Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Gujarati

(B) વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} MR^2$ છે,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં વ્યાસ $r$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{r}{2}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$I_{diam} = \frac{1}{2} M(\frac{r}{2})^2 = \frac{1}{8} Mr^2$ મળે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{tangent} = I_{CM} + Md^2$,જ્યાં $I_{CM} = I_{diam} = \frac{1}{8} Mr^2$ અને $d = R = \frac{r}{2}$ છે.
તેથી,$I_{tangent} = \frac{1}{8} Mr^2 + M(\frac{r}{2})^2 = \frac{1}{8} Mr^2 + \frac{1}{4} Mr^2 = \frac{3}{8} Mr^2$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ ડિસ્કની તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$r = R/3$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી ડિસ્કનું દળ $m = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/3)^2 = \frac{M}{9}$ છે.
$O$ માંથી પસાર થતી સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને દૂર કરેલી ડિસ્કની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $I_2 = I_{cm} + md^2$,જ્યાં $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2$ અને $d = R - r = R - R/3 = 2R/3$ છે.
$I_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{9}\right) \left(\frac{R}{3}\right)^2 + \left(\frac{M}{9}\right) \left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{MR^2}{162} + \frac{4MR^2}{81} = \frac{MR^2 + 8MR^2}{162} = \frac{9MR^2}{162} = \frac{MR^2}{18}$ છે.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{1}{18} MR^2 = \frac{9-1}{18} MR^2 = \frac{8}{18} MR^2 = \frac{4}{9} MR^2$ છે.
આને $\frac{4}{x} MR^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(C) ધારો કે ગોળાની ઘનતા $\rho$ છે. $2R$ ત્રિજ્યાના મોટા ગોળાનું દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (2R)^3 = 8 \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ છે. ધારો કે $m_0 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ એ નાના ગોળાનું દળ છે. તેથી $M = 8m_0$,એટલે કે $m_0 = M/8$.
મોટા ગોળાની $Y$-અક્ષ (જે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} M (2R)^2 = \frac{8}{5} MR^2$ છે.
નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેનું કેન્દ્ર $x = R$ પર છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $Y$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + m_0 d^2 = \frac{2}{5} m_0 R^2 + m_0 R^2 = \frac{7}{5} m_0 R^2$ થાય.
$m_0 = M/8$ મૂકતા,આપણને $I_2 = \frac{7}{5} (M/8) R^2 = \frac{7}{40} MR^2$ મળે છે.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rem} = I_1 - I_2 = \frac{8}{5} MR^2 - \frac{7}{40} MR^2 = \frac{64 - 7}{40} MR^2 = \frac{57}{40} MR^2$ છે.
નાના ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_{rem}} = \frac{7/40 MR^2}{57/40 MR^2} = \frac{7}{57}$ થાય.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $mR^2 = \frac{5}{2} I$ થાય.
તંત્ર માટે,$AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AB} = I_1 + I_2$ છે.
પ્રથમ ગોળા માટે,$AB$ અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I$ છે.
બીજા ગોળા માટે,$AB$ અક્ષ તેને સ્પર્શક છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{com} + mR^2 = I + mR^2$ મળે.
$mR^2 = \frac{5}{2} I$ મૂકતા,આપણને $I_2 = I + \frac{5}{2} I = \frac{7}{2} I$ મળે છે.
તેથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AB} = I + \frac{7}{2} I = \frac{9}{2} I$ થશે.

(A) તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{9M}{\pi R^2}$ છે.
$\frac{R}{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી નાની તકતીનું દળ $m = \sigma \cdot \pi r^2 = \frac{9M}{\pi R^2} \cdot \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = M$ થાય.
$O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$ છે.
દૂર કરેલી તકતીની તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}m r^2 = \frac{1}{2}M(\frac{R}{3})^2 = \frac{1}{18}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને દૂર કરેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{removed} = I_{cm} + md^2$ થાય,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે,$d = R - \frac{R}{3} = \frac{2R}{3}$.
$I_{removed} = \frac{1}{18}MR^2 + M(\frac{2R}{3})^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \frac{1+8}{18}MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{remaining} = I_{total} - I_{removed} = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = 4MR^2$ થાય.

