Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Gujarati

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ તકતીની તેના કેન્દ્ર $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(M.I.)$:
$I_{Total} = \frac{1}{2} M R^2$ --- $(i)$
દૂર કરેલા વર્તુળાકાર કાણાનું દળ (ત્રિજ્યા $r = R/2$):
$m = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/2)^2 = \frac{M}{4}$
દૂર કરેલા કાણાની તેની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{M R^2}{32}$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,દૂર કરેલા કાણાની મૂળ તકતીના કેન્દ્ર $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{removed} = I_{cm} + m d^2 = \frac{M R^2}{32} + \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{M R^2}{32} + \frac{M R^2}{16} = \frac{3 M R^2}{32}$
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{remaining} = I_{Total} - I_{removed} = \frac{1}{2} M R^2 - \frac{3 M R^2}{32} = \frac{16 M R^2 - 3 M R^2}{32} = \frac{13}{32} M R^2$

(A) તંત્રમાં $M$ દળ અને $L = 2R$ લંબાઈનો સળિયો અને છેડા પર જોડાયેલા $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાના બે ગોળાઓ છે.
$1$. સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{rod}} = \frac{ML^2}{12} = \frac{M(2R)^2}{12} = \frac{4MR^2}{12} = \frac{1}{3}MR^2$ થાય.
$2$. દરેક ગોળા માટે,સળિયાના કેન્દ્રથી ગોળાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = R + \frac{L}{2} = R + R = 2R$ છે.
$3$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક ગોળાની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + M(2R)^2 = \frac{2}{5}MR^2 + 4MR^2 = \frac{22}{5}MR^2$ થાય.
$4$. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{rod}} + 2 \times I_{\text{sphere}} = \frac{1}{3}MR^2 + 2 \times \left( \frac{22}{5}MR^2 \right) = \frac{1}{3}MR^2 + \frac{44}{5}MR^2$ થાય.
$5$. છેદ $15$ લેતા,$I = \left( \frac{5 + 132}{15} \right) MR^2 = \frac{137}{15}MR^2$ મળે.

(B) તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $OO'$ અક્ષને અનુલક્ષીને ત્રણેય તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
તકતી $D_1$ માટે,$OO'$ અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તેના સમતલને લંબ છે. તેથી,$I_1 = \frac{1}{2}MR^2$.
તકતી $D_2$ અને $D_3$ માટે,$OO'$ અક્ષ તેમના વ્યાસને સમાંતર છે અને તેમના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે પસાર થાય છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{2,3} = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$.
આવી બે તકતીઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + 2 \times I_{2,3} = \frac{1}{2}MR^2 + 2 \times (\frac{5}{4}MR^2) = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{5}{2}MR^2 = 3MR^2$ થાય.

(D) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષથી $x$ અંતરે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Mx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે) $I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
આ કિંમતને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા,આપણને $I(x) = \frac{2}{5}MR^2 + Mx^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = ax^2 + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = M$ અને $c = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
અહીં $c > 0$ હોવાથી,આલેખ એક પરવલય છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી,પરંતુ $I$-અક્ષ પર ધન કિંમત $I(0) = \frac{2}{5}MR^2$ થી શરૂ થાય છે અને ઉપરની તરફ ખુલે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) પ્લેટનું દળ $M$ એ ઘનતાનું ક્ષેત્રફળ પર સંકલન કરવાથી મળે છે: $M = \int_0^R \rho(r) (2\pi r dr) = \int_0^R \rho_0 r (2\pi r dr) = 2\pi \rho_0 \int_0^R r^2 dr = \frac{2\pi \rho_0 R^3}{3}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(I_{CM})$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{CM} = \int_0^R r^2 dm = \int_0^R r^2 (\rho_0 r \cdot 2\pi r dr) = 2\pi \rho_0 \int_0^R r^4 dr = \frac{2\pi \rho_0 R^5}{5}$.
$I_{CM}$ ને $M$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $I_{CM} = (\frac{2\pi \rho_0 R^3}{3}) \cdot \frac{3}{5} R^2 = \frac{3}{5} MR^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પ્લેટને લંબ અને તેની ધારમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: $I = I_{CM} + MR^2 = \frac{3}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{8}{5} MR^2$.
આને $I = aMR^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 8/5$ મળે છે.

(D) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3} Mr^2$ છે.
અહીં,દરેક ગોળાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{2}$ છે.
જે ગોળામાંથી $yy'$ અક્ષ પસાર થાય છે,તેની $yy'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{3} M(\frac{R}{2})^2 = \frac{2}{3} M(\frac{R^2}{4}) = \frac{1}{6} MR^2$ છે.
બીજા ગોળા માટે,$yy'$ અક્ષ તેના કેન્દ્રથી $d = 2R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{3} M(\frac{R}{2})^2 + M(2R)^2$.
$I_2 = \frac{1}{6} MR^2 + 4MR^2 = \frac{1 + 24}{6} MR^2 = \frac{25}{6} MR^2$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{6} MR^2 + \frac{25}{6} MR^2 = \frac{26}{6} MR^2 = \frac{13}{3} MR^2$ થાય.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
જ્યારે તેને $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યાની તકતીમાં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષ (સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ થાય છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીના સમતલને લંબ સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2} Mr^2$ થાય.
આપેલ છે કે $I_{tangent} = I$,તેથી $\frac{3}{2} Mr^2 = \frac{2}{5} MR^2$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2}{\sqrt{15}} R$.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સળિયા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્રથી દરેક સળિયાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{L}{2\sqrt{3}}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ત્રિકોણના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને એક સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{2\sqrt{3}}\right)^2$
$I_{rod} = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L^2}{12}\right) = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} = \frac{2ML^2}{12} = \frac{ML^2}{6}$.
આવા ત્રણ સળિયા હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total}$:
$I_{total} = 3 \times I_{rod} = 3 \times \frac{ML^2}{6} = \frac{ML^2}{2}$.

(D) ધારો કે સળિયો $AB$ છે જેની લંબાઈ $L$ અને દળ $M$ છે. સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બિંદુ $O$ પર છે,જે બંને છેડાઓથી $L/2$ અંતરે છે.
ભ્રમણાક્ષ બિંદુ $C$ માંથી પસાર થાય છે,જે છેડા $B$ થી $L/3$ અંતરે છે. તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ અને ભ્રમણાક્ષ $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = OC = L/2 - L/3 = L/6$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,બિંદુ $C$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $I_{CM} = ML^2/12$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(A) અને $b$ બાજુઓ ધરાવતી સપાટીને લંબ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને લંબચોરસ બ્લોકની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{M}{12}(a^2 + b^2)$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી ધારની અક્ષ સુધીનું અંતર છે.
લંબચોરસ સપાટીના કેન્દ્રથી ખૂણા (ધાર) સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ છે.
તેથી,$d^2 = \frac{a^2 + b^2}{4}$.
આ કિંમતોને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{M}{12}(a^2 + b^2) + M(\frac{a^2 + b^2}{4})$
$I = M(a^2 + b^2) [\frac{1}{12} + \frac{1}{4}] = M(a^2 + b^2) [\frac{1+3}{12}] = M(a^2 + b^2) [\frac{4}{12}] = \frac{M}{3}(a^2 + b^2)$.

(B) $m$ દળ અને $a$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ma^2}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર છે.
કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$I = \frac{ma^2}{6} + m(\frac{a}{\sqrt{2}})^2$.
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2} = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$.
આને $\alpha ma^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{2}{3}$ મળે છે.

(D) તકતી $B$ ની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_B = \frac{1}{2}Mr^2$ છે.
તકતી $A$ ની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{A,cm} = \frac{1}{2}Mr^2$ છે.
તકતી $A$ અને તકતી $B$ ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 2r$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તકતી $B$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તકતી $A$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = I_{A,cm} + Md^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + M(2r)^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + 4Mr^2 = 4.5Mr^2$ મળે.
આમ,દ્રઢ પદાર્થની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_B + I_A = \frac{1}{2}Mr^2 + 4.5Mr^2 = 5Mr^2$ થાય.

(B) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેની પોતાની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
તે જ નળાકારની તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ એવી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{MR^2}{4}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_1 = I_2$,તેથી:
$\frac{1}{2}MR^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{MR^2}{4}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{4}MR^2$ બાદ કરતા:
$\frac{1}{4}MR^2 = \frac{ML^2}{12}$.
બંને બાજુને $12/M$ વડે ગુણતા:
$3R^2 = L^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$L = \sqrt{3}R$.

(D) એક ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
આપેલ ગોઠવણીમાં,બે ગોળાઓ $XX'$ અક્ષ પર કેન્દ્રિત છે. આ બે ગોળાઓ માટે,$XX'$ અક્ષ તેમના વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,દરેક માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
બાકીના બે ગોળાઓ એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે તેમના કેન્દ્રો $XX'$ અક્ષથી $R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આ ગોળાઓ માટે $XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ થશે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 2(I) + 2(\frac{7}{5} MR^2) = 2(\frac{2}{5} MR^2) + 2(\frac{7}{5} MR^2) = \frac{4}{5} MR^2 + \frac{14}{5} MR^2 = \frac{18}{5} MR^2$ થાય.
$I = \frac{2}{5} MR^2$ હોવાથી,$MR^2 = \frac{5}{2} I$ થાય.
તેથી,$I_{total} = \frac{18}{5} (\frac{5}{2} I) = 9I$.

