Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Gujarati

(A) જમણી બાજુના ગોળાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી $YY'$ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા એ બંને ગોળાઓની આ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
જમણા ગોળા માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} M (R/2)^2 = \frac{2}{5} M (R^2/4) = \frac{1}{10} M R^2$ છે.
ડાબા ગોળા માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રથી $d = 2R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} M (R/2)^2 + M(2R)^2 = \frac{1}{10} M R^2 + 4 M R^2 = \frac{41}{10} M R^2$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{10} M R^2 + \frac{41}{10} M R^2 = \frac{42}{10} M R^2 = \frac{21}{5} M R^2$ થશે.

(D) ચોરસ ફ્રેમના એક સળિયાનો વિચાર કરો,ધારો કે સળિયો $AB$. $M$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{Ml^2}{12}$ છે.
સળિયા $AB$ ના કેન્દ્રથી ચોરસ ફ્રેમના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{l}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક સળિયાની ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 3Ml^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.
ચોરસ ફ્રેમ બનાવવા માટે ચાર સમાન સળિયા હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{Ml^2}{3} = \frac{4}{3}Ml^2$.

(B) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_{CM} + Md^2$
જ્યાં $I_{CM}$ એ સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ) માંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $d$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
અહીં,$I_{CM} = I_0$ અને કેન્દ્ર તથા છેડા વચ્ચેનું અંતર $d = L/2$ છે.
આ કિંમતો પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = I_0 + M(L/2)^2$
$I = I_0 + ML^2/4$

(A) તકતીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ છે.
દૂર કરેલા વર્તુળાકાર કાણાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{2}$ છે.
દૂર કરેલા ભાગનું દળ $M' = \sigma \times \pi r^2 = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$ છે.
દૂર કરેલા ભાગની તેની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષ (તકતીના સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} M' r^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{MR^2}{32}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દૂર કરેલા ભાગની મૂળ તકતીના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I'_{0} = I_{cm} + M' d^2$ છે,જ્યાં $d = \frac{R}{2}$ એ તકતીના કેન્દ્ર અને કાણાના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે.
$I'_{0} = \frac{MR^2}{32} + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{3MR^2}{32}$ છે.
સંપૂર્ણ તકતીની કેન્દ્ર $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{0} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{0} - I'_{0} = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$ થાય.

(B) આપેલ છે: સળિયાનું દળ $m = 0.6 \ kg$,લંબાઈ $l = 1 \ m$.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક છેડાથી $l/2 = 0.5 \ m$ અંતરે હોય છે.
અક્ષ એક છેડાથી $20 \ cm = 0.2 \ m$ અંતરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને આપેલી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $x = |0.5 \ m - 0.2 \ m| = 0.3 \ m$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + mx^2$.
$I = \frac{ml^2}{12} + mx^2 = m \left( \frac{l^2}{12} + x^2 \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $I = 0.6 \left( \frac{1^2}{12} + (0.3)^2 \right) = 0.6 \left( \frac{1}{12} + 0.09 \right)$.
$I = 0.6 \left( 0.0833 + 0.09 \right) = 0.6 \times 0.1733 = 0.104 \ kg \cdot m^2$.

(C) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
અહીં $M = 10\; kg$ અને $R = 0.5\; m$ આપેલ છે,તેથી:
$I = \frac{7}{5} \times 10 \times (0.5)^2$
$I = 14 \times 0.25 = 3.5\; kg\cdot m^2$.

(A) એક સળિયા $AB$ ની તેના કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{12}Ml^2$ છે.
ચોરસના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને આ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d = l/2$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{rod} = \frac{1}{12}Ml^2 + M(l/2)^2 = \frac{1}{12}Ml^2 + \frac{1}{4}Ml^2 = \frac{1+3}{12}Ml^2 = \frac{4}{12}Ml^2 = \frac{1}{3}Ml^2$.
તંત્રમાં $4$ સમાન સળિયા હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{system} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{1}{3}Ml^2 = \frac{4}{3}Ml^2$ થાય.

