Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Hindi

(C) ब्लॉक तब तक स्थिर रहता है जब तक कि लगाया गया बल $F$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu mg$ से कम या उसके बराबर होता है।
अतः,ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब $F = \mu mg$,जिसका अर्थ है $Kt = \mu mg$,या $t = \frac{\mu mg}{K}$।
$t \leq \frac{\mu mg}{K}$ के लिए,त्वरण $a = 0$ है।
$t > \frac{\mu mg}{K}$ के लिए,ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = Kt - \mu mg$ है,जहाँ $f_k = \mu mg$ गतिज घर्षण है।
त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Kt - \mu mg}{m} = \frac{K}{m}t - \mu g$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $\frac{K}{m}$ धनात्मक है और त्वरण अक्ष पर अंतःखंड $-\mu g$ है।
इस प्रकार,$t = \frac{\mu mg}{K}$ तक त्वरण शून्य रहता है और उसके बाद समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) $60 \, N$ भार का ब्लॉक $0.5$ घर्षण गुणांक वाली खुरदरी सतह पर है। ब्लॉक पर लगने वाला अधिकतम घर्षण बल $F_{max} = \mu N = 0.5 \times 60 \, N = 30 \, N$ है।
ब्लॉक के न फिसलने के लिए,क्षैतिज डोरी में तनाव $T_1$ का मान $F_{max}$ के बराबर या उससे कम होना चाहिए। अतः,$T_1 = 30 \, N$ है।
जंक्शन बिंदु पर,बल संतुलन में हैं। मान लीजिए $T_2$ क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई डोरी में तनाव है।
$T_2$ का क्षैतिज घटक $T_1$ को संतुलित करता है: $T_2 \cos 45^{\circ} = T_1 = 30 \, N$.
$T_2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 30 \implies T_2 = 30\sqrt{2} \, N$.
$T_2$ का ऊर्ध्वाधर घटक भार $W$ को संतुलित करता है: $W = T_2 \sin 45^{\circ}$.
$W = 30\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 30 \, N$.
अतः,अधिकतम भार $W = 30 \, N$ है।

(A) माना गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F$ है।
जब गुब्बारा $a = \frac{g}{2}$ त्वरण के साथ नीचे उतर रहा है,तो गति का समीकरण है:
$mg - F = m \left(\frac{g}{2}\right)$
$F = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2} \quad ...(1)$
माना हटाया गया द्रव्यमान $m_1$ है। गुब्बारे का नया द्रव्यमान $(m - m_1)$ है।
जब गुब्बारा $a = \frac{g}{2}$ त्वरण के साथ ऊपर जाता है,तो गति का समीकरण है:
$F - (m - m_1)g = (m - m_1) \left(\frac{g}{2}\right)$
$F = (m - m_1) \left(g + \frac{g}{2}\right) = \frac{3}{2}(m - m_1)g \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{mg}{2} = \frac{3}{2}(m - m_1)g$
$m = 3(m - m_1)$
$m = 3m - 3m_1$
$3m_1 = 2m$
$m_1 = \frac{2m}{3}$

(B) दीवार पर द्रव जेट द्वारा लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है।
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
चूंकि द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ है,इसलिए बल $F = \rho A v^2$ है।
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 1000\, kg/m^3$
क्षेत्रफल $A = 10^{-3}\, m^2$
वेग $v = 20\, m/s$
मान रखने पर:
$F = 1000 \times 10^{-3} \times (20)^2$
$F = 1 \times 400 = 400\, N$.

(B) निकाय में $m_1 = 4\, kg$ और $m_2 = 2\, kg$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक हैं जो $\theta = 30^{\circ}$ के कोण और $\mu = 0.3$ के घर्षण गुणांक वाले नत समतल पर नीचे की ओर फिसल रहे हैं।
चूंकि ब्लॉक संपर्क में हैं और एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए उनका त्वरण $a$ समान होगा।
समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल गुरुत्वाकर्षण का घटक है: $F_g = (m_1 + m_2)g \sin \theta$.
गति का विरोध करने वाला कुल घर्षण बल: $f_k = \mu(m_1 + m_2)g \cos \theta$.
निकाय के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $(m_1 + m_2)a = (m_1 + m_2)g \sin \theta - \mu(m_1 + m_2)g \cos \theta$.
$(m_1 + m_2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
मान रखने पर ($g = 9.8\, m/s^2$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,$\cos 30^{\circ} \approx 0.866$):
$a = 9.8 \times (0.5 - 0.3 \times 0.866) = 9.8 \times (0.5 - 0.2598) = 9.8 \times 0.2402 \approx 2.354\, m/s^2$.
निकटतम विकल्प को देखते हुए,त्वरण लगभग $2.4\, m/s^2$ है।

(B) बॉक्स $V$ वेग के साथ बाएं से दाएं चल रहा है। जब ट्रेन मंदित होती है,तो जड़त्व के कारण बॉक्स अपनी गति जारी रखने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए यह ट्रेन के सापेक्ष बाईं ओर एक छद्म बल (pseudo force) का अनुभव करता है।
परिणामस्वरूप,इस सापेक्ष गति का विरोध करने के लिए बॉक्स पर बाईं ओर एक गतिज घर्षण बल $f_r$ कार्य करता है।
फर्श बॉक्स पर लंबवत ऊपर की ओर एक अभिलंब बल $N$ भी लगाता है।
बॉक्स पर फर्श द्वारा लगाया गया कुल प्रतिक्रिया बल $R$,अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f_r$ का सदिश योग है,अर्थात $R = N + f_r$।
चूंकि $N$ ऊपर की ओर है और $f_r$ बाईं ओर है,इसलिए परिणामी प्रतिक्रिया बल $R$ ऊपर और बाईं ओर इंगित करेगा।
यह दिशा विकल्प $B$ में दिखाई गई है।

(A) घर्षण संपर्क में मौजूद सतहों के बीच अंतर-आणविक बलों के कारण उत्पन्न होता है। ये अंतर-आणविक बल मूल रूप से विद्युतचुंबकीय प्रकृति के होते हैं,क्योंकि ये दोनों सतहों पर मौजूद परमाणुओं के आवेशित कणों (इलेक्ट्रॉन और नाभिक) के बीच की परस्पर क्रियाओं का परिणाम होते हैं। इसलिए,घर्षण को विद्युतचुंबकीय बल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(C) ब्लॉक तब तक स्थिर रहता है जब तक लगाया गया बल $F = kt$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu mg$ से कम या उसके बराबर है।
अतः, ब्लॉक तब गति करना शुरू करता है जब $kt \geq \mu mg$, जिसका अर्थ है $t \geq \frac{\mu mg}{k} = t_0$।
$t < t_0$ के लिए, वेग $v = 0$ है।
$t \geq t_0$ के लिए, ब्लॉक पर परिणामी बल $F_{net} = kt - \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $ma = kt - \mu mg$, इसलिए त्वरण $a = \frac{k}{m}t - \mu g$ है।
चूंकि $a = \frac{dv}{dt}$, हम समय के सापेक्ष समाकलन करते हैं: $v = \int_{t_0}^{t} (\frac{k}{m}t' - \mu g) dt'$।
इसका परिणाम $v = \frac{k}{2m}(t^2 - t_0^2) - \mu g(t - t_0)$ है।
चूंकि वेग $t^2$ के समानुपाती है, इसलिए $t > t_0$ के लिए ग्राफ परवलयिक (parabolic) है।

