Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Hindi

(D) $1$. किसी बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = r \times p$ द्वारा दिया जाता है। सतह पर बिंदु $A$ से $h$ ऊँचाई पर $v$ वेग से गति कर रहे ब्लॉक के द्रव्यमान केंद्र के लिए,प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = mvh$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. चूंकि सतह खुरदरी है,इसलिए ब्लॉक पर उसकी गति की विपरीत दिशा में गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N$ कार्य करता है। यह बल मंदन उत्पन्न करता है,इसलिए समय बीतने के साथ ब्लॉक का वेग $v$ घटता जाता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) $\tau = r \times F$ द्वारा दिया जाता है। घर्षण बल सतह पर कार्य करता है और अभिलंब बल द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरता है। बिंदु $A$ के परितः घर्षण के कारण टॉर्क $\tau = f_k \times h \neq 0$ है। चूंकि निकाय पर बिंदु $A$ के परितः एक गैर-शून्य बाहरी टॉर्क कार्य कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित नहीं है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$4$. चूंकि $A$,$B$ और $C$ तीनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले घर्षण रहित नत समतल पर स्थित ब्लॉक के लिए,समतल के अनुदिश त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
इस त्वरण का ऊर्ध्वाधर घटक $a_v = a \sin \theta = (g \sin \theta) \sin \theta = g \sin^2 \theta$ है।
ब्लॉक $A$ के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ है। अतः,इसका ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{vA} = g \sin^2(30^\circ) = g(1/2)^2 = g/4$ है।
ब्लॉक $B$ के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ है। अतः,इसका ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{vB} = g \sin^2(60^\circ) = g(\sqrt{3}/2)^2 = 3g/4$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का सापेक्ष ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{rel} = a_{vA} - a_{vB} = g/4 - 3g/4 = -g/2 = -4.9 \ m/s^2$ है।
इसका परिमाण नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में $4.9 \ m/s^2$ है।

(B) दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाए गए घर्षण बल को ज्ञात करने के लिए,हम दोनों ब्लॉकों $A$ और $B$ के निकाय को संतुलन में मानते हैं।
चूंकि निकाय संतुलन में है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर ऊपर की ओर लगाए गए घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
निकाय का कुल भार $W_{total} = W_A + W_B = 20\ N + 100\ N = 120\ N$ है।
मान लीजिए $f_{wall}$ दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया घर्षण बल है।
निकाय के ऊर्ध्वाधर संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला बल नीचे की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए:
$f_{wall} = W_{total} = 120\ N$.
अतः,दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया घर्षण बल $120\ N$ है।

(C) दिया गया है,अंतिम ऊर्जा $\frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{8} m v_0^2$ है।
इसका अर्थ है $v_f^2 = \frac{1}{4} v_0^2$,इसलिए $v_f = \frac{v_0}{2}$।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$m \frac{dv}{dt} = -kv^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dv}{v^2} = -\frac{k}{m} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{v_0}^{v_0/2} v^{-2} dv = -\frac{k}{m} \int_{0}^{10} dt$।
समाकलन का मान रखने पर: $\left[ -\frac{1}{v} \right]_{v_0}^{v_0/2} = -\frac{k}{m} [t]_0^{10}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $-\left( \frac{2}{v_0} - \frac{1}{v_0} \right) = -\frac{k}{m} (10)$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{v_0} = \frac{10k}{m}$ प्राप्त होता है।
$k$ के लिए हल करने पर: $k = \frac{m}{10v_0} = \frac{10^{-2}}{10 \times 10} = 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$।

(D) दीवार से टकराने वाले एक अणु के संवेग में परिवर्तन की गणना दीवार के लंबवत संवेग के घटक पर विचार करके की जाती है। दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग घटक $p_n = mv \cos(45^\circ)$ है। चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए दीवार के लंबवत अंतिम संवेग घटक $-mv \cos(45^\circ)$ है।
प्रति अणु संवेग में परिवर्तन $\Delta p = mv \cos(45^\circ) - (-mv \cos(45^\circ)) = 2mv \cos(45^\circ)$.
दिया गया है $m = 3.32 \times 10^{-27} \ kg$,$v = 10^3 \ m/s$,और $\cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए प्रति अणु संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 2 \times (3.32 \times 10^{-27}) \times 10^3 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$.
दीवार पर लगाया गया बल प्रति सेकंड संवेग में कुल परिवर्तन है: $F = n \times \Delta p$,जहाँ $n = 10^{23} \ s^{-1}$.
$F = 10^{23} \times \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} = 3.32 \times \sqrt{2} \times 10^{-1} \ N$.
दबाव $P = F / A$,जहाँ $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$.
$P = (3.32 \times 1.414 \times 0.1) / (2 \times 10^{-4}) = (4.694 \times 10^{-1}) / (2 \times 10^{-4}) \approx 2.35 \times 10^3 \ N/m^2$.

(A) दिया गया है: $m_1 = 5 \ kg$,$m_2 = 10 \ kg$,$\mu = 0.15$,$g = 10 \ m/s^2$.
निकाय को स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को $m_1$ के भार को संतुलित करना चाहिए।
$T = m_1 g = 5 \times 10 = 50 \ N$.
द्रव्यमान $m_2$ (जिसके ऊपर $m$ द्रव्यमान रखा है) को स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को तनाव बल $T$ को संतुलित करना चाहिए।
क्षैतिज सतह पर अभिलंब बल $N = (m_2 + m)g$ है।
सीमान्त घर्षण बल $f = \mu N = \mu (m_2 + m)g$ होता है।
गति को रोकने के लिए,$T = f$ होना चाहिए।
$50 = 0.15 \times (10 + m) \times 10$.
$50 = 1.5 \times (10 + m)$.
$50 / 1.5 = 10 + m$.
$33.33 = 10 + m$.
$m = 33.33 - 10 = 23.33 \ kg$.
अतः,आवश्यक न्यूनतम द्रव्यमान लगभग $23.3 \ kg$ है।

(A) बिंदु $P$ की ऊँचाई $h = 2 \ m$ है। झुके हुए ट्रैक $PQ$ की लंबाई $L = h / \sin(30^\circ) = 2 / 0.5 = 4 \ m$ है।
पथ $PQ$ पर खोई गई ऊर्जा $W_{PQ} = \mu mg \cos(30^\circ) \times L = \mu mg (\sqrt{3}/2) \times 4 = 2\sqrt{3} \mu mg$ है।
क्षैतिज पथ $QR$ पर खोई गई ऊर्जा $W_{QR} = \mu mg x$ है।
यह दिया गया है कि $PQ$ और $QR$ पर खोई गई ऊर्जा बराबर है,$W_{PQ} = W_{QR}$:
$2\sqrt{3} \mu mg = \mu mg x \implies x = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \ m$.
कुल खोई गई ऊर्जा कण की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $W_{PQ} + W_{QR} = mgh$.
चूंकि $W_{PQ} = W_{QR}$,हमारे पास $2 W_{PQ} = mgh$ है,जिसका अर्थ है $W_{PQ} = mgh / 2$.
$2\sqrt{3} \mu mg = mgh / 2 \implies 2\sqrt{3} \mu = h / 2$.
$h = 2 \ m$ रखने पर: $2\sqrt{3} \mu = 1 \implies \mu = 1 / (2\sqrt{3}) \approx 1 / 3.464 \approx 0.288 \approx 0.29$.
अतः,$\mu \approx 0.29$ और $x \approx 3.5 \ m$।