(C) ધારો કે કાણાં કાપતા પહેલા ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ છે. ચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $(4R)^2 = 16R^2$ છે. એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{16R^2}$ છે.
દરેક કાણાંનું ક્ષેત્રફળ $\pi R^2$ છે,તેથી એક કાણાંનું દળ $m = \sigma \times \pi R^2 = \frac{M}{16R^2} \times \pi R^2 = \frac{\pi M}{16}$ થાય.
$z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને (જે કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને પ્લેટને લંબ છે) ચોરસ પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{square}} = \frac{M}{12} (a^2 + a^2) = \frac{M}{12} (16R^2 + 16R^2) = \frac{32MR^2}{12} = \frac{8}{3} MR^2$ છે.
દરેક કાણું $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર તકતી છે. $z-$ અક્ષથી દરેક કાણાંના કેન્દ્રનું અંતર $d = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને એક કાણાંની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + md^2 = \frac{mR^2}{2} + m(R\sqrt{2})^2 = \frac{mR^2}{2} + 2mR^2 = \frac{5}{2} mR^2$ થાય.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{square}} - 4 I_{\text{hole}} = \frac{8}{3} MR^2 - 4 \left( \frac{5}{2} mR^2 \right) = \frac{8}{3} MR^2 - 10 mR^2$ છે.
$m = \frac{\pi M}{16}$ મૂકતા,આપણને $I = \frac{8}{3} MR^2 - 10 \left( \frac{\pi M}{16} \right) R^2 = \left( \frac{8}{3} - \frac{10\pi}{16} \right) MR^2$ મળે છે.

(A) તારની લંબાઈ $l = 2\pi r$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{l}{2\pi}$ થાય.
લૂપનું દળ $m = \rho l$ છે.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક અક્ષ $XX'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{XX'} = I_{diam} + mr^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$ થાય.
$m = \rho l$ અને $r = \frac{l}{2\pi}$ ની કિંમત સૂત્રમાં મુકતા:
$I_{XX'} = \frac{3}{2}(\rho l)(\frac{l}{2\pi})^2 = \frac{3}{2}(\rho l)(\frac{l^2}{4\pi^2}) = \frac{3\rho l^3}{8\pi^2}$.

(D) $M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ છે.
મૂળ તકતી માટે: $M_1 = 9M$ અને $R_1 = R$. તેથી,$I_1 = \frac{1}{2} (9M) R^2 = \frac{9}{2} M R^2$.
દૂર કરેલી તકતી માટે: $M_2 = M$ અને $R_2 = \frac{R}{3}$. તેથી,$I_2 = \frac{1}{2} M (\frac{R}{3})^2 = \frac{1}{2} M (\frac{R^2}{9}) = \frac{1}{18} M R^2$.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{net} = I_1 - I_2$ છે.
$I_{net} = \frac{9}{2} M R^2 - \frac{1}{18} M R^2 = \frac{81 - 1}{18} M R^2 = \frac{80}{18} M R^2 = \frac{40}{9} M R^2$.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. લંબ અક્ષોના પ્રમેય મુજબ,લેમિનાના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને લેમિનાના સમતલને લંબ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = I_x + I_y$ છે.
ચોરસ લેમિના માટે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લેમિનાના સમતલમાં રહેલી કોઈપણ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે.
ધારો કે $I_{EF}$ એ $EF$ અક્ષ (બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી) વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા છે. સંમિતિ દ્વારા,$I_{EF} = I_{GH}$ જ્યાં $GH$ એ બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ છે.
આમ,$I_z = I_{EF} + I_{GH} = 2I_{EF}$.
હવે,વિકર્ણ $AC$ ને ધ્યાનમાં લો. વિકર્ણ $AC$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AC}$ છે. સંમિતિ દ્વારા,બીજા વિકર્ણ $BD$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{BD} = I_{AC}$ છે.
વિકર્ણો પણ લેમિનાના સમતલમાં લંબ અક્ષો હોવાથી,$I_z = I_{AC} + I_{BD} = 2I_{AC}$.
$I_z$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $2I_{EF} = 2I_{AC}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I_{AC} = I_{EF}$.

(B) તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{MR^2}{2}$ છે,જ્યાં $M$ એ તકતીનું દળ અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
તકતી એક સમતલીય પદાર્થ હોવાથી,આપણે લંબ અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $x$ અને $y$ અક્ષો તકતીના સમતલમાં છે અને કેન્દ્ર $O$ પર છેદે છે. આ અક્ષો તકતીના બે વ્યાસ દર્શાવે છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$.
તકતીની પરિભ્રમણીય સંમિતિને કારણે,કોઈપણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે,તેથી $I_x = I_y = I_d$.
આ કિંમત પ્રમેયમાં મૂકતા,આપણને $I_z = I_d + I_d = 2I_d$ મળે છે.
તેથી,$I_d = \frac{I_z}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{MR^2}{2} \right) = \frac{MR^2}{4}$.
આમ,તકતીની તેના કોઈ એક વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{MR^2}{4}$ છે.

(A) $M$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{Ml^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે,અંતર $d = \frac{l}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{Ml^2}{12} + M(\frac{l}{2})^2$.
$I = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 3Ml^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.

(D) રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{dia}} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર અને સ્પર્શકમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{cm}} + MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વ્યાસ અને સ્પર્શક વચ્ચેનું અંતર એ રીંગની ત્રિજ્યા $R$ જેટલું છે.
તેથી,$I_{\text{tangent}} = I_{\text{dia}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.

