Spring Force Questions in Gujarati

(C) જ્યારે કોઈ સ્પ્રિંગને બંને છેડેથી સમાન મૂલ્યના બળ $F$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ એ લાગુ પાડેલા બળ $F$ ના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
આ કિસ્સામાં,સ્પ્રિંગના બંને છેડાઓને $5 \, N$ ના બળથી ખેંચવામાં આવે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગમાં તણાવ $5 \, N$ છે.

(C) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{F^2}{2k}$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
બંને સ્પ્રિંગને સમાન બળ $F$ વડે ખેંચવામાં આવતી હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જા એ સ્પ્રિંગ અચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $U \propto \frac{1}{k}$.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{k_2}{k_1}$ થશે.
અહીં $k_1 = 1500 \ N/m$ અને $k_2 = 3000 \ N/m$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,હૂકના નિયમ $F = kx$ નો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $(k)$ શોધો,જ્યાં $F = mg$.
આપેલ છે: $m = 1.0\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,અને વિસ્તરણ $x = 2\,cm = 0.02\,m$.
$k = \frac{mg}{x} = \frac{1.0 \times 10}{0.02} = 500\,N/m$.
હવે,જ્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈ $60\,cm$ થાય ત્યારે તેનું કુલ વિસ્તરણ શોધો. મૂળ લંબાઈ $50\,cm$ છે,તેથી કુલ વિસ્તરણ $x_{total} = 60\,cm - 50\,cm = 10\,cm = 0.1\,m$.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times 500 \times (0.1)^2 = 250 \times 0.01 = 2.5\,J$.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગ પર $m$ દળ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે લાગતું બળ તે દળના વજન જેટલું હોય છે,$F = mg$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $mg = kx$.
તેથી,વિસ્તરણ $x = \frac{mg}{k}$.
અહીં $m = 20\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$,અને $k = 4000\, N/m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{20 \times 9.8}{4000} = \frac{196}{4000} = 0.049\, m$.
વિસ્તરણને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ગુણો: $x = 0.049 \times 100 = 4.9\, cm$.

(A) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T$ અને વિસ્તરણ $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = kx$ છે.
આના પરથી,આપણે વિસ્તરણને $x = \frac{T}{k}$ તરીકે લખી શકીએ.
હવે $x$ ની આ કિંમતને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2}k \left( \frac{T}{k} \right)^2$
$U = \frac{1}{2}k \left( \frac{T^2}{k^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
$L$ લંબાઈની સ્પ્રિંગ માટે,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{L}$.
જો સ્પ્રિંગની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે $(L' = L/2)$,તો નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ એ $k' = k \cdot (L/L') = k \cdot (L / (L/2)) = 2k$ થશે.
બળ-સ્થાનાંતર આલેખનો ઢાળ સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ જેટલો હોય છે. નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ મૂળ કિંમત કરતા બમણો હોવાથી,રેખા $OA$ નો ઢાળ વધશે.
$F-x$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ વધવાનો અર્થ એ છે કે રેખા $F$-અક્ષ તરફ ખસશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ તેમાં ઉત્પન્ન થયેલા વિસ્તરણ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$F \propto l$.
સમપ્રમાણતાની નિશાની દૂર કરતા,આપણે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ દાખલ કરીએ છીએ:
$F = kl$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.