(A) माना वेज का वेग $v$ है और वेज के सापेक्ष गेंद का वेग ढलान के अनुदिश $u$ है।
क्षैतिज दिशा में संवेग संरक्षण के नियम से: $m v - m(u \cos 45^{\circ} - v) = 0$,जिसे सरल करने पर $v = u \cos 45^{\circ} - v$,अतः $u \cos 45^{\circ} = 2v$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,जमीन के सापेक्ष गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos 45^{\circ} - v = 2v - v = v$ है।
जमीन के सापेक्ष गेंद के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin 45^{\circ} = 2v$ है (क्योंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$)।
फर्श के साथ एक प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक उलट जाता है,लेकिन इसका परिमाण $v_y = 2v$ रहता है।
गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(2v)^2}{2g} = \frac{4v^2}{2g} = \frac{2v^2}{g}$ है।

(A) प्रारंभ में,प्रणाली संतुलन में है। मान लीजिए डोरी में तनाव $T$ है। $4m$ द्रव्यमान की डिस्क के लिए,दो सहायक डोरियों में तनाव $2T$ है। अतः,$2T = 4mg \implies T = 2mg$.
जब डोरी $3$ को जला दिया जाता है,तो $m$ द्रव्यमान का ब्लॉक अब स्थिर नहीं रहता। ब्लॉक पर तनाव $T$ कार्य करता है। ब्लॉक पर घर्षण बल $f = \mu mg = 0.5 \times m \times 10 = 5m$ है।
ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $T - f = ma_b$ है। यहाँ,बाधा के कारण $a_b = 2a_d$ होता है।
डिस्क के लिए गति का समीकरण: $4mg - 2T = 4ma_d$.
ब्लॉक के लिए: $T - 5m = m(2a_d) \implies T = 2ma_d + 5m$.
इस मान को डिस्क के समीकरण में रखने पर: $40m - 2(2ma_d + 5m) = 4ma_d \implies 40m - 4ma_d - 10m = 4ma_d \implies 30m = 8ma_d \implies a_d = 3.75 \ m/s^2$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम पूर्णांक मान $4 \ m/s^2$ है।

(B) मान लीजिए कि गुब्बारे पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $B$ है। जब गुब्बारा $f$ त्वरण के साथ नीचे गति करता है,तो गति का समीकरण है: $Mg - B = Mf$ (समीकरण $1$)।
मान लीजिए कि गिराया जाने वाला द्रव्यमान $m$ है,तो शेष द्रव्यमान $(M - m)$ है। मान लीजिए कि गिराए गए द्रव्यमान का अंश $C$ है,ताकि $m = CM$ हो। नया द्रव्यमान $M(1 - C)$ होगा।
जब गुब्बारा $f$ त्वरण के साथ ऊपर गति करता है,तो गति का समीकरण है: $B - M(1 - C)g = M(1 - C)f$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$B = M(g - f)$ प्राप्त होता है।
$B$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $M(g - f) - M(1 - C)g = M(1 - C)f$।
$M$ से विभाजित करने पर: $(g - f) - (g - Cg) = f - Cf$।
$g - f - g + Cg = f - Cf$।
$Cg + Cf = 2f$।
$C(g + f) = 2f$।
अतः,अंश $C = \frac{2f}{g + f}$।

(C) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। बल $F$ शीर्ष किनारे पर,जमीन से $a$ ऊंचाई पर लगाया जाता है।
घन के पलटने की स्थिति में होने के लिए,अभिलंब बल $N$ को आधार के सामने वाले किनारे पर कार्य करना चाहिए।
सामने वाले किनारे (घूर्णन बिंदु) के परितः आघूर्ण (torque) लेने पर:
भार $mg$ के कारण आघूर्ण $mg \times (a/2)$ (दक्षिणावर्त) है।
अनुप्रयुक्त बल $F$ के कारण आघूर्ण $F \times a$ (वामावर्त) है।
घन के पलटने की स्थिति में होने के लिए,वामावर्त आघूर्ण और दक्षिणावर्त आघूर्ण बराबर होने चाहिए:
$F \times a = mg \times (a/2)$
$F = \frac{mg}{2}$
घन के पलटने से पहले न फिसलने के लिए,अनुप्रयुक्त बल $F$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
पलटने की स्थिति में,$N = mg$ और $f = F$ होता है।
अतः,$F \leq \mu mg$.
$F = \frac{mg}{2}$ रखने पर:
$\frac{mg}{2} \leq \mu mg$
$\mu \geq \frac{1}{2}$
इस प्रकार,घन के फिसलने से पहले पलटने की शर्त $\mu \geq \frac{1}{2}$ है।

(A) ब्लॉक $A$ को दाईं ओर ले जाने के लिए,स्प्रिंग में तनाव $T$ को लगाए गए बल $F$ और बाईं ओर कार्य करने वाले अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max}$ दोनों को पार करना होगा।
घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ है।
ब्लॉक $A$ के दाईं ओर गति करने के लिए,तनाव $T$ को $T \ge F + f_{max} = F + \mu mg$ की शर्त पूरी करनी होगी।
चूंकि ब्लॉक $B$ लटका हुआ है,स्प्रिंग में तनाव $T$ ब्लॉक $B$ के वजन के बराबर है,जो $T = Mg$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $Mg \ge F + \mu mg$ प्राप्त होता है।
$g$ से विभाजित करने पर,$M \ge \frac{F}{g} + \mu m$ प्राप्त होता है।
अतः,$M$ का न्यूनतम मान $\frac{F}{g} + \mu m$ है।

(C) माना छड़ की लंबाई $L = 2\ell$ है। भार $Mg = 100 \, N$ केंद्र $M$ पर कार्य करता है। दिया है $BC = CM$,और $M$ केंद्र है,इसलिए $BM = L/2 = \ell$। अतः $BC = CM = \ell/2$। दूरी $CM = \ell/2$। दूरी $MA = \ell$। दूरी $CA = CM + MA = \ell/2 + \ell = 3\ell/2$।
घूर्णी संतुलन के लिए $C$ के परितः आघूर्ण (torque) लेने पर:
$Mg \cdot (CM \sin \alpha) - F \cdot (CA) = 0$
$100 \cdot (\ell/2 \cdot \sin \alpha) = F \cdot (3\ell/2)$
$50 \sin \alpha = 1.5 F \implies F = \frac{100}{3} \sin \alpha$।
दिया है $\tan \alpha = 4/3$,इसलिए $\sin \alpha = 4/5$ और $\cos \alpha = 3/5$।
$F = \frac{100}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{80}{3} \, N$।
स्थानांतरीय संतुलन के लिए,माना $N$ अभिलंब बल है और $f$ $C$ पर घर्षण है:
$\sum F_y = 0 \implies N + F - Mg \cos \alpha = 0 \implies N = 100(3/5) - 80/3 = 60 - 26.67 = 33.33 \, N$।
$\sum F_x = 0 \implies f - Mg \sin \alpha = 0 \implies f = 100(4/5) = 80 \, N$।
घर्षण गुणांक के न्यूनतम मान के लिए,$f = \mu N \implies \mu = f/N = 80 / (100/3) = 2.4$।

