Errors of Measurement Questions in Gujarati

(B) યંગ મોડ્યુલસ માટેનું સૂત્ર $Y = \frac{MgL^3}{4bd^3\delta}$ છે।
આંશિક ત્રુટિ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{3\Delta L}{L} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{3\Delta d}{d} + \frac{\Delta \delta}{\delta}$.
આપેલ મૂલ્યો:
$M = 2 \, kg = 2000 \, g$, $\Delta M = 1 \, g$
$L = 1 \, m = 1000 \, mm$, $\Delta L = 1 \, mm$
$b = 4 \, cm = 40 \, mm$, $\Delta b = 0.1 \, mm$
$d = 0.4 \, cm = 4 \, mm$, $\Delta d = 0.01 \, mm$
$\delta = 5 \, mm$, $\Delta \delta = 0.01 \, mm$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{1}{2000} + 3 \times \frac{1}{1000} + \frac{0.1}{40} + 3 \times \frac{0.01}{4} + \frac{0.01}{5}$
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.0005 + 0.003 + 0.0025 + 0.0075 + 0.002 = 0.0155$.

(C) સાદા લોલકના સમયગાળાનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
વર્ગ કરતા અને પુનઃગોઠવતા,આપણને $g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{t}{n}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ કુલ સમય છે અને $n$ એ દોલનોની સંખ્યા છે.
સમયગાળામાં ભૂલ $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$ છે,જ્યાં $\Delta t$ એ સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપ છે.
આ કિંમત મૂકતા,સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta t}{n \cdot T} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta t}{t}$ બને છે.
બધા વિદ્યાર્થીઓ માટે $\Delta \ell = 0.1 \, cm$ અને $\Delta t = 0.1 \, s$ આપેલ છે:
વિદ્યાર્થી $1$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2 \frac{0.1}{128.0} = 0.00156 + 0.00156 = 0.00312$.
વિદ્યાર્થી $2$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2 \frac{0.1}{64.0} = 0.00156 + 0.00312 = 0.00468$.
વિદ્યાર્થી $3$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2 \frac{0.1}{36.0} = 0.005 + 0.0055 = 0.0105$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,લઘુત્તમ ભૂલ વિદ્યાર્થી $1$ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.

(D) $y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{\Delta y}{y} = 2 \frac{\Delta m}{m} + 4 \frac{\Delta r}{r} + x \frac{\Delta g}{g} + \frac{3}{2} \frac{\Delta l}{l}$
આપેલી પ્રતિશત ત્રુટિઓ છે: $\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 18$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1$,$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.5$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 4$,અને $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = p$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$18 = 2(1) + 4(0.5) + x(p) + \frac{3}{2}(4)$
$18 = 2 + 2 + xp + 6$
$18 = 10 + xp$
$xp = 8$
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$ માટે,$x = \frac{16}{3}$ અને $p = \pm \frac{3}{2}$.
$xp = \frac{16}{3} \times \frac{3}{2} = 8$.
આમ,સાચા મૂલ્યો $x = \frac{16}{3}$ અને $p = \pm \frac{3}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $z = a^{2} x^{3} y^{1/2}$.
અહીં $a$ અચળાંક હોવાથી,તેની સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta a}{a} = 0$ થાય.
$z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે: $\frac{\Delta z}{z} = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{y} \right)$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{y} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\%$ અને $\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 12\%$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 3(4\%) + \frac{1}{2}(12\%) = 12\% + 6\% = 18\%$.

(C) આપેલ સમીકરણ $Z = \frac{A^{2} B^{3}}{C^{4}}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ રાશિ $Z = \frac{A^p B^q}{C^r}$ હોય,તો તેની સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Z}{Z} = p \frac{\Delta A}{A} + q \frac{\Delta B}{B} + r \frac{\Delta C}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ નિયમનો ઉપયોગ આપેલ સમીકરણ માટે કરતા,જ્યાં $p=2$,$q=3$,અને $r=4$ છે:
$\frac{\Delta Z}{Z} = 2 \frac{\Delta A}{A} + 3 \frac{\Delta B}{B} + 4 \frac{\Delta C}{C}$.
તેથી,$Z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{2 \Delta A}{A} + \frac{3 \Delta B}{B} + \frac{4 \Delta C}{C}$ થશે.

(A) ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો:
$m = 0.6 \; g, \Delta m = 0.006 \; g$
$r = 0.5 \; mm, \Delta r = 0.005 \; mm$
$l = 4 \; cm, \Delta l = 0.04 \; cm$
પ્રતિશત ત્રુટિની ગણતરી:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{0.006}{0.6} + 2 \times \frac{0.005}{0.5} + \frac{0.04}{4} \right) \times 100$
$= (0.01 + 2 \times 0.01 + 0.01) \times 100$
$= (0.01 + 0.02 + 0.01) \times 100 = 0.04 \times 100 = 4 \%$.

