Centre of Mass of Composite Bodies and Cavity Problen of Centre of mass Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $\sigma$ એ તકતીની સમાન પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે.
ધારો કે $M_1$ એ $a$ ત્રિજ્યાની સંપૂર્ણ તકતીનું દળ છે અને $M_2$ એ $\frac{a}{2}$ ત્રિજ્યાના દૂર કરેલા વર્તુળાકાર કાણાનું દળ છે.
$M_1 = \sigma \pi a^2$,જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = a$ પર છે.
$M_2 = \sigma \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sigma \pi a^2}{4}$,જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = \frac{3a}{2}$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{COM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2}$
$x_{COM} = \frac{(\sigma \pi a^2)(a) - (\frac{\sigma \pi a^2}{4})(\frac{3a}{2})}{\sigma \pi a^2 - \frac{\sigma \pi a^2}{4}}$
$x_{COM} = \frac{a - \frac{3a}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{5a}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{5a}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{5a}{6}$

(A) આપણે ઉગમબિંદુને $P$ બિંદુ પર પસંદ કરીએ છીએ. નાના ઘનના શિરોબિંદુ $O$ ના યામ $(b, b, b)$ છે.
ધારો કે ઘનની દળ ઘનતા $\rho$ છે.
મોટા ઘનનું દળ $M_1 = \rho a^3$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ પર છે.
દૂર કરેલા નાના ઘનનું દળ $M_2 = \rho b^3$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{b}{2})$ પર છે.
બાકી રહેલા ઘનના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ઋણ દળના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$x_{CM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2} = b$
$\Rightarrow \frac{\rho a^3 (a/2) - \rho b^3 (b/2)}{\rho a^3 - \rho b^3} = b$
$\Rightarrow \frac{a^4 - b^4}{2(a^3 - b^3)} = b$
$\Rightarrow a^4 - b^4 = 2b(a^3 - b^3)$
$b^4$ વડે ભાગતા અને $X = a/b$ મૂકતા:
$X^4 - 1 = 2(X^3 - 1)$
$X^4 - 2X^3 + 1 = 0$
$X \neq 1$ હોવાથી,$(X-1)$ વડે ભાગતા:
$(X-1)(X^3 - X^2 - X - 1) = 0$
આમ,$X^3 - X^2 - X - 1 = 0$.

(A) ત્રિજ્યા $R$ અને કુલ કોણીય માપ $\theta$ ધરાવતા એક સમાન ઘન વર્તુળાકાર સેક્ટરને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે સેક્ટર $y$-અક્ષની આસપાસ સંમિત છે.
$y$-અક્ષથી $\alpha$ ખૂણે $d\alpha$ કોણીય પહોળાઈ ધરાવતા સેક્ટરના એક સૂક્ષ્મ ત્રિકોણાકાર ઘટકને ધ્યાનમાં લો.
આ સૂક્ષ્મ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $dA = \frac{1}{2} R^2 d\alpha$ છે.
ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શિરોબિંદુ $O$ થી $\frac{2}{3} R$ અંતરે હોય છે. આ ઘટક માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $x$-અક્ષથી અંતર $y = \frac{2}{3} R \cos \alpha$ છે.
આખા સેક્ટરના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$\bar{y} = \frac{\int y dA}{\int dA} = \frac{\int_{-\theta/2}^{\theta/2} (\frac{2}{3} R \cos \alpha) (\frac{1}{2} R^2 d\alpha)}{\int_{-\theta/2}^{\theta/2} \frac{1}{2} R^2 d\alpha}$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\bar{y} = \frac{\frac{1}{3} R^3 \int_{-\theta/2}^{\theta/2} \cos \alpha d\alpha}{\frac{1}{2} R^2 [\alpha]_{-\theta/2}^{\theta/2}} = \frac{\frac{1}{3} R^3 [\sin \alpha]_{-\theta/2}^{\theta/2}}{\frac{1}{2} R^2 \theta} = \frac{\frac{1}{3} R^3 (2 \sin(\theta/2))}{\frac{1}{2} R^2 \theta}$
$\bar{y} = \frac{2}{3} R \frac{2 \sin(\theta/2)}{\theta} = \frac{4}{3} R \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}$