(A) मान लीजिए कि निकाय का सामान्य त्वरण $a$ है।
$8 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,एकमात्र क्षैतिज बल $2 \, kg$ के ब्लॉक द्वारा लगाया गया स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ है।
$f_s = m_2 a = 8a$.
$2 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,परिणामी बल $F - f_s = m_1 a$ है।
$2t - 8a = 2a \implies 2t = 10a \implies a = \frac{t}{5}$.
ब्लॉक तब फिसलना शुरू करते हैं जब स्थैतिक घर्षण बल अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है: $f_{s,max} = \mu N = 0.2 \times 2 \times 10 = 4 \, N$.
$f_s = 8a = 4 \, N$ को बराबर करने पर,हमें $a = 0.5 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = \frac{t}{5}$,इसलिए $0.5 = \frac{t}{5} \implies t = 2.5 \, s$.
अब,$a = \frac{dv}{dt} = \frac{t}{5}$. समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $v = \int_0^t \frac{t}{5} dt = \frac{t^2}{10}$.
विस्थापन $x = \int_0^t v dt = \int_0^{2.5} \frac{t^2}{10} dt = \left[ \frac{t^3}{30} \right]_0^{2.5} = \frac{(2.5)^3}{30} = \frac{15.625}{30} = \frac{15625}{30000} = \frac{125}{240} \, m$.

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल का क्षैतिज घटक सतह के अनुदिश त्वरण $a_{acc}$ उत्पन्न करता है:
$F \cos \theta = m \frac{dv}{dt}$
दिया गया है कि $|F| = 2mb$ और $\theta = a + bs$,इसलिए:
$2mb \cos \theta = m \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = 2b \cos \theta$
चेन नियम $\frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ का उपयोग करते हुए:
$v \frac{dv}{ds} = 2b \cos \theta$
चूंकि $\theta = a + bs$,इसलिए $d\theta = b ds$,या $ds = \frac{d\theta}{b}$। यह मान रखने पर:
$v dv = 2b \cos \theta \left( \frac{d\theta}{b} \right) = 2 \cos \theta d\theta$
दोनों पक्षों का प्रारंभिक स्थिति ($v=0$ जब $\theta=a$) से अंतिम स्थिति ($v$ जब $\theta$) तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{v} v dv = \int_{a}^{\theta} 2 \cos \theta d\theta$
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{v} = 2 [\sin \theta]_{a}^{\theta}$
$\frac{v^2}{2} = 2(\sin \theta - \sin a)$
$v^2 = 4(\sin \theta - \sin a)$
$v = 2(\sin \theta - \sin a)^{1/2}$

(A) $1$. क्रेट को लंबवत गिराया जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग $0$ है। बेल्ट $v = 1.20\ m/s$ के स्थिर वेग से चलती है।
$2$. क्रेट पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg = 0.400 \times 300\ kg \times 9.8\ m/s^2 = 1176\ N$ है।
$3$. क्रेट तब तक त्वरित होती है जब तक उसका वेग बेल्ट के वेग $v = 1.20\ m/s$ के बराबर न हो जाए। लिया गया समय $t = v/a$ है,जहाँ $a = f_k/m = \mu_k g = 0.400 \times 9.8 = 3.92\ m/s^2$ है। अतः,$t = 1.20 / 3.92 \approx 0.306\ s$ है।
$4$. इस अवधि के दौरान क्रेट का विस्थापन $s_c = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 3.92 \times (0.306)^2 \approx 0.1837\ m$ है।
$5$. इस अवधि के दौरान बेल्ट का विस्थापन $s_b = v \times t = 1.20 \times 0.306 \approx 0.3673\ m$ है।
$6$. मोटर द्वारा किया गया कार्य क्रेट द्वारा बेल्ट पर लगाए गए घर्षण बल को दूर करने के लिए होना चाहिए। क्रेट द्वारा बेल्ट पर लगाया गया बल बेल्ट की गति की दिशा में $f_k$ है। स्थिर गति बनाए रखने के लिए मोटर को समान और विपरीत बल लगाना होगा। अतः,$W_{motor} = f_k \times s_b = 1176\ N \times 0.3673\ m \approx 432\ J$।

(A) मान लीजिए कि मनके की स्थिति $O$ से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर है। $A$ से मनके की दूरी $l_A = \sqrt{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta - 0.5r)^2} = r\sqrt{1.25 - \sin\theta}$ है।
इसी प्रकार,$B$ से दूरी $l_B = r\sqrt{1.25 + \sin\theta}$ है।
निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}k(l_A^2 + l_B^2) = \frac{1}{2}kr^2(1.25 - \sin\theta + 1.25 + \sin\theta) = 1.25kr^2$ है।
चूंकि स्थितिज ऊर्जा $U$ स्थान $\theta$ से स्वतंत्र और नियत है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + U$ के अनुसार गतिज ऊर्जा $K$ भी नियत रहनी चाहिए।
अतः,गति के दौरान मनके की चाल नियत रहती है।

(D) न्यूटन के दूसरे नियम से,$F = ma = m(dv/dt)$,जिसका अर्थ है $dv = (F/m) dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,वेग में परिवर्तन $\Delta v = \int (F/m) dt = (1/m) \int F dt$।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए किसी भी समय $t$ पर वेग $v(t)$ उस समय तक बल-समय ग्राफ के तहत क्षेत्रफल के समानुपाती होता है।
$1$. प्रारंभ में,$F$ स्थिर और गैर-शून्य है,इसलिए त्वरण $a = F/m$ स्थिर है। इसका मतलब है कि वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है $(v = at)$।
$2$. उस अंतराल के दौरान जहां $F$ बढ़ता है और फिर घटता है (त्रिकोणीय पल्स),त्वरण $a$ भी बढ़ता और घटता है। परिणामस्वरूप,वेग-समय ग्राफ का ढलान $(dv/dt = a)$ बढ़ता है और फिर घटता है,जिसके परिणामस्वरूप $v-t$ ग्राफ के लिए एक वक्र (ऊपर की ओर अवतल) आकार प्राप्त होता है।
$3$. पल्स के बाद,$F$ अपने प्रारंभिक स्थिर मान पर वापस आ जाता है,इसलिए त्वरण फिर से स्थिर हो जाता है,और वेग-समय ग्राफ प्रारंभिक भाग के समान ढलान वाली एक सीधी रेखा बन जाता है।
दिए गए विकल्पों के साथ इस व्यवहार की तुलना करने पर,ग्राफ $D$ सही ढंग से एक रैखिक वृद्धि,उसके बाद एक वक्र खंड जहां ढलान बढ़ता और घटता है,और अंत में मूल ढलान के साथ एक रैखिक वृद्धि को दर्शाता है।