(B) પાતળી વર્તુળાકાર તકતીની સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય છે.
આથી,$MR^2 = \frac{4}{5}I$ મળે છે.
તકતીના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$MR^2$ ની કિંમત મૂકતા,$I_z = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5}I) = \frac{2}{5}I$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે ગોળાઓ $S_1$ અને $S_2$ છે. પરિભ્રમણની અક્ષ $S_1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને સળિયાને લંબ છે.
ગોળા $S_1$ માટે,તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ગોળા $S_2$ માટે,તેના કેન્દ્રનું પરિભ્રમણની અક્ષથી અંતર $d = 4R$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2 = \frac{2}{5} MR^2 + 16MR^2 = \frac{82}{5} MR^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{82}{5} MR^2 = \frac{84}{5} MR^2$.

(C) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
ગોળા $1$ માટે,અક્ષ $YY^1$ તેના કેન્દ્ર (વ્યાસ) માંથી પસાર થાય છે. તેથી,$I_1 = \frac{2}{5} mr^2$.
ગોળા $2$ અને $3$ માટે,અક્ષ $YY^1$ તેમને સ્પર્શે છે. આ ગોળાઓના કેન્દ્રનું અક્ષ $YY^1$ થી અંતર $r$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + md^2$,જ્યાં $d = r$.
તેથી,$I_2 = I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} mr^2$.
સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 = \frac{16}{5} mr^2$ થાય.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + mR^2$ થાય.
અહીં $I_{cm} = I = \frac{2}{5} mR^2$ મૂકતા:
$I_{tangent} = \frac{2}{5} mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5} mR^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = \frac{2}{5} mR^2$,તેથી $mR^2 = \frac{5}{2} I$.
આ કિંમત $I_{tangent}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_{tangent} = \frac{7}{5} \times (\frac{5}{2} I) = \frac{7}{2} I = 3.5 I$.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને પાતળા સમાન સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને આપેલી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક છેડાથી $L/2$ અંતરે હોય છે.
આપેલી અક્ષ તે જ છેડાથી $L/4$ અંતરે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = |L/2 - L/4| = L/4$ થશે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(L/4)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $48$ લેતા:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_D)$ નીચે મુજબ છે:
$I_D = \frac{MR^2}{4}$
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તેના સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_T)$ સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$I_T = I_{CM} + MR^2$
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{MR^2}{2}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$I_T = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$
તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા અને રીંગની તેના સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_D}{I_T} = \frac{\frac{MR^2}{4}}{\frac{3}{2} MR^2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
આમ,ગુણોત્તર $1: 6$ છે.

(D) ધારો કે $I$ એ ચોરસ પ્લેટની કેન્દ્ર '$O$' માંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,પ્લેટના સમતલમાં રહેલી અને કેન્દ્રમાં છેદતી કોઈપણ બે પરસ્પર લંબ અક્ષો માટે,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો એ પ્લેટના સમતલને લંબ અક્ષની જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલો થાય છે.
અક્ષ $1$ અને $2$ (વિકર્ણો) માટે,$I = I_1 + I_2$.
અક્ષ $3$ અને $4$ (મધ્યરેખાઓ) માટે,$I = I_3 + I_4$.
પ્લેટ ચોરસ હોવાથી,સંમિતિને કારણે $I_1 = I_2$ અને $I_3 = I_4$ થાય.
આમ,$I = 2I_1$ અને $I = 2I_3$,જેનો અર્થ છે કે $I_1 = I_3$.
તેથી,લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_3$ (અથવા $I_2 + I_4$,અથવા $I_1 + I_4$,વગેરે) થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું પદ $I_1 + I_3$ છે.

(B) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{CM}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ તકતીનું દળ છે,અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અક્ષનું લંબ અંતર છે.
તકતી માટે $I_{CM}$ અને $M$ અચળ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(A)$ થી અંતર $d$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના અંતરની સરખામણી કરતા:
- બિંદુ $A$ માટે,$d = 0$.
- બિંદુ $B$ માટે,$d = R$ (તકતીની ત્રિજ્યા).
- બિંદુ $C$ માટે,$d < R$.
- બિંદુ $D$ માટે,$d < R$.
બિંદુ $B$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી મહત્તમ અંતરે $(d = R)$ હોવાથી,બિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ હશે.

(A) તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^2}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{axis} = I_{cm} + Mh^2$.
ધારને સ્પર્શતી અક્ષ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $h = R$ છે. તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1$ નીચે મુજબ મળે:
$I_1 = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
કેન્દ્ર અને ધારની વચ્ચેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $h = R/2$ છે. તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ નીચે મુજબ મળે:
$I_2 = \frac{MR^2}{2} + M(R/2)^2 = \frac{MR^2}{2} + \frac{MR^2}{4} = \frac{3}{4} MR^2$.
બંને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{3}{2} MR^2}{\frac{3}{4} MR^2} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) ચોરસના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ચોરસ ફ્રેમની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે દરેક સળિયા માટે સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સળિયા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક સળિયાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{L}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને એક સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ થાય.
આવા ચાર સળિયા હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$ થાય.