(N/A) ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(M.I.)$ $I_{cm} = \frac{2}{5} M R^{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + M d^{2}$ છે,જ્યાં $d$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે. સ્પર્શક માટે,$d = R$ છે.
તેથી,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને $M.I.$ એ $I = \frac{2}{5} M R^{2} + M R^{2} = \frac{7}{5} M R^{2}$ થશે.
$(b)$ તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{d} = \frac{1}{4} M R^{2}$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{1}{4} M R^{2} + \frac{1}{4} M R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2}$ છે.
તકતીને લંબ અને તેની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષ (કેન્દ્રથી $d = R$ અંતરે) માટે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$I = I_{z} + M R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2} M R^{2}$.

(N/A) લંબ અક્ષોનો પ્રમેય જણાવે છે કે સમતલીય પદાર્થ (લેમિના) ની તેના સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,તે અક્ષને છેદતી અને પદાર્થના સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $O$ કેન્દ્ર ધરાવતો એક ભૌતિક પદાર્થ છે અને $x-y$ સમતલમાં $(x, y)$ પર $m$ દળનો એક બિંદુવત કણ છે.
$x$-અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{x} = m y^{2}$.
$y$-અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{y} = m x^{2}$.
$z$-અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{z} = m(x^{2} + y^{2})$.
આમ,$I_{x} + I_{y} = m y^{2} + m x^{2} = m(x^{2} + y^{2}) = I_{z}$.
આમ,પ્રમેય સાબિત થાય છે.
$(b)$ સમાંતર અક્ષોનો પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ અક્ષ પર પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા અને પદાર્થના કુલ દળ તથા બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ધારો કે એક દ્રઢ પદાર્થ $n$ કણોનો બનેલો છે,જેમના દળ $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}$ છે અને દ્રઢ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી તેમના લંબ અંતર અનુક્રમે $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ છે.
બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ $RS$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{RS} = \sum m_{i} r_{i}^{2}$ છે.
અક્ષ $QP$ થી દળ $m_{i}$ નું લંબ અંતર $(a + r_{i})$ છે.
તેથી,અક્ષ $QP$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{QP} = \sum m_{i}(a + r_{i})^{2} = \sum m_{i}(a^{2} + r_{i}^{2} + 2 a r_{i}) = \sum m_{i} a^{2} + \sum m_{i} r_{i}^{2} + 2 a \sum m_{i} r_{i}$ છે.
ઉગમબિંદુ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હોવાથી,$\sum m_{i} r_{i} = 0$.
વળી,$\sum m_{i} = M$,જ્યાં $M$ એ દ્રઢ પદાર્થનું કુલ દળ છે.
તેથી,$I_{QP} = M a^{2} + I_{RS}$.
આમ,પ્રમેય સાબિત થાય છે.

(N/A) $1$. લંબ અક્ષોનું પ્રમેય:
આ પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થ (લેમિના) ની તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,તે પદાર્થના સમતલમાં રહેલી અને લંબ અક્ષ જ્યાં પદાર્થમાંથી પસાર થાય છે તે બિંદુએ છેદતી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$I_z = I_x + I_y$.
સાબિતી: $XY$-સમતલમાં $P(x, y)$ બિંદુ પર $m$ દળનો કણ વિચારો. $X$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = \sum my^2$,$Y$-અક્ષને અનુલક્ષીને $I_y = \sum mx^2$ અને $Z$-અક્ષને અનુલક્ષીને $I_z = \sum mr^2$ છે,જ્યાં $r^2 = x^2 + y^2$. તેથી,$I_z = \sum m(x^2 + y^2) = \sum mx^2 + \sum my^2 = I_y + I_x$.
$2$. સમાંતર અક્ષોનું પ્રમેય:
આ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા અને પદાર્થના કુલ દળ તથા બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ કુલ દળ છે અને $d$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.

(N/A) $1$. લંબ અક્ષોનું પ્રમેય: આ પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થની તેના સમતલને લંબ એવી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_z)$,તે સમતલમાં રહેલી અને પરસ્પર લંબ એવી બે અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રાના ($I_x$ અને $I_y$) સરવાળા જેટલી હોય છે,જ્યાં આ ત્રણેય અક્ષો એકબીજાને છેદે છે. ગાણિતિક રીતે,$I_z = I_x + I_y$.
$2$. સમાંતર અક્ષોનું પ્રમેય: આ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ દ્રઢ પદાર્થની કોઈ પણ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_{cm})$ અને પદાર્થના દળ $(M)$ તથા બંને અક્ષો વચ્ચેના લંબ અંતરના $(d)$ વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે. ગાણિતિક રીતે,$I = I_{cm} + Md^2$.