(D) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાના ઘન ગોળાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર છે.
ધારો કે $\rho$ એ ગોળાની સમાન ઘનતા છે.
ઘન ગોળાનું દળ $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ છે.
દૂર કરવામાં આવેલ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પોલાણનું દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ છે.
પોલાણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $x$-અક્ષ પર $R-r$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{CM} = \frac{M(0) - m(R-r)}{M - m}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{CM} = \frac{0 - (\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)(R-r)}{\frac{4}{3} \pi R^3 \rho - \frac{4}{3} \pi r^3 \rho}$
$x_{CM} = -\frac{r^3(R-r)}{R^3 - r^3}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $R^3 - r^3 = (R-r)(R^2 + Rr + r^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_{CM} = -\frac{r^3(R-r)}{(R-r)(R^2 + Rr + r^2)} = -\frac{r^3}{R^2 + Rr + r^2}$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પોલાણની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસે છે.
મૂળ ઘન ગોળાના કેન્દ્રથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d$ એ $x_{CM}$ નું મૂલ્ય છે:
$d = \frac{r^3}{R^2 + Rr + r^2}$

(C) ધારો કે સળિયાની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે.
આડા સળિયાનું દળ (લંબાઈ $L$) $m_1 = \lambda L$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (L/2, 0)$ પર છે.
ઊભા સળિયાનું દળ (લંબાઈ $2L$) $m_2 = \lambda(2L) = 2m$ છે (જ્યાં $m = \lambda L$) અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (0, L)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(L/2) + 2m(0)}{m + 2m} = \frac{mL/2}{3m} = \frac{L}{6}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(0) + 2m(L)}{m + 2m} = \frac{2mL}{3m} = \frac{2L}{3}$ છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{L}{6}, \frac{2L}{3}\right)$ છે.

(B) ધારો કે સંપર્ક બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = -a/2$ પર છે.
ચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = a/2$ પર છે.
x-અક્ષ પર સંયુક્ત તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2}$
$x_{cm} = \frac{(\frac{\pi a^2}{4})(-a/2) + (a^2)(a/2)}{\frac{\pi a^2}{4} + a^2}$
$x_{cm} = \frac{-\frac{\pi a^3}{8} + \frac{a^3}{2}}{\frac{\pi a^2}{4} + a^2} = \frac{a^3(\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8})}{a^2(1 + \frac{\pi}{4})} = \frac{a(4 - \pi)}{8} \cdot \frac{4}{4 + \pi} = \frac{a(4 - \pi)}{2(4 + \pi)}$
અહીં $\pi \approx 3.14$ હોવાથી,$4 - \pi > 0$,તેથી $x_{cm} > 0$ મળે છે.
ધન x-અક્ષ ચોરસ પ્લેટની અંદર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસ પ્લેટની અંદર સ્થિત છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા તેની સંમિતિની અક્ષ પર હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચોરસ પ્લેટમાંથી એક ભાગ એવી રીતે દૂર કરવામાં આવ્યો છે કે જેથી બાકી રહેલો $L$-આકારનો ભાગ વિકર્ણ $OA$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
તેથી,બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર રેખા $OA$ પર હોવું જોઈએ.

(A) ધારો કે પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. પ્લેટનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = (3 \times 2) - (1 \times 1) = 5 \text{ units}^2$ છે. આપેલ દળ $M = 10 \ kg$ હોવાથી,$\sigma = \frac{10}{5} = 2 \ kg/\text{unit}^2$ મળે.
આપણે પ્લેટને $3 \times 2$ ના મોટા લંબચોરસ (દળ $M_{total} = 3 \times 2 \times 2 = 12 \ kg$) માંથી $1 \times 1$ ના નાના ચોરસ (દળ $m_{cut} = 1 \times 1 \times 2 = 2 \ kg$) ને બાદ કરીને વિચારી શકીએ.
મોટા લંબચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1.5, 1.0)$ પર છે.
કાપી નાખેલા ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1.5, 1.5)$ પર છે.
ધારો કે બાકી રહેલી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x, y)$ છે. મોમેન્ટના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$M_{total} X_{CM} = M_{plate} x + m_{cut} x_{cut} \Rightarrow 12(1.5) = 10(x) + 2(1.5)$
$18 = 10x + 3 \Rightarrow 10x = 15 \Rightarrow x = 1.5$.
$M_{total} Y_{CM} = M_{plate} y + m_{cut} y_{cut} \Rightarrow 12(1.0) = 10(y) + 2(1.5)$
$12 = 10y + 3 \Rightarrow 10y = 9 \Rightarrow y = 0.9$.
ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9}$ મળે.
$\frac{n}{9}$ સાથે સરખાવતા,$n = 15$ મળે છે.

