Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: દળ $M = 1 \, kg$, લંબાઈ $L = 5 \, m$.
પાતળા સળિયા માટે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
$I_{CM} = \frac{1 \times 5^2}{12} = \frac{25}{12} \approx 2.083 \, kg \cdot m^2$.
ભ્રમણાક્ષ એક છેડાથી $x = 1 \, m$ અંતરે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મધ્યબિંદુ પર હોય છે, જે બંને છેડાથી $L/2 = 2.5 \, m$ અંતરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને નવી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = |2.5 \, m - 1 \, m| = 1.5 \, m$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, $I = I_{CM} + Md^2$.
$I = 2.083 + (1 \times 1.5^2) = 2.083 + 2.25 = 4.333 \, kg \cdot m^2$.
આમ, જડત્વની ચાકમાત્રા $4.33 \, kg \cdot m^2$ છે.

(C) આપેલ છે,નક્કર નળાકારનું દળ,$M = 10 \,kg$.
ત્રિજ્યા,$R = 40 \,cm = 0.4 \,m$.
લંબાઈ,$L = 9R = 9 \times 0.4 = 3.6 \,m$.
નક્કર નળાકારની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_{COM} = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$I_{COM} = 10 \left( \frac{(3.6)^2}{12} + \frac{(0.4)^2}{4} \right)$
$I_{COM} = 10 \left( \frac{12.96}{12} + \frac{0.16}{4} \right)$
$I_{COM} = 10 (1.08 + 0.04) = 10 \times 1.12 = 11.2 \,kg-m^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,નળાકારની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ નીચે મુજબ છે:
$I' = I_{COM} + M \left( \frac{L}{2} \right)^2$
$I' = 11.2 + 10 \left( \frac{3.6}{2} \right)^2$
$I' = 11.2 + 10 (1.8)^2$
$I' = 11.2 + 10 (3.24) = 11.2 + 32.4 = 43.6 \,kg-m^2$.

(B) $M$ દળ,$L$ લંબાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = M(\frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4})$ છે.
અહીં $L = 2R$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$I_1 = M(\frac{(2R)^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{4R^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{R^2}{3} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{7R^2}{12})$.
નળાકારના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને લંબાઈની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I = I_{CM} + M d^2$,જ્યાં $d = \frac{L}{2} = R$.
$I_2 = I_1 + M R^2 = M(\frac{7R^2}{12}) + M R^2 = M(\frac{7R^2 + 12R^2}{12}) = M(\frac{19R^2}{12})$.
આમ,$I_2 - I_1 = M R^2$.

(D) તારની લંબાઈ $l$ છે. ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી,$2 \pi R = l$,જે આપણને $R = \frac{l}{2 \pi}$ આપે છે.
તારનું દળ $m = \rho l$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શક $AB$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + m R^2$ છે,જ્યાં $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$.
$m = \rho l$ અને $R = \frac{l}{2 \pi}$ મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (\rho l) \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{3}{2} \rho l \left( \frac{l^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{3 \rho l^3}{8 \pi^2}$.

(D) $1$. તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_d)$ $I_d = \frac{1}{4} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + M h^2$ છે,જ્યાં $h$ એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
$3$. વ્યાસને સમાંતર સ્પર્શક માટે,અંતર $h = R$ છે.
$4$. તેથી,$I = \frac{1}{4} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$.

(D) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
આના પરથી,આપણને $M R^2 = 2 I$ મળે છે.
તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{4} M R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વ્યાસને સમાંતર અને ધારને સ્પર્શતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_d + M R^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I' = \frac{1}{4} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$.
$M R^2 = 2 I$ હોવાથી,$I' = \frac{5}{4} (2 I) = \frac{5}{2} I$ મળે છે.

(B) ધારો કે ચોરસ લેમિનાનું દળ $m$ છે. તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને $X$-અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm,x} = \frac{ma^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(0, 2a)$ માંથી પસાર થતી અને $X$-અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = I_{cm,x} + m(2a)^2 = \frac{ma^2}{12} + 4ma^2 = \frac{49ma^2}{12}$.
ચોરસ લેમિનાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને $xy$-સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm,z} = I_{cm,x} + I_{cm,y} = \frac{ma^2}{12} + \frac{ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(d, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $xy$-સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_2 = I_{cm,z} + md^2 = \frac{ma^2}{6} + md^2$.
$I_1$ અને $I_2$ ને સરખાવતા:
$\frac{49ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6} + md^2$.
$\frac{49a^2}{12} - \frac{2a^2}{12} = d^2$.
$d^2 = \frac{47a^2}{12}$.
$d = \sqrt{\frac{47}{12}} a$.