(D) પ્રારંભિક સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ $k$ છે. જ્યારે $l$ લંબાઈની સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ $k' = 2k$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ $K_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કોન્સ્ટન્ટનો સરવાળો છે:
$K_{eq} = k' + k' = 2k + 2k = 4k$.
હૂકના નિયમ મુજબ,$F = kx$. મૂળ સ્પ્રિંગ માટે,$W = kx$.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમાન વજન $W$ લાગુ કરવામાં આવે છે,તેથી $W = K_{eq} \times x'$,જ્યાં $x'$ એ નવો વધારો છે.
કિંમતો મૂકતા: $kx = 4k \times x'$.
$x'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x' = \frac{kx}{4k} = \frac{x}{4}$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{l}$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $L$ છે. બે ટુકડાઓની લંબાઈ $l_1 = \frac{1}{3}L$ અને $l_2 = \frac{2}{3}L$ છે.
ધારો કે $k_1$ અને $k_2$ એ અનુક્રમે ટૂંકા અને લાંબા ટુકડાઓના બળ અચળાંક છે.
કારણ કે $k_1 l_1 = k_2 l_2 = kL$,તેથી $\frac{k_1}{k_2} = \frac{l_2}{l_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{k_1}{k_2} = \frac{2/3 L}{1/3 L} = \frac{2}{1}$.
તેથી,બળ અચળાંકનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $K$ તેની મૂળ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \propto \frac{1}{l}$ અથવા $Kl = \text{અચળ}$.
જ્યારે $l$ લંબાઈની સ્પ્રિંગને બે ભાગમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગના બળ અચળાંક અને લંબાઈનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,સ્પ્રિંગની લંબાઈ $l$ અને બળ અચળાંક $K$ છે.
લંબાઈનો એક-ચતુર્થાંશ ભાગ કાપી નાખવામાં આવે છે,તેથી સ્પ્રિંગની બાકી રહેલી લંબાઈ $l' = l - \frac{1}{4}l = \frac{3}{4}l$ થાય છે.
ધારો કે નવો બળ અચળાંક $K'$ છે.
સંબંધ $Kl = K'l'$ મુજબ,આપણને મળે છે:
$K \cdot l = K' \cdot (\frac{3}{4}l)$
$K = K' \cdot \frac{3}{4}$
$K' = \frac{4}{3}K$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલ સ્પ્રિંગ્સ માટે,અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff}$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_3} + \dots$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{4k} + \frac{1}{8k} + \dots$
$\frac{1}{k}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલ પદ એ અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
તેથી,$\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k} \times 2 = \frac{2}{k}$.
આમ,$k_{eff} = \frac{k}{2}$.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ વિસ્તરણના બિંદુએ ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($Mg$ નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ ($-Kx$ ઉપરની તરફ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $Mgx$
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $-\frac{1}{2}Kx^2$
કુલ કાર્યને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$Mgx - \frac{1}{2}Kx^2 = 0$
$Mgx = \frac{1}{2}Kx^2$
કારણ કે $x \neq 0$,આપણે $x$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$Mg = \frac{1}{2}Kx$
$x = \frac{2Mg}{K}$

(A) ખેંચાયેલી સ્પ્રીંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રીંગમાં ઉદભવતું તણાવ બળ $T = kx$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $x = \frac{T}{k}$.
ઊર્જાના સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T}{k} \right)^2$
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T^2}{k^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2k}$.

(A) ધારો કે $x_{max}$ એ મહત્તમ સંકોચન છે અને $x_{eq}$ એ સંતુલન સ્થિતિએ સંકોચન છે.
$(i)$ મહત્તમ સંકોચન માટે,બ્લોકની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$mgx_{max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$x_{max} = \frac{2mg}{k}$
$(ii)$ સંતુલન સ્થિતિએ,સ્પ્રિંગ બળ એ બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$kx_{eq} = mg$
$x_{eq} = \frac{mg}{k}$

(A) સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ આંતરિક બળ હોવાથી,તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય છે: $M_A \vec{a}_A + M_B \vec{a}_B = 0$.
આપેલ છે: $M_A = 100 \ gm = 0.1 \ kg$,$M_B = 250 \ gm = 0.25 \ kg$.
દડા $B$ નો પ્રવેગ,$\vec{a}_B = 10 \ cm/s^2$ (પશ્ચિમ).
સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a}_A = -\frac{M_B}{M_A} \vec{a}_B$.
$\vec{a}_A = -\frac{0.25 \ kg}{0.10 \ kg} \times (10 \ cm/s^2 \text{ પશ્ચિમ})$.
$\vec{a}_A = -2.5 \times (10 \ cm/s^2 \text{ પશ્ચિમ}) = -25 \ cm/s^2 \text{ પશ્ચિમ}$.
ઋણ નિશાની વિરુદ્ધ દિશા સૂચવે છે,તેથી $\vec{a}_A = 25 \ cm/s^2$ પૂર્વ તરફ.

