Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: $v_2 = \frac{n}{m^2} v_1$ અને $a_2 = \frac{a_1}{mn}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{v}{t}$,તેથી $\frac{a_2}{a_1} = \frac{v_2}{v_1} \times \frac{t_1}{t_2}$.
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{1}{mn} = \frac{n}{m^2} \times \frac{t_1}{t_2}$.
$t_2$ માટે ગોઠવતા: $t_2 = \frac{n}{m^2} \times mn \times t_1 = \frac{n^2}{m} t_1$.
હવે,આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{S}{t}$,તેથી $\frac{v_2}{v_1} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{t_1}{t_2}$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{m^2} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{t_1}{(n^2/m)t_1} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{m}{n^2}$.
$S_2$ માટે ઉકેલતા: $S_2 = S_1 \times \frac{n}{m^2} \times \frac{n^2}{m} = S_1 \times \frac{n^3}{m^3} = \left(\frac{n}{m}\right)^3 S_1$.

(D) કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે. લઘુગણકીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પણ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{\beta x}{kT} = 1$ (પરિમાણરહિત).
$\eta$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$[\eta] = [M^0 L^0 T^0]$.
$\frac{\beta x}{kT} = 1$ પરથી,આપણને $\beta = \frac{kT}{x}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $k = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ અને $T = [K]$,તેથી $\beta = \frac{[M L^2 T^{-2} K^{-1}][K]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
આ બળનું પારિમાણિક સૂત્ર છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$\eta = \frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \cdot \text{અચળાંક}$ હોવાથી,અને $\eta$ તથા $\sin \theta$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$[\alpha \beta] = [1]$,જેનો અર્થ છે કે $[\alpha] = [\beta^{-1}] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$.
વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે $[\alpha] = [\beta]$,જે ખોટું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે,$[\alpha^{-1} x] = [\beta x] = [M L T^{-2}][L] = [M L^2 T^{-2}]$,જે ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર છે. આમ,$B$ સાચો છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,$[\eta^{-1} \sin \theta] = [1] = [\alpha \beta]$,જે સાચું છે.

(D) પરિમાણીય વિશ્લેષણ મુજબ સમીકરણની બંને બાજુના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ અને કોઈપણ ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
$(A) E = 2 E_0 \frac{L}{L_0}$
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times \frac{[L]}{[L]} = [M L^2 T^{-2}]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે સાચું.
$(B) E = E_0 e^{-\frac{2 L}{L_0}}$
ઘાતાંક: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$ (પરિમાણરહિત). સાચું.
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times [1] = [M L^2 T^{-2}]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે સાચું.
$(C) E = 2 L e^{-\frac{L}{E_0}}$
ઘાતાંક: $\frac{[L]}{[M L^2 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-1} T^2]$. ઘાતાંક પરિમાણરહિત ન હોવાથી,આ પદ અમાન્ય છે.
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
પ્રી-ફેક્ટર: $[L]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે ખોટું.
$(D) E = 2 \left( \frac{E_0}{L_0} \right) e^{-\frac{L}{L_0}}$
ઘાતાંક: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$. સાચું.
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે ખોટું.
તેથી,સમીકરણો $(C)$ અને $(D)$ ખોટા છે.

(B) ધારો કે ઘનતા $\rho = k C^a G^b h^c$ છે.
પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[\rho] = M L^{-3}$
$[C] = L T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$M^1 L^{-3} T^0 = (L T^{-1})^a (M^{-1} L^3 T^{-2})^b (M L^2 T^{-1})^c$
$M^1 L^{-3} T^0 = M^{-b+c} L^{a+3b+2c} T^{-a-2b-c}$
$M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $-b + c = 1 \implies c = 1 + b$
$2$) $a + 3b + 2c = -3$
$3$) $-a - 2b - c = 0 \implies a = -2b - c$
$c = 1 + b$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $a = -2b - (1 + b) = -3b - 1$
$a$ અને $c$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $(-3b - 1) + 3b + 2(1 + b) = -3$
$-3b - 1 + 3b + 2 + 2b = -3$
$2b + 1 = -3 \implies 2b = -4 \implies b = -2$
હવે $c$ શોધો: $c = 1 + (-2) = -1$
હવે $a$ શોધો: $a = -3(-2) - 1 = 6 - 1 = 5$
આમ,ઘનતાનું પરિમાણ $[\rho] = C^5 G^{-2} h^{-1}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ $T \propto p^\alpha S^\beta E^\gamma$ અથવા $T = k p^\alpha S^\beta E^\gamma$ છે.
$T, p, S$ અને $E$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [ML^{-1} T^{-2}]^\alpha [ML^{-3}]^\beta [ML^2 T^{-2}]^\gamma$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{\alpha+\beta+\gamma} L^{-\alpha-3\beta+2\gamma} T^{-2\alpha-2\gamma}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$1) \alpha + \beta + \gamma = 0$
$2) -\alpha - 3\beta + 2\gamma = 0$
$3) -2\alpha - 2\gamma = 1$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$\alpha + \gamma = -\frac{1}{2}$.
આને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$-\frac{1}{2} + \beta = 0 \implies \beta = \frac{1}{2}$.
હવે,$\beta = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-\alpha - 3(\frac{1}{2}) + 2\gamma = 0 \implies -\alpha + 2\gamma = \frac{3}{2}$.
આપણી પાસે સિસ્ટમ છે:
$i) \alpha + \gamma = -\frac{1}{2}$
$ii) -\alpha + 2\gamma = \frac{3}{2}$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$3\gamma = 1 \implies \gamma = \frac{1}{3}$.
$\gamma = \frac{1}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$\alpha + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \implies \alpha = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$.
આમ,$\alpha = -\frac{5}{6}, \beta = \frac{1}{2}, \gamma = \frac{1}{3}$.

(B) મહત્તમ દળ $m_{\max}$ એ $v, g$ અને $\rho$ પર આધાર રાખે છે. દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
ચલોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
આપેલ છે કે $m_{\max} = k v^x g^y \rho^z$,તેથી પારિમાણિક સમીકરણ:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^x [L T^{-2}]^y [M L^{-3}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^z L^{x+y-3z} T^{-x-2y}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = 1$
$T$ માટે: $-x - 2y = 0 \Rightarrow x = -2y$
$L$ માટે: $x + y - 3z = 0$
$x = -2y$ અને $z = 1$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-2y + y - 3(1) = 0$
$-y = 3 \Rightarrow y = -3$
હવે,$x = -2(-3) = 6$
આમ,$x, y$ અને $z$ ના મૂલ્યો $6, -3, 1$ છે.

(A) $F = A \cos(Bx) + C \cos(Dt)$ સમીકરણમાં,ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$Bx$ અને $Dt$ ના પરિમાણો અચળાંક (પરિમાણરહિત) ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[Bx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [x^{-1}] = [L^{-1}]$.
$[Dt] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D] = [t^{-1}] = [T^{-1}]$.
હવે,આપણે $\left(\frac{D}{B}\right)$ નું પરિમાણ શોધીએ:
$\left[\frac{D}{B}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
કારણ કે $[L T^{-1}]$ એ વેગનું પરિમાણ દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $F = \frac{X}{\text{રેખીય ઘનતા}}$ છે.
$X$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$X = F \times \text{રેખીય ઘનતા}$ મળે છે.
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
રેખીય ઘનતા (એકમ લંબાઈ દીઠ દળ) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $X$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = [MLT^{-2}] \times [ML^{-1}]$
$X = [M^{1+1} L^{1-1} T^{-2}]$
$X = [M^2 L^0 T^{-2}]$.

(B) ધારો કે દળ $M$ ને $M = C^a h^b G^c$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
પારિમાણિક સૂત્રો:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = [M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}]$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $b + c = 0$,તેથી $b = -c$.
$b = -c$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-c - c = 1 \Rightarrow -2c = 1 \Rightarrow c = -1/2$.
તેથી $b = 1/2$.
$b = 1/2$ અને $c = -1/2$ ને (iii) માં મૂકતા: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \Rightarrow -a - 1/2 + 1 = 0 \Rightarrow a = 1/2$.
આમ,$M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(B) આપેલ રાશિ $\frac{E J^2}{M^5 G^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આપેલ રાશિઓ માટેના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$E$ ના પરિમાણ $= [M L^2 T^{-2}]$
$J$ ના પરિમાણ $= [M L^2 T^{-1}]$
$M$ ના પરિમાણ $= [M]$
$G$ ના પરિમાણ $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આ પરિમાણોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{[M L^2 T^{-2}] [M L^2 T^{-1}]^2}{[M]^5 [M^{-1} L^3 T^{-2}]^2} = \frac{[M L^2 T^{-2}] [M^2 L^4 T^{-2}]}{[M^5] [M^{-2} L^6 T^{-4}]} = \frac{[M^3 L^6 T^{-4}]}{[M^3 L^6 T^{-4}]} = [M^0 L^0 T^0]$
પરિણામી પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવાથી,આ રાશિ પરિમાણરહિત છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ખૂણો એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક સમીકરણમાં દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $F = at + bt^2$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $t$ એ સમય છે.
બળ $F$ નું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
પ્રથમ પદ માટે: $[at] = [F]$
$[a] = [F] / [t] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$.
બીજા પદ માટે: $[bt^2] = [F]$
$[b] = [F] / [t^2] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$.
તેથી,$a$ અને $b$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[MLT^{-3}]$ અને $[MLT^{-4}]$ છે.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ: $y = a \sin (bt - cx)$.
ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\sin(\theta)$ માં,ખૂણો $\theta$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$bt$ અને $cx$ બંને પરિમાણરહિત છે.
$(a)$ $\frac{y}{a}$ એ બે લંબાઈનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત છે.
$(b)$ $bt$ એ સાઈન વિધેયનો ખૂણો છે,તેથી તે પરિમાણરહિત છે.
$(c)$ $cx$ એ સાઈન વિધેયનો ખૂણો છે,તેથી તે પરિમાણરહિત છે.
$(d)$ $b$ ના પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે અને $c$ ના પરિમાણ $[L^{-1}]$ છે.
આમ,$\frac{b}{c}$ ના પરિમાણ $\frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [LT^{-1}]$ થાય,જે વેગનું પરિમાણ દર્શાવે છે.
તેથી,$\frac{b}{c}$ એ પરિમાણ ધરાવતી રાશિ છે.