(D) प्रारंभ में,गोला बिना फिसले लुढ़कता है। संपर्क बिंदु $(ICR)$ के परितः टॉर्क $\tau_{ICR} = FR = I_{ICR} \alpha_{ang}$ है,जहाँ $I_{ICR} = I_{cm} + mR^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$ है।
अतः,$\alpha_{ang} = \frac{FR}{I_{ICR}} = \frac{(\alpha t)R}{\frac{7}{5}mR^2} = \frac{5 \alpha t}{7mR}$ प्राप्त होता है।
रेखीय त्वरण $a = \alpha_{ang} R = \frac{5 \alpha t}{7m}$ है।
$F - f = ma$ का उपयोग करने पर,$f = F - ma = \alpha t - \frac{5 \alpha t}{7} = \frac{2 \alpha t}{7}$ प्राप्त होता है।
लुढ़कना तब तक जारी रहता है जब तक $f = \mu_s mg$ हो,अर्थात $\frac{2 \alpha t}{7} = \mu_s mg$,जिससे $t = \frac{7 \mu_s mg}{2 \alpha}$ प्राप्त होता है।
जब $t > \frac{7 \mu_s mg}{2 \alpha}$ होता है,तो गोला फिसलने लगता है और गतिज घर्षण $f_k = \mu_k mg$ कार्य करता है।
नया त्वरण $a' = \frac{F - f_k}{m} = \frac{\alpha t - \mu_k mg}{m} = \frac{\alpha t}{m} - \mu_k g$ है।
ढाल की तुलना करने पर: प्रारंभिक ढाल $\frac{5 \alpha}{7m}$ है और अंतिम ढाल $\frac{\alpha}{m}$ है। चूँकि $\frac{\alpha}{m} > \frac{5 \alpha}{7m}$,फिसलना शुरू होने के बाद ढाल बढ़ जाती है। यह ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(C) $1 \ kg$ का ब्लॉक कभी न हिले,इसके लिए अधिकतम स्प्रिंग बल उस पर कार्य करने वाले सीमांत घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
$F_{s,max} \le f_{l} = \mu m_{2} g$
$kx = \mu m_{2} g$
$8 \times x = 0.8 \times 1 \times 10$
$8x = 8 \implies x = 1 \ m$
अब,$2 \ kg$ के ब्लॉक के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करें। जब $2 \ kg$ का ब्लॉक $x$ दूरी तय करता है,तो घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{f} = -\mu m_{1} g x$ है।
ऊर्जा संतुलन: $\frac{1}{2} m_{1} u^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + \mu m_{1} g x$
$\frac{1}{2} \times 2 \times u^{2} = \frac{1}{2} \times 8 \times (1)^{2} + 0.8 \times 2 \times 10 \times 1$
$u^{2} = 4 + 16$
$u^{2} = 20$
$u = \sqrt{20} \ m/s$

(A) कोण $\angle BAC = 60^o$ है। मान लीजिए कि तार ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है। चूंकि निकाय सममित है,$\theta = 30^o$ है।
डोरी में विस्तार $x = PQ - 2a$ है। $\triangle APQ$ में,$PQ = 2(3a) \sin(30^o) = 3a$ है। अतः,$x = 3a - 2a = a$ है।
स्प्रिंग बल $F_s = kx = (\frac{mg}{a}) \cdot a = mg$ है।
तार के अनुदिश छल्ले $P$ के संतुलन के लिए: $mg \cos(30^o) - f - F_s \sin(30^o) = 0$ है।
$f = mg \frac{\sqrt{3}}{2} - mg \cdot \frac{1}{2} = mg \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ है।
तार के लंबवत संतुलन के लिए: $N - mg \sin(30^o) - F_s \cos(30^o) = 0$ है।
$N = mg \cdot \frac{1}{2} + mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = mg \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ है।
सीमांत घर्षण के लिए,$f = \mu N$,इसलिए $\mu = \frac{f}{N} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$ है।
अतः,$\mu + \sqrt{3} = (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 7 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m/s$. प्रारंभिक संवेग $p_i = m \times u = 7 \times 5 = 35 \, kg \cdot m/s$.
चूंकि बल गति की दिशा के विपरीत है,हम बल को ऋणात्मक लेंगे: $F = -F_{graph}$.
आवेग $J = \int F \, dt = -(F-t \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल})$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (10 + 4) \times 10 = \frac{1}{2} \times 14 \times 10 = 70 \, N \cdot s$.
अतः,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = -70 \, kg \cdot m/s$.
अंतिम संवेग $p_f = p_i + \Delta p = 35 - 70 = -35 \, kg \cdot m/s$.
अंतिम वेग $v = \frac{p_f}{m} = \frac{-35}{7} = -5 \, m/s$.
चूंकि $v = -5 \, m/s$,चाल $|v| = 5 \, m/s$ है (विकल्प $A$ सही है)।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि गति की दिशा उलट गई है (विकल्प $B$ सही है)।
$t = 5 \, s$ पर,आवेग $\int_0^5 F \, dt = 0 \text{ से } 3 \text{ तक समलंब का क्षेत्रफल} + 3 \text{ से } 5 \text{ तक आयत का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 3 \times 10 + 2 \times 10 = 15 + 20 = 35 \, N \cdot s$.
$t = 5 \, s$ पर संवेग $p(5) = p_i - 35 = 35 - 35 = 0$. अतः,कण क्षण भर के लिए स्थिर है (विकल्प $C$ सही है)।
इसलिए,सभी विकल्प सही हैं।

(A) माना $M$ द्रव्यमान की छड़ का नीचे की ओर त्वरण $a_1$ है और $m$ द्रव्यमान के मनके का जमीन के सापेक्ष नीचे की ओर त्वरण $a_2$ है।
$M$ द्रव्यमान की छड़ के लिए,कार्य करने वाले बल इसका भार $Mg$ नीचे की ओर और तनाव $T_{s}$ ऊपर की ओर हैं। गति का समीकरण है:
$Mg - T_{s} = Ma_1$ --- $(i)$
$m$ द्रव्यमान के मनके के लिए,कार्य करने वाले बल इसका भार $mg$ नीचे की ओर,तनाव $T_{s}$ ऊपर की ओर और घर्षण बल $F$ ऊपर की ओर हैं। गति का समीकरण है:
$mg - T_{s} - F = ma_2$ --- (ii)
चूंकि डोरी अवितान्य है,तनाव $T_{s}$ दोनों तरफ समान है। $(i)$ से,$T_{s} = M(g - a_1)$। इसे (ii) में रखने पर:
$mg - M(g - a_1) - F = ma_2$
$Ma_1 - ma_2 = F + (M - m)g$ --- (iii)
माना $a_{rel}$ छड़ के सापेक्ष मनके का त्वरण है। मनका $T$ समय में $l$ दूरी तय करता है:
$l = \frac{1}{2} a_{rel} T^2 \implies a_{rel} = \frac{2l}{T^2}$
चूंकि $a_{rel} = a_2 - a_1$,इसलिए $a_2 = a_1 + \frac{2l}{T^2}$।
इसे (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,हमें घर्षण बल $F = \frac{2Mm}{M-m} \frac{l}{T^2}$ प्राप्त होता है।