(B) कार को त्वरित करने के लिए आवश्यक बल न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $F_{net} = ma$.
यहाँ,$F_{net} = F_{engine} - F_{resistance}$.
दिया गया है $m = 500\, kg$,$a = 1\, m/s^2$,और $F_{resistance} = 1000\, N$.
$F_{engine} - 1000 = 500 \times 1$.
$F_{engine} = 1500\, N$.
इंजन द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = F_{engine} \times v$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $v = 5\, m/s$.
$P = 1500 \times 5 = 7500\, W$.
किलोवाट में बदलने पर: $P = 7.5\, kW$.

(C) माना पाँच व्यक्तियों द्वारा लगाया गया कुल बल $\vec{F}_{total} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_C + \vec{F}_D + \vec{F}_E$ है। दिया है $m = 100 \, kg$ और $\vec{a} = 3 \hat{i} \, m/s^2$ (पूर्व को $+\hat{i}$ लेने पर),अतः $\vec{F}_{total} = 100 \times 3 \hat{i} = 300 \hat{i} \, N$ $...(1)$.
जब $A$ खींचना बंद करता है,तो बल $\vec{F}_{total} - \vec{F}_A = 100 \times (-1 \hat{i}) = -100 \hat{i} \, N$ होता है $...(2)$.
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,हमें $\vec{F}_A = 400 \hat{i} \, N$ प्राप्त होता है।
जब $B$ खींचना बंद करता है,तो बल $\vec{F}_{total} - \vec{F}_B = 100 \times (24 \hat{j}) = 2400 \hat{j} \, N$ (उत्तर को $+\hat{j}$ लेने पर) होता है $...(3)$.
$(1)$ में से $(3)$ घटाने पर,हमें $\vec{F}_B = 300 \hat{i} - 2400 \hat{j} \, N$ प्राप्त होता है।
जब केवल $A$ और $B$ खींचते हैं,तो कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_A + \vec{F}_B = 400 \hat{i} + 300 \hat{i} - 2400 \hat{j} = 700 \hat{i} - 2400 \hat{j} \, N$ होता है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m} = \frac{700 \hat{i} - 2400 \hat{j}}{100} = 7 \hat{i} - 24 \hat{j} \, m/s^2$ है।
इसका परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \, m/s^2$ है।

(D) दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$,लगाए गए क्षैतिज बल के बराबर है: $N = 12 \, N$।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu_s N = 0.5 \times 12 \, N = 6 \, N$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक का वजन $W = mg = (1/2) \, kg \times 10 \, m/s^2 = 5 \, N$ है।
चूंकि वजन $W = 5 \, N$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{s,max} = 6 \, N$ से कम है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
दीवार ब्लॉक पर दो बल लगाती है: अभिलंब बल $N = 12 \, N$ (क्षैतिज) और स्थैतिक घर्षण बल $f_s = 5 \, N$ (ऊर्ध्वाधर,जो वजन को संतुलित करता है)।
दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल इन दो लंबवत बलों का परिणामी है: $F_{total} = \sqrt{N^2 + f_s^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, N$।

(C) ब्लॉक के लिए,बलों का संतुलन इस प्रकार है:
$T \cos 37^{\circ} = f$
$N + T \sin 37^{\circ} = Mg$
चूंकि $f = \mu N$,हमारे पास $T \cos 37^{\circ} = \mu (Mg - T \sin 37^{\circ})$ है।
मान $M = 100 \, kg$,$\mu = 1/3$,$\cos 37^{\circ} = 4/5$,और $\sin 37^{\circ} = 3/5$ रखने पर:
$T(4/5) = (1/3)(100g - T(3/5))$
$12T/5 = 100g - 3T/5$
$15T/5 = 100g \implies 3T = 100g \implies T = 100g/3$.
व्यक्ति के लिए,ऊपर की ओर बल $T = 100g/3$ है और नीचे की ओर बल $mg = 25g$ है।
गति का समीकरण $T - mg = ma_{\max}$ है।
$100g/3 - 25g = 25a_{\max}$
$(100g - 75g)/3 = 25a_{\max}$
$25g/3 = 25a_{\max}$
$a_{\max} = g/3$.

(C) $1$. प्रारंभ में,ब्लॉक $A$ के लिए,लगाया गया बल $F=t$ स्थैतिक घर्षण $f_{rA}$ द्वारा संतुलित होता है। ब्लॉक $A$ तब तक विराम अवस्था में रहता है जब तक $F = \mu_s mg$,अर्थात $t = \mu_s mg$ न हो जाए। इस समय के दौरान,डोरी में तनाव $T$ शून्य है,इसलिए ब्लॉक $B$ विराम अवस्था में रहता है और $B$ पर घर्षण बल $0$ है।
$2$. जब $t > \mu_s mg$ होता है,तो ब्लॉक $A$ गति करना शुरू कर देता है। डोरी में तनाव $T$ बढ़ता है,$T = F - f_{rA} = t - \mu_k mg$ (यह मानते हुए कि ब्लॉक $A$ पर गतिज घर्षण $\mu_k mg$ कार्य करता है)।
$3$. ब्लॉक $B$ तब गति करना शुरू करेगा जब तनाव $T$,$B$ पर अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $\mu_s mg$ से अधिक हो जाएगा। इसलिए,$T = t - \mu_k mg = \mu_s mg$,जिससे $t = \mu_s mg + \mu_k mg$ प्राप्त होता है।
$4$. $t < \mu_s mg + \mu_k mg$ के लिए,ब्लॉक $B$ विराम अवस्था में है,इसलिए $B$ पर घर्षण बल तनाव $T = t - \mu_k mg$ के बराबर है। हालाँकि,चूंकि $T$ केवल $t > \mu_s mg$ के लिए ही शून्य से अधिक है,इसलिए $B$ पर घर्षण $t = \mu_s mg$ तक $0$ रहता है,फिर यह $t$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$5$. एक बार जब $t$ उस सीमा तक पहुँच जाता है जहाँ $B$ गति करता है,तो $B$ पर घर्षण बल अपने अधिकतम स्थैतिक मान $\mu_s mg$ से घटकर गतिज घर्षण मान $\mu_k mg$ पर आ जाता है और स्थिर रहता है।
$6$. दिए गए विकल्पों के साथ इस व्यवहार की तुलना करने पर,ग्राफ $C$ इसे सही ढंग से दर्शाता है: $t = \mu_s mg$ तक शून्य घर्षण,फिर बढ़ता हुआ घर्षण,सीमा पर एक शिखर,और अंत में एक स्थिर गतिज घर्षण मान।