(B) પગલું $1$: અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો.
$X_{mean} = \frac{1.22 + 1.23 + 1.19 + 1.20}{4} = \frac{4.84}{4} = 1.21\,mm$.
પગલું $2$: દરેક અવલોકન માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
$|\Delta X_1| = |1.22 - 1.21| = 0.01\,mm$
$|\Delta X_2| = |1.23 - 1.21| = 0.02\,mm$
$|\Delta X_3| = |1.19 - 1.21| = 0.02\,mm$
$|\Delta X_4| = |1.20 - 1.21| = 0.01\,mm$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
$\Delta X_{mean} = \frac{0.01 + 0.02 + 0.02 + 0.01}{4} = \frac{0.06}{4} = 0.015\,mm$.
પગલું $4$: પ્રતિશત ત્રુટિ શોધો.
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{\Delta X_{mean}}{X_{mean}} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.015}{1.21} \right) \times 100\% = \frac{1.5}{1.21}\% = \frac{150}{121}\%$.
આને $\frac{x}{121}\%$ સાથે સરખાવતા,$x = 150$ મળે છે.

(D) વિદ્યુત પરિપથમાં વ્યય થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = I^2 R t$ છે.
ઉષ્માના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\frac{\Delta H}{H} = 2 \left( \frac{\Delta I}{I} \right) + \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta t}{t}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીશું:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$,
$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \%$,
$\frac{\Delta t}{t} \times 100 = 3 \%$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$H$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 2(2 \%) + 1 \% + 3 \% = 4 \% + 1 \% + 3 \% = 8 \%$.

(B) ટોર્ક $(\tau)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\tau] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ભૂલના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ ભૌતિક રાશિ $X = M^a L^b T^c$ દ્વારા આપવામાં આવે,તો સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta X}{X} = a \frac{\Delta M}{M} + b \frac{\Delta L}{L} + c \frac{\Delta T}{T}$ થાય છે.
અહીં દળ,લંબાઈ અને સમયમાં પ્રતિશત ત્રુટિ દરેક $5 \%$ છે,એટલે કે $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 5 \%$,$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 5 \%$ અને $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 5 \%$.
ટોર્કમાં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = (1 \times \% M) + (2 \times \% L) + (2 \times \% T)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = 1(5 \%) + 2(5 \%) + 2(5 \%)$
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = 5 \% + 10 \% + 10 \% = 25 \%$.

(B) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g$ ને કર્તા બનાવતા,$g = 4 \pi^2 \frac{\ell}{T^2}$ મળે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\ell = 10 \ cm = 100 \ mm$ અને $\Delta \ell = 1 \ mm$.
$100$ દોલનો માટેનો કુલ સમય $t = 100 \times 0.5 \ s = 50 \ s$ છે. ઘડિયાળનું રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 1 \ s$ છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T = 0.5 \ s$ અને આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{1 \ s}{100} = 0.01 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{1 \ mm}{100 \ mm} + 2 \times \frac{0.01 \ s}{0.5 \ s} = 0.01 + 2 \times 0.02 = 0.01 + 0.04 = 0.05$.
તેથી,પ્રતિશત ત્રુટિ $0.05 \times 100 = 5 \%$ છે.
આમ,$x = 5$.

(A) $n$ અવલોકનોના અંકગણિતીય મધ્યકમાં થતી યાદચ્છિક ત્રુટિ $\Delta \bar{x} = \frac{\Delta x}{n}$ ના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ એક અવલોકનમાં થતી ત્રુટિ છે.
આપેલ છે કે $n_1 = 50$ માટે,ત્રુટિ $\Delta \bar{x}_1 = \alpha$ છે.
તેથી,$\alpha \propto \frac{1}{50}$.
$n_2 = 150$ માટે,ત્રુટિ $\Delta \bar{x}_2$ છે.
તેથી,$\Delta \bar{x}_2 \propto \frac{1}{150}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Delta \bar{x}_2}{\alpha} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\Delta \bar{x}_2 = \frac{\alpha}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $x = 10.0 \pm 0.1$ અને $y = 10.0 \pm 0.1$.
આપણે $z = 2x - 2y$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,સરેરાશ કિંમતની ગણતરી કરો: $z = 2(10.0) - 2(10.0) = 20.0 - 20.0 = 0.0$.
ત્યારબાદ,$z$ માં નિરપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો. $z = ax - by$ સમીકરણ માટે,નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta z = |a|\Delta x + |b|\Delta y$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 2$ અને $b = 2$ છે,તેથી $\Delta z = 2(0.1) + 2(0.1) = 0.2 + 0.2 = 0.4$.
આમ,$2x - 2y = 0.0 \pm 0.4$ થાય.