(B) જ્યારે પદાર્થને ધીમેથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $kx = mg$,જે આપે છે $x = \frac{mg}{k}$.
જ્યારે પદાર્થને અચાનક મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઊર્જા એ મહત્તમ વિસ્તરણ $y$ પર સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgy = \frac{1}{2}ky^2$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{2mg}{k}$.
કારણ કે $x = \frac{mg}{k}$,તેથી $y$ ના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા આપણને $y = 2x$ મળે છે.

(B) સ્પ્રિંગનો બળઅચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $k \propto 1/l$ અથવા $kl = \text{અચળ}$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $L$ છે, તેથી $kL = \text{અચળ}$.
ધારો કે બે ટુકડાઓની લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે, જ્યાં $l_1 + l_2 = L$.
આપેલ છે કે $l_1 = 2l_2$, તેથી $L = 2l_2 + l_2 = 3l_2$.
મોટા ટુકડા માટે (લંબાઈ $l_1 = 2l_2$), ધારો કે બળઅચળાંક $k_1$ છે.
$k_1 l_1 = kL$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $k_1 (2l_2) = k(3l_2)$.
$k_1$ માટે ઉકેલતા, આપણને $k_1 = \frac{3}{2}k$ મળે છે.

(D) મૂળ સ્પ્રિંગ માટે,બળ અચળાંક $k$ છે અને લંબાઈમાં વધારો $x = W/k$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k_{eq} = k' + k' = 2k + 2k = 4k$ થાય છે.
તે જ $W$ વજન દ્વારા થતો નવો વધારો $x' = W / k_{eq}$ દ્વારા મળે છે.
$k_{eq} = 4k$ મૂકતા,આપણને $x' = W / (4k)$ મળે છે.
$x = W/k$ હોવાથી,$x' = x/4$ થાય છે.

(C) દોરી કાપતા પહેલા,સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે.
બ્લોક $B$ માટે: દોરીમાં તણાવ $T$ એ બ્લોક $B$ ના વજન જેટલું છે,તેથી $T = mg$.
બ્લોક $A$ માટે: સ્પ્રિંગ બળ $kx$ એ બંને બ્લોક $A$ અને $B$ ના વજન અને તણાવ $T$ ને સંતુલિત કરે છે. $A$ ના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,$kx = T + 3mg = mg + 3mg = 4mg$.
દોરી કાપ્યા પછી તરત જ,તણાવ $T$ શૂન્ય થઈ જાય છે,પરંતુ સ્પ્રિંગ બળ $kx$ એ $4mg$ જ રહે છે કારણ કે સ્પ્રિંગ તેની લંબાઈમાં ત્વરિત ફેરફાર કરતી નથી.
બ્લોક $B$ માટે: તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $a_B = g$ (નીચેની તરફ) છે.
બ્લોક $A$ માટે: ચોખ્ખું બળ $F_{net} = kx - 3mg = 4mg - 3mg = mg$ (ઉપરની તરફ) છે.
તેથી,$A$ નો પ્રવેગ $a_A = \frac{F_{net}}{3m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$ (ઉપરની તરફ) છે.
આમ,$A$ અને $B$ ના પ્રવેગ અનુક્રમે $\frac{g}{3}$ અને $g$ છે.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોકની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $Mgx$.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} k x^2$.
બંનેને સરખાવતા: $Mgx = \frac{1}{2} k x^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા (જ્યાં $x \neq 0$): $x = \frac{2Mg}{k}$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે સ્પ્રિંગને $1:2:3$ ના ગુણોત્તરમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ત્રણ ટુકડાઓની લંબાઈ $l_1 = L/6$,$l_2 = 2L/6$ અને $l_3 = 3L/6$ થાય છે.
બળ અચળાંક $k$ એ લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(k \propto 1/l)$,નવા બળ અચળાંકો નીચે મુજબ થશે:
$k_1 = k(L/l_1) = 6k$
$k_2 = k(L/l_2) = 3k$
$k_3 = k(L/l_3) = 2k$
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k'$ નીચે મુજબ મળે:
$1/k' = 1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3 = 1/(6k) + 1/(3k) + 1/(2k) = (1+2+3)/(6k) = 6/(6k) = 1/k$
તેથી,$k' = k$.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k''$ નીચે મુજબ મળે:
$k'' = k_1 + k_2 + k_3 = 6k + 3k + 2k = 11k$.
આમ,ગુણોત્તર $k':k'' = k : 11k = 1:11$ થાય.