(B) વર્તુળાકાર તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{4}MR^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $MR^2 = 4I$.
સમતલને લંબ અને પરિઘ પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને પરિઘ પરના બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $R$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{rim} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
આ સમીકરણમાં $MR^2 = 4I$ મૂકતા,આપણને $I_{rim} = \frac{3}{2}(4I) = 6I$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
અહીં દળ $M = 2 \ kg$ અને વ્યાસ $D = 0.2 \ m$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2} = 0.1 \ m$ થશે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,ધારમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$I = \frac{3}{2} \times 2 \times (0.1)^2 = 3 \times 0.01 = 0.03 \ kg \cdot m^2$.

(B) એક સમાન રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = Mr^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
રીંગના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી વ્યાસની અક્ષ અને સ્પર્શક અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = r$ થાય છે.
રીંગના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{2}Mr^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $I = I_{diameter} + Md^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$.

(A) તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $MR^2 = 2I$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{diameter} + MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2 = \frac{1}{2}I$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $I_{tangent} = \frac{1}{2}I + 2I = \frac{5}{2}I$ મળે છે.

(C) રીંગની તેની કુદરતી અક્ષ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = mr^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,ધારમાંથી પસાર થતી અને કુદરતી અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = mr^2 + mr^2 = 2mr^2$ મળે છે.
અહીં $m = 3 \ gm$ અને $r = 1 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$I = 2 \times 3 \times (1)^2 = 6 \ gm \cdot cm^2$ થાય.

(D) નળાકારની સપાટી પરથી પસાર થતી અને તેની કેન્દ્રીય અક્ષને સમાંતર અક્ષને જનરેટર અક્ષ કહેવામાં આવે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,આ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_{cm} + Md^2$
અહીં,$I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ એ નળાકારની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $d = R$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
તેથી,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.

(A) તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર અને પરિઘમાંથી પસાર થતી અક્ષ (સમતલમાં સ્પર્શક) માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,વ્યાસ અને સ્પર્શક વચ્ચેનું અંતર $d = R$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ મળે છે.

(A) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થની તેના સમતલને લંબ અને તે જ બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_z)$,તેના સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા ($I_x$ અને $I_y$) ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$M$ દળ,$l$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ ધરાવતી લંબચોરસ પ્લેટ માટે:
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પહોળાઈને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = \frac{Ml^2}{12}$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_y = \frac{Mb^2}{12}$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$.
તેથી,$I_z = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Mb^2}{12} = \frac{M}{12}(l^2 + b^2)$.

(A) તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેના સમતલને સમાંતર અને સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_d + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય.
આના પરથી,આપણને $MR^2 = \frac{4}{5}I$ મળે છે.
હવે,તકતીની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેના સમતલને લંબ અને સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_c + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય.
$I'$ ના સૂત્રમાં $MR^2 = \frac{4}{5}I$ મૂકતા,આપણને $I' = \frac{3}{2} \times (\frac{4}{5}I) = \frac{6}{5}I$ મળે છે.

(C) નક્કર નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,મધ્ય અક્ષને સમાંતર $d$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ છે.
અહીં,અક્ષ નળાકારની સપાટી પર છે,તેથી મધ્ય અક્ષથી તેનું અંતર $d$ એ ત્રિજ્યા $R$ જેટલું છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2$.
$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમાન વર્તુળાકાર રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને સ્પર્શક અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં,અંતર $d$ એ ત્રિજ્યા $R$ જેટલું છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = MR^2 + M(R)^2$ મળે છે.
તેથી,$I = 2MR^2$.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_{\text{diameter}} = \frac{2}{5} M R^2$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{tangent}} = I_{\text{CM}} + M d^2$
અહીં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને સ્પર્શક વચ્ચેનું અંતર $d = R$ છે.
તેથી,$I_{\text{tangent}} = \frac{2}{5} M R^2 + M R^2$
$I_{\text{tangent}} = \frac{7}{5} M R^2$

