Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(D) चूंकि वस्तु का द्रव्यमान स्थिर रहता है,इसलिए वस्तु का भार गुरुत्वीय त्वरण $g$ के समानुपाती होता है।
दिया गया है: $\frac{W_{earth}}{W_{planet}} = \frac{9}{4} = \frac{g_{earth}}{g_{planet}}$.
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$.
यहाँ $\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \cdot \frac{R_p^2}{R_e^2}$.
दिया गया है कि $M_p = \frac{M_e}{9}$,इसलिए $\frac{M_e}{M_p} = 9$.
अतः,$\frac{9}{4} = 9 \cdot \frac{R_p^2}{R^2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{R_p^2}{R^2} \implies \frac{R_p}{R} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$R_p = \frac{R}{2}$.

(B) जब $m$ द्रव्यमान का एक कण पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर होता है,तो उस पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल केवल $r$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित पृथ्वी के द्रव्यमान के कारण होता है। मान लीजिए कि यह द्रव्यमान $M'$ है।
इस आंतरिक गोले का आयतन $V' = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
चूंकि घनत्व $\rho$ समान है,द्रव्यमान $M' = \rho V' = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के कण पर गुरुत्वाकर्षण बल $F$,न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार है:
$F = \frac{G M' m}{r^2}$
$M'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{G m}{r^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$F = \left( \frac{4}{3} \pi G \rho \right) m r$

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $d = 200 \ km$ के लिए $g_h = g_d$ है,इसलिए हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$
दोनों पक्षों से $g$ और $1$ को हटाने पर:
$-\frac{2h}{R} = -\frac{d}{R}$
इसे सरल करने पर:
$2h = d$
$h = \frac{d}{2}$
$d = 200 \ km$ का मान रखने पर:
$h = \frac{200}{2} = 100 \ km$.

(B) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ में परिवर्तन इस प्रकार है:
$1$. $r > R$ के लिए (पृथ्वी के बाहर): $g = \frac{GM}{r^2}$. अतः,$r$ बढ़ने पर $g$ घटता है।
$2$. $r < R$ के लिए (पृथ्वी के अंदर): $g = \frac{GMr}{R^3}$. अतः,केंद्र की ओर जाने पर ($r$ घटने पर) $g$ घटता है।
$3$. पृथ्वी के केंद्र पर $(r = 0)$: $g = 0$.
$4$. घूर्णन का प्रभाव: प्रभावी गुरुत्व $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ है। यदि पृथ्वी घूमना बंद कर दे $(\omega = 0)$,तो $g' = g$ हो जाएगा। चूँकि पहले $g$ का मान $g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ था,इसलिए $g$ का मान बढ़ जाता है (ध्रुवों को छोड़कर जहाँ $\cos \lambda = 0$ है)। अतः,कथन $(d)$ गलत है।
इस प्रकार,कथन $(a), (b)$ और $(c)$ सत्य हैं।

(B) पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ के साथ गुरुत्वीय त्वरण $g$ का परिवर्तन इस प्रकार होता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(d < R)$:
केंद्र से $d$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = \frac{GMd}{R^3} = g \frac{d}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है। यह दर्शाता है कि $g_d \propto d$,जो एक रैखिक संबंध है।
$2$. पृथ्वी की सतह पर $(d = R)$:
गुरुत्वीय त्वरण अधिकतम होता है,$g = \frac{GM}{R^2}$.
$3$. पृथ्वी के बाहर $(d > R)$:
केंद्र से $d$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = \frac{GM}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $g_d \propto \frac{1}{d^2}$,जो एक व्युत्क्रम वर्ग संबंध है।
इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ मूल बिंदु $(d=0, g=0)$ से शुरू होता है,$d=R$ पर अधिकतम तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और उसके बाद $d > R$ के लिए व्युत्क्रम वर्ग वक्र का पालन करते हुए घटता है। यह ग्राफ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(A) भूमध्य रेखा पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी की कोणीय चाल है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर व्यक्ति का भार उसके वास्तविक भार का $(3/5)$ है,इसलिए $W' = (3/5)W$ है।
चूँकि $W = mg$,इसका अर्थ है $mg' = (3/5)mg$,जो सरल होकर $g' = (3/5)g$ हो जाता है।
इस मान को प्रभावी गुरुत्व के समीकरण में रखने पर: $(3/5)g = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$ प्राप्त होता है।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = (2/5)(g/R)$,अतः $\omega = \sqrt{(2/5)(g/R)}$।