(D) ધારો કે મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R = 20 \ cm$ છે અને કાપાની ત્રિજ્યા $r = 5 \ cm$ છે.
મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન $M = \sigma \pi R^2$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે.
કાપેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન $m = \sigma \pi r^2$ છે.
કારણ કે $r = R/4$,તેથી દ્રવ્યમાન $m = \sigma \pi (R/4)^2 = M/16$ થાય.
મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
કાપાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $d = R - r = 20 - 5 = 15 \ cm$ ના અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને $X_{\text{com}}$ ધારો. પોલાણવાળા તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$X_{\text{com}} = \frac{M(0) - m(d)}{M - m}$
$X_{\text{com}} = \frac{0 - (M/16)(15)}{M - M/16} = \frac{-(15/16)M}{(15/16)M} = -1 \ cm$.
અંતરનું મૂલ્ય $|X_{\text{com}}| = 1 \ cm$ છે.

(A) આપણે $L$-આકારની પ્લેટને બે લંબચોરસ ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
ભાગ $1$: $x=0$ થી $x=1$ અને $y=0$ થી $y=2$ સુધીનો લંબચોરસ. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 1 \times 2 = 2 \ m^2$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (0.5, 1)$ પર છે.
ભાગ $2$: $x=1$ થી $x=2$ અને $y=0$ થી $y=1$ સુધીનો લંબચોરસ. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 1 \times 1 = 1 \ m^2$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (1.5, 0.5)$ પર છે.
પ્લેટ સમાન હોવાથી,દળ તેના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = 3 \ m^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $X_{cm} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(0.5) + 1(1.5)}{3} = \frac{1 + 1.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $Y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(1) + 1(0.5)}{3} = \frac{2 + 0.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{5}{6} \ m, \frac{5}{6} \ m\right)$ છે.

(B) ધારો કે પ્લેટની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. $R = 2r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મૂળ પ્લેટ $B$ નું દળ $M_B = \sigma \pi (2r)^2 = 4 \sigma \pi r^2$ છે.
$r_A = 1.5r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી પ્લેટ $A$ નું દળ $M_A = \sigma \pi (1.5r)^2 = 2.25 \sigma \pi r^2$ છે.
મૂળ પ્લેટ $B$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર (ઉગમબિંદુ,$x_B = 0$) પર છે.
દૂર કરેલી પ્લેટ $A$ નું કેન્દ્ર પ્લેટ $B$ ના કેન્દ્રથી $d = R - r_A = 2r - 1.5r = 0.5r$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સૂત્ર:
$X_{cm} = \frac{M_B x_B - M_A x_A}{M_B - M_A}$
$X_{cm} = \frac{(4 \sigma \pi r^2)(0) - (2.25 \sigma \pi r^2)(0.5r)}{4 \sigma \pi r^2 - 2.25 \sigma \pi r^2}$
$X_{cm} = \frac{-1.125 \sigma \pi r^3}{1.75 \sigma \pi r^2} = -\frac{1.125}{1.75} r = -\frac{1125}{1750} r = -\frac{9}{14} r$.
અંતરનું મૂલ્ય $\frac{9r}{14}$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R_1$ છે અને દળ $M_1 = \sigma \pi R_1^2$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ધારો કે દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $R_2$ છે અને દળ $M_2 = \sigma \pi R_2^2$ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેનું કેન્દ્ર $(R_1 - R_2, 0)$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{CM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{CM} = \frac{(\sigma \pi R_1^2)(0) - (\sigma \pi R_2^2)(R_1 - R_2)}{\sigma \pi R_1^2 - \sigma \pi R_2^2}$
$x_{CM} = \frac{-R_2^2(R_1 - R_2)}{R_1^2 - R_2^2}$
$x_{CM} = \frac{-R_2^2(R_1 - R_2)}{(R_1 - R_2)(R_1 + R_2)}$
$x_{CM} = -\frac{R_2^2}{R_1 + R_2}$