(B) લંબ અક્ષોનું પ્રમેય જણાવે છે કે સમતલીય પદાર્થની તેના સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,તે પદાર્થના સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે,જ્યાં ત્રણેય અક્ષો એક જ બિંદુએ છેદે છે.
ગાણિતિક રીતે,$I_z = I_x + I_y$.
આ પ્રમેય માત્ર દ્વિ-પરિમાણીય અથવા સમતલીય પદાર્થો માટે જ લાગુ પડે છે કારણ કે તેમાં ત્રણેય અક્ષોનું એક જ બિંદુએ હોવું અને તેમાંથી બે અક્ષોનું પદાર્થના સમતલમાં હોવું આવશ્યક છે.

(B) લંબ અક્ષનું પ્રમેય જણાવે છે કે સમતલીય (દ્વિ-પરિમાણીય) પદાર્થની તેના સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,તે જ સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
નક્કર ગોળો એ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ હોવાથી,તેના પર લંબ અક્ષનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતું નથી.
આ પ્રમેય ફક્ત દ્વિ-પરિમાણીય (સમતલીય) પદાર્થો માટે જ માન્ય છે.

(B) લંબ અક્ષ પ્રમેય મુજબ, સમતલીય પદાર્થ માટે, સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_z)$ એ સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રાઓ ($I_x$ અને $I_y$) ના સરવાળા જેટલી હોય છે, જે $I_z = I_x + I_y$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે। તેથી, $(1) \rightarrow (b)$.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેય મુજબ, કોઈપણ અક્ષ પર પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_C)$ અને પદાર્થના દળ $(M)$ તથા બે અક્ષો વચ્ચેના અંતરના વર્ગ $(d^2)$ ના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે, જે $I = I_C + Md^2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે। તેથી, $(2) \rightarrow (a)$.
આમ, સાચી જોડ $(1-b, 2-a)$ છે।

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{2}{5}MR^2$ છે. આ $(1-b)$ સાથે સુસંગત છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $d = R$ છે.
તેથી,$I_{tangent} = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$. આ $(2-c)$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-c)$ છે.

(C) $M$ દળ,$L = 80 \text{ cm}$ લંબાઈ અને $B = 60 \text{ cm}$ પહોળાઈ ધરાવતી લંબચોરસ શીટની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને શીટને લંબ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_O = \frac{M}{12} [L^2 + B^2] = \frac{M}{12} [80^2 + 60^2] = \frac{M}{12} [6400 + 3600] = \frac{10000M}{12} = \frac{2500M}{3}$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ખૂણાના બિંદુ $O'$ માંથી પસાર થતી અને શીટને લંબ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{O'} = I_O + Md^2$,જ્યાં $d$ એ $O$ અને $O'$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર $d = \sqrt{(L/2)^2 + (B/2)^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = 50 \text{ cm}$.
$I_{O'} = \frac{2500M}{3} + M(50)^2 = \frac{2500M}{3} + 2500M = \frac{2500M + 7500M}{3} = \frac{10000M}{3}$.
જડત્વની ચાકમાત્રાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_O}{I_{O'}} = \frac{2500M/3}{10000M/3} = \frac{2500}{10000} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $a$ છે અને તેનું દળ $m$ છે.
લેમિના $ABC$ ની તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{0} = \frac{ma^{2}}{6}$ છે.
ત્રિકોણ $ADE$ એ $a/2$ બાજુ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેનું દળ $m_{1} = m \times \frac{(a/2)^2}{a^2} = \frac{m}{4}$ છે.
ત્રિકોણ $ADE$ ની તેના પોતાના મધ્યકેન્દ્ર $G'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{m_{1}(a/2)^2}{6} = \frac{ma^2}{96}$ છે.
મધ્યકેન્દ્રો $G$ અને $G'$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{a}{4\sqrt{3}}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$G$ ને અનુલક્ષીને $ADE$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = I_{1} + m_{1}d^2 = \frac{ma^2}{96} + \frac{m}{4} \cdot (\frac{a}{4\sqrt{3}})^2 = \frac{ma^2}{64}$ છે.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rem} = I_{0} - I_{2} = \frac{ma^2}{6} - \frac{ma^2}{64} = \frac{29ma^2}{192}$ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$N = 11$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે ચાર ગોળાઓ $b$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર સ્થિત છે. ધારો કે પરિભ્રમણની ધરી એ ચોરસની એક બાજુ છે.
જે બે ગોળાઓના કેન્દ્રો પરિભ્રમણની ધરી પર આવેલા છે,તેમનું ધરીથી અંતર $0$ છે. દરેક ગોળાની તેના પોતાના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} ma^{2}$ છે. ધરી તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી હોવાથી,ધરીને અનુલક્ષીને તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_2 = \frac{2}{5} ma^{2}$ થશે.
બાકીના બે ગોળાઓ માટે,તેમના કેન્દ્રોનું ધરીથી અંતર $b$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આ દરેક ગોળાની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = I_4 = I_{cm} + mb^{2} = \frac{2}{5} ma^{2} + mb^{2}$ થશે.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 2 \times (\frac{2}{5} ma^{2}) + 2 \times (\frac{2}{5} ma^{2} + mb^{2})$ છે.
$I = \frac{4}{5} ma^{2} + \frac{4}{5} ma^{2} + 2 mb^{2} = \frac{8}{5} ma^{2} + 2 mb^{2}$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 0.8 \, \text{m}$,ત્રિજ્યા $r = 0.2 \, \text{m}$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2.7 \, \text{kg m}^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષ $CD$ પર જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_{CM} + Md^2$
અહીં,$I_{CM}$ એ મધ્ય અક્ષ $AB$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $\frac{Mr^2}{2}$ છે,અને અક્ષો વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{L}{2}$ છે.
$I = \frac{Mr^2}{2} + M\left(\frac{L}{2}\right)^2$
$2.7 = M \left[ \frac{(0.2)^2}{2} + \left(\frac{0.8}{2}\right)^2 \right]$
$2.7 = M [0.02 + 0.16] = M(0.18)$
$M = \frac{2.7}{0.18} = 15 \, \text{kg}$
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$.
$\rho = \frac{15}{\pi \times (0.2)^2 \times 0.8} = \frac{15}{\pi \times 0.04 \times 0.8} = \frac{15}{0.032 \pi} \approx 149.2 \, \text{kg/m}^3$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ઘનતા $149 \, \text{kg/m}^3$ છે.