(B) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 2\,kg + 3\,kg + 7\,kg = 12\,kg$ है।
अनुप्रयुक्त बल $F = 10\,N$ है।
$2\,kg$ और $3\,kg$ ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण: $f_{max1} = \mu_1 N_1 = 0.2 \times 2 \times 10 = 4\,N$.
$3\,kg$ और $7\,kg$ ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण: $f_{max2} = \mu_2 N_2 = 0.3 \times (2+3) \times 10 = 15\,N$.
चूंकि $3\,kg$ ब्लॉक पर $F = 10\,N$ बल लगाया गया है,आइए जांचें कि क्या ब्लॉक एक साथ चलते हैं। यदि वे एक साथ चलते हैं,तो सामान्य त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\,m/s^2$ होगा।
$2\,kg$ ब्लॉक के लिए निकाय के साथ चलने हेतु आवश्यक बल $f_1 = m_1 a = 2 \times \frac{5}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67\,N$ है। चूंकि $1.67\,N < 4\,N$,इसलिए $2\,kg$ ब्लॉक $3\,kg$ ब्लॉक के साथ चलेगा।
$7\,kg$ ब्लॉक के लिए निकाय के साथ चलने हेतु आवश्यक बल $f_2 = (m_1 + m_2) a = 5 \times \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17\,N$ है। चूंकि $4.17\,N < 15\,N$,इसलिए $7\,kg$ ब्लॉक भी निकाय के साथ चलेगा।
अतः,सभी ब्लॉक $a = \frac{5}{6}\,m/s^2$ के त्वरण के साथ एक साथ चलते हैं।

(C) जब दूध को मथा जाता है,तो यह वृत्ताकार गति करता है। क्रीम के कण दूध की तुलना में हल्के होते हैं,इसलिए उन्हें वृत्ताकार गति बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल कम अनुभव होता है। परिणामस्वरूप,अपकेंद्री बल के कारण वे पात्र के बाहरी किनारे से केंद्र की ओर धकेल दिए जाते हैं,जो एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम में कार्य करने वाला एक छद्म बल है।

(A) माना डोरी में तनाव $T$ है। मनके $B$ के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ नीचे की ओर,डोरी में तनाव $T$ और रिंग द्वारा अभिलंब बल $N_B$ हैं। चूँकि $B$ पर कोई घर्षण नहीं है,डोरी ऊर्ध्वाधर $AC$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है क्योंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है $(AC=BC=R)$।
मनके $B$ के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन: $T \cos(45^{\circ}) = mg \implies T = \sqrt{2}mg$.
मनके $A$ के लिए,बल उसका भार $mg$ नीचे की ओर,डोरी में तनाव $T$ ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर,रिंग द्वारा अभिलंब बल $N_A$ और स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ हैं।
मनके $A$ के लिए क्षैतिज दिशा में बलों का संतुलन: $N_A = T \sin(45^{\circ}) = (\sqrt{2}mg) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = mg$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन: $f_s + T \cos(45^{\circ}) = mg \implies f_s + mg = mg \implies f_s = 0$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\mu = 1/2$ है।

(A) चूंकि निकाय (ट्रक + बंदर) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
माना $v_m$ जमीन के सापेक्ष बंदर का आगे की दिशा में वेग है।
माना $v$ ट्रक का पीछे की दिशा में वेग है।
अंतिम संवेग $P_f = m v_m - M v = 0$ है।
अतः,$v_m = \frac{Mv}{m}$।
ट्रक के सापेक्ष बंदर का वेग $v_{rel} = v_m - (-v) = v_m + v$ होगा।
$v_m$ का मान रखने पर,$v_{rel} = \frac{Mv}{m} + v = v \left( 1 + \frac{M}{m} \right)$ प्राप्त होता है।

(A) ब्लॉक एक लिफ्ट के अंदर है जो $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित हो रही है।
$1$. डोरी में तनाव $T$ की गणना करें:
ब्लॉक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$T - mg = ma$,जिससे $T = m(g + a)$ प्राप्त होता है।
$2$. $t$ सेकंड में ब्लॉक का विस्थापन $S$ ज्ञात करें:
चूंकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है और त्वरण $a$ है,इसलिए विस्थापन $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ होगा।
$3$. तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $W_T$ ज्ञात करें:
किया गया कार्य $W_T = T \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = T \cdot S$ होता है।
मान रखने पर,$W_T = m(g + a) \cdot \frac{1}{2}at^2 = \frac{m}{2}(g + a)at^2$।

(B) उत्तल पुल के लिए,कुल अभिकेंद्री बल भार और अभिलंब प्रतिक्रिया के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है: $Mg - N = \frac{mv^2}{R}$।
अतः,$N = Mg - \frac{mv^2}{R}$,जिसका अर्थ है $N < Mg$। कार हल्की महसूस होती है।
अवतल पुल के लिए,कुल अभिकेंद्री बल अभिलंब प्रतिक्रिया और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है: $N - Mg = \frac{mv^2}{R}$।
अतः,$N = Mg + \frac{mv^2}{R}$,जिसका अर्थ है $N > Mg$। कार भारी महसूस होती है।
इसलिए,कथन $B$ गलत है क्योंकि उत्तल पुल पर कार भारी नहीं बल्कि हल्की होती है।

(C) यह निकाय तीन द्रव्यमानों $m_1, m_2, m_3$ से बना है जो एक डोरी से जुड़े हैं।
द्रव्यमान $m_1$ ऊर्ध्वाधर रूप से लटक रहा है,इसलिए प्रेरक बल इसका भार $m_1 g$ है।
द्रव्यमान $m_2$ और $m_3$ एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर हैं,इसलिए विरोधी घर्षण बल $f = \mu(m_2 + m_3)g$ है।
निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = m_1 g - \mu(m_2 + m_3)g$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = m_1 + m_2 + m_3$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{m_1 g - \mu(m_2 + m_3)g}{m_1 + m_2 + m_3}$ है।
दिया गया है कि $m_1 = m_2 = m_3 = m$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{mg - \mu(m + m)g}{m + m + m} = \frac{mg - 2\mu mg}{3m} = \frac{mg(1 - 2\mu)}{3m} = \frac{g(1 - 2\mu)}{3}$.