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર ડિસ્કનું દળ $M$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ ડિસ્કનું કેન્દ્ર છે.
તેમાંથી $d = r$ વિકર્ણ ધરાવતો ચોરસ કાપવામાં આવે છે. ચોરસની બાજુ $a = d / \sqrt{2} = r / \sqrt{2}$ થશે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = r^2 / 2$ છે.
ચોરસ ભાગનું દળ $m = M \times (A_s / A) = M \times (r^2 / 2) / (\pi r^2) = M / (2 \pi)$ છે.
ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ડિસ્કના કેન્દ્રથી $d_s = r/2$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેનું સૂત્ર: $X_{cm} = (M_1 X_1 - M_2 X_2) / (M_1 - M_2)$.
અહીં,$M_1 = M$,$X_1 = 0$,$M_2 = m = M / (2 \pi)$,અને $X_2 = r/2$.
$X_{cm} = (M \times 0 - (M / 2 \pi) \times (r / 2)) / (M - M / 2 \pi)$.
$X_{cm} = (-Mr / 4 \pi) / (M(1 - 1 / 2 \pi)) = (-r / 4 \pi) / ((2 \pi - 1) / 2 \pi) = -r / (2(2 \pi - 1)) = r / (2 - 4 \pi)$.

(B) ધારો કે સંપૂર્ણ તકતીનું દળ $M$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{\pi(2R)^2} = \frac{M}{4\pi R^2}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M_1 = \sigma \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4\pi R^2} \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4}$ છે.
બાકી રહેલી તકતીનું દળ $M_2 = M - M_1 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ છે.
ધારો કે મોટી તકતીનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. દૂર કરેલી તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = R$ પર છે અને બાકી રહેલી તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = -\alpha R$ પર છે.
મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$M_1 x_1 + M_2 x_2 = 0$
$\frac{M}{4} \cdot R + \frac{3M}{4} \cdot (-\alpha R) = 0$
$\frac{M}{4} \cdot R = \frac{3M}{4} \cdot \alpha R$
$\alpha = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે મૂળ ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ છે અને તેની બાજુની લંબાઈ $2R$ છે. ક્ષેત્રફળ $A = (2R)^2 = 4R^2$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
જ્યારે $r = R/2$ ત્રિજ્યાનો ગોળાકાર ટુકડો એક ચતુર્થાંશમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi r^2 = \pi (R/2)^2 = \pi R^2 / 4$ થાય છે.
દૂર કરેલા ગોળાકાર ટુકડાનું દળ $m = M \times (A'/A) = M \times (\pi R^2 / 4) / (4R^2) = M \pi / 16$ છે.
દૂર કરેલા ગોળાકાર ટુકડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસના કેન્દ્રની સાપેક્ષે $(R/2, R/2)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{m \cdot d}{M - m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ વર્તુળના કેન્દ્રનું ચોરસના કેન્દ્રથી અંતર છે. અંતર $d = \sqrt{(R/2)^2 + (R/2)^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{(M \pi / 16) \cdot (R / \sqrt{2})}{M - M \pi / 16} = \frac{M \pi R / (16 \sqrt{2})}{M(16 - \pi) / 16} = \frac{\pi R}{\sqrt{2}(16 - \pi)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે પ્લેટનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma$ છે.
મૂળ પ્લેટનું દળ $M = \sigma \pi (4r)^2 = 16 \sigma \pi r^2$ છે.
દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગનું દળ $m = \sigma \pi r^2$ છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દળ $M' = M - m = 16 \sigma \pi r^2 - \sigma \pi r^2 = 15 \sigma \pi r^2$ છે.
ધારો કે મૂળ પ્લેટનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
દૂર કરેલા ભાગનું કેન્દ્ર $(2r, 0)$ પર છે.
કેવિટી (કાણા) માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $M X_{CM} = M' X_{R} + m X_{C}$,જ્યાં $X_{CM}$ એ મૂળ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે (જે $0$ છે),$X_{R}$ એ બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે,અને $X_{C}$ એ દૂર કરેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે.
$0 = (15 \sigma \pi r^2) X_{R} + (\sigma \pi r^2)(2r)$.
$15 X_{R} = -2r$.
અંતરનું મૂલ્ય $|X_{R}| = \frac{2r}{15}$ થાય.

