Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Gujarati

(A) ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે બ્લોકનું તાપમાન વધારે છે.
આપેલ છે: દળ $m = 20 \ kg = 20000 \ g$,વેગ $v = 0.5 \ ms^{-1}$,સમય $t = 2.1 \ s$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 0.1 \ cal \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1} = 0.1 \times 4.2 \ J \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1} = 0.42 \ J \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg = 0.1 \times 20 \times 10 = 20 \ N$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W = f \times d = f \times (v \times t) = 20 \times 0.5 \times 2.1 = 21 \ J$.
ઉષ્મા ઉર્જા $Q = mc \Delta T$.
કારણ કે $W = Q$,તેથી $21 = 20000 \times 0.42 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{21}{20000 \times 0.42} = \frac{21}{8400} = 0.0025^{\circ} C$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg - kv = m \frac{dv}{dt}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv}{mg - kv} = \frac{dt}{m}$ મળે છે.
$t=0$ સમયે $v=0$ ની પ્રારંભિક શરતો સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^v \frac{dv}{mg - kv} = \int_0^t \frac{dt}{m}$ મળે છે.
આનાથી $-\frac{1}{k} \ln \left( \frac{mg - kv}{mg} \right) = \frac{t}{m}$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\ln \left( 1 - \frac{kv}{mg} \right) = -\frac{kt}{m}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v(t) = \frac{mg}{k} (1 - e^{-kt/m})$ થાય છે.
આ સમીકરણ એક ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ વક્ર દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે અને અંતિમ વેગ $v_t = \frac{mg}{k}$ તરફ અભિસરણ પામે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $B$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) ધારો કે દળ $m_A = 4 \ kg$,$m_B = 6 \ kg$,અને $m_C = 8 \ kg$ છે. ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ અને $g = 10 \ m/s^2$ છે.
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_1 = \mu m_A g = 0.5 \times 4 \times 10 = 20 \ N$.
$2$. $B$ અને $C$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_2 = \mu (m_A + m_B) g = 0.5 \times (4 + 6) \times 10 = 50 \ N$.
$3$. $C$ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_3 = \mu (m_A + m_B + m_C) g = 0.5 \times (4 + 6 + 8) \times 10 = 90 \ N$.
બ્લોક $C$ અચળ ઝડપે ગતિ કરે તે માટે,તેના પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. બ્લોક $B$ ગરગડી દ્વારા દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે,$T = f_1 + f_2 = 20 + 50 = 70 \ N$.
બ્લોક $C$ માટે,લાગુ પડતું બળ $F$ એક દિશામાં છે,અને ઘર્ષણ $f_3$,ઘર્ષણ $f_2$ (બ્લોક $B$ થી) અને તણાવ $T$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$F = f_3 + f_2 + T = 90 + 50 + 70 = 210 \ N$.

(A) દળ $30^\circ$ ના ખૂણે ઢળતા સમતલ પર છે.
રચના અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,બ્લોકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ શૂન્ય છે.
બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ $f = mg \sin \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f = 1 \times 10 \times \sin(30^\circ) = 1 \times 10 \times 0.5 = 5 \text{ N}$.
રચના $v = 4 \text{ m/s}$ ના અચળ વેગથી $t = 2 \text{ s}$ સમય માટે ગતિ કરે છે.
ગતિની દિશામાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $s = v \times t = 4 \times 2 = 8 \text{ m}$ છે.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ બળ અને બળની દિશામાં થયેલ સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર છે. ઘર્ષણ બળ ઢળતા સમતલ પર લાગે છે અને સ્થાનાંતર પણ તે જ દિશામાં છે,તેથી કાર્ય $W = f \times s = 5 \times 8 = 40 \text{ J}$ થાય.

(B) બ્લોક $P$ (દળ $m_P = 2 \text{ kg}$) માટે,સમઘનના ફ્રેમમાં લાગતું આભાસી બળ $F_p = m_P a = 2 \times (g/2) = g = 10 \text{ N}$ છે. બ્લોક સ્થિર હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T = 10 \text{ N}$ છે.
બ્લોક $Q$ (દળ $m_Q = 1.5 \text{ kg}$) માટે,લાગતા બળો:
$1$. શિરોલંબ: વજન $m_Q g = 1.5 \times 10 = 15 \text{ N}$ નીચેની તરફ લાગે છે અને ઘર્ષણ બળ $f$ ઉપરની તરફ લાગે છે. બ્લોક સ્થિર હોવાથી,$f = 15 \text{ N}$.
$2$. સમક્ષિતિજ: આભાસી બળ $m_Q a = 1.5 \times 5 = 7.5 \text{ N}$ બ્લોક પર લાગે છે,જે તેને બાજુની સપાટી પર દબાવે છે. તેથી,લંબબળ $N = 7.5 \text{ N}$.
$f = \mu N$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\mu = f/N = 15 / 7.5 = 2$. જો આપણે તણાવ $T$ ને શિરોલંબ સંતુલનમાં ધ્યાનમાં લઈએ,તો $T + f = m_Q g \implies 10 + f = 15 \implies f = 5 \text{ N}$. તેથી $\mu = f/N = 5/7.5 = 0.67$.