Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Gujarati

(D) $1$. તંત્ર લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. તેથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર છે,તેથી કુલ વેગમાન $0$ છે. આમ,$Mv_M + mv_m = 0$,જે દર્શાવે છે કે $Mv_M = -mv_m$. આ સાબિત કરે છે કે બ્લોક્સ તેમના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઝડપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે $(v \propto 1/m)$. વિધાન $(a)$ સાચું છે.
$3$. ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_M}{v_m} = \frac{m}{M}$ છે,જે દળનો અચળ ગુણોત્તર છે,તેથી વિધાન $(b)$ પણ સાચું છે.
$4$. સ્પ્રિંગ બળ એ આંતરિક સંરક્ષી બળ છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય કાર્ય થતું ન હોવાથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિ ઉર્જા + સ્થિતિ ઉર્જા) સંરક્ષિત રહે છે. વિધાન $(c)$ સાચું છે.
$5$. તેથી,બધા વિધાનો $(a), (b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(B) વાઘને રોકવા માટે,છોડવામાં આવેલી ગોળીઓનું કુલ વેગમાન વાઘના વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $M$ એ વાઘનું દળ છે,$V$ એ વાઘનો વેગ છે,$m$ એ એક ગોળીનું દળ છે,$v$ એ એક ગોળીનો વેગ છે અને $n$ એ ગોળીઓની સંખ્યા છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$MV = n \times m \times v$
આપેલ છે:
$M = 60 \ kg$
$V = 12 \ m/s$
$m = 50 \ g = 0.05 \ kg$
$v = 240 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$60 \times 12 = n \times 0.05 \times 240$
$720 = n \times 12$
$n = \frac{720}{12} = 60$
તેથી,વ્યક્તિએ $60$ ગોળીઓ છોડવી પડશે.

(A) $1$. જમીન સાથે અથડાતા પહેલાનો વેગ $(v_1)$: $v^2 = u^2 + 2gh$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$h = 20 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$. $v_1 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$ (નીચેની તરફ,તેથી $v_1 = -20 \ m/s$).
$2$. ઉછળ્યા પછીનો વેગ $(v_2)$: $v^2 = u^2 - 2gh$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \ m$ પર $v = 0$. $0 = u^2 - 2 \times 10 \times 5 \implies u^2 = 100 \implies u = 10 \ m/s$ (ઉપરની તરફ,તેથી $v_2 = +10 \ m/s$).
$3$. વેગમાં ફેરફાર $(\Delta v)$: $\Delta v = v_2 - v_1 = 10 - (-20) = 30 \ m/s$.
$4$. સરેરાશ પ્રવેગ $(a_{avg})$: $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{30 \ m/s}{1 \ s} = 30 \ m/s^2$.

(B) ધારો કે વાહનનું દળ $m$ છે,તેની ઝડપ $v$ છે અને રસ્તાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે.
$1$. સમક્ષિતિજ રસ્તા માટે,લંબબળ $N_h = mg$ થાય છે.
$2$. અંતર્ગોળ રસ્તા માટે,વક્રતાનું કેન્દ્ર રસ્તાની ઉપર હોય છે. લાગતા બળો $N_c$ (ઉપરની તરફ) અને $mg$ (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ $N_c - mg = \frac{mv^2}{R}$ છે,તેથી $N_c = mg + \frac{mv^2}{R}$ મળે.
$3$. બહિર્ગોળ રસ્તા માટે,વક્રતાનું કેન્દ્ર રસ્તાની નીચે હોય છે. લાગતા બળો $mg$ (નીચેની તરફ) અને $N_v$ (ઉપરની તરફ) છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ $mg - N_v = \frac{mv^2}{R}$ છે,તેથી $N_v = mg - \frac{mv^2}{R}$ મળે.
આ ત્રણેયની સરખામણી કરતા,$N_c > N_h > N_v$ મળે છે. તેથી,અંતર્ગોળ રસ્તા પર લંબબળ મહત્તમ હોય છે.

(A) જ્યારે ડ્રાઈવર બ્રેક લગાવે છે,ત્યારે કાર $F$ જેટલા પ્રતિપ્રવેગી બળની અસર હેઠળ સ્થિર થાય તે પહેલાં $x$ અંતર કાપે છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ: $\frac{1}{2} m v^{2} = F x$,જે આપે છે $x = \frac{m v^{2}}{2 F}$.
જ્યારે ડ્રાઈવર વળાંક લે છે,ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ઘર્ષણ બળ $F$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. તેથી,$\frac{m v^{2}}{r} = F$,જે વળાંકની ત્રિજ્યા $r = \frac{m v^{2}}{F}$ આપે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x = \frac{r}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે સમાન પ્રતિપ્રવેગી (ઘર્ષણ) બળનો ઉપયોગ કરીને,કારને વળાંક લેવા માટે જરૂરી ત્રિજ્યા કરતા બ્રેક લગાવીને ઓછા અંતરમાં સ્થિર કરી શકાય છે. તેથી,બ્રેક મારવી વધુ અસરકારક છે.

(C) પરિણામી બળ શોધવા માટે,આપણે સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
આપેલ છે: $F_1 = 1 \ N$,$F_2 = 1 \ N$,અને $\theta = 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{\text{net}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$
$F_{\text{net}} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$:
$a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ m/s^2$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$a = \frac{1.732}{2} = 0.866 \ m/s^2$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\sqrt{0.75} \approx 0.866$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $\sqrt{0.75}$ છે.

(D) દળ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_{net} = \sqrt{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} \cos \theta}$.
અહીં $F_{1} = 1 \,N$, $F_{2} = 1 \,N$, અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે।
$F_{net} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$, તેથી $F_{net} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$, તેથી પ્રવેગ $a = F_{net} / m$.
અહીં દળ $m = 2 \sqrt{3} \,kg$ આપેલ છે।
$a = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 0.5 \,m / s^{2}$.

