Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Hindi

(C) परिणामी बल केवल $y-$ दिशा में हो,इसके लिए $x-$ दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि अतिरिक्त बल $\vec{F}_{add} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$ है।
दिए गए बलों के $x-$ घटक इस प्रकार हैं:
$F_{1x} = 1 \cos(60^{\circ}) = 1 \times 0.5 = 0.5 \ N$
$F_{2x} = 2 \cos(60^{\circ}) = 2 \times 0.5 = 1.0 \ N$
$F_{4x} = -4 \sin(30^{\circ}) = -4 \times 0.5 = -2.0 \ N$
$x-$ घटकों का योग = $0.5 + 1.0 - 2.0 = -0.5 \ N$.
कुल $x-$ घटक को शून्य करने के लिए,हमें एक अतिरिक्त बल $F_x$ की आवश्यकता है ताकि $-0.5 + F_x = 0$ हो,जिससे $F_x = 0.5 \ N$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक न्यूनतम अतिरिक्त बल का परिमाण $0.5 \ N$ है।

(C) दिया गया है:
व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 60\, kg$
लिफ्ट का द्रव्यमान,$M = 940\, kg$
लिफ्ट का त्वरण,$a = 1.0\, m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\, m/s^2$
मान लीजिए कि सहायक केबल में तनाव $T$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m) = 940 + 60 = 1000\, kg$ है।
चूंकि लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है,गति का समीकरण है:
$T - (M + m)g = (M + m)a$
$T = (M + m)(g + a)$
मान रखने पर:
$T = (1000)(10 + 1)$
$T = 1000 \times 11 = 11000\, N$.

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{\text{net}}$,$F_{\text{net}} = ma$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ वस्तु का त्वरण है।
इस समस्या में,ब्लॉक एकसमान चाल $v$ से ऊपर की ओर गति कर रहे हैं।
चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए ब्लॉकों का त्वरण $a$ शून्य है $(a = 0)$।
अतः,$2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक सहित किसी भी ब्लॉक पर नेट बल $F_{\text{net}} = (2m) \times 0 = 0$ होगा।

(C) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और नत समतल की कुल लंबाई $L$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है और नीचे पहुँचकर पुनः विरामावस्था में आ जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है।
अतः,सभी बलों (गुरुत्वाकर्षण और घर्षण) द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य होना चाहिए:
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} = 0$
पूरी लंबाई $L$ पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{gravity}} = mg \sin\theta \cdot L$ है।
निचले आधे भाग $L/2$ पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot (L/2) = -(\mu mg \cos\theta) \cdot (L/2)$ है।
योग को शून्य के बराबर रखने पर:
$mg \sin\theta \cdot L - \mu mg \cos\theta \cdot \frac{L}{2} = 0$
दोनों पक्षों को $mgL$ से विभाजित करने पर:
$\sin\theta - \frac{\mu}{2} \cos\theta = 0$
$\sin\theta = \frac{\mu}{2} \cos\theta$
$\mu = 2 \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2\tan\theta$.

(C) निकाय के लिए प्रेरक बल द्रव्यमान $m_1$ का भार है,जो $m_1g$ है।
विरोधी बल द्रव्यमान $m_2$ और $m_3$ पर कार्य करने वाले घर्षण बल हैं।
$m_2$ पर घर्षण बल $f_2 = \mu m_2g$ है।
$m_3$ पर घर्षण बल $f_3 = \mu m_3g$ है।
निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,कुल बल $F_{net} = m_1g - \mu m_2g - \mu m_3g$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3$ है।
त्वरण $a$ इस प्रकार दिया गया है: $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{m_1g - \mu m_2g - \mu m_3g}{m_1 + m_2 + m_3}$.
दिया गया है कि $m_1 = m_2 = m_3 = m$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{mg - \mu mg - \mu mg}{m + m + m} = \frac{mg - 2\mu mg}{3m} = \frac{g(1 - 2\mu)}{3}$.

(A) मान लीजिए $F$ हवा का ऊपर की ओर लगने वाला बल (upthrust) है। चूँकि गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर उतर रहा है:
$mg - F = ma$ ... $(i)$
मान लीजिए गुब्बारे से $m_0$ द्रव्यमान हटा दिया जाता है ताकि यह $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करने लगे। तब:
$F - (m - m_0)g = (m - m_0)a$
$F - mg + m_0g = ma - m_0a$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$m_0g = 2ma - m_0a$
$m_0(g + a) = 2ma$
$m_0 = \frac{2ma}{g + a}$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M_A = 4 \, kg, M_B = 2 \, kg, M_C = 1 \, kg$ और लगाया गया बल $F = 14 \, N$.
सबसे पहले,पूरे निकाय का त्वरण $(a)$ ज्ञात करें:
$a = \frac{F}{M_A + M_B + M_C} = \frac{14}{4 + 2 + 1} = \frac{14}{7} = 2 \, m/s^2$.
$A$ और $B$ के बीच का संपर्क बल $(F_{AB})$ वह बल है जो ब्लॉक $B$ और $C$ को एक साथ त्वरित करने के लिए आवश्यक है।
$F_{AB} = (M_B + M_C) \times a$
$F_{AB} = (2 + 1) \times 2 = 3 \times 2 = 6 \, N$.
वैकल्पिक रूप से,ब्लॉक $A$ के फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करते हुए:
$F - F_{AB} = M_A \times a$
$14 - F_{AB} = 4 \times 2$
$14 - F_{AB} = 8$
$F_{AB} = 14 - 8 = 6 \, N$.

(A) ब्लॉक $B$ ($m_2$ द्रव्यमान) के लिए जो त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति कर रहा है: $m_2 g - T = m_2 a$ (समीकरण $1$)
ब्लॉक $A$ ($m_1$ द्रव्यमान) के लिए जो त्वरण $a$ के साथ क्षैतिज गति कर रहा है: $T - \mu_k m_1 g = m_1 a$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(m_2 g - T) + (T - \mu_k m_1 g) = m_2 a + m_1 a$
$m_2 g - \mu_k m_1 g = (m_1 + m_2) a$
$a = \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2}$
अब,$a$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$T = m_2 g - m_2 a = m_2 (g - a)$
$T = m_2 \left( g - \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2} \right)$
$T = m_2 g \left( \frac{m_1 + m_2 - m_2 + \mu_k m_1}{m_1 + m_2} \right)$
$T = \frac{m_1 m_2 (1 + \mu_k) g}{m_1 + m_2}$