(B) $M$ દળ અને $b$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ લેમિનાની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{lamina}} = \frac{M(b^2 + b^2)}{12} = \frac{Mb^2}{6}$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્કની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disc}} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંનેની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે:
$\frac{Mb^2}{6} = \frac{MR^2}{2}$.
બંને બાજુથી $M$ દૂર કરતા,આપણને મળે:
$\frac{b^2}{6} = \frac{R^2}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{b^2}{R^2}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{b^2}{R^2} = \frac{6}{2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{b}{R} = \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(D) એક વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
સાત તકતીઓની સિસ્ટમ માટે,મધ્યસ્થ તકતીના કેન્દ્ર (બિંદુ $O$) માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ મધ્યસ્થ તકતી અને છ આસપાસની તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$1$. મધ્યસ્થ તકતી માટે: અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{MR^2}{2}$ છે.
$2$. છ આસપાસની તકતીઓ માટે: મધ્યસ્થ તકતીના કેન્દ્ર અને કોઈપણ આસપાસની તકતીના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દરેક આસપાસની તકતીની મધ્યસ્થ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{MR^2}{2} + M(2R)^2 = \frac{MR^2}{2} + 4MR^2 = \frac{9MR^2}{2}$ છે.
આવી છ આસપાસની તકતીઓ હોવાથી,તેમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $6 \times I_2 = 6 \times \frac{9MR^2}{2} = 27MR^2$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + 6I_2 = \frac{MR^2}{2} + 27MR^2 = \frac{MR^2 + 54MR^2}{2} = \frac{55MR^2}{2}$.

(B) ધારો કે $I_0$ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I_0 = \frac{Ma^2}{6}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ ખૂણા $A$ સુધીનું અંતર $h$ એ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ છે.
તેથી,અંતર $h = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ખૂણા $A$ માંથી પસાર થતી અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A$ નીચે મુજબ મળે:
$I_A = I_0 + Mh^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2}$
$I_A = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$.

(D) ધારો કે અક્ષ ગોળા $1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2R$ છે.
ગોળા $1$ માટે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{c1} = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{10} MR^2$ છે.
ગોળા $2$ માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રથી $d = 2R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{c2} + Md^2 = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 + M(2R)^2 = \frac{1}{10} MR^2 + 4MR^2 = \frac{41}{10} MR^2$ મળે.
સળિયો દળરહિત છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $0$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{c1} + I_2 = \frac{1}{10} MR^2 + \frac{41}{10} MR^2 = \frac{42}{10} MR^2 = \frac{21}{5} MR^2$ થાય.

(A) તકતીના બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_r)$ સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_r = I_{\text{disc}} - I_{\text{hole}}$
જ્યાં $I_{\text{disc}}$ એ મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $I_{\text{hole}}$ એ દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$1$. મૂળ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} MR^2$
$2$. દૂર કરેલા કાણાના ગુણધર્મો:
કાણાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{2}$.
પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ સમાન હોવાથી,કાણાનું દળ $M_h$:
$M_h = \sigma \cdot \pi r^2 = \left(\frac{M}{\pi R^2}\right) \cdot \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$.
$3$. મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને કાણાની જડત્વની ચાકમાત્રા:
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + M_h d^2$,જ્યાં $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M_h r^2$ અને $d = \frac{R}{2}$ એ કાણાના કેન્દ્ર અને મૂળ તકતીના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{\text{hole}} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I_{\text{hole}} = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{MR^2 + 2MR^2}{32} = \frac{3MR^2}{32}$.
$4$. બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_r = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$.

(D) સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = I_{CM} + Mh^2$.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર $h = \frac{2R}{3}$ છે.
આ કિંમતોને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2$
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4R^2}{9}\right)$
$I_2 = MR^2 \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right) = MR^2 \left(\frac{9 + 8}{18}\right) = \frac{17}{18}MR^2$.
હવે,$\frac{I_2}{I_1}$ ગુણોત્તર મેળવતા:
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$.
આને આપેલા ગુણોત્તર $\frac{x}{9}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 17$ મળે છે.