(B) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{l}$.
આનું કારણ એ છે કે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{G J}{R^2 n d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે.
આંટાઓની સંખ્યા $n$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $k \propto \frac{1}{n}$ મળે છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવી સ્પ્રિંગમાં આંટાઓની સંખ્યા $n' = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$ થાય છે.
તેથી,નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ એ $k' \times n' = k \times n$ દ્વારા મળે છે.
$k' \times \frac{n}{2} = k \times n$.
$k' = 2k$.

(B) $2 \text{ kg}$ દળ માટે,પરિણામી બળ નીચે મુજબ છે:
$F_{\text{net}} = 10 - T = m_1 a_1$
$m_1 = 2 \text{ kg}$ અને $a_1 = 2 \text{ ms}^{-2}$ કિંમતો મૂકતા:
$10 - T = 2 \times 2 = 4 \text{ N}$
$T = 10 - 4 = 6 \text{ N}$
$3 \text{ kg}$ દળ માટે,સ્પ્રિંગ બળ $T$ એ તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ છે:
$F_{\text{net}} = T = m_2 a_2$
$T = 6 \text{ N}$ અને $m_2 = 3 \text{ kg}$ કિંમતો મૂકતા:
$6 = 3 \times a_2$
$a_2 = \frac{6}{3} = 2 \text{ ms}^{-2}$

(A) ધારો કે દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $F$ છે.
શરૂઆતમાં,બ્લોક સંતુલનમાં છે:
$2F = mg$
$2F = 3 \times 10 = 30 \; N$
$F = 15 \; N$
$t = 0$ સમયે,જ્યારે સ્પ્રિંગ $A$ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $B$ માં લાગતું બળ તરત જ બદલાતું નથી.
$t = 0$ સમયે બ્લોક માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg - F = ma$
$30 - 15 = 3a$
$15 = 3a$
$a = 5 \; m/s^2$

(B) ધારો કે $2m$ દળ ધરાવતા ઉપરના બ્લોકનો પ્રારંભિક અધોગામી પ્રવેગ $a$ છે.
દોરી તૂટે તે પહેલાં,તંત્ર સંતુલનમાં છે.
$m$ દળ ધરાવતા નીચેના બ્લોક માટે,સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx = mg$ (ઉપરની તરફ).
$2m$ દળ ધરાવતા ઉપરના બ્લોક માટે,દોરીમાં તણાવ $T = 2mg + F_s = 2mg + mg = 3mg$.
દોરી તૂટ્યા પછી તરત જ,તણાવ $T$ શૂન્ય થઈ જાય છે,પરંતુ સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ નું મૂલ્ય $mg$ જ રહે છે (કારણ કે સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં ત્વરિત ફેરફાર થઈ શકતો નથી).
હવે,$2m$ દળ ધરાવતા ઉપરના બ્લોક પર લાગતા બળો તેનું વજન $2mg$ (નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ $F_s = mg$ (નીચેની તરફ) છે.
ઉપરના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F_{net} = (2m)a$.
$2mg + F_s = (2m)a$.
$2mg + mg = (2m)a$.
$3mg = 2ma$.
તેથી,$a = 3g/2$.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે. જ્યારે બ્લોક $A$ ને દીવાલ તરફ $x$ અંતર સુધી ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં $x$ જેટલું સંકોચન થાય છે.
બ્લોક $B$ પર લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે,જે દીવાલની દિશામાં હોય છે.
બ્લોક $B$ સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલનમાં હોવાથી,દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ એ સ્પ્રિંગ બળને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$N = F_s = kx$.
આ દર્શાવે છે કે લંબબળ $N$ એ સંકોચન $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(N \propto x)$.
જેમ $x$ વધે છે,તેમ $N$ રેખીય રીતે વધે છે અને જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $N = 0$ હોય છે.
આમ,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.