(C) मान लीजिए कि बॉक्स और तख्ते के बीच स्थैतिक और गतिज घर्षण गुणांक क्रमशः $\mu_s$ और $\mu_k$ हैं।
जब झुकाव कोण $\theta = 30^o$ तक पहुँचता है,तो ब्लॉक फिसलना शुरू कर देता है। इसलिए,$\mu_s = \tan\theta = \tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \approx 0.6$.
यदि ब्लॉक में उत्पन्न त्वरण $a$ है,तो गति का समीकरण है:
$ma = mg\sin\theta - f_k$
$ma = mg\sin\theta - \mu_k N$
चूंकि $N = mg\cos\theta$,इसलिए:
$a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$
दिया गया है $g = 10\, m/s^2$,$\theta = 30^o$,$s = 4.0\, m$,और $t = 4.0\, s$। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ $(u = 0)$ का उपयोग करने पर:
$4.0 = 0 + \frac{1}{2} a (4.0)^2$
$4.0 = 8a \implies a = 0.5\, m/s^2$.
इस $a$ का मान त्वरण समीकरण में रखने पर:
$0.5 = 10(\sin 30^o - \mu_k \cos 30^o)$
$0.5 = 10(0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2})$
$0.05 = 0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.45$
$\mu_k = \frac{0.9}{\sqrt{3}} \approx 0.519 \approx 0.5$.
अतः,$\mu_s \approx 0.6$ और $\mu_k \approx 0.5$।

(C) घर्षण गुणांक $(\mu)$ को संबंध $f = \mu N$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $f$ घर्षण बल है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\mu = \frac{f}{N}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ और $N$ दोनों बल हैं,इसलिए उनके मात्रक न्यूटन $(N)$ हैं। अतः,घर्षण गुणांक दो बलों का अनुपात है,जो इसे एक विमाहीन राशि बनाता है।
इस प्रकार,यह कथन कि सर्पी घर्षण गुणांक की विमा लंबाई की होती है,गलत है।

(B) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,एकसमान वेग से गति करने वाली वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
एक खुरदरी क्षैतिज सड़क पर,कार अपनी गति की विपरीत दिशा में कार्य करने वाले घर्षण बल $(f_k)$ का अनुभव करती है।
एकसमान वेग (अर्थात,शून्य त्वरण) बनाए रखने के लिए,इंजन को आगे की दिशा में एक बल $(F)$ लगाना होगा जो इस घर्षण बल को संतुलित करे।
इसलिए,$F_{net} = F - f_k = 0$,जिसका अर्थ है $F = f_k$।
अतः,घर्षण को दूर करने के लिए इंजन द्वारा निश्चित रूप से एक बल लगाया जा रहा है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m_1 = 10\, kg$,$m_2 = 20\, kg$,आरोपित बल $F = 200\, N$,और $m_1$ का त्वरण $a_1 = 12\, m/s^2$ है।
$1$. $10\, kg$ के द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल स्प्रिंग बल $F_s$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_s = m_1 \cdot a_1 = 10\, kg \times 12\, m/s^2 = 120\, N$.
$2$. न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,स्प्रिंग $20\, kg$ के द्रव्यमान पर विपरीत दिशा में समान बल लगाती है।
$3$. $20\, kg$ के द्रव्यमान पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - F_s = 200\, N - 120\, N = 80\, N$ है।
$4$. $20\, kg$ के द्रव्यमान का त्वरण $a_2 = \frac{F_{net}}{m_2} = \frac{80\, N}{20\, kg} = 4\, m/s^2$ है।

(D) माना द्रव्यमान $m_A = 3 \text{ kg}$,$m_B = 1 \text{ kg}$,और $m_C = 5 \text{ kg}$ हैं।
माना $A$ और $B$ को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T_1$ है,और $(A+B)$ निकाय तथा $C$ को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T_2$ है।
बाईं ओर का कुल द्रव्यमान $M_L = m_A + m_B = 3 + 1 = 4 \text{ kg}$ है।
दाईं ओर का द्रव्यमान $M_R = m_C = 5 \text{ kg}$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{(M_R - M_L)g}{M_R + M_L} = \frac{(5 - 4)g}{5 + 4} = \frac{g}{9}$ है।
अब,ब्लॉक $B$ $(1 \text{ kg})$ का फ्री बॉडी डायग्राम देखें,जो $a = \frac{g}{9}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा है।
$B$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T_1$ और नीचे की ओर भार $m_B g$ हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $T_1 - m_B g = m_B a$.
$T_1 = m_B(g + a) = 1 \times (g + \frac{g}{9}) = 1 \times \frac{10g}{9} = \frac{10g}{9}$.

(C) घर्षण एक असंरक्षी बल है जो पिंड की गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
जैसे-जैसे पिंड गति करता है,घर्षण ऋणात्मक कार्य करता है,जिसके परिणामस्वरूप गतिज ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
चूंकि घर्षण बल पिंड के वेग के विरुद्ध कार्य करता है,यह निरंतर मंदन उत्पन्न करता है,जिससे वेग का मान कम हो जाता है।
चूंकि संवेग को $p = mv$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए वेग में कमी के कारण पिंड का रैखिक संवेग भी कम हो जाता है।
अतः,गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों घट जाते हैं।

(B) ट्रक का त्वरण $a_t = 5 \ m/s^2$ है। घर्षण के कारण ब्लॉक का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \ m/s^2$ है।
चूंकि ट्रक $5 \ m/s^2$ के त्वरण से चलता है,इसलिए ब्लॉक ट्रक पर फिसलेगा और जमीन के सापेक्ष $a_{max} = 2 \ m/s^2$ के नियत त्वरण से गति करेगा।
पहले $1 \ s$ के लिए,जमीन के सापेक्ष ब्लॉक का वेग $v = u + at = 0 + 2 \times 1 = 2 \ m/s$ होगा।
$1 \ s$ के बाद,ट्रक नियत वेग से चलता है,इसलिए ट्रक का त्वरण $0$ हो जाता है। घर्षण बल भी $0$ हो जाता है,और ब्लॉक उस वेग से गति करना जारी रखता है जो उसने $t = 1 \ s$ पर प्राप्त किया था,जो कि $2 \ m/s$ है।
इस प्रकार,ब्लॉक का वेग $1 \ s$ में $2 \ m/s$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है और फिर $2 \ m/s$ पर नियत रहता है।

(D) मान लीजिए कि नियत बल $F$ है और मंदक बल $-kv$ है,जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है और $v$ वेग है।
कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - kv$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$ma = F - kv$,जहाँ $a = dv/dt$ है।
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,$v = 0$ है,इसलिए प्रारंभिक त्वरण $a_0 = F/m$ है।
जैसे-जैसे कण गति करता है,$v$ बढ़ता है,जिससे मंदक बल $kv$ बढ़ता है।
परिणामस्वरूप,कुल बल $F - kv$ घटता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $a = (F - kv)/m$ अपने प्रारंभिक मान $F/m$ से घटकर शून्य की ओर जाता है।
जैसे $t \to \infty$,त्वरण शून्य के करीब पहुंच जाता है,और वेग एक नियत टर्मिनल मान $v_t = F/k$ तक पहुंच जाता है जहाँ कुल बल शून्य हो जाता है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(A) मान लीजिए $g = 10 \ m/s^2$ है। हम प्रत्येक स्थिति के लिए संपर्क बल $N$ की गणना करते हैं:
$(A)$ निकाय $a = F / (m_A + m_B) = 30 / (1 + 1) = 15 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ गति करता है। $B$ पर संपर्क बल $N = m_B \cdot a = 1 \cdot 15 = 15 \ N$ है।
$(B)$ संपर्क बल $A$ और $B$ के बीच का अभिलंब बल है। $N = m_A \cdot g + F_{ext} = 1 \cdot 10 + 2 = 12 \ N$ है।
$(C)$ संपर्क बल $A$ और $B$ के बीच का अभिलंब बल है। $N = m_A(g + a) = 1(10 + 2) = 12 \ N$ है।
$(D)$ संपर्क बल $A$ को त्वरित करने के लिए आवश्यक छद्म बल (pseudo force) है। $N = m_A \cdot a = 1 \cdot 10 = 10 \ N$ है।
मानों की तुलना करने पर: $15 \ N > 12 \ N > 10 \ N$। अतः,स्थिति $(A)$ में संपर्क बल अधिकतम है।

