Errors of Measurement Questions in Gujarati

(C) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V}$ છે.
ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત માપનની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}$.
આપેલ છે: $m = 22.42 \; g$,$\Delta m = 0.01 \; g$,$V = 4.7 \; cc$,$\Delta V = 0.1 \; cc$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{22.42} + \frac{0.1}{4.7}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.000446 + 0.021276 \approx 0.021722$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100 \%$ વડે ગુણો:
પ્રતિશત ત્રુટિ $= 0.021722 \times 100 \% \approx 2.17 \%$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની સાર્થક કિંમત મુજબ,મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ આશરે $2 \%$ છે.

(D) $g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમય માપનમાં કુલ ત્રુટિ $\Delta T_{total} = \Delta T + 0.1 \, s$ છે.
સમયગાળો $T = \frac{t}{n}$ તરીકે માપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ $n$ દોલનો માટેનો સમય છે.
તેથી,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta T_{total}}{t} = \frac{\Delta T + 0.1}{n \times T_0}$,જ્યાં $1 \, m$ ના લોલક માટે $T_0 \approx 2 \, s$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(A)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 0.03 = 0.035$
$(B)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 0.015 = 0.020$
$(C)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 0.02 = 0.025$
$(D)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 0.004 = 0.005$
કેસ $(D)$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ ન્યૂનતમ હોવાથી,માપન સૌથી સચોટ છે.

(B) આપેલ છે: અંતર $s = (13.8 \pm 0.2) \text{ m}$ અને સમય $t = (4.0 \pm 0.3) \text{ s}$.
વેગ $v = \frac{s}{t} = \frac{13.8}{4.0} = 3.45 \text{ m/s} \approx 3.5 \text{ m/s}$.
વેગમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta s}{s} + \frac{\Delta t}{t}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{0.2}{13.8} + \frac{0.3}{4.0} = 0.0145 + 0.075 = 0.0895$.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta v = v \times 0.0895 = 3.45 \times 0.0895 \approx 0.3087 \approx 0.31 \text{ m/s}$.
આમ,વેગ $v = (3.5 \pm 0.31) \text{ m/s}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ = $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 0.0895 \times 100 = 8.95\% \approx 9\%$.

(C) ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 2\%$ આપેલ છે.
ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ઘાત માટે ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 2\% = 6\%$.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = \frac{1}{2}gt^2$
$g$ ને કર્તા બનાવતા:
$g = \frac{2h}{t^2}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln g = \ln 2 + \ln h - 2\ln t$
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે વિકલન કરતા:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta h}{h} + 2\frac{\Delta t}{t}$
મહત્તમ અનુમતિપાત્ર પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right)_{\max} = \left( \frac{\Delta h}{h} \times 100 \right) + 2 \times \left( \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$
આપેલ છે કે $\frac{\Delta h}{h} \times 100 = e_1$ અને $\frac{\Delta t}{t} \times 100 = e_2$,તેથી $g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ:
$g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= e_1 + 2e_2$

(C) ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કદ $V$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 5.3 \; cm$ અને નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta r = 0.1 \; cm$ આપેલ છે.
કદમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\left( 3 \times \frac{0.1}{5.3} \right) \times 100$.

(D) $l$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ પરનું દબાણ $P$ એ $P = \frac{F}{A} = \frac{F}{l^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2\frac{\Delta l}{l}$ છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right)_{\max} = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \times \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે બળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4\%$ અને લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right)_{\max} = 4\% + 2 \times 2\% = 4\% + 4\% = 8\%$.

(C) ગુરુત્વપ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $g = 4\pi^2 \left(\frac{l}{T^2}\right)$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2\frac{\Delta T}{T}$ મળે છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\left(\frac{\Delta l}{l} \times 100\right) = 1\%$ અને આવર્તકાળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\left(\frac{\Delta T}{T} \times 100\right) = 3\%$ છે.
ત્રુટિઓ હંમેશા ઉમેરાતી હોવાથી,$g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left(\frac{\Delta l}{l} \times 100\right) + 2 \times \left(\frac{\Delta T}{T} \times 100\right)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 1\% + 2(3\%) = 1\% + 6\% = 7\%$.
તેથી,$g$ ના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $7\%$ છે.