(B) दिया गया है: बल $F = 5\,N$,द्रव्यमान $m = 5\,kg$. त्वरण $a = F/m = 5/5 = 1\,m/s^2$.
स्थिति $1$: समय $t = 1\,s$. प्रारंभिक वेग $u = 0$. अंतिम वेग $v_1 = u + at = 0 + (1)(1) = 1\,m/s$. संवेग $p = mv_1 = 5 \times 1 = 5\,kg\cdot m/s$. गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (1)^2 = 2.5\,J$.
स्थिति $2$: विस्थापन $s = 1\,m$. $v_2^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,$v_2^2 = 0 + 2(1)(1) = 2$,अतः $v_2 = \sqrt{2} \approx 1.414\,m/s$. संवेग $p' = mv_2 = 5 \times 1.414 = 7.07\,kg\cdot m/s$. गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5\,J$.
मानों की तुलना करने पर: $p = 5$ और $p' = 7.07$,अतः $p < p'$. $E = 2.5$ और $E' = 5$,अतः $E < E'$.
इसलिए,सही संबंध $p < p'$ और $E < E'$ है।

(C) मान लीजिए ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ है। ब्लॉक तब तक स्थिर रहता है जब तक कि लगाया गया बल $F = kt$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{s,max} = \mu_s mg$ के बराबर या उससे कम है।
अतः,ब्लॉक $t_0 = \frac{\mu_s mg}{k}$ समय पर गति करना शुरू करता है।
$t < t_0$ के लिए,वेग $v = 0$ है।
$t > t_0$ के लिए,ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = kt - \mu_k mg$ है,जहाँ $\mu_k$ गतिज घर्षण गुणांक है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$ma = kt - \mu_k mg$,इसलिए त्वरण $a = \frac{k}{m}t - \mu_k g$ है।
चूंकि त्वरण $a$ समय $t$ का एक रैखिक फलन है,इसलिए वेग $v = \int a \, dt = \int (\frac{k}{m}t - \mu_k g) \, dt = \frac{k}{2m}t^2 - \mu_k gt + C$ होगा।
यह $t_0$ से शुरू होने वाला एक परवलयिक वक्र दर्शाता है।

(A) ब्लॉक $A$ के लिए (द्रव्यमान $m = 5\,kg$,कोण $\theta_A = 37^{\circ}$):
अभिलंब बल $N_A = mg \cos 37^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.8 = 40\,N$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(f_{\max})_A = \mu N_A = 0.5 \times 40 = 20\,N$.
नत समतल पर गुरुत्वाकर्षण का घटक $W_A = mg \sin 37^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.6 = 30\,N$.
ब्लॉक $B$ के लिए (द्रव्यमान $m = 5\,kg$,कोण $\theta_B = 53^{\circ}$):
अभिलंब बल $N_B = mg \cos 53^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.6 = 30\,N$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(f_{\max})_B = \mu N_B = 0.5 \times 30 = 15\,N$.
नत समतल पर गुरुत्वाकर्षण का घटक $W_B = mg \sin 53^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.8 = 40\,N$.
चूंकि $W_B > W_A$,ब्लॉक $B$ नीचे की ओर गति करने की प्रवृत्ति रखता है। निकाय संतुलन में है क्योंकि कुल प्रेरक बल $(W_B - W_A = 10\,N)$ कुल अधिकतम घर्षण $(f_{\max})_A + (f_{\max})_B = 35\,N$ से कम है।
ब्लॉक $B$ के लिए: $W_B - T - f_B = 0 \Rightarrow 40 - T - f_B = 0 \Rightarrow T + f_B = 40$.
ब्लॉक $A$ के लिए: $T - W_A - f_A = 0 \Rightarrow T - 30 - f_A = 0 \Rightarrow T = 30 + f_A$.
चूंकि निकाय स्थिर है,$f_B$ गति का विरोध करने के लिए अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाएगा: $f_B = 15\,N$.
$B$ के समीकरण में $f_B = 15\,N$ रखने पर: $T + 15 = 40 \Rightarrow T = 25\,N$.
अब,$T = 30 + f_A$ का उपयोग करके $f_A$ ज्ञात करें: $25 = 30 + f_A \Rightarrow f_A = -5\,N$. ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि घर्षण गति की प्रवृत्ति का विरोध करने के लिए विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः,परिमाण $5\,N$ है।

(A) गोली का द्रव्यमान $m = 20 \, g = 0.02 \, kg$ है।
गोली का प्रारंभिक वेग $u_1 = 500 \, m/s$ है।
गुटके का द्रव्यमान $M = 10.0 \, kg$ है।
गुटके का प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \, m/s$ है।
गोली का अंतिम वेग $v_1 = 100 \, m/s$ है।
माना गुटके का अंतिम वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$m u_1 + M u_2 = m v_1 + M v_2$
$0.02 \times 500 + 10 \times 0 = 0.02 \times 100 + 10 \times v_2$
$10 = 2 + 10 v_2$
$10 v_2 = 8 \implies v_2 = 0.8 \, m/s$ है।
अब,गुटका रुकने से पहले $d = 20 \, cm = 0.2 \, m$ की दूरी तय करता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर:
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = घर्षण द्वारा किया गया कार्य
$0 - \frac{1}{2} M v_2^2 = -f_k \times d$
$-\frac{1}{2} \times 10 \times (0.8)^2 = -(\mu M g) \times 0.2$
$5 \times 0.64 = \mu \times 10 \times 10 \times 0.2$
$3.2 = \mu \times 20$
$\mu = \frac{3.2}{20} = 0.16$ है।
अतः,घर्षण गुणांक $0.16$ है।

(D) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,जब कार का इंजन पहियों को घुमाता है,तो टायर सड़क पर पीछे की दिशा में बल लगाते हैं।
इसके जवाब में,सड़क कार के टायरों पर समान और विपरीत दिशा में आगे की ओर बल लगाती है।
सड़क द्वारा कार पर लगाया गया यह बाहरी बल ही कार के त्वरण के लिए जिम्मेदार होता है।

(B) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। कुल द्रव्यमान $(M + m + M')$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = (M + m + M')a$,इसलिए $a = \frac{F}{M + m + M'}$.
$M'$ का मुक्त पिंड आरेख $(FBD)$ देखने पर:
$M'$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल $m$ द्वारा लगाया गया संपर्क बल $N'$ है।
अतः,$N' = M' a = \frac{M' F}{M + m + M'}$.
$M$ का मुक्त पिंड आरेख $(FBD)$ देखने पर:
$M$ पर कार्य करने वाले बल आरोपित बल $F$ और विपरीत दिशा में $m$ द्वारा लगाया गया संपर्क बल $N$ हैं।
अतः,$F - N = M a$,जिससे $N = F - M a = F - \frac{M F}{M + m + M'} = F \left(1 - \frac{M}{M + m + M'}\right) = F \left(\frac{m + M'}{M + m + M'}\right)$ प्राप्त होता है।
$N$ और $N'$ की तुलना करने पर:
$N = \frac{(m + M') F}{M + m + M'}$ और $N' = \frac{M' F}{M + m + M'}$.
चूंकि $m > 0$,इसलिए $(m + M') > M'$,अतः $N > N'$।