(A) નળાકારનું કદ $V = \pi r^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ મૂલ્યો:
લંબાઈ $l = 100.0 \,cm = 1000 \,mm$,$\Delta l = 1 \,mm$.
ત્રિજ્યા $r = 1.00 \,cm = 10.0 \,mm$,$\Delta r = 0.1 \,mm$.
આ મૂલ્યોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = 2 \times \left( \frac{0.1}{10.0} \right) + \left( \frac{1}{1000} \right)$.
$\frac{\Delta V}{V} = 2 \times (0.01) + 0.001 = 0.02 + 0.001 = 0.021$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.021 \times 100 = 2.1 \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સાપેક્ષ ત્રુટિ એ નિરપેક્ષ ત્રુટિ (લઘુત્તમ માપશક્તિ) અને માપેલ મૂલ્યનો ગુણોત્તર છે.
વિદ્યાર્થી $A$ માટે:
માપેલ લંબાઈ $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ $\Delta L_A = 0.5 \,cm$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $RE_A = \frac{\Delta L_A}{L} = \frac{0.5}{950} \approx 0.000526$.
વિદ્યાર્થી $B$ માટે:
માપેલ લંબાઈ $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. મીટર સ્કેલ $(100 \,cm)$ નો ઉપયોગ થતો હોવાથી,માપન $9.5$ વખત (અંદાજે $10$ રીડિંગ) પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta L_B = 10 \times 0.1 \,cm = 1.0 \,cm$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $RE_B = \frac{1.0}{950} \approx 0.00105$.
વિદ્યાર્થી $C$ માટે:
માપેલ લંબાઈ $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. ફૂટ સ્કેલ આશરે $30.48 \,cm$ ની હોય છે. રીડિંગની સંખ્યા $n = \frac{950}{30.48} \approx 31.17 \approx 32$ રીડિંગ.
કુલ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta L_C = 32 \times 0.05 \,cm = 1.6 \,cm$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $RE_C = \frac{1.6}{950} \approx 0.00168$.
સાપેક્ષ ત્રુટિઓની સરખામણી કરતા,$RE_A < RE_B < RE_C$. તેથી,વિદ્યાર્થી $A$ સૌથી ઓછી સાપેક્ષ ત્રુટિ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: $u = 1.11 \pm 0.01 \, m/s$,$t = 1.01 \pm 0.1 \, s$,$g = 9.8 \pm 0.1 \, m/s^2$.
અંતર $s = ut - \frac{1}{2} gt^2$ છે.
ગુણાકાર અને ભાગાકારમાં,પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા = સૌથી ઓછી સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા જેટલી હોય છે.
સરવાળા અને બાદબાકીમાં,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા = સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાન ધરાવતી સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ ડેટા મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ પછી માત્ર એક જ અંક હોવો જોઈએ. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ચોકસાઈ (precision) એટલે એક જ રાશિ માટેના વિવિધ માપનો એકબીજાની કેટલા નજીક છે તે. તે ડેટા પોઈન્ટ્સના ફેલાવા અથવા વિતરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
ઓછો ફેલાવો (સાંકડો વિતરણ વક્ર) ઉચ્ચ ચોકસાઈ સૂચવે છે,કારણ કે માપનો એકબીજા સાથે વધુ સુસંગત હોય છે.
આપેલા આલેખોને જોતા,કિસ્સા $I$ માટેનો વિતરણ વક્ર સૌથી સાંકડો છે,જેનો અર્થ છે કે માપનો એકબીજાની ખૂબ નજીક છે.
તેથી,સૌથી વધુ ચોકસાઈ ધરાવતું માપન $I$ છે.