(C) किसी पिंड का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी के घूर्णन और इसके आकार (अंडाकार) के कारण,भूमध्य रेखा पर पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों की तुलना में अधिक होती है।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $g$ का मान भूमध्य रेखा पर न्यूनतम और ध्रुवों पर अधिकतम होता है।
अतः,जब किसी पिंड को ध्रुव से भूमध्य रेखा पर ले जाया जाता है,तो $g$ का मान घट जाता है,जिससे पिंड का भार कम हो जाता है।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_m$ और $R_m$ चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_m = \frac{M_e}{8}$ और $g_m = \frac{g_e}{6}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{G M_m / R_m^2}{G M_e / R_e^2} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2 = \frac{8}{6}$।
अतः,$R_e = \sqrt{\frac{8}{6}} R_m$।

(A) पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $d$ गहराई है।
चूंकि वस्तु पृथ्वी के केंद्र तक आधी दूरी पर है,इसलिए गहराई $d = \frac{R}{2}$ होगी।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$।
गहराई $d$ पर वस्तु का भार $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ होगा।
चूंकि सतह पर भार $W = mg = 250\,N$ है,इसलिए आधी गहराई पर भार $W' = \frac{250}{2} = 125\,N$ होगा।

(B) पृथ्वी के अंदर किसी बिंदु $(r < R)$ के लिए,गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{G M r}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $g' \propto r$। अतः,ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
पृथ्वी के बाहर किसी बिंदु $(r > R)$ के लिए,गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{G M}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $g' \propto \frac{1}{r^2}$। अतः,ग्राफ एक वक्र है जो व्युत्क्रम वर्ग संबंध को दर्शाता है।
पृथ्वी की सतह पर $(r = R)$,$g$ का मान अधिकतम होता है। इन दोनों क्षेत्रों को मिलाने पर,सही परिवर्तन चित्र $(ii)$ में दर्शाया गया है।

(D) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,हम लिख सकते हैं कि $g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \rho G R$।
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो तो $g \propto R$ होता है।
दिया गया है कि नए ग्रह का घनत्व पृथ्वी के समान है लेकिन वह आकार (त्रिज्या) में $3$ गुना बड़ा है,इसलिए $R^{\prime} = 3R$ लें।
अतः,$\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{R^{\prime}}{R} = \frac{3R}{R} = 3$।
इस प्रकार,$g^{\prime} = 3g$।

(C) पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ है।
दिया गया है,ग्रह का द्रव्यमान $M_p = \frac{1}{9} M_e$ और ग्रह की त्रिज्या $R_p = \frac{1}{2} R_e$ है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = \frac{GM_p}{R_p^2}$ होगा।
मान रखने पर,$g_p = \frac{G(M_e/9)}{(R_e/2)^2} = \frac{G M_e / 9}{R_e^2 / 4} = \frac{4}{9} \frac{GM_e}{R_e^2} = \frac{4}{9} g$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी पर वस्तु का भार $W_e = mg = 9 \ N$ है।
ग्रह पर वस्तु का भार $W_p = mg_p = m(\frac{4}{9} g) = \frac{4}{9} (mg) = \frac{4}{9} \times 9 \ N = 4 \ N$ होगा।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
दिया गया है कि ऊँचाई $h$ पर पिंड का भार सतह पर भार का $\frac{1}{9}$ है,इसलिए $g' = \frac{g}{9}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{g}{9} = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
इसे सरल करने पर: $\frac{1}{9} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{3} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-1}$।
व्युत्क्रम करने पर: $3 = 1 + \frac{h}{R}$।
अतः,$\frac{h}{R} = 2$,जिससे $h = 2R$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ $(r < R_e)$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण पर गुरुत्वाकर्षण बल केवल $r$ त्रिज्या वाले गोले के द्रव्यमान $M'$ के कारण होता है।
$r$ त्रिज्या वाले गोले का द्रव्यमान $M'$ इस प्रकार दिया जाता है: $M' = \rho \cdot V = \left( \frac{M_e}{\frac{4}{3} \pi R_e^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = M_e \frac{r^3}{R_e^3}$.
कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ है: $F = \frac{G M' m}{r^2}$.
$M'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $F = \frac{G (M_e \frac{r^3}{R_e^3}) m}{r^2} = \frac{G M_e m r^3}{R_e^3 r^2} = \frac{G M_e m}{R_e^3} r$.

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = \frac{M}{7}$ और त्रिज्या $R_p = \frac{R}{2}$ है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = \frac{GM_p}{R_p^2} = \frac{G(M/7)}{(R/2)^2} = \frac{GM/7}{R^2/4} = \frac{4}{7} \frac{GM}{R^2} = \frac{4}{7}g$ होगा।
ग्रह पर वस्तु का भार $W_p = m \cdot g_p = m \cdot (\frac{4}{7}g) = \frac{4}{7} \cdot (mg)$ है।
दिया गया है कि पृथ्वी पर भार $W_e = mg = 700\,gm\,wt$ है।
अतः,$W_p = \frac{4}{7} \times 700 = 400\,gm\,wt$।

