફરીથી ગોઠવતા: $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ છે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 0.5 \%$ અને સમયગાળામાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 0.2 \%$.
આ મૂલ્યોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g$ માં ટકાવારી ત્રુટિ = $0.5 \% + 2(0.2 \%) = 0.5 \% + 0.4 \% = 0.9 \%$.

(C) આપેલ સંબંધ: $Q = \frac{x^3 y^2}{z}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{\Delta Q}{Q} = 3 \frac{\Delta x}{x} + 2 \frac{\Delta y}{y} + \frac{\Delta z}{z}$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 2\%$
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 4\%$
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 3(1\%) + 2(2\%) + 1(4\%)$
$= 3\% + 4\% + 4\% = 11\%$.
તેથી,$Q$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $11\%$ છે.

(D) આપેલ છે,દળ,$m = (0.3 \pm 0.003) \text{ g}$
ત્રિજ્યા,$r = (0.5 \pm 0.005) \text{ mm}$
લંબાઈ,$l = (6 \pm 0.06) \text{ cm}$
નળાકારની ઘનતા,$\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{m}{\pi r^2 l}$
$\rho$ માં આંશિક ત્રુટિ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$
$\rho$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta r}{r} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{0.003}{0.3} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{0.005}{0.5} \times 100 \right) + \left( \frac{0.06}{6} \times 100 \right)$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 1\% + 2(1\%) + 1\% = 4\%$

(C) અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{V}{I}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો $V = 100 \text{ V}$,$\Delta V = 5 \text{ V}$,$I = 10 \text{ A}$,અને $\Delta I = 0.2 \text{ A}$ છે.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{5}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{10} \times 100 \right)$.
$= 5\% + 2\% = 7\%$.
તેથી,$R$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $7\%$ છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 3 \% + 2(4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $11 \%$ છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = (30 \pm 0.3) \ V$ અને પ્રવાહ $I = (5 \pm 0.1) \ A$.
ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R = \frac{V}{I}$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{0.3}{30} + \frac{0.1}{5}$.
$\frac{\Delta R}{R} = 0.01 + 0.02 = 0.03$.
ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3 \%$ છે.

(C) આપેલ છે: $V = 50 \text{ V}$,$\Delta V = 3 \text{ V}$ અને $I = 5 \text{ A}$,$\Delta I = 0.1 \text{ A}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$.
અવરોધ $R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{3}{50} + \frac{0.1}{5}$.
$\frac{\Delta R}{R} = 0.06 + 0.02 = 0.08$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.08 \times 100 = 8 \%$ થાય.

(A) આપેલ સંબંધ: $P = \frac{a^{1/2} \cdot b^{1/2} \cdot d^\alpha}{c^{1/2}}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \alpha \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
અહીં $a, b, c$ અને $d$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ દરેક $0.5 \%$ છે અને $P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $2 \%$ છે:
$2 = \frac{1}{2}(0.5) + \frac{1}{2}(0.5) + \alpha(0.5) + \frac{1}{2}(0.5)$.
$2 = 0.25 + 0.25 + 0.5\alpha + 0.25$.
$2 = 0.75 + 0.5\alpha$.
$0.5\alpha = 2 - 0.75 = 1.25$.
$\alpha = \frac{1.25}{0.5} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

(C) આપેલ છે કે,$a, b, c$ અને $d$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ અનુક્રમે $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$ અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 5\%$ છે.
રાશિ $P$ એ $P = \frac{a^2 b^2}{c d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \% = 2(2\%) + 2(1\%) + 3\% + 5\%$
$\frac{\Delta P}{P} \% = 4\% + 2\% + 3\% + 5\% = 14\%$
આમ,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $14\%$ છે.

(B) વ્યવસ્થિત ત્રુટિઓ (Systematic errors) એવી ત્રુટિઓ છે જે એક જ દિશામાં,કાં તો ધન અથવા ઋણ હોય છે.
સાધનગત ત્રુટિઓ (Instrumental errors) માપન સાધનની અપૂર્ણ ડિઝાઇન અથવા અયોગ્ય કેલિબ્રેશનને કારણે ઉદ્ભવે છે.
શૂન્ય ત્રુટિ એ સાધનગત ત્રુટિનું એક ઉત્તમ ઉદાહરણ છે,કારણ કે તે સાધનના અયોગ્ય કેલિબ્રેશન અથવા યાંત્રિક ખામીને કારણે થાય છે,જેના લીધે જ્યારે ઇનપુટ શૂન્ય હોય ત્યારે પણ સાધન શૂન્ય સિવાયનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
તેથી,શૂન્ય ત્રુટિ એ સાધનગત ત્રુટિઓની શ્રેણીમાં આવે છે.

(C) આપેલ છે:
$R_1 = (200 \pm 2) \Omega$
$R_2 = (400 \pm 4) \Omega$
જ્યારે અવરોધકોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_s = R_1 + R_2$
નોમિનલ મૂલ્યો માટે:
$R_{nominal} = 200 \Omega + 400 \Omega = 600 \Omega$
શ્રેણી જોડાણમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ માટે,ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે:
$\Delta R_s = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_s = (600 \pm 6) \Omega$ થાય.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $g = 4 \pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $L$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \pm 2 \%$ અને $T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \pm 3 \%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \pm 2 \% + 2 \times (\pm 3 \%) = \pm 2 \% + \pm 6 \% = \pm 8 \%$.
તેથી,$g$ ના અનુમાનમાં ત્રુટિ $\pm 8 \%$ થશે.

(B) આપેલ છે,$\Delta t_1 = (2.00 \pm 0.02) \ s$ અને $\Delta t_2 = (4.00 \pm 0.02) \ s$.
ધારો કે $T = \sqrt{(\Delta t_1)(\Delta t_2)}$.
સરેરાશ મૂલ્ય $T = \sqrt{2.00 \times 4.00} = \sqrt{8.00} \approx 2.8284 \ s$ છે.
ત્રુટિની ગણતરી માટે,$T = (\Delta t_1)^{1/2} (\Delta t_2)^{1/2}$ લો.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta t_1}{\Delta t_1} + \frac{1}{2} \frac{\Delta t_2}{\Delta t_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \left( \frac{0.02}{2.00} + \frac{0.02}{4.00} \right) = \frac{1}{2} (0.01 + 0.005) = \frac{1}{2} (0.015) = 0.0075$.
$\Delta T = 0.0075 \times 2.8284 \approx 0.02121 \ s$.
ત્રુટિને એક સાર્થક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $\Delta T \approx 0.02 \ s$ મળે છે.
જોકે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,ગણતરીમાં $0.01$ એ ત્રુટિનું સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે. $T$ ને ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $2.83 \ s$ મળે છે. તેથી,પરિણામ $(2.83 \pm 0.01) \ s$ છે.

(A) આપેલ છે કે,દળના માપનમાં ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} = 1 \%$ છે.
ઘનતાના માપનમાં ત્રુટિ $\frac{\Delta d}{d} = 2 \%$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનતા $d = \frac{m}{V}$,જ્યાં $V$ એ ઘનનું કદ છે.
કારણ કે $V = l^3$,જ્યાં $l$ એ ઘનની બાજુની લંબાઈ છે,તેથી $d = \frac{m}{l^3}$ થાય.
$l$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$l = (m \cdot d^{-1})^{1/3}$ મળે.
લંબાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta d}{d} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{3} (1 \% + 2 \%) = \frac{1}{3} (3 \%) = 1 \%$.
આમ,લંબાઈના માપનમાં ત્રુટિ $1 \%$ છે.

(A) બે અવરોધો સમાંતરમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R_P = \frac{60 \times 30}{60 + 30} = \frac{1800}{90} = 20 \ \Omega$.
ભૂલ $\Delta R_P$ શોધવા માટે,આપણે સમાંતર જોડાણની ભૂલનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ:
$\Delta R_P = R_P \left( \frac{\Delta R_1}{R_1} + \frac{\Delta R_2}{R_2} - \frac{\Delta R_1 + \Delta R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
$\Delta R_P = 20 \left( \frac{0.36}{60} + \frac{0.09}{30} - \frac{0.36 + 0.09}{60 + 30} \right)$.
$\Delta R_P = 20 \left( 0.006 + 0.003 - \frac{0.45}{90} \right)$.
$\Delta R_P = 20 \left( 0.009 - 0.005 \right) = 20 \times 0.004 = 0.08 \ \Omega$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $20 \pm 0.08 \ \Omega$ છે.

(A) પ્રવાહ માટેનું આપેલ સમીકરણ: $I = e^{1000V/T} - 1$.
અહીં $I = 11 \text{ mA}$ હોવાથી,$11 = e^{1000V/T} - 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^{1000V/T} = 12$.
પ્રવાહમાં ત્રુટિ $\Delta I$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dI}{dV} = \frac{d}{dV}(e^{1000V/T} - 1) = e^{1000V/T} \cdot \frac{1000}{T}$.
$e^{1000V/T} = 12$ અને $T = 300 \text{ K}$ મૂકતા:
$\frac{dI}{dV} = 12 \cdot \frac{1000}{300} = 12 \cdot \frac{10}{3} = 40 \text{ mA/V}$.
પ્રવાહમાં ત્રુટિ $\Delta I = \left| \frac{dI}{dV} \right| \cdot \Delta V$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\Delta V = \pm 0.01 \text{ V}$ આપેલ છે,તેથી $\Delta I = 40 \cdot 0.01 = 0.4 \text{ mA}$.
આમ,પ્રવાહમાં ત્રુટિ $\pm 0.4 \text{ mA}$ છે.