(D) ધારો કે ચોરસ પ્લેટ $xy$-સમતલમાં છે,તેની બે બાજુઓ $x$ અને $y$ અક્ષ પર છે,જે ઉગમબિંદુ (ખૂણો જ્યાંથી અક્ષ પસાર થાય છે) પર મળે છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સમતલને લંબ અક્ષ ($z$-અક્ષ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = I_x + I_y$ થાય.
$M$ દળ અને $l$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની તેની એક બાજુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{M l^2}{3}$ છે.
અહીં,$I_x = \frac{M l^2}{3}$ અને $I_y = \frac{M l^2}{3}$ છે.
તેથી,$I_z = \frac{M l^2}{3} + \frac{M l^2}{3} = \frac{2}{3} M l^2$ થાય.

(D) ધારો કે દરેક તક્તિની ત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2}$ છે.
$OO'$ અક્ષ પર રહેલી બે તક્તિઓ માટે,અક્ષ તેમના વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે. વ્યાસને અનુલક્ષીને તક્તિની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{4} MR^2$ છે.
તેથી,ઉપરની અને નીચેની તક્તિઓ માટે,$I_1 = I_3 = \frac{1}{4} MR^2$.
બાજુ પરની બે તક્તિઓ માટે,$OO'$ અક્ષ તેમને સ્પર્શક છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $I_{cm} = \frac{1}{4} MR^2$ (અક્ષ વ્યાસને સમાંતર છે) અને $d = R$.
તેથી,$I_2 = I_4 = \frac{1}{4} MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4} MR^2$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 2 \times (\frac{1}{4} MR^2) + 2 \times (\frac{5}{4} MR^2) = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{5}{2} MR^2 = 3 MR^2$.
$R = \frac{a}{2}$ મુકતા,$I = 3 M(\frac{a}{2})^2 = \frac{3}{4} Ma^2$.
આમ,$\frac{x}{4} Ma^2 = \frac{3}{4} Ma^2$ સરખાવતા,$x = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ કેન્દ્રીય સિક્કાનું કેન્દ્ર છે. $A$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને કેન્દ્રીય સિક્કાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{central} = \frac{m r^2}{2}$ છે.
આસપાસના છ સિક્કાઓ માટે,તેમના કેન્દ્રોનું $A$ થી અંતર $2r$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$A$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને દરેક આસપાસના સિક્કાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{surrounding} = \frac{m r^2}{2} + m(2r)^2 = \frac{m r^2}{2} + 4mr^2 = \frac{9}{2} mr^2$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_A = I_{central} + 6 \times I_{surrounding} = \frac{m r^2}{2} + 6 \times \frac{9}{2} mr^2 = \frac{m r^2}{2} + 27 mr^2 = \frac{55}{2} mr^2$ છે.
હવે,આપણને બિંદુ $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ જોઈએ છે,જે $A$ થી $d = 2r$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$I_P = I_A + M_{total} \times d^2$,જ્યાં $M_{total} = 7m$ છે.
$I_P = \frac{55}{2} mr^2 + (7m)(2r)^2 = \frac{55}{2} mr^2 + 28 mr^2 = \frac{55 + 56}{2} mr^2 = \frac{111}{2} mr^2$.