(B) ધારો કે વાહનનું પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u$ અને અંતિમ વેગ $v = 0$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u^2 - 2ad$,જે પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{u^2}{2d}$ આપે છે.
જો પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોય,તો પ્રતિરોધક બળ $F = m_1 a = m \left(\frac{u^2}{2d}\right)$ થાય.
બીજા કિસ્સામાં,દળ $m_2 = m + 0.4m = 1.4m$ થાય છે. પ્રતિપ્રવેગ $a$ સમાન રહે છે.
નવું અટકવાનું અંતર $d'$ એ $d' = \frac{u^2}{2a}$ દ્વારા મળે છે.
$a = \frac{u^2}{2d}$ મૂકતા,આપણને $d' = \frac{u^2}{2(u^2/2d)} = d$ મળે છે.
જો કે,જો પ્રતિરોધક બળ $F$ અચળ હોય (જેમ કે બ્રેકિંગ ફોર્સના સંદર્ભમાં),તો $F = m_1 a_1 = m_2 a_2$. $F$ અચળ હોવાથી,$a_2 = \frac{F}{m_2} = \frac{ma}{1.4m} = \frac{a}{1.4}$ થાય.
તેથી $d' = \frac{u^2}{2a_2} = \frac{u^2}{2(a/1.4)} = 1.4 \left(\frac{u^2}{2a}\right) = 1.4d$.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $\ell$ છે. ધારો કે સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે.
જ્યારે દળને કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગના તણાવ $F = k \cdot e_1$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જ્યાં $e_1 = 1 \ cm$ એ લંબાઈમાં વધારો છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1 = \ell + e_1$ છે.
તેથી,$m(\ell + e_1)\omega^2 = k e_1$ --- $(1)$
જ્યારે કોણીય વેગ બમણો $(2\omega)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈમાં વધારો $e_2 = 6 \ cm$ થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_2 = \ell + e_2$ છે.
તેથી,$m(\ell + e_2)(2\omega)^2 = k e_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{m(\ell + e_1)\omega^2}{m(\ell + e_2)4\omega^2} = \frac{k e_1}{k e_2}$
$\frac{\ell + 1}{4(\ell + 6)} = \frac{1}{6}$
$6(\ell + 1) = 4(\ell + 6)$
$6\ell + 6 = 4\ell + 24$
$2\ell = 18$
$\ell = 9 \ cm$.

(A) કિસ્સો $(1)$: જો કાગળ અને દડા વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ ન હોય,તો કાગળ દડા પર કોઈ આડું બળ લગાડતું નથી. સ્થિરતાના જડત્વને કારણે,દડો ટેબલ પર તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં જ રહે છે.
કિસ્સો $(2)$: જો કાગળ અને દડા વચ્ચે ઘર્ષણ હોય,તો કાગળ દડા પર કાગળની ગતિની દિશામાં (જમણી તરફ) ગતિજ ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. આ બળ સંપર્ક બિંદુ પર કાર્ય કરે છે. આ દડાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે તે એવી રીતે ફરે છે કે તેની નીચેની સપાટી ટેબલની સાપેક્ષમાં ડાબી તરફ જાય છે. પરિણામે,દડો પાછળની તરફ (ડાબી તરફ) ગબડવાનું શરૂ કરે છે,જ્યારે ઘર્ષણ બળ ટેબલની સાપેક્ષમાં ડાબી તરફ ચોખ્ખો પ્રવેગ પણ પૂરો પાડે છે.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(2)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે $M = 0.2 \ kg$ એ તકતીનું દળ છે અને $m = 0.05 \ kg$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે.
ધારો કે $v$ એ દરેક ગોળીની ઝડપ છે.
ગોળીઓ સમાન ઝડપ સાથે પાછી ફેંકાતી હોવાથી,દરેક ગોળીના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v) - m(-v) = 2mv$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફારનો દર (ગોળીઓ દ્વારા તકતી પર લાગતું બળ) $F = n \times \Delta p$ છે,જ્યાં $n = 10 \ s^{-1}$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ગોળીઓની સંખ્યા છે.
તેથી,$F = 10 \times 2mv = 20mv$.
તકતીને તરતી રાખવા માટે,આ બળ તકતીના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F = Mg$.
$20mv = Mg \implies 20 \times 0.05 \times v = 0.2 \times 10$.
$1 \times v = 2$.
$v = 2 \ m \ s^{-1}$.

(A) પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\Sigma F_x = 0$ અને $\Sigma F_y = 0$.
બળોને $x$ અને $y$ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$F_{1x} = F_1 \cos 30^{\circ} = F_1 \frac{\sqrt{3}}{2}$,$F_{1y} = F_1 \sin 30^{\circ} = F_1 \frac{1}{2}$
$F_{2x} = -F_2 \cos 60^{\circ} = -F_2 \frac{1}{2}$,$F_{2y} = F_2 \sin 60^{\circ} = F_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$
$F_{3x} = F_3 \sin 45^{\circ} = F_3 \frac{1}{\sqrt{2}}$,$F_{3y} = -F_3 \cos 45^{\circ} = -F_3 \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Sigma F_x = 0$ માટે:
$F_1 \frac{\sqrt{3}}{2} - F_2 \frac{1}{2} + F_3 \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \sqrt{3} F_1 - F_2 + \sqrt{2} F_3 = 0$ ... $(i)$
$\Sigma F_y = 0$ માટે:
$F_1 \frac{1}{2} + F_2 \frac{\sqrt{3}}{2} - F_3 \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow F_1 + \sqrt{3} F_2 - \sqrt{2} F_3 = 0$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(\sqrt{3}+1) F_1 + (\sqrt{3}-1) F_2 = 0 \Rightarrow F_2 = -F_1 \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = -F_1 \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = -F_1 \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = -F_1(2+\sqrt{3})$
$F_2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3} F_1 - [-F_1(2+\sqrt{3})] + \sqrt{2} F_3 = 0$
$\sqrt{3} F_1 + 2 F_1 + \sqrt{3} F_1 + \sqrt{2} F_3 = 0$
$\sqrt{2} F_3 = -F_1(2+2\sqrt{3}) \Rightarrow F_3 = -F_1 \frac{2(1+\sqrt{3})}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} F_1(1+\sqrt{3}) = -F_1(\sqrt{2}+\sqrt{6})$
નોંધ: વિકલ્પ $C$ એ $F_3 = -F_1(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ છે,જે $F_3 = \frac{-4 F_1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ ને સમાન છે.

(C) આકૃતિ $(a)$ માટે: બ્લોક $m_1$ લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે અને $m_2$ લટકે છે. ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$T = m_1 a_1$ ... $(i)$
$m_2 g - T = m_2 a_1$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા,આપણને $m_2 g = (m_1 + m_2) a_1$ મળે છે,તેથી $a_1 = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $a_1 = \frac{4 \times 10}{3 + 4} = \frac{40}{7} \ ms^{-2}$.
આકૃતિ $(b)$ માટે: આ એટવુડ મશીન છે. પ્રવેગ $a_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_2 = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
કિંમતો મૂકતા: $a_2 = \left( \frac{4 - 3}{3 + 4} \right) \times 10 = \frac{1}{7} \times 10 = \frac{10}{7} \ ms^{-2}$.
આમ,$a_1 = \frac{40}{7} \ ms^{-2}$ અને $a_2 = \frac{10}{7} \ ms^{-2}$ થાય.