(C) $5 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s1} = \mu m_1 g = 0.2 \times 5 \times 10 = 10 \, N$ है।
$10 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s2} = \mu m_2 g = 0.2 \times 10 \times 10 = 20 \, N$ है।
निकाय को स्थिर रहने के लिए,लगाए गए बल $F$ को निकाय के कुल अधिकतम स्थैतिक घर्षण द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
हालाँकि,$5 \, kg$ का ब्लॉक तभी गति करेगा यदि उस पर स्थानांतरित बल $10 \, N$ से अधिक हो जाए। चूँकि बल $F$ को $10 \, kg$ के ब्लॉक पर लगाया जाता है,इसलिए पूरा निकाय तब गति करना शुरू कर देगा जब $F$ कुल घर्षण $f_{s1} + f_{s2} = 10 + 20 = 30 \, N$ से अधिक हो जाएगा।
अतः,वह अधिकतम बल $F$ जो किसी भी ब्लॉक की गति का कारण नहीं बनेगा,$30 \, N$ है।

(C) कटोरे के निचले बिंदु पर,अभिलंब बल $N$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ कण पर कार्य करते हैं। नेट बल अभिकेंद्री त्वरण प्रदान करता है:
$N - mg = \frac{mv_0^2}{R}$
चूंकि $v_0 = \sqrt{gR}$ दिया गया है,हमारे पास है:
$N - mg = \frac{m(gR)}{R} = mg$
$N = 2mg$
गतिक घर्षण बल $f_k = \mu N = 0.5 \times 2mg = mg$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T$ घर्षण के कारण होता है:
$ma_T = f_k = mg \implies a_T = g$ (क्षैतिज दिशा में,वेग के विपरीत)।
अभिलंब त्वरण $a_N$ अभिकेंद्री त्वरण है:
$a_N = \frac{v_0^2}{R} = \frac{gR}{R} = g$ (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर)।
कुल त्वरण $a$,$a_T$ और $a_N$ का सदिश योग है:
$a = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = \sqrt{g^2 + g^2} = \sqrt{2}g$.
इसकी दिशा क्षैतिज के साथ $45^\circ$ के कोण पर ऊपर और पीछे की ओर है,जिसे $\nwarrow$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) $t \le 1\,sec$ के लिए,ट्रक $a_T = 5\,m/s^2$ के त्वरण से चलता है। घर्षण के कारण ब्लॉक का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \mu g = 0.2 \times 10 = 2\,m/s^2$ है। चूंकि $a_T > a_{max}$,ब्लॉक फिसल जाता है। ब्लॉक तब तक $2\,m/s^2$ के त्वरण से चलता है जब तक उसका वेग ट्रक के वेग के बराबर न हो जाए।
$t = 1\,sec$ पर,ट्रक का वेग $v_T = a_T \times t = 5 \times 1 = 5\,m/s$ है। ब्लॉक का वेग $v_B = a_{max} \times t = 2 \times 1 = 2\,m/s$ है।
$t = 1\,sec$ के बाद,ट्रक $5\,m/s$ के नियत वेग से चलता है। ब्लॉक $2\,m/s^2$ के त्वरण से तब तक चलता रहता है जब तक उसका वेग $5\,m/s$ न हो जाए।
मान लीजिए $t'$ वह समय है जो ब्लॉक को $t = 1\,sec$ से $5\,m/s$ तक पहुँचने में लगता है। $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$5 = 2 + 2 \times t'$,जिससे $t' = 1.5\,sec$ प्राप्त होता है।
कुल समय $t_{total} = 1 + 1.5 = 2.5\,sec$ है। इस प्रकार,ब्लॉक का वेग $t = 2.5\,sec$ पर $5\,m/s$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है और उसके बाद नियत रहता है।

(D) $m$ द्रव्यमान के पिंड पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और वायु प्रतिरोध $F$ जो ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है।
परिणामी बल $F_{net} = mg - F$ है।
पिंड का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = g - \frac{F}{m}$ है।
$M$ द्रव्यमान के पिंड के लिए,त्वरण $a_M = g - \frac{F}{M}$ है।
$m$ द्रव्यमान के पिंड के लिए,त्वरण $a_m = g - \frac{F}{m}$ है।
चूँकि $M > m$,इसलिए $\frac{F}{M} < \frac{F}{m}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $a_M > a_m$ है।
अधिक द्रव्यमान $M$ वाला पिंड अधिक त्वरण प्राप्त करेगा और पहले जमीन पर पहुँचेगा।
अतः,$Assertion$ गलत है क्योंकि वे एक साथ नहीं पहुँचते हैं,और $Reason$ भी गलत है क्योंकि त्वरण समान नहीं हैं।

(A) $m$ द्रव्यमान के लोड को $\theta$ कोण वाले झुके हुए तल पर स्थिर वेग से ले जाने के लिए आवश्यक बल $F = mg \sin \theta$ है।
दिए गए $F-x$ ग्राफ में,दूरी $L$ के पहले आधे हिस्से के लिए बल धनात्मक है और दूसरे आधे हिस्से के लिए ऋणात्मक है।
यह इंगित करता है कि पहले आधे हिस्से के लिए,लोड को ऊपर की ओर धकेला जा रहा है (जिसके लिए धनात्मक बल $mg \sin \theta$ की आवश्यकता होती है),और दूसरे आधे हिस्से के लिए,लोड नीचे की ओर गति कर रहा है (जहाँ स्थिर वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल $-mg \sin \theta$ है)।
वह सतह प्रोफ़ाइल जिसमें पहले ऊपर की ओर झुकाव और उसके बाद नीचे की ओर झुकाव होता है,वह पहले विकल्प की छवि में दिखाई गई त्रिकोणीय प्रोफ़ाइल है।

(A) माली पर पानी द्वारा लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है,$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
प्रारंभ में,बल $F_1 = \frac{dm}{dt} \cdot v_1 = 4 \times 2 = 8\, N$ है।
जब गति बढ़कर $3\, ms^{-1}$ हो जाती है,तो नया बल $F_2 = \frac{dm}{dt} \cdot v_2 = 4 \times 3 = 12\, N$ होता है।
माली द्वारा अनुभव किया गया बल का परिवर्तन (झटका) $\Delta F = F_2 - F_1 = 12 - 8 = 4\, N$ है।
चूंकि पानी होज़पाइप को पीछे की ओर धकेलता है,इसलिए संवेग में वृद्धि के लिए अतिरिक्त पीछे के बल की आवश्यकता होती है,इसलिए माली को पीछे की दिशा में $4\, N$ का झटका महसूस होता है।