(D) ધારો કે ચાર ગોળાઓ $A, B, C,$ અને $D$ એ $b$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર સ્થિત છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ બાજુ $AB$ છે.
$1$. $M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} M a^2$ છે.
$2$. ગોળાઓ $A$ અને $B$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,દરેક માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = I_B = \frac{2}{5} M a^2$ છે.
$3$. ગોળાઓ $C$ અને $D$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેમના કેન્દ્રોથી $b$ લંબ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + M d^2$,જ્યાં $d = b$. તેથી,$I_C = I_D = \frac{2}{5} M a^2 + M b^2$.
$4$. તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_A + I_B + I_C + I_D = \frac{2}{5} M a^2 + \frac{2}{5} M a^2 + (\frac{2}{5} M a^2 + M b^2) + (\frac{2}{5} M a^2 + M b^2) = \frac{8}{5} M a^2 + 2 M b^2$ થાય.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું દરેક સળિયાથી અંતર $d = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ છે.
એક સળિયા માટે સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેના પોતાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{m L^2}{12}$ છે.
ત્રિકોણના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને એક સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = I_{cm} + m d^2 = \frac{m L^2}{12} + m \left( \frac{L}{2 \sqrt{3}} \right)^2 = \frac{m L^2}{12} + \frac{m L^2}{12} = \frac{2 m L^2}{12} = \frac{m L^2}{6}$ છે.
આવા ત્રણ સળિયા હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 3 \times I_{rod} = 3 \times \frac{m L^2}{6} = \frac{m L^2}{2}$ થશે.

(C) અર્ધવર્તુળાકાર તારની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r^2$ છે.
ધારો કે $I_{cm}$ એ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
અર્ધવર્તુળના કેન્દ્રથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d = \frac{2r}{\pi}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + md^2$.
કિંમતો મૂકતા,$m r^2 = I_{cm} + m\left(\frac{2r}{\pi}\right)^2$.
તેથી,$I_{cm} = m r^2 - m\left(\frac{4r^2}{\pi^2}\right) = m r^2\left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)$.

(D) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ છે,જ્યાં $d$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં,$d = \frac{2}{3}R$ છે.
તેથી,$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2}{3}R\right)^2$.
$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4}{9}R^2\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right)MR^2 = \left(\frac{9+8}{18}\right)MR^2 = \frac{17}{18}MR^2$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I_{AB}}{I_{CM}} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$.
આપેલ ગુણોત્તર $x:9$ હોવાથી,$x = 17$ મળે છે.

(B) $m_1$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેની સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + m_1 R^2 = \frac{2}{5} m_1 R^2 + m_1 R^2 = \frac{7}{5} m_1 R^2$. $m_1 = 5 \, kg$ મૂકતા,$I_{\text{sphere}} = \frac{7}{5} \times 5 \times R^2 = 7 R^2$ મળે છે.
$m_2$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + m_2 R^2 = \frac{1}{4} m_2 R^2 + m_2 R^2 = \frac{5}{4} m_2 R^2$. $m_2 = 4 \, kg$ મૂકતા,$I_{\text{disc}} = \frac{5}{4} \times 4 \times R^2 = 5 R^2$ મળે છે.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા અને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\text{disc}}}{I_{\text{sphere}}} = \frac{5 R^2}{7 R^2} = \frac{5}{7}$ થાય છે.
આને $\frac{x}{7}$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.

(D) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અને તકતીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = R$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ મળે છે.
આને આપેલ પદ $\frac{x}{2} MR^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક ગોળાની સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (ગોળાના કેન્દ્રથી $d = 20\,cm = 0.2\,m$ અંતરે) $I = I_{cm} + md^2$ થાય.
અહીં બે સમાન ગોળાઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 2(I_{cm} + md^2) = 2\left(\frac{2}{5}mr^2 + md^2\right)$ થશે.
આપેલ છે કે $m = 2\,kg$,$r = 10\,cm = 0.1\,m$,અને $d = 20\,cm = 0.2\,m$:
$I_{total} = 2 \left[ \frac{2}{5} \times 2 \times (0.1)^2 + 2 \times (0.2)^2 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ \frac{4}{5} \times 0.01 + 2 \times 0.04 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.8 \times 0.01 + 0.08 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.008 + 0.08 \right] = 2 \times 0.088 = 0.176\,kg\,m^2$.
જરૂરી સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $0.176\,kg\,m^2 = 176 \times 10^{-3}\,kg\,m^2$.

(B) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
વ્યાસને અનુલક્ષીને ગોળાનું કોણીય વેગમાન $L = I_d \omega = \frac{2}{5}mR^2 \omega$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ સ્પર્શકને અનુલક્ષીને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_t = I_{cm} + mR^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_t = (x \times 10^{-2}) \times L$.
પદો મૂકતા: $\frac{7}{5}mR^2 = (x \times 10^{-2}) \times (\frac{2}{5}mR^2 \omega)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{5}mR^2$ ઉડાડતા: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \omega$.
અહીં $\omega = 10\,rad\,s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \times 10$.
$7 = x \times 10^{-2} \times 20$.
$7 = x \times 0.2$.
$x = \frac{7}{0.2} = 35$.