(A) આપેલ છે: $I = (2.5 \pm 0.05) \ A$ અને $V = (10 \pm 0.1) \ V$.
અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{10}{2.5} = 4 \ \Omega$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{4} = \frac{0.1}{10} + \frac{0.05}{2.5}$.
$\frac{\Delta R}{4} = 0.01 + 0.02 = 0.03$.
$\Delta R = 4 \times 0.03 = 0.12 \ \Omega$.
તેથી,અવરોધ $(4 \pm 0.12) \ \Omega$ છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R$ એ $R = \frac{V}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે વોલ્ટેજમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3\%$ અને પ્રવાહમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 3\%$ છે.
તેથી,અવરોધમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $3\% + 3\% = 6\%$ છે.

(A) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો $l = 20.0 \text{ cm}$,$\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ છે.
$100$ દોલનો માટેનો કુલ સમય $t = 90 \text{ s}$ છે અને રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 1 \text{ s}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{t}{100} = 0.9 \text{ s}$,અને આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{1}{100} = 0.01 \text{ s}$ છે.
હવે,પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{0.1}{20.0} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{0.01}{0.9} \times 100 \right)$.
$= 0.5\% + 2 \times 1.11\% = 0.5\% + 2.22\% = 2.72\%$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3\%$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: સરેરાશ આવર્તકાળ $(T_{mean})$ ગણો:
$T_{mean} = \frac{90 + 91 + 95 + 92}{4} = \frac{368}{4} = 92\;s$.
પગલું $2$: દરેક માપન માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ ગણો:
$|\Delta T_1| = |92 - 90| = 2\;s$
$|\Delta T_2| = |92 - 91| = 1\;s$
$|\Delta T_3| = |92 - 95| = 3\;s$
$|\Delta T_4| = |92 - 92| = 0\;s$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $(\Delta T_{mean})$ ગણો:
$\Delta T_{mean} = \frac{2 + 1 + 3 + 0}{4} = \frac{6}{4} = 1.5\;s$.
પગલું $4$: લઘુત્તમ માપશક્તિ (Least count) ના આધારે રાઉન્ડિંગ:
ઘડિયાળની લઘુત્તમ માપશક્તિ $1\;s$ છે. તેથી,સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા તે $2\;s$ મળે છે.
આમ,નોંધાયેલ સરેરાશ સમય $92 \pm 2\;s$ છે.

(B) ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર: $d = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ ઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta d}{d} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$ થાય.
અહીં દળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} = 1.5\%$ અને લંબાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} = 1\%$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\Delta d}{d} = 1.5\% + 3(1\%) = 1.5\% + 3\% = 4.5\%$.
તેથી,ઘનતા નક્કી કરવામાં મહત્તમ ત્રુટિ $4.5\%$ છે.

(D) આપેલ પ્રવાહ-વોલ્ટેજ સંબંધ $I = (e^{1000V/T} - 1) \text{ mA}$ છે.
જ્યારે $I = 5 \text{ mA}$ હોય,ત્યારે $5 = e^{1000V/T} - 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^{1000V/T} = 6$.
પ્રવાહમાં ભૂલ $(dI)$ શોધવા માટે,આપણે $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$dI = \frac{d}{dV} (e^{1000V/T} - 1) \cdot dV = \left( e^{1000V/T} \cdot \frac{1000}{T} \right) dV$.
આપેલ છે કે $dV = 0.01 \text{ V}$ અને $T = 300 \text{ K}$,કિંમતો મૂકતા:
$dI = (6) \cdot \left( \frac{1000}{300} \right) \cdot (0.01)$.
$dI = 6 \cdot \left( \frac{10}{3} \right) \cdot 0.01 = 2 \cdot 10 \cdot 0.01 = 0.2 \text{ mA}$.
આમ,પ્રવાહના મૂલ્યમાં ભૂલ $0.2 \text{ mA}$ છે.

