એક સુથારે બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક રમકડું બનાવ્યું છે. જો ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા શંકુની ઘનતા કરતા $12$ ગણી હોય,તો રમકડાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$6 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર તકતીમાં તેના કેન્દ્ર $C$ થી $8 \, cm$ અંતરે $2 \, cm$ ત્રિજ્યાનો એક કાણું પાડવામાં આવે છે. આ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું બિંદુ $C$ થી અંતર ......... $cm$ છે.

$2R$ ત્રિજ્યાની મોટી ડિસ્કમાંથી $R$ ત્રિજ્યાની એક ડિસ્ક દૂર કરવામાં આવે છે. બંને ડિસ્કના પરિઘ એકબીજાને સ્પર્શે છે. નવી ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મોટી ડિસ્કના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે છે. $x/R$ ની કિંમત શોધો.

એક પાતળી લાકડાની શીટમાંથી સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ કાપવામાં આવે છે. $D, E$ અને $F$ એ તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે અને $G$ એ ત્રિકોણનું કેન્દ્ર છે. $G$ માંથી પસાર થતી અને ત્રિકોણના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ત્રિકોણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_0$ છે. જો નાનો ત્રિકોણ $DEF$ એ $ABC$ માંથી દૂર કરવામાં આવે,તો બાકી રહેલી આકૃતિની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તો

$r$ વ્યાસ ધરાવતો એક ગોળો $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાંથી એવી રીતે કાપવામાં આવે છે કે જેથી બાકી રહેલા દ્રવ્યમાનનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ કેન્દ્રથી મહત્તમ અંતરે હોય. તો આ અંતર કેટલું હશે?

$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક મોટી વર્તુળાકાર તકતીમાંથી $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક નાની વર્તુળાકાર તકતી દૂર કરવામાં આવે છે. નવી તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મોટી તકતીના કેન્દ્રથી $\alpha R$ અંતરે છે. $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો.