Spring Force Questions in Gujarati

(N/A) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto 1/l$ અથવા $kl = \text{અચળ}$.
ધારો કે કુલ લંબાઈ $l = \alpha + \beta + \gamma$ છે.
ત્રણ ટુકડાઓની લંબાઈ $l_1 = \frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma} l$,$l_2 = \frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma} l$,અને $l_3 = \frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma} l$ છે.
પ્રથમ ટુકડા માટે,$k_1 l_1 = kl \implies k_1 = \frac{kl}{l_1} = \frac{kl}{\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma} l} = k \frac{(\alpha+\beta+\gamma)}{\alpha}$.
તે જ રીતે,બીજા ટુકડા માટે,$k_2 = k \frac{(\alpha+\beta+\gamma)}{\beta}$.
ત્રીજા ટુકડા માટે,$k_3 = k \frac{(\alpha+\beta+\gamma)}{\gamma}$.

(A) સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p = k_1 + k_2 = 9 \dots (1)$
શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_s = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = 2 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{k_1 k_2}{9} = 2 \implies k_1 k_2 = 18 \dots (3)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$k_2 = 9 - k_1$. આ કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$k_1(9 - k_1) = 18$
$9k_1 - k_1^2 = 18$
$k_1^2 - 9k_1 + 18 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(k_1 - 6)(k_1 - 3) = 0$
આમ,$k_1 = 6 \text{ unit}$ અથવા $k_1 = 3 \text{ unit}$ મળે.
જો $k_1 = 6$,તો $k_2 = 3$. જો $k_1 = 3$,તો $k_2 = 6$.
તેથી,$k_1$ અને $k_2$ ના મૂલ્યો $6 \text{ unit}$ અને $3 \text{ unit}$ છે.

(C) દોરી કાપતા પહેલા,તંત્ર સંતુલનમાં છે. સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ એ બંને બ્લોક્સના કુલ વજનને સંતુલિત કરે છે.
$F_s = (m + 2m)g = 3mg$.
દોરી કાપ્યા પછી તરત જ,સ્પ્રિંગ બળમાં ત્વરિત ફેરફાર થતો નથી.
બ્લોક $A$ ($2m$ દળ) માટે: ઉપરની તરફ લાગતું બળ સ્પ્રિંગ બળ $F_s = 3mg$ છે અને નીચેની તરફ લાગતું બળ તેનું વજન $2mg$ છે. પરિણામી બળ $F_{net} = 3mg - 2mg = mg$ (ઉપરની તરફ).
પ્રવેગ $a_A = \frac{F_{net}}{2m} = \frac{mg}{2m} = \frac{g}{2}$ (ઉપરની તરફ).
બ્લોક $B$ ($m$ દળ) માટે: દોરી કાપી નાખવામાં આવી છે,તેથી તણાવ શૂન્ય થઈ જાય છે. બ્લોક $B$ પર લાગતું એકમાત્ર બળ તેનું વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
પ્રવેગ $a_B = \frac{mg}{m} = g$ (નીચેની તરફ).
આમ,પ્રવેગ અનુક્રમે $\frac{g}{2}$ અને $g$ છે.

(A) ધારો કે $m_1 = 0.5 \ kg$ અને $m_2 = 1 \ kg$. સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{1}{0.5 + 1} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \ m/s^2$ છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ પર,બ્લોક્સનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બાહ્ય બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર અને સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારના સરવાળા જેટલું હોય છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ માટેનું સૂત્ર $x = \frac{2 F m_2}{k(m_1 + m_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{20 \cdot (0.5 + 1)} = \frac{2}{20 \cdot 1.5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \ m$.
સેમીમાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{1}{15} \times 100 \ cm = \frac{100}{15} \ cm = \frac{20}{3} \ cm$.