(C) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega'^2 R$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\omega'$ नया कोणीय वेग है।
भूमध्य रेखा पर किसी पिंड का भार शून्य होने के लिए, प्रभावी गुरुत्वाकर्षण शून्य होना चाहिए, इसलिए $g - \omega'^2 R = 0$.
इसका अर्थ है $\omega' = \sqrt{g/R}$.
हम जानते हैं कि $g = 9.8 \ m/s^2$ और $R = 6.4 \times 10^6 \ m$.
$\omega_0 = \sqrt{9.8 / (6.4 \times 10^6)} \approx 1.24 \times 10^{-3} \ rad/s$.
पृथ्वी का वर्तमान कोणीय वेग $\omega = 2\pi / T$ है, जहाँ $T = 86400 \ s$.
$\omega \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
अनुपात $\frac{\omega_0}{\omega} = \frac{1.24 \times 10^{-3}}{7.27 \times 10^{-5}} \approx 17$.
अतः, आवश्यक कोणीय वेग $17\omega$ है।

(C) घूर्णन करती पृथ्वी पर $\lambda$ अक्षांश पर $m$ द्रव्यमान के पिंड का प्रभावी भार $R = mg - m\omega^2 R_e \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
भूमध्य रेखा पर,$\lambda = 0^\circ$,इसलिए $\cos \lambda = 1$. अतः,$R = mg - m\omega^2 R_e$.
ध्रुवों पर,$\lambda = 90^\circ$,इसलिए $\cos \lambda = 0$. अतः,$R = mg$.
यदि पृथ्वी घूमना बंद कर देती है,तो $\omega = 0$.
ध्रुवों पर,भार $R = mg$ ही रहेगा (कोई परिवर्तन नहीं)।
भूमध्य रेखा पर,भार $R = mg$ हो जाएगा,जो कि घूर्णन करती पृथ्वी की स्थिति $(mg - m\omega^2 R_e)$ की तुलना में अधिक है।
इसलिए,पिंड का भार भूमध्य रेखा पर बढ़ जाएगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$M = \frac{gR^2}{G}$
अतः,सही सूत्र $g \frac{R^2}{G}$ है।

(A) दिया गया है: पृथ्वी की त्रिज्या $R_e = 6400 \; km$,मंगल की त्रिज्या $R_m = 3200 \; km$.
पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e = 10 M_m$,पृथ्वी पर भार $W_e = 200 \; N$.
वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g = \frac{GM}{R^2}$.
अतः,भार का अनुपात $\frac{W_m}{W_e} = \frac{m g_m}{m g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2$.
$\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = 0.4$.
$W_m = 200 \times 0.4 = 80 \; N$.

(A) माना तय की गई दूरी $h$ है। $g'$ गुरुत्वीय त्वरण के अंतर्गत $h$ दूरी तय करने में लगा समय $T = \sqrt{\frac{2h}{g'}}$ और अंतिम वेग $V = \sqrt{2g'h}$ है।
पहले ग्रह के लिए $(g_1 = 2g)$: $T_1 = \sqrt{\frac{2h}{2g}} = \sqrt{\frac{h}{g}}$ और $V_1 = \sqrt{2(2g)h} = 2\sqrt{gh}$.
दूसरे ग्रह के लिए $(g_2 = 8g)$: $T_2 = \sqrt{\frac{2h}{8g}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}}$ और $V_2 = \sqrt{2(8g)h} = 4\sqrt{gh}$.
दिया गया है कि $t = T_1 - T_2 = \sqrt{\frac{h}{g}} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}}$.
दिया गया है कि $v = V_2 - V_1 = 4\sqrt{gh} - 2\sqrt{gh} = 2\sqrt{gh}$.
समय के समीकरण से,$\sqrt{h} = 2t\sqrt{g}$.
इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर: $v = 2\sqrt{g}(2t\sqrt{g}) = 4gt$.