(C) આપેલ સંબંધ $A = \frac{p^{1/2} q^{1/2}}{r^2 s^3}$ છે.
$A$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{1}{2} \frac{\Delta p}{p} + \frac{1}{2} \frac{\Delta q}{q} + 2 \frac{\Delta r}{r} + 3 \frac{\Delta s}{s}$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 3\%$
$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.5\%$
$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 0.33\%$
આ કિંમતોને $A$ માં પ્રતિશત ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{1}{2}(1\%) + \frac{1}{2}(3\%) + 2(0.5\%) + 3(0.33\%)$
$= 0.5\% + 1.5\% + 1.0\% + 0.99\%$
$= 3.99\% \approx 4\%$.

(A) અવરોધકતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{RA}{\ell} = \frac{R \pi (d/2)^2}{\ell} = \frac{\pi R d^2}{4 \ell}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ માટે,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta R}{R} + 2 \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ મળે.
આપેલ કિંમતો: $R = 1.05, \Delta R = 0.01$; $d = 0.60, \Delta d = 0.01$; $\ell = 75.3, \Delta \ell = 0.1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{1.05} + 2 \times \frac{0.01}{0.60} + \frac{0.1}{75.3}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.0095 + 0.0333 + 0.0013 = 0.0441$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાપેક્ષ ત્રુટિ આશરે $0.04$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Q = \frac{X^n}{Y^m}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln Q = n \ln X - m \ln Y$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dQ}{Q} = n \frac{dX}{X} - m \frac{dY}{Y}$.
ત્રુટિઓ માટે,આપણે મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જે વ્યક્તિગત સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$\frac{\Delta Q}{Q} = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right)$.
બંને બાજુ $Q$ વડે ગુણતા,આપણને $Q$ માં નિરપેક્ષ ત્રુટિ મળે છે:
$\Delta Q = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right) Q$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{U^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
અહીં $U = 20 \ m/s$,$\theta = 60^{\circ}$,અને $g \approx 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
$R = \frac{20^2 \times \sin(120^{\circ})}{10} = \frac{400 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = 20\sqrt{3} \approx 34.64 \ m$.
$U$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta U}{U} = 5\% = 0.05$ છે.
$R \propto U^2$ હોવાથી,અવધિમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = 2 \times \frac{\Delta U}{U} = 2 \times 0.05 = 0.10$ થશે.
તેથી,$\Delta R = 0.10 \times R = 0.10 \times 34.64 = 3.464 \ m$.
શક્ય અવધિનો ગાળો $(R - \Delta R, R + \Delta R) = (34.64 - 3.46, 34.64 + 3.46) = (31.18 \ m, 38.10 \ m)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$39.0 \ m$ આ ગાળાની બહાર છે.

(C) આપેલ સંબંધ $x = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$ છે.
$x$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ છે:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$,અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2(2\%) + 3(1\%) + 1(3\%) + \frac{1}{2}(4\%)$.
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\% + 3\% + 3\% + 2\% = 12\%$.
તેથી,$x$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\pm 12\%$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $m = \pi \tan \theta$ છે.
બંને બાજુ વિકલન લેતા,આપણને $dm = \pi \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{dm}{m} = \frac{\pi \sec^2 \theta \, d\theta}{\pi \tan \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{dm}{m} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{dm}{m} = \frac{2 d\theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{2 d\theta}{\sin 2\theta}$ મળે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ ન્યૂનતમ હોવા માટે,છેદ $\sin 2\theta$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
$\sin 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $2\theta = 90^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,$\theta = 45^\circ$.