(C) ઘર્ષણ એ ગતિનો વિરોધ કરતું બળ છે. ઘર્ષણ ઘટાડવાની પદ્ધતિઓમાં લ્યુબ્રિકન્ટ્સ (જેમ કે ગ્રીસ) નો ઉપયોગ,સરકતા ઘર્ષણને રોલિંગ ઘર્ષણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે બોલ બેરિંગનો ઉપયોગ અને સપાટીઓને અલગ કરવા માટે એર કુશનનો સમાવેશ થાય છે. પેઇન્ટ લગાવવો એ સુરક્ષા અથવા સૌંદર્ય માટેની સપાટીની સારવાર છે અને તે ગતિશીલ સપાટીઓ વચ્ચેના ઘર્ષણાંકને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડતું નથી.

(B) આપેલ છે કે,બ્લોક $B$ નું વજન $= w$.
બ્લોક $B$ અને ટેબલ વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક $= \mu$.
ધારો કે બ્લોક $A$ નું મહત્તમ વજન $w_A$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,ગાંઠ અને બ્લોક $B$ પર લાગતા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
ગાંઠના ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ પરથી,તણાવ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક બ્લોક $A$ ના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$w_A = T \sin \theta$ --- $(i)$
બ્લોક $B$ ના $FBD$ પરથી,તણાવ $T$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ $f$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$f = \mu N = \mu w = T \cos \theta$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{w_A}{\mu w} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta}$
$w_A = \mu w \tan \theta$
આમ,બ્લોક $A$ નું મહત્તમ વજન $\mu w \tan \theta$ છે.

(D) બ્લોક ઢળતા સમતલ $EC$ પર નીચે સરકે છે. બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\sin \theta = 0.6$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - (0.6)^2} = 0.8$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 10(0.6 - \frac{1}{8} \times 0.8) = 10(0.6 - 0.1) = 5 \text{ ms}^{-2}$.
ઢળતા સમતલની લંબાઈ $EC = \frac{EB}{\sin \theta} = \frac{25/6}{0.6} = \frac{25}{3.6} = \frac{125}{18} \text{ m}$.
બિંદુ $C$ પર વેગ $v = \sqrt{2as} = \sqrt{2 \times 5 \times \frac{125}{18}} = \sqrt{\frac{1250}{18}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3} \text{ ms}^{-1}$.
બિંદુ $C$ પર,બ્લોક પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે જેનો સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = v \cos \theta = \frac{25}{3} \times 0.8 = \frac{20}{3} \text{ ms}^{-1}$ અને શિરોલંબ વેગ $v_y = -v \sin \theta = -\frac{25}{3} \times 0.6 = -5 \text{ ms}^{-1}$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $h = v_y t + \frac{1}{2}gt^2$ (નીચેની દિશાને ધન લેતા): $10 = 5t + 5t^2 \Rightarrow t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t+2)(t-1) = 0$. આમ,$t = 1 \text{ s}$.
સમક્ષિતિજ અંતર $DF = v_x t = \frac{20}{3} \times 1 = \frac{20}{3} \text{ m}$.

(B) ઢળતા સમતલની સાપેક્ષમાં બ્લોકને સ્થિર રાખવા માટે,આપણે ઢળતા સમતલના ફ્રેમમાં બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. સ્યુડો-ફોર્સ $ma$ પાછળની દિશામાં આડું લાગે છે.
ઢળતા સમતલને સમાંતર અને લંબ બળોનું વિભાજન કરતા:
$1$. સમતલને લંબ: $N = mg \cos \alpha + ma \sin \alpha$
$2$. સમતલને સમાંતર (સીમાંત કિસ્સો): $mg \sin \alpha = ma \cos \alpha + f_s$,જ્યાં $f_s = \mu N$.
સમાંતર બળના સમીકરણમાં $f_s = \mu N$ મૂકતા:
$mg \sin \alpha = ma \cos \alpha + \mu(mg \cos \alpha + ma \sin \alpha)$
$\mu$ માટે ગોઠવતા:
$\mu = \frac{g \sin \alpha - a \cos \alpha}{g \cos \alpha + a \sin \alpha} = \frac{g \tan \alpha - a}{g + a \tan \alpha}$
આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{1}{5}$,$g = 10 \text{ ms}^{-2}$,અને $a = 2 \text{ ms}^{-2}$:
આપેલ ઉકેલ પદ્ધતિ મુજબ: $\mu = \frac{10 + 2(5)}{10(5) - 2} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}$.

(C) આપેલ છે: $m_A=6 \,kg, m_B=3 \,kg, m_C=6 \,kg, m_D=1 \,kg$ અને ઘર્ષણાંક $\mu=0.2$.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B + m_C + m_D = 6 + 3 + 6 + 1 = 16 \,kg$ છે.
ચાલક બળ બ્લોક $C$ નું વજન $(m_C g)$ છે, અને વિરોધક બળો બ્લોક $D$ નું વજન $(m_D g)$ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu(m_A + m_B)g$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{m_C g - m_D g - \mu(m_A + m_B)g}{m_A + m_B + m_C + m_D}$
$a = \frac{6 \times 10 - 1 \times 10 - 0.2(6 + 3) \times 10}{16} = \frac{60 - 10 - 18}{16} = \frac{32}{16} = 2 \,ms^{-2}$.
હવે, બ્લોક $D$ ની મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો. દોરી $Q$ માં તણાવ $T_Q$ ઉપરની તરફ લાગે છે, અને વજન $m_D g$ નીચેની તરફ લાગે છે. તંત્ર $C$ ની દિશામાં પ્રવેગિત થતું હોવાથી, બ્લોક $D$ પ્રવેગ $a$ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે:
$T_Q - m_D g = m_D a$
$T_Q = m_D(a + g) = 1 \times (2 + 10) = 12 \,N$.
આમ, દોરી $Q$ માં તણાવ $12 \,N$ છે.