(D) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થ માટે,તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_z)$ એ તેના સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા ($I_x$ અને $I_y$) ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$I_z = I_x + I_y$
વર્તુળાકાર રિંગ માટે,સંમિતિને કારણે,કોઈપણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે,તેથી $I_x = I_y = I_D$.
આપેલ છે કે $I_z = 200 \, gm \cdot cm^2$.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$200 = I_D + I_D = 2I_D$
$I_D = \frac{200}{2} = 100 \, gm \cdot cm^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $O$ બિંદુને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{full} = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$ . . . $(i)$
કાપવામાં આવેલી તકતીની ત્રિજ્યા $r = R/3$ છે. દળ ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(M \propto R^2)$,કાપવામાં આવેલી તકતીનું દળ $m = 9M \times (r/R)^2 = 9M \times (1/3)^2 = M$ થશે.
કાપવામાં આવેલી તકતીની તેના પોતાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{cm} = \frac{1}{2}m r^2 = \frac{1}{2}M(R/3)^2 = \frac{1}{18}MR^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$O$ બિંદુને અનુલક્ષીને કાપવામાં આવેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{removed} = I_{cm} + m d^2$,જ્યાં $d = 2R/3$ એ $O$ થી કાપવામાં આવેલી તકતીના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$I_{removed} = \frac{1}{18}MR^2 + M(2R/3)^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \frac{1+8}{18}MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{remaining} = I_{full} - I_{removed} = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = \frac{8}{2}MR^2 = 4MR^2$.

(D) આપેલ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{\text{cm}} + M d^2$.
અહીં,$I_{\text{cm}}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $\frac{ML^2}{12}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ છેડાથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીના અંતર $(L/2)$ અને છેડાથી અક્ષ સુધીના અંતર $(L/4)$ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$d = \frac{L}{2} - \frac{L}{4} = \frac{L}{4}$.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{ML^2}{12} + M \left(\frac{L}{4}\right)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $48$ લેતા:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(A) સમાન ચોરસ પ્લેટ માટે,પ્લેટના સમતલમાં રહેલી અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે,જો અક્ષ ચોરસની ભૂમિતિની સાપેક્ષમાં સંમિત હોય.
ધારો કે $I_Z$ એ ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલને લંબ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_Z = I_{AB} + I_{A'B'}$,જ્યાં $AB$ અને $A'B'$ એ પ્લેટના સમતલમાં પરસ્પર લંબ બે અક્ષો છે.
ચોરસ સંમિત હોવાથી,$I_{AB} = I_{A'B'} = I$ થાય. તેથી,$I_Z = 2I$.
તે જ રીતે,પ્લેટના સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ બે પરસ્પર લંબ અક્ષો $CD$ અને $C'D'$ માટે,$I_Z = I_{CD} + I_{C'D'}$.
ચોરસની પરિભ્રમણીય સંમિતિને કારણે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમતલની કોઈપણ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા અચળ અને $I$ જેટલી હોય છે. તેથી,$I_{CD} = I$.

(D) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થની તેના સમતલને લંબ અને $O$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z$,તે પદાર્થના સમતલમાં રહેલી અને $O$ માંથી પસાર થતી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,અક્ષ $1$ અને $2$ એ ચોરસના વિકર્ણો છે,જે પરસ્પર લંબ છે. તેથી,$I_0 = I_1 + I_2$.
અક્ષ $3$ અને $4$ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને ચોરસની બાજુઓને સમાંતર રેખાઓ છે. આ પણ પરસ્પર લંબ છે. તેથી,$I_0 = I_3 + I_4$.
વધુમાં,ચોરસની સમપ્રમાણતાને કારણે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલમાં રહેલી કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે જો અક્ષનો ખૂણો બાજુઓની સાપેક્ષમાં સમાન હોય. ખાસ કરીને,ચોરસ પ્લેટ માટે,$I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = \frac{ML^2}{12}$.
તેથી,$I_0 = I_1 + I_2 = I_3 + I_4 = I_1 + I_3$ (કારણ કે $I_1 = I_3$).
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $G$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = mK^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી '$a$' અંતરે આવેલી નવી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{new}$ નીચે મુજબ છે:
$I_{new} = I_{cm} + ma^2 = mK^2 + ma^2 = m(K^2 + a^2)$.
નવી અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ ઉર્જા $K_R$ નીચે મુજબ મળે:
$K_R = \frac{1}{2} I_{new} \omega^2 = \frac{1}{2} m(K^2 + a^2) \omega^2$.

(B) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન નળાકારની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને વર્તુળાકાર ફલકને લંબ અક્ષ (અનુદૈઘ્ય અક્ષ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_1)$ $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
તે જ નળાકારની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષ (અનુપ્રસ્થ અક્ષ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_2)$ $I_2 = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_1 = I_2$,તેથી:
$\frac{1}{2} M R^2 = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા:
$\frac{R^2}{2} = \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4}$
બંને બાજુથી $\frac{R^2}{4}$ બાદ કરતા:
$\frac{R^2}{4} = \frac{L^2}{12}$
$12$ વડે ગુણતા:
$3 R^2 = L^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$L = \sqrt{3} R$.

(B) $m$ દળ,$l$ લંબાઈ,$b$ પહોળાઈ અને $t$ જાડાઈ ધરાવતા લંબચોરસ બ્લોકની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષોની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ નીચે મુજબ છે:
$I_x = \frac{m}{12}(b^2 + t^2)$
$I_y = \frac{m}{12}(l^2 + t^2)$
$I_z = \frac{m}{12}(l^2 + b^2)$
અહીં $l > b > t$ હોવાથી,$(l^2 + b^2) > (l^2 + t^2) > (b^2 + t^2)$ થાય.
તેથી,$I_z > I_y > I_x$.
આમ,જડત્વની આઘૂર્ણ $z-z$ અક્ષની આસપાસ મહત્તમ છે.

(B) $M$ દળ અને $AC = BC = a$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ નો વિચાર કરો. કર્ણ $AB = a\sqrt{2}$ છે.
જો આપણે કર્ણ $AB$ પર $M$ દળનો બીજો સમાન ત્રિકોણ જોડીએ,તો આપણને $a$ બાજુ અને $2M$ કુલ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ મળે છે.
$AB$ ના મધ્યબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી અને ચોરસના સમતલને લંબ અક્ષ એ ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ છે.
$L$ બાજુ અને $M_{total}$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{6} M_{total} L^2$ છે.
અહીં,$M_{total} = 2M$ અને $L = a$ છે.
તેથી,ચોરસ પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{square} = \frac{1}{6} (2M) a^2 = \frac{Ma^2}{3}$ થાય.
ચોરસ બે સમાન ત્રિકોણોનો બનેલો હોવાથી,સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,ચોરસની જડત્વની ચાકમાત્રા એ સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને બે ત્રિકોણોની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$I_{square} = I_{triangle1} + I_{triangle2} = 2 I_{triangle}$.
તેથી,$I_{triangle} = \frac{1}{2} I_{square} = \frac{1}{2} \left( \frac{Ma^2}{3} \right) = \frac{Ma^2}{6}$.

(D) ધારો કે ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ અને બાજુની લંબાઈ $L$ છે.
$1$. $AOC$ અક્ષ ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને પ્લેટના સમતલમાં વિકર્ણ પર રહેલી છે. વિકર્ણને અનુલક્ષીને ચોરસ પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{12} M L^2$ છે.
$2$. $xDx'$ અને $yBy'$ અક્ષો વિકર્ણ $AOC$ ને સમાંતર છે અને અનુક્રમે ખૂણા $D$ અને $B$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. વિકર્ણ $AOC$ અને સમાંતર અક્ષો $xDx'$ અથવા $yBy'$ વચ્ચેનું લંબ અંતર $d = \frac{L}{\sqrt{2}}$ છે.
$4$. સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + M d^2$,જ્યાં $I_{cm} = I_1 = \frac{1}{12} M L^2$.
$5$. તેથી,$I_2 = I_3 = \frac{1}{12} M L^2 + M \left( \frac{L}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{12} M L^2 + \frac{1}{2} M L^2 = \left( \frac{1 + 6}{12} \right) M L^2 = \frac{7}{12} M L^2$.
$6$. ગુણોત્તર $I_1 : I_2 : I_3 = \frac{1}{12} M L^2 : \frac{7}{12} M L^2 : \frac{7}{12} M L^2 = 1 : 7 : 7$.