(A) गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ का सूत्र $g = G \cdot \frac{4}{3} \pi R \rho$ है।
दिया गया है कि $\rho' = \frac{2}{3} \rho$ और $R' = \frac{1}{4} R$,अतः चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g'$:
$g' = G \cdot \frac{4}{3} \pi R' \rho' = G \cdot \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{4}\right) \left(\frac{2}{3} \rho\right) = \frac{1}{6} g$.
$(I)$ अधिकतम ऊँचाई $h_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ होती है। चूँकि प्रारंभिक वेग $u$ समान है,इसलिए $h_{\max} \propto \frac{1}{g}$।
अतः,$h' g' = h g \implies h' = h \left(\frac{g}{g'}\right) = 0.5 \times 6 = 3\, m$.
$(II)$ उड़ान का समय $t = \frac{2u}{g}$ होता है। चूँकि $u$ स्थिर है,इसलिए $t \propto \frac{1}{g}$।
अतः,$\frac{t'}{t} = \frac{g}{g'} = \frac{g}{g/6} = 6$.
इस प्रकार,चंद्रमा पर समय और पृथ्वी पर समय का अनुपात $6 : 1$ है।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दो पलड़े $h_1$ और $h_2$ ऊंचाई पर हैं ताकि $h_1 - h_2 = h$ हो। मापा गया वजन $W_1 = mg_1$ और $W_2 = mg_2$ है।
वजन में अंतर (त्रुटि) $\Delta W = mg_1 - mg_2 = mg(1 - \frac{2h_1}{R}) - mg(1 - \frac{2h_2}{R}) = mg(\frac{2h_2}{R} - \frac{2h_1}{R}) = \frac{2mg}{R}(h_2 - h_1)$ है।
चूंकि $h_1 - h_2 = h$ है,इसलिए $\Delta W = \frac{2mgh}{R}$ प्राप्त होता है।
$g = \frac{GM}{R^2}$ और $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ प्रतिस्थापित करने पर,$g = \frac{G}{R^2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi G R \rho$ प्राप्त होता है।
इस मान को त्रुटि के सूत्र में रखने पर: $\Delta W = \frac{2mh}{R} \cdot (\frac{4}{3}\pi G R \rho) = \frac{8}{3}\pi G \rho mh$।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln g = \ln G + \ln M - 2 \ln R$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$.
यहाँ त्रिज्या $1\%$ कम हो रही है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$.
इस मान को रखने पर,$\frac{\Delta g}{g} = -2(-0.01) = 0.02$,जो कि $2\%$ है।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए गुरुत्वीय त्वरण में $2\%$ की वृद्धि होगी।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E$ (या प्रति इकाई द्रव्यमान बल) $E = \frac{GMr}{R^3}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$E \propto r$.
इसलिए,यदि $r_1 < R$ और $r_2 < R$ है,तो $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
$2$. गोले के बाहर $(r > R)$,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$E \propto \frac{1}{r^2}$.
इसलिए,यदि $r_1 > R$ और $r_2 > R$ है,तो $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(D) मुक्त पतन में,किसी पिंड का आभासी भार शून्य हो जाता है। इसका कारण यह है कि पिंड और जिस सतह पर वह है (या संदर्भ फ्रेम),दोनों $g$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गिर रहे हैं। पिंड पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N$,$N = m(g - a)$ द्वारा दिया जाता है। मुक्त पतन में $a = g$ होने के कारण,$N = m(g - g) = 0$ हो जाता है। इस प्रकार,पिंड भारहीनता का अनुभव करता है।
हालाँकि,मुक्त पतन में पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \; m/s^2$ होता है,जो शून्य नहीं है। इसलिए,$Assertion$ सही है,लेकिन $Reason$ गलत है।

(C) मान लीजिए कि टेनिस की गेंद $u$ प्रारंभिक वेग के साथ उछलती है। यह $h$ ऊँचाई तक जाएगी जहाँ इसका अंतिम वेग $0$ हो जाएगा। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - u^2 = 2(-g')h$,जहाँ $g'$ पहाड़ी पर गुरुत्वीय त्वरण है।
इसलिए,$h = \frac{u^2}{2g'}$.
चूँकि ऊँचाई बढ़ने के कारण पहाड़ी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g')$ पृथ्वी की सतह $(g)$ की तुलना में कम होता है,इसलिए ऊँचाई $h$ पहाड़ी पर अधिक होगी।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है क्योंकि $g'$ वास्तव में $g$ से कम होता है।

(B) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ पृथ्वी के स्थिर होने पर गुरुत्वीय त्वरण है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है।
जब पृथ्वी घूमना बंद कर देती है,तो $g$ के मान में वृद्धि $\Delta g = g - g' = R\omega^2 \cos^2 \lambda$ होती है।
दिया गया है:
$R = 6400 \times 10^3 \ m = 6.4 \times 10^6 \ m$
$\lambda = 45^{\circ} \implies \cos^2 45^{\circ} = 0.5$
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14}{24 \times 3600} \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/sec$
मान रखने पर:
$\Delta g = (6.4 \times 10^6) \times (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 0.5$
$\Delta g \approx 0.0169 \ m/sec^2$
$C.G.S.$ इकाई $(cm/sec^2)$ में बदलने पर:
$\Delta g = 0.0169 \times 100 = 1.69 \ cm/sec^2 \approx 1.68 \ cm/sec^2$.