(A) આપેલ છે $Z = x^2y - xy^2$,$x = 3.0 \pm 0.1$,અને $y = 2.0 \pm 0.1$.
સૌ પ્રથમ,$Z$ નું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો:
$Z = (3.0)^2(2.0) - (3.0)(2.0)^2 = (9.0)(2.0) - (3.0)(4.0) = 18.0 - 12.0 = 6.0$.
હવે,આંશિક વિકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\delta Z$ શોધો:
$\delta Z = \left| \frac{\partial Z}{\partial x} \right| \delta x + \left| \frac{\partial Z}{\partial y} \right| \delta y$.
$\frac{\partial Z}{\partial x} = 2xy - y^2 = 2(3.0)(2.0) - (2.0)^2 = 12.0 - 4.0 = 8.0$.
$\frac{\partial Z}{\partial y} = x^2 - 2xy = (3.0)^2 - 2(3.0)(2.0) = 9.0 - 12.0 = -3.0$.
હવે,આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકો:
$\delta Z = |8.0| \times 0.1 + |-3.0| \times 0.1 = 0.8 + 0.3 = 1.1$.
તેથી,$Z$ નું મૂલ્ય $6.0 \pm 1.1$ છે.

(A) સળિયાનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{\rho \ell}{\pi r^2} = \frac{4 \rho \ell}{\pi D^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ લંબાઈ છે અને $D$ વ્યાસ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta D}{D}$ (કારણ કે $\rho$ ચોક્કસ છે,તેથી $\Delta \rho = 0$).
આપેલ છે: $\ell = 20 \ cm = 200 \ mm$,$\Delta \ell = 1 \ mm$.
વ્યાસ $D = 4 \ mm$. સ્ક્રૂ ગેજની લઘુત્તમ માપશક્તિ $LC = \frac{\text{pitch}}{\text{વિભાગોની સંખ્યા}} = \frac{1 \ mm}{50} = 0.02 \ mm$. તેથી,$\Delta D = 0.02 \ mm$.
પ્રતિશત ત્રુટિ = $\left( \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta D}{D} \right) \times 100\%$.
પ્રતિશત ત્રુટિ = $\left( \frac{1}{200} + 2 \times \frac{0.02}{4} \right) \times 100\% = (0.005 + 0.01) \times 100\% = 0.015 \times 100\% = 1.5\%$.

(C) આપેલ સંબંધ $x = a - b$ છે.
$x$ માં નિરપેક્ષ ત્રુટિ,જેને $\Delta x$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $a$ અને $b$ ની નિરપેક્ષ ત્રુટિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે,કારણ કે બાદબાકીમાં પણ ત્રુટિઓ હંમેશા ઉમેરાય છે.
તેથી,$\Delta x = \Delta a + \Delta b$.
પ્રતિશત ત્રુટિની વ્યાખ્યા $\frac{\Delta x}{x} \times 100\%$ છે.
$\Delta x$ અને $x$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{\Delta a + \Delta b}{a - b} \right) \times 100\% = \left( \frac{\Delta a}{a - b} + \frac{\Delta b}{a - b} \right) \times 100\%$.

(B) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta E}{E} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\left( \frac{\Delta E}{E} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \times \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $3\%$ છે અને ઝડપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $2\%$ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$E$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 3\% + 2 \times (2\%) = 3\% + 4\% = 7\%$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં ત્રુટિ $7\%$ છે.

(B) ડિસ્ક માટે તેની સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{5}{4}MR^2$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્ર $I = k M^a R^b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{\Delta I}{I} = a \frac{\Delta M}{M} + b \frac{\Delta R}{R}$.
અહીં,$a = 1$ અને $b = 2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta M}{M} = 1\%$ અને $\frac{\Delta R}{R} = 1.5\%$.
તેથી,$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = (1 \times 1\%) + (2 \times 1.5\%) = 1\% + 3\% = 4\%$.