(D) યાદચ્છિક ભૂલો સાચા મૂલ્ય (બેસ્ટ-ફિટ લાઇન) ની આસપાસ ધન અને ઋણ બંને દિશામાં વધઘટ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. વ્યવસ્થિત ભૂલો ડેટા પોઈન્ટ્સના સાચા મૂલ્યથી ચોક્કસ દિશામાં (બધા ધન અથવા બધા ઋણ) સતત વિચલન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.
વિદ્યાર્થી $P$ માટે,ડેટા પોઈન્ટ્સ બેસ્ટ-ફિટ લાઇનથી ઉપર અને નીચે બંને તરફ વિખરાયેલા છે. આ યાદચ્છિક ભૂલોની હાજરી સૂચવે છે. જો કે,બેસ્ટ-ફિટ લાઇન પોતે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી નથી,જે સતત ઓફસેટ અથવા પૂર્વગ્રહ સૂચવે છે,જે વ્યવસ્થિત ભૂલની હાજરી દર્શાવે છે.
વિદ્યાર્થી $Q$ માટે,ડેટા પોઈન્ટ્સ સતત બેસ્ટ-ફિટ લાઇનથી ઉપર ખસેડાયેલા છે,જે વ્યવસ્થિત ભૂલ સૂચવે છે. લાઇન આસપાસનું વિખેરણ ન્યૂનતમ છે,જે નહિવત યાદચ્છિક ભૂલ સૂચવે છે.
તેથી,વિદ્યાર્થી $P$ પાસે યાદચ્છિક અને વ્યવસ્થિત બંને ભૂલો છે.

(C) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 3.95 \,m$,$\Delta l = 0.05 \,m$. પહોળાઈ $b = 3.05 \,m$,$\Delta b = 0.05 \,m$.
ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = 3.95 \times 3.05 = 12.0475 \,m^2 \approx 12.05 \,m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta A = A \times \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} \right) = 12.0475 \times \left( \frac{0.05}{3.95} + \frac{0.05}{3.05} \right)$.
$\Delta A = 12.0475 \times (0.012658 + 0.016393) = 12.0475 \times 0.029051 \approx 0.35 \,m^2$.
યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$\Delta A \approx 0.34 \,m^2$ મળે છે.
આમ,ફ્લોરનું ક્ષેત્રફળ $12.05 \pm 0.34 \,m^2$ છે.

(C) આપેલ છે,$F = 10.0 \pm 0.2 \, N$ અને $a = 1.00 \pm 0.01 \, m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $m = F/a$.
દળનું સરેરાશ મૂલ્ય ગણતા: $m = 10.0 / 1.00 = 10.0 \, kg$.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta a}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta m}{m} = \frac{0.2}{10.0} + \frac{0.01}{1.00} = 0.02 + 0.01 = 0.03$.
હવે,દળમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરતા: $\Delta m = 0.03 \times m = 0.03 \times 10.0 = 0.3 \, kg$.
તેથી,પદાર્થનું દળ $m = 10.0 \pm 0.3 \, kg$ છે.

(C) ગોળાનું દળ $m$ એ ગોળાના કદને એકમ કોષના કદ વડે ભાગીને,તેને એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા અને એક પરમાણુના દળ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$m = \frac{\frac{4}{3} \pi (d/2)^3}{a^3} \times 8 \times \frac{M}{N_A}$
$M$ અને $N_A$ અચળ હોવાથી,સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta m}{m} = 3 \frac{\Delta d}{d} + 3 \frac{\Delta a}{a}$
આપેલ છે કે $\Delta d = 0.2 \,nm = 0.2 \times 10^{-9} \,m$ અને $d = 9.4 \,cm = 9.4 \times 10^{-2} \,m$.
$\frac{\Delta d}{d} = \frac{0.2 \times 10^{-9}}{9.4 \times 10^{-2}} \approx 2.127 \times 10^{-9}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta a}{a} = 2 \times 10^{-9}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta m}{m} = 3(2.127 \times 10^{-9}) + 3(2 \times 10^{-9})$
$\frac{\Delta m}{m} = 6.381 \times 10^{-9} + 6 \times 10^{-9} = 12.381 \times 10^{-9} \approx 1.2 \times 10^{-8}$.

(D) દબાણ $P$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $L$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ થાય.
તેથી,$P = \frac{F}{L^2}$.
દબાણમાં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ છે.
આપેલ છે કે,$F$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$ અને $L$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,દબાણમાં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2 \times (2 \%) = 4 \% + 4 \% = 8 \%$ થાય.

(B) સ્ટોપ વોચનું લઘુત્તમ માપ એ કુલ સમયના માપનમાં રહેલી નિરપેક્ષ ત્રુટિ છે,તેથી $\Delta t = \frac{1}{5} \text{ s} = 0.2 \text{ s}$.
$20$ દોલનો માટે માપવામાં આવેલ કુલ સમય $t = 25 \text{ s}$ છે.
એક દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{t}{20} = \frac{25}{20} = 1.25 \text{ s}$ થાય.
આવર્તકાળ $T$ માં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{20} = \frac{0.2}{20} = 0.01 \text{ s}$ છે.
આવર્તકાળના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 \%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.01}{1.25} \times 100 \% = \frac{1}{125} \times 100 \% = 0.8 \%$.