(B) આ ત્રિકોણાકાર શીટ એક કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓની લંબાઈ $l$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} l^2$ છે.
ધારો કે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{A} = \frac{2M}{l^2}$ છે.
$b$ લંબાઈની બાજુ અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતી પાતળી ત્રિકોણાકાર પ્લેટની તેની બાજુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Mh^2}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિસ્સામાં,$PR$ અક્ષ માટે,પાયો કર્ણ $PR = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2}$ છે.
શિરોબિંદુ $Q$ થી કર્ણ $PR$ પરની ઊંચાઈ $h = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતોને $I = \frac{Mh^2}{6}$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{M (l/\sqrt{2})^2}{6} = \frac{M (l^2/2)}{6} = \frac{Ml^2}{12}$.

(D) ધારો કે અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનું કેન્દ્ર $O$ છે. $2M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = (2M)R^2$ છે.
સંમિતિ મુજબ,$M$ દળ ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગની $O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_O = MR^2$ થાય.
હવે,બિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું. કેન્દ્ર $O$ અને બિંદુ $A$ વચ્ચેનું અંતર $R$ છે.
સમાંતર અક્ષનું પ્રમેય $I_A = I_O + Md^2$ છે,જ્યાં $d = R$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I_A = MR^2 + M(R)^2 = 2MR^2$ મળે છે.

(B) ચોરસ પ્લેટની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{M L^{2}}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલમાં $\theta$ ખૂણે નમેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\theta} = I_{CM} = \frac{M L^{2}}{12}$ થાય છે (કારણ કે ચોરસ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી પ્લેટના સમતલની કોઈપણ અક્ષ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે).
હવે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ: $I = I_{CM} + M d^{2}$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી આપેલી અક્ષનું લંબ અંતર છે.
ચોરસના કેન્દ્રથી શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમક્ષિતિજ સાથે $15^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી અક્ષનું અંતર $d = \frac{L}{\sqrt{2}} \sin(45^{\circ} + 15^{\circ}) = \frac{L}{\sqrt{2}} \sin(60^{\circ}) = \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} L}{2 \sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$I = \frac{M L^{2}}{12} + M \left( \frac{\sqrt{3} L}{2 \sqrt{2}} \right)^{2} = \frac{M L^{2}}{12} + M \left( \frac{3 L^{2}}{8} \right) = \frac{M L^{2}}{12} + \frac{9 M L^{2}}{24} = \frac{2 M L^{2} + 9 M L^{2}}{24} = \frac{11 M L^{2}}{24}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણાકાર પ્લેટની ઊંચાઈ $h$ છે. શિરોબિંદુનો ખૂણો $90^o$ હોવાથી અને ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ એ પાયા $L$ કરતા અડધી છે,તેથી $h = L/2$.
પ્લેટની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\text{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times h} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ છે.
શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક પાતળી પટ્ટી લો. ઊંચાઈ $y$ પર પટ્ટીની લંબાઈ $l(y) = 2y$ છે (શિરોબિંદુનો ખૂણો $90^o$ હોવાથી,બાજુઓ શિરોલંબ સાથે $45^o$ નો ખૂણો બનાવે છે).
આ પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \frac{4M}{L^2} \times 2y \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ છે.
પાયાને અનુલક્ષીને (જે $y = h = L/2$ પર છે) આ પટ્ટીની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = dm \times (h - y)^2$ છે.
$y = 0$ થી $y = L/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y (L/2 - y)^2 dy = \frac{8M}{L^2} \int_0^{L/2} (y \frac{L^2}{4} - Ly^2 + y^3) dy$.
$I = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^2}{4} \frac{y^2}{2} - L \frac{y^3}{3} + \frac{y^4}{4}]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^2}{4} \frac{L^2}{8} - L \frac{L^3}{24} + \frac{L^4}{64}] = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^4}{32} - \frac{L^4}{24} + \frac{L^4}{64}] = \frac{8M}{L^2} [\frac{6L^4 - 8L^4 + 3L^4}{192}] = \frac{8M}{L^2} \frac{L^4}{192} = \frac{ML^2}{24}$.