(A) આપેલ સંબંધ $P = \frac{A^3}{B^{5/2}}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln P = 3 \ln A - \frac{5}{2} \ln B$ મળે.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{dP}{P} = 3 \frac{dA}{A} - \frac{5}{2} \frac{dB}{B}$ મળે.
મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ માટે,આપણે પદોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,તેથી $\frac{\Delta P}{P} = \pm \left( 3 \frac{\Delta A}{A} + \frac{5}{2} \frac{\Delta B}{B} \right)$.
બંને બાજુ $P$ વડે ગુણતા,આપણને નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta P = \pm \left( 3 \frac{\Delta A}{A} + \frac{5}{2} \frac{\Delta B}{B} \right) P$ મળે છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે વિકલન કરતા,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} + \frac{1}{2} \frac{\Delta g}{g}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $l$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$ અને $g$ માં $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 4\%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{1}{2} (2\%) + \frac{1}{2} (4\%) = 1\% + 2\% = 3\%$ થાય છે.

(C) $1$. સચોટતા (Accuracy) એટલે માપેલા મૂલ્યોની સરેરાશ સાચા મૂલ્ય $(T)$ ની કેટલી નજીક છે તે.
$2$. ચોકસાઈ (Precision) એટલે માપનની સુસંગતતા અથવા પુનરાવર્તિતતા,જે વિતરણ વક્રની પહોળાઈ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. સાંકડો પીક ઉચ્ચ ચોકસાઈ (ઓછો તફાવત) સૂચવે છે,જ્યારે પહોળો પીક ઓછી ચોકસાઈ (વધારે તફાવત અથવા અચોક્કસ) સૂચવે છે.
$4$. આકૃતિ $A$ માં,પીક સાંકડો છે (ચોક્કસ) અને $T$ પર કેન્દ્રિત છે (સચોટ).
$5$. આકૃતિ $B$ માં,પીક સાંકડો છે (ચોક્કસ) પરંતુ $T$ થી દૂર ખસેડાયેલ છે (અસચોટ).
$6$. આકૃતિ $C$ માં,પીક પહોળો છે (અચોક્કસ) અને $T$ પર કેન્દ્રિત છે (સચોટ).
$7$. આકૃતિ $D$ માં,પીક પહોળો છે (અચોક્કસ) અને $T$ થી દૂર ખસેડાયેલ છે (અસચોટ).
$8$. તેથી,આકૃતિ $C$ એવું માપન દર્શાવે છે જે અચોક્કસ (પહોળો પીક) છે પરંતુ સચોટ ($T$ પર કેન્દ્રિત) છે.

(D) સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
પ્રથમ,$R_{eq}$ ની ગણતરી કરો: $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \Omega$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ નું વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{dR_{eq}}{R_{eq}^2} = -\frac{dR_1}{R_1^2} - \frac{dR_2}{R_2^2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dR_{eq}}{R_{eq}^2} = \frac{dR_1}{R_1^2} + \frac{dR_2}{R_2^2}$ થાય છે.
$R_{eq}$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{dR_{eq}}{R_{eq}} = \frac{R_{eq}}{R_1} \left( \frac{dR_1}{R_1} \right) + \frac{R_{eq}}{R_2} \left( \frac{dR_2}{R_2} \right)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dR_1}{R_1} = 1\%$ અને $\frac{dR_2}{R_2} = 2\%$,કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dR_{eq}}{R_{eq}} = \frac{2}{3} (1\%) + \frac{2}{6} (2\%) = \frac{2}{3}\% + \frac{2}{3}\% = \frac{4}{3}\%$.
$\frac{dR_{eq}}{R_{eq}} = 1.33\%$.