(A) ધારો કે પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ને $h = k G^x L^y E^z$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[L] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [M^1 L^2 T^{-1}]^y [M^1 L^2 T^{-2}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-x+y+z} L^{3x+2y+2z} T^{-2x-y-2z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$(i)$ $-x + y + z = 1$
(ii) $3x + 2y + 2z = 2$
(iii) $-2x - y - 2z = -1$
સમીકરણ $(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$(-x + y + z) + (-2x - y - 2z) = 1 - 1$
$-3x - z = 0 \implies z = -3x$
$z = -3x$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-x + y - 3x = 1 \implies y - 4x = 1 \implies y = 1 + 4x$
$y$ અને $z$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$3x + 2(1 + 4x) + 2(-3x) = 2$
$3x + 2 + 8x - 6x = 2$
$5x + 2 = 2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$
આમ,$h$ ના સૂત્રમાં $G$ નું પરિમાણ $0$ છે.

(C) બે પદ્ધતિઓ વચ્ચે રૂપાંતર માટેનું સૂત્ર $n_2 = n_1 \left[ \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c \right]$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે,તેથી $a=1, b=1, c=-2$.
અહીં $n_1 = 100$,$M_1 = 1 \ g$,$L_1 = 1 \ cm$,$T_1 = 1 \ s$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં,$M_2 = 1 \ kg = 1000 \ g$,$L_2 = 1 \ m = 100 \ cm$,$T_2 = 1 \ min = 60 \ s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$n_2 = 100 \left[ \left( \frac{1 \ g}{1000 \ g} \right)^1 \left( \frac{1 \ cm}{100 \ cm} \right)^1 \left( \frac{1 \ s}{60 \ s} \right)^{-2} \right]$
$n_2 = 100 \left[ \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times (60)^2 \right]$
$n_2 = 100 \times \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times 3600$
$n_2 = 3.6$.

(A) આપેલ સમીકરણ $V = -\frac{GM}{r} + \frac{A}{r^2}$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{A}{r^2}$ નું પરિમાણ $\frac{GM}{r}$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[V] = [\frac{GM}{r}] = [\frac{A}{r^2}]$
આના પરથી,$[A] = [\frac{GM}{r}] \times [r^2] = [GM] \times [r]$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V$ એ એકમ દળ દીઠ ઉર્જાના પરિમાણ ધરાવે છે,જે $[L^2 T^{-2}]$ છે.
વળી,$\frac{GM}{r}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન દર્શાવે છે,તેથી $[\frac{GM}{r}] = [L^2 T^{-2}]$.
પ્રકાશની ગતિ $c$ ના પરિમાણ $[L T^{-1}]$ હોવાથી,$c^2$ ના પરિમાણ $[L^2 T^{-2}]$ થાય.
આમ,$[\frac{GM}{r}] = [c^2]$.
$[r] = \frac{[GM]}{[c^2]}$ ને $[A]$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[A] = [GM] \times \frac{[GM]}{[c^2]} = \frac{G^2 M^2}{c^2}$.