(B) સૌથી સચોટ માપન તે છે જેમાં ન્યૂનતમ ભૂલ (minimum error) હોય.
ધારો કે વાસ્તવિક લંબાઈ $L = 6.28 \,cm$ છે.
દરેક વિકલ્પ માટે નિરપેક્ષ ભૂલ $|L_{measured} - L_{actual}|$ ની ગણતરી કરીએ:
વિકલ્પ $A$ માટે: $|6 - 6.28| = 0.28 \,cm$
વિકલ્પ $B$ માટે: $|6.5 - 6.28| = 0.22 \,cm$
વિકલ્પ $C$ માટે: $|5.99 - 6.28| = 0.29 \,cm$
વિકલ્પ $D$ માટે: $|6.0 - 6.28| = 0.28 \,cm$
ભૂલોની સરખામણી કરતા,$0.22 \,cm$ એ ન્યૂનતમ ભૂલ છે.
તેથી,$6.5 \,cm$ નું માપન સૌથી સચોટ છે.

(A) સ્ક્રૂ ગેજની લઘુત્તમ માપશક્તિ એ માપનમાં રહેલી નિરપેક્ષ ત્રુટિ $(\Delta L)$ દર્શાવે છે,જે $0.001 \,cm$ છે.
માપેલું મૂલ્ય $(L)$ $0.802 \,cm$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{\Delta L}{L} \right) \times 100 \%$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{0.001}{0.802} \right) \times 100 \%$.
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = 0.00124688 \times 100 \% = 0.124688 \%$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને આશરે $0.125 \%$ મળે છે.

(C) ઘનનું કદ $V$ એ બાજુની લંબાઈ $L$ સાથે $V = L^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $V = L^n$ હોય,તો સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = n \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 3$ અને બાજુની લંબાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} = 0.027$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = 3 \times 0.027 = 0.081$.
તેથી,તેના કદના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $0.081$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
શૂન્ય ત્રુટિ એ ક્રમબદ્ધ ત્રુટિનો એક ભાગ છે કારણ કે તે સાધનની રચના અથવા કેલિબ્રેશનમાં રહેલી જાણીતી ખામીને કારણે ઉદ્ભવે છે.
ક્રમબદ્ધ ત્રુટિઓ એવી અચોક્કસતાઓ છે જે પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે અને હંમેશા એક જ દિશામાં હોય છે. શૂન્ય ત્રુટિને નિર્ધારિત કરી શકાય છે અને તેને સુધારી શકાય છે,તેથી તે આ શ્રેણીમાં આવે છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક દળ $m_1 = 20.23 \,g \pm 0.01 \,g$
દૂર કરેલ દળ $m_2 = 5.75 \,g \pm 0.01 \,g$
ધારો કે બાકી રહેલ દળ $m = m_1 - m_2$ છે.
બાકી રહેલા દળનું મૂલ્ય $20.23 - 5.75 = 14.48 \,g$ થાય.
ક્ષતિના પ્રસરણના નિયમો મુજબ,જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે,ત્યારે તેમની નિરપેક્ષ ક્ષતિઓનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,બાકી રહેલા દળમાં નિરપેક્ષ ક્ષતિ $\Delta m = \Delta m_1 + \Delta m_2 = 0.01 \,g + 0.01 \,g = 0.02 \,g$ થશે.
આમ,બાકી રહેલા પાવડરનું દળ $(14.48 \pm 0.02) \,g$ છે.

(A) રેન્ડમ ભૂલો અનિયમિત હોય છે અને પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં અણધાર્યા ફેરફારોને કારણે થાય છે.
રેન્ડમ ભૂલો આંકડાકીય સ્વરૂપની હોવાથી,તેને મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો લઈને અને તેમની સરેરાશ (અંકગણિતીય મધ્યક) શોધીને ઘટાડી શકાય છે.
બીજી તરફ,વ્યવસ્થિત ભૂલો (Systematic errors) શૂન્ય ભૂલ સુધારીને અથવા પ્રયોગની યોગ્ય પદ્ધતિઓ અનુસરીને ઘટાડવામાં આવે છે.
તેથી,રેન્ડમ ભૂલો ઘટાડવાની સાચી રીત મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો લેવાની છે.

(A) કોઈપણ રાશિ $x$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta x}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta x$ માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ રાશિ $x$ ના મૂલ્યના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સૌથી નાનું મૂલ્ય ધરાવતી રાશિ અંતિમ પરિણામમાં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિમાં ફાળો આપશે.
ગણતરી કરેલા પરિણામમાં એકંદર અનિશ્ચિતતા ઘટાડવા માટે,સૌથી નાનું મૂલ્ય ધરાવતી રાશિને સૌથી વધુ ચોકસાઈ અને સચોટતા સાથે માપવી આવશ્યક છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) યાદચ્છિક ત્રુટિઓ એ પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં થતા અનિશ્ચિત ફેરફારો છે જે માપન દરમિયાન ઉદ્ભવે છે. આ ત્રુટિઓને મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો લઈને અને તેમનો અંકગણિતીય મધ્યક શોધીને ઘટાડી શકાય છે,કારણ કે ધન અને ઋણ વિચલનો એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
બીજી તરફ,ક્રમબદ્ધ ત્રુટિઓ એ ખામીયુક્ત સાધનો અથવા ખામીયુક્ત પ્રાયોગિક ડિઝાઇન (જેમ કે ખામીયુક્ત વજનિયાંનો ઉપયોગ કરવો) સાથે સંકળાયેલી સતત અને પુનરાવર્તિત ત્રુટિઓ છે. આ ત્રુટિઓને અવલોકનોની સંખ્યા વધારીને ઘટાડી શકાતી નથી કારણ કે તે તમામ માપનને એક જ દિશામાં વિચલિત કરે છે.
તેથી,મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો લેવાથી માત્ર યાદચ્છિક ત્રુટિઓ જ ઘટશે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$g$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ આ મુજબ છે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $\alpha = \frac{\Delta L}{L}$ અને $\beta = \frac{\Delta T}{T}$ આપેલ હોવાથી,$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\alpha + 2\beta$ થાય.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ: $\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = (\alpha + 2\beta) \times 100$.

(A) આપેલ છે કે,ક્ષેત્રફળ $A = (100 \pm 0.2) \, m^2$.
બગીચો ચોરસ હોવાથી,$A = l^2$,જ્યાં $l$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
બાજુની લંબાઈની ગણતરી કરતા: $l = \sqrt{A} = \sqrt{100} = 10 \, m$.
ક્ષતિના પ્રસરણના સૂત્ર $A = l^2$ માટે,આપણી પાસે $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.2}{100} = 2 \times \frac{\Delta l}{10}$.
$\Delta l$ માટે ઉકેલતા: $\Delta l = \frac{0.2 \times 10}{100 \times 2} = \frac{2}{200} = 0.01 \, m$.
તેથી,બગીચાની બાજુની લંબાઈ $(10 \pm 0.01) \, m$ છે.

(C) ગુરુત્વપ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $L = 10 \, cm$,$\Delta L = 0.1 \, cm$,$T = 100 \, s$,અને $\Delta T = 1 \, s$.
$g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{0.1}{10} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{1}{100} \times 100 \right)$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= 1\% + 2\% = 3\%$.
તેથી,$g$ ના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $3\%$ છે.

(C) સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\Delta R}{R^2} = \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2}$ મળે છે.
પ્રથમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ ની ગણતરી કરીએ:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6 \ \Omega$.
હવે,ત્રુટિના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\Delta R = R^2 \left( \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2} \right) = 6^2 \left( \frac{0.5}{10^2} + \frac{0.5}{15^2} \right) = 36 \left( \frac{0.5}{100} + \frac{0.5}{225} \right)$.
$\Delta R = 36 \left( 0.005 + 0.00222 \right) = 36 \times 0.00722 = 0.26 \ \Omega$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \frac{0.26}{6} \times 100 = 4.33 \%$ થાય છે.

(C) નળાકાર તારની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ મળે.
આપેલ કિંમતો $m = 0.4 \, g, \Delta m = 0.01 \, g$,$l = 8 \, cm, \Delta l = 0.04 \, cm$,અને $r = 6 \, mm, \Delta r = 0.03 \, mm$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{0.4} + 2 \left( \frac{0.03}{6} \right) + \frac{0.04}{8}$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.025 + 0.01 + 0.005 = 0.04$.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,$100 \%$ વડે ગુણતા:
$\text{ટકાવારી ત્રુટિ} = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$.

(A) ભૌતિક રાશિ માટેનું સૂત્ર $P = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100 \%$ વડે ગુણીશું:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = \left( 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100 \%$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4 \%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = 2(1 \%) + 3(2 \%) + 3 \% + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$= 2 \% + 6 \% + 3 \% + 2 \% = 13 \%$.