(A) તારનું કુલ દળ $M = \lambda L$ છે. તારને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે છે,તેથી પરિઘ $2 \pi R = L$ થાય,એટલે કે $R = \frac{L}{2 \pi}$.
વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ગૂંચળાના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diam} + M R^2$ થાય.
$I = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$.
$M = \lambda L$ અને $R = \frac{L}{2 \pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{3}{2} \lambda L \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(B) એક નક્કર ગોળાની તેના પોતાના કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી અંતર છે.
ગોળા $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે:
$I_A = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_A = \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(6R)^2)$
$I_A = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 16R^2 + 36R^2) = 1.6 MR^2 + 56 MR^2 = 57.6 MR^2$.
ગોળા $B$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે:
$I_B = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_B = (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2)$
$I_B = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 4R^2 + 16R^2) = 1.6 MR^2 + 24 MR^2 = 25.6 MR^2$.
તફાવત $|I_A - I_B| = 57.6 MR^2 - 25.6 MR^2 = 32 MR^2$ થાય.

(A) રીંગની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2 = 4 \,kg \,m^2$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ, તેના સમતલમાં રહેલા વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \,kg \,m^2$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_t = I_d + MR^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I_t = 2 \,kg \,m^2 + 4 \,kg \,m^2 = 6 \,kg \,m^2$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રથી $d$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$d = \frac{R}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$.
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R^2}{4}\right)$.
$I = \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) MR^2$.
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2 = \frac{13}{20} MR^2$.

(D) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2$ છે.
તકતી $A$ માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = \frac{1}{2} m r^2$ છે.
તકતી $B$ માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રથી $d = 2r$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_B = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m(2r)^2 = \frac{1}{2} m r^2 + 4 m r^2 = \frac{9}{2} m r^2$.
આખા તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_A + I_B = \frac{1}{2} m r^2 + \frac{9}{2} m r^2 = \frac{10}{2} m r^2 = 5 m r^2$ થાય.

(D) ખ્યાલ: સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ.
નક્કર ગોળા માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{cm}} = \frac{2}{5} MR^2$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અને $d$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = I_{\text{cm}} + Md^2$
અહીં,અંતર $d = \frac{R}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2$
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2$
$I = \frac{13}{20} MR^2$

(A) તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $M = 1 \,kg$ અને $R = 2 \,m$ આપેલ છે,તેથી $I_{cm} = \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^2 = 2 \,kg \cdot m^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$XY$ અક્ષને સમાંતર અને તકતીની ધારમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $d = R$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે।
કિંમતો મૂકતા,$I' = 2 + (1 \times 2^2) = 2 + 4 = 6 \,kg \cdot m^2$.

(B) $YY'$ અક્ષ ઉપરની રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તે રીંગનો વ્યાસ છે. તેથી,ઉપરની રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
નીચેની બે રીંગો માટે,$YY'$ અક્ષ એ દરેક રીંગના સમતલમાં રહેલો સ્પર્શક છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,રીંગના સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ થાય.
આવી બે નીચેની રીંગો હોવાથી,તેમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 + I_3 = \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = 3 MR^2$ થશે.
આમ,$YY'$ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = \frac{7}{2} MR^2$ મળે છે.

(A) ઉપરના ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી $YY'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
નીચેના બે ગોળાઓ માટે,$YY'$ અક્ષ તેમના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દરેક નીચેના ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ થશે.
તેથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + 2 \times I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + 2 \times \frac{7}{5} MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{14}{5} MR^2 = \frac{16}{5} MR^2$ થશે.

(B) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = ML^2/12$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને નવી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક છેડાથી $L/2$ અંતરે છે. નવી અક્ષ તે જ છેડાથી $L/4$ અંતરે છે.
તેથી,અંતર $d = |L/2 - L/4| = L/4$ થાય.
આ કિંમતોને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = ML^2/12 + M(L/4)^2$
$I = ML^2/12 + ML^2/16$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $48$ લેતા:
$I = (4ML^2 + 3ML^2) / 48 = 7ML^2/48$.