(B) જ્યારે બ્લોકનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તેનો વેગ મહત્તમ હોય છે.
સ્પ્રિંગના કોઈપણ સંકોચન $x$ પર,બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ $kx$ (ઉપરની તરફ) છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = mg - kx$.
મહત્તમ વેગ માટે,પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,તેથી $mg - kx = 0$,જે $x = mg/k$ આપે છે.
અહીં $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$ અને $k = 2 \ kg/cm = 2 \ N/cm$ આપેલ છે.
તેથી,$x = (1 \ kg \times 10 \ m/s^2) / (2 \ N/cm) = 10 / 2 = 5 \ cm$.
ટેબલની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ એ સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈમાંથી સંકોચન $x$ બાદ કરવાથી મળે છે.
$h = L - x = 20 \ cm - 5 \ cm = 15 \ cm$.

(D) સળિયા $AB$ ને આડો રાખવા માટે,બંને સ્પ્રિંગમાં થતું વિસ્તરણ $x$ સમાન હોવું જોઈએ. ધારો કે વિસ્તરણ $x$ છે.
છેડા $A$ અને $B$ પર સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતા બળો અનુક્રમે $F_A = k_1 x$ અને $F_B = k_2 x$ છે.
બિંદુ $C$ ની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલન માટે,ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\sum \tau_C = 0$
$(k_1 x) \cdot AC = (k_2 x) \cdot BC$
બંને બાજુથી $x$ ને દૂર કરતા:
$k_1 \cdot AC = k_2 \cdot BC$
$\frac{AC}{BC} = \frac{k_2}{k_1} \dots (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC + BC = l$,તેથી $BC = l - AC$. આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{AC}{l - AC} = \frac{k_2}{k_1}$
$k_1 \cdot AC = k_2 (l - AC)$
$k_1 \cdot AC = k_2 l - k_2 \cdot AC$
$AC (k_1 + k_2) = k_2 l$
$AC = \frac{l k_2}{k_1 + k_2}$

(A) સ્પ્રિંગની સ્ટીફનેસ $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{l}$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $L = l_{A} + l_{B}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $l_{A} : l_{B} = 2 : 3$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $l_{A} = \frac{2}{5}L$ અને $l_{B} = \frac{3}{5}L$.
કારણ કે $k \cdot l = \text{અચળ}$,તેથી $k_{A} \cdot l_{A} = k \cdot L$ થાય.
સમીકરણમાં $l_{A} = \frac{2}{5}L$ મૂકતા:
$k_{A} \cdot (\frac{2}{5}L) = k \cdot L$
$k_{A} = k \cdot \frac{L}{\frac{2}{5}L} = \frac{5}{2}k$.

(C) $5\ kg$ ના બ્લોક માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_s = m_1 a_1$ થાય.
$F_s = 5\ kg \times 2\ m/s^2 = 10\ N$.
$15\ kg$ ના બ્લોક માટે,તેના પર જમણી તરફ લાગતું બાહ્ય બળ $F = 100\ N$ અને ડાબી તરફ લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $F_s = 10\ N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F - F_s = m_2 a_2$ થાય.
$100\ N - 10\ N = 15\ kg \times a_2$.
$90\ N = 15\ kg \times a_2$.
$a_2 = \frac{90}{15} = 6\ m/s^2$.

(B) કિસ્સો $1$: જ્યારે બ્લોકને ખૂબ જ ધીમેથી નીચે ઉતારવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવેગ હંમેશા શૂન્ય હોય છે. સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગ બળ બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે.
$mg = kd$
$\therefore d = \frac{mg}{k}$
કિસ્સો $2$: જ્યારે બ્લોકને સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈથી અચાનક મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને તેના મહત્તમ વિસ્તરણ $x_{max}$ સુધી પહોંચે છે જ્યાં તેનો વેગ ફરીથી શૂન્ય થઈ જાય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ (કુદરતી લંબાઈ) અને અંતિમ સ્થિતિ (મહત્તમ વિસ્તરણ) વચ્ચે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ કરતા:
$W_{gravity} + W_{spring} = \Delta K$
$mgx_{max} - \frac{1}{2}kx_{max}^2 = 0 - 0$
$mgx_{max} = \frac{1}{2}kx_{max}^2$
$x_{max} = \frac{2mg}{k}$
કારણ કે $d = \frac{mg}{k}$,તેથી $x_{max} = 2d$.