(C) ધારો કે $N_1$ અને $N_2$ લંબ પ્રતિક્રિયા બળો છે,અને $f_1$ અને $f_2$ એ અનુક્રમે $m$ અને $2m$ દળના બ્લોક્સ પર લાગતા ગતિજ ઘર્ષણ બળો છે. ધારો કે પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
$m$ દળ માટે (ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરે છે): $N_1 = mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}$. ઘર્ષણ $f_1 = \mu_1 N_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{mg}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} mg}{3}$.
ગતિનું સમીકરણ: $T - mg \sin 45^{\circ} - f_1 = ma \implies T - \frac{mg}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2} mg}{3} = ma$.
$2m$ દળ માટે (ઢાળ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે): $N_2 = 2mg \cos 45^{\circ} = \sqrt{2} mg$. ઘર્ષણ $f_2 = \mu_2 N_2 = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{2} mg = \frac{\sqrt{2} mg}{3}$.
ગતિનું સમીકરણ: $2mg \sin 45^{\circ} - T - f_2 = 2ma \implies \sqrt{2} mg - T - \frac{\sqrt{2} mg}{3} = 2ma \implies \frac{2\sqrt{2} mg}{3} - T = 2ma$.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $T = \frac{2\sqrt{2} mg}{3}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે: $m_A = 5 \ kg$,$m_B = 10 \ kg$,$\mu = 0.2$,$F = 100 \ N$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos 30^{\circ} = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \approx 86.6 \ N$.
બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_y = F \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \ N$.
જમીન દ્વારા $A$ પર લાગતું લંબબળ $N_A = m_A g + F_y = 50 + 50 = 100 \ N$.
જમીન દ્વારા $A$ પર લાગતું ઘર્ષણબળ $f_A = \mu N_A = 0.2 \times 100 = 20 \ N$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું લંબબળ $N_{AB} = F_x = 86.6 \ N$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણબળ $f_{AB} = \mu N_{AB} = 0.2 \times 86.6 = 17.32 \ N$.
$A$ માટેનું સમીકરણ: $F_x - f_A - f_{AB} = m_A a \Rightarrow 86.6 - 20 - 17.32 = 5a \Rightarrow 49.28 = 5a \Rightarrow a = 9.856 \ m/s^2$.
$B$ માટેનું સમીકરણ: $f_{AB} - f_B = m_B a$,જ્યાં $f_B = \mu (m_B g) = 0.2 \times 100 = 20 \ N$.
$17.32 - 20 = 10a$. અહીં $f_{AB} < f_B$ હોવાથી,બ્લોક $B$ દીવાલની સાપેક્ષે ગતિ કરતું નથી. આમ,$B$ નો પ્રવેગ $0 \ m/s^2$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રશ્નમાં આપેલી માહિતીમાં વિસંગતતા છે. જો તંત્ર સાથે ગતિ કરતું હોય તો પ્રવેગ: $a = \frac{F_x - f_{total}}{m_A + m_B} = \frac{86.6 - (20 + 20)}{15} = \frac{46.6}{15} \approx 3.1 \ m/s^2$. આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનો જવાબ $2.6 \ m/s^2$ છે.

(A) ધારો કે દરેક વેજનું દળ $m = 0.6 \ kg$ છે. વેજનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
$M$ દળના સમઘન માટે,દરેક વેજ દ્વારા સમઘન પર લાગતું લંબબળ $N$ એ $2N \cos(45^{\circ}) = Mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $N = \frac{Mg}{2 \cos(45^{\circ})} = \frac{Mg}{\sqrt{2}}$.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમઘન વેજ પર આડા સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે લંબબળ $N$ લગાડે છે.
આ બળનો આડો ઘટક $N \cos(45^{\circ}) = \frac{Mg}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{Mg}{2}$ છે.
આ આડું બળ વેજને બહારની તરફ ધકેલવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
આ ગતિનો વિરોધ કરતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N_{total}$ છે,જ્યાં $N_{total}$ એ જમીન પરનું કુલ લંબબળ છે.
વેજ પર લાગતા ઉર્ધ્વ બળો તેના વજન $mg$,સમઘન દ્વારા લાગતા બળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $N \sin(45^{\circ}) = \frac{Mg}{2}$,અને જમીન દ્વારા લાગતું લંબબળ $N_g$ છે.
તેથી,$N_g = mg + \frac{Mg}{2}$.
સંતુલન માટેની શરત $f_{max} \ge \frac{Mg}{2}$ છે.
આમ,$\mu (mg + \frac{Mg}{2}) \ge \frac{Mg}{2}$.
$\mu = 0.4$ અને $m = 0.6 \ kg$ મૂકતા:
$0.4 (0.6g + 0.5Mg) \ge 0.5Mg$.
$0.24g + 0.2Mg \ge 0.5Mg$.
$0.24g \ge 0.3Mg$.
$M \le \frac{0.24}{0.3} = 0.8 \ kg$.
તેથી,મહત્તમ દળ $M$ એ $0.8 \ kg$ છે.

(D) વિધાન $A$ ખોટું છે. જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જમીન વ્યક્તિ પર આગળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે. આ સ્થિત ઘર્ષણ બળ વ્યક્તિને આગળ ધપાવે છે.
વિધાન $B$ સાચું છે. સાયકલના આગળના પૈડા માટે (જે ચેઈન દ્વારા ચાલતું નથી),જમીન ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ લગાડે છે,જે પૈડાને ધીમું કરે છે અથવા જમીનની સાપેક્ષે તેની ગતિની સ્થિતિ જાળવી રાખે છે.

(C) આપેલ છે કે, પદાર્થનું દળ $m = 2 \,kg$ છે。
બે બળો $F_1 = 1 \,N$ અને $F_2 = 1 \,N$ એકબીજા સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે કાર્યરત છે。
પરિણામી બળ $F$ નું મૂલ્ય સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$
$F = \sqrt{1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{3} \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$.
તેથી, પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{m} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,m/s^2$.

(D) આપેલ છે:
બળ $\vec{F} = (2.6 \hat{i} + 1.6 \hat{j}) \text{ N}$
દળ $m = 2 \text{ kg}$
$t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_0 = (3.6 \hat{i} - 4.8 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{(2.6 \hat{i} + 1.6 \hat{j})}{2} = (1.3 \hat{i} + 0.8 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v}(t) = (3.6 \hat{i} - 4.8 \hat{j}) + (1.3 \hat{i} + 0.8 \hat{j})t$
$\vec{v}(t) = (3.6 + 1.3t) \hat{i} + (-4.8 + 0.8t) \hat{j}$.
વેગ ફક્ત $x$-અક્ષની દિશામાં હોય તે માટે, વેગનો $y$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$-4.8 + 0.8t = 0$
$0.8t = 4.8$
$t = \frac{4.8}{0.8} = 6 \text{ s}$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગ છૂટી થયા પછી કારનો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,જેનો અર્થ છે કે $v_1 / v_2 = m_2 / m_1$.
કારણ કે ઘર્ષણ બળ $f$ બંને કાર માટે સમાન છે,તેથી દરેક કારનો પ્રતિપ્રવેગ $a_1 = f / m_1$ અને $a_2 = f / m_2$ થશે.
સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $t$ એ $v = u + at$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં અંતિમ વેગ $0$ છે. તેથી,$t = v / a$.
પ્રથમ કાર માટે,$t_1 = v_1 / a_1 = v_1 / (f / m_1) = (m_1 v_1) / f$.
બીજી કાર માટે,$t_2 = v_2 / a_2 = v_2 / (f / m_2) = (m_2 v_2) / f$.
વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ $m_1 v_1 = m_2 v_2$ હોવાથી,$t_1 = t_2$ મળે છે.
તેથી,તેમના સ્થિર થવાના સમયનો ગુણોત્તર $t_1 / t_2 = 1$ છે.

