भुजा a वाली एक समान वर्गाकार लकड़ी की शीट का | vedclass

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Question

(B) भुजा $a$ वाली मूल वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है। मूल वर्ग के ऊपरी-दाएं कोने पर मूल बिंदु (origin) मानिए। मूल

Vedclass · Accepted Answer

$a / b=(\sqrt{5}+1) / 2$

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(B) भुजा $a$ वाली मूल वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है। मूल वर्ग के ऊपरी-दाएं कोने पर मूल बिंदु (origin) मानिए। मूल वर्ग के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (a/2, a/2)$ हैं।मान लीजिए $k$ प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान है। मूल वर्ग का द्रव्यमान $m_1 = k a^2$ है।काटे गए भुजा $b$ वाले वर्गाकार हिस्से का द्रव्यमान केंद्र उसी मूल बिंदु के सापेक्ष $(x_2, y_2) = (b/2, b/2)$ पर है।काटे गए हिस्से का द्रव्यमान $m_2 = k b^2$ है।शेष $L$-आकार की शीट का द्रव्यमान केंद्र बिंदु $P$ पर है,जिसे चुने गए मूल बिंदु के सापेक्ष $(b, b)$ के रूप में दिया गया है।कैविटी वाली प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $X_{CM} = \frac{m_1 x_1 - m_2 x_2}{m_1 - m_2}$.मान रखने पर: $b = \frac{(k a^2)(a/2) - (k b^2)(b/2)}{k a^2 - k b^2}$.$b = \frac{a^3 - b^3}{2(a^2 - b^2)}$.$2b(a^2 - b^2) = a^3 - b^3$.$2ba^2 - 2b^3 = a^3 - b^3$.$a^3 - 2ba^2 + b^3 = 0$.$b^3$ से भाग देने पर: $(a/b)^3 - 2(a/b)^2 + 1 = 0$.मान लीजिए $x = a/b$. तब $x^3 - 2x^2 + 1 = 0$.चूंकि $x=1$ एक मूल है,हम $(x-1)$ से भाग देते हैं: $(x-1)(x^2 - x - 1) = 0$.चूंकि $a > b$,इसलिए $x > 1$,अतः $x^2 - x - 1 = 0$.$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (धनात्मक मूल लेने पर)।अतः,$a/b = (\sqrt{5} + 1) / 2$.

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