(A) મૂળ તકતીનું દળ $M_{total} = 9M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{1}{2} M_{total} R^{2} = \frac{1}{2} (9M) R^{2} = \frac{9 MR^{2}}{2}$ છે.
દળ એ ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,દૂર કરેલી તકતીનું દળ $m = M_{total} \times \frac{\pi (R/3)^{2}}{\pi R^{2}} = 9M \times \frac{1}{9} = M$ મળે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને દૂર કરેલી તકતીની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I^{\prime} = I_{cm} + m d^{2}$ થાય,જ્યાં $I_{cm} = \frac{1}{2} m (R/3)^{2}$ અને $d = \frac{2R}{3}$ છે.
$I^{\prime} = \frac{1}{2} M (R/3)^{2} + M (2R/3)^{2} = \frac{MR^{2}}{18} + \frac{4MR^{2}}{9} = \frac{MR^{2} + 8MR^{2}}{18} = \frac{9MR^{2}}{18} = \frac{MR^{2}}{2}$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{remaining} = I_{1} - I^{\prime} = \frac{9 MR^{2}}{2} - \frac{MR^{2}}{2} = \frac{8 MR^{2}}{2} = 4 MR^{2}$ થાય.

(C) એક છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{cm} + Mh^2$.
અહીં,$I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $\frac{ML^2}{12}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (છેડાથી $\frac{L}{2}$ અંતરે) અને આપેલી અક્ષ (છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે) વચ્ચેનું અંતર $h = |\frac{L}{2} - \frac{L}{3}| = \frac{L}{6}$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36}$
$I = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(D) આપેલ છે કે,કેન્દ્ર $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{o} = \frac{Ma^{2}}{6}$ છે.
ખૂણામાંથી (ધારો કે $A$) પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I_{A} = I_{o} + Mh^{2}$,જ્યાં $h$ એ કેન્દ્ર અને ખૂણા વચ્ચેનું અંતર છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર $h$ એ વિકર્ણનું અડધું છે: $h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
પ્રમેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + \frac{Ma^{2}}{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2} + 3Ma^{2}}{6} = \frac{4Ma^{2}}{6} = \frac{2Ma^{2}}{3}$.

(A) તારનું કુલ દળ $m = Q \cdot L$ છે.
તારને $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કોઈલમાં વાળવામાં આવતા,પરિઘ $2 \pi R = L$ થાય,તેથી $R = L / (2 \pi)$ મળે.
વર્તુળાકાર રિંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = (1/2) m R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક અક્ષ $XX'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{XX'} = I_{cm} + m R^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm}$ એ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{XX'} = (1/2) m R^2 + m R^2 = (3/2) m R^2$.
$m = Q L$ અને $R = L / (2 \pi)$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{XX'} = (3/2) \cdot (Q L) \cdot (L / (2 \pi))^2$
$I_{XX'} = (3/2) \cdot Q L \cdot (L^2 / (4 \pi^2))$
$I_{XX'} = 3 Q L^3 / (8 \pi^2)$.

(B) $L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ માંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ છે.
આપેલ અક્ષનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર $x = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{CM} + M x^2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{6} \right)^2$.
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{36}$.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ લેતા,$I = \frac{3 M L^2 + M L^2}{36} = \frac{4 M L^2}{36} = \frac{M L^2}{9}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{4} M R^2$ છે.
આથી,$M R^2 = 4 I$ મળે.
તકતીના સમતલને લંબ અને તેની ધારમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,તકતીના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{rim} = I_{cm} + M R^2$.
$I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ મૂકતા,$I_{rim} = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$ મળે.
હવે,$M R^2 = 4 I$ કિંમત મૂકતા,$I_{rim} = \frac{3}{2} (4 I) = 6 I$ મળે.

(A) ધારો કે $\sigma$ એ તકતીની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મૂળ તકતીનું દળ $M_1 = \sigma \pi R^2$ છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કાપેલા ભાગનું દળ $M_2 = \sigma \pi r^2$ છે. વલયાકાર તકતીનું દળ $M = M_1 - M_2 = \sigma \pi (R^2 - r^2)$ છે,તેથી $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$.
મૂળ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R^2) R^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R^4$ છે.
કાપેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} M_2 r^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi r^2) r^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi r^4$ છે.
વલયાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (R^4 - r^4)$ છે.
$\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ મૂકતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \right) \pi (R^4 - r^4) = \frac{1}{2} M \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{(R^2 - r^2)} = \frac{1}{2} M(R^2 + r^2)$.

(D) કેન્દ્ર અને છેડાની વચ્ચેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{CM} + M d^2$.
અહીં,$I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને નવી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{L}{4}$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{16}$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $48$ લેતા:
$I = \frac{4 M L^2 + 3 M L^2}{48} = \frac{7 M L^2}{48}$.