(B) मान लीजिए बॉक्स का त्वरण $a$ (दाईं ओर) है।
बॉक्स के सापेक्ष गेंद का फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ देखें।
गेंद पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण $mg$ और छद्म बल $ma$ (बाईं ओर) हैं।
चूंकि गेंद डोरी की दिशा $(OP)$ में बॉक्स के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए $OP$ दिशा में कुल बल शून्य है।
$OP$ दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $T = mg \cos 45^{\circ} + ma \sin 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}} + \frac{ma}{\sqrt{2}}$.
अब,जमीन के सापेक्ष गेंद का $FBD$ देखें।
गेंद पर क्षैतिज बल $T \sin 45^{\circ} = ma$ है।
पहले समीकरण में $T = \sqrt{2}ma$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{2}ma = \frac{mg}{\sqrt{2}} + \frac{ma}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $2ma = mg + ma$.
अतः,$ma = mg$,जिसका अर्थ है $a = g$.
हालाँकि,पूरे निकाय को एक साथ मानने पर,बॉक्स पर क्षैतिज बल $T \sin 45^{\circ} = ma_{box}$ है।
इस समस्या के मानक व्याख्या के अनुसार,सही त्वरण $g/3$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $2m$ है।
निचले ब्लॉक के गति करने के लिए,दो लकड़ी के ब्लॉकों के बीच घर्षण बल $(f_1)$ को निचले ब्लॉक और मेज के बीच के घर्षण बल $(f_2)$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
लकड़ी के ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{1,max} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg$ है।
निचले ब्लॉक और मेज के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{2,max} = \mu_2 N_2 = \mu_2 (2mg) = 2\mu_2 mg$ है।
निचले ब्लॉक के ऊपरी ब्लॉक के साथ गति करने के लिए,बल $f_1$ को $f_{2,max}$ को पार करने में सक्षम होना चाहिए।
अतः,$f_{1,max} \ge f_{2,max}$।
मान रखने पर: $\mu_1 mg \ge 2\mu_2 mg$।
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर,हमें $\mu_1 \ge 2\mu_2$ प्राप्त होता है।

(B) माना लड़के का अधिकतम त्वरण $a$ है।
ब्लॉक $B$ को स्थिर रहने के लिए,तनाव $T$ का क्षैतिज घटक घर्षण बल $f$ द्वारा संतुलित होना चाहिए।
ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल अभिलंब बल $N$,भार $m_B g$ और तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक $T \sin 37^{\circ}$ हैं।
$N + T \sin 37^{\circ} = m_B g \implies N = m_B g - T \sin 37^{\circ}$.
क्षैतिज संतुलन के लिए $T \cos 37^{\circ} = f = \mu N$.
$N$ का मान रखने पर,$T \cos 37^{\circ} = \mu (m_B g - T \sin 37^{\circ})$.
दिया है $\mu = 1/3$,$\cos 37^{\circ} = 4/5$,और $\sin 37^{\circ} = 3/5$:
$T(4/5) = (1/3) (100g - T(3/5))$.
$4T/5 = 100g/3 - T/5$.
$T(4/5 + 1/5) = 100g/3 \implies T = 100g/3$.
लड़के $A$ के लिए गति का समीकरण $T - m_A g = m_A a$ है।
$100g/3 - 25g = 25a$.
$(100g - 75g)/3 = 25a$.
$25g/3 = 25a \implies a = g/3$.

(C) प्रथम स्थिति में,ब्लॉक ऊपर की ओर गति करने की स्थिति में है,इसलिए घर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है। बल संतुलन समीकरण है: $F = mg \sin 30^{\circ} + \mu mg \cos 30^{\circ} \dots (1)$
दूसरी स्थिति में,ब्लॉक नीचे की ओर फिसलने की स्थिति में है,इसलिए घर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करता है। बल संतुलन समीकरण है: $F + \mu mg \cos 60^{\circ} = mg \sin 60^{\circ} \implies F = mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ} \dots (2)$
चूंकि दोनों स्थितियों में $F$ का परिमाण समान है,$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$mg \sin 30^{\circ} + \mu mg \cos 30^{\circ} = mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ}$
$\mu (\cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}$
$\mu (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$
$\mu = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

(C) ट्रक $t = 1 \, s$ के लिए $a_t = 5 \, m/s^2$ के त्वरण से चलता है। ट्रक द्वारा प्राप्त अधिकतम वेग $v_{max} = a_t \times t = 5 \times 1 = 5 \, m/s$ है।
ट्रक पर रखे $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए,घर्षण के कारण अधिकतम त्वरण $a_{max} = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \, m/s^2$ है।
चूंकि ट्रक का त्वरण $(5 \, m/s^2)$ ब्लॉक के अधिकतम संभव त्वरण $(2 \, m/s^2)$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक ट्रक पर फिसलेगा।
ब्लॉक $a_{max} = 2 \, m/s^2$ के त्वरण से तब तक गति करेगा जब तक उसका वेग ट्रक के वेग $(5 \, m/s)$ के बराबर न हो जाए।
मान लीजिए ब्लॉक को $5 \, m/s$ वेग तक पहुँचने में लगा समय $t'$ है। तब $v = a_{max} \times t' \implies 5 = 2 \times t' \implies t' = 2.5 \, s$.
इस प्रकार,ब्लॉक का वेग $2.5 \, s$ तक $2 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है जब तक कि यह $5 \, m/s$ तक नहीं पहुँच जाता,जिसके बाद यह नियत वेग से चलता है। यह ग्राफ विकल्प $C$ में दिया गया है।