(B) चित्र $(a)$ के लिए:
मान लीजिए निकाय का त्वरण $a$ है। गति के समीकरण हैं:
$m$ द्रव्यमान के लिए: $T - mg = ma$ $(i)$
$2m$ द्रव्यमान के लिए: $2mg - T = 2ma$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$mg = 3ma$
$\therefore a = g/3$
चित्र $(b)$ के लिए:
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान का त्वरण $a'$ है। रस्सी में तनाव $T' = F = 2mg$ है क्योंकि बल सीधे रस्सी पर लगाया जाता है।
$m$ द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण:
$T' - mg = ma'$
$T' = 2mg$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2mg - mg = ma'$
$mg = ma'$
$\therefore a' = g$
अतः,त्वरण क्रमशः $g/3$ और $g$ हैं।

(C) संवेग में परिवर्तन केवल दीवार के लंबवत दिशा में होता है।
मान लीजिए वेग $v = 10 \, m/s$ और द्रव्यमान $m = 3 \, kg$ है।
दीवार के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin(60^\circ)$ है।
दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग: $p_i = mv \sin(60^\circ)$.
दीवार के लंबवत अंतिम संवेग (परावर्तन के बाद): $p_f = -mv \sin(60^\circ)$.
संवेग में परिवर्तन: $\Delta p = p_f - p_i = -mv \sin(60^\circ) - mv \sin(60^\circ) = -2mv \sin(60^\circ)$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 2mv \sin(60^\circ)$ है।
दीवार पर लगाया गया बल $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2mv \sin(60^\circ)}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $F = \frac{2 \times 3 \times 10 \times \sin(60^\circ)}{0.2} = \frac{60 \times (\sqrt{3}/2)}{0.2} = \frac{30\sqrt{3}}{0.2} = 150\sqrt{3} \, N$.

(A) माना निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए दोनों ब्लॉकों का त्वरण $a$ समान है।
मेज पर रखे ब्लॉक $m_1$ के लिए,क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (दाईं ओर) और लगाया गया बल $F = m_2g/2$ (बाईं ओर) हैं। यदि हम मान लें कि ब्लॉक $m_1$ दाईं ओर गति करता है,तो गति का समीकरण है:
$T - F = m_1a$
$T - m_2g/2 = m_1a$ --- $(i)$
लटकते हुए ब्लॉक $m_2$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल $m_2g$ (नीचे की ओर) और तनाव $T$ (ऊपर की ओर) कार्य करते हैं। चूंकि $m_1$ दाईं ओर गति करता है,इसलिए $m_2$ नीचे की ओर गति करेगा:
$m_2g - T = m_2a$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(T - m_2g/2) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$
$m_2g/2 = (m_1 + m_2)a$
$a = \frac{m_2g}{2(m_1 + m_2)}$
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए यह धारणा कि $m_1$ दाईं ओर गति करता है,सही है।

(D) खिलाड़ी का प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = v\hat{j}$ (उत्तर दिशा में) है।
खिलाड़ी का अंतिम वेग $\vec{v}_f = -v\hat{i}$ (पश्चिम दिशा में) है।
वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = -v\hat{i} - v\hat{j}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,खिलाड़ी पर कार्य करने वाला बल $\vec{F}$,वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{v}$ की दिशा में होता है।
$\Delta\vec{v} = -v\hat{i} - v\hat{j}$ की दिशा दक्षिण-पश्चिम है।
खिलाड़ी जमीन पर अपने पैरों से बल लगाकर दिशा बदलता है,जो खिलाड़ी द्वारा जमीन पर लगाया गया पेशीय बल है,और न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,जमीन खिलाड़ी पर समान और विपरीत दिशा में बल लगाती है। अतः,खिलाड़ी पर कार्य करने वाला बल दक्षिण-पश्चिम दिशा में पेशीय बल है।

(A) बरसात के दिन सड़कें गीली हो जाती हैं।
पानी टायरों और सड़क की सतह के बीच एक स्नेहक (lubricant) के रूप में कार्य करता है,जो घर्षण गुणांक $(\mu)$ को काफी कम कर देता है।
चूंकि घर्षण बल $f = \mu N$ होता है (जहाँ $N$ अभिलंब बल है),$\mu$ में कमी आने से उपलब्ध घर्षण बल कम हो जाता है।
यह कम हुआ घर्षण वाहन पर नियंत्रण बनाए रखना कठिन बनाता है,ब्रेकिंग दूरी को बढ़ाता है और तेज गति पर फिसलने की संभावना को बढ़ा देता है।
इसलिए,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है।

(C) $Assertion$ सही है क्योंकि मशीनों में गतिशील भागों के बीच घर्षण को कम करने के लिए बॉल बेयरिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
$Reason$ गलत है क्योंकि बॉल बेयरिंग का उपयोग करने का मुख्य उद्देश्य सर्पी घर्षण (sliding friction) को लोटनिक घर्षण (rolling friction) में बदलना है,जो सर्पी घर्षण से काफी कम होता है। हालांकि वे स्थिरता प्रदान कर सकते हैं,लेकिन घर्षण कम करने के संदर्भ में उनका मुख्य उपयोग कंपन को कम करना नहीं है।

(D) $Assertion$ कहता है कि ब्लॉक से जुड़ी रस्सी को पकड़े हुए आदमी क्षैतिज सतह पर गति नहीं कर सकता है। यह गलत है क्योंकि आदमी रस्सी को खींचकर ब्लॉक पर बल लगा सकता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक आदमी पर समान और विपरीत बल लगाएगा,जिससे वह ब्लॉक की ओर गति करेगा।
$Reason$ कहता है कि एक चिकनी क्षैतिज सतह पर स्थिर खड़ा आदमी घर्षण की अनुपस्थिति के कारण चलना शुरू नहीं कर सकता है। यह कथन सही है। चलने के लिए जमीन को पीछे की ओर धकेलने के लिए घर्षण की आवश्यकता होती है,जो बदले में आगे की ओर प्रतिक्रिया बल प्रदान करता है। घर्षण के बिना,आदमी के पैर फिसल जाएंगे।
अतः,$Assertion$ गलत है और $Reason$ सही है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) चूंकि डोरी अवितान्य है और घिरनी चिकनी है,इसलिए $3\; kg$ के ब्लॉक और $20\; kg$ की ट्रॉली का त्वरण $a$ समान परिमाण का होगा।
$3\; kg$ के ब्लॉक की गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$30 - T = 3a$ --- (समीकरण $1$)
$20\; kg$ की ट्रॉली की गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T - f_k = 20a$ --- (समीकरण $2$)
जहाँ गतिज घर्षण $f_k = \mu_k N$ है।
यहाँ $\mu_k = 0.04$ और अभिलंब बल $N = m_{trolley} g = 20 \times 10 = 200\; N$ है।
अतः,$f_k = 0.04 \times 200 = 8\; N$ है।
समीकरण $2$ में $f_k$ का मान रखने पर:
$T - 8 = 20a$ --- (समीकरण $3$)
समीकरण $1$ और समीकरण $3$ को जोड़ने पर:
$(30 - T) + (T - 8) = 3a + 20a$
$22 = 23a$
$a = \frac{22}{23} \approx 0.96\; m s^{-2}$ है।
समीकरण $1$ में $a$ का मान रखने पर:
$30 - T = 3 \times (0.9565)$
$T = 30 - 2.87 = 27.13\; N \approx 27.1\; N$।

(N/A) गुटका फर्श पर स्थिर है। इसका मुक्त-पिंड आरेख (free-body diagram) गुटके पर दो बल दिखाता है: पृथ्वी द्वारा गुरुत्वाकर्षण खिंचाव का बल जो $2 \times 10 = 20\; N$ के बराबर है,और फर्श द्वारा गुटके पर लगाया गया अभिलंब बल $R$। प्रथम नियम के अनुसार,गुटके पर कुल बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $R = 20\; N$। तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,गुटके की क्रिया (अर्थात गुटके द्वारा फर्श पर लगाया गया बल) $20\; N$ के बराबर है और ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर निर्देशित है।
$(b)$ निकाय (गुटका $+$ बेलन) $0.1\; m/s^2$ के त्वरण से नीचे की ओर त्वरित होता है। निकाय का मुक्त-पिंड आरेख निकाय पर दो बल दिखाता है: पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल $(27\; kg \times 10\; m/s^2 = 270\; N)$; और फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $R'$। ध्यान दें कि निकाय का मुक्त-पिंड आरेख गुटके और बेलन के बीच के आंतरिक बलों को नहीं दिखाता है। निकाय पर दूसरा नियम लागू करने पर:
$270 - R' = 27 \times 0.1\; N$
$R' = 270 - 2.7 = 267.3\; N$
तीसरे नियम के अनुसार,फर्श पर निकाय की क्रिया $267.3\; N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है।
क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म:
$(a)$ के लिए: $(i)$ पृथ्वी द्वारा गुटके पर गुरुत्वाकर्षण बल $(20\; N)$ (क्रिया); गुटके द्वारा पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल (प्रतिक्रिया) जो $20\; N$ के बराबर है और ऊपर की ओर निर्देशित है। $(ii)$ गुटके द्वारा फर्श पर लगाया गया बल (क्रिया); फर्श द्वारा गुटके पर लगाया गया बल (प्रतिक्रिया)।
$(b)$ के लिए: $(i)$ पृथ्वी द्वारा निकाय पर गुरुत्वाकर्षण बल $(270\; N)$ (क्रिया); निकाय द्वारा पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल (प्रतिक्रिया),जो $270\; N$ के बराबर है और ऊपर की ओर निर्देशित है। $(ii)$ निकाय द्वारा फर्श पर लगाया गया बल (क्रिया); फर्श द्वारा निकाय पर लगाया गया बल (प्रतिक्रिया)। इसके अतिरिक्त,$(b)$ के लिए,बेलन द्वारा गुटके पर लगाया गया बल और गुटके द्वारा बेलन पर लगाया गया बल भी एक क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म बनाते हैं।

(N/A) शून्य नेट बल: वर्षा की बूंद एकसमान चाल से गिर रही है,जिसका अर्थ है कि इसका त्वरण शून्य है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वर्षा की बूंद पर कार्य करने वाला नेट बल शून्य है।
$(b)$ शून्य नेट बल: कॉर्क का भार नीचे की ओर कार्य करता है और यह पानी द्वारा ऊपर की ओर लगाए गए उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है। अतः,नेट बल शून्य है।
$(c)$ शून्य नेट बल: पतंग आकाश में स्थिर है,जिसका अर्थ है कि इसका त्वरण शून्य है। न्यूटन के गति के पहले नियम के अनुसार,पतंग पर कार्य करने वाला नेट बल शून्य है।
$(d)$ शून्य नेट बल: कार एकसमान वेग से चल रही है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कार पर कार्य करने वाला नेट बल शून्य है।
$(e)$ शून्य नेट बल: उच्च-गति वाला इलेक्ट्रॉन सभी भौतिक वस्तुओं और बाहरी क्षेत्रों से दूर है,इसलिए उस पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा है।

(A) सभी स्थितियों में कुल बल $0.5 \, N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में है।
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$,वस्तु की गति की दिशा की परवाह किए बिना,हमेशा नीचे की ओर कार्य करता है। तीनों स्थितियों में कंकड़ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ही एकमात्र बल है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार इसका परिमाण है:
$F = m \times a$
जहाँ,$F$ कुल बल है,$m$ कंकड़ का द्रव्यमान $(0.05 \, kg)$ है,और $a = g = 10 \, m/s^2$ है।
अतः,$F = 0.05 \times 10 = 0.5 \, N$ है।
तीनों स्थितियों में कंकड़ पर लगने वाला कुल बल $0.5 \, N$ है और यह बल नीचे की दिशा में कार्य करता है।
यदि कंकड़ को क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर फेंका जाता है,तो इसमें वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों घटक होंगे। उच्चतम बिंदु पर,केवल वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है। हालाँकि,कंकड़ में अपनी पूरी गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक बना रहेगा। वेग का यह घटक कंकड़ पर लगने वाले कुल बल पर कोई प्रभाव नहीं डालता है,जो नीचे की ओर $0.5 \, N$ ही रहता है।

(A) $1\; N$; ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर। पत्थर का द्रव्यमान $m = 0.1\; kg$ है। पत्थर का त्वरण $a = g = 10\; m/s^2$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पत्थर पर कार्य करने वाला नेट बल $F = ma = mg = 0.1 \times 10 = 1\; N$ है। गुरुत्वीय त्वरण हमेशा नीचे की दिशा में कार्य करता है।
$(b)$ $1\; N$; ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर। ट्रेन स्थिर वेग से चल रही है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। एक बार पत्थर गिरा दिए जाने के बाद,उस पर कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है। केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है,जो $1\; N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है।
$(c)$ $1\; N$; ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर। एक बार पत्थर गिरा दिए जाने के बाद,वह ट्रेन के संपर्क में नहीं रहता है। ट्रेन के त्वरण के कारण लगने वाला क्षैतिज बल पत्थर पर कार्य करना बंद कर देता है। केवल गुरुत्वाकर्षण बल शेष रहता है,जो $1\; N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है।
$(d)$ $0.1\; N$; ट्रेन की गति की दिशा में। पत्थर ट्रेन के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए वह ट्रेन का $a = 1\; m/s^2$ त्वरण साझा करता है। नेट बल $F = ma = 0.1 \times 1 = 0.1\; N$ है,जो ट्रेन की गति की दिशा में कार्य करता है।

(N/A) गाड़ी खींचने के लिए,घोड़ा जमीन को कुछ बल के साथ पीछे की ओर धकेलता है। बदले में जमीन घोड़े के पैरों पर समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाती है। यह प्रतिक्रिया बल घोड़े को आगे बढ़ने में मदद करता है। खाली स्थान में ऐसा कोई प्रतिक्रिया बल नहीं होता है। इसलिए,घोड़ा खाली स्थान में गाड़ी नहीं खींच सकता और दौड़ नहीं सकता।
$(b)$ जब तेज गति वाली बस अचानक रुकती है,तो यात्री के शरीर का निचला हिस्सा,जो सीट के संपर्क में होता है,अचानक स्थिर हो जाता है। हालाँकि,ऊपरी हिस्सा गति में रहने की प्रवृत्ति रखता है (गति के पहले नियम के अनुसार)। परिणामस्वरूप,यात्री का ऊपरी शरीर उस दिशा में आगे की ओर फेंका जाता है जिस दिशा में बस चल रही थी।
$(c)$ लॉन मोवर को खींचते समय,उस पर $\theta$ कोण पर बल लगाया जाता है। इस लागू बल का ऊर्ध्वाधर घटक $(F \sin \theta)$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जो मोवर के प्रभावी वजन को कम करता है $(mg - F \sin \theta)$। दूसरी ओर,लॉन मोवर को धक्का देते समय,लागू बल का ऊर्ध्वाधर घटक मोवर के वजन की दिशा में कार्य करता है,जिससे प्रभावी वजन बढ़ जाता है $(mg + F \sin \theta)$। चूंकि पहले मामले में प्रभावी वजन कम होता है,इसलिए लॉन मोवर को धक्का देने की तुलना में खींचना आसान होता है।
$(d)$ न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma = m \frac{\Delta v}{\Delta t}$। प्रभाव बल $(F)$ प्रभाव के समय $(\Delta t)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,यानी $F \propto \frac{1}{\Delta t}$। अपने हाथों को पीछे की ओर ले जाकर,क्रिकेटर प्रभाव के समय $(\Delta t)$ को बढ़ाता है,जिसके परिणामस्वरूप रोकने वाला बल कम हो जाता है,जिससे क्रिकेटर के हाथों को चोट नहीं लगती है।

(N/A) व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 65 \; kg$.
बेल्ट का त्वरण,$a = 1 \; m/s^2$.
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu = 0.2$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार व्यक्ति पर लगने वाला कुल बल $F$:
$F = m \times a = 65 \times 1 = 65 \; N$.
व्यक्ति कन्वेयर बेल्ट के सापेक्ष तब तक स्थिर रहेगा जब तक कि व्यक्ति को त्वरित करने के लिए आवश्यक बल,बेल्ट द्वारा लगाए गए अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max}$ से कम या उसके बराबर हो।
$f_{s,max} = \mu \times N = \mu \times m \times g$.
मान लीजिए $a'$ बेल्ट का अधिकतम त्वरण है। व्यक्ति के स्थिर रहने के लिए:
$m \times a' \leq \mu \times m \times g$
$a' \leq \mu \times g$
$a' \leq 0.2 \times 10 = 2 \; m/s^2$.
अतः,बेल्ट का अधिकतम त्वरण जिस तक व्यक्ति स्थिर खड़ा रह सकता है,वह $2 \; m/s^2$ है।

(A-D) हेलीकॉप्टर का द्रव्यमान,$m_h = 1000 \; kg$. चालक दल और यात्रियों का द्रव्यमान,$m_p = 300 \; kg$.
निकाय का कुल द्रव्यमान,$m = 1300 \; kg$.
हेलीकॉप्टर का त्वरण,$a = 15 \; m s^{-2}$.
$(a)$ चालक दल और यात्रियों के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $R$ है:
$R - m_p g = m_p a \implies R = m_p(g + a)$
$R = 300(10 + 15) = 300 \times 25 = 7500 \; N$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,चालक दल और यात्रियों द्वारा फर्श पर लगाया गया बल $7500 \; N$ है,जो नीचे की दिशा में है।
$(b)$ पूरे निकाय (हेलीकॉप्टर + चालक दल + यात्री) के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए:
$F_{air} - mg = ma \implies F_{air} = m(g + a)$
$F_{air} = 1300(10 + 15) = 1300 \times 25 = 32500 \; N$.
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,आसपास की हवा पर रोटर की क्रिया $32500 \; N$ है,जो नीचे की दिशा में है।
$(c)$ आसपास की हवा के कारण हेलीकॉप्टर पर लगाया गया बल $32500 \; N$ है,जो ऊपर की दिशा में है।

(N/A) पिंड $A$ का द्रव्यमान,$m_{A} = 5 \, kg$.
पिंड $B$ का द्रव्यमान,$m_{B} = 10 \, kg$.
अनुप्रयुक्त बल,$F = 200 \, N$.
घर्षण गुणांक,$\mu = 0.15$.
कुल घर्षण बल $f_{s} = \mu(m_{A} + m_{B})g = 0.15(5 + 10) \times 10 = 22.5 \, N$ (बाईं ओर)।
$(a)$ दीवार पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_{s} = 200 - 22.5 = 177.5 \, N$ (दाईं ओर)। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,दीवार की प्रतिक्रिया $177.5 \, N$ (बाईं ओर) होगी।
$(b)$ पिंड $A$ पर घर्षण बल $f_{A} = \mu m_{A} g = 0.15 \times 5 \times 10 = 7.5 \, N$ (बाईं ओर)। $A$ द्वारा $B$ पर लगाया गया कुल बल $F_{AB} = F - f_{A} = 200 - 7.5 = 192.5 \, N$ (दाईं ओर)। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,$B$ द्वारा $A$ पर $192.5 \, N$ का बल (बाईं ओर) लगाया जाएगा।
जब दीवार हटा दी जाती है,तो निकाय $a = \frac{F - f_{s}}{m_{A} + m_{B}} = \frac{177.5}{15} \approx 11.83 \, m/s^{2}$ के त्वरण के साथ गति करेगा।
$A$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $F'_{AB} = m_{B} a + f_{B} = 10 \times 11.83 + (0.15 \times 10 \times 10) = 118.3 + 15 = 133.3 \, N$ होगा। हाँ,जब पिंड गति में होते हैं तो $(b)$ का उत्तर बदल जाता है।

(A) ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 15 \; kg$.
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu = 0.18$.
ट्रॉली का त्वरण,$a = 0.5 \; m s^{-2}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक को ट्रॉली के साथ गति कराने के लिए आवश्यक बल $F = ma = 15 \times 0.5 = 7.5 \; N$ है।
उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu mg = 0.18 \times 15 \times 9.8 = 26.46 \; N$ है (यदि $g = 9.8 \; m s^{-2}$ लिया जाए)। यदि $g = 10 \; m s^{-2}$ लें,तो $f_{max} = 27 \; N$ होगा।
चूंकि आवश्यक बल $(7.5 \; N)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(27 \; N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक ट्रॉली पर नहीं फिसलेगा।
$(a)$ जमीन पर खड़े स्थिर प्रेक्षक के लिए,ब्लॉक पहले $20 \; s$ तक ट्रॉली के साथ $0.5 \; m s^{-2}$ के त्वरण से गति करेगा और फिर $v = at = 0.5 \times 20 = 10 \; m s^{-1}$ के एकसमान वेग से गति करेगा।
$(b)$ ट्रॉली के साथ गति कर रहे प्रेक्षक के लिए,ब्लॉक स्थिर दिखाई देगा क्योंकि घर्षण बल उसे ट्रॉली के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए आवश्यक त्वरण प्रदान करता है।