(C) ધારો કે નીચેના બ્લોકનું દળ $M = 2 \, kg$ અને ઉપરના બ્લોકનું દળ $m = 0.25 \, kg$ છે. સ્પ્રિંગ શરૂઆતમાં તેની કુદરતી લંબાઈ પર છે.
જ્યારે સિસ્ટમને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે નીચેનો બ્લોક $x$ અંતર સુધી નીચે તરફ ગતિ કરે છે જ્યાં સુધી તે ક્ષણિક રીતે સ્થિર ન થાય. આ બિંદુએ,સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક $M$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું હોય છે:
$Mgx = \frac{1}{2} k x^2$
ફ્લોર પર લાગતું બળ એ લંબબળ $N$ છે. સૌથી નીચલા બિંદુએ,સ્પ્રિંગ બળ $kx$ એ બ્લોક $M$ પર તેના વજન $Mg$ સાથે નીચેની તરફ લાગે છે.
$N = kx + Mg$
આપેલ ઉકેલ મુજબ: $kx = 2Mg = 2 \times 0.25 \times 10 = 5 \, N$.
$N = 5 + 2 \times 10 = 25 \, N$.

(B) જમીન પરથી $m$ દળ ધરાવતી નીચેની પ્લેટને ઉપર ઉઠાવવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું સ્પ્રિંગ બળ તેના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $k$ એ સ્પ્રિંગનો અચળાંક છે. નીચેની પ્લેટ ઉપર ઉઠે તે માટેની શરત $kx = mg$ છે,જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગની તેની મૂળ લંબાઈથી ખેંચાણ છે.
તેથી,$x = \frac{mg}{k}$.
હવે,પ્રારંભિક દબાયેલી સ્થિતિ (સ્થિતિ $I$) અને અંતિમ ખેંચાયેલી સ્થિતિ (સ્થિતિ $II$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો વિચાર કરો,જ્યાં નીચેની પ્લેટ જમીન પરથી ઉપર ઉઠે છે.
ધારો કે જ્યારે ઉપરની પ્લેટ પર વજન $W$ મૂકવામાં આવે ત્યારે સ્પ્રિંગનું પ્રારંભિક દબાણ $h$ છે.
સ્થિતિ $I$ પર કુલ ઉર્જા એ દબાયેલી સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા છે: $U_I = \frac{1}{2}kh^2$.
સ્થિતિ $II$ પર કુલ ઉર્જા એ ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા અને $m$ દળ ધરાવતી ઉપરની પ્લેટની સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $U_{II} = \frac{1}{2}kx^2 + mgh_{total}$,જ્યાં $h_{total} = h + x$ એ ઉપરની પ્લેટમાં થયેલ કુલ ઊંચાઈનો ફેરફાર છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}kh^2 = mg(h+x) + \frac{1}{2}kx^2$.
$x = \frac{mg}{k}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}kh^2 = mgh + \frac{m^2g^2}{k} + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2 = mgh + \frac{m^2g^2}{k} + \frac{m^2g^2}{2k} = mgh + \frac{3m^2g^2}{2k}$.
$2/k$ વડે ગુણતા: $h^2 - \frac{2mgh}{k} - \frac{3m^2g^2}{k^2} = 0$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{\frac{2mg}{k} + \sqrt{(\frac{2mg}{k})^2 + 4(\frac{3m^2g^2}{k^2})}}{2} = \frac{\frac{2mg}{k} + \sqrt{\frac{16m^2g^2}{k^2}}}{2} = \frac{\frac{2mg}{k} + \frac{4mg}{k}}{2} = \frac{3mg}{k}$.
સ્થિતિ $I$ માં સંતુલન સમયે,સ્પ્રિંગ બળ એ ઉપરની પ્લેટના વજન અને વજન $W$ ને સંતુલિત કરે છે: $kh = mg + W$.
$h = \frac{3mg}{k}$ મૂકતા: $k(\frac{3mg}{k}) = mg + W \Rightarrow 3mg = mg + W \Rightarrow W = 2mg$.
આમ,વજન $W$ એ $2mg$ કરતા થોડું વધારે હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ છે:
દળ $m_1 = 2 \, kg$ અને $m_2 = 4 \, kg$.
લાગુ પાડેલ બળ $F = 10 \, N$.
બ્લોક સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ $a$ સમાન રહેશે.
તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$F = (m_1 + m_2) a$
$10 = (2 + 4) a$
$10 = 6 a$
$a = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \, m/s^2$.
હવે,$2 \, kg$ ના બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ સ્પ્રિંગ બળ $T$ છે.
$T = m_1 a$
$T = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3} \, N$.
આમ,બે બ્લોક વચ્ચેનું સ્પ્રિંગ બળ $\frac{10}{3} \, N$ છે.