(A) $1$. यदि कागज और गेंद के बीच कोई घर्षण नहीं है,तो कागज गेंद पर कोई क्षैतिज बल नहीं लगाता है। न्यूटन के पहले नियम के अनुसार,गेंद मेज के सापेक्ष स्थिर रहेगी। अतः,कथन $(A)$ सही है।
$2$. यदि कागज और गेंद के बीच घर्षण है,तो कागज गेंद पर उसकी गति की दिशा (दाईं ओर) में गतिज घर्षण बल लगाता है। यह बल संपर्क बिंदु पर कार्य करता है। यह गेंद के द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर एक टॉर्क उत्पन्न करता है,जिससे यह वामावर्त दिशा में घूमती है (पीछे की ओर लुढ़कती है)। साथ ही,घर्षण बल इसे दाईं ओर रैखिक त्वरण प्रदान करता है। हालाँकि,प्रश्न मेज के सापेक्ष गति के बारे में पूछता है। गेंद दाईं ओर जाएगी,बाईं ओर नहीं। इसलिए,कथन $(B)$ गलत है।
$3$. कथन $(C)$ सही है क्योंकि घर्षण बल कागज की गति की दिशा में कार्य करता है,जिससे गेंद मेज के सापेक्ष आगे (दाईं ओर) बढ़ती है।
$4$. इस प्रकार,$(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) एक श्यान माध्यम में ऊर्ध्वाधर रूप से गिरते हुए बिंदु द्रव्यमान $m$ के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और श्यान ड्रैग बल ($kv$ ऊपर की ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,गति का समीकरण है: $ma = mg - kv$।
अतः,त्वरण $a = g - (k/m)v$ है।
$t = 0$ पर,$v = 0$ है,इसलिए प्रारंभिक त्वरण $a = g$ (अधिकतम) है।
जैसे-जैसे गति $v$ बढ़ती है,ड्रैग बल $kv$ बढ़ता है,जिससे त्वरण $a$ कम हो जाता है।
अंततः,गति टर्मिनल वेग $v_t = mg/k$ तक पहुँच जाती है,जहाँ त्वरण $a$ शून्य हो जाता है।
इसलिए,गति $v$ $0$ से बढ़कर एक स्थिर मान $v_t$ के करीब पहुँचती है,जबकि त्वरण $a$ $g$ से घटकर $0$ के करीब पहुँचता है।
दिए गए ग्राफों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $C$ सही ढंग से दिखाता है कि गति $v$ एक स्थिर मान की ओर बढ़ रही है और त्वरण $a$ शून्य की ओर घट रहा है।

(A) दिया गया बल नियम $F = \frac{R}{t^2} v(t)$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = m \frac{dv}{dt}$,हमारे पास है:
$m \frac{dv}{dt} = \frac{R}{t^2} v(t)$
समाकलन के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dv}{v} = \frac{R}{m} \frac{dt}{t^2}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dv}{v} = \frac{R}{m} \int t^{-2} dt$
$\ln v = \frac{R}{m} (-\frac{1}{t}) + C$
यहाँ,$\ln v$ का $\frac{1}{t}$ के साथ रैखिक संबंध है।
इसलिए,$\ln v(t)$ को $\frac{1}{t}$ के विरुद्ध आलेखित करने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होगी,जो इस नियम को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करने का सबसे अच्छा तरीका है।

(D) माना $M = 10\,kg$ और $m = 0.05\,kg$ है। टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mv = (M + m)V_0$
$V_0 = \frac{mv}{M + m} = \frac{0.05v}{10.05} \approx \frac{0.05v}{10} = 0.005v$
ब्लॉक रुकने से पहले $s = 2\,m$ की दूरी तय करता है। मंदन $a$ है:
$a = \mu g = 0.05 \times 10 = 0.5\,m/s^2$
$v_f^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0 - V_0^2 = 2(-a)s \implies V_0^2 = 2as = 2 \times 0.5 \times 2 = 2$
$V_0 = \sqrt{2}\,m/s$
चूँकि $V_0 = \frac{0.05v}{10.05} \approx 0.005v$,इसलिए $0.005v = \sqrt{2} \implies v = 200\sqrt{2}\,m/s$ है।
मुक्त रूप से गिरती वस्तु के लिए,$v_{final} = \sqrt{2gH}$। दिया गया है $v_{final} = \frac{v}{10} = \frac{200\sqrt{2}}{10} = 20\sqrt{2}\,m/s$:
$20\sqrt{2} = \sqrt{2 \times 10 \times H}$
$(20\sqrt{2})^2 = 20H$
$400 \times 2 = 20H \implies 800 = 20H \implies H = 40\,m = 0.04\,km$.

(B) ब्लॉक तब तक स्थिर रहता है जब तक कि लगाया गया बल $F = kt$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ से कम या उसके बराबर होता है।
अतः,$t \le \frac{\mu_s mg}{k}$ के लिए,त्वरण $a = 0$ है।
एक बार जब $t > \frac{\mu_s mg}{k}$ होता है,तो ब्लॉक गति करना शुरू कर देता है,और उस पर गतिज घर्षण $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ कार्य करता है।
गति का समीकरण $F - f_k = ma$ है,जो $kt - \mu_k mg = ma$ देता है।
इसलिए,त्वरण $a = \frac{k}{m}t - \mu_k g$ है।
यह दर्शाता है कि $t > \frac{\mu_s mg}{k}$ के लिए,त्वरण $a$ समय $t$ के साथ धनात्मक ढाल $\frac{k}{m}$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $(b)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है,अर्थात $P_i = 0$।
चूंकि स्प्रिंग बल एक आंतरिक बल है,इसलिए छोड़ने के दौरान निकाय का रेखीय संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि छोड़ने के तुरंत बाद $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमानों द्वारा प्राप्त वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से: $m_1 v_1 = m_2 v_2$,जिसका अर्थ है $\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$।
जब ब्लॉक सतह पर गति करते हैं,तो घर्षण द्वारा किया गया कार्य प्रत्येक ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
ब्लॉक $1$ के लिए: $\mu m_1 g x_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \Rightarrow x_1 = \frac{v_1^2}{2 \mu g}$।
ब्लॉक $2$ के लिए: $\mu m_2 g x_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \Rightarrow x_2 = \frac{v_2^2}{2 \mu g}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$।
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x_1}{x_2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $1$ सत्य है क्योंकि न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। जब आप गाड़ी को धक्का देते हैं,तो वह आप पर समान और विपरीत बल लगाती है।
कथन $2$ असत्य है। गाड़ी इसलिए नहीं हिलती क्योंकि गाड़ी पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होता है। आप जो बल गाड़ी पर लगाते हैं और घोड़ा जो बल गाड़ी पर लगाता है,वे स्थैतिक घर्षण या घोड़े के विपरीत बल द्वारा संतुलित होते हैं,न कि इसलिए कि क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म एक-दूसरे को रद्द करते हैं। क्रिया और प्रतिक्रिया बल अलग-अलग पिंडों पर कार्य करते हैं,इसलिए वे कभी भी एक-दूसरे को रद्द नहीं कर सकते।

(C) डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
जब कार स्थिर है,तो तनाव $T_1 = Mg$ है। अतः,$60 = \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$.
जब कार $a$ त्वरण के साथ चलती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ होता है। तनाव $T_2 = M\sqrt{g^2 + a^2}$ हो जाता है।
अतः,$60.5 = \sqrt{\frac{M\sqrt{g^2 + a^2}}{\mu}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{60.5}{60} = \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{g}} = \left(\frac{g^2 + a^2}{g^2}\right)^{1/4}$.
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर: $\left(1 + \frac{0.5}{60}\right)^4 = 1 + \frac{a^2}{g^2}$.
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर: $1 + 4 \times \frac{0.5}{60} = 1 + \frac{a^2}{g^2}$.
$\frac{2}{60} = \frac{a^2}{g^2} \Rightarrow \frac{a^2}{g^2} = \frac{1}{30}$.
$a = \frac{g}{\sqrt{30}} \approx \frac{g}{5.47} \approx \frac{g}{5}$.