(B) ધારો કે દળ $m_A$ અને $m_B$ છે,પ્રારંભિક વેગ $u_A$ અને $u_B$ છે,અને પ્રતિરોધક બળ $F$ છે.
બળ સમાન હોવાથી,પ્રતિપ્રવેગ $a = F/m$ બંને માટે અલગ છે.
$A$ માટે: $a_A = F/m_A$,$v_A = 0$,$t_A = 2t_B$,$s_A = \frac{2}{3} s_B$.
$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u_A - (F/m_A)(2t_B) \implies u_A = (2Ft_B)/m_A$.
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$s_A = u_A(2t_B) - \frac{1}{2}(F/m_A)(2t_B)^2 = (4Ft_B^2)/m_A - (2Ft_B^2)/m_A = (2Ft_B^2)/m_A$.
$B$ માટે: $a_B = F/m_B$,$v_B = 0$,$t_B$,$s_B$.
તે જ રીતે,$u_B = (Ft_B)/m_B$ અને $s_B = (Ft_B^2)/(2m_B)$.
આપેલ છે કે $s_A = \frac{2}{3} s_B$,તેથી $(2Ft_B^2)/m_A = \frac{2}{3} \times (Ft_B^2)/(2m_B)$.
સાદુરૂપ આપતા,$2/m_A = 1/(3m_B) \implies m_A/m_B = 6/1$.
આમ,દળનો ગુણોત્તર $m_A:m_B$ એ $6: 1$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,બળ અચળાંકને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો:
$k = 150 \text{ dyne cm}^{-1} = 150 \times 10^{-5} \text{ N} / 10^{-2} \text{ m} = 0.15 \text{ N m}^{-1}$.
ધારો કે બ્લોક સ્થિર થાય તે પહેલાં $x$ અંતર કાપે છે. બ્લોક માત્ર એક જ દિશામાં ગતિ કરે તે માટે,તેણે એવા બિંદુએ અટકવું જોઈએ જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતાં ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W_{\text{spring}} + W_{\text{friction}} = \Delta K$
$-\frac{1}{2} k x^2 - \mu m g x = 0 - \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = \frac{k x^2}{m} + 2 \mu g x$
બ્લોક પાછો ન ફરે તે માટે,મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ પર સ્પ્રિંગ બળ એ સીમિત ઘર્ષણ કરતાં ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $k x \leq \mu m g$.
$x \leq \frac{\mu m g}{k} = \frac{0.3 \times 0.2 \times 10}{0.15} = \frac{0.6}{0.15} = 4 \text{ m}$.
ઊર્જા સમીકરણમાં $x = 4 \text{ m}$ મૂકતા:
$v^2 = \frac{0.15 \times 4^2}{0.2} + 2 \times 0.3 \times 10 \times 4$
$v^2 = \frac{0.15 \times 16}{0.2} + 24 = 12 + 24 = 36$
$v = 6 \text{ ms}^{-1}$.

(C) ધારો કે પેકેટનું દળ $m$ છે. પેકેટનું વજન $W = mg$ છે.
જ્યારે પેકેટ જમીન સાથે અથડાય છે, ત્યારે તે $a = 2g$ (ઉપરની તરફ) જેટલો પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે.
પેકેટ પર લાગતા બળો તેના વજન $W$ (નીચેની તરફ) અને જમીન દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પરિણામી બળ $F_{net} = N - W = ma$ છે.
$a = 2g$ મૂકતા, આપણને $N - W = m(2g)$ મળે છે.
$mg = W$ હોવાથી, $N - W = 2W$ થાય.
તેથી, જમીન દ્વારા પેકેટ પર લાગતું લંબબળ $N = 3W$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પેકેટ દ્વારા જમીન પર લાગતું બળ લંબબળ $N$ જેટલું જ એટલે કે $3W$ હશે.

(B) જ્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે છે, ત્યારે લંબબળ $N=0$ થાય છે।
શિરોલંબ સંતુલન માટે, બળનો ઉપરની તરફનો ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$N + F \sin 45^{\circ} = mg$
જ્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે ત્યારે $N=0$ હોવાથી:
$at \sin 45^{\circ} = mg$
આપેલ કિંમતો ($a=1 \,Ns^{-1}$, $m=1 \,kg$, $g=10 \,ms^{-2}$) મૂકતા:
$1 \cdot t \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 \cdot 10$
$t = 10 \sqrt{2} \,s$
હવે, બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક પ્રવેગ $a_x$ આપે છે:
$F \cos 45^{\circ} = ma_x$
$at \cos 45^{\circ} = m \frac{dv}{dt}$
$v = \int_0^t \frac{a}{m} t \cos 45^{\circ} dt = \frac{a \cos 45^{\circ}}{m} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{10 \sqrt{2}}$
$v = \frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{1} \cdot \frac{(10 \sqrt{2})^2}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{200}{2} = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50 \sqrt{2} \,ms^{-1}$

(D) આપેલ છે:
બંદૂકનું દળ,$M = 100 \ kg$
દડાનું દળ,$m = 1 \ kg$
ટેકરીની ઊંચાઈ,$H = 500 \ m$
સમક્ષિતિજ અવધિ,$R = 400 \ m$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \ ms^{-2}$
પગલું $1$: ઉડ્ડયન સમય $(T)$ ની ગણતરી:
દડાને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$T = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ s$
પગલું $2$: દડાના સમક્ષિતિજ વેગ $(u)$ ની ગણતરી:
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = u \times T$ દ્વારા મળે છે. તેથી:
$u = \frac{R}{T} = \frac{400}{10} = 40 \ ms^{-1}$
પગલું $3$: બંદૂકના રિકોઈલ વેગ $(V)$ ની ગણતરી:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે:
$M \times V + m \times u = 0$
$V = -\left(\frac{m}{M}\right) u$
રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય:
$|V| = \left(\frac{1}{100}\right) \times 40 = 0.4 \ ms^{-1}$