(D) નળાકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_{XY} = M \left( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AB}$ છે:
$I_{AB} = I_{XY} + M \left( \frac{l}{2} \right)^2$
$I_{XY}$ નું પદ મૂકતા:
$I_{AB} = M \left( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right) + M \frac{l^2}{4}$
$I_{AB} = M \left( \frac{l^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right)$
અહીં લંબાઈ $l = 6R$ આપેલ છે,તેથી:
$I_{AB} = M \left[ \frac{(6R)^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left[ \frac{36R^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left[ 12R^2 + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left( \frac{48R^2 + R^2}{4} \right) = \frac{49 M R^2}{4}$

(B) ધારો કે તકતીની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. મૂળ તકતીનું દળ $M = \sigma \pi r^2$ છે.
દરેક કાપેલા ભાગની ત્રિજ્યા $r' = r/4$ છે. તેનું દળ $m = \sigma \pi (r/4)^2 = \sigma \pi r^2 / 16 = M/16$ છે.
મૂળ તકતીની અક્ષ $A$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_0 = \frac{1}{2} Mr^2$ છે.
એક કાપેલા ભાગની તેની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m (r/4)^2 = \frac{1}{2} m (r^2/16) = \frac{mr^2}{32}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક કાપેલા ભાગની અક્ષ $A$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cut} = I_{cm} + md^2$ છે,જ્યાં $d = 3r/4$.
$I_{cut} = \frac{mr^2}{32} + m(3r/4)^2 = \frac{mr^2}{32} + \frac{9mr^2}{16} = \frac{mr^2 + 18mr^2}{32} = \frac{19mr^2}{32}$.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rem} = I_0 - 2 \times I_{cut}$ છે.
$I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - 2 \times \left( \frac{19mr^2}{32} \right) = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19mr^2}{16}$.
$m = M/16$ મૂકતા,આપણને મળે $I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19(M/16)r^2}{16} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2$.
$I_{rem} = \frac{128}{256} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2 = \frac{109}{256} Mr^2$.
આને $\frac{x}{256} Mr^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 109$ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક નળાકારનું દળ $M' = M/4$ છે.
અક્ષને લંબ રહેલા બે નળાકારોને ધ્યાનમાં લો (આકૃતિમાં $I_1$ તરીકે દર્શાવેલ છે). અક્ષ તેમની લંબાઈને લંબ તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આવા એક નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{M'R^2}{4} + \frac{M'L^2}{12}$ છે.
અક્ષને સમાંતર રહેલા બે નળાકારોને ધ્યાનમાં લો (આકૃતિમાં $I_2$ તરીકે દર્શાવેલ છે). અક્ષ તેમના કેન્દ્રથી $L/2$ અંતરે છે. નળાકારની તેની પોતાની અક્ષ (લંબાઈની દિશામાં) પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{M'R^2}{2}$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_2 = \frac{M'R^2}{2} + M'(L/2)^2 = \frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{4}$ થાય.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{net} = 2I_1 + 2I_2 = 2(\frac{M'R^2}{4} + \frac{M'L^2}{12}) + 2(\frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{4})$ છે.
$I_{net} = \frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{6} + M'R^2 + \frac{M'L^2}{2} = \frac{3}{2}M'R^2 + \frac{2}{3}M'L^2$.
$M' = M/4$ મૂકતા: $I_{net} = \frac{3}{2}(M/4)R^2 + \frac{2}{3}(M/4)L^2 = \frac{3}{8}MR^2 + \frac{1}{6}ML^2$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I = I_{cm} + MR^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
બે ગોળાઓની સિસ્ટમ માટે,સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતા સામાન્ય સ્પર્શકને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ દરેક ગોળાની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{7}{5}m_1R_1^2 + \frac{7}{5}m_2R_2^2 = \frac{7}{5}[m_1R_1^2 + m_2R_2^2]$.
આપેલ છે: $m_1 = 5 \ kg$,$R_1 = 0.1 \ m$; $m_2 = 10 \ kg$,$R_2 = 0.2 \ m$.
$I = \frac{7}{5} [5 \times (0.1)^2 + 10 \times (0.2)^2]$.
$I = \frac{7}{5} [5 \times 0.01 + 10 \times 0.04] = \frac{7}{5} [0.05 + 0.4] = \frac{7}{5} [0.45]$.
$I = 7 \times 0.09 = 0.63 \ kg \cdot m^{2}$.

(15) $1$. સળિયાની $AB$ અક્ષ (જે તેના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈને લંબ છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{rod}} = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \times 40 \times (3)^2 = \frac{1}{3} \times 40 \times 9 = 120 \text{ kg m}^2$.
$2$. નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રથી $d = 3 \text{ m}$ અંતરે આવેલી $AB$ ને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + md^2 = \frac{2}{5}mR^2 + md^2$.
અહીં $m = 10 \text{ kg}$ અને $d = 3 \text{ m}$ આપેલ છે:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} \times 10 \times R^2 + 10 \times (3)^2 = 4R^2 + 90$.
$3$. બંને જડત્વની ચાકમાત્રાને સરખાવતા:
$120 = 4R^2 + 90$
$4R^2 = 30$
$R^2 = \frac{30}{4} = 7.5$.
$4$. આપેલ છે કે $R = \sqrt{\frac{\alpha}{2}}$,તેથી $R^2 = \frac{\alpha}{2}$.
$R^2$ ના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$\frac{\alpha}{2} = 7.5$
$\alpha = 15$.

(C) કુલ દળ $M = m \times L$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ $L = 2\pi R$ પરથી મળે છે,તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક $yy'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$.
આમ,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$M = mL$ અને $R = \frac{L}{2\pi}$ મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (mL) \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2} mL \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3mL^3}{8\pi^2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.