(D) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને એક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા (ગોળાના કેન્દ્રથી $d = 75 \,cm = 0.75 \,m = \frac{3}{4} \,m$ અંતરે) નીચે મુજબ છે:
$I_{sphere} = I_{cm} + md^2 = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
અહીં $m = 2 \,kg$, $R = 50 \,cm = 0.5 \,m = \frac{1}{2} \,m$, અને $d = 0.75 \,m = \frac{3}{4} \,m$ આપેલ છે.
$I_{sphere} = \frac{2}{5} \times 2 \times (\frac{1}{2})^2 + 2 \times (\frac{3}{4})^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{9}{16} = \frac{1}{5} + \frac{9}{8} = \frac{8 + 45}{40} = \frac{53}{40} \,kg \,m^2$.
બે સમાન ગોળાઓ હોવાથી, તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{total} = 2 \times I_{sphere} = 2 \times \frac{53}{40} = \frac{53}{20} \,kg \,m^2$.
આને $\frac{x}{20} \,kg \,m^2$ સાથે સરખાવતા, $x = 53$ મળે છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a = 4 \ cm = 0.04 \ m$ છે. દરેક ગોળાની ત્રિજ્યા $R = \frac{\sqrt{5}}{2} \ cm = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 10^{-2} \ m$ છે. દરેક ગોળાનું દળ $m = 0.5 \ kg$ છે.
ચોરસના વિકર્ણને પરિભ્રમણની અક્ષ તરીકે લો. બે ગોળાઓ આ વિકર્ણ પર આવેલા છે,અને બે ગોળાઓ વિકર્ણથી $d = \frac{a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ cm = 2\sqrt{2} \times 10^{-2} \ m$ ના લંબ અંતરે છે.
વિકર્ણ પરના બે ગોળાઓ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_2 = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
વિકર્ણની બહારના બે ગોળાઓ માટે,સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_3 = I_4 = \frac{2}{5}mR^2 + md^2$ મળે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2(\frac{2}{5}mR^2) + 2(\frac{2}{5}mR^2 + md^2) = \frac{8}{5}mR^2 + 2md^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{8}{5}(0.5)(\frac{5}{4} \times 10^{-4}) + 2(0.5)(8 \times 10^{-4}) = 1.0 \times 10^{-4} + 8 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-4} \ kg \cdot m^2$. તેથી,$N = 9$.

(C) ધારો કે નાની તકતીનું દળ $m$ છે. ક્ષેત્રફળ ત્રિજ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,મોટી તકતી (ત્રિજ્યા $2R$) નું દળ $4m$ થશે.
$I_0$ માટે:
મોટી તકતીની $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{large, O} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} = 8mR^2$ છે.
નાની તકતીની તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $\frac{mR^2}{2}$ છે. સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$O$ ને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{small, O} = \frac{mR^2}{2} + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ થાય.
આમ,$I_0 = 8mR^2 - \frac{3}{2}mR^2 = \frac{13}{2}mR^2$.
$I_P$ માટે:
મોટી તકતીની $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ (સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા) $I_{large, P} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} + (4m)(2R)^2 = 8mR^2 + 16mR^2 = 24mR^2$ થાય.
નાની તકતીની $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ (સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા) $I_{small, P} = \frac{mR^2}{2} + m((2R)^2 + R^2) = \frac{mR^2}{2} + 5mR^2 = \frac{11}{2}mR^2$ થાય.
આમ,$I_P = 24mR^2 - \frac{11}{2}mR^2 = \frac{37}{2}mR^2$.
ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_0} = \frac{37/2}{13/2} = \frac{37}{13} \approx 2.846$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $3$ મળે છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$r = R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગનું દળ $M' = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/2)^2 = M/4$ છે.
આ દૂર કરેલા ભાગની તેની પોતાની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} M' r^2 = \frac{1}{2} (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દૂર કરેલા ભાગની તકતીની મૂળ કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને (તેના પોતાના કેન્દ્રથી $d = R/2$ અંતરે) જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + M' d^2 = \frac{1}{32} MR^2 + (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2 + \frac{1}{16} MR^2 = \frac{3}{32} MR^2$ છે.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3}{32} MR^2 = \frac{16-3}{32} MR^2 = \frac{13}{32} MR^2$ થાય.

(B) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના મૂળ સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$\alpha = \frac{ML^2}{12} \quad \dots (i)$
જ્યારે સળિયાને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $M' = M/2$ અને લંબાઈ $L' = L/2$ થાય છે.
દરેક ભાગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{part} = \frac{M'(L')^2}{12} = \frac{(M/2)(L/2)^2}{12} = \frac{ML^2}{96}$
ક્રોસ આકારમાં,દરેક સળિયાને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે તેનું કેન્દ્ર ક્રોસના કેન્દ્ર સાથે સંપાત થાય. પરિભ્રમણની અક્ષ ક્રોસના સમતલને લંબ છે. દરેક સળિયા માટે,આ અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તેની લંબાઈને લંબ છે.
આમ,ક્રોસની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ બે સળિયાઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$\alpha' = I_{part} + I_{part} = 2 \times \frac{ML^2}{96} = \frac{ML^2}{48}$
સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા:
$\alpha' = \frac{1}{4} \left( \frac{ML^2}{12} \right) = \frac{\alpha}{4}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.