(B) આપેલ છે: $m = 1 \,kg$, $k = 100 \,N \,m^{-1}$, $\theta = 45^{\circ}$, $x = 10 \,cm = 0.1 \,m$, $g = 10 \,m \,s^{-2}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્યનો તફાવત એ બ્લોક સ્થિર થાય ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા જેટલો હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $mg \sin \theta \cdot x$
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $f \cdot x = \mu N \cdot x = \mu mg \cos \theta \cdot x$
સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા = $\frac{1}{2} k x^2$
કાર્ય-ઊર્જાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$mg \sin \theta \cdot x - \mu mg \cos \theta \cdot x = \frac{1}{2} k x^2$
$mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = \frac{1}{2} k x$
કિંમતો મૂકતા:
$1 \times 10 \times \sin 45^{\circ} - \mu \times 1 \times 10 \times \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.1$
$10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \mu \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5$
$\frac{10}{\sqrt{2}} (1 - \mu) = 5$
$1 - \mu = \frac{5 \sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\mu = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1 - 0.707 = 0.293$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $\mu \approx 0.3$ મળે છે.

(C) દોરી પરના ટ્રાન્સવર્સ પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરીની રેખીય દળ ઘનતા છે।
જ્યારે કાર સ્થિર હોય, ત્યારે દોરીમાં તણાવ $T_1 = Mg$ હોય છે। તેથી, $v_1 = \sqrt{\frac{Mg}{\mu}} = 60 \text{ cm/s}$.
જ્યારે કાર આડા રસ્તા પર $a$ પ્રવેગ સાથે પ્રવેગિત થાય છે, ત્યારે દડા પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = \sqrt{a^2 + g^2}$ છે। દોરીમાં તણાવ $T_2 = M\sqrt{a^2 + g^2}$ થાય છે।
તેથી, $v_2 = \sqrt{\frac{M\sqrt{a^2 + g^2}}{\mu}} = 66 \text{ cm/s}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + g^2}}{g}} = \frac{66}{60} = 1.1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{\sqrt{a^2 + g^2}}{g} = (1.1)^2 = 1.21$.
$\sqrt{a^2 + g^2} = 1.21g$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$a^2 + g^2 = (1.21)^2 g^2 = 1.4641 g^2$.
$a^2 = 0.4641 g^2$.
$a = \sqrt{0.4641} \times g = 0.68125 \times 10 \text{ m/s}^2 \approx 6.8 \text{ m/s}^2$.

(D) ધારો કે પૃથ્વી $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે. ટ્રેન પૃથ્વીની સપાટીની સાપેક્ષ $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણની દિશામાં (પશ્ચિમથી પૂર્વ) ગતિ કરતી ટ્રેન માટે,કુલ કોણીય વેગ $\omega' = \omega + v/R$ થાય. જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_1 = m(\omega + v/R)^2 R$ છે.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણની વિરુદ્ધ દિશામાં (પૂર્વથી પશ્ચિમ) ગતિ કરતી ટ્રેન માટે,કુલ કોણીય વેગ $\omega'' = \omega - v/R$ થાય. જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_2 = m(\omega - v/R)^2 R$ છે.
$F_1 \neq F_2$ હોવાથી,લંબબળ $N_1 = mg - F_1$ અને $N_2 = mg - F_2$ સમાન નથી. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૃથ્વીની સાપેક્ષ ઝડપ $v$ પર નહીં,પરંતુ જડત્વીય ફ્રેમની સાપેક્ષ કુલ કોણીય વેગ પર આધાર રાખે છે. તેથી,કારણ $(R)$ પણ ખોટું છે.

(C) ધારો કે $m = 0.1 \,kg$, $\mu = 0.2$, $g = 10 \,ms^{-2}$, $\theta = 30^{\circ}$, અને $s_2 = 1 \,m$ (સમક્ષિતિજ અંતર).
સમક્ષિતિજ સમતલ પર, પ્રતિપ્રવેગ $a_2 = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \,ms^{-2}$ છે.
$v^2 = u^2 - 2a_2s_2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v=0$ (સ્થિર થાય છે), આપણને $0 = u^2 - 2(2)(1)$ મળે છે, તેથી $u^2 = 4$, અથવા $u = 2 \,ms^{-1}$. આ ઢળતા સમતલના તળિયે વેગ છે.
ઢળતા સમતલ પર, ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta) = 10(\sin 30^{\circ} - 0.2 \cos 30^{\circ}) = 10(0.5 - 0.2 \times 0.866) = 10(0.5 - 0.1732) = 3.268 \,ms^{-2}$ છે.
$v^2 = u_0^2 + 2a_1s_1$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u_0=0$ અને $v=2 \,ms^{-1}$, આપણને $4 = 2(3.268)s_1$ મળે છે, તેથી $s_1 = 4 / 6.536 \approx 0.612 \,m$.
ઢળતા સમતલ પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_1 = -f_1 s_1 = -(\mu mg \cos 30^{\circ}) s_1 = -(0.2 \times 0.1 \times 10 \times 0.866) \times 0.612 \approx -0.106 \,J$ છે.
સમક્ષિતિજ સમતલ પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_2 = -f_2 s_2 = -(\mu mg) s_2 = -(0.2 \times 0.1 \times 10) \times 1 = -0.2 \,J$ છે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = -0.106 - 0.2 = -0.306 \,J$ છે. તેનું મૂલ્ય $0.306 \,J$ છે.

(D) વ્યક્તિ બે ઉભી દીવાલોની વચ્ચે સંતુલનમાં છે. ધારો કે વ્યક્તિ દ્વારા દરેક દીવાલ પર લગાડવામાં આવતું લંબબળ $N = 500 \ N$ છે.
વ્યક્તિ સ્થિર હોવાથી,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ તેના વજનને સંતુલિત કરતું હોવું જોઈએ.
દરેક દીવાલ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે દીવાલો હોવાથી,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $2f = 2 \mu N$ થશે.
ઉર્ધ્વ સંતુલન માટે,$2 \mu N = mg$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 0.5 \times 500 = m \times 10$.
$500 = 10m$.
તેથી,$m = 50 \ kg$.