(A) ચલના પરિમાણો છે: $[t] = T^1$,$[\rho] = ML^{-3}$,$[r] = L^1$,$[\eta] = ML^{-1}T^{-1}$,અને $[\sigma] = ML^{-3}$.
આપેલ સંબંધ $t = A \rho^{a} r^{b} \eta^{c} \sigma^{d}$ માટે,બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$T^1 = (ML^{-3})^a (L)^b (ML^{-1}T^{-1})^c (ML^{-3})^d$
$T^1 = M^{a+c+d} L^{-3a+b-c-3d} T^{-c}$
$M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a+c+d = 0$
$L$ માટે: $-3a+b-c-3d = 0$
$T$ માટે: $-c = 1 \implies c = -1$
$c = -1$ ને $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a+d-1 = 0 \implies a+d = 1$.
$c = -1$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $-3a+b+1-3d = 0 \implies b - 3(a+d) + 1 = 0$.
કારણ કે $a+d = 1$,તેથી $b - 3(1) + 1 = 0 \implies b - 2 = 0 \implies b = 2$.
અંતે,મૂલ્યની ગણતરી કરતા: $\frac{b+c}{a+d} = \frac{2 + (-1)}{1} = \frac{1}{1} = 1$.

(B) પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને,આપણે મૂળભૂત અચળાંકો $h$,$G$,અને $c$ ના આધારે પ્લાન્ક એકમો વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$1$. પ્લાન્ક લંબાઈ $(L)$ $l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $A-IV$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. પ્લાન્ક સમય $(S)$ $t_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^5}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $B-II$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. પ્લાન્ક દળ $(M)$ $m_p = \sqrt{\frac{hc}{G}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $C-I$ ને અનુરૂપ છે.
$4$. બાકી રહેલ વિકલ્પ $D$ એ $III$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-II, C-I, D-III$ છે.

(B) આપેલ રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[L] = ML^2T^{-2}A^{-2}$
$[C] = M^{-1}L^{-2}T^4A^2$
$[R] = ML^2T^{-3}A^{-2}$
હવે,$\frac{R^2}{L}$ પદના પરિમાણો ચકાસીએ:
$[R^2] = (ML^2T^{-3}A^{-2})^2 = M^2L^4T^{-6}A^{-4}$
$[L] = ML^2T^{-2}A^{-2}$
તેથી,$\frac{R^2}{L}$ ના પરિમાણો:
$\frac{[R^2]}{[L]} = \frac{M^2L^4T^{-6}A^{-4}}{ML^2T^{-2}A^{-2}} = ML^2T^{-4}A^{-2}$
આ આપેલ પારિમાણિક સૂત્ર સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સાચું પદ $\frac{R^2}{L}$ છે.

(D) અંતર $x$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $V$ નું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,છેદમાં $(x + B)$ હોવાથી,$B$ નું પરિમાણ $x$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[B] = [L]$.
આપેલ સમીકરણ $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[ML^2T^{-2}] = \frac{[A][L^{1/2}]}{[L]}$.
$[ML^2T^{-2}] = [A][L^{-1/2}]$.
તેથી,$[A] = [ML^2T^{-2}] \times [L^{1/2}] = [ML^{5/2}T^{-2}]$.
હવે,$AB$ નું પરિમાણ $[AB] = [ML^{5/2}T^{-2}] \times [L] = [ML^{7/2}T^{-2}]$ થાય છે.

(B) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે: $[H] = [M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]$,$[x] = [L^1]$,$[\epsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$,$[E] = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$,અને $[t] = [T^1]$.
સમીકરણ $H = x^p \epsilon^q E^r t^{-s}$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}] = [L]^p [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]^q [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]^r [T]^{-s}$
$[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}] = M^{-q+r} L^{p-3q+r} T^{4q-3r-s} A^{2q-r}$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$A$ માટે: $2q - r = -1$ $(i)$
$M$ માટે: $-q + r = 1$ (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $q = 0$. (ii) માં $q=0$ મૂકતા,$r = 1$ મળે છે.
$L$ માટે: $p - 3q + r = 0 \Rightarrow p - 0 + 1 = 0 \Rightarrow p = -1$.
$T$ માટે: $4q - 3r - s = -2 \Rightarrow 4(0) - 3(1) - s = -2 \Rightarrow -3 - s = -2 \Rightarrow s = -1$.
સમીકરણ $H = \frac{x^p \epsilon^q E^r}{t^s}$ હોવાથી,$t$ નો ઘાતાંક $-s$ છે. જો આપેલ સ્વરૂપ $t^{-s}$ હોય,તો $s = -1$. પરંતુ જો સ્વરૂપ $t^s$ હોય,તો $s = 1$. વિકલ્પો મુજબ,$p=-1, q=1, r=1, s=1$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.