(D) ધારો કે મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R = 2 \,cm$ અને દૂર કરેલા ભાગની ત્રિજ્યા $r = 1 \,cm$ છે.
મૂળ તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2 = 4\pi \,cm^2$ અને દૂર કરેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2 = \pi \,cm^2$ છે.
ધારો કે $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે. મૂળ તકતીનું દળ $M = \sigma A_1 = 4\sigma\pi$ અને દૂર કરેલા ભાગનું દળ $m = \sigma A_2 = \sigma\pi$ છે.
બાકી રહેલું દળ $M' = M - m = 3\sigma\pi = \frac{3}{4}M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં સ્થાનાંતર મહત્તમ કરવા માટે, દૂર કરેલો ભાગ મૂળ તકતીની ધાર પર સ્પર્શક હોવો જોઈએ. $O$ થી દૂર કરેલા ભાગના કેન્દ્રનું અંતર $d = R - r = 2 - 1 = 1 \,cm$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં સ્થાનાંતર $x = \frac{m d}{M'} = \frac{(\sigma\pi)(1)}{3\sigma\pi} = \frac{1}{3} \,cm$ મળે છે.
જ્યારે તકતીને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x = \frac{1}{3} \,cm$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું સ્થાનાંતર $PQ = \frac{1}{\sqrt{3}} \,cm$ આપેલું છે.
કેન્દ્ર $O$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના બે સ્થાનો દ્વારા બનતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, $O$ પાસેનો ખૂણો $\theta$ છે. જીવાની લંબાઈના સૂત્ર $PQ = 2x \sin(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = 2(\frac{1}{3}) \sin(\frac{\theta}{2})$
$\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\theta}{2} = 60^{\circ} \Rightarrow \theta = 120^{\circ}$.

(B) ધારો કે તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma$ છે.
મૂળ તકતીનું કુલ દળ,$M = \pi R^2 \sigma$,જ્યાં $R = 6 \text{ cm}$.
કાપેલા ભાગનું દળ,$M' = \pi r^2 \sigma$,જ્યાં $r = 3 \text{ cm}$.
આપણે મૂળ તકતીના કેન્દ્ર $O$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લઈએ છીએ.
મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે.
કાણાનું કેન્દ્ર $(3,0)$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$x_{CM} = \frac{M x_1 - M' x_2}{M - M'}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{CM} = \frac{(\pi R^2 \sigma)(0) - (\pi r^2 \sigma)(3)}{\pi R^2 \sigma - \pi r^2 \sigma}$
$x_{CM} = \frac{-3 \pi r^2 \sigma}{\pi \sigma (R^2 - r^2)} = \frac{-3 r^2}{R^2 - r^2}$
$x_{CM} = \frac{-3 \times 3^2}{6^2 - 3^2} = \frac{-3 \times 9}{36 - 9} = \frac{-27}{27} = -1 \text{ cm}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ કેન્દ્રથી ડાબી બાજુ $1 \text{ cm}$ ખસે છે. તેથી અંતર $1 \text{ cm}$ છે.

(D) ધારો કે સમાન પ્લેટને $2a$ અને $2b$ બાજુઓ ધરાવતા મોટા લંબચોરસ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જેમાંથી $a$ અને $b$ બાજુઓ ધરાવતો નાનો લંબચોરસ દૂર કરવામાં આવ્યો છે.
દૂર કરેલા લંબચોરસનું દળ $m_1$ અને બાકી રહેલી છાયાંકિત પ્લેટનું દળ $m_2$ છે.
દૂર કરેલા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a \times b$ છે. તેથી,$m_1 = \sigma ab$.
પૂર્ણ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = 2a \times 2b = 4ab$ છે. બાકી રહેલી પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 4ab - ab = 3ab$ છે. તેથી,$m_2 = 3\sigma ab = 3m_1$.
પૂર્ણ લંબચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
દૂર કરેલા લંબચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(a/2, b/2)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\vec{R} = \frac{M\vec{R}_{full} - m_1\vec{r}_1}{M - m_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પૂર્ણ લંબચોરસનું કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે. તેનું દળ $M = 4m_1$ છે.
દૂર કરેલા ભાગનું કેન્દ્ર $(a/2, b/2)$ પર છે.
$X_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(a/2)}{3m_1} = -a/6$.
$Y_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(b/2)}{3m_1} = -b/6$.
આમ,સ્થાન $(-\frac{a}{6}, -\frac{b}{6})$ છે.