(B) શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_s = R_1 + R_2 = 300 \,\Omega + 500 \,\Omega = 800 \,\Omega$
બે રાશિઓના સરવાળામાં થતી ત્રુટિ એ તેમની નિરપેક્ષ ત્રુટિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\Delta R_s = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 3 \,\Omega + 4 \,\Omega = 7 \,\Omega$
તેથી,ત્રુટિ સાથેનો સમતુલ્ય અવરોધ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$R_s \pm \Delta R_s = (800 \pm 7) \,\Omega$

(B) આપેલ છે: અંતર $s = (13.8 \pm 0.2) \ m$ અને સમય $t = (4 \pm 0.3) \ s$.
વેગ $v = \frac{s}{t} = \frac{13.8}{4} = 3.45 \ ms^{-1}$. એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$v = 3.5 \ ms^{-1}$ મળે.
વેગમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta s}{s} + \frac{\Delta t}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta v}{3.45} = \frac{0.2}{13.8} + \frac{0.3}{4}$.
$\frac{\Delta v}{3.45} = 0.0145 + 0.075 = 0.0895$.
$\Delta v = 0.0895 \times 3.45 \approx 0.3087 \ ms^{-1}$.
એક સાર્થક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$\Delta v \approx 0.3 \ ms^{-1}$ મળે.
આમ,વેગ $(3.5 \pm 0.3) \ ms^{-1}$ છે.

(A) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g$ ને કર્તા બનાવતા,$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2\frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $l = 100 \, cm$,$\Delta l = 0.1 \, cm$,કુલ સમય $T_{total} = 50 \, s$,$\Delta T_{total} = 0.1 \, s$.
અહીં $T$ એ એક દોલનનો સમયગાળો છે,$T = \frac{T_{total}}{25} = \frac{50}{25} = 2 \, s$.
$T$ માં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{25} = \frac{0.1}{25} = 0.004 \, s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{100} + 2 \left( \frac{0.004}{2} \right) = 0.001 + 0.004 = 0.005$.
ટકાવારી ત્રુટિ = $0.005 \times 100 = 0.5 \%$.

(C) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r} = \alpha$ છે.
આના પરથી,ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\alpha}{2}$ થાય.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ છે.
$\frac{\Delta r}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\alpha}{2} = \frac{3}{2}\alpha$ મળે છે.

(D) આપેલ સૂત્ર $A = \frac{P^3 Q^2}{R^{1/2} S}$ છે.
$A$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા:
$A$ માં મહત્તમ $\%$ ત્રુટિ $= 3(0.5\%) + 2(1\%) + 0.5(3\%) + 1(1.5\%)$.
$= 1.5\% + 2.0\% + 1.5\% + 1.5\%$.
$= 6.5\%$.

(C) આપેલ સંબંધ: $p = a^{1/2} b^2 c^3 d^{-4}$.
મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c} + 4 \frac{\Delta d}{d}$.
આપેલ ટકાવારી ત્રુટિઓ મૂકતા:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = \frac{1}{2}(2\%) + 2(1\%) + 3(3\%) + 4(5\%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 1\% + 2\% + 9\% + 20\% = 32\%$.
તેથી,$p$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $32\%$ છે.

(B) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $L = 20.0$ cm,$\Delta L = 1$ mm = $0.1$ cm.
$T_{total} = 90.0$ s,$\Delta T_{total} = 1$ s. કારણ કે $T = \frac{T_{total}}{100}$,તેથી $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{100} = \frac{1}{100} = 0.01$ s.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2 \times \frac{1}{90} = 0.005 + 0.0222 = 0.0272$.
ટકાવારી ત્રુટિ = $0.0272 \times 100 = 2.72 \% \approx 2.7 \%$.