(D) ધારો કે ચોરસ લેમિનાનું દળ $M$ અને બાજુની લંબાઈ $a$ છે. તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ $(I_z)$ વિશે ચોરસ લેમિનાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_z = I_x + I_y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_x$ અને $I_y$ એ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુઓને સમાંતર અક્ષો વિશેની જડત્વની આઘૂર્ણ છે. સંમિતિ દ્વારા,$I_x = I_y = I_{EF} = I_{GH}$ (જ્યાં $EF$ અને $GH$ એ વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષો છે). આમ,$I_z = 2 I_{EF}$.
તે જ રીતે,વિકર્ણ અક્ષો $AC$ અને $BD$ વિશેની જડત્વની આઘૂર્ણ સંમિતિ દ્વારા સમાન છે,તેથી $I_{AC} = I_{BD}$. લંબ અક્ષ પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_{AC} + I_{BD} = 2 I_{AC}$.
$I_z$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $2 I_{EF} = 2 I_{AC}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $I_{AC} = I_{EF}$ મળે છે.

(A) '$a$' બાજુ અને '$m$' દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_{cm} = \frac{1}{12}m(a^2 + a^2) = \frac{ma^2}{6}$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,ખૂણામાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_{cm} + md^2$
અહીં,'$d$' એ ચોરસના કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર છે. '$a$' બાજુવાળા ચોરસ માટે,વિકર્ણ '$a\sqrt{2}$' છે,તેથી કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર:
$d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{ma^2}{6} + m\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2}$
$I = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$

(A) $m$ દળ,$l$ લંબાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન નક્કર નળાકારની તેના લંબ દ્વિભાજકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{mR^2}{4} + \frac{ml^2}{12}$
ધારો કે ઘનતા $\rho$ અચળ છે,તેથી દળ $m = \rho V = \rho (\pi R^2 l)$.
$I$ ના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = \frac{\rho \pi R^2 l R^2}{4} + \frac{\rho \pi R^2 l^3}{12} = \frac{\rho \pi R^4 l}{4} + \frac{\rho \pi R^2 l^3}{12}$
કદ $V = \pi R^2 l$ અચળ હોવાથી,આપણે $R^2 = \frac{V}{\pi l}$ લખી શકીએ. આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{m}{4} \left( \frac{V}{\pi l} + \frac{l^2}{3} \right)$
જડત્વની ચાકમાત્રા ન્યૂનતમ મેળવવા માટે,આપણે $I$ નું $l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dI}{dl} = \frac{m}{4} \left( -\frac{V}{\pi l^2} + \frac{2l}{3} \right) = 0$
$\frac{V}{\pi l^2} = \frac{2l}{3} \implies V = \frac{2\pi l^3}{3}$
$V = \pi R^2 l$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\pi R^2 l = \frac{2\pi l^3}{3} \implies R^2 = \frac{2l^2}{3} \implies \frac{l^2}{R^2} = \frac{3}{2}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{l}{R} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ થશે.