(D) स्थिति $(A)$ (धकेलना):
अभिलंब बल: $N_1 = mg + F \sin 30^o = 5 \times 10 + 20 \times 0.5 = 50 + 10 = 60\, N$.
क्षैतिज बल: $F_x = F \cos 30^o = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\, N$.
घर्षण बल: $f_1 = \mu N_1 = 0.2 \times 60 = 12\, N$.
त्वरण: $a_1 = \frac{F_x - f_1}{m} = \frac{10\sqrt{3} - 12}{5} = 2\sqrt{3} - 2.4 \approx 1.064\, ms^{-2}$.
स्थिति $(B)$ (खींचना):
अभिलंब बल: $N_2 = mg - F \sin 30^o = 5 \times 10 - 20 \times 0.5 = 50 - 10 = 40\, N$.
क्षैतिज बल: $F_x = F \cos 30^o = 10\sqrt{3}\, N$.
घर्षण बल: $f_2 = \mu N_2 = 0.2 \times 40 = 8\, N$.
त्वरण: $a_2 = \frac{F_x - f_2}{m} = \frac{10\sqrt{3} - 8}{5} = 2\sqrt{3} - 1.6 \approx 1.864\, ms^{-2}$.
अंतर: $a_2 - a_1 = (2\sqrt{3} - 1.6) - (2\sqrt{3} - 2.4) = 0.8\, ms^{-2}$.

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = ma$ है।
यहाँ,बाहरी बल $F$ और घर्षण बल $f = \mu mg$ ब्लॉक पर कार्य करते हैं।
अतः,$F - f = ma$,जिसका अर्थ है $F = ma + f = ma + \mu mg = m(a + \mu g)$।
चूंकि ब्लॉक स्थिर अवस्था से $a$ के निरंतर त्वरण के साथ चलना शुरू करता है,इसलिए $t$ समय के बाद उसका वेग $v = at$ होगा।
बाहरी एजेंट द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = F \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P = m(a + \mu g) \cdot (at) = m(a + \mu g)at$ प्राप्त होता है।

(B) माना $F$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल (upthrust) है।
जब गुब्बारा $\alpha$ त्वरण के साथ नीचे उतर रहा है,तो शुद्ध बल का समीकरण है:
$Mg - F = M\alpha$ --- $(i)$
जब $m$ द्रव्यमान हटा दिया जाता है,तो गुब्बारे का नया द्रव्यमान $(M - m)$ हो जाता है। यह उसी त्वरण $\alpha$ के साथ ऊपर उठता है। शुद्ध बल का समीकरण है:
$F - (M - m)g = (M - m)\alpha$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$F = Mg - M\alpha = M(g - \alpha)$ प्राप्त होता है।
$F$ के इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$M(g - \alpha) - (M - m)g = (M - m)\alpha$
$Mg - M\alpha - Mg + mg = M\alpha - m\alpha$
$mg + m\alpha = 2M\alpha$
$m(g + \alpha) = 2M\alpha$
$m = \left[ \frac{2\alpha}{\alpha + g} \right] M$

(C) जब स्प्रिंग को छोड़ा जाता है,तो यह दोनों गाड़ियों पर समान आवेग $J = F \cdot t$ लगाती है। चूंकि बल समान हैं और समान समय के लिए कार्य करते हैं,इसलिए दोनों गाड़ियाँ समान परिमाण का संवेग $p = m_1 v_1 = m_2 v_2$ प्राप्त करती हैं।
प्रत्येक गाड़ी पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu m g$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$.
$f \cdot s = \frac{p^2}{2m} \implies \mu m g s = \frac{p^2}{2m}$.
विस्थापन $s$ के लिए हल करने पर: $s = \frac{p^2}{2 \mu m^2 g}$.
चूंकि $p$,$\mu$ और $g$ दोनों गाड़ियों के लिए समान हैं,इसलिए $s \propto \frac{1}{m^2}$ होगा।
अतः,विस्थापन का अनुपात $\frac{s_1}{s_2} = \frac{m_2^2}{m_1^2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रणाली का त्वरण $a$ है। ब्लॉक $A$ को $B$ के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,$A$ पर कार्य करने वाले छद्म बल $ma$ को $B$ द्वारा लगाए गए अभिलंब बल $N$ द्वारा संतुलित होना चाहिए,इसलिए $N = ma$.
ब्लॉक $A$ को नीचे न फिसलने के लिए,घर्षण बल $f = \mu N = \mu ma$ को उसके भार $mg$ को संतुलित करना चाहिए। अतः,$\mu ma = mg$,जिससे $a = \frac{g}{\mu}$ प्राप्त होता है।
अब,ब्लॉक $B$ और $C$ की प्रणाली पर विचार करें। खींचा जाने वाला कुल द्रव्यमान $(2m + m_c)$ है। प्रेरक बल ब्लॉक $C$ का भार है,जो $m_c g$ है।
पूरी प्रणाली के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $m_c g = (2m + m_c) a$.
समीकरण में $a = \frac{g}{\mu}$ रखने पर: $m_c g = (2m + m_c) \frac{g}{\mu}$.
$m_c \mu = 2m + m_c$.
$m_c (\mu - 1) = 2m$.
$m_c = \frac{2m}{\mu - 1}$.

(C) माना $A$ पर रखा गया द्रव्यमान $m_C$ है। मेज पर कुल द्रव्यमान $(10 + m_C)\,kg$ है।
मेज द्वारा संयुक्त द्रव्यमान $(A+C)$ पर लगाया गया अभिलंब बल $N = (10 + m_C)g$ है।
सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu N = 0.2 \times (10 + m_C)g$ द्वारा दिया जाता है।
निकाय को स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को घर्षण बल $f_L$ द्वारा संतुलित होना चाहिए। तनाव $T$ द्रव्यमान $B$ के भार के बराबर है,इसलिए $T = m_B g = 5g$ है।
संतुलन के लिए बलों को बराबर करने पर: $f_L = T$.
$0.2 \times (10 + m_C)g = 5g$.
$g$ से विभाजित करने पर: $0.2(10 + m_C) = 5$.
$10 + m_C = 5 / 0.2 = 25$.
$m_C = 25 - 10 = 15\,kg$.