(A) भूमध्य रेखा पर किसी वस्तु के भारहीन प्रतीत होने के लिए,प्रभावी गुरुत्व शून्य होना चाहिए।
पृथ्वी के घूर्णन के कारण भारहीनता की स्थिति $g - \omega^2 R = 0$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\omega^2 R = g$,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{g / R}$।
दिया गया है $g = 10\, m/s^2$ और $R = 6.4 \times 10^3\, km = 6.4 \times 10^6\, m$।
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}}$।
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4} \times 10^{-6}} = \sqrt{1.5625 \times 10^{-6}}$।
$\omega = 1.25 \times 10^{-3}\, rad/s$।

(D) ऊँचाई $h$ के साथ गुरुत्वीय त्वरण $g$ में परिवर्तन (जहाँ $h \ll R$) इस प्रकार है: $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$.
गहराई $d$ के साथ गुरुत्वीय त्वरण $g$ में परिवर्तन (जहाँ $d \ll R$) इस प्रकार है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$.
प्रश्न के अनुसार,$h$ ऊँचाई पर $g$ के मान में परिवर्तन,$d$ गहराई पर होने वाले परिवर्तन के समान है। इसका अर्थ है कि इन बिंदुओं पर $g$ के मान समान हैं,इसलिए $g_h = g_d$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$.
समीकरण को सरल करने पर: $1 - \frac{2h}{R} = 1 - \frac{d}{R}$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $-\frac{2h}{R} = -\frac{d}{R}$.
$-R$ से गुणा करने पर: $d = 2h$.

(C) मुक्त पतन में,किसी पिंड का प्रभावी भार शून्य हो जाता है। इसका कारण यह है कि वस्तु पर कार्य करने वाला अभिलंब बल शून्य होता है,क्योंकि वस्तु और सतह दोनों समान दर $g$ से नीचे की ओर त्वरित हो रहे होते हैं। अतः,वस्तु भारहीनता का अनुभव करती है।
मुक्त पतन में वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$ होता है,जो शून्य नहीं है। इसलिए,$Assertion$ सही है,लेकिन $Reason$ गलत है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र: $g' = g(1 - d/R)$ है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ वस्तु केंद्र तक आधी गहराई पर है,इसलिए गहराई $d = R/2$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$ प्राप्त होता है।
चूँकि भार $W = mg$ होता है,इसलिए $d$ गहराई पर नया भार $W' = mg' = m(g/2) = W/2$ होगा।
सतह पर भार $W = 200 \; N$ दिया गया है,अतः $d = R/2$ गहराई पर भार $W' = 200/2 = 100 \; N$ होगा।

(D) उत्तरी ध्रुव पर बॉक्स का वजन $W_p = mg = 196 \; N$ है। दिया गया है $g = 10 \; m/s^2$,इसलिए द्रव्यमान $m = 196 / 10 = 19.6 \; kg$ है।
भूमध्य रेखा पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ होता है,जहाँ $\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है।
भूमध्य रेखा पर वजन $W_e = m(g - \omega^2 R) = mg - m\omega^2 R$ है।
कोणीय गति $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T = 24 \times 3600 \; s$ है।
मान रखने पर: $W_e = 196 - 19.6 \times \left( \frac{2\pi}{24 \times 3600} \right)^2 \times 6400 \times 10^3$.
$m\omega^2 R$ पद की गणना करने पर: $19.6 \times (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 6.4 \times 10^6 \approx 19.6 \times 0.0337 \approx 0.66 \; N$.
अतः,$W_e = 196 - 0.66 = 195.34 \; N$.
सबसे निकटतम विकल्प $195.32 \; N$ है।

(A) घटता है,$(b)$ घटता है,$(c)$ पिंड का द्रव्यमान,$(d)$ अधिक।
$(a)$ $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{h} = g(1 - 2h/R_{e})$ द्वारा दिया जाता है। अतः,ऊँचाई बढ़ने के साथ यह घटता है।
$(b)$ $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{d} = g(1 - d/R_{e})$ द्वारा दिया जाता है। अतः,गहराई बढ़ने के साथ यह घटता है।
$(c)$ चूँकि $g = GM/R^{2}$ होता है,इसलिए गुरुत्वीय त्वरण पिंड के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र होता है।
$(d)$ स्थितिज ऊर्जा का अंतर $\Delta U = -GmM(1/r_{2} - 1/r_{1})$ है। $mg(r_{2}-r_{1})$ सूत्र केवल सतह के पास की छोटी दूरियों के लिए एक अनुमान है। अतः,पहला सूत्र अधिक सटीक है।

(C) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार,$W = mg = 63 \; N$ है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
यहाँ $h = \frac{R_e}{2}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left( 1 + \frac{R_e/2}{R_e} \right)^{-2} = g \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^{-2} = g \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वाकर्षण बल (भार) $W' = mg'$ होगा।
$W' = m \left( \frac{4}{9} g \right) = \frac{4}{9} (mg)$
$W = 63 \; N$ का मान रखने पर:
$W' = \frac{4}{9} \times 63 = 4 \times 7 = 28 \; N$.