(D) આપેલ છે: દડાનું દળ $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$, ઊંચાઈ $h = 5 \,m$, $g = 10 \,m/s^2$.
પ્રથમ અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \,m/s$.
પ્રથમ અથડામણ પછીનો વેગ: $v_1' = \frac{v_1}{2} = 5 \,m/s$.
પ્રથમ અથડામણમાં આપેલ વેગમાન: $p_1 = m(v_1 - (-v_1')) = m(v_1 + v_1') = 0.2(10 + 5) = 3 \,kg \,m/s$.
બીજી અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_2 = v_1' = 5 \,m/s$.
બીજી અથડામણ પછીનો વેગ: $v_2' = \frac{v_2}{2} = 2.5 \,m/s$.
બીજી અથડામણમાં આપેલ વેગમાન: $p_2 = m(v_2 + v_2') = 0.2(5 + 2.5) = 1.5 = \frac{3}{2} \,kg \,m/s$.
ત્રીજી અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_3 = v_2' = 2.5 \,m/s$.
ત્રીજી અથડામણ પછીનો વેગ: $v_3' = \frac{v_3}{2} = 1.25 \,m/s$.
ત્રીજી અથડામણમાં આપેલ વેગમાન: $p_3 = m(v_3 + v_3') = 0.2(2.5 + 1.25) = 0.75 = \frac{3}{4} \,kg \,m/s$.
કુલ વેગમાન: $p = p_1 + p_2 + p_3 = 3 + 1.5 + 0.75 = 5.25 = \frac{21}{4} \,kg \,m/s$.

(D) ટ્રકને પલટી જતી અટકાવવા માટે, બહારના પૈડાંની સાપેક્ષમાં કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે લાગતું ટોર્ક, ટ્રકના વજનને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતાં વધવું જોઈએ નહીં.
ધારો કે મહત્તમ ઝડપ $V_{\max}$ છે.
ટ્રક પલટી ન જાય તે માટેની શરત ટોર્કના સંતુલન દ્વારા મળે છે: $\frac{m V_{\max}^2}{R} \times h = m g \times \frac{d}{2}$.
અહીં, $h = 2 \text{ m}$ (ગુરુત્વકેન્દ્રની ઊંચાઈ), $R = 240 \text{ m}$ (માર્ગની ત્રિજ્યા), અને $d = 1.5 \text{ m}$ (પૈડાં વચ્ચેનું અંતર).
$V_{\max}^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $V_{\max}^2 = \frac{g \times R \times d}{2 \times h}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_{\max}^2 = \frac{10 \times 240 \times 1.5}{2 \times 2}$.
$V_{\max}^2 = \frac{3600}{4} = 900$.
$V_{\max} = \sqrt{900} = 30 \text{ ms}^{-1}$.

(A) ધારો કે બ્લોક્સ $A$ અને $B$ નું દળ $m$ છે. ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ છે. બ્લોક $X$ પ્રવેગ $a$ થી જમણી તરફ ગતિ કરે છે।
બ્લોક $B$ માટે: ઉર્ધ્વ દિશામાં સંતુલન માટે $T = mg - f_B$ અને સમક્ષિતિજ દિશામાં $f_B = \mu N_B = \mu ma$.
બ્લોક $A$ માટે: સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન માટે $T = f_A + ma$, જ્યાં $f_A = \mu mg$.
બંને સમીકરણો પરથી: $mg - \mu ma = \mu mg + ma$
$mg(1 - \mu) = a(1 + \mu)$
$a = g \frac{1 - \mu}{1 + \mu} = g \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = g \frac{0.5}{1.5} = \frac{g}{3}$.

(B) ધારો કે બે બ્લોકનું દળ $M_1 = m$ અને $M_2 = n$ છે. ધારો કે $m > n$ છે.
એટવુડ મશીનમાં બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a = \frac{|M_1 - M_2|}{M_1 + M_2} g = \frac{m-n}{m+n} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક $1$ નો પ્રવેગ $a_1 = a$ (નીચેની તરફ) અને બ્લોક $2$ નો પ્રવેગ $a_2 = a$ (ઉપરની તરફ) છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm}$ નીચે મુજબ મળે:
$a_{cm} = \frac{M_1 a_1 + M_2 a_2}{M_1 + M_2} = \frac{m(a) + n(-a)}{m+n} = \frac{(m-n)a}{m+n}$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_{cm} = \frac{(m-n)}{m+n} \cdot \left( \frac{m-n}{m+n} g \right) = \left( \frac{m-n}{m+n} \right)^2 g$.

(B) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 6 \,kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 4 \,m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 6 \,m/s$.
લાગતું બળ,$F = 12 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,આપણે પ્રવેગની ગણતરી કરી શકીએ:
$a = \frac{F}{m} = \frac{12 \,N}{6 \,kg} = 2 \,m/s^2$.
હવે,ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને,$v^2 - u^2 = 2as$,આપણે સ્થાનાંતર $s$ શોધી શકીએ છીએ:
$s = \frac{v^2 - u^2}{2a} = \frac{(6)^2 - (4)^2}{2 \times 2} = \frac{36 - 16}{4} = \frac{20}{4} = 5 \,m$.
તેથી,પદાર્થનું સ્થાનાંતર $5 \,m$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 7 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,અંતર $s = 10 \ m$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (7)^2 + 2 \cdot a \cdot 10$
$0 = 49 + 20a$
$a = -\frac{49}{20} = -2.45 \ m/s^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = 9.8 \ m/s^2$,તેથી $a = -\frac{9.8}{4} = -\frac{g}{4}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,અવરોધક બળ $R = ma$.
$a = -\frac{g}{4}$ મૂકતા:
$R = m \left(-\frac{g}{4}\right) = -\frac{mg}{4}$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,આપણને $R = -\frac{W}{4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $t=t_0$ સમયે,પદાર્થ સપાટી છોડે છે. તેથી,$t=t_0$ સમયે,લંબબળ $N=0$ થાય.
બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_y = F \sin 45^{\circ} = \alpha t_0 \sin 45^{\circ}$ છે.
પદાર્થ સપાટી છોડે તે માટે,બળનો શિરોલંબ ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરવો જોઈએ:
$N + \alpha t_0 \sin 45^{\circ} = mg$
સપાટી છોડતી વખતે $N=0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\alpha t_0 \sin 45^{\circ} = mg$
અહીં $m = 1 \text{ kg}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ છે:
$\alpha t_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1 \times 10$
$t_0 = \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha} \text{ s}$.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos 45^{\circ} = \alpha t \cos 45^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F_x}{m} = \frac{\alpha t \cos 45^{\circ}}{1} = \frac{\alpha t}{\sqrt{2}}$ છે.
$t_0$ સમયે વેગ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \int_0^{t_0} a \, dt = \int_0^{t_0} \frac{\alpha t}{\sqrt{2}} \, dt = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{t_0} = \frac{\alpha t_0^2}{2 \sqrt{2}}$.
$t_0 = \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha}$ કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{\alpha}{2 \sqrt{2}} \left( \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha} \right)^2 = \frac{\alpha}{2 \sqrt{2}} \times \frac{100 \times 2}{\alpha^2} = \frac{100}{\sqrt{2} \alpha} = \frac{50 \sqrt{2}}{\alpha} \text{ m/s}$.