(C) ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 1\; kg$.
स्प्रिंग नियतांक,$k = 100\; N m^{-1}$.
ब्लॉक का विस्थापन,$x = 10\; cm = 0.1\; m$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। चूंकि ब्लॉक विराम अवस्था से शुरू होता है और विराम अवस्था में आ जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा कार्य + स्प्रिंग द्वारा कार्य + घर्षण द्वारा कार्य = $0$.
$mgx \sin 37^{\circ} - \frac{1}{2} k x^2 - f x = 0$.
यहाँ,$f = \mu N = \mu mg \cos 37^{\circ}$.
मान रखने पर:
$(1)(9.8)(0.1) \sin 37^{\circ} - \frac{1}{2} (100)(0.1)^2 - \mu (1)(9.8)(0.1) \cos 37^{\circ} = 0$.
$0.98 \times 0.6018 - 0.5 - \mu (0.98)(0.7986) = 0$.
$0.5898 - 0.5 = \mu (0.7826)$.
$0.0898 = \mu (0.7826)$.
$\mu = \frac{0.0898}{0.7826} \approx 0.115$.

(D) दैनिक जीवन में,गति बाहरी बल के अनुप्रयोग द्वारा शुरू या नियंत्रित होती है,जो $Newton$ के गति के नियमों की एक मूलभूत अवधारणा है।
$1$. एक स्थिर फुटबॉल को किक मारना: पैर द्वारा लगाया गया बल गेंद की विरामावस्था को बदल देता है।
$2$. पत्थर को ऊपर की दिशा में फेंकने के लिए,व्यक्ति को ऊपर की ओर धक्का (बल) देना पड़ता है।
$3$. हवा के कारण पेड़ की शाखाओं का हिलना: चलती हवा शाखाओं पर बल लगाती है,जिससे वे गति करती हैं।
$4$. बहती नदी में बिना किसी के पतवार चलाए नाव का आगे बढ़ना: बहते पानी द्वारा लगाया गया बल नाव को गति देता है।
ये सभी उदाहरण दर्शाते हैं कि कैसे बाहरी बल गति को नियंत्रित या शुरू करते हैं।

(N/A) घर्षण आग की तरह है; कभी-कभी यह वांछनीय और आवश्यक होता है,और कभी-कभी यह अवांछनीय होता है।
घर्षण के लाभ:
$(1)$ यह हमें फिसले बिना जमीन पर चलने में मदद करता है।
$(2)$ यह हमें वस्तुओं को मजबूती से पकड़ने में सक्षम बनाता है।
$(3)$ यह हमें कागज या बोर्ड जैसी सतहों पर लिखने की अनुमति देता है।
$(4)$ यह कन्वेयर बेल्ट के माध्यम से पहियों के बीच गति के संचरण में मदद करता है।
घर्षण की हानियाँ:
$(1)$ यह सापेक्ष गति का विरोध करता है और यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मा ऊर्जा के रूप में नष्ट करता है।
$(2)$ यह मशीनों के गतिशील भागों में टूट-फूट का कारण बनता है।
$(3)$ यह कपड़ों,जूतों और वाहनों के टायरों के घिसने का कारण बनता है।
घर्षण को कम करने के उपाय:
$(1)$ स्नेहक (Lubricants): गतिशील भागों के बीच तेल या ग्रीस का उपयोग करने से गतिज घर्षण कम हो जाता है।
$(2)$ बॉल-बेयरिंग: गतिशील भागों के बीच बॉल-बेयरिंग का उपयोग करने से सर्पी घर्षण लोटनिक घर्षण में परिवर्तित हो जाता है,जो काफी कम होता है।
$(3)$ वायु कुशन (Air Cushion): चित्र में दिखाए अनुसार,ठोस सतहों के बीच हवा की एक पतली परत बनाए रखने से घर्षण को प्रभावी ढंग से कम किया जा सकता है।

(N/A) घर्षण गुणांकों को $\mu_s$ (स्थैतिक घर्षण),$\mu_k$ (गतिज घर्षण) और $\mu_r$ (लोटनिक घर्षण) द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी दी गई सतहों के युग्म के लिए,इन गुणांकों का परिमाण सामान्यतः निम्नलिखित संबंध का पालन करता है:
$\mu_s > \mu_k > \mu_r$.
यह संबंध इसलिए होता है क्योंकि स्थैतिक घर्षण में सतहों की अनियमितताओं को विराम अवस्था में एक-दूसरे में फंसने से पार पाना होता है,गतिज घर्षण में सतहें फिसलती हैं जिससे उन्हें फंसने का कम समय मिलता है,और लोटनिक घर्षण सबसे कम होता है क्योंकि इसमें सतहों का विरूपण और संपर्क क्षेत्र न्यूनतम होता है।

(N/A) हम न्यूटन के गति के तीन नियमों का उपयोग करके गतिशीलता की विभिन्न समस्याओं को हल कर सकते हैं।
कभी-कभी,एक समस्या में एक से अधिक पिंड शामिल होते हैं और ये पिंड एक-दूसरे पर बल लगाते हैं।
इसके अलावा,प्रत्येक पिंड गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करता है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए,हमें एक 'निकाय' (system) को परिभाषित करना होगा जिसकी गति पर चर्चा की जानी है,जबकि शेष भागों और बाहरी एजेंसियों को 'पर्यावरण' माना जाता है।
समस्या को हल करने के लिए,इन चरणों का पालन करें:
$(1)$ विभिन्न वस्तुओं की असेंबली,उनके कनेक्शन और समर्थन को दर्शाने वाला एक योजनाबद्ध आरेख बनाएं।
$(2)$ उस वस्तु को निकाय के रूप में चुनें जिसकी गति का आप विश्लेषण करना चाहते हैं। यदि निकाय में कई वस्तुएं शामिल हैं,तो सुनिश्चित करें कि उन सभी वस्तुओं का त्वरण सदिश समान हो।
$(3)$ पर्यावरण द्वारा निकाय पर कार्य करने वाले सभी बलों की सूची बनाएं। निकाय के भीतर कार्य करने वाले आंतरिक बलों को इसमें शामिल न करें।
$(4)$ निकाय को एक बिंदु के रूप में दर्शाएं और उस पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों को उस बिंदु से निकलने वाले सदिशों के रूप में चित्रित करें। इसे फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ कहा जाता है। इसका मतलब यह नहीं है कि निकाय बलों से मुक्त है,बल्कि केवल यह है कि निकाय पर कार्य करने वाले बलों को चित्र में दिखाया गया है।
$(5)$ यदि आवश्यक हो,तो एक और निकाय चुनें और चरणों को दोहराएं। न्यूटन के तीसरे नियम का उपयोग करें: उदाहरण के लिए,यदि $A$ के $FBD$ में $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $\vec{F}$ है,तो $B$ के $FBD$ में $A$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $-\vec{F}$ होगा।