(D) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु का भार $W = mg = 250 \; N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - \frac{d}{R_e})$ होता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि वस्तु केंद्र तक आधी गहराई पर है,इसलिए गहराई $d = \frac{R_e}{2}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g' = g(1 - \frac{R_e/2}{R_e}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}g$ प्राप्त होता है।
गहराई $d$ पर वस्तु का भार $W' = mg'$ होता है।
$g' = \frac{1}{2}g$ रखने पर,$W' = m(\frac{1}{2}g) = \frac{1}{2}mg = \frac{1}{2}W$ प्राप्त होता है।
चूंकि $W = 250 \; N$ है,इसलिए नया भार $W' = \frac{1}{2} \times 250 = 125 \; N$ होगा।

(A) अभिकेंद्र बल $F_{c} = m\omega^{2}r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से दूरी है।
पृथ्वी के घूर्णन के कारण अनुभव किए जाने वाले प्रभावी बल के संदर्भ में,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^{2}R \cos^{2}\phi$ होता है।
भूमध्य रेखा पर जहाँ अक्षांश $\phi = 0^{\circ}$ होता है,वहाँ $\cos\phi = 1$ होने के कारण अभिकेंद्र बल का घटक अधिकतम होता है।
अतः,भूमध्य रेखा पर अभिकेंद्र बल अधिकतम होता है।

(N/A) मान लीजिए कि पृथ्वी $R_E$ त्रिज्या और $M_E$ द्रव्यमान का एक समान घनत्व $\rho$ वाला गोला है।
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का एक कण केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर है,जहाँ $r = R_E - d$ है।
शेल प्रमेय के अनुसार,पृथ्वी के अंदर किसी बिंदु के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल केवल $r$ त्रिज्या वाले गोले के द्रव्यमान $M_r$ द्वारा लगाया जाता है। इस त्रिज्या के बाहर के शेल कण $m$ पर कोई शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल नहीं लगाते हैं।
आंतरिक गोले का द्रव्यमान $M_r = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
समान घनत्व होने के कारण,$\rho = \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$ है।
$M_r$ के व्यंजक में $\rho$ का मान रखने पर,हमें $M_r = M_E \left( \frac{r^3}{R_E^3} \right)$ प्राप्त होता है।
$r$ दूरी पर द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M_r m}{r^2}$ है।
$M_r$ का मान रखने पर,$F = \frac{G m}{r^2} \cdot M_E \frac{r^3}{R_E^3} = \frac{G M_E m r}{R_E^3}$ प्राप्त होता है।
गुरुत्वीय त्वरण $g(r) = \frac{F}{m} = \frac{G M_E r}{R_E^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = R_E - d$ रखने पर,$g(d) = \frac{G M_E (R_E - d)}{R_E^3} = \frac{G M_E}{R_E^2} \left( 1 - \frac{d}{R_E} \right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g = \frac{G M_E}{R_E^2}$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,इसलिए व्यंजक $g(d) = g \left( 1 - \frac{d}{R_E} \right)$ बन जाता है।

(N/A) कल्पना करें कि पृथ्वी बड़ी संख्या में संकेंद्रित गोलीय कोशों से बनी है,जिसमें सबसे छोटा कोश केंद्र पर और सबसे बड़ा सतह पर है।
पृथ्वी के बाहर का कोई भी बिंदु सभी कोशों के बाहर होता है। अतः,सभी कोश उस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाते हैं जैसे कि उनका द्रव्यमान उनके सामान्य केंद्र पर केंद्रित हो।
पृथ्वी के अंदर के बिंदु के लिए,स्थिति अलग है। मान लीजिए कि पृथ्वी संकेंद्रित कोशों से बनी है। $m$ द्रव्यमान का एक कण केंद्र से $r$ $(r < R_E)$ दूरी पर बिंदु $P$ पर स्थित है। बिंदु $P$,$r$ त्रिज्या वाले गोले के बाहर स्थित है। $r$ से अधिक त्रिज्या वाले कोशों के लिए,बिंदु $P$ अंदर स्थित है। इसलिए,इन बाहरी कोशों द्वारा $P$ पर रखे द्रव्यमान $m$ पर कोई शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल नहीं लगता है।
यदि $P$ पर कण का द्रव्यमान $m$ है और $r$ त्रिज्या वाले आंतरिक गोले का द्रव्यमान $M_r$ है,तो $P$ पर द्रव्यमान $m$ पर लगने वाले बल का परिमाण:
$F = \frac{G m M_r}{r^2}$
यह मानते हुए कि पूरी पृथ्वी का घनत्व $\rho$ समान है,इसका कुल द्रव्यमान $M_E = (\frac{4}{3} \pi R_E^3) \rho$ है।
अतः,$\rho = \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$।
आंतरिक गोले का द्रव्यमान $M_r = (\frac{4}{3} \pi r^3) \rho = (\frac{4}{3} \pi r^3) \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3} = M_E \frac{r^3}{R_E^3}$ है।
बल के समीकरण में $M_r$ का मान रखने पर:
$F = \frac{G m}{r^2} (M_E \frac{r^3}{R_E^3}) = \frac{G M_E m r}{R_E^3}$।
चूंकि $F = mg_r$,इसलिए $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_r = \frac{G M_E r}{R_E^3}$ है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R_E$ रखने पर:
$g = \frac{G M_E R_E}{R_E^3} = \frac{G M_E}{R_E^2}$।