(C) વિદ્યુત પરિપથમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = I^2Rt$ છે.
$H$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ:
$\frac{\Delta H}{H} = 2\left(\frac{\Delta I}{I}\right) + \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta t}{t}.$
આપેલ ટકાવારી ત્રુટિઓ $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2\%,$ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1\%,$ અને $\frac{\Delta t}{t} \times 100 = 1\%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = 2(2\%) + 1\% + 1\% = 4\% + 1\% + 1\% = 6\%.$
આમ,કુલ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મામાં મહત્તમ શક્ય ત્રુટિ $6\%$ છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા, આપણને મળે છે $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે:
$L = 55.0\,cm$, $\Delta L = 1\,mm = 0.1\,cm$.
$20$ દોલનો માટેનો સમય $t = 30\,s$ છે, તેથી $T = \frac{30}{20} = 1.5\,s$.
ઘડિયાળનું લઘુત્તમ માપ $1\,s$ છે, તેથી કુલ સમયમાં ત્રુટિ $\Delta t = 1\,s$ છે. આમ, $\Delta T = \frac{\Delta t}{20} = \frac{1}{20} = 0.05\,s$.
હવે, પ્રતિશત ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T} \right) \times 100\%$
$= \left( \frac{0.1}{55.0} + 2 \times \frac{0.05}{1.5} \right) \times 100\%$
$= \left( 0.001818 + 0.06666 \right) \times 100\%$
$= 0.06848 \times 100\% \approx 6.8\%$.

(D) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{L^3}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ અને $L$ એ ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $m = 10.00 \, kg$,$\Delta m = 0.10 \, kg$,$L = 0.10 \, m$,$\Delta L = 0.01 \, m$.
માપેલ ઘનતા $\rho = \frac{10.00}{(0.10)^3} = 10000 \, kg/m^3$ છે.
અહીં $L$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.10} = 0.1$ છે,જે નાની ન હોવાથી આપણે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ ઘનતાની ગણતરી કરીશું.
$\rho_{max} = \frac{m + \Delta m}{(L - \Delta L)^3} = \frac{10.10}{(0.09)^3} \approx 13854.6 \, kg/m^3$.
$\rho_{min} = \frac{m - \Delta m}{(L + \Delta L)^3} = \frac{9.90}{(0.11)^3} \approx 7438.0 \, kg/m^3$.
ઘનતામાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta \rho = \frac{\rho_{max} - \rho_{min}}{2} = \frac{13854.6 - 7438.0}{2} = 3208.3 \, kg/m^3$.
આ કિંમત આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ઘન (cube) ની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ ઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ઘનતામાં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \frac{\Delta M}{M} \times 100 + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$
અહીં દળમાં મહત્તમ ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 3\%$ અને લંબાઈમાં મહત્તમ ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2\%$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\rho$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 3\% + 3 \times (2\%) = 3\% + 6\% = 9\%$.
તેથી,ઘનતાના માપનમાં મહત્તમ ત્રુટિ $9\%$ છે.

(A) આપેલ તાપમાન $t_1 = 20^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ અને $t_2 = 50^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta t = t_2 - t_1 = 50^{\circ}C - 20^{\circ}C = 30^{\circ}C$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
જ્યારે બે રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે.
તફાવતમાં રહેલી ત્રુટિ $\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 0.5^{\circ}C + 0.5^{\circ}C = 1^{\circ}C$ છે.
આમ,તાપમાનનો તફાવત $30^{\circ}C \pm 1^{\circ}C$ છે.

(D) આપેલ ભૌતિક રાશિ $A = P^2/Q^3$ છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ઘાત માટે સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ:
$\frac{\Delta A}{A} = 2 \left( \frac{\Delta P}{P} \right) + 3 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \right)$.
પ્રતિશત ત્રુટિમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે $100$ વડે ગુણતા:
$\left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) = 2 \left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $x$ છે અને $Q$ માં $y$ છે,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$A$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ = $2x + 3y$.

(A) ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$.
અહીં આપેલ છે કે કદમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 6\%$ છે.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $6\% = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$.
તેથી,ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{6\%}{3} = 2\%$ થશે.