(A) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
પ્રથમ,ગતિઊર્જાનું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો:
$K = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 1000 \ J$.
હવે,ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમ મુજબ સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધો:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta K}{1000} = \frac{0.5}{5} + 2 \times \frac{0.4}{20} = 0.1 + 0.04 = 0.14$.
નિપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta K$ શોધો:
$\Delta K = 1000 \times 0.14 = 140 \ J$.
તેથી,ગતિઊર્જા $(1000 \pm 140) \ J$ થશે.

(D) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 \ell}$ છે.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100\% = \left( \frac{0.002}{0.4} + 2 \times \frac{0.001}{0.3} + \frac{0.02}{5} \right) \times 100\%$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{0.002}{0.4} \times 100\% = 0.5\%$.
$2 \times \frac{0.001}{0.3} \times 100\% = \frac{2}{3}\% \approx 0.67\%$.
$\frac{0.02}{5} \times 100\% = 0.4\%$.
આ ત્રુટિઓનો સરવાળો કરતા:
$0.5\% + 0.67\% + 0.4\% = 1.57\% \approx 1.6\%$.

(A) પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં અણધાર્યા ફેરફારો,જેમ કે તાપમાન,વોલ્ટેજ સપ્લાય અથવા યાંત્રિક ધ્રુજારીને કારણે ઉદ્ભવતી ભૂલોને રેન્ડમ ભૂલો (Random errors) કહેવામાં આવે છે. આ ભૂલો અનિયમિત રીતે થાય છે અને સ્વભાવે રેન્ડમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ધન અથવા ઋણ બંને હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ છે,$R = \frac{V}{I}$.
ભાગાકાર માટેની ત્રુટિ વિશ્લેષણના નિયમો મુજબ,$R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$
આપેલ કિંમતો $V = 200 \ V$,$\Delta V = 5 \ V$,$I = 20 \ A$,અને $\Delta I = 0.2 \ A$ મૂકતા:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{5}{200} + \frac{0.2}{20}$
$\frac{\Delta R}{R} = 0.025 + 0.01 = 0.035$
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણાકાર કરો:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.035 \times 100 = 3.5 \%$

(C) આપેલ સંબંધ: $Q = \frac{a^4 b^3}{c^2}$.
$Q$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 4 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $(3 \%, 4 \%, 5 \%)$ મૂકતા:
$\% \text{ error in } Q = 4(3 \%) + 3(4 \%) + 2(5 \%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 12 \% + 12 \% + 10 \% = 34 \%$.
આમ,$Q$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $34 \%$ છે.

(C) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g$ ને કર્તા બનાવતા,$g = \frac{4 \pi^2 \ell}{T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell = 20 \ cm$ અને $\Delta \ell = 2 \ mm = 0.2 \ cm$ છે.
$50$ દોલનો માટે કુલ સમય $40 \ s$ છે,તેથી $T = \frac{40}{50} = 0.8 \ s$. રિઝોલ્યુશન $\Delta T_{total} = 1 \ s$ હોવાથી,$\Delta T = \frac{1}{50} = 0.02 \ s$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.2}{20} + 2 \left( \frac{0.02}{0.8} \right)$.
$\frac{\Delta g}{g} = 0.01 + 2 \left( 0.025 \right) = 0.01 + 0.05 = 0.06$.
ટકાવારી ત્રુટિ $N = 0.06 \times 100 = 6 \%$.

(B) અવરોધકતાનું સૂત્ર $\rho = R \frac{A}{l} = R \frac{\pi r^2}{l}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta R}{R} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{10}{100} + 2 \times \frac{0.05}{0.35} + \frac{0.2}{15}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.1 + 2 \times \frac{1}{7} + \frac{0.2}{15} = 0.1 + 0.2857 + 0.0133 = 0.399$.
ટકામાં ફેરવતા: $0.399 \times 100 \% = 39.9 \%$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે: દળમાં ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \% = -1 \%$ અને સમયમાં ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \% = 2 \%$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યો લઈએ છીએ: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |\frac{\Delta m}{m} \%| + 2 |\frac{\Delta T}{T} \%|$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |-1 \%| + 2(2 \%) = 1 \% + 4 \% = 5 \%$.

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = 49000 \frac{M}{\ell}$ છે.
$Y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો $M = 500 \text{ g}$,$\Delta M = 5 \text{ g}$,$\ell = 2 \text{ cm}$,અને $\Delta \ell = 0.02 \text{ cm}$ છે.
આ મૂલ્યોને સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{5}{500} + \frac{0.02}{2}$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.01 + 0.01 = 0.02$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે:
$\% \text{ error} = \frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2 \%$.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $g = 4\pi^2 \frac{\ell}{T^2}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $T = \frac{t}{n}$ હોવાથી,જ્યાં $t$ એ કુલ સમય અને $n$ એ દોલનોની સંખ્યા છે,તેથી $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$.
આમ,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta t/n}{t/n} = \frac{\Delta t}{t}$.
તેથી,$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
આપેલ છે કે $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$ અને $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
વિદ્યાર્થી $I$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{128.0}) = 0.00156 + 0.00156 = 0.00312$.
વિદ્યાર્થી $II$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{64.0}) = 0.00156 + 0.00312 = 0.00468$.
વિદ્યાર્થી $III$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2(\frac{0.1}{36.0}) = 0.005 + 0.0055 = 0.0105$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$E_I$ ન્યૂનતમ છે.