(C) ધારો કે જમણી દોરીમાં તણાવ $T_1$ છે અને ડાબી બાજુની સ્પ્રિંગમાં સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ છે.
બિંદુ $O$ પર,બળો સંતુલનમાં છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા: $F_s \cos 37^\circ = T_1 \cos 53^\circ$.
કારણ કે $\cos 37^\circ = 4/5$ અને $\cos 53^\circ = 3/5$,તેથી $F_s (4/5) = T_1 (3/5) \implies 4F_s = 3T_1 \implies T_1 = \frac{4}{3}F_s$.
શિરોલંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા: $F_s \sin 37^\circ + T_1 \sin 53^\circ = 200$.
$T_1$ ની કિંમત મૂકતા: $F_s (3/5) + (\frac{4}{3}F_s) (4/5) = 200$.
$\frac{3}{5}F_s + \frac{16}{15}F_s = 200 \implies \frac{9+16}{15}F_s = 200 \implies \frac{25}{15}F_s = 200$.
$F_s = 200 \times \frac{15}{25} = 200 \times 0.6 = 120\, N$.
હૂકના નિયમ $F_s = kx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 4\, cm = 0.04\, m$.
$120 = k \times 0.04 \implies k = \frac{120}{0.04} = 3000\, N/m$.

(C) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $K$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $K \propto \frac{1}{\ell}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને અડધી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $\ell' = \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
ધારો કે નવો બળ અચળાંક $K'$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{K'}{K} = \frac{\ell}{\ell'} = \frac{\ell}{\ell / 2} = 2$.
તેથી,નવો બળ અચળાંક $K' = 2K$ થશે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ $(COME)$ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા એ કુલ અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
તંત્રની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ ના બિંદુએ,બંને બ્લોક્સ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને બ્લોક્સ સમાન વેગથી ગતિ કરે છે (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં આ વેગ શૂન્ય છે).
સ્પ્રિંગની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $PE_f = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $KE_i = PE_f$.
$mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$.
$x^2 = \frac{2mv^2}{k}$.
$x = \sqrt{\frac{2mv^2}{k}}$.

(B) ધારો કે $1 \, kg$ ના દળનો પ્રવેગ $a_1 = 10 \, m/s^2$ (જમણી તરફ) છે.
ધારો કે $2 \, kg$ ના દળનો પ્રવેગ $a_2$ છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે દળોની સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા,સિસ્ટમ પર લાગતું બાહ્ય બળ $F_{ext}$ એ દરેક પદાર્થના દળ અને પ્રવેગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$F_{ext} = m_1 a_1 + m_2 a_2$
અહીં $F_{ext} = 20 \, N$,$m_1 = 1 \, kg$,$m_2 = 2 \, kg$,અને $a_1 = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે:
$20 = (1 \times 10) + (2 \times a_2)$
$20 = 10 + 2 a_2$
$10 = 2 a_2$
$a_2 = 5 \, m/s^2$
આમ,$2 \, kg$ ના દળનો પ્રવેગ $5 \, m/s^2$ છે.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે. જ્યારે પદાર્થને સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ $F = kx$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ વિસ્તરણ છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = l + x$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F = m r \omega^2 = m(l + x) \omega^2$ છે.
કિસ્સો $1$: વિસ્તરણ $x_1 = 1\, cm$,કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$.
$k(1) = m(l + 1) \omega^2$ --- $(i)$
કિસ્સો $2$: વિસ્તરણ $x_2 = 5\, cm$,કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\omega$.
$k(5) = m(l + 5) (2\omega)^2 = 4m(l + 5) \omega^2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5k}{k} = \frac{4m(l + 5) \omega^2}{m(l + 1) \omega^2}$
$5 = \frac{4(l + 5)}{l + 1}$
$5(l + 1) = 4(l + 5)$
$5l + 5 = 4l + 20$
$l = 15\, cm$.

(D) સ્પ્રિંગનો ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $k$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{\ell}$,જેનો અર્થ છે કે $k\ell = C$ (અચળાંક).
બે ટુકડાઓ માટે,આપણી પાસે $k_1 \ell_1 = C$ અને $k_2 \ell_2 = C$ છે.
તેથી,$k_1 \ell_1 = k_2 \ell_2$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{k_1}{k_2} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\ell_1 = n\ell_2$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{k_1}{k_2} = \frac{\ell_2}{n\ell_2} = \frac{1}{n}$.