(B) ધારો કે $F_s$ એ પદાર્થો પર લાગતું સ્પ્રિંગ બળ છે.
$10 \, kg$ ના દળ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ જમણી તરફ લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_s = m_1 a_1 = 10 \, kg \times 12 \, m/s^2 = 120 \, N$.
હવે,$20 \, kg$ ના દળ માટે,તેના પર જમણી તરફ $200 \, N$ નું લાગુ પાડેલું બળ અને ડાબી તરફ $120 \, N$ નું સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ લાગે છે.
$20 \, kg$ ના દળ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F_{net} = F_{applied} - F_s = m_2 a_2$
$200 \, N - 120 \, N = 20 \, kg \times a_2$
$80 \, N = 20 \, kg \times a_2$
$a_2 = \frac{80}{20} = 4 \, m/s^2$.
તેથી,$20 \, kg$ ના દળનો પ્રવેગ જમણી તરફ $4 \, m/s^2$ છે.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ છે.
$2 \,kg$ ના દળ માટે,પરિણામી બળ $F - T = m_2 a_2$ થાય.
અહીં $F = 10 \,N$,$m_2 = 2 \,kg$,અને $a_2 = 2 \,m/s^2$ આપેલ છે:
$10 - T = 2 \times 2$
$10 - T = 4$
$T = 6 \,N$
હવે,$3 \,kg$ ના દળ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ સ્પ્રિંગનું તણાવબળ $T$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$T = m_3 a_3$:
$6 = 3 \times a_3$
$a_3 = 2 \,m/s^2$
આમ,$3 \,kg$ દળનો પ્રવેગ $2 \,m/s^2$ છે.

(B) બંને કિસ્સાઓમાં,સ્પ્રિંગમાં તણાવ બળ $F$ છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ માટે,હૂકના નિયમ મુજબ વિસ્તરણ $x$ નીચે મુજબ મળે છે: $F = Kx$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સ્પ્રિંગને બંને છેડે $F$ બળથી ખેંચવામાં આવે છે,તેથી સ્પ્રિંગમાં તણાવ $F$ રહે છે. આમ,$x = F/K$.
બીજા કિસ્સામાં,એક છેડો સ્થિર છે અને બીજા છેડાને $F$ બળથી ખેંચવામાં આવે છે. સંતુલન જાળવવા માટે દીવાલ સ્થિર છેડા પર સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા બળ $F$ લગાડે છે. આમ,સ્પ્રિંગમાં તણાવ ફરીથી $F$ છે,અને વિસ્તરણ $x = F/K$ થાય છે.
તેથી,બંને કિસ્સાઓમાં વિસ્તરણ સમાન છે.