(D) ધારો કે $\sigma$ એ તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ છે.
મૂળ તકતીનું કુલ દળ $M_{total} = 9M$ છે.
મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$r = \frac{R}{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી નાની તકતીનું દળ:
$m = \sigma \times \pi r^2 = \sigma \times \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\sigma \pi R^2}{9} = \frac{M_{total}}{9} = \frac{9M}{9} = M$.
$9M$ દળ ધરાવતી સંપૂર્ણ તકતીની તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$.
$M$ દળ ધરાવતી દૂર કરેલી તકતીની તેના પોતાના કેન્દ્ર $O'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{O'} = \frac{1}{2}M\left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દૂર કરેલી તકતીની $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_2 = I_{O'} + M d^2$,જ્યાં $d = \frac{2R}{3}$ એ $O$ અને $O'$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_2 = \frac{1}{18}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \left(\frac{1+8}{18}\right)MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_1 - I_2 = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = \frac{8}{2}MR^2 = 4MR^2$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની સમાન તકતીની $z$-અક્ષ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $x - y + c = 0$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|0 - 0 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ છે,જ્યાં $I_{cm}$ એ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I_{cm} = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
તેથી,$y = x + c$ રેખાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{4}MR^2 + M\left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2}$ છે.
બંને જડત્વની ચાકમાત્રાઓને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2}$
$\frac{1}{4}MR^2 = \frac{Mc^2}{2}$
$c^2 = \frac{R^2}{2}$
$c = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}$.
વિકલ્પોમાં $R/\sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી,સાચું મૂલ્ય $R/\sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ ત્રિકોણ $ABC$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $BC = a$ અને વેધ $h = a/2$ છે.
આવી ચાર સમાન ત્રિકોણાકાર પ્લેટો દ્વારા બનેલ $a$ બાજુ અને $4M$ દળ ધરાવતા ચોરસનો વિચાર કરો.
આ ચોરસની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{square} = \frac{1}{6}(4M)a^2 = \frac{2}{3}Ma^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,ચોરસના એક શિરોબિંદુ $(A)$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{vertex} = I_{CM} + (4M)d^2$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર છે,$d^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2$.
તેથી,$I_{vertex} = \frac{1}{6}(4M)a^2 + (4M)(a^2/2) = \frac{2}{3}Ma^2 + 2Ma^2 = \frac{8}{3}Ma^2$.
ચોરસ ચાર સમાન ત્રિકોણોનો બનેલો હોવાથી,$A$ માંથી પસાર થતી સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને એક ત્રિકોણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{triangle} = \frac{1}{4} I_{vertex} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3}Ma^2 = \frac{2}{3}Ma^2$.
જોકે,પાયો $a$ અને વેધ $h$ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ માટે પ્રમાણિત પરિણામ $I = M(\frac{h^2}{6} + \frac{a^2}{24})$ છે. $h = a/2$ લેતા,$I = M(\frac{a^2}{24} + \frac{a^2}{24}) = M(\frac{2a^2}{24}) = \frac{Ma^2}{12}$.

$(a)$ લંબ અક્ષ પ્રમેય $I_z = I_x + I_y$ માત્ર સમતલીય (દ્વિ-પરિમાણીય) પદાર્થો માટે જ લાગુ પડે છે। સમઘન એ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ છે, તેથી આ ખોટું છે.
$(b)$ $A$-અક્ષ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી $z$-અક્ષને સમાંતર છે। $z$-અક્ષ અને $A$-અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે। સમાંતર અક્ષ પ્રમેય મુજબ, $I_A = I_{cm} + md^2 = I_z + m(\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = I_z + \frac{ma^2}{2}$। આ સાચું છે.
$(c)$ $B$-અક્ષ એ $z$-અક્ષને સમાંતર નથી, તેથી સમાંતર અક્ષ પ્રમેય આ રીતે લાગુ કરી શકાતો નથી। આ ખોટું છે.
$(d)$ કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ સમઘનની સંમિતિને કારણે, કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી $x, y$ અને $z$ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે, એટલે કે $I_x = I_y = I_z$। તેથી, $I_x = I_z$ સાચું છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક સમાન પોલા અર્ધગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ તેના પાયાના કેન્દ્રથી સંમિતિની અક્ષ પર $R/2$ અંતરે આવેલું હોય છે.
બંને અક્ષો $I_A$ અને $I_B$ એ $COM$ માંથી પસાર થતા પાયાના વ્યાસને સમાંતર છે.
અક્ષ $I_A$ એ $COM$ થી $R/2$ અંતરે છે.
અક્ષ $I_B$ એ $COM$ થી $R/2$ અંતરે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I = I_{COM} + Md^2$.
બંને અક્ષો $COM$ થી સમાન અંતર $d = R/2$ પર હોવાથી,બંને અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે.
તેથી,$I_A = I_B = I_{COM} + M(R/2)^2$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર તકતી માટે,વ્યાસ (અક્ષ $XX'$) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = \frac{1}{4} M R^2$ છે.
તકતી તેના સમતલમાં વ્યાસને લંબ અક્ષ (અક્ષ $AA'$) ને અનુલક્ષીને સંમિત હોવાથી,આ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા પણ $I_y = \frac{1}{4} M R^2$ છે.
સંમિતિને કારણે આ અક્ષોને અનુલક્ષીને અર્ધવર્તુળાકાર તકતી માટે પ્રોડક્ટ ઓફ ઇનર્શિયા $I_{xy}$ શૂન્ય છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને વ્યાસ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = I_x \sin^2 \theta + I_y \cos^2 \theta - 2 I_{xy} \sin \theta \cos \theta$
$I_x = \frac{1}{4} M R^2$,$I_y = \frac{1}{4} M R^2$,અને $I_{xy} = 0$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{4} M R^2 \sin^2 \theta + \frac{1}{4} M R^2 \cos^2 \theta$
$I = \frac{1}{4} M R^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$I = \frac{1}{4} M R^2$