(A) $K$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ પર $F$ બળ લગાડતા તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $E = \frac{F^2}{2K}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી સંગ્રહિત ઉર્જા એ સ્પ્રિંગ અચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{K}$.
તેથી,ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{K_{B}}{K_{A}}$ થશે.
આપેલ છે કે $K_{A} = 2 K_{B}$,તેથી $\frac{K_{B}}{K_{A}} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$E_{B} = 2 E_{A}$ થાય.

(D) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $k \propto 1/l$ અથવા $kl = \text{અચળ}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા ટુકડાની લંબાઈ $l' = l/2$ થાય છે.
$k'l' = kl$ હોવાથી,આપણને $k'(l/2) = kl$ મળે છે.
$k'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $k' = 2k$ મળે છે.
તેથી,દરેક અડધા ભાગનો બળ અચળાંક $2k$ છે.

(A) $2\,kg$ ના દળ માટે,લાગતા બળો જમણી બાજુ $10\,N$ નું લાગુ પાડેલ બળ અને ડાબી બાજુ સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે.
$2\,kg$ ના દળ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F_{net} = ma$
$10 - kx = 2 \times 2$
$10 - kx = 4$
$kx = 6\,N$
હવે,$3\,kg$ ના દળ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ સ્પ્રિંગ બળ $kx$ છે જે તેને જમણી તરફ ખેંચે છે.
$3\,kg$ ના દળ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F_{net} = ma$
$kx = 3 \times a_{3kg}$
$6 = 3 \times a_{3kg}$
$a_{3kg} = \frac{6}{3} = 2\,ms^{-2}$

(D) જ્યારે $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $n$ સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાનો બળ અચળાંક $k' = nk$ થાય છે.
અહીં,સ્પ્રિંગને $3$ સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,તેથી દરેક ટુકડાનો બળ અચળાંક $k' = 3k$ થાય છે.
જ્યારે આ $3$ ટુકડાઓને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k_{eq}$ એ વ્યક્તિગત બળ અચળાંકોનો સરવાળો છે:
$k_{eq} = k' + k' + k' = 3k' = 3(3k) = 9k$.

(B) ધારો કે $m_1 = 10\, kg$ અને $m_2 = 20\, kg$. ધારો કે $f$ એ બંને દળો પર લાગતું સ્પ્રિંગ બળ છે.
$10\, kg$ ના દળ માટે,ગતિનું સમીકરણ છે: $f = m_1 a_1$,જ્યાં $a_1 = 12\, m\, s^{-2}$.
તેથી,$f = 10 \times 12 = 120\, N$.
$20\, kg$ ના દળ માટે,બાહ્ય બળ $F = 200\, N$ ગતિની દિશામાં લાગે છે,અને સ્પ્રિંગ બળ $f$ વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
ગતિનું સમીકરણ છે: $F - f = m_2 a_2$.
કિંમતો મૂકતા: $200 - 120 = 20 \times a_2$.
$80 = 20 \times a_2$.
$a_2 = \frac{80}{20} = 4\, m\, s^{-2}$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $\ell_{0}$ છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$F = k(\text{extension}) = k(\ell - \ell_{0})$.
$F = 4\,N$ માટે,લંબાઈ $\alpha$ છે: $4 = k(\alpha - \ell_{0}) \dots(i)$
$F = 5\,N$ માટે,લંબાઈ $\beta$ છે: $5 = k(\beta - \ell_{0}) \dots(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $5 - 4 = k(\beta - \ell_{0}) - k(\alpha - \ell_{0}) \Rightarrow 1 = k(\beta - \alpha) \Rightarrow k = \frac{1}{\beta - \alpha}$.
$k$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $4 = \frac{1}{\beta - \alpha}(\alpha - \ell_{0}) \Rightarrow 4(\beta - \alpha) = \alpha - \ell_{0} \Rightarrow \ell_{0} = \alpha - 4\beta + 4\alpha = 5\alpha - 4\beta$.
$F = 9\,N$ માટે,ધારો કે લંબાઈ $\gamma$ છે: $9 = k(\gamma - \ell_{0}) \Rightarrow \gamma = \ell_{0} + \frac{9}{k}$.
$\ell_{0}$ અને $k$ ની કિંમત મૂકતા: $\gamma = (5\alpha - 4\beta) + 9(\beta - \alpha) = 5\alpha - 4\beta + 9\beta - 9\alpha = 5\beta - 4\alpha$.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે.
જ્યારે પદાર્થને સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગના બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કોણીય વેગ $\omega$ છે અને લંબાઈમાં વધારો $x_1 = 1 \, cm$ છે:
$m \omega^2 (l + x_1) = k x_1$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સામાં,કોણીય વેગ $2\omega$ છે અને લંબાઈમાં વધારો $x_2 = 5 \, cm$ છે:
$m (2\omega)^2 (l + x_2) = k x_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4 \omega^2 (l + x_2)}{\omega^2 (l + x_1)} = \frac{k x_2}{k x_1}$
$4 \frac{l + 5}{l + 1} = \frac{5}{1}$
$4(l + 5) = 5(l + 1)$
$4l + 20 = 5l + 5$
$l = 15 \, cm$.
આમ,સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $15 \, cm$ છે.