(N/A) गुरुत्वीय त्वरण को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु में उत्पन्न एकसमान त्वरण के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे $g$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का परिमाण लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है।

(A) गोलाकार द्रव्यमान वितरण के लिए शेल प्रमेय के अनुसार,एक समान गोलाकार कवच के अंदर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।
चूंकि पृथ्वी को संकेंद्रित गोलाकार कवचों के समूह के रूप में माना जा सकता है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र में स्थित एक कण सभी दिशाओं से समान गुरुत्वाकर्षण खिंचाव का अनुभव करता है।
इसलिए,पृथ्वी के केंद्र में स्थित कण पर शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल $0$ होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी $(r < R_e)$ पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M_r m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि पृथ्वी का घनत्व $\rho$ समान है,$r$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित द्रव्यमान $M_r = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$M_r$ का मान बल के समीकरण में रखने पर: $F = \frac{G m}{r^2} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $F = (\frac{4}{3} \pi G \rho m) r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $G, \pi, \rho, m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $F \propto r$ होता है।

(21 KM) पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है; यह एक चपटा गोला (oblate spheroid) है,जिसका अर्थ है कि यह भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है और ध्रुवों पर चपटी है।
पृथ्वी की भूमध्यरेखीय त्रिज्या लगभग $6378 \; km$ है।
पृथ्वी की ध्रुवीय त्रिज्या लगभग $6357 \; km$ है।
भूमध्यरेखीय त्रिज्या और ध्रुवीय त्रिज्या के बीच का अंतर $6378 \; km - 6357 \; km = 21 \; km$ है।

(N/A) $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,जबकि $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$1$. $G$ का मान पूरे ब्रह्मांड में स्थिर रहता है $(G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2)$,जबकि $g$ का मान पृथ्वी और अन्य खगोलीय पिंडों पर अलग-अलग स्थानों पर बदलता रहता है।
$2$. $G$ एक अदिश राशि है,जबकि $g$ एक सदिश राशि है।
$3$. $G$ का $SI$ मात्रक $N \ m^2/kg^2$ है,जबकि $g$ का $SI$ मात्रक $m/s^2$ है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित $m$ द्रव्यमान के एक बिंदु पिंड पर विचार करें। यह पिंड पृथ्वी के केंद्र से $r = R_{E} + h$ की दूरी पर बिंदु $P$ पर स्थित है।
पिंड पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण है:
$F(h) = \frac{GM_{E}m}{(R_{E} + h)^{2}}$
चूँकि $F = mg(h)$,ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण है:
$g(h) = \frac{F(h)}{m} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \quad ......(1)$
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(h = 0)$:
$g = \frac{GM_{E}}{R_{E}^{2}} \quad ......(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{g(h)}{g} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}} = \frac{R_{E}^{2}}{(R_{E} + h)^{2}}$
$\frac{g(h)}{g} = \frac{R_{E}^{2}}{R_{E}^{2}(1 + \frac{h}{R_{E}})^{2}} = \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2}$
$g(h) = g \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2} \quad ......(3)$
कम ऊँचाई $(h \ll R_{E})$ के लिए,हम द्विपद विस्तार $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ का उपयोग कर सकते हैं:
$g(h) \approx g \left(1 - \frac{2h}{R_{E}}\right) \quad ......(4)$
समीकरण $(3)$ किसी भी ऊँचाई के लिए मान्य है,जबकि समीकरण $(4)$ एक सन्निकटन है जो केवल $h \ll R_{E}$ होने पर ही मान्य है।