(B) આવર્તકાળના અવલોકિત મૂલ્યો $T_1=0.52 \text{ s}, T_2=0.56 \text{ s}, T_3=0.57 \text{ s}, T_4=0.54 \text{ s}, T_5=0.59 \text{ s}$ છે.
આવર્તકાળનું સરેરાશ મૂલ્ય $T = \frac{0.52+0.56+0.57+0.54+0.59}{5} = \frac{2.78}{5} = 0.556 \text{ s} \approx 0.56 \text{ s}$ છે.
આવર્તકાળમાં સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta T_m = \frac{|0.56-0.52| + |0.56-0.56| + |0.56-0.57| + |0.56-0.54| + |0.56-0.59|}{5} = \frac{0.04+0+0.01+0.02+0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \text{ s}$ છે.
$T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta T_m}{T} \times 100 = \frac{0.02}{0.56} \times 100 \approx 3.57 \%$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$r$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10 \%$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$T^2 = \frac{4 \pi^2 \cdot 7(R-r)}{5g}$ પરથી,આપણને $g = \frac{28 \pi^2 (R-r)}{5 T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta R + \Delta r}{R-r} + 2 \frac{\Delta T_m}{T}$ છે.
$g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{1+1}{60-10} \right) \times 100 + 2 \times 3.57 \% = \frac{2}{50} \times 100 + 7.14 \% = 4 \% + 7.14 \% = 11.14 \% \approx 11 \%$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(D)$ સાચા છે.

(A) આપેલ છે: $u = 10 \pm 0.1 \text{ cm}$,$v = 20 \pm 0.2 \text{ cm}$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$u$ ઋણ લેતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
$f$ ની ગણતરી: $\frac{1}{f} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{3}{20} \implies f = \frac{20}{3} \text{ cm}$.
લેન્સના સૂત્રનું વિકલન કરતા: $\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{df}{f^2} = \frac{0.2}{(20)^2} + \frac{0.1}{(10)^2} = \frac{0.2}{400} + \frac{0.1}{100} = \frac{0.6}{400}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{df}{f} = f^2 \times \frac{0.6}{400} = \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times \frac{0.6}{400} = \frac{400}{9} \times \frac{0.6}{400} = \frac{0.6}{9} = \frac{1}{15}$.
ટકાવારી ત્રુટિ = $\frac{df}{f} \times 100 = \frac{20}{3} \times \left( \frac{0.2}{400} + \frac{0.1}{100} \right) \times 100 = 1 \%$.
તેથી,$n = 1$.

(B) કુલ સમય $T$ એ પથ્થરને નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ અને અવાજને પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$ નો સરવાળો છે.
$T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g}} + \frac{L}{v}$
આપેલ છે $L = 20 \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$,અને $v = 300 \ ms^{-1}$.
$T$ નું $L$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dT}{dL} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{gL}} + \frac{1}{v} = \frac{1}{\sqrt{2gL}} + \frac{1}{v}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dT}{dL} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10 \times 20}} + \frac{1}{300} = \frac{1}{20} + \frac{1}{300} = \frac{15+1}{300} = \frac{16}{300} \ s/m$
અહીં $\delta T = 0.01 \ s$ હોવાથી,$\delta L = \delta T / (dT/dL) = 0.01 \times (300/16) = 3/16 \ m = 0.1875 \ m$.
આંશિક ત્રુટિ $\frac{\delta L}{L} = \frac{0.1875}{20} = 0.009375$.
ટકાવારી ત્રુટિ = $0.009375 \times 100 \% \approx 0.9375 \% \approx 1 \%$.

(D) સમયગાળો $T = \frac{t}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t = 40 \ s$ અને $n = 20$ છે.
સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપન $\Delta t = 1 \ s$ આપેલ છે.
સમયગાળા $T$ માં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \ s}{20} = 0.05 \ s$ થાય. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = 2 \times \frac{0.05}{2} = 0.05$.
$g$ માં ટકાવારી ત્રુટિ $= \frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.05 \times 100 = 5 \%$ થાય. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.