(C) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{l}$ અથવા $kl = \text{અચળ}$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને તેનો બળ અચળાંક $k$ છે. સ્પ્રિંગને $l_1$ અને $l_2$ લંબાઈના બે ટુકડાઓમાં એવી રીતે કાપવામાં આવે છે કે $l_2 = 3l_1$.
કુલ લંબાઈ $L = l_1 + l_2 = l_1 + 3l_1 = 4l_1$ થાય.
મૂળ સ્પ્રિંગ માટે,$kL = C$,જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે.
$l_2$ લંબાઈના લાંબા ટુકડા માટે,ધારો કે નવો બળ અચળાંક $k_2$ છે. તેથી $k_2 l_2 = C$.
બંનેને સરખાવતા,$kL = k_2 l_2$.
કિંમતો મૂકતા,$k(4l_1) = k_2(3l_1)$.
$k_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $k_2 = \frac{4k}{3}$ મળે છે.

(C) $F$ જેટલું બળ લગાડીને ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ સમાન છે,ધારો કે $F_P = F_Q = F$.
સ્પ્રિંગ $P$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_P = \frac{F^2}{2k_P}$ છે.
સ્પ્રિંગ $Q$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_Q = \frac{F^2}{2k_Q} = E$ છે.
કારણ કે $k_Q = \frac{k_P}{2}$,તેથી $k_P = 2k_Q$ થાય.
આ કિંમતને $U_P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U_P = \frac{F^2}{2(2k_Q)} = \frac{1}{2} \left( \frac{F^2}{2k_Q} \right) = \frac{1}{2} E$.
તેથી,સ્પ્રિંગ $P$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $E/2$ છે.

(N/A) $1$. ચલ બળનું ઉદાહરણ: બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેમ જેમ તેમનું અંતર બદલાય તેમ બદલાય છે,અથવા સ્પ્રિંગ બળ $F = -kx$ જ્યાં બળ સ્થાનાંતર $x$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. હૂકના નિયમનું સૂત્ર: $F = -kx$,જ્યાં $F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે,$k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે,અને $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.

(N/A) સ્પ્રિંગ અચળાંક,જેને $k$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સ્પ્રિંગની જડતાનું માપ છે. તેને સ્પ્રિંગના એકમ વિસ્તરણ અથવા સંકોચન દીઠ લાગતા પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતર છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = |F/x|$ છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંકનો $SI$ એકમ ન્યૂટન પ્રતિ મીટર છે,જેને $N/m$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) લાગતું બળ $F = 20\,dyne$ છે.
સ્પ્રિંગમાં થતો વધારો $\Delta l = 1\,mm = 0.1\,cm$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ બળ અચળાંક $k = \frac{F}{\Delta l}$ થાય.
તેથી,$k = \frac{20\,dyne}{0.1\,cm} = 200\,dyne/cm$.

(A) સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ હૂકના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \Delta x$.
આપેલ છે:
બળ અચળાંક $k = 0.5 \, Nm^{-1}$.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta x = 10 \, cm = 10 \times 10^{-2} \, m = 0.1 \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = 0.5 \times 0.1 = 0.05 \, N$.
તેથી,જરૂરી બળ $0.05 \, N$ છે.