(B) મેયરના સંબંધ મુજબ,વાયુ અચળાંક $R$ એ $R = C_P - C_V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $R = 12.28 - 3.97 = 8.31 \text{ units}$.
$R$ માં ત્રુટિ માટે,આપણે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી માટેનો નિયમ વાપરીએ છીએ: $\Delta R = \Delta C_P + \Delta C_V$.
ત્રુટિના મૂલ્યો મૂકતા: $\Delta R = 0.2 + 0.3 = 0.5 \text{ units}$.
તેથી,વાયુ અચળાંકનું મૂલ્ય $R = (8.31 \pm 0.5) \text{ units}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Q = \frac{X^n}{Y^m}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln Q = n \ln X - m \ln Y$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિ માટેનું પદ મળે છે: $\frac{dQ}{Q} = n \frac{dX}{X} - m \frac{dY}{Y}$.
મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના મૂલ્યોનો સરવાળો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $\frac{\Delta Q}{Q} = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right)$.
તેથી,$Q$ માં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta Q$ નીચે મુજબ મળે: $\Delta Q = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right) Q$.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 10.000\,g$,કદ $V = 10.00\,cm^3$.
દળમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta M = 0.001\,g$ અને કદમાં $\Delta V = 0.01\,cm^3$ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{10.000}{10.00} = 1.000\,g\,cm^{-3}$.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta V}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.001}{10.000} + \frac{0.01}{10.00} = 0.0001 + 0.001 = 0.0011$.
તેથી,નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta \rho = 0.0011 \times \rho = 0.0011 \times 1.000 = 0.0011\,g\,cm^{-3}$.

(C) ઘનતા $\rho$ ને $\rho = \frac{m}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}$.
આપેલ છે: $m = 5.00 \ kg$,$\Delta m = 0.05 \ kg$,$V = 1.00 \ m^3$,$\Delta V = 0.05 \ m^3$.
ઘનતામાં પ્રતિશત ત્રુટિ આ મુજબ મળે છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V} \right) \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{0.05}{5.00} + \frac{0.05}{1.00} \right) \times 100 = (0.01 + 0.05) \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$.
તેથી,ઘનતામાં મહત્તમ શક્ય પ્રતિશત ત્રુટિ $6 \%$ છે.

(D) સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = 4 \pi^2 \frac{l}{g}$ મળે છે.
$g$ ને કર્તા બનાવતા,$g = 4 \pi^2 \frac{l}{T^2}$ મળે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2 \%$ અને $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 2 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 2 \% + 2(2 \%) = 2 \% + 4 \% = 6 \%$.

(C) આપેલ ભૌતિક રાશિ $X = \frac{2k^3l^2}{m\sqrt{n}}$ છે.
$X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta X}{X} = 3\frac{\Delta k}{k} + 2\frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta m}{m} + \frac{1}{2}\frac{\Delta n}{n}$ છે.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ: $\frac{\Delta k}{k} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3\%$ અને $\frac{\Delta n}{n} \times 100 = 4\%$.
આ કિંમતોને પ્રતિશત ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3(1\%) + 2(2\%) + 3\% + \frac{1}{2}(4\%)$.
ગણતરી કરતા: $3 + 4 + 3 + 2 = 12\%$.
તેથી,$X$ ના મૂલ્યમાં $12\%$ જેટલી અનિશ્ચિતતા છે.

(D) ધારો કે એક સળિયાની લંબાઈ $L = (11.05 \pm 0.05) \ cm$ છે.
બે સળિયા માટે,કુલ લંબાઈ $L_{total} = L + L = 2 \times (11.05 \pm 0.05) \ cm$ થાય.
સરેરાશ મૂલ્ય $2 \times 11.05 = 22.10 \ cm$ છે.
નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે: $\Delta L_{total} = 0.05 + 0.05 = 0.10 \ cm$.
સરવાળા/બાદબાકીમાં સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી એટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા મૂળ માપનમાં સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો હોય.
અહીં,$11.05$ માં બે દશાંશ અંકો છે,તેથી પરિણામ $22.10$ યોગ્ય છે.
આમ,કુલ લંબાઈ $(22.10 \pm 0.10) \ cm$ થાય.