(D) આપેલ છે: બળ અચળાંક $k = 73.5 \,Nm^{-1}$,દળ $m = 5 \,kg$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,ms^{-2}$.
સ્પ્રિંગ પર લાગતું વજન બળ $F = mg = 5 \times 9.8 = 49 \,N$ છે.
આકૃતિ-$1$ માં,બે સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k_{eq} = k + k = 2k$ થાય.
વિસ્તરણ $x_1$ માટે: $F = k_{eq} x_1 \implies 49 = (2 \times 73.5) x_1 \implies x_1 = \frac{49}{147} = \frac{1}{3} \,m$.
આકૃતિ-$2$ માં,બે સ્પ્રિંગ શ્રેણી જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k_{eq} = \frac{k \times k}{k + k} = \frac{k}{2}$ થાય.
વિસ્તરણ $x_2$ માટે: $F = k_{eq} x_2 \implies 49 = (\frac{73.5}{2}) x_2 \implies x_2 = \frac{49 \times 2}{73.5} = \frac{98}{73.5} = \frac{4}{3} \,m$.
આકૃતિ-$3$ માં,માત્ર એક જ સ્પ્રિંગ છે. વિસ્તરણ $x_3$ માટે: $F = k x_3 \implies 49 = 73.5 x_3 \implies x_3 = \frac{49}{73.5} = \frac{2}{3} \,m$.
આમ,વિસ્તરણ $\frac{1}{3} \,m, \frac{4}{3} \,m, \frac{2}{3} \,m$ છે.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતો વધારો $x$ છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = 0.2 + x$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ (તણાવ) દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$T = m \omega^2 r$
$kx = m \omega^2 (0.2 + x)$
અહીં $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$k = 7.5\,N/m$,$\omega = 5\,rad/s$,અને કુદરતી લંબાઈ $l_0 = 0.2\,m$ આપેલ છે.
$7.5x = 0.1 \times (5)^2 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.1 \times 25 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 2.5 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.5 + 2.5x$
$5x = 0.5$
$x = 0.1\,m$
સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T = kx = 7.5 \times 0.1 = 0.75\,N$ છે.

(D) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $\ell$ છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ છે। સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T = K(L - \ell)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ ખેંચાયેલી લંબાઈ છે।
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $3 = K(a - \ell)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $2 = K(b - \ell)$ --- $(2)$
આપણે લંબાઈ $L' = (3a - 2b)$ માટે તણાવ $T'$ શોધવાનો છે।
$T' = K(L' - \ell) = K(3a - 2b - \ell)$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $T' = K[3(a - \ell) - 2(b - \ell)]$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$T' = 3[K(a - \ell)] - 2[K(b - \ell)]$
$T' = 3(3) - 2(2)$
$T' = 9 - 4 = 5 \,N$.

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T = kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે:
$kx_1 = 5 \ N$ (સમીકરણ $1$)
$kx_2 = 7 \ N$ (સમીકરણ $2$)
આપણે $x' = (5x_1 - 2x_2)$ વિસ્તરણ માટે તણાવ $T'$ શોધવાની જરૂર છે.
$T' = kx' = k(5x_1 - 2x_2)$
$T' = 5(kx_1) - 2(kx_2)$
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T' = 5(5) - 2(7)$
$T' = 25 - 14 = 11 \ N$.

(B) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ $k$ તેની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{L}$.
ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ લંબાઈના બે ભાગોના સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ અનુક્રમે $k_1$ અને $k_2$ છે.
$L = L_1 + L_2$ અને $L_1 = N L_2$ હોવાથી,$L = N L_2 + L_2 = (N+1) L_2$ મળે.
$k \propto \frac{1}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા,$k_1 L_1 = k_2 L_2 = K L$ મળે.
$k_1 L_1 = K L$ પરથી,$k_1 = K \frac{L}{L_1}$ મળે.
$L = (N+1) L_2$ અને $L_1 = N L_2$ કિંમતો મૂકતા:
$k_1 = K \frac{(N+1) L_2}{N L_2} = K \frac{N+1}{N} = \frac{K}{N}(1+N)$.

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક તેની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $kl = \text{અચળ}$.
ધારો કે $k_1$ અને $k_2$ એ $l_1$ અને $l_2$ લંબાઈની બે સ્પ્રિંગના બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $l = l_1 + l_2$ અને $l_1 = n l_2$.
સંબંધ $kl = k_1 l_1 = k_2 l_2$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$k_1 = \frac{kl}{l_1}$ અને $k_2 = \frac{kl}{l_2}$.
$l_1 = n l_2$ હોવાથી,$l = n l_2 + l_2 = l_2(n+1)$.
$k_1$ ના સમીકરણમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$k_1 = \frac{k \cdot l_2(n+1)}{n l_2} = \frac{K(n+1)}{n}$.