(C) ઘર્ષણરહિત ટેબલ પર મૂકવામાં આવેલ તંત્રનું કુલ દળ $M$ એ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$M = m + \frac{m}{2!} + \frac{m}{3!} + \ldots + \frac{m}{n!} + \ldots$
$M = m \left( 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!} + \ldots \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $e$ નું વિસ્તરણ $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$ છે.
તેથી,$1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e - 1$.
આમ,ટેબલ પરનું કુલ દળ $M = m(e - 1)$ છે.
ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. લટકતું દળ $m$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા ખેંચાય છે,જ્યારે ટેબલ પરનું દળ $M$ એ સમાન તણાવ $T$ દ્વારા ખેંચાય છે.
લટકતા દળ માટે: $mg - T = ma$
ટેબલ પરના દળ માટે: $T = Ma = m(e - 1)a$
બીજા સમીકરણમાંથી $T$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg - m(e - 1)a = ma$
$g - (e - 1)a = a$
$g = a + (e - 1)a = a(1 + e - 1) = ae$
$a = \frac{g}{e}$

(D) આપેલ છે,$m=1 \ kg$. બળ $F(t) = 2 \sin t \hat{i} + 3 \cos t \hat{j}$.
$F = m a$ હોવાથી,અને $m=1$,$a = F = \frac{dv}{dt}$.
$v_x = \int_0^{\pi/2} 2 \sin t \ dt = [-2 \cos t]_0^{\pi/2} = 2 \ m/s$.
$v_y = \int_0^{\pi/2} 3 \cos t \ dt = [3 \sin t]_0^{\pi/2} = 3 \ m/s$.
વેગનું મૂલ્ય $|v| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \ m/s$.
હવે,$v_x(t) = \int_0^t 2 \sin t' dt' = 2(1 - \cos t)$ અને $v_y(t) = \int_0^t 3 \cos t' dt' = 3 \sin t$.
સ્થાન $x = \int_0^{\pi/2} 2(1 - \cos t) dt = 2[t - \sin t]_0^{\pi/2} = 2(\frac{\pi}{2} - 1) = \pi - 2$.
સ્થાન $y = \int_0^{\pi/2} 3 \sin t dt = 3[-\cos t]_0^{\pi/2} = 3(0 - (-1)) = 3$.
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $|r| = \sqrt{(\pi-2)^2 + 3^2} = \sqrt{\pi^2 - 4\pi + 13}$.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે:
$(i)$ નબળું ન્યુક્લિયર બળ
(ii) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
(iii) પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ
(iv) વિદ્યુતચુંબકીય બળ
ઘર્ષણ એ સપાટી પરના અણુઓ વચ્ચેના વિદ્યુતચુંબકીય આંતરક્રિયાઓથી ઉદ્ભવતું મેક્રોસ્કોપિક બળ છે અને તેને મૂળભૂત બળ માનવામાં આવતું નથી. તેથી,ઘર્ષણ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,સ્થિતિ ઊર્જા $U = (12x + 16y) \ J$.
દડા પર લાગતું બળ $\vec{F} = -\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} - \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j} = -12 \hat{i} - 16 \hat{j} \ N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દડાનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-12 \hat{i} - 16 \hat{j}}{2} = (-6 \hat{i} - 8 \hat{j}) \ m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a}t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{v}_i = (15 \hat{i} + 20 \hat{j}) \ m/s$ અને $t = 2 \ s$ છે:
$\vec{v}_f = (15 \hat{i} + 20 \hat{j}) + (-6 \hat{i} - 8 \hat{j}) \times 2$
$\vec{v}_f = (15 \hat{i} + 20 \hat{j}) + (-12 \hat{i} - 16 \hat{j}) = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ m/s$.
$t = 2 \ s$ સમયે ઝડપ $|\vec{v}_f| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m/s$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે. આ તંત્ર $a = \frac{F}{2m}$ જેટલા સામાન્ય પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં,મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે બ્લોક્સ સ્થિર હોય છે. દરેક દળ પર લાગતું સ્યુડો બળ $F_p = ma = \frac{F}{2}$ છે.
ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં બે બ્લોક્સના તેમના પ્રારંભિક સ્થાનોથી સ્થાનાંતર છે. સ્પ્રિંગનું કુલ વિસ્તરણ $x = x_1 + x_2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં બાહ્ય બળ અને સ્યુડો બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} k x^2$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં,અસરકારક બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય:
$(F - ma)x_1 + (ma)x_2 = \frac{1}{2} k (x_1 + x_2)^2$
$a = \frac{F}{2m}$ મૂકતા:
$(F - \frac{F}{2})x_1 + (\frac{F}{2})x_2 = \frac{1}{2} k (x_1 + x_2)^2$
$\frac{F}{2}(x_1 + x_2) = \frac{1}{2} k (x_1 + x_2)^2$
$x_1 + x_2 = \frac{F}{k}$
અહીં $F = 10 \,N$ અને $k = 2500 \,N/m$ આપેલ છે,તેથી મહત્તમ વિસ્તરણ:
$x_{max} = \frac{10}{2500} \,m = 0.004 \,m = 0.4 \,cm$
બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર એ કુદરતી લંબાઈ અને મહત્તમ વિસ્તરણનો સરવાળો છે:
$d_{max} = 10 \,cm + 0.4 \,cm = 10.4 \,cm$.

(C) વિધાન $A$ માટે:
ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m v^2$. પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને તેના પર અચળ બળ $F$ લાગે છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $a = F/m$ અચળ છે.
આમ,$v = at$,અને $KE = \frac{1}{2} m (at)^2 = \frac{1}{2} m a^2 t^2$.
ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{d(KE)}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m a^2 t^2) = m a^2 t$ છે.
અહીં $\frac{d(KE)}{dt} \propto t$ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર સમય સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$ માટે:
સ્થિર પદાર્થ ત્યારે જ સંતુલનમાં હોય જો તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય. પદાર્થ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોઈ શકે છે (દા.ત.,ઉપર ફેંકાયેલો દડો તેના મહત્તમ બિંદુએ) જ્યારે તેના પર શૂન્યતર પરિણામી બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ) લાગતું હોય. તેથી,તે હંમેશા સંતુલનમાં હોય તે જરૂરી નથી. આમ,વિધાન $B$ ખોટું છે.