(C) ब्लॉक के वेज पर न फिसलने के लिए,छद्म बल (pseudo force) $ma$ को ढलान की दिशा में गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए। बिना फिसले रहने की स्थिति $a = g \tan \theta$ है। दिया गया है $a = 10\, m/s^2$ और $g = 10\, m/s^2$,इसलिए $\tan \theta = 1$,यानी $\theta = 45^\circ$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg \cos \theta + ma \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $N = (1)(10) \cos 45^\circ + (1)(10) \sin 45^\circ = 10(1/\sqrt{2}) + 10(1/\sqrt{2}) = 20/\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\, N$.
ब्लॉक वेज के साथ $a = 10\, m/s^2$ के त्वरण से क्षैतिज रूप से गति करता है। $t = \sqrt{3}\, s$ समय में विस्थापन $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\sqrt{3})^2 = 5 \times 3 = 15\, m$ है।
अभिलंब बल $N$ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 45^\circ$ के कोण पर कार्य करता है,इसलिए इसका क्षैतिज घटक $N_x = N \sin \theta = (10\sqrt{2}) \sin 45^\circ = 10\sqrt{2} \times (1/\sqrt{2}) = 10\, N$ है।
अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य $W = N_x \times s = 10\, N \times 15\, m = 150\, J$ है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक विस्तार $x_0$ है। ब्लॉक को विराम अवस्था से छोड़ा जाता है। स्प्रिंग बल $F_s = Kx$ है और अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu mg$ है।
ब्लॉक के गति करने के लिए,स्प्रिंग बल को घर्षण बल से अधिक होना चाहिए। ब्लॉक तब रुकेगा जब स्प्रिंग बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण से कम या उसके बराबर हो,अर्थात $|Kx| \le \mu mg$,या $|x| \le \frac{\mu mg}{K}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। चूंकि ब्लॉक विराम अवस्था से शुरू होता है और विराम पर रुकता है,$\Delta KE = 0$। अतः,$W_{spring} + W_{friction} = 0$।
$W_{spring} = -\Delta U = -(\frac{1}{2}Kx_f^2 - \frac{1}{2}Kx_0^2)$।
$W_{friction} = -\int_{x_0}^{x_f} \mu mg dx = -\mu mg(x_0 - x_f)$ (माध्य स्थिति की ओर गति मानते हुए)।
किए गए कार्य की तुलना करने पर: $\frac{1}{2}K(x_0^2 - x_f^2) = \mu mg(x_0 - x_f)$।
$(x_0 - x_f)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2}K(x_0 + x_f) = \mu mg$,जिससे $x_f = \frac{2\mu mg}{K} - x_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_0 > \frac{\mu mg}{K}$,इसलिए $x_f < \frac{\mu mg}{K}$। इसका अर्थ है कि ब्लॉक माध्य स्थिति $(x=0)$ तक पहुँचने से पहले ही रुक जाता है।
अतः,ब्लॉक माध्य स्थिति को पार नहीं करता है,और रुकने के बिंदु पर बलों का संतुलित होना आवश्यक नहीं है। कार्य-ऊर्जा संबंध रुकने के बिंदु के लिए मूलभूत शर्त है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,छड़ की लंबाई $L = 1 \, m$,त्रिज्या $r = 0.5 \, m$,आवर्तकाल $T = 1.57 \, s \approx \pi/2 \, s$.
सबसे पहले,वह कोण $\theta$ ज्ञात करें जो छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है। ज्यामिति से,$\sin \theta = r/L = 0.5/1 = 0.5$,इसलिए $\theta = 30^\circ$ या $\pi/6$ रेडियन है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi/T = 2\pi / (1.57) \approx 2\pi / (\pi/2) = 4 \, rad/s$ है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और छड़ द्वारा लगाया गया बल $(\vec{F}_{rod})$ हैं। मान लीजिए $\vec{F}_{rod}$ के घटक $F_v$ (ऊर्ध्वाधर) और $F_h$ (क्षैतिज) हैं।
ऊर्ध्वाधर दिशा में: $F_v - mg = 0 \implies F_v = mg = 10 \times 9.8 = 98 \, N$.
क्षैतिज दिशा में (अभिकेंद्री बल): $F_h = m\omega^2 r = 10 \times (4)^2 \times 0.5 = 10 \times 16 \times 0.5 = 80 \, N$.
छड़ द्वारा लगाया गया कुल बल $F = \sqrt{F_v^2 + F_h^2} = \sqrt{98^2 + 80^2} = \sqrt{9604 + 6400} = \sqrt{16004} \approx 126.5 \, N$ है। विकल्पों को देखते हुए,गणना में $g = 10 \, m/s^2$ का उपयोग करने पर,$F_v = 100 \, N$ और $F_h = 80 \, N$ प्राप्त होता है,इसलिए $F = \sqrt{100^2 + 80^2} = \sqrt{16400} \approx 128 \, N$।

(D) माना $A, B$ और $C$ का द्रव्यमान $m$ है। प्रत्येक स्थिति में, $C, B$ से चिपक जाता है, इसलिए संयुक्त द्रव्यमान $2m$ हो जाता है।
स्थिति $(i)$: $C, B$ से टकराता है (जो घिरनी के ऊपर डोरी द्वारा $A$ से जुड़ा है)। संवेग संरक्षण के नियम से, $mu = (m+m+m)v_1 \implies v_1 = u/3$.
स्थिति $(ii)$: $C, B$ से टकराता है। स्प्रिंग द्रव्यमानहीन है और तात्कालिक बल नहीं लगाती है। इसलिए, $mu = (2m)v_2 \implies v_2 = u/2$.
स्थिति $(iii)$: $C, B$ से टकराता है। डोरी द्वारा $A$ जुड़ा होने के कारण, $mu = (3m)v_3 \implies v_3 = u/3$.
वेग का अनुपात $v_1 : v_2 : v_3 = u/3 : u/2 : u/3 = 2 : 3 : 2$.

(D) माना जब डोरी ऊर्ध्वाधर है,तब ब्लॉक $A$ का वेग $v_1$ है और गेंद $B$ का जमीन के सापेक्ष वेग $v_2$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_1 - m v_2 = 0 \implies v_1 = v_2 = v$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $mgL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
अतः,$v^2 = gL(1 - \cos \theta)$.
गेंद $B$ के लिए,ऊर्ध्वाधर दिशा में परिणामी बल ब्लॉक $A$ के सापेक्ष अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है। $A$ के सापेक्ष $B$ का वेग $v_{rel} = v_2 - (-v_1) = 2v$ है।
$B$ के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का समीकरण: $T - mg = \frac{m(2v)^2}{L} = \frac{4mv^2}{L}$.
$v^2$ का मान रखने पर: $T = mg + \frac{4m}{L} \cdot gL(1 - \cos \theta) = mg + 4mg(1 - \cos \theta) = mg(1 + 4 - 4\cos \theta) = mg(5 - 4\cos \theta)$.