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (વ્યાસ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $d = R$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I_{tangent} = I + MR^2$ મળે છે.
કારણ કે $I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $MR^2 = 2I$ થાય.
આમ,$I_{tangent} = I + 2I = 3I$ થાય.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન તકતીની $z$-અક્ષ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
રેખા $y = x + c$ ને $x - y + c = 0$ તરીકે લખી શકાય. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|0 - 0 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર $x-y$ સમતલની કોઈપણ રેખાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ છે,જ્યાં $I_{cm}$ એ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $\frac{1}{4}MR^2$ છે.
તેથી,$I_{line} = \frac{1}{4}MR^2 + M\left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2}$.
આપેલ છે કે $I_{line} = I_z$,તેથી $\frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2} = \frac{1}{2}MR^2$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{4}MR^2$ બાદ કરતા,આપણને $\frac{Mc^2}{2} = \frac{1}{4}MR^2$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$c^2 = \frac{R^2}{2}$,જેનું મૂલ્ય $c = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમાન વર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{G} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીની ધારમાંથી પસાર થતી અને તકતીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{G} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = R$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2 = \frac{3}{2}MR^2$ મળે છે.

(B) સમતલીય પદાર્થ માટે,લંબ અક્ષ પ્રમેય મુજબ,સમતલને લંબ અક્ષ $(z-z')$ ની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા એ સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો ($x-x'$ અને $y-y'$) ની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આમ,$I_{zz'} = I_{xx'} + I_{yy'}$.
અહીં $I_{xx'}$ અને $I_{yy'}$ બંને ધન રાશિઓ હોવાથી,$I_{zz'} > I_{xx'}$ અને $I_{zz'} > I_{yy'}$ થાય.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $z-z'$ અક્ષ માટે મહત્તમ છે.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_z = \frac{1}{2} mR^2$
$z'$ અક્ષ એ $z$-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શક અક્ષ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રિય અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે. અહીં,$d = R$.
$I_{z'} = I_z + mR^2 = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$
$z$ અને $z'$ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_z}{I_{z'}} = \frac{\frac{1}{2} mR^2}{\frac{3}{2} mR^2} = \frac{1}{3}$
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(D) બાજુ અને $m$ દળ ધરાવતી પાતળી સમાન ચોરસ શીટ માટે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{ma^2}{6}$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$,જ્યાં $I_x$ અને $I_y$ એ શીટના સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી બે લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
સમાનતાને કારણે,$I_x = I_y = \frac{ma^2}{12}$.
ધારો કે $I_d$ એ વિકર્ણ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા છે. બે વિકર્ણો (જે એકબીજાને લંબ છે અને સમતલમાં આવેલા છે) પર લાગુ પડતા લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_{d1} + I_{d2}$.
ચોરસ સમાન હોવાથી,$I_{d1} = I_{d2} = I$.
આમ,$I_z = 2I$,જે સૂચવે છે કે $I = \frac{I_z}{2} = \frac{ma^2/6}{2} = \frac{ma^2}{12}$.
તેથી,$I = \frac{ma^2}{12}$.