(N/A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_{h} = g_{e} \left(1 - \frac{2h}{R_{e}}\right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 10 \, km = 10^{4} \, m$,$R_{e} = 6.4 \times 10^{6} \, m$,और $g_{e} = 9.8 \, m/s^2$ है।
मान रखने पर:
$g_{h} = 9.8 \left[1 - \frac{2 \times 10^{4}}{6.4 \times 10^{6}}\right]$
$g_{h} = 9.8 [1 - 0.003125]$
$g_{h} = 9.8 [0.996875]$
$g_{h} = 9.769375 \, m/s^2$
उचित सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $g_{h} \approx 9.77 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(N/A) मान लीजिए पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर $m$ द्रव्यमान का एक बिंदु द्रव्यमान है। पृथ्वी की त्रिज्या $R_{E}$ है। पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r = (R_{E} - d)$ है।
$d$ मोटाई के बाहरी कवच के कारण $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।
पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल केवल $(R_{E} - d)$ त्रिज्या वाले आंतरिक गोले द्वारा लगाया जाता है।
यह मानते हुए कि पृथ्वी का घनत्व $\rho$ समान है,आंतरिक गोले का द्रव्यमान $M_{s}$ है:
$M_{s} = \frac{4}{3} \pi (R_{E} - d)^{3} \rho$ $......(1)$
पृथ्वी का कुल द्रव्यमान $M_{E}$ है:
$M_{E} = \frac{4}{3} \pi R_{E}^{3} \rho$ $......(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{M_{s}}{M_{E}} = \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$
$M_{s} = M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$ $......(3)$
$d$ गहराई पर बिंदु द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F(d)$ है:
$F(d) = \frac{G M_{s} m}{(R_{E} - d)^{2}}$ $......(4)$
समीकरण $(3)$ से $M_{s}$ का मान समीकरण $(4)$ में रखने पर:
$F(d) = \frac{G m}{(R_{E} - d)^{2}} \left[ M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}} \right]$
$F(d) = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
चूंकि $F(d) = m g_{d}$,जहाँ $g_{d}$ गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण है:
$m g_{d} = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
$g_{d} = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$ है,इसलिए:
$g_{d} = g \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$

(N/A) $1$. पृथ्वी के अंदर $(r < R_E)$: केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g(r) = \frac{4}{3} \pi G \rho r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पृथ्वी का घनत्व है। चूँकि $\frac{4}{3} \pi G \rho$ स्थिरांक है,इसलिए $g(r) \propto r$ होता है। इसका अर्थ है कि पृथ्वी के केंद्र से सतह की ओर जाने पर $g$ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(r > R_E)$: केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g(r) = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$g(r) \propto \frac{1}{r^2}$ होता है। इसका अर्थ है कि केंद्र से दूरी बढ़ने पर $g$ दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती घटता है।
$3$. सतह पर $(r = R_E)$: $g$ का मान अधिकतम होता है,जो $g = \frac{GM}{R_E^2}$ है।
ग्राफ y-अक्ष पर $g(r)$ और x-अक्ष पर $r$ को दर्शाता है,जो पृथ्वी के अंदर रैखिक वृद्धि और पृथ्वी के बाहर व्युत्क्रम-वर्ग नियम के अनुसार कमी को प्रदर्शित करता है।

(N/A) पृथ्वी की सतह पर किसी दिए गए स्थान को पृथ्वी के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा भूमध्यरेखीय तल के साथ जो कोण बनाती है,उसे उस स्थान का अक्षांश $(\lambda)$ कहा जाता है।
भूमध्य रेखा के लिए अक्षांश $\lambda = 0^{\circ}$ और ध्रुवों के लिए अक्षांश $\lambda = 90^{\circ}$ होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,पृथ्वी की सतह पर स्थित बिंदु $P$ का अक्षांश $\lambda = \angle POE$ है। इस स्थिति पर $m$ द्रव्यमान का एक कण मानिए। इस पर दो बल कार्य करते हैं:
$(1)$ पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो केंद्र $O$ की ओर $PO$ रेखा की दिशा में कार्य करता है।
$(2)$ पृथ्वी के घूर्णन के कारण,कण वृत्ताकार पथ $PM$ की त्रिज्या की दिशा में बाहर की ओर एक अपकेंद्री बल $m r \omega^2$ का अनुभव करता है (जहाँ $r$ अक्षांश के वृत्त की त्रिज्या है)।
चित्र की ज्यामिति से,$r = R_e \cos \lambda$,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$PO$ रेखा की दिशा में (केंद्र की ओर) अपकेंद्री बल $m r \omega^2$ का घटक $m r \omega^2 \cos \lambda$ होता है।
$r = R_e \cos \lambda$ रखने पर,यह घटक $m (R_e \cos \lambda) \omega^2 \cos \lambda = m R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$ प्राप्त होता है।
केंद्र की ओर कण पर लगने वाला प्रभावी बल $F = mg - m R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$ है।
यदि $g'$ प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण है,तो $mg' = F = mg - m R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$ होगा।
अतः,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण के लिए व्यंजक $g' = g - R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$ है।

(N/A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$g_h = g \left( \frac{R_e}{R_e + h} \right)^2$
जहाँ:
$g_h$,$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण है।
$g$,पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$।
$R_e$,पृथ्वी की त्रिज्या है।
$h$,पृथ्वी की सतह से ऊँचाई है।

(N/A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र निम्नलिखित है:
$g_h = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
जब $h << R_e$ हो,तो द्विपद प्रमेय (binomial expansion) का उपयोग करने पर:
$g_h \approx g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
यहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,$h$ ऊँचाई है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।