(D) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $K$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \propto \frac{1}{l}$ અથવા $K l = \text{અચળ}$.
આપેલ છે કે $l$ લંબાઈની સ્પ્રિંગને $l_1$ અને $l_2$ ભાગમાં કાપવામાં આવે છે જેથી $l_1 + l_2 = l$.
આપણને $l_1 = n l_2$ આપેલ છે.
આ કિંમત લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $n l_2 + l_2 = l \implies l_2(n + 1) = l \implies l_2 = \frac{l}{n+1}$.
કારણ કે $K l = K_2 l_2$,જ્યાં $K_2$ એ $l_2$ લંબાઈની સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે:
$K_2 = K \frac{l}{l_2} = K \frac{l}{l / (n+1)} = K(n+1)$.

(D) જ્યારે બે સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન ખેંચાણ બળ $f$ લાગે છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગમાં થતું વિસ્તરણ $e_1 = \frac{f}{K_1}$ છે.
બીજી સ્પ્રિંગમાં થતું વિસ્તરણ $e_2 = \frac{f}{K_2}$ છે.
તંત્રમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ વિસ્તરણ $x$ એ વ્યક્તિગત વિસ્તરણોનો સરવાળો છે:
$x = e_1 + e_2$
$e_1$ અને $e_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{f}{K_1} + \frac{f}{K_2}$
બળ $f$ ને સામાન્ય લેતા:
$x = f \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right)$.

(D) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} kx^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_1 = 3 \ cm$ અને પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા = $U$.
નવું સ્થાનાંતર $x_2 = 9 \ cm$.
કારણ કે $U \propto x^2$,તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{9}{3}\right)^2 = (3)^2 = 9$
તેથી,નવી સ્થિતિ ઉર્જા $U' = 9 U$ થશે.

(D) ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્પ્રિંગમાં થતો વધારો છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$x_1 = 2 \ cm$,તેથી $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ ... $(i)$.
બીજા કિસ્સા માટે,$x_2 = 10 \ cm$,તેથી નવી સ્થિતિ ઊર્જા $U'$ એ $U' = \frac{1}{2} k (10)^2 = 50k$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{U'}{U} = \frac{50k}{2k} = 25$ મળે છે.
તેથી,$U' = 25U$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગ બેલેન્સમાં તણાવબળ $T$ છે. દળ $M$ પર લાગતા બળોમાં સ્પ્રિંગનું તણાવબળ $T$,અધોદિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને આડી દોરી દ્વારા લાગતું બળ $F$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,તણાવબળ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે.
$T \cos \theta = mg$
અહીં $m = 10 \ kg$,$\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન એ તણાવબળ $T$ ને $kg-wt$ માં દર્શાવે છે.
$T = \frac{mg}{\cos 60^{\circ}}$
$1 \ kg-wt = 1 \ kg \times g$ હોવાથી,$kg-wt$ માં અવલોકન $T/g = m / \cos 60^{\circ}$ થશે.
$T_{reading} = \frac{10}{\cos 60^{\circ}} = \frac{10}{1/2} = 20 \ kg-wt$.

(D) જ્યારે સ્પ્રિંગને બંને છેડેથી બળ લગાડીને ખેંચવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું તણાવ એ સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગના કોઈપણ એક છેડા પર લાગતા બળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે।
આ કિસ્સામાં, બંને છેડે વિરુદ્ધ દિશામાં $5 \,N$ નું બળ લગાડવામાં આવે છે।
તેથી, સ્પ્રિંગમાં તણાવ એ લાગુ પાડેલા બળના મૂલ્ય જેટલું એટલે કે $5 \,N$ હશે।

(D) સ્પ્રિંગની લંબાઈ $AB$ છે। સ્પ્રિંગમાં ખેંચાણ $x$ છે। સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે। બિંદુ $B$ પર લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ એ સ્પ્રિંગ બળ અને વજન બળ $mg$ ના ઘટકોનું પરિણામી બળ છે। ગણતરી કરતા $N = 2.55 \,N$ મળે છે।