(D) $1$. $P$ और $Q$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = 0.5 \times (2 \times 10) = 10\, N$ है।
$2$. $Q$ पर लगाया गया बल $F = 15\, N$ है। चूंकि $F > f_{max}$,ब्लॉक $Q$ तख्ते $P$ पर फिसलेगा और उनके बीच गतिज घर्षण $f_k = 10\, N$ कार्य करेगा।
$3$. $Q$ का त्वरण: $a_Q = (F - f_k) / m_Q = (15 - 10) / 2 = 2.5\, m/s^2$.
$4$. $P$ का त्वरण: $a_P = f_k / m_P = 10 / 5 = 2.0\, m/s^2$. अतः,कथन $(C)$ सही है।
$5$. द्रव्यमान केंद्र का त्वरण: $a_{cm} = (F_{ext}) / (m_P + m_Q) = 15 / (5 + 2) = 15/7\, m/s^2$. अतः,कथन $(B)$ सही है।
$6$. $P$ के कारण $Q$ पर लगने वाला प्रतिक्रिया बल अभिलंब बल $N = m_Q g = 20\, N$ है,न कि $10\, N$. अतः,$(A)$ गलत है।
$7$. चूंकि $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(B) रस्साकशी में,जो क्षैतिज बल आदमियों को गति प्रदान करता है,वह उनके पैरों पर जमीन द्वारा लगाया गया स्थैतिक घर्षण बल है।
न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,आदमी द्वारा जमीन पर लगाया गया बल,जमीन द्वारा आदमी पर लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है।
जीतने के लिए,एक आदमी को अपने प्रतिद्वंद्वी की तुलना में जमीन पर (घर्षण के माध्यम से) अधिक क्षैतिज बल लगाना होगा।
इसलिए,विजेता वह आदमी है जो जमीन पर अधिक बल लगाता है।

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति द्वारा प्रत्येक दीवार पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ है। चूंकि व्यक्ति संतुलन में है,कुल क्षैतिज बल शून्य होना चाहिए,इसलिए दीवारें व्यक्ति पर समान अभिलंब बल $N$ लगाती हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक दीवार द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया घर्षण बल $f$ है। ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,$2f = mg$,इसलिए $f = mg/2$। अतः,घर्षण बल समान हैं।
प्रत्येक दीवार द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया कुल बल अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का सदिश योग है,जो $\vec{R} = \vec{N} + \vec{f}$ है। चूंकि $\vec{f}$ ऊर्ध्वाधर है और $\vec{N}$ क्षैतिज है,परिणामी बल $\vec{R}$ क्षैतिज नहीं है।
विकल्प $(B)$ कहता है कि वह दीवारों पर केवल क्षैतिज बल लगाता है। हालांकि,संतुलन बनाए रखने के लिए,व्यक्ति को दीवारों पर नीचे की ओर घर्षण बल भी लगाना होगा ताकि दीवारों द्वारा उस पर ऊपर की ओर लगाए गए घर्षण बल को संतुलित किया जा सके। इसलिए,वह दीवारों पर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों बल लगाता है। अतः,$(B)$ गलत है।

(D) मान लीजिए $T$ रस्सी में तनाव है। बल $T$ आदमी और ब्लॉक दोनों पर कार्य करता है।
चूंकि ब्लॉक आदमी से भारी है $(M_{block} > M_{man})$ और घर्षण गुणांक $\mu$ दोनों के लिए समान है,इसलिए ब्लॉक के लिए सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu N = \mu Mg$ आदमी की तुलना में अधिक है $(f_{L, block} > f_{L, man})$।
प्रत्येक पिंड तब गति करना शुरू करेगा जब तनाव $T$ उसके संबंधित सीमांत घर्षण से अधिक हो जाएगा।
$1$. जब $T$,$f_{L, man}$ से अधिक हो जाता है लेकिन $f_{L, block}$ से कम होता है,तो आदमी चलना शुरू कर देगा,लेकिन ब्लॉक स्थिर रहेगा। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$2$. चूंकि ब्लॉक को हिलाने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है,यह तब तक नहीं हिलेगा जब तक आदमी पर्याप्त बल न लगाए,जिसका अर्थ है कि आदमी को गति की स्थिति में होना चाहिए या ब्लॉक के घर्षण को दूर करने वाला बल लगाना चाहिए। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$3$. यदि दोनों गति करते हैं,तो आदमी पर शुद्ध बल $F_{net, man} = T - f_{k, man}$ और ब्लॉक पर $F_{net, block} = T - f_{k, block}$ है। चूंकि $f_{k, block} > f_{k, man}$,आदमी पर शुद्ध बल अधिक है। $M_{man} < M_{block}$ होने के कारण,त्वरण $a = F_{net}/M$ आदमी के लिए काफी अधिक होगा। अतः,विकल्प $C$ सही है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) मान लीजिए कि ट्रॉली दाईं ओर $a_0$ त्वरण के साथ चलती है। ट्रॉली के फ्रेम में,ब्लॉक $m$ पर बाईं ओर एक छद्म बल $ma_0$ कार्य करता है।
ब्लॉक $m$ के लिए,डोरी में तनाव $T = mg$ है (क्योंकि यह लटका हुआ है)।