(A) क्षैतिज दिशा ($x$-दिशा) में बल $F$ का घटक $F_x = F \cos(60^{\circ})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = 36 \, \text{dyne}$ और $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
$F_x = 36 \times \cos(60^{\circ}) = 36 \times 0.5 = 18 \, \text{dyne}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,क्षैतिज दिशा में त्वरण $a_x = \frac{F_x}{m}$ होता है।
यहाँ पिंड का द्रव्यमान $m = 18 \, \text{g}$ दिया गया है।
$a_x = \frac{18 \, \text{dyne}}{18 \, \text{g}} = 1 \, \text{cm/s}^2$.

(C) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल सदिश और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
गतिक घर्षण के मामले में,घर्षण बल हमेशा वस्तु की सापेक्ष गति (विस्थापन) की विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः,घर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos(180^{\circ}) = -1$ होता है,इसलिए गतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य हमेशा ऋणात्मक $(W = -Fd)$ होता है।
हालाँकि,स्थैतिक घर्षण के मामले में,यह इच्छित गति या सापेक्ष गति की दिशा में कार्य करता है। उदाहरण के लिए,जब कोई व्यक्ति चलता है,तो स्थैतिक घर्षण गति की दिशा में कार्य करता है,जिससे स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य धनात्मक हो जाता है। इसलिए,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य घर्षण के प्रकार और संदर्भ के आधार पर धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

(B) जब हवा में किसी प्रक्षेप्य में विस्फोट होता है,तो यह विस्फोट आंतरिक बलों (जैसे रासायनिक ऊर्जा का मुक्त होना) के कारण होता है।
न्यूटन के नियमों के अनुसार,आंतरिक बल किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति को नहीं बदलते हैं।
विस्फोट के दौरान और बाद में भी प्रक्षेप्य पर कार्य करने वाला एकमात्र बाह्य बल गुरुत्वाकर्षण बल $(F_{ext} = mg)$ है।
इसलिए,प्रक्षेप्य का द्रव्यमान केंद्र बाह्य गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा निर्धारित मूल परवलयाकार पथ का अनुसरण करना जारी रखता है।

(D) दो सतहों के बीच संपर्क बल $R$,अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का परिणामी होता है।
परिभाषा के अनुसार,अभिलंब बल $N$ सतह के लंबवत कार्य करता है और घर्षण बल $f$ सतह के समानांतर कार्य करता है।
चूंकि ये दोनों बल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी संपर्क बल $R$ का परिमाण सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{N^2 + f^2}$.
ढलान पर रखी वस्तु के लिए,$N = mg \cos \theta$ और $f = \mu N$ (यदि वस्तु फिसल रही है) या $f = mg \sin \theta$ (यदि वस्तु संतुलन में है)।
अतः,संपर्क बल के लिए सामान्य व्यंजक $R = \sqrt{N^2 + f^2}$ है।

(B) बंदूक का द्रव्यमान,$m_1 = 100 \, kg$.
गेंद का द्रव्यमान,$m_2 = 1 \, kg$.
चट्टान की ऊँचाई,$h = 500 \, m$.
गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी,$x = 400 \, m$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$.
सबसे पहले,हम ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण का उपयोग करके गेंद द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय ज्ञात करते हैं:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
$500 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$500 = 5 t^2$
$t^2 = 100$
$t = 10 \, s$.
अब,हम गेंद का क्षैतिज वेग $(u)$ ज्ञात करते हैं:
$x = u t$
$400 = u \times 10$
$u = 40 \, m/s$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बंदूक का संवेग और गेंद का संवेग परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है:
$m_1 v = m_2 u$
$100 \times v = 1 \times 40$
$v = \frac{40}{100} = 0.4 \, m/s$.
अतः,बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $0.4 \, m/s$ है।

(D) घर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,अधिकतम गति $v$ का मान $\frac{mv^2}{r} = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है,जो सरल होकर $v = \sqrt{\mu rg}$ हो जाता है।
$1$. $ABC$ पथ के लिए (त्रिज्या $2R = 200 \, m$):
लंबाई $L_1 = \frac{3}{4} \times (2\pi \times 2R) = 3\pi R = 300\pi \, m$.
गति $v_1 = \sqrt{0.1 \times 200 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \, m/s$.
समय $t_1 = \frac{300\pi}{14.14} \approx 66.66 \, s$.
$2$. $DEF$ पथ के लिए (त्रिज्या $R = 100 \, m$):
लंबाई $L_2 = \frac{1}{4} \times (2\pi R) = \frac{\pi R}{2} = 50\pi \, m$.
गति $v_2 = \sqrt{0.1 \times 100 \times 10} = 10 \, m/s$.
समय $t_2 = \frac{50\pi}{10} = 5\pi \approx 15.71 \, s$.
$3$. सीधे पथ $CD$ और $FA$ के लिए (प्रत्येक की लंबाई $R = 100 \, m$):
कुल लंबाई $L_3 = R + R = 200 \, m$.
गति $v_3 = 50 \, m/s$.
समय $t_3 = \frac{200}{50} = 4.0 \, s$.
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = 66.66 + 15.71 + 4.0 = 86.37 \, s$.

(A) दिया गया है:
हेलीकॉप्टर का द्रव्यमान $m_{1} = 2000 \,kg$
चालक दल और यात्रियों का द्रव्यमान $m_{2} = 500 \,kg$
त्वरण $a = 15 \,m s^{-2}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m s^{-2}$
$(a)$ चालक दल और यात्रियों द्वारा हेलीकॉप्टर के फर्श पर लगाया गया बल आभासी भार है $F_{1} = m_{2}(g + a)$।
$F_{1} = 500 \times (10 + 15) = 500 \times 25 = 12500 \,N$ (नीचे की ओर)।
$(b)$ हेलीकॉप्टर के रोटर द्वारा आसपास की हवा पर की गई क्रिया,पूरी प्रणाली (हेलीकॉप्टर + चालक दल + यात्री) को $a$ त्वरण के साथ ऊपर उठाने के लिए आवश्यक कुल बल के बराबर है।
$F_{2} = (m_{1} + m_{2})(g + a) = (2000 + 500) \times (10 + 15) = 2500 \times 25 = 62500 \,N$ (नीचे की ओर)।
$(c)$ न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,आसपास की हवा के कारण हेलीकॉप्टर पर लगने वाला बल,क्रिया बल $F_{2}$ की प्रतिक्रिया है।
$F_{3} = 62500 \,N$ (ऊपर की ओर)।