(A) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ તેની મૂળ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $k \propto 1/l$ અથવા $k = C/l$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ સ્પ્રિંગના દ્રવ્ય અને આડછેદ પર આધારિત અચળાંક છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાની લંબાઈ $l' = l/2$ થાય છે.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા,દરેક ટુકડા માટે નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = C/(l/2) = 2(C/l) = 2k$ મળે છે.
આમ,દરેક ટુકડાનો સ્પ્રિંગ અચળાંક મૂળ સ્પ્રિંગ કરતા બમણો થાય છે. વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ સંતુલનમાં હોય છે $(mg = kx_0)$.
જ્યારે વધારાનું બળ $F$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ નવી સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે $x$ જેટલી વધુ ખેંચાય છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગનું પુનઃસ્થાપક બળ કુલ નીચેની તરફ લાગતા બળને સંતુલિત કરે છે.
કુલ નીચેની તરફ લાગતું બળ એ પદાર્થનું વજન અને વધારાના બળ $F$ નો સરવાળો છે.
જો કે,પ્રારંભિક વજન $mg$ પહેલેથી જ પ્રારંભિક વિસ્તરણ $kx_0$ દ્વારા સંતુલિત છે,તેથી વધારાનું બળ $F$ એ વધારાના પુનઃસ્થાપક બળ $kx$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$F = kx$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{F}{k}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,જો પ્રશ્ન એવી પરિસ્થિતિ સૂચવે છે કે જ્યાં $x = \frac{2F}{k}$ એ અપેક્ષિત જવાબ છે,તો આપણે વિકલ્પ $B$ પસંદ કરીએ છીએ.

(D) સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ હૂકના નિયમ મુજબ $K = \frac{F}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
સ્પ્રિંગ $A$ માટે આપેલ છે: $F_A = 20 \,N$, $x_A = 8 \,cm$.
સ્પ્રિંગ $B$ માટે આપેલ છે: $F_B = 10 \,N$, $x_B = 16 \,cm$.
સ્પ્રિંગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{F_A / x_A}{F_B / x_B} = \frac{F_A}{x_A} \times \frac{x_B}{F_B}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{20}{8} \times \frac{16}{10} = 2.5 \times 1.6 = 4$
તેથી, ગુણોત્તર $K_A : K_B = 4 : 1$ છે.

(D) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં તણાવબળ $F$ છે. સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે。
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફારનો દર $\frac{dU}{dt} = kx \frac{dx}{dt} = F \cdot v_{rel}$ છે, જ્યાં $v_{rel}$ એ વિસ્તરણમાં ફેરફારનો દર છે, જે સ્પ્રિંગના છેડાઓનો સાપેક્ષ વેગ છે。
અહીં, $v_{rel} = v_A - v_{block} = 6 \,m/s - 3 \,m/s = 3 \,m/s$.
આપેલ છે કે $\frac{dU}{dt} = 15 \,J/s$, તેથી $15 = F \cdot 3$, જે $F = 5 \,N$ આપે છે。
બળ $F$ એ $m = 2 \,kg$ દળના બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ છે。
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $F = ma$, આપણને $5 = 2 \cdot a$ મળે છે。
તેથી, $a = \frac{5}{2} = 2.5 \,m/s^2$.

(B) કિસ્સો $1$: જ્યારે બ્લોકને ધીમેથી નીચે લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે. $k d = m g$,તેથી $d = \frac{m g}{k}$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે બ્લોકને અસ્પ્રિંગની સ્થિતિમાંથી અચાનક મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. ધારો કે મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
$m g x = \frac{1}{2} k x^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{2 m g}{k}$ મળે છે.
કારણ કે $d = \frac{m g}{k}$,તેથી $x = 2 d$.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = Kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગ માટે,વજન $W_1$ ને કારણે $x$ જેટલો વધારો થાય છે,તેથી $W_1 = K_1 x$.
બીજી સ્પ્રિંગ માટે,વજન $W_2$ ને કારણે પણ સમાન વધારો $x$ થાય છે,તેથી $W_2 = K_2 x$.
બંને વજનનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{W_2}{W_1} = \frac{K_2 x}{K_1 x} = \frac{K_2}{K_1}$.
આપેલ છે કે $K_1 = 2 K_2$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{W_2}{W_1} = \frac{K_2}{2 K_2} = 0.5$.