(C) સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{1}{2} M R^{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષથી $d = R$ અંતરે આવેલી અને તેને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + M d^{2}$ થાય.
$d = R$ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2} M R^{2}$.

(A) આ સિસ્ટમમાં એક મધ્યસ્થ તકતી અને છ બાહ્ય તકતીઓ છે. આપણે મધ્યસ્થ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને છ બાહ્ય તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવાની છે.
દરેક બાહ્ય તકતી માટે,તેના કેન્દ્રનું મધ્યસ્થ અક્ષથી અંતર $d = 2R$ છે.
પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષ (સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને એક તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક બાહ્ય તકતીની મધ્યસ્થ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{outer} = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m(2R)^2 = \frac{1}{2} m R^2 + 4 m R^2 = \frac{9}{2} m R^2$.
આવી છ બાહ્ય તકતીઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{total} = 6 \times I_{outer} = 6 \times \frac{9}{2} m R^2 = 27 m R^2$.

(B) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ, સમતલીય પદાર્થ (લેમિના) માટે, સમતલને લંબ અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_Z)$ એ સમતલમાં રહેલી અને એક જ બિંદુએ છેદતી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રાઓ ($I_X$ અને $I_Y$) ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે:
$I_X = 20 \text{ kg m}^2$
$I_Y = 25 \text{ kg m}^2$
પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $I_Z = I_X + I_Y$
$I_Z = 20 \text{ kg m}^2 + 25 \text{ kg m}^2 = 45 \text{ kg m}^2$
તેથી, સમતલને લંબ અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $45 \text{ kg m}^2$ છે.

(D) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = I_{cm} + Md^{2}$
અહીં,$I_{cm} = 2 \,kg \,m^{2}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$M = 1 \,kg$ એ તકતીનું દળ છે.
$d = R = 2 \,m$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે (જે તકતીની ત્રિજ્યા જેટલું છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = 2 + (1)(2)^{2}$
$I = 2 + (1)(4)$
$I = 2 + 4 = 6 \,kg \,m^{2}$
તેથી,તકતીની ધારમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $6 \,kg \,m^{2}$ છે.

(D) તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા એ આપેલી અક્ષને અનુલક્ષીને બંને તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
ધારો કે $I_B$ એ તકતી $B$ ની તેના સમતલને લંબ અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે. $I_B = \frac{1}{2} Mr^2$.
ધારો કે $I_A$ એ તકતી $A$ ની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે. કારણ કે આ અક્ષ તકતી $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 2r$ છે,તેથી આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું: $I_A = I_{cm} + Md^2$.
અહીં,$I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ અને $d = 2r$ છે.
તેથી,$I_A = \frac{1}{2} Mr^2 + M(2r)^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + 4Mr^2 = 4.5 Mr^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_B + I_A = 0.5 Mr^2 + 4.5 Mr^2 = 5 Mr^2$ થાય.

(C) ધારો કે $M$ એ દળ,$R$ એ ત્રિજ્યા અને $L$ એ સમાન નક્કર નળાકારની લંબાઈ છે.
નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
નળાકારની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_1 = \frac{1}{n} I_2$,જેનો અર્થ છે કે $n I_1 = I_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $n \left( \frac{1}{2} MR^2 \right) = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$.
$M$ વડે ભાગતા: $\frac{nR^2}{2} = \frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}$.
$12$ વડે ગુણતા: $6nR^2 = 3R^2 + L^2$.
$L^2$ માટે ગોઠવતા: $L^2 = 6nR^2 - 3R^2 = 3R^2(2n - 1)$.
તેથી,$\frac{L^2}{R^2} = 3(2n - 1)$,જે આપે છે $\frac{L}{R} = \sqrt{3(2n - 1)}$.

(A) ધારો કે પાતળી વર્તુળાકાર રીંગનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$ થાય.
આપેલ છે કે આ મૂલ્ય $I$ છે,તેથી $2MR^2 = I$,જેનો અર્થ છે કે $MR^2 = \frac{I}{2}$.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$MR^2$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $I_{diameter} = \frac{1}{2} \times \frac{I}{2} = \frac{I}{4}$ મળે છે.

(C) ઘન ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm, sphere} = \frac{2}{5} MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{cm, sphere} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ થાય.
તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm, disc} = \frac{1}{2} MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm, disc} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ થાય.
સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \left(\frac{7}{5} + \frac{3}{2}\right) MR^2 = \left(\frac{14 + 15}{10}\right) MR^2 = \frac{29 MR^2}{10}$ થાય.