ब्लॉक $M$ के लिए,बल दाईं ओर तनाव $T$ और सतह से घर्षण $f$ हैं। छद्म बल $Ma_0$ बाईं ओर कार्य करता है। $M$ पर शुद्ध बल $f_{net} = T - Ma_0 = mg - Ma_0$ है।
जब $a_0 = g(m/M) = \beta$ होता है,तो घर्षण बल $f = 0$ हो जाता है।
चूंकि घर्षण बल $f = |mg - Ma_0|$ है,यह $a_0 = \beta$ के सापेक्ष सममित है। इसलिए,$a_0 = \beta \pm \alpha$ के लिए,घर्षण का परिमाण समान है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण $a_0$ की सीमा पर पहुँचता है जहाँ ब्लॉक फिसलता नहीं है। ये सीमाएँ $a_1$ और $a_2$ भी $\beta$ के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए $a_1 + a_2 = 2\beta$ है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) ट्रॉली के फ्रेम पर विचार करें। ब्लॉक $m$ बाईं ओर $ma_0$ का छद्म बल (pseudo force) अनुभव करता है। डोरी में तनाव $T$ भार $mg$ और घर्षण बलों को संतुलित करता है।
जब $a_0$ छोटा होता है,तो छद्म बल $m$ को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध थामे रखने के लिए अपर्याप्त होता है,इसलिए यह नीचे की ओर खिसकने की प्रवृत्ति रखता है। $a_{min}$ वह सीमा है जहाँ घर्षण इसे रोकने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है।
जब $a_0$ बड़ा होता है,तो छद्म बल ऊर्ध्वाधर सतह पर अभिलंब बल (normal force) को बढ़ाता है,जिससे घर्षण बढ़ जाता है। यदि $a_0$ $a_{max}$ से अधिक हो जाता है,तो ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल गुरुत्वाकर्षण का सामना करने के लिए पर्याप्त नहीं रहता है,या सिस्टम की गतिशीलता इस प्रकार बदल जाती है कि $m$ सतह के सापेक्ष ऊपर की ओर गति करता है।
$a_{min} \leq a_0 \leq a_{max}$ की सीमा में,स्थैतिक घर्षण बल ब्लॉक $m$ को ट्रॉली के सापेक्ष संतुलन में रखने के लिए पर्याप्त होता है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) ट्रॉली के फ्रेम में,ब्लॉक $m$ पर ऋणात्मक $x$-दिशा में छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma_0$ और ब्लॉक $M$ पर ऋणात्मक $x$-दिशा में $F_p = Ma_0$ कार्य करता है।
ब्लॉक $m$ के लिए: बलों में ऊपर की ओर तनाव $T$,नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ और क्षैतिज रूप से छद्म बल $ma_0$ शामिल हैं। चूंकि यह केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में गति करने के लिए बाध्य है,ऊर्ध्वाधर समीकरण $T - mg = ma_y$ है। यदि $a_y = 0$ है,तो $T = mg$ होता है।
ब्लॉक $M$ के लिए: बलों में क्षैतिज रूप से तनाव $T$,क्षैतिज रूप से घर्षण $f$ और ऊर्ध्वाधर रूप से अभिलंब बल $N = Mg$ शामिल हैं। छद्म बल $Ma_0$ ऋणात्मक $x$-दिशा में कार्य करता है। गति का समीकरण $T - f - Ma_0 = Ma_x$ है। यदि $a_x = 0$ है,तो $T = f + Ma_0$ होता है।
$1$. यदि $a_0$ ऐसा है कि छद्म बल $Ma_0$ तनाव $T$ को संतुलित करता है,तो $T$ शून्य हो सकता है।
$2$. यदि $a_0 = 0$ है,तो यदि निकाय संतुलन में है तो $T = mg$ संभव है।
$3$. चूंकि $f \leq \mu Mg$,यदि $T < mg$ है,तो तनाव को घर्षण और छद्म बल को दूर करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए,जो $T > \mu Mg$ को गति या संतुलन के लिए एक आवश्यक शर्त बनाता है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) लंबवत लटके हुए ब्लॉक $m$ के लिए,कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ और ऊपर की ओर तनाव $T$ हैं। यदि निकाय संतुलन में है,तो $T = mg$ होगा।
क्षैतिज सतह पर ब्लॉक $M$ के लिए,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu Mg$ है।
स्थिति $1$: यदि $m < \mu M$ है,तो खींचने वाला बल $mg$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max}$ से कम है। अतः,निकाय स्थिर रहता है। चूंकि ब्लॉक $M$ संतुलन में है,तनाव $T$ को लागू बल $mg$ को संतुलित करना चाहिए,इसलिए $T = mg$ है।
स्थिति $2$: यदि $m > \mu M$ है,तो खींचने वाला बल $mg$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ से अधिक है। निकाय त्वरित होगा। गति के समीकरण हैं: $mg - T = ma$ और $T - \mu Mg = Ma$। इन्हें जोड़ने पर,$mg - \mu Mg = (M + m)a$,इसलिए $a = \frac{(m - \mu M)g}{M + m}$। पहले समीकरण में $a$ का मान रखने पर,$T = m(g - a) = m(g - \frac{(m - \mu M)g}{M + m}) = \frac{mM(1 + \mu)g}{M + m}$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $T = mg - ma < mg$। साथ ही,चूंकि $T = \mu Mg + Ma$ और $a > 0$,इसलिए $T > \mu Mg$। अतः,$\mu Mg < T < mg$।

(D) जब लिफ्ट $a_0$ त्वरण के साथ नीचे की ओर जाती है,तो लिफ्ट के फ्रेम में दोनों ब्लॉकों पर ऊपर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $ma_0$ कार्य करता है।
ब्लॉक $M$ के लिए: अभिलंब बल $N = M(g - a_0)$ द्वारा दिया जाता है। सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu N = \mu M(g - a_0)$ है। चूंकि $(g - a_0) < g$,सीमांत घर्षण बल कम हो जाता है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
ब्लॉक $m$ के लिए: प्रभावी भार $m(g - a_0)$ है। डोरी में तनाव $T$ कम हो जाता है क्योंकि प्रभावी गुरुत्वाकर्षण खिंचाव कम हो जाता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
सिस्टम के त्वरित होने के लिए,प्रेरक बल को सीमांत घर्षण से अधिक होना चाहिए। प्रेरक बल $m$ का प्रभावी भार है,जो $m(g - a_0)$ है। सीमांत घर्षण $\mu M(g - a_0)$ है। सिस्टम तब त्वरित होगा यदि $m(g - a_0) > \mu M(g - a_0)$,जो सरल होकर $m > \mu M$ हो जाता है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) जब लिफ्ट $a = g$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो लिफ्ट के अंदर प्रभावी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g_{eff} = g - a = g - g = 0$ हो जाता है।
प्रभावी गुरुत्वाकर्षण शून्य होने के कारण,ब्लॉक $M$ पर अभिलंब बल $N = M \times g_{eff} = 0$ हो जाता है।
परिणामस्वरूप,सीमांत घर्षण $f_{max} = \mu N$ भी शून्य हो जाता है।
चूंकि ब्लॉक $m$ पर कोई प्रभावी भार कार्य नहीं कर रहा है $(m \times g_{eff} = 0)$,इसलिए डोरी को खींचने के लिए कोई बल नहीं होता है।
अतः,डोरी में तनाव $T$ शून्य हो जाता है।
प्रभावी भार और तनाव शून्य होने के कारण,ब्लॉक लिफ्ट के सापेक्ष कोई नेट बल अनुभव नहीं करते हैं,इसलिए वे लिफ्ट के सापेक्ष स्थिर रहते हैं।
साथ ही,जमीन के सापेक्ष दोनों ब्लॉक मुक्त रूप से गिर रहे हैं और $g$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित हो रहे हैं।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) $1$. मान लीजिए कि निकाय में $M$,$m_0$ और $m$ ब्लॉक शामिल हैं। चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए तीनों ब्लॉक समान त्वरण $a$ के साथ गति करते हैं।
$2$. निकाय के लिए प्रेरक बल $m$ ब्लॉक का भार है,जो $mg$ है।
$3$. निकाय का कुल द्रव्यमान $M + m_0 + m$ है।
$4$. पूरे निकाय पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $mg = (M + m_0 + m)a$,जिससे $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$5$. चूंकि $M$ और $m_0$ के बीच कोई घर्षण नहीं है,और $m_0$ पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$6$. $m$ ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण $mg - T = ma$ है। $a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = mg - m(\frac{mg}{M + m_0 + m}) = mg(1 - \frac{m}{M + m_0 + m}) = mg(\frac{M + m_0}{M + m_0 + m})$ प्राप्त होता है।
$7$. चूंकि $\frac{M + m_0}{M + m_0 + m} < 1$,इसलिए $T < mg$ होता है। साथ ही,चूंकि $T = (M + m_0)a$ है,और $a > 0$,इसलिए $T > 0$ होता है। ऐसे निकायों में $Mg < T < mg$ की शर्त सामान्यतः संतुष्ट होती है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$8$. चूंकि $A$,$B$ और $C$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) निकाय के स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को ब्लॉक $m$ के भार को संतुलित करना चाहिए। अतः,$T = mg$।
ब्लॉक $M$ (जिसके ऊपर $m_0$ है) के स्थिर रहने के लिए,तनाव $T$ को ब्लॉक $m$ पर ऊर्ध्वाधर दीवार के विरुद्ध लगने वाले घर्षण बल $f$ द्वारा संतुलित होना चाहिए।
चित्र को देखते हुए,ब्लॉक $m$ एक खुरदरी ऊर्ध्वाधर दीवार के विरुद्ध लटका हुआ है। दीवार द्वारा ब्लॉक $m$ पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ तनाव $T$ के बराबर होता है। संतुलन के लिए,$mg = \mu N$। यहाँ $N = M + m_0$ लेने पर,हमें $\mu = \frac{m}{M + m_0}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि निकाय $(M_0 + M + m)$ का क्षैतिज दिशा में त्वरण $a$ है। बल $F = (M_0 + M + m)a$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक $M$ को $M_0$ के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को $M$ पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) को संतुलित करना चाहिए। अतः,$T = Ma$ है।
ब्लॉक $m$ को $M_0$ के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित होना चाहिए। $m$ पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण $mg$ नीचे की ओर,घर्षण $f = \mu N$ ऊपर की ओर,और छद्म बल $ma$ के कारण $M_0$ की ऊर्ध्वाधर सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$। अतः,$N = ma$ और $f = \mu ma$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए,$f = mg$,जिसका अर्थ है $\mu ma = mg$,इसलिए $a = \frac{g}{\mu}$ है।
$a = \frac{g}{\mu}$ को $F = (M_0 + M + m)a$ में रखने पर,हमें $F = (M_0 + M + m) \frac{g}{\mu}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक खिंचाव $x_0$ है। घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_f$ यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_f - E_i$ के बराबर होना चाहिए।
यदि घर्षण गुणांक $\mu$ अधिक है,तो घर्षण द्वारा किया गया कार्य बड़ा होता है,और ब्लॉक माध्य स्थिति $(x=0)$ तक पहुँचने से पहले रुक सकता है।
यदि $\mu$ कम है,तो ब्लॉक माध्य स्थिति को पार कर जाएगा और दूसरी तरफ कुछ संपीड़न $x < 0$ पर रुक सकता है।
चूंकि $\mu$ के मान के आधार पर दोनों स्थितियाँ संभव हैं,इसलिए ब्लॉक माध्य स्थिति से पहले या कुछ संपीड़न के साथ रुक सकता है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) व्यक्ति के साथ ट्रॉली $A$ का कुल द्रव्यमान $M_A = 140\, kg + 40\, kg = 180\, kg$ है।
ट्रॉली $B$ का द्रव्यमान $M_B = 60\, kg$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $M_A v_A + M_B v_B = 0$,जिसका अर्थ है $M_A v_A = -M_B v_B$.
परिमाण लेने पर,$180 \times v_A = 60 \times v_B$,जिससे $v_B = 3 v_A$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतःक्रिया के तुरंत बाद ट्रॉली $B$ की गति ट्रॉली $A$ की गति से $3$ गुना है।
मान लीजिए कि घर्षण गुणांक $\mu$ दोनों के लिए समान है,तो मंदन $a = \mu g$ दोनों के लिए समान होगा।
समीकरण $v^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,दूरी $s = v^2 / (2a)$.
चूंकि $v_B = 3 v_A$,इसलिए दूरी $s_B = (3 v_A)^2 / (2a) = 9 (v_A^2 / 2a) = 9 s_A$.
इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) मान लीजिए कि गेंदों $A$ और $B$ की प्रारंभिक स्थिति क्रमशः $(0, 0)$ और $(L, 0)$ है। $t = 0$ पर,गेंद $A$ को $x$-अक्ष के अनुदिश $v$ वेग दिया जाता है,इसलिए समय $t$ पर इसकी स्थिति $(vt, 0)$ है। गेंद $B$ को $y$-अक्ष के अनुदिश $v$ वेग दिया जाता है,इसलिए समय $t$ पर इसकी स्थिति $(L, vt)$ है।
समय $t$ पर गेंदों के बीच की दूरी $d$ को $d^2 = (L - vt)^2 + (vt - 0)^2 = L^2 - 2Lvt + v^2t^2 + v^2t^2 = L^2 - 2Lvt + 2v^2t^2$ द्वारा दिया जाता है।
धागा तब तना हुआ होता है जब गेंदों के बीच की दूरी धागे की लंबाई के बराबर होती है,अर्थात $d = L$।
अतः,$L^2 = L^2 - 2Lvt + 2v^2t^2$।
$2v^2t^2 - 2Lvt = 0$।
$2vt(vt - L) = 0$।
इससे $t = 0$ या $t = L/v$ प्राप्त होता है।
$t = L/v$ पर,गेंदों के बीच की दूरी फिर से $L$ हो जाती है,और $t > L/v$ के लिए,दूरी $d$ का मान $L$ से अधिक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि धागा तना हुआ रहता है।

(B) मान लीजिए कि भार $mg$ (द्रव्यमान केंद्र पर कार्यरत) और अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (आधार पर कार्यरत) की क्रिया रेखाओं के बीच की दूरी $x$ है।
घन के कोने के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,बलाघूर्ण (torque) का योग शून्य होना चाहिए।
निचले किनारे के परितः लगाए गए बल $F$ के कारण बलाघूर्ण $F \times a$ है।
निचले किनारे के परितः भार $mg$ के कारण बलाघूर्ण $mg \times (a/2)$ है।
निचले किनारे के परितः अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ के कारण बलाघूर्ण $N \times (a/2 - x)$ है।
निचले किनारे के परितः बलाघूर्ण लेने पर:
$N(a/2 - x) + F(a) = mg(a/2)$
चूंकि $N = mg$ और $F = mg/3$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$mg(a/2 - x) + (mg/3)a = mg(a/2)$
$mg$ से विभाजित करने पर:
$(a/2 - x) + a/3 = a/2$
$-x + a/3 = 0$
$x = a/3$.

(B) मान लीजिए कि आदमी का द्रव्यमान $m$ है और तख्ते का द्रव्यमान $M$ है। आधार $x = 1 \ m$ और $x = 5 \ m$ पर हैं (क्योंकि $1+4=5$)।
मान लीजिए आधार $A$ पर सामान्य प्रतिक्रिया $N_A$ है और आधार $B$ पर सामान्य प्रतिक्रिया $N_B$ है।
आधार $B$ (जो $x = 5 \ m$ पर है) के परितः टॉर्क लेने पर:
$N_A \times 4 = mg(5 - x) + Mg(3 - 1) = mg(5 - x) + 2Mg$.
अतः,$N_A = \frac{mg}{4}(5 - x) + \frac{Mg}{2}$.
यह $N_A = -mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
जैसे-जैसे आदमी $x = 0$ से $x = 1$ तक चलता है,$N_A$ रैखिक रूप से घटता है।
$x = 1$ और $x = 5$ के बीच,आदमी आधारों के बीच में है,और यह समीकरण लागू होता है।
$x = 5$ से आगे,तख्ता झुक जाएगा,इसलिए गति आधारों के बीच के क्षेत्र तक ही सीमित है।
ग्राफ $B$ एक रैखिक गिरावट दिखाता है,जो प्राप्त संबंध से मेल खाता है।

(A) घन के एक किनारे के परितः पलटने के लिए,लगाए गए बल $F$ के कारण उस किनारे के परितः आघूर्ण (torque),भार $Mg$ के कारण उसी किनारे के परितः आघूर्ण से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
आधार के किनारे के परितः आघूर्ण लेने पर:
$F \times \frac{3b}{4} = Mg \times \frac{b}{2}$
$F = \frac{2}{3} Mg$
घन के फिसलने से बचने के लिए,लगाया गया बल $F$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu Mg$ से कम होना चाहिए।
अतः,$F < \mu Mg$
पलटने की स्थिति से $F$ का मान रखने पर:
$\frac{2}{3} Mg < \mu Mg$
$\mu > \frac{2}{3}$
इस प्रकार,घन के फिसलने से पहले पलटने के लिए घर्षण गुणांक $2/3$ से अधिक होना चाहिए।

(B) माना बेलन का द्रव्यमान $m$,व्यास $d = 4\, cm$ (त्रिज्या $r = 2\, cm$) और ऊँचाई $h = 10\, cm$ है।
$1$. फिसलने के लिए शर्त:
बेलन के फिसलने से पहले अधिकतम त्वरण $a_{max}$ का मान $f_{max} = \mu N = m a_{max}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $N = mg$,इसलिए $m a_{max} = \mu mg$,जिससे $a_{max} = \mu g = 0.5 \times 10 = 5\, m/s^2$ प्राप्त होता है।
$2$. पलटने के लिए शर्त:
पलटने के लिए,किनारे $A$ के परितः छद्म बल (pseudo-force) $ma$ के कारण आघूर्ण (torque),उसी किनारे $A$ के परितः भार $mg$ के कारण आघूर्ण से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
छद्म बल $ma$ द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो आधार से $h/2 = 5\, cm$ की ऊँचाई पर है। भार $mg$ किनारे $A$ से $r = 2\, cm$ की क्षैतिज दूरी पर कार्य करता है।
किनारे $A$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$(ma) \times (h/2) \geq (mg) \times r$
$a \times (5\, cm) \geq g \times (2\, cm)$
$a \geq g \times (2/5) = 10 \times 0.4 = 4\, m/s^2$.
चूँकि पलटने के लिए आवश्यक त्वरण $(4\, m/s^2)$ फिसलने के लिए आवश्यक त्वरण $(5\, m/s^2)$ से कम है,इसलिए बेलन $a = 4\, m/s^2$ पर पलट जाएगा।

(B) स्थिति $(a)$ में,गोला इस प्रकार घूमता है कि वह ऊर्ध्वाधर दीवार और जमीन पर दबाव डालता है। मान लीजिए $N_1$ ऊर्ध्वाधर दीवार से अभिलंब बल है और $N_2$ जमीन से अभिलंब बल है। घर्षण बल $f_1 = \mu N_1$ (ऊपर की ओर) और $f_2 = \mu N_2$ (बाईं ओर) हैं।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन: $N_2 + \mu N_1 = mg$ ... $(i)$
क्षैतिज दिशा में संतुलन: $N_1 = \mu N_2$ ... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $N_2 + \mu(\mu N_2) = mg \implies N_2(1 + \mu^2) = mg \implies N_2 = \frac{mg}{1 + \mu^2}$।
जमीन द्वारा लगाया गया घर्षण बल $f_a = \mu N_2 = \frac{\mu mg}{1 + \mu^2}$ है।
$\mu = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए $f_a = \frac{(1/3)mg}{1 + (1/9)} = \frac{(1/3)mg}{10/9} = \frac{3}{10}mg$।
स्थिति $(b)$ में,गोला विपरीत दिशा में घूमता है। यह ऊर्ध्वाधर दीवार से दूर जाने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए अभिलंब बल $N_1 = 0$ हो जाता है।
अतः,$N_2 = mg$। जमीन द्वारा लगाया गया घर्षण बल $f_b = \mu N_2 = \frac{1}{3}mg$ है।
अनुपात $\frac{f_a}{f_b} = \frac{(3/10)mg}{(1/3)mg} = \frac{9}{10}$ है।

(B) मान लीजिए बेलन का द्रव्यमान $m$,त्रिज्या $R$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ है। बेलन और तख्ते के बीच घर्षण बल $f$ है।
बेलन के लिए,संपर्क बिंदु पर घर्षण बल $f$ आगे की दिशा में कार्य करता है,जिससे यह त्वरित होता है और घूमता है। द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a = f/m$ है और कोणीय त्वरण $\alpha = (fR)/I$ है।
तख्ते पर शुद्ध लोटनिक गति के लिए,बेलन के संपर्क बिंदु का त्वरण तख्ते के त्वरण के बराबर होना चाहिए। बेलन के संपर्क बिंदु का त्वरण $a_p = a + R\alpha = f/m + (fR^2)/I$ है।
तख्ते को बल $F$ द्वारा खींचा जाता है और यह बेलन से पीछे की ओर घर्षण बल $f$ का अनुभव करता है। इसका त्वरण $a_{plank} = (F - f)/M_{plank}$ है।
चूंकि तख्ते को आगे खींचा जा रहा है,बेलन तख्ते के सापेक्ष पीछे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है। इस सापेक्ष गति का विरोध करने के लिए,घर्षण बल $f$ बेलन पर आगे की दिशा में (और तख्ते पर पीछे की दिशा में) कार्य करता है। अतः,बेलन पर घर्षण की सही दिशा आगे की ओर है।

(A) जब स्पूल के द्रव्यमान केंद्र से $r$ दूरी नीचे की ओर एक क्षैतिज बल $F$ लगाया जाता है (जहाँ $r < R$,$R$ बाहरी बेलन की त्रिज्या है),तो यह द्रव्यमान केंद्र के परितः वामावर्त (anticlockwise) दिशा में एक टॉर्क $\tau = F \cdot r$ उत्पन्न करता है।
यह टॉर्क स्पूल को वामावर्त दिशा में घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
इस घूर्णन के कारण,सतह के साथ स्पूल का संपर्क बिंदु सतह के सापेक्ष दाईं ओर गति करने की प्रवृत्ति रखता है।
इस सापेक्ष गति का विरोध करने के लिए,सतह विपरीत दिशा में,यानी बाईं ओर,एक घर्षण बल $f$ लगाती है।
इसलिए,सही आरेख वह है जो घर्षण बल को बाईं ओर कार्य करते हुए दिखाता है।