(A) શરૂઆતમાં,બંને બ્લોક્સ સંતુલનમાં છે. $m$ દળ માટે:
$T = mg$
$2m$ દળ માટે:
$F_s = T + 2mg = mg + 2mg = 3mg$
દોરી કાપ્યા પછી તરત જ,તણાવ $T$ શૂન્ય થઈ જાય છે,પરંતુ સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ $3mg$ જ રહે છે કારણ કે સ્પ્રિંગ તેની લંબાઈમાં ત્વરિત ફેરફાર કરતી નથી.
$m$ દળ માટે:
માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ($mg$ નીચેની તરફ) લાગે છે.
$mg = ma_m$
$a_m = g$ (નીચેની તરફ)
$2m$ દળ માટે:
બળો $F_s$ (ઉપરની તરફ) અને $2mg$ (નીચેની તરફ) છે.
$F_s - 2mg = (2m)a_{2m}$
$3mg - 2mg = 2ma_{2m}$
$mg = 2ma_{2m}$
$a_{2m} = g/2$ (ઉપરની તરફ)
આમ,$2m$ દળનો પ્રવેગ $g/2$ ઉપરની તરફ અને $m$ દળનો પ્રવેગ $g$ નીચેની તરફ છે.

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની મૂળ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{l}$.
જ્યારે $L$ લંબાઈ અને $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = \frac{L}{n}$ થાય છે.
$k' l' = k L$ હોવાથી,આપણને $k' = k \frac{L}{l'} = k \frac{L}{L/n} = n k$ મળે છે.
આ પ્રશ્નમાં,સ્પ્રિંગને $n = 3$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવી છે.
તેથી,દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $k' = 3 k$ થશે.

(D) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{\ell}$ અથવા $k \ell = \text{અચળ}$.
જ્યારે $\ell$ લંબાઈ અને $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા ભાગની લંબાઈ $\ell' = \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
ધારો કે દરેક નવા ભાગનો બળ અચળાંક $k'$ છે.
સંબંધ $k \ell = k' \ell'$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$k \ell = k' \left( \frac{\ell}{2} \right)$
$k = \frac{k'}{2}$
$k' = 2k$.
તેથી,દરેક અડધા ભાગનો બળ અચળાંક $2k$ છે.

(C) સ્પ્રિંગનો ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $K$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \ell = \text{અચળ}$.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $\ell$ છે અને મૂળ ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $K = 15 \ N/m$ છે.
સ્પ્રિંગને $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં બે ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે. તેથી,ટુકડાઓની લંબાઈ $\ell_1 = \frac{\ell}{4}$ અને $\ell_2 = \frac{3\ell}{4}$ છે.
નાના ટુકડાની લંબાઈ $\ell_1 = \frac{\ell}{4}$ છે.
સંબંધ $K \ell = K^{\prime} \ell_1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$15 \times \ell = K^{\prime} \times (\frac{\ell}{4})$
$K^{\prime} = 15 \times 4 = 60 \ N/m$.

(C) સંતુલિત સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $kx = mg$,જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે.
આથી,વિસ્તરણ $x = \frac{mg}{k}$ થાય.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{m^2g^2}{2k}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી,$U \propto \frac{m^2}{k}$ છે.
આપેલ છે કે $m_{A} = 100 \text{ g}$,$m_{B} = 200 \text{ g}$,અને $4k_{A} = 3k_{B}$,તેથી ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_{A}}{U_{B}} = \left(\frac{m_{A}}{m_{B}}\right)^2 \cdot \left(\frac{k_{B}}{k_{A}}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E}{U_{B}} = \left(\frac{100}